（基础数学专业论文）非线性薛定谔泊松方程解的存在性.pdf

摘要 本文利用山路引理和集中紧性原理，讨论两类非线性薛定谔泊松方程 i a u + y ( z ) u + k ( x ) o i u l q 一2 t = i u l p l u ，i nj 尹 i - - a 圣= k ( x ) l u l q i nr 3 及 i 一牡+ y ) 乱+ a k ( x ) o ( x ) u = f ( x ，u ) ，z r 3 、一圣= k ( x ) u 2 , l 。f _ l i m ，+ 垂( z ) = o i nr 3 解的存在性本文的具体安排如下： 第一章是绪论，主要介绍了该问题产生的背景和研究现状 第二章是预备知识，主要介绍了本文将要用到偏微分方程中的一些基 本知识 第三章讨论了第一类方程当kk 是正常数， q 2 , 2 p 5 的情 形，通过限制泛函在径向函数的自然约束下，使得嵌入紧性成立，从而得到 上述方程有一个基态解( 乱，西) ；当y 为非常数位势，k 为正常数时， q 2 , 3 p 0 ，v , k 不一定是径向对称，对 vk ，加一定的条件，运用山路引理，证明方程当入足够小，有一个正解； 当a 充分大时，只有平凡解 关键词：薛定谔泊松方程；基态解；存在性；集中紧性原理；山路引理 a b s t r a c t t h i st h e s i sf o rm a s t e r sd e g r e ec o n s i d e r se x i s t e n c eo fs o l u t i o n so ft h et w on o n l i n e a r s c h r 5 d i n g e r p o i s s o ne q u a t i o n s j - a u + v ( z ) u + k ( x ) 西l u l q - 2 札= i u l - 1 让，i nr 3 i 一圣= k ( x ) l u l q i n 舻 - - a u + v ( x ) u 以+ a 黜k ( x ) 西( x ) 。u = m 篙 t h ew h o l ep a p e ri sa r r a n g e da sf o l l o w ： t h ec h a p t e r1i sa ni n t r o d u c t i o n w em a i n l yc o n s i d e rt h eb a c k g r o u n da n dt h e r e c e n td e v e l o p m e n to ft h ep r o b l e m s i nc h a p t e r2 ，w eg i v ep r e l i m i n a r y w ec o l l e c ts o m eb a s i cm a t e r i a l si np a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o na n ds o m ei m p o r t a n tt h e o r e m sw h i c hw i l lb eu s e di nt h en e x t c h a p t e r s i nc h a p t e r3 ，w ec o n s i d e rt h ef i r s te q u a t i o n ，w h e nva n dka r ep o s i t i v ec o n - s t a n t s ，b yr e s t r i c t i n gt h ef u n c t i o n a lt ot h er a d i a lf u n c t i o n sw h e r ec o m p a c te m b e d - d i n g sh o l d t h e nt h ep r o b l e mh a sag r o u n ds t a t es o l u t i o n ( “，西) f o ra n y 0 为常数，v ( x ) 兰1 的情况，阐述了方程( 1 4 ) 在参数入足够小，限制p ， 方程存在解；当参数入i 1 ，限制p ，方程无解a a z z o l l i n ia n da 。