（基础数学专业论文）几类微分方程的定性研究.pdf

摘要 本硕士论文由四章组成，讨论四阶边值问题正解的存在性，二阶非线性中 立型时滞微分方程周期解的存在性，二阶非线性泛函微分方程解的振动性。 第一章讲述本文的研究背景，发展趋势及本文所需的一些预备知识。 第二章讨论一类二阶非线性中立型时滞微分方程 陋( t ) + 。0 一r ) ”= ，扣( 亡一n ) ，z 0 髓) ) + p ( t ) 周期解的存在性，利用m a w h i n 连续定理，得到了这类方程周期解存在的若干 充分条件。 第三章讨论一类四阶边值问题 ( 4 ) ( t ) = ，( t ，掣( ) ) ( o ) = ”( 1 ) = 旷( o ) = 旷( 1 ) = o 正解的存在性，利用范数形式的锥拉伸与压缩不动点定理，得到了其正解存 在的若干充分条件。 第四章讨论二阶非线性泛函微分方程 ( r ( t ) 皿( z ( t ) ) 。( t ) ) + f 0 ，。( t ) ，z ( r ( t ) ) ，z ( t ) ，。( t ( t ) ) ) = o 及 ( r ( t ) 皿( 。( t ) ) 卫( t ) ) + p ( t ) z ( t ) + f ( t ，z ( t ) ，嚣( r ( t ) ) ，嚣( t ) ，( 下( t ) ) ) = o 解的振动性，利用m c c a t i 变换原理，建立了其解振动的一系列充分条件。 关键词：时滞微分方程，泛函微分方程，不动点定理，连续定理 a b s t r a c t t h i sp 鑫p e 8 t 确i e s h ee x i s t e b 穗。fpe l i b d 主s 蕊畦t i 。猫| 3k i d 。fs e c 。n d 。r 程群鼓e 驻圭r a l d i f 粘r e n t i a l e q u a 七i o n ，t h e e x i s t e l l c e o f p o s i t i 懈8 0 1 u t i o s o f a f o u r t h - o r d e r b o u n d 盯y v a l u e p r o b k m a n dt h e0 8 c i l l 砒i o nf o rs e c o n do r d e r o i l l i n e 乳rd m r e n t i a le q l l a t i o n s 1 珏矗印e ro 黼 髓i 珏轾o d t l c e 强e 毯s o 帮瓣dd e v e l 。p 黼e h t 。f t ks u 毯e e ta n ds o 描el l 姥e s s a 够 p r e l i n l i n a 科h o w l e d g eo ft h i sp 印e r i nd h a p t e rt w o ，w ed i s c u s st h ef o n 洲i n gn o n l i i l e 甜n e u t r a ld e l a ye q u 毗幻n 每# + 奄。擘一f ) 】f ，= ，( 瑟一i ) ，# 抟一，2 ) ) + 箩 妁+ b y1 1 8 i n gt h em a w h i n sc o n t i n u a 土i o nt h m 1s e v e r 越s u m d e n tc o n d i t i o n sf 曲t h ee x i s t e n c eo f t h ee q u a t i o n 甜eg j v e n i n 西3 p t e rt h r e e ，稍a 聊l yt h ed e g 尊e et h e o r yt od ；s c u 8 8 强e 翻蝣蝴c e 妇p o s i i v e8 商n i o n 0 ft h en o n l i n e a rf o u r t h - o r d e rt w 0 - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b k m ( 4 】= ，( ，( 哟， g ( o ) = ( 1 ) = 矿( o ) = 圹( 1 ) = 0 ， a n ds o m es u 微c i e i l tc o d i t i o n sa t ee 8 t a b l i s h e d ， 强氇e 狲t 盛a p t e r ，黼i n v 龋t i 翳t e 稍c i 鞋a 主b 拄醅s o l 瓣泌e so f n do r d r 毪。