（基础数学专业论文）具强非线性源退化抛物方程解的柯西问题.pdf

中文摘要 摘要 本文内容分为两部分第部分，利用新定义的范数f l l f l l l h 和( 厂 对方程 嘞= d i v ( 1 v u m l p 2 v l i ，i ) + 矸u 而q p 2 ，册 l ，q l o ，0 s r = r ( 0 ，t 1 0 1 ，口 l 的柯西问题非负非平凡整体解的不存在性在讨论中不依赖于初始迹 关键词：退化；非线性源；可解性问题 a b s t r a c t t h i sa r t i c l ei n c l u d e st w o p a r t s f i r s tw ec o n s i d e r 啦= d i v ( i v 矿r 2 v 矿) + 万喾杀p 2 ，m l ，q l ( 五d s r = r ( 0 ，刀0 t 2 ，小 l ，口 1 ( 1 1 1 ) ( 五f ) s r = r ( 0 ，t 10 1 ，口 1 口0 这种更具广泛意义的方程的柯西问题非负解在这里 我f 假求u o 为如a r ) 上的函数，或者甚至只要为约当测度pe p - - f 在这里我们 主要的讨论方法还是利用了文献【2 】和【1 3 1 下面我们先给出范数l l 们和慨的定义( 见【2 】) 设r ( - o o ，1 ) ，石r 。且 研( 曲= p r ：i x - ) i ( 1 + i x l ) 7 ( 1 1 2 ) 对于，如( r ) ，h 1 和0 r ，我们定义 i i i f l l l h 如= s u p ( 1 + 冈九f 坍严砌 ( 1 1 3 ) 其中五计匆= 矗厶扩删匆这里酗表示q 的l c b c s g u e 测度并且我们定义 参数b h 如下i 当 奇1 赤m ( p 1 ( 1 1 4 ) 一 ) 号，这里的妒为非负 若用 l h i r a 。j r r u ( 五t ) r g x ) d x = 上j 7 ( 曲咖 v ，7 础( r ) ( 1 2 6 ) 替代( 2 5 ) 式，其中p 为r 上的& - - 有限b o r e l 测度，则称m 为初始迹为 口( 五o ) = 坞 x r ( 1 2 7 ) 的( 1 1 1 ) 的弱解 本文中镌( 口l ，a 2 ，锄) 表示与a l , a 2 ，a n 有关的正常觌 2 1 解的枞 定理2 1 设口 m ( p 虹- 1 ) 韭- i 。u o o 且 i i l u o l l l h ( 1 2 8 ) 其中当日 苦( g m p 1 ) ) 则存在常数7 = 7 ( m ，p ，毋i i i ，口) 和满足 t o l l l l o i p 1 卜l + 露一盥必i l l o ；1 = r - 1 0 2 9 ) 具强非线性源退化抛物方程解的柯西问题 的t o ，使得对所有0 t 死，存在m 为( 1 2 1 ) 一( 1 2 2 ) 于s 上的弱解，并且 而对于 还成立 此处及下文 l l l u ( ，t ) l l l 1 a l l u o l l l ，v jer ， 善业矿硎n 妻 ( 1 + i x l ) 矗。7 u 。 。 ( 1 2 1 0 ) ( 1 2 1 1 ) v 均r ，p = ( “川，= a ( m 鬲( p - 丽1 ) - 一1 ) ， 肌q 1 ) 矿 m 一1 ) + 而1 ，( 1 2 1 2 ) ：ol ，i v 扩f d xd t s 矽1 一；一芈尸( s 叩r “瓴d 妫“掣 ( 1 2 1 3 ) o r tj ( 翔) 杨= ( m q 一1 ) 一1 ) + 肋， 并且7 还与o r 和k = 铆q 1 ) 一1 ) + p 有关 定理2 1 设口m ( p - d l 上- l ，l o or ( 1 2 1 4 ) 其中当留 参( 鼋一m p 一1 ) ) 则存在常数y = t ( n , m ，p ，日，h ，口) 和满足 死 l