（基础数学专业论文）有限典型群的模不变式.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 令g 是一有限群，( g ，vf ) 是g 的一忠实凡维线性表示考虑其对偶表示( g ，y ，f ) ， 那么g 在矿上的线性作用可以自然地成为g 在矿的对称代数f 【明( 或s 矿j ) 上的f 自同构作用f m g ：= ，f l y 】：t ，= ，对任意t g ，称为表示( g ，vf ) 所对应 的不变式环( r i n go fi n v a r i a n t s ) 本文主要研究某些有限典型群的自然模表示所对应的 不变式环f v g 及分式域的结构 绪论介绍本文工作的主要背景和论文框架，着重回顾h i l b e r t 第1 4 问题，n o e t h e r 问题以及相关主题 第二章研究有限域上相似典型群的n o e t h e r 问题在l - e d i c k s o n 以及d c a r l i s l e 和p h k r o p h o l l e r ，h c h u 等人工作的基础上，对于有限域上的相似正交群( 酉群，辛群) 的n o e t h e r 问题给出了肯定回答 第三章首先给出m k a n g 定理的一个构造性证明，即构造任意域上可三角化有限 群的有理不变式域的一组极小生成元，从而正面回答了n o e t h e r 问题然后，重新构造 有限域上一般线性群的s y l o wp - 子群自然表示的不变式环的极小生成元集本章的结 尾讨论某些有限典型群的不变式域的d i c k s o n 性质 第四章将经典的d i c k s o n 定理向有限局部环上一般线性群及其子群的多项式不变 式环进行推广首先给出一般线性群g k ( z p 。) 及其子群的多项式不变式环的结构定 理而后，将此结果推广到任意有限交换局部环上一般线性群的情形 最后一章探讨有限群的模向量不变式环的结构；对于有限域上一般线性群的s y l o w 矿子群的2 维和3 维模向量不变式环，得到了它们的极小生成元集( 3 维时，限定域的 特征数p = 2 ) 特别地，所得结果部分地推广了r i c h m a n c a m p e l l h u g h e s 定理 关键词：有限典型群；不变式环；n o e t h e r l 闻题；模不变式；生成元 大连理工大学博士学位论文 m o d u l a ri n v a r i a n t so ff i n i t ec l a s s i c a lg r o u p s a b s t r a c t l e tgb eaf i n i t eg r o u p ，vn - d i m e n s i o n a lv e c t o rs p a c eo v e raf i e l dfa n dg g l ( v ) l e tf l y 】b et h es y m m e t r i ca l g e b r ao fv ( t h ed u a lo fy ) 。i fw ec h o o s e z 1 ，z n ) a s 8b a s i sf o rv ，t h e nf 吲c a nb ei d e n t i f i e dw i t ht h ep o l y n o m i a lr i n gf x l ，z n 】l e t e l e m e n t so fga c to i lf f 吲a sa l g e b r aa u t o m o r p h i s m s ，t h e nt h es u b r i n gf m gc o n s i s t i n go f g - i n v a r i a n tp o l y n o m i a l s ，i sc a l l e dt h er i n go i n v a r i a n sf o r ( g ，vf ) i ti sw e l lk n o w nt h a t f m g i saf i n i t e l yg e n e r a t e dg r a d e df - a l g e b r a t h ep u r p o s eo fi n v a r i a n tt h e o r yi st os t u d yt h e s t r u c t u r ea n dp r o p e r t i e so ft h er i n go fi n v a r i a n t sf y 】g ( f o ri n s t a n c e ，p o l y n o m i a l i t y , c o h e n - m a c a u l a v n e s s ，e t c ) h e r ew ea r ei n t e r e s t e di nf i n d i n gt h ee x p l i c i tg e n e r a t o r sa n dr e l a t i o n s 0 ff 【明g ，e s p e c i a l l yw h e nt h ec h a r a c t e r i s t i co ffd i v i d e st h eg