热强毽e 嚣d 主f - f e r e n t i a le q u a t j o n p ( 站皿扫( t ) ) 。( ) ) + f ( t ，嚣p ) ，。盯( 够) ，一0 ) ，z ( r ( 亡) ) 一o a ”d ( r ( t ) 皿( z ( ) ) ( 亡) ) + p “) ( t ) + f ( 亡，z ( t ) ，搿( r ( t ) ) ，劣( t ) ，茹( r ( t ) ) = o s o m en e wc 蹿c i l l 矗t i v ee r i t e r i a 穗r e 豳t 蠢丑感 k e yw o r d s ：n e u t r a ld e l a ye q u a 毛洒蚍f 1 1 n c t i o n “d i 强蝴t i a le q u 如沁n ；矗：艟d - p o i n tt h r e m ； r c o n “d u a t j o nt h e o i 它m 。 i i 第一章绪论 1 1研究背景 众所周知，微分方程定性理论在几何学，力学，天文学，电子技术，核物 理，现代生物学，人工神经网络动力学以及经济学等技术领域中有着广泛的 应用。在很多情况下，泛函微分方程比常微分方程更能够精确地描述客观事 物的发展规律，因而受到国内外学者的高度重视。 在泛函微分方程的定性理论中，解的振动性，正解与周期解的存在性一直 是最重要的研究课题，目前已有大量文献。特别是最近二十余年中，众多数学 家对二，四阶泛函微分方程做了大量的定性研究工作，研究的方法也非常之 多，象文【1 1 4 2 】中利用非线性泛函方法研究正解及周期解的存在性，文【1 1 0 中通过构造算子研究了方程解的振动性。 非线性泛函分析是现代分析数学的一个重要的分支，它的丰富理论和先 进方法为解决当今科技领域中层出不穷的非线性问题提供了富有成效的理论 工具，在处理实际问题所对应的各种非线性积分方程，微分方程和偏微分方 程中发挥着不可替代的作用，国内许多著名的数学家，如张恭庆教授，陈文塬 教授，郭大均教授，孙经先教授，赵增勤教授等在这一领域都做过很深刻的工 作。国外一些著名的数学家，如e r d t h e ，m a k r a s o s d s k 吐ph 勋b i n o w i t z ，h a m a n ，k d e i m i g ，v l a k s h m i k a n t h m 等在这一领域也进行了深入的研究，并 做出了许多成果。而其中通过构造算子来研究微分方程的定性性质更是一种 重要的方法。 本文研究了几类微分方程的定性性质，得到了一些结果。这些结果有的是 新的，有的推广或改进了已有结果。 下面就本文研究的问题产生的历史背景及主要工作作一简要概述。 一二阶非线性中立型时滞微分方程周期解的存在性 时滞微分方程周期解在生态学和控制论等领域具有广泛应用，其研究具 有重要的理论与实际意义，近年来已有许多结果出现。文献 2 4 1 2 5 ，2 6 】中研究了 一阶中立型种群模型周期解的存在性，文阢2 8 ，2 9 】中研究了二阶中立型微分 硕士学位论文 方程，其中文献 2 5 讨论了一阶中立型方程 p ( t ) + 。0 一t ) = 9 l 睁( t ) ) + 9 2 ( z ( t 一丁1 ) ) + p ( t ) ( 1 1 1 ) 的周期解问题，得到了周期解存在性的结论。上述方程共同特点是方程非线 性项不含z 导数项。 本文第二章利用m a w h i n 连续定理讨论一类二阶非线性时滞中立型方程 陋( t ) + 七。