p o m p o n i o 1 】 也讨论了方程( 1 4 ) 基态解的存在性，当y 是正常数且2 p 5 以及y 是 非常数位势且3 0 ， 频率伽 0 得到u 满足方程： i - - a u + v ( x ) u + a k ( z ) o u = y ( z ，缸) ，i n 萨 - - a 圣= k ( x ) u 2 ， i nr a ( 1 - 9 ) 【t o 饥r 3 其中v ( x ) = 矿+ 伽称此方程也为薛定谔泊松方程 2 0 0 7 年，文献【1 9 】王征平和周焕松研究方程( 1 5 ) ，常数a 0 ，对k ， 加一定条件，利用山路引理，得到方程解的存在性与非存在性结果在第 四章中，我们讨论方程( 1 9 ) ，常数a 0 ，对k 为，限制条件，试着f 1 9 】 的方法，用山路引理找方程( 1 - 9 ) 的解，但使用山路引理时，不满足古典 a m b r o s e t t i r a b i n o w i t z 类型条件，而且墨y 不一定是径向对称，所以问题 ( 1 - 9 ) 的解可能不在研( r 3 ) 中( 研( 舻) 是日1 ( 钟) 中径向函数的子空间) 于 是我们在s o b o l e v 空间日1 ( 铲) 上考虑利用变分方法找( 1 - 9 ) 的解，即需存 在极小化序列满足( p s ) 条件，但s o b o l e v 嵌入日1 ( r 3 ) q 妒( 舒) ( 2sp 6 ) 缺乏紧性，所以证明极小化序列有界( 1 p 2 ) 存在困难但是受【1 9 】启 发，通过使用一个截断函数克服了困难得到了方程( 1 - 9 ) 正解的存在性 3 非线性薛定谔泊松方程解的存在性 2 一些预备知识 2 1 h s l d e r 空间和s o b o l e v 空间 设uc 舻为一开集，0 ，y 1 我们首先考虑一簇利普希兹连续函数 让：u _ r ，即存在常数c ，满足下面估计： i u ( x ) 一让白) i c i x y i ( z ，y u ) ， 上面不等式说明乱是连续的，而且是一致连续的若 l u ( x ) 一u ( y ) i c l x 一秒1 7 ( z ，可u ) ， 则此函数称为具有指数7 的h s l d e r 连续 如果缸：u _ 月是一个有界连续函数，定义范数 i l u l l c ( _ ) 。s z u 【，p u ( z ) i u 的7 * h - h s l d e r 半范数 让的7 t h - h s l d e r 范数 【u i t ， 2 霉舴s u u p z l l 让i i 伊，( ) = l l u l l c c 驴) + 伊，( 一) ， 则函数空间c k , 一r ( 一) ，在范数 u i i c ”何) = i i d a u l l e 缈) + 【d q 翻伊，( - ) ， i q l 知l a - - 七 下构成一个b a n a c h 空间，我们称它为h s l d e r 空间 5 硕士学位论文 设qc 舒为一开域对任何整数m 0 ，任意实数p ，1 p 。o ，考虑 范数空间 m p ( q ) = ：d n u 扩( q ) ，i 口i m ， 其中口：( 口一，a 。) 为整指标，i n i ：妻，d n u 表示u 的广义导数这个空 i - - 1 间在范数 训n = ( 1 岳栅广胍p o o ， 泖2 l m a l a x m 舾s 棚u p i d ( z ) i ) ，如p 2o o 下构成一个b a n a c h 空间，我们称它为s o b o l e v 空间有时我们也采用半范 数 口l 。