o ) p 1 卜l + 瓦一业鲁幽 l 0 汗1 = 7 - 1 ( 1 2 1 5 ) 的乃，使得椭0 t 死，存在口为( 1 2 1 ) 一( 1 2 2 ) 于s 而上的弱解，并且 比( ，o ) hsy ( 1 o h ，( 1 2 1 6 ) 6 具强非线性源退化抛物方程解的柯西问题 纂矿嚣( 1 l o 葶， p 一， 、一v ， ( 1 + 测) ；商f r ” ( 1 2 1 7 ) 、b 姆u l a x a t 1 一；一芈掣( 厂砧“力啪1 + 掣， (118)yts u p 2 i - _ 印( i 砧“力啪1 + 半， ( 1 o t i ) 有关，且 m ( p - 1 ) s 矿 朋p 1 ) + 丙石i 注2 1 定理2 1 的证明表明了其在如下情况下成立。 若1 q m ( p i ) + 导，u o 可以为r 上俨有限的b o m l 测度p ，且如果 a 嚣臼一m ( p 1 ) ) ，则存在常数 y o = 7 0 ( n , m ，p ，留，协使得只要初始迹满足 i l u o i i h 且n + l l u o l h 0 都存在解 定理2 3设 小q _ 1 ) 留 m ( p - 1 ) + 等， 口 p ( 1 2 1 9 ) 则( 1 1 ) 的柯西问题不存在非负非平凡整体正解 2 2 解的渐近性 7 具强非线性源退化抛物方程解的柯西问题 定理2 4 ( t 足够大) 设“为( 1 1 1 ) 于s r 上的非负非平脶解 1 当口 m q 1 ) ，则存在常数y = 认m ，p ，g ，口) 使得 对所有0 t t 并且 其中 “( ，t ) l l l l y l + ( r 一力 矗 ( 1 2 2 0 ) r 矿( y , t ) d t 洲州崩丁一枘 ( 1 2 m ) p = ( 1 + i 卅) ， a 咖( p 一1 ) 一1 ) 忙瓦矿烈g 1 ) 2 当口= 0 时，设1 1 ，则存在常数y = y ( n , m ，a 仍使得对所有的 o t t l - 7 ( t - 0 一d 两+ 丁譬“；( 0 ，d 1 ( 1 2 2 3 ) 从( 1 2 2 2 ) 我们可以得到下面的推论 推论2 1 设口= 0 ，1 口 m ( p 1 ) 。则c a u c h y ( 1 2 1 ) 一( 1 2 2 ) 不存在非负非平 凡整体解 时间较小时的渐近性以及锟估计 8 具强非线性源退化抛物方程解的柯西问题 定理2 5( f = 0 附近) 设口为( 1 1 1 ) 于s r 上的非负非平凡弱解，且设 a = m a x m ( p 1 ) ，留 ， l 口 m q 1 ) + 丙p ( 1 2 2 4 ) 若口 咿p ( q - i ) l 一) i ，则存在常数y = 州朋，办仍妨使得v o ， r 1 器s 7 t - 譬( 嘶s u p qi l l 必t ) 1 ) + 砜小比一川鼎( 1 2 2 5 ) 若口葡p 石f q 了- 河d ，则有甸生常数7 = y ( n , m ，p , q ，a ) 使得v o f z 1 羔sr t - 譬( 嘶s u p q ( 听圳f 似蒯纠鼎( 1 2 2 6 ) 这里我们假设( 1 2 2 5 ) ，( 1 2 2 6 ) 的右端都是有限的 注2 3 从定理2 5 的证明我们可以看出( 1 2 2 5 ) 的右端可以被替代为 s u p ( 1 + i x l ) - 弋弋u - t y , t ) d y d t f 孚 , i ：e r nd oj b d x ) 同样的( 1 2 2 6 ) 右边的积分也能被替代为 鬻矿鼎专b 地心帆 定理2 5 给出了解上产局部估计，同样也适用于t _ 0 时的渐近估计，这要求 ( 1 2 2 5 ) ，( 1 2 2 6 ) 的右边是有限的即可 综合上面的分析我们可得 推论2 2 设联为( 1 1 1 ) 于s r 上的非负弱解，当口 啦p ( q - l 卜i ) l 时，要求 肌q 1 ) 口 小p 1 ) + 蛋，则存在常数7 = 刷：m ，p ，毋口，d 使得帆r ， y o f 吾。