0 一下) ”= ，( z ( t 一7 1 ) ，一( t 一亿) ) + p ( t ) ( 1 1 2 ) 周期解的存在性，其中下1 ，n 和您均为常数，且r o ：下l o ，丁2 o ， 1 ， g ( r 2 ，r ) ，p g ( 冗，兄) ，p o + t ) = p ( t ) 且口p ( t ) 出= o 这里非线性项，依赖于导函 数。此类问题的应用背景更为广泛。 二一类四阶边值问题正解的存在性 在一些模型中，由于实际意义的需要，往往要求探讨一类微分方程正解的 存在性。在这方面已发表了许多有代表性的论文 1 1 _ 2 3 关于弹性梁方程 可( 4 ) ( t ) = ，( ，3 ：，( t ) )( 1 1 3 ) 的研究，大多数是在以下边界条件： 暂( o ) = 曹( 1 ) = 可”( o ) = 掣”( 1 ) = o( 1 1 4 ) 可( o ) = 掣( 1 ) = 可”( 0 ) = 可”7 ( 1 ) = o( 1 1 5 ) 下得到的结果。对于上述的两类边值条件对应的方程均可以通过简单的变换， 转化为二阶方程组，故而研究二阶常微分方程组的一些方法可以挪用到对问 题( 1 1 3 ) 一( 1 1 4 ) 及( 1 1 3 ) ( 1 1 5 ) 的研究上去。 马如云在文 1 3 中讨论了在边值条件： y ( o ) = y ( 1 ) = ( o ) = ，( 1 ) = o( 1 1 6 ) 下的两端固定的梁问题，通过直接对( 4 ) = o 在( 1 1 6 ) 下的g r e e n 函数的研究， 并结合锥上的不动点定理，给出了问题( 1 1 3 ) ( 1 1 6 ) 的正解及多个正解的存 在性结果。我们的第三章受此文启发，利用此文中的方法研究( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) 问题正解的存在性，得到了一些新的结果。 2 几类微分方程的定性研究 兰一类二阶非线性泛函微分方程解的振动性。 g r a c e 和l a i 在文献【1 中研究了方程 ，( t ) + q ( t ) ，( z ( 9 ( t ) ) ) = o( 1 1 7 ) 和 茹”( t ) + p ( 亡) z ( 亡) + 口( ) ，( 。( 9 ( t ) ) ) = o( 1 1 8 ) 的解的振动性质，建立了以上两方程的几个振动性定理。本文通过账c a t i 变 换来讨论一类较为广泛的二阶非线性泛函微分方程 ( r “) 皿( z ( t ) ) z ( 亡) ) + f ( 亡，z ( t ) ，。( 下( ) ) ，z ( t ) ，z ( r 0 ) ) ) = o( 1 1 9 ) 及 ( r ( t ) m 0 ( t ) ) 一( t ) ) + p ( t ) z ( ) + f ( ，z ( t ) ，。盯( t ) ) ，。7 ( t ) ，。( r ( t ) ) ) = o( 1 1 1 0 ) 的解的振动性，获得了新的定理。 1 2预备知识 为了行文方便，我们给出有关微分方程解，解的振动性，周期解及正解存 在性的定义，以及拓扑度理论中著名的锥拉伸与压缩不动点引理，连续引理 等相关的基本知识。 定义1 2 1 我们称一个非平凡函数g ( t ) 为微分方程的一个解是指( t ) 满足 该方程。这个解振动是指它在某半直线+ o 。) 上有定义且零点集为无界集； 否则称它为非振动的。若方程的所有解振动，则称该方程是振动的。 定义1 2 2 我们称一个函数9 ( t ) 为微分方程的一个t 一周期解是指g ( t ) 满 足该方程且是t 周期的函数。 定义1 2 3 设x ，y 均为b a a c h 空间，考虑算子方程 工o = o 其中工：d ( l ) c x _ y 是一个线性算子，入 o ，1 ，：x - + y 是一个连续算子。 假如d i m k 目三= c o d i i m 五 + 。，i m 三是y 的闭子集，那么算子工叫做一个指标 为零的n e d h 0 1 m 算子。