，p ，n = ( 1 , , 吾m f ni d v l p d x ) ；，如1 p o o 邮2 怍m a m x e s s s 锄u p i d n u ( z ) i ，如p2 对于舻上每个函数口，记 并称之为函数口的支集( s u p p o r t ) 记 d ( q ) = t ，：s u p p ( v ) cq 紧，t ，c ( q ) d ( s 2 ) 按范数i 。，p ，n 的闭包记为，：；，l ，p ( q ) ，显然 v 昭巾( q ) cw m 巾( q ) 一般，w 伊p ( q ) 是w 哪( q ) 的一个真闭子空间，记 6 非线性薛定谔泊松方程解的存在性 日仇( q ) = w m , 2 ( q ) ， 卯( q ) = 町2 ( q ) i m ，n = i 邮ml f m ，n = l i m ，2 ，n ，于是日m ( q ) 依范数l 。，n 构成一个 h i l b e r t 空间，叼( q ) 为其闭子空间 为简便计，我们有时将以上空间中的范数，半范数简记为 i i m ，p ，i i m , p ，0 0 。，i l m 2 2 s o b o l e v 嵌入定理及山路引理 s o b o l e v 嵌入定理是s o b o l e v 空间中最重要的定理之一，其证明可参见 文献 1 8 】 定义如果1 p n ，p 的s o b o l e v 共轭是 矿：= 而n p 即 刍= ；1 一元1 ，d p 一= t j ) 矿p n 定理2 1 假设1 p 佗，存在常数c ，依赖p 和n ，对所有t q ( 形) ， 有 i l u l l s , ( 彤) c l i d 让l i p ( 舻) 定理2 2uc 彤是有界开集，a u 是c 1 的假设1 p 几，u w 1 p ( u ) ， 那么缸l p ( u ) ，有估计 i 矿( u ) c l l u l l w t ，p ( ， 其中常数c 仅依赖于p ，n 及u 7 硕士学位论文 定理2 3uc 舻是有界开集，对一些1 p n ，假设u 耐巾( u ) ，那么 有估计 i l u l l l 。( u ) c l i d u l i p c u ) 其中q 【1 ，p + 】，常数c 仅依赖于p ，g ，佗及u 定理2 4 假设竹p o o ，那么存在常数c 仅依赖于p ，n ，对所有 u c 1 ( 舻) ，使得 l l u l l c o ，( j p ) c l l u l l w - ，( j p ) ， 其中7 ：= 1 一； 定义让。是给定函数让的等价，只要几乎处处u = u 定理2 5uc 舻是有界开集，a u 是c 1 的假设礼 p o 。，“w 1 p ( u ) ， 那么钆存在一个等价钍+ 伊，1 ( 口) ，7 = 1 一詈，估计 i l u l l 伊，( 疗) c l l u l l w l 。，缈) ， 其中常数c 仅依赖于p ，佗及u 定理2 6uc 舻是有界开集，o u 是c 1 有界的假设t w k , p ( u ) ， ( 1 ) 如果k 苗，那么u c k - 瞎卜1 ，7 ( 痧) ，其中 我们有估计 7 = 菩】? f 一；善鼍至 u o c k 一【詈卜- ，( d ) c l l u l l w t ，( 【，) 8 非线性薛定谔泊松方程解的存在性 称上述不等式中的常数c 为嵌入常数 注：在【3 3 】中有嵌入定理： 1 日1 ( r ) ql 口( 冗) ，2 g 0 0 ，n = 1 ，2 ， 日1 ( r ) ) ql q ( r ) ，2 q r 及 b i n ：f ，妒( 让) 删 州 那么，对每一个e 0 ，存在缸x ，使得 其中c - 7 i n f 。