有 “( 毛f 3 l y t - 譬( 1 + i x l ) 舟( 1 2 2 7 ) 9 具强非线性源退化抛物方程解的柯西问题 证明从( 1 2 2 1 ) 我们可得 s u p ( 1 + i 卅) 一暑r 皇f 矿o ，t ) d y d t c ( d 蕊 j ojb 黼 因此( 1 2 2 7 ) 可以从注2 3 和定理2 5 中得出 i l i 初始迹问题 定理2 6 设“为( 1 1 1 ) 于s r 上非负弱解设口 m ( p 一1 ) ，则存 在唯测度j l l 使得如下的依测度收敛成立 并且 3 1 主要估计 h ( ，1 3 l - p ，t 一0 ， ( 1 2 2 8 ) s u p ( 1 + 埔) 一者 fd l u l 冬( 1 + r 由) ( 1 2 2 9 ) 删 jb ，t 蚺 第三节定理2 1 的证明 我们首先给出些估计作为证明定理2 1 的基础 命题3 1 设0 t o o 。为( 1 1 1 ) 于s r 上的光滑非负弱下解对于固定的 h 1 ，存在仅与n , p ，q ，m ，h 枞常数y ，使得对每个( 勋) 和0 t r 只要 “( ，t l ，l x l l m 。( 觑p - l 加) - - ! 尸 - p + 蕊s u p ) 万丽u q - ! s r ife ( 0 f ) ，( 1 3 1 ) 就有 ( ，圳* 蛳，s 矿等( r 上二，l j i 出打) 舌， ( 1 3 2 ) 其中哂= n ( m ( p 一1 ) 一1 ) + p h 1 0 具强非线性源退化抛物方程解的柯西问题 命题3 2 在命题3 i 的条件下，又设 g ( f ) = s u p f h “f ) 出 o o ，( 1 3 3 ) 0 r t 如 则存在常数y = 州a 毋册，力，使得对锹b a o ( x o ) 0 f t 只要( 1 3 1 ) 成 蛆者 o r 0 ( 1 3 7 ) ” ，毛 。 二淖日 l | l k 卅l l u o l l l h ， ( u o h y ( 1 1 0 ， 口 0 ，卢( 0 ，1 ) 因此y t r 恶普 筹铲+ 器) 鳓x m 3 固 此处c ( 吣为仅与n 有关的常数再对取极限，则定理2 1 得证我们用m 和l i o 替代( 1 2 9 ) 一( 1 2 1 3 ) 和( 1 2 1 5 ) - ( 1 2 1 8 ) 的u n 和m 胁，这里要求y 与n 斌为 了书写方便将( 1 3 5 ) 一( 1 3 6 ) 的下标n 忽略 i 当口 0 由命题3 1 得对y h i ，存在与忍无 关的常数7 = ( 3 i , p , q , m ，j 1 1 ) 使得 i l u ( ，f ) i i 州r t - 等( 1 + ) 等( ，f 矿劬匆纠苦， 。，f ) 州i ( 1 + i 卅) 百( 千千l j i o ) 匆彦r ) 专， j0jb 肇t x ) 畅= ( 厅妇一i ) 一i ) + 加， v o t 将不：等式两端同除以( 1 + 冈) 盘。得 等矿氰l + m ) 舟fl 矿匆纠毒 ( 1 3 1 0 ) 设 认d = s u ps u ( ，d i l i ：， 则缈是有限的若鼋 警( q - m ( p 1 ) ) 从( 1 3 1 0 ) 可得v o 0 ：矿严州( f ) + 矗汹一惭1 旷1 ( 力6 l ， ( 1 3 1 2 ) 其中蝴一n ( q 一1 ) 0 ，因此v o t 1 ，n - - j 得, 丘u h ( y , t wd y 州 - 1 ) f 丘尹扩i ) ( p - 1 ) + t - - 2 帆r 方打 s l 瑶( ) ，炉咖+ 加r 丘扩壮1 陬p 1 w 纩1 匆打 柏j 厶品匆妣 因此由y o u n g 不等式可得 地f ) 由sl 舳匆+ 7 j 厂o 