对于f h d h o l m 算子l 存在投影算子p ，q p ：x _ x ，0 ：y - + y 3 硕士学位论文 使得i m p = k e 吨jk e r 0 = i m l 。令岛= 工i d f l ) 。k 。r p 易证b 是可逆的，记其逆为 巧1 ：i m l _ d ( 三) n k e r p 。设ncx 为有界开子集，若q ( q ) 及圬1 ( j q ) ( 晓) ： 晓_ x 是紧的，则称在q 上是l 一紧的。 引理1 2 1 ( 范数形式的锥拉伸与压缩不动点定理) ，设n 。，n ：是e 中有界开 集，k 是e 中的锥，o 丽lcn 2 ，a ：k n ( - 2 q 1 ) - 全连续。如果 ( a ) 1 1 4 茁i | j | z | | ，v z k na n l ；| | a z i l2i l 。| | ，v 石k n a q 2 司 ( b ) f f 且。f f f f z f f ，b k k n a n 2 ；f f 4 z f f 芝f f 。f f ，v 嚣k n a q l ， 那么a 在k n ( 豆2 n 。) 中必有不动点。 引理1 2 2 ( m a w h i 连续定理) ，设x ，y 均为b a n a c h 空间，工：d ( 工) cx - y 是指标为零的m d h 0 1 m 算子，在x 中的有界开集n 的闭包菇上三一紧，又 假定 ( a ) 对任意a ( o ，1 ) 和$ a n n d o m l ，工( j + s ( t ) ) z a z ； ( b ) 对任意。a n n k e r 工，q 。o 且 d e g ( q 石，n n k e r 三，0 ) o 则方程上( “一s ( r ) ) 。= z 在d o m 三n 茹中至少有一解。 4 第二章一类二阶非线性中立型时滞微分方程周期解的存在性 2 1引言 时滞微分方程周期解在生态学和控制论等领域具有广泛应用，其研究具 有重要的理论与实际意义，近年来已有许多成果出现。文献【2 4 ，2 5 ，2 6 】中研究了 一阶中立型种群模型周期解的存在性，文【2 7 ，2 8 ，2 9 】中研究了二阶中立型微分 方程，其中文献 2 5 讨论了一阶中立型方程 k ( t ) + 七。0 一下) = 9 1 ( 石0 ) ) + 9 2 扛( 亡一丁1 ) ) + p 0 )( 2 1 t 1 ) 的周期解问题，得到了周期解存在性的若干结论。上述方程共同特点是方程 非线性项不含z 的导数项。 本章利用m a w l i n 连续定理讨论一类二阶非线性时滞中立型方程 陋( t ) + k z o f ) ”= ，0 ( 亡一丁1 ) ，$ 0 一亿) ) + p ( t ) ( 2 1 2 ) 周期解的存在性，其中r ，n 和匏均为常数，且r o ，丁12o ，吃o ， o 则方程( 2 1 2 ) 存在周期解。 在证明此定理之前先引入一个引理。 考虑方程 我们有 k ( t ) + k 茁( t t ) 】”= a ，扣0 一丁1 ) ，一( 亡一亿) ) + 却( t ) ，a ( o ，1 ) ( 2 3 1 ) 硕士学位论文 引理2 j 1 假设定理的条件成立，那么存在与a 无关的正数功( j ：o ，1 ，2 ) 使得对方程( 2 3 1 ) 的任一周期解z ( t ) 有 l g ( j ) ( t ) i 马， 0 j 列，j = o ，l ，2 ， 这里z ( o ) = z 。 证明对方程( 2 3 1 ) 两边同时从。到t 积分得 z r ，仕。一n ) ，z 7 0 一砣) ) 班= 。 故存在如使 ，( t o 一丁1 ) ，z ( o o 一丁) ) = 0 根据( 4 ) 必存在点f 【o ，卅使得 l z ( ) l 尬 又对任意t 【o ，叫有 坤) 刮卅z 州出 故由( 2 3 3 ) 有 f z ( 圳j z ( 驯+ z 矽( 驯出+ z 7 ( 驯d t 从而 恻i o m a x o g 2 功，设n ：= 协x zj j o ， 几类微分方程的定性研究 则存在s 使 陋( ) l o ， z 一7 1 ) ，( z 0 一n ) ，可) o ，( t 一7 1 ) ，) o 这与却使，( z ( q 一下1 ) ，z 协一亿) ) = o 矛盾。 