m 州a x 妒( y ( t ) ) 及r ：= 7 c ( 【o ，1 】，x ) ：，y ( o ) = o ，y ( 1 ) = e ) 定义 3 3 1 设x 是一个b a n a c h 空间，妒c 1 ，冗) ，c r ，如果对任意序 列( ) x 有一个收敛子列，使得妒( 让n ) 一c ，( ) _ 0 那么称函数妒 满足( p s ) 。条件 硕士学位论文 定理2 8 1 3 3 在定理2 7 的假设条件下，如果妒满足( p s ) 。条件，那么c 是妒的f 临界值 1 0 非线性薛定谔泊松方程解的存在性 2 3 集中紧性原理和基态解 本节讲述p l l i o n s 2 4 】的集中紧性原理，它是研究具临界指数的拟 线性椭圆方程边值问题的重要工具 定义设序列 u 膏) cl 1 ( 舻) ，且扎j c 0 ，n e 在形中，肛是r n 上的测度 如果 厶圣缸七如一厶圣咖，l ( 钟) n c ( 舻) ， 则称序列u 弱收敛于测度p ，记为让七一p 引理2 9 假设是形中概率测度的一个序列：，z m 0 ，厶d = 1 那 么存在一个子序列满足下列条件之一： ( 1 ) ( 紧性) 存在一序列z 。c 舻，对任意 0 ，有一适当的r 0 ，使得 厶，咖剖一 对所有m 成立 ( 2 ) ( 消失性) 对所有r 0 ，有 l i r a ( s u p |a 阻 = 0 e r & - - - o oz 舻，如任) ( 3 ) ( 二分性) 存在常数a ，0 0 ，具有以下陛 质的序列( z m ) ：给出r r ，存在非负测度p 毛，p 象满足： 证明参见 2 4 】 0 p l + p 象p m ， s u p ( u l ) cb r ( x m ) ，s u p ( u l ) cr n ( z m ) ， l i m s u p ( i a 一d p 毛i + l ( 1 一入) 一d u l l ) 5 t r z - , o o ，t 0 j r ，i 硕士学位论文 对乱舒( q ) ，k l ，p 1 ，假设d 幻是c 护( q ) 按下面范数的完备化， p i 三上刚p 如， 切 佗 通过s o b o l e v 嵌入，d 钿q 口( q ) ，其中q 1 = ；1 一鲁，以及存在常数s = s ( k ，佗，p ) ，对所有的让d k , p 使得 s l l u l l 2 。i l u l l 刍如 证明参见f 2 4 】 引理2 1 0 给定k n , p 1 ，k p 0 满足： 那么有 特别地，( u ) ： o o j e j 证明请看【2 4 】 s ( o ) ) ：p o ) ，z p i v 七u l p 如+ p d 嘶 j e j 集中紧性原理给定k n , p 1 ，k p 0 ，对任意的u h 1 ( 舻) ，使得如i v u l 2 + y ( z ) 饥2 训让1 1 2 ( k 1 ) g ( x ) 三c 因为g ( x ) 有界，由h s l d e r 不等式及s o b o l e v 不等式有下面不等式成立： 厶脚) q v d x 0 ，圣t u = 护圣。； ( i v ) 对任意0 0 ，u o ( x ) = o ：u ( e z ) ，贝0 西嘶( z ) = 0 2 口一2 圣u ( 口z ) ； ( ) 对r 3 中的任意可测集q ，厶西u u q d x = 矗岛型址管群业由出 证明：( i ) v v d 1 , 2 ( 舻) ，定义t ( v ) = 岛k ( x ) l u l q v d x 可知 心k l u l q v d x c ( 尽( k ( z ) ) i 6 d z 刚5 ul | d 1 。( 舻) ， 于是存在唯一的叫叫= 吼，使得讹d 1 , 2 ( r 3 ) ，石v 西。v v d x = 扇k ( x ) l u l 9 v d x 且有 一圣。= k ( x ) l u l q ，圣口( z ) = b 丝警鼍产d y 所以 l i 吼临。( r 3 ) = t ( 圣u ) 又因为 t ( 垂。) c 式p g ( j r a c l l u l l l 5 k ( z ) i u l a ) $ d x ) $ 1 1 西让0d 1 ： i 乱i 。) 