r o u po r d e r | g i t h ef i r s tc h a p t e rc o n t a i n ss o m eb a s i cf a c t sa n dm o t i v a t i o n sf o rt h i st h e s i s i np a r t i c - u l a r ，w ei n t r o d u c eh i l b e r t s1 4 t hp r o b l e ma n dn o e t h e r sp r o b l e ma n dp r e s e n ts o m er e c e n t i m p o r t a n td e v e l o p m e n t si nt h er e l a t e ds u b j e c t s t h ec h a p t e r2i sd e v o t e dt os t u d yt h en o e t h e r sp r o b l e mf o rc e r t a i ns i m i l i t u d ec l a s s i c a l g r o u p so v e rf i n i t ef i e l d s f o l l o w i n gt h ew o r k so fl e d i c k s o n ，d c a r l i s l ea n dp h k r o p h o l l e r ， h c h ue ta 1 ，w ea n s w e rt h en o e t h e r sp r o b l e mf o ro r t h o g o n a l ( u n i t a r ya n ds y m p l e t i c ) s i i n i l - r u d eg r o u p so v e raf i n i t ef i e l db yf i n d i n gt h ee x p l i c i ts e to fg e n e r a t o r so ff i x e df i e l d i nc h a p t e r3 ，w ef i r s t l y 百v eac o n s t r u c t i v ep r o o fo fm k a n g st h e o r e m m o r ep r e c i s e l y , w e 舀v e 锄a f f i r m a t i v ea n s w e ra b o u tn o e t h e r sp r o b l e mb yc o n s t r u c t i n ga ne x p l i c i ts e to f g e n e r a t o r so fr a t i o n a li n v a r i a n tf i e l do ff i n i t et r i a n g u l a rg r o u p so v e ra n yf i e l d s e c o n d l y ，f o r t h es y l o wp - s u b g r o u po fg e n e r a ll i n e a rg r o u p so v e rf i n i t ef i e l d s ，w er e c o n s t r u c tam i n i m a l g e n e r a t i n gs e to ft h er i n go fi n v a r i a n t sa n di ti sd i f f e r e n tf r o mt h ec o n s t r u c t i o no fd b e n s o n f i n a l l y , w es t u d yt h ed i c k s o np r o p e r t yo ff i x e df i e l d sf o rs o m ef i n i t ec l a s s i c a lg r o u p s hc h a p t e r4 w eg e n e r a l i z et h ec l a s s i c a ld i c k s o n st h e o r e mo nt h er i n go fi n v a r i a n t so f g e n e r a ll i n e a rg r o u p so v e rf i n i t ef i e l d st ot h ec a s eo ff i n i t ec o m m u t a t i v el o c a lr i n g f i r s t ，w e s t u d yt h er i n go fi n v a r i a n t sf o rt h eg e n e r a ll i n e a rg r o u p so v e rz p 仉a n di t ss u b g r o u p s ，a n d am i n i m a ls e to fg e n e r a t o r so ft h er i n go fi n v a r i a n t sw i l lb eg i v e n s