对( 2 1 2 ) 式两边同时乘以z ( t ) 并从。到t 积分得 z t m ) 。( t ) 出+ 女上t 一r ) z ( t ) 出= z t z ( t ) ， 。一丁1 ) ，一( 一亿) ) 如+ z t z ( t ) p ( t ) 出 化简得 一f 以蝴一女上t 邶。一r ) 出= f 球) ，( 一吣z 乍一t 2 ) ) d t + f ) p ( 帅， 即有 故 一( t ) 训) 出= z t 小彬似咄z 讹刊肼小咖出 r 蚪f 邢州舳 上t 甩( m 墨z t 。陀( d d 亡+ z r l z ( 圳i p ( 圳疵( 2 3 1 9 ) 1 3 硕士学位论文 又因为 所以 则( 2 3 1 9 ) 式化为 。( t ) i 【。( s ) l + i ，。，o ) 砒i j 川p 班l m + 打仍磊 圳一+ 行厅磊 z t z 。( d t 1 l z 7 。心 ) d t + z 7 旧o ) i 出i l 。l i 。 外i p 州驯似+ 打仍磊) 所以口。2 ( t ) 出有界， 进而 即存在晶使 7 护( t ) 毗 ! ! 二竖! 二竺二璺 g ( r 0 ) ，s ) r ( s ) ( 1 一s ) 【2 s s 2 一( r 0 ) ) 2 二( 1 8 ) ( 2 s s 2 一( 下( 8 ) ) 2 ) 史二二号；掣( t t ) 2 ；( - 一句2 一 ( 1 一s 】2 t 一、 7 4 ” 5 ) o s t 7 - ( s ) 1 g ( t ，s ) g ( r ( s ) ，s ) 6 ) 0 s 下( s ) s t 1 ：! ! ! 二生堕二! 二塑 s ( 1 一r ( s ) ) 2 r ( s ) 一( 丁( s ) ) 2 一s 2 m 叫i n ；( 1 叫2 ) g 一( s ) ，s )s ( 1 一r ( s ) ) 2 r ( s ) 一( r ( s ) ) 2 一s 2 】 综上所述，对任何t ，s h 1 】，有 望二! 二兰 一 2 半= 一t 兰；( ，一t ) 。 一 24 、 揣禹冽，g ( r ( s ) ，s ) 一”叫 其中 a ( t ) = 曲 扭；( - 一冉 故结论( b ) 成立。 ( c ) 进一步由( 6 ) 知，当t ，i 时 砷) = 叫耘；( ，叫2 ) 击， 故性质( c ) 成立。由( 3 2 1 ) 及引理3 2 1 知 吲牡z 1 帮赫g ( r ，郴如) ) d s 冽刮俐，t 0 1 记 k = 如= 研o ，1 m 0 。鹬 ( 。) 扣忱 ( 3 删 显然k 是一个锥。 引理3 2 2f c 耳且f 全连续。 硕士学位论文 证明由r ( s ) 的定义知 妒圳z 1g ( 小) ，s ) 邝，小) ) d s 对任意的口( t ) k 有 茬皂f ( t ) = 塞鬯功( t ) z 1 g ( 如) ，( s ，( 枷d s 芝击j ( 1 g ( r ( “s ) ，( s ，( s ) ) d s = 击咿训， 于是 匙剐雌扣跳 又因为 g ( t ，s ) o ， 故 f k c x 另外由，连续并由a “e l a - a s c o l i 定理易证f 是全连续的。 3 3主要结果 定理3 3 1 假设存在两个正的常数 ，目使得 ，( z ，可) ! a a ， ( 。，g ) 0 ，1 0 ，a ，( 3 3 2 ) m ，口) 喊( 驯) ；，刍 击m _ ( 3 3 3 ) 其中4 = ( 詹g ( r ( s ) ，s ) d s ) ，b = ( 斥g ( ；，s ) d s ) 则方程至少有一个正解g ，使得 9 介于a 与q 之间 证明不妨设as ”( a q 可类似证明) ，取 则当g a n l 时，有 n 1 = 可七ll l 掣l i o ， 则有 垒塑，o + c 1 ：a ， 故存在充分小的a 1 o ，当。