丘扩帅1 匆打j 易( j 睁j 而删 j o r ) 竹rl 茄毋机( 1 3 1 3 ， 注意到p = ( 1 + 冈) r ，= 鬻等 i ，则存在常数7 = 饥m ，p ，g 使得坛r ) ，e ( 力 厂1 ( 1 + l 司) si + i 纠y ( 1 + 1 1 4 ) 将f 1 3 1 3 ) 两沩同除以n + m 1 一鲁一，利用f 1 3 1 nf 】3 1 2 ) 可得v f 广) 1 3 具强非线性源退化抛物方程解的柯西问题 ( 1 + i x l ) 一舞 f ：，u h f y , t ) d ys ( 1 + i 卅) 一舞仁d y jb 舳j 竹s u ps u p ( 1 + i x l ) - 籍 f u h ( y , r ) d y 取r r 难r j 段p r r 半产砂掣( 力打+ r r 掣砂掣e 叫 s 卅喷+ w 嚣认力( 1 3 1 4 ) 若h = 1 由命题3 2 得 f b p t z ) u 魄力匆sl 蜘劬咖+ y fl 黜v 竹l ( 1 州肭打 + 、熹由舐 f u o ( y ) a y + y ( 1 + i x l ) - ，砖 j 岛文蔚 (s叩l州炉掣+j|l蔫咖缸(13150rt - i - ) ，b 肇西 j oj o 抽i li 习尸 ( 1 + 冈) 一寺j - 口( ) ，d 匆畎1 + ) 一螽j f 乏u o f y ) a y j b p 懈 j + 7s u ps u p l , 0 r t 蚝r n 惭击l 删叫 j 蝌j p 缈掣+ rr 掣缈掣q 卅l l l l o i l l ：+ 市 以d ( 1 3 1 6 ) 由( 1 3 1 4 ) ( 1 3 1 6 ) 知可取适当的艿= 6 ( m ，p , q , n , h ，口，) 使得 认f ) sy l l l u o l l l ：v o t 广 ( 1 3 1 7 ) 1 4 具强非线性源退化抛物方程解的柯西问题 这里广与上面给出的定义致将( 1 3 1 7 ) 带入( 1 3 1 2 ) 的广定义中，则广可取到 更小的值如果( 1 3 1 7 ) 成立，对于0 t t o 的死是 t o l l l u o i p 1 卜l + 矗一她唔蛐l l l o o f l = y - i 的最小僮，此处常数y = 硬坍，p ，鼋，n , h ，口，忉将( 1 3 1 7 ) 代入( 1 3 1 1 ) 可得( 1 2 1 1 ) 而( 1 2 1 3 ) 式可由命题3 2 获得 当口而p ( 可q - - 河1 ) ，设i 为使( 1 3 9 ) 成立的最大时间，此处在( 1 3 9 ) 式中 p 1 觥x = o 且用= i ) ，i 劲 储( 力由命题3 1 僦与n 无关常数 y = 砌，鼋，j i l ，m ) 使得 i l u ( 洲i 蚺 等( g m ( p 1 ) ) 且 i l u o l h i x + i l u 0 1 1 h 且x 0 ( 1 4 2 ) 成立，再结合【6 】中讨论的紧性，就可得到整体解的存在性此处为( 1 3 5 ) - ( 1 3 6 ) 的解，且满足 u o , c 芋( r ) l l l l i 嘶l i n i l u o l l l i x ，n l 锄i l ，r ：i l u o l l j i i 和 一u o l h i x ，l l 一u o l l 蠊x - 0 伽一c o ) 要证( 1 4 2 ) 式，先证下面的引理 引理4 1 对任何s 1 ( ，纠l 丘a 哟( 1 4 3 ) 证设手为上的截断函数，0 手s1 ，并且工b 0 2 p0 【 ，1 ) ，f = 1 ， i 吲 y ( 1 一d 一1 矿1 利用( 1 3 1 5 ) 蝴 l 毗r 垮出丘呦雠出 + ：ol d ：1 “出打堋一d - l p - l t ：毗丘毗d 砂掣 1 6 具强非线性源退化抛物方程解的柯西问题 丘l o ( x ) 6 d x + a 堋一矿反恶丘“伉d 鳓卜最 删f 丘蟛出妣 ( 1 4 4 ) 其中 厶以瓴眦剑圳c ( n ) p n ， 由g r o n w a l l 引理得 l “瓴嘴出) 丘l o ( 曲出+ a l 堋一矿s u p ( j f u ( 五d 棚1 _ 】5 ； 所以 。