e c o n d l y , w eg e n e r a l i z e t h e s er e s u l t st ot h eg e n e r a ls i t u a t i o n ，i e ，t h ec a s eo fa n yf i n i t ec o m m u t a t i v el o c a lt i n g s i nc h a p t e r5 ，w es t u d yt h em o d u l a rv e c t o ri n v a r i a n tr i n go ff i n i t eg r o u p m o r ep r e - i i l c 1 8 e l mw es u d yt 阶池e n s i o n 甜a n dt h r e e - d i m e n s i o n a l ( c h a r a c t e r i s t i c 。f 已i s 泐) n 1 。d u i a r v e c t o ri n 测a n tr i n go ft h es y l o wp - s u b g r o u po fg e n e r a ll i n e a rg r o u p s 0 v e rf i n i t ef i e l d f 口i n p a r t i c u l 缸，0 1 1 rr e s u l t sp a r t i a l l yg e n e r a l i z et h er i c h m a n c a m p e l l h u g b e s ：st h e o r e m k e yw o r d s ：f i n i t ec l a s s i c a lg r o u p ；i n v a z i a n t sr i n g ；n o e t h e r ，8p r o b l c m ；m 。d u l a ri n 谢龃t s ： g e n e r a t o r s 大连理工大学学位论文独创性说明 作者郑重声明：本博士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论 文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工 大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对 本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目： 作者签名：牡日期：互丑年l 月三l 日 大连理工大学博士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论 文版权使用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学 位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大 学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 学位论文题目： 作者签名： 导师签名： 日期：塑l 年月型一日 日期：毕年工月三l 日 7 。 大连理工大学博士学位论文 l 绪论 1 1 最早的例子 1 7 7 3 年，j l l a g r a n g e 发现了下面的事实：对于复数域c 上的二元齐次多项式p ( x ，) = a x 2 + 2 b x y + c y 2 ，如果用。+ y 代替z ，而爹保持不变，那么就得到了另外一个二元 齐次多项式( x ，y ) = a 1 2 ：2 + 2 b 7 x y + d y 2 ，其中a 7 = a ，b 7 = b + a ，c ，= c 十2 6 + a 这两个 多项式的系数满足方程 口c 一6 2 ：口7c ，一6 ，2 这并不是一个偶然事实上，d e t ( p ) = a c 一铲被称为多项式p 的判别式( d e t e r m i n a n t ) 而且，对于任意的a c 及变换b ( z ) = z + 却，t 天( 爹) = y ，都有 d e t ( p ) = d e t ( t a 白) ) 由于多项式p ( z ，) = 舻+ 2 b x y + c y 2 是由三个系数a ，b ，c 所确定，因此可以将p ( z ，y ) 对应子c 3 中的列向量( a ，b ，c ) ，而b 就变成了线性变换： t ：c 3 一c 3 ，( a ，b ，c ) 。 ( n ，a a + b ，口+ 2 a b + c ) 。 f 1 oo 1 用矩阵表达就是：t a = i 久 10 1 容易验证，所有的变换a q c ) 组成一般线 l 粕入1 j 性群g l 3 ( c ) 的一个子群，不妨记作g 如果考虑关于二次齐次多项式的系数所生成 的多项式环时，那么g 可以线性地作用在这个环上，而且上述结果说明二次齐次多项 式所对应的判别式在g 的作用下是保持不变的( n e u s e ll l ) 很自然地人们会问：是否还有其他的关于系数o ，b ，c 的多项式使得在g 的作用下保 持不变? 或者，所有的不变多项式集合具有什么样的性质? 