如) 钏圣ui l d 。，。 圣。l l d l ，z 所以i i 西u | l d l z e l l 让峰 厶k ( z ) 西u d x e l lui | 善| i 西u 忆c 降 ( 既) 因为圣u ( z ) = 岛型咎铲妇，k 0 ，所以吼0 ( i i i ) 对任意t o ，圣抛= 尽塑铲由= 伊圣u ( i v ) 因为坳( z ) = e 2 u ( e z ) ，所以 西坳( z ) = 岛班铲句= 岛班铲却= 0 2 q - 2 西u ( 触) ( u ) 易得 引理3 2 考虑算子圣：h i ( r 3 ) _ d 1 ，2 ( 帮) ，西m = 西。，即圣是方程 一西u = k ( x ) l u l q 在d 1 , 2 ( r 3 ) 上的解，设是一个序列，在日1 ( r 3 ) 上，一u ， 且在口中，一u ( p 2 ) ，那么在d 1 ，2 ( 萨) 上，西 让一一西m ，且 厶k ( 。) 圣【缸n 】i 札n 1 4 如_ f r 3k ( x ) h u l u l 。d x 证明：定义线性算子死，t ：d - ，2 一r 瓦v ) = k ( x ) v l u n l 9 d x ，t ( v ) = k ( z ) v l u l 9 d x j 静j 静 硕士学位论文 因为g ( x ) 三o 。，且k ( x ) 0 ，在日1 中，牡njt ；在驴中，u 竹一t 白 2 ) ，所 以由s o b o l e v 嵌入知，在g 中，k ( z ) i 札。l 口一k ( x ) l u l q i ( 臼) 一t ( v ) l 【( i k ( x ) l u n l 口一k ( x ) l u l 。1 5 ) d x 6 ( u 6 如) _ 0 j 静j 璎 所以在d 1 ，2 中，西阻n j 一圣m ，在驴中，西【】一西( u j 又在l 2 中，g l u 。q k ( x ) l u l q ，所以岛k ( z ) 西【u 。】l u n i q d x 一如k ( x ) 西 u l l u l q d x 由上述性质，引出本章的主要结果： 定理3 3 如果kk 是正常数，； o ，对任意u h 1 ( 舒) ，存在q l o ，0 ：2 0 ，满足k ( z ) 缸2 d xs f n 3 ( 口1 酬2 + 喇2 ) 如，k 酱( z ) = o 定理3 6 如果y 满足( v 1 ) 一( v 3 ) ，k 为正常数焉 0 ，使得叼， 而且k 2 m a x i ( u o ) ； ( i t ) 存在一个正常数c ，使得对所有的u ，i iui i 升1 c ； ( 娴是j 的自然约束，即，1 名的每个极值点是，的极值点 】9 硕士学位论文 由引理3 8 中的( i t t ) ，我们找上，的极值点为此我们不妨定义映 射9 ：日1 ( 舻) o 卜_ 皿，使得对v u h 1 ( 钟) ，u # o ，j ( 牡日( 缸) ) = m ，2 a u x x ( 坳) 由引理3 8 中的( i ) ，知定义是合理的 设”9 i n r f 呲m a x l 】地( 吼c 22 。i n f 。m 口之a 。xj ( 锄) ， c 3 _ u i n 彳fm ) ； 其中 r = 伯c ( 【o ，l 】，h 1 ( 帮) ) lg ( o ) = 0 ，j ( 夕( 1 ) ) o ，g ( 1 ) o ( 3 - 4 ) 引理3 9 1 3 】c ：= c 1 = c 2 = c a 成立，且c 0 证明：根据引理3 8 的( i ) 和i iuj j 足够小，有 v u l 2 + 互1u 2 + 旦2 q 酬l 籍川舛1 1 2 - - c o 籍旷1 。 