【0 ，1 】，9 0 ，刈时，有 ，忙，可) a 0 ， 2 1 硕士学位论文 存在充分大的d o ，使得当g d 时，有 ! 鱼堕盟，一。2 + ：a 目 对于f 可分为以下两种情形讨论： ( i ) ，( 。，) 有界 存在m o ，使得 ，( 。，) s 。 正 ( z ，) 0 ，1 】 0 ，。 取 址筹， 有 ，( z ，) 兰 扩= 4 2 ，( z ，) o ，1 x o ，o 。 ( i i ) ，( z ，口) 无界 存在充分大的如 6 ，使得 ，( 。，) ，( z ，a 2 ) a a 2 ，( 。，) o ，1 o ，。】 以上两种情况均满足定理3 3 1 中的条件( 3 3 2 ) ( 3 ) 假设= c 3 ( 6 4 b ，o 。 ，则，满足( 3 3 3 ) 证明( i ) 若c 3 = o 。，则自然有 6 4 b ( i i ) 若c 3 o o ，取e = c 3 6 4 b ，存在充分小的q 1 o ，使得 c 3 一e = 6 蛾 啬，o 。) 综合( i ) ，( i i ) 有 ，扛，掣) 6 4 b 可6 4 b 啬= b 卵1 ， ( z 川 ；，刍 啬，”，) c 0 ，1 器，。c ) ( 4 ) 假设，o = c 4 ( 6 蛆，。 ，则，满足( 3 3 3 ) 证明( i ) 若c 4 = 。，则自然有，0 6 4 b 2 2 几类微分方程的定性研究 ( i i ) 若c 4 o 。，取= c 4 6 蛆，存在充分小的啦 o ，使得 ，0 芝c 4 一= 6 4 b ， o ，”2 ) 综合( i ) ，( i i ) 有 ，o ，掣) 6 4 b 。甘6 4 b - 蠢= b 卵2 ， ( 删) 瞄 x 告q z ) c o 1 ) 由此可得以下推论： 推论3 3 1 设a ，b 如上所记，如果以下条件之一成立 ( o ) ，o = 。l 0 ，且) ，o 。= c 3 ( 6 4 b ，。】； ( 6 ) ，0 = c 4 ( 6 4 口，。】，o 。= c 2 o ，a ) 则边值问题( 3 1 1 ) 一( 3 1 2 ) 至少有一个正解。 推论3 3 2 设 ，b 如上所记，且 ( a 1 ) ，o 。= c 3 ，0 = c 4 ，c 3 ，q ( 6 4 b ， ； ( a 2 ) 存在” o 使得，( 。，) a 托( z ，f ) 【o ，l 】 0 ，州， 则边值问题( 3 1 1 ) 一( 3 1 2 ) 至少有两个正解。 证明由注3 3 2 的( 3 ) ，( 4 ) 知，存在两个实数轧q z 使 o q l ” 讹 且有 m ，v ) 们，( 哪) 【；，刍嗑训， m 剐徊，( 圳) 【；，挈【击啦州 故根据定理3 3 1 知边值问题( 3 1 1 ) 一( 3 1 2 ) 至少有两个正解9 1 ，驰，且有 q 1 1 1 1 1 1 ” w ( 删) 辅 矗矾 粼边谴闻题( 3 t l 。1 ) 一3 。1 2 ) 至少有掰个正解。 证明由注3 3 1 的( 1 ) ，( 2 ) 及( a 3 ) 知，存在两个实数a 1 ，a 2 ，使 o a l 露+ a 2 ， 凰有 ，( ，矿) 兰a 1 a ，( g ，蚰瞅1 】 o ， i 】， ，和，彩茎天2 a ，f 。，爹) e ，l 】羚， 2 】， 故依定理3 3 1 知边值问题( 3 1 1 ) 一( 3 1 2 ) 至少有两个正解蚍，珈，且有 孟l l l 爹 l l 霉 l l ；f 2 l l d d ，( 特别地1 i “拯，s 2 ，( 8 ，z ) f 一+ o c ) 则问题( 3 1 1 ) 一( 3 1 2 ) 至少存在一个正解。 证琵在弓 瑾3 ，3 i 申露证葫f ：掰斗噩是全连续静。 同样记 q ( ) = 妇k 洲 嗡 勰( i ) = k 阳鲥= 臻 定义实值函数 圣( 站2 。篓n 燃五g 鼬，f 凼 2 4 几类微分方程的定性研究 设 。 