怎样完整地刻画它们? 等等 这些都是前两个世纪，群不变式理论里研究的基本问题( 见n e u s e ll l l ，b e n s o n1 2 】，w e y l 1 3 ，s m i t h 4 】，s t u r m f e t s1 5 】，s c h i m df 6 及d e r k s e n k e m p e r1 7 】) 1 2 h i l b e r t 第1 4 问题 众所周知，在1 9 0 0 年的巴黎国际数学家大会上，d h i l b e r t 提出了意义深远的2 3 个 数学问题其中第1 4 问题是： 域f 上的n 元多项式环f p l ，z n 】的任意子环是否是有限生成的? 1 有限典型群的模不变式 这个问题问的十分广泛，因此人们考虑了下面的一种特殊情形 令g 是一个群，y 是g 在域f 上的一个佗维忠实线性( 有理) 表示，即存在一群 同态p ：g g l 。( f ) ( k e r p = 0 ) ) 这个表示诱导了g 在y 的对偶空间矿上的一 线性作用，这个线性作用还可以扩张成为对所有的扎元多项式函数组成的环f l y ：= f b ，z 礼 上的线性作用事实上，我们知道犷的对称代数同构于f 池1 ，z 礼】因 此，如果给定t g ，f v ，那么对于任意的口v ，可以定义t f ( v ) ：= ，( p ( t ) 1 ”) 个多项式f f l y l 称为在g 的作用下是不变的( i n v a d a n t ) ，如果对于所有的t g 都 有t f ( v ) = ，( 口) 用f v c 表示所有在g 作用下保持不变的多项式的集合；容易验证这 是多项式环f l y 的一个子代数，称为表示( g ，kf ) 对应的不变式环( r i n go fi n v a r i a n t s ) 显然，f gcf l y 】还是一个n o 阶化f 一代数这样，上述h i l b e r t 问题就被限制成： 对于任意的群( 代数群) g 及有限维忠实线性( 有理) 表示y ，其不变式环f m g 是否是有限生成的f 一代数? 这些问题的背景是深刻而基本的几何上，人们总是试图利用群在几何对象上的 作用所对应的等价关系来构造新的几何对象，即商对象例如，如果g 是一个代数 群，x 是某个域f 上的一仿射代数g 簇，用x c 表示所有轨道所成之集，自然地想 知道：x a 是否还在f 上仿射代数簇的范畴里? 这个问题一般说来并不总成立( 见m u m f o r de ta 1 1 8 ，h u m p h y r e y s 【9 】，b a y e r1 1 0 ，c o x e ta 1 j 1 1 】及e i s e n b u d1 1 2 ) 但是，如果坐标环f x g 】是有限生成代数，那么x g 是仿射 代数簇，并且f g 】= f x c 因此，代数几何里的某些基本而且重要的问题就可以 转化成群的不变式理论来研究几何不变式理论的目的之一就是对某些仿射代数群g 及忠实的有限维有理表示y ，来探讨其不变式环f v j g 的代数结构( 见m u m f o r de t c ，【7 及n e w s t e a d 【1 3 】) 在1 9 世纪，人们的注意力主要集中在试图通过寻找不变式环的生成元和生成关 系来证明它的有限生成性但这仅仅是一些较为离散的例子这期间最好的结果当 属p g o r d a n 对s 二2 ( c ) 的自然表示所对应的不变式环的有限性证明( 见b e n s o n1 2 1 ) 1 9 世纪末2 0 世纪初，d h i l b e r t 和e n o e t h e r 为解决不变式环的“有限性”，“合冲模”( s y z y g y m o d u l e ) 等问题，引入了完全抽象的代数工具，打开了现代交换代数的大门特别 地，h i l b e r t 【1 4 利用现在称之为h i l b e r t 基本定理的事实证明了：g l 嚣( c ) 及s l 。( c ) 的任 意有限维有理表示所对应的不变式环是有限生成c 一代数 但是，对于前述h i l b e r t 第1 4 问题的一般性回答却是否定的1 9 5 9 年，日本数学 2 大连理工大学博士学位论文 家m n a g a t a1 1 5 】举出了这个问题的第一个反例；随后他又给出了h i l b e r t 第1 4 问题成 立的一个充分条件：对于约化代数群( r e d u c t i v ea l g e b r a i c a lg r o u p s ) 来讲，其任意有限维 有理表示所对应的不变式环总是有限生成的( 见d e r k s e n k e m p e r1 7 】) 这个结果最早是 由h w e y l1 1 6 j 在复数域c 上得到1 9 7 9 年，v l p o p o v1 1 7 证明了w e y l - n a g a t a 定理的 逆命题：代数群g 是约化代数群的充分必要条件是其任意有限维有理表示所对应的 不变式环总是有限生成的对于一般性的约化代数群不变式理论，可以参阅d e r k s e n 1 1 8 l 。