所以 伪v u l 2 + 互1 珏2 + 扣卵 厶籍i 卵+ 1 其他类似【1 3 】中的命题3 1 1 证明，易知结论成立 注3 m 3 】由引理3 8 的( 嘲和注3 7 ，得到：如果札，使得x ( u ) = c ， 那么( 让，圣u ) 是p 1 ) 的基态解 有了这些引理，现在来证明定理3 3 设u nc ，使得 l i m i ( u n ) = c ( 3 - 5 ) 其中c 是引理3 9 中的c 我们定义泛函j ：h 1 ( 萨) 一i t ，j ( u ) = 厶( 器l v 让1 2 + 器舻+ 菇南圣让m g ) 如 对任意钍，c ( u ) = 0 ， 讹h = 南3 1 v u l 2 + 扣| 口- 茅川p + 1 ) d x = 南g _ o 所以i ( u ) = j ( 铭) 2 0 非线性薛定谔泊松方程解的存在性 又因为引理3 1 中的( 蛾z ( u ) = j ( u ) o ； 由( 3 - 5 ) 推出在h 1 ( 钟) 上有界，所以存在面h 1 ( 舻) ，使得在日1 ( 斧) 上弱收敛到瓦，记为仳。一面；设bcr 3 有界，则在妒( b ) 中有 心n 一西，1 p 0 1 i m c s u pf s ，( e ) d k = o ； ， 2 ) 二分性：存在常数6 ( 0 ，c ) ，两个序列) 和( ) ，当h _ + o 。，对于两 个非负测度1 和k 2 ，有 0 k 1 + k 2 坛，k 1 ( 舻) _ 舀，k 2 ( 舻) _ c 一6 s u p p w 1 ) cb h ) ，s 唧( k 2 ) c 铲b 2 ，。) ； 3 ) 紧性：在常中，存在序列) 有下面性质：对任意石 0 ，存在r = r ( 6 ) 0 ， 使得 厶，嗽c 即厶，。健。) d k 0 ， 1 i r as u p s r 任，砒= 。 硕士学位论文 特别，推导出存在f 0 使得 l i ms u p 缸n 2 = 0 n j 护，b f 岱) 吲避3 淼2 1 2 蔼1 l 靠? 假设成立，即存在常数6 ，两个序列) 和( h ) ，当r n _ + o o 时，两个非 0 k 1 + k 2 k ，k 1 ( 铲) _ 6 ，k 2 ( 臂) _ c 一6 ； s u p p ( v 1 ) c 耳。) ，s u p p ( v 2 ) cr 3 b 2 h ( f n ) 设p n c 1 ( 冗3 ) ，在瓦) 中，风兰1 ，在舻b 2 h ( n ) 上，肌三0 ，在) ( 厶) 上，0 风1 ，且i v p i 妾 设k ：= 砌t n ，= ( 1 一肌) 因为 弧) = 乞并甲+ 印p - 1u 2 - - ：2 ( i 助o - 1 ) 2 = , ：, + 厶【并i v ( 圳1 2 + 舄砰+ 舄酬恤 易知l i n m i n f j ( v ) 6 2 2 非线性薛定谔泊松方程解的存在性 同理 j ( 眠) = 厶，。) 丽p - 2l v ( 1 一眼) 心n 1 2 + 磊昌( 1 加) 2 也露2 ) 出 + 厶赫一1 刊2 l 训弘+ 厶舶，( 景i v 蚶 + 而p - 1 珏n 2 + 丽p - 2 划1 9 ) 如 易知警i n f j ( w ) c 一否 即l i 。m i n f j ( v , t ) 己l i 。m i n f j ( w ) c - 6 而且，l t n = ( 靠) ) ，有( q n ) 一0 ， 即 上。( 舄i v 计i + 舄t t n 2 j r 丽p - 习2 叫蚶) d x 0 ( 扎一吼 ( ( 1 w 。1 2 + 2 ) 如_ 0 ，_ ) ， ，n n 上。西一1 9 如_ 。，( 佗一o o ) ( 3 - s ) 所以 ( i v v 1 2 + k 2 ) 如= ( i 耶n 珏。1 2 + 缸n ) 2 ) 如 ，n n，n 订 = ( i v p 1 2 乱n 2 + 2 v p u n v u , , p n + 肌2 t n 2 ) 如 ，n 上。( 毒2 + i v 1 2 + 磊4 u n v + 2 ) d x - * 。