e = ；阻一面卅( 蜊 则存在o q c ，使得当o fsq 时，有 p “) s ( a e 】j 记 m 2 趱上g ( ，8 ) “( 8 ) 孤 现在如果o l m 设a n ( o ) ，则 | i 勖j j5 趱五g ( 。，8 ) 邝，f ( 5 ) ) 幽s 圣( 。) 。= 设触( 6 ) ，则 击。纠s ) 0 ， 0 6 4 d 有 i ”) ：( 叩) 均 扣】)m i n 【6 4 d + 胡”：” 击u ) 击【6 4 d “ = d + 击e ， j ， 面。m i n t ，( s ，”) ：( s ，”) ；，i 】 击f 7 f 】 j d + 击e 7 d 所证结论即可由条件( i ) 推出，证毕。 注3 3 2 我们用一个例子来说明定理3 3 2 是对定理3 ，3 1 的推广，设 ，( s ，f ) _ 8 血n 南，怕+ 8 j 2 ，( 叫) 吨1 】 0 ，+ 吼 我们取 n ( s ) = 了i 蛊专，c = ；，r = ，p 。) = s z 2 ， 几类微分方程的定性研究 贝0 当( 岛z ) 0 ，1 【o ，c 时，有 。 ，( s ，z ) ( s ) z2 押+ p ( z ) 直接计算容易得到 舰趱，( s ，2 ) 。2 + 。，舰 壁朋2 0 ， z 骧蹲m ，。) f _ + ”，熙 鸯m 朋2 慨 显然，既不是超线性，也不是次线性的，同时在零点与无穷远点处均不是渐近 线性的，故我们不能用定理3 3 1 来判断问题( 3 1 1 ) 一( 3 1 2 ) 正解的存在性，但 是它满足定理3 3 2 的条件，故根据定理3 3 2 问题( 3 1 1 ) 一( 3 1 2 ) 有一个正解。 第四章一类二阶非线性泛函微分方程解的振动性 4 1引言 g r a c e 和l a l i i 在文献 1 中研究了方程 。”( t ) + q ( t ) ，( 卫( g ( t ) ) ) = o ( 4 1 1 ) 和 z ”( t ) + p ( t ) 一( t ) + q ( t ) ，( z ( 9 ( t ) ) ) = o ( 4 1 2 ) 的解的振动性质，建立了以上两方程的几个振动性定理。本章通过m c c a t i 变 换来讨论较为广泛的二阶非线性泛函微分方程 ( r ( t ) 皿( 石0 ) ) 。( t ) ) + f ( t ，嚣0 ) ，z ( r 0 ) ) ，z ( t ) ，z ( 丁( t ) ) ) = o ( 4 1 3 ) 及 ( r ( t ) 皿( z ( t ) ) z ( t ) ) + p 0 ) z 7 ) + f ( t ，z ( t ) ，$ ( 丁( t ) ) ，茁( t ) ，z 7 ( t 0 ) ) ) = o ( 4 1 4 ) 的解的振动性，获得了新的定理。 本章假定： a 1 ：r g ( 。) ，b ，o 。) ) ，如，c o 均为正常数； a 2 ：p ，丁g ( t o ，o 。) ， o ，o 。) ) ，丁( t ) o ，1 i 矾_ + t ( t ) = 。； a 3 ：函数f ：。) 帮 冗连续，且。f ( t ，。，z ， ) 芝z “( t ) ( 。) ，2 ( ) 9 ( g ，) ； a 4 ：皿e 1 ( r ，( c 1 ，o 。) ) 且皿( t ) 1 肛，c l ，三为正常数。 其中函数u ， ，2 ，9 分别满足 “：，o c ) ( o ，+ 。) 连续，且对任意如，“( t ) o ，t m ，o 。) ；，l ：r r 连续， ( 。) h o ；，2 ：r 斗冗连续，2 ( ) 加也 o ；9 ：辟 冗连续， g ( z ， ) b 0 记 d o = ( t ，5 ) ： s 2 t o ) ，d = ( ( t ，5 ) ：t s t o ) 假设e g ( d ，咒) 满足条件： 2 8 几类微分方程的定性研究 当t t o 时：e ( t ，) = o ， 当( 如) 。时，e ( 如) o 且筹( 如) 连续非正。 4 2主要结果 定理4 2 1 假设条