d e r k s e n k e m p e r t j ，m u m f o r de ta 1 1 8 及s a n t o s - r i t t a t o r e1 1 9 1 3 n o e t h e r 的一些问题 1 9 1 3 年，e n o e t h e r 考虑了以下三个关于任意域f 上的有理函数域e = f ( x z ，z 。) 的子域结构问题： f 与e 的任意中间域k 是否是有限生成的? k 在f 上的扩张是否是纯超越的? kn f 渖1 ，z 。】是否是f 上的有限生成代数? n o e t h e r ( 1 9 1 3 年，1 9 1 5 年) 本人正面回答了第一个问题( 见n o e t h e r 或k e r s t e n 1 2 1 ) 第三个问题就是前面提到的h i l e b e r t 第1 4 问题当n = 1 时，对于第二个问题的 正面回答可由著名的l i r o t h 定理得出，但是对于一般情况( 礼2 ) 的回答却是否定的 因此，n o e t h e r 考虑了一种特殊情形： 如果有限群g 可作为有理函数域f h ，玩) 的f - 自同构群，那么其不变的 有理函数域f ( x 1 ，。n ) g 是否是f 上的纯超越扩张? 这就是著名的n o e t h e r 问题近百年来，它吸引了许多数学家的注意力，综述性的 文章可见k e r s t e n1 2 1 ，f l e i s c h m a n n1 2 2 及l e n s t r a 对于n o e t h e r 问题否定回答的第一 个反例属于r g s w a n 到目前为止，对于n o e t h e r 问题的完整回答仍然没有给出， 即： 分类那些使得n o e t h e r 问题成立的所有有限群! n o e t h e r 问题的起因除了代数几何里对各种代数簇的坐标域的研究外，还有一个重 要的原因是反g a l o i s 理论里泛多项式( g e n e r i cp o l y n o m i a l ) 的存在性问题我们知道，经 典的g a l o i s 理论建立了任意的g a l o i s 扩张f e 的中间域与其g a l o i s 群的子群之间的一 一对应关系很自然地人们希望知道，对于预先给定的有限群g 和某些特殊的域f ( 例 如，有理数域q ) ，是否存在个f 上的g a i o i s 域扩张使得其g a l o i s 群等于给定的群g ? 3 有限典型群的模不变式 特别地， 是否存在某个多项式，f z 使得在f 分裂扩张的g a l o i s 群等于预先给定的某 个有限群g ? 如果这样的多项式存在，则此多项式称为群g 的泛多项式1 9 1 8 年，n o e t h e r t 2 0 证明了：如果gs 并且f ( 2 1 ，。) g 是在f 上是纯超越的，那么有限群g 的 泛多项式存在对于更多的关于泛多项式的研究可以参见d e r k s e n k e m p e r 7 1 ，k e m p e r j2 5 1 。a b h y a n k a r1 2 6 及k e r s t e nf 2 1 1 4 本文的组织结构 在本文中，我们主要考虑有限群的情况因为有限群总是约化群( 带有离散拓t f ) ， 所以当1 0 i j l ，有 t l k = ( b a ) 巧g 巧 故引理成立 口 因此 有限典型群的模不变式 定义2 2 假设对所有的礼i j 1 ，集合g a 如上所示，定义多项式 ：= ( b l z l ) ， b l q g n ：= i i ( b 2 x 2 一 b l x l ) ， ( 6 2 ，b 1 ) 6 g 2 2 x g 2 1 ； ( k z 。+ + b l x l ) 引理2 3 如果 ，儿，厶如定义2 2 所示，则 ( 1 ) 每一个 在群g 的作用下都是不变的； ( 2 ) 多项式 ，2 ， 在域f 上是代数无关的 证职( 1 ) 不失一般性，任取a = ( a i j ) g 根据等式( 3 1 ) ，有 1 1 o o 1 ( 1 ：h 1 2 1 1 0 1 a 2 2 x 2 + a 2 1 x l ：1 z $ a c a ，= ，i i ( bg 。，( b * ( 妻n b z 。、+ + hc 。- ，。- ，、) kb 1 ) 6 g 。k x ，g 1 s = 】 = 吣b k b 1 ) 6 n g k k x x g k l ( 妻( 舅h ( ， s = l t _ s 因为6 t g k t ，再结合引理2 1 就得到：对所有的s = l ，七， 这样就有 a ( ) = 住 g h j i 尼 a h g 毗k 。j! 、 0 、 蛄 d h ；汹_ 厂、 k 。脚。瞄，、，一 g g x 畋颀 h h a 大连理工大学博士学位论文 2 ) 首先注意到对于所有的1 ks 佗， 包含钆但是厶不包含，这里s k 假 定多项式 ，厶在域f 上是代数相关的，那么存在一个非零多项式h f t 1 ，t 。】 使得h ( f l ，厶) = 0 也就是说，存在某个非零多项式f ( y l ，厶一1 ) 嘲使 得九7 ( a ) = 0 即厶在f ( ，a 1 ) 上是代数的，矛盾 口 定理1 1 的证明为了证明f ( z 1 ，。) g = f ( ，厶) ，首先断言：每一个让所 有 保