_ o 。) ( 扎_ 。o ，毒_ 0 ，i iu ni i 有界) 同理，当n _ 0 0 ，如。( i v w 1 2 + 巩2 ) _ 0 因此，可以推出 厶( i v 1 2 + 2 ) 如= l ( i v y 1 2 + 碥2 + 厶( j v 1 2 + 眠2 ) 如+ d ( 1 ) ，( 3 - 9 ) 厶i u n p + l d x - - 厶i v y i 舛1 如+ w i 计1 如+ 。( 1 ) ，( 3 - 1 0 ) 硕士学位论文 而且，由引理3 1 的( i v ) 和( 3 - 8 ) ，有 厶西口出= 厶由吲。如+ 厶西w i w 1 9 如+ 2 厶。背d 可出+ m ， 西k i k l 9 d x + c w i w 1 9 d x + o ( 1 ) ( 3 - 1 1 ) 因此，由( 3 - 2 ) 和( 3 - 8 ) ，得到 j ( u n ) j ( k ) + j ( ) + d ( 1 ) 那么 c = l i mj ( u n ) l i m i n f 了( ) + l i m i n f 歹( 眠) 石+ ( c 一萄= c ， nnn 所以 l i m 了( ) = 毛l i m 了( ) = c 一芒 再由泛函g 的定义：日1 ( 辟) _ r ， g ( 让) = v u l 2 + 互1 2 + 面3 西。i u l 9 一坚p + l i 让i 舛1 ) 如 如果u ，那么c ( u ) = 0 ，由( 3 - 1 1 ) ，( 3 - o ) 与( 3 - 1 0 ) 于是有 0 = g ( ) g ( k ) + g ( ) + d n ( 1 ) ( 3 - 1 2 ) ( 3 - 1 3 ) 由引理3 8 ，对任意n 1 ，j 以 0 使得( k ) 口。，那么g ( ) 一。】_ 0 其中 ( k ) 。为k 的一个子序列， 即 厶( 兰仰iv 1 2 + 三竹舢妒6 圣i v i 呐= 厶( 籍矿2 i v i 州 ( 3 - 1 4 ) 于是我们必须分三种情况讨论： 第一种：存在子列，不妨设子列就为k ，使得g ( k ) 0 由( 3 - 4 ) ，有 厶( 耋( 02 p - 2 _ 以2 ) i v k l 2 + i t 。a n 2 p - 2 1 ) k 2 + 杀( 以妒2 一以4 口6 ) 西i y i 叮) 出。 2 4 非线性薛定谔泊松方程解的存在性 所以0 0 由，暗含着g ( 碥) = ( 1 ) ，且g ( ) = ( 1 ) 如果如1 + ( 1 ) ，可像第一种 情况讨论，得出矛盾 假设l i 。r a 8 = 0 1 呻) - g ( k ) = 厶( 罢l v v 1 2 + 丢孵画3 划坩一等吲州) 如 = 厶( 妒击胛咄+ 互1 ( 1 一酽1 ) v n 2 ) d x + 厶( 云( 1 一南陬嗍缸 所以在h ( r 3 ) 上，_ 0 ，这与( 3 - 1 2 ) 矛盾 从而紧性成立 定理3 3 的证明：设( 乱n ) 是中的序列，使得l i 。r a ，( u n ) = c 成立如定 义测度k 由引理3 1 1 ，在钟中，存在序列) ，有以下性质： 对任意6 0 ，b r = r ( 6 ) 0 ，使得： 厶署m “印p - 一1 上u 2 + 而p - - 面2 叫如 0 ，3 r = r ( 6 ) 0 ，使得，对任意n 1 ， k l | 日1 ( 西c ) 正 ( 3 - 1 6 ) 所以k 在h 1 ( b r c ) 上一致有界 因为( 3 - 1 6 ) ，k 在日1 ( 辟) 上有界，所以存在序列( k ) ，v h 1 ( 舻) 使得 在日1 ( 冗3 ) 中，k 弱收敛到矿， k 一一v ( 3 - 1 7 ) 在妒( b ) 中， k _ 矿，bcr 3 ，1 p 6 ( 3 - 1 8 ) 由( 3 1 6 ) ，( 3 1 7 ) 与( 3 - 1 8 ) ，2 0 ，使得对v n 1 足够 大，有 0k 一矿0 l p ( 舻) 0k vi i l - ( 屏) + 0k 一矿i i l ，( b ；c ) j + c ( 0k 1 1 日- ( b ；) + | iy1 1 日( 研c ) ( 1 + 2 c ) 6 其中c 0 为h 1 ( b r 。) q 妒( 研。) 的嵌入系数，可以推出 在汐( r 3 ) 上， k _ y ，v p ( 2 ，6 )( 3 - 1 9 ) 因为从l 譬( 席) 嵌入到d 1 , 2 ( 萨) 中，圣是连续的，由( 3 - 1 9 ) 和引理3 2 ，当 扎_ ，有 圣_ 西矿，c v i v 1 9 d x _ 峙l 矿1 9 d x ( 3 - 2 0 ) j r 3j r 3 因为( k ) 在上，由引理3 8 的( 1 1 ) ( 0k 0 p + 。) 有正下界，所以由( 3 - 1 9 ) 知 一v 0 参见【3 】中定理3 2 的第四步，由( 3 - 1 9 ) 和( 3 - 2 0 ) ，可以证明在日1 ( 帮) 中，k 一矿，使得v ，( 一) = c 又由注3 1 0 ，所以( 矿，峙) 是( 3 - 1 ) 的基态解 非线性薛定谔泊松方程解的存在性 3 3 y 为非常数位势k 为正常数情形 这里，我们假设位势y 满足( y l 一矿3 ) ，k 满足( k 1 ) ，p ( 3 ，5 ) ，q ( 1 ，2 】 为了找到泛函( 3 - 3 ) 的最小值，我们将泛函( 孓3 ) 限制在n e h a r i 流形上， = “h 1 ( 斧) o ) l 否( 缸) = o ) ， 其中否( 让) = 厶( i v u l 2 + v ( x ) u 2 + ；k ( x ) v u i 训a i u l p + 1 ) 如 下面的引理描述n e h a r i 流形的一些性质： 引理3 1 2 1 1 】( 1 ) 对任意u 0 ，存在唯一的i 0 ，使得玩， ) = m 。2 a u xi ( t 缸) ； ( 2 ) 存在一个正常数c ，使得对所有缸，i lui i p + ，c ； ( a ) j f 是c 1 流形 因为n e h a r i 流形是泛函j 的自然约束，因此找泛函j 的极值点可 以限制在上 考虑此问题，我们定义： 印。i n fj ( 乱) 使，( 西) = c y ，从中推出( 面，圣西) 是p 1 ) 的基态解 我们引用一些预备引理【1 】 由引理3 1 2 ，定义映射t ：h 1 ( 舻) 0 _ 墨，使得对任意u h 1 ( 舻) ，u o ，邢( 牡) u ) = m 晓a o xm u ) 引理3 1 3 等式印2 9 i n q ft l m u l a x ji ( g ( t ) ) = i n ，fm 一 o a 6 xi ( t 乱) 成立， 其中，r = 夕c ( 【o ，l 】，日1 ( 印) ) lg ( o ) = 0 ，( 夕( 1 ) ) o ，g ( 1 ) o ) 引理3 1 4 设u n h 1 ( r 3 ) ，n 1 ，使得i i i i c 0 ，m a s x i ( t 乱n ) c v + 如，矗_ o + 那么，存在序列( 铷) c 舻及两个正数冗，p 0 ，使得 l i n mi n f ：s r ( 珈) m 2 如 p 2 7 硕士学位论文 引理3 1 5 设( 让n ) ch 1 ( 舻) ，i i t ，ii i = 1 ，当礼_ 时，t ( t ( u nu n ) = m 。，a u xi ( t ( u ) ) _ c v ，那么在r 上，序列( t ( 乱n ) ) c 耳存在一个有界序列 引理3 1 6 假设kk l o o ，对任意n 1 ，如果在l ( 舻) 上k _ y ，那 么c _ c v 现在定义：k ( 让) ：= 互1 厶( i v u l 2 + 比珏2 ) 如+ 刍f r 3k 西。d