s u , l “似哆出厶的c 曲出+ 三恶丘口“d 打 + c m ，t k l 一国一警 因此由【g ，p 1 6 1 , l e m m a3 1 】，我们可得 让p 0 0 。则 。s u pf = h 瓴f ) 出a n ) ( = ( x , o d x + 1 ) o ( 删j j l h ( ，d i l l r = c ( n x i l u o ( ，t ) l h z , , + 1 ) 黼i l u ( ，t ) l l 。掣 ，则得出( 1 4 3 ) n 引理4 2 设丁为满足 l i ( ，d i i o 厂1 ( 1 4 5 ) 的最大时间。则t ( o d ，那么y s 1 。存在常数7 = 砌，m 力丞砂使得 i l u ( ，t ) l l ：- l 矿掣( ，f 出卉) 掣( 1 4 6 ) j0j r 成立，其中屹= n ( m ( p 一1 ) 一1 ) + p s , y 与n 无关 1 7 具强非线性i 源退化抛物方程解的柯西问题 1 8 事实匕若( 1 3 1 ) ( 1 3 2 ) 中的p _ ，就可得引理4 2 e l 利用定理2 1 的证明知道( 1 4 5 ) 式的t 比 瓦一掣瞄= 厂t ( 1 4 7 ) 定义的大，常数v t 叉与n , p , q , m 有关并且也可知t o 是椭0 1 现在我们证明存在常数7 = 认m ，p ，仍聊使得对0 t t i l u ( ，t ) l l 。矽矿钿l i o 0 显然若对所有的1 0 在引理4 2 中取墨= 1 则 i l u ( ，t ) l l 掣s 矿铀1 1 0 0 ( 1 4 1 1 ) ( 1 4 1 2 ) 具强非线性源退化抛物方程解的柯西问题 结合( 1 4 1 0 ) 则( ，d 于l 1 f g n ) 匕一致有界看( 1 4 1 2 ) 不成立。即存在时间1 t l t o ，对t t l 成蝴 s u pi瓴dd x = s u pi瓴s ) 出= d ( 1 4 1 3 ) o j q j r i l j f j 利用( 1 4 4 ) 的方法可得 伉力出丘撕脚r 丘t 删出打 + y p 4 t , 1 ( s u pf 瓴订州“掣 o r t j 让p 一，并结合引理4 1 ，匕式可化为 玲s + 厂r - 掣y l + 掣( d (1414)to7 i d x 玲s + f r - 半y 甲( 丁)( 设) i ( d 为 少( 力= 矿掣) ，l + 掣( f ) 灭t 1 ) = h t l ) t l l u 行( ，t d l h 且, , y l l u o l h ，r = , , , 的解，即 们= m ) 1 一忱y 掣m 炳1 一掣一掣) ) 南( 1 4 1 5 ) 那么t l t t l 后它仍是致有界的更进步可设 l 一轮一掣y 掣( ) 卜z 2 1 1 u o i i l 幽且, , , 2 一掣 ( 1 4 1 6 ) 事实上若( 1 4 1 ) 的t o 被选得适当小，根据我们选择的t l 和( 4 1 0 ) 式，匕述这种假 设是成立的而若( 1 4 1 6 ) 成立。则 y ( ds ) ，( 1 3 i 2 v ( t 1 ) 7 s l l u o l l lr ( 1 4 1 7 ) 1 9 具强非线性源退化抛物方程解的柯西问题 因此对v lst t 引理4 2 包含了 ( ，纠i 。讹厂譬1 1 0 0 心竹，( 1 4 1 8 ) 故( 1 4 1 1 ) 得证所以要证整体解的存在性就变为证t = 时情形事实上若t t o , v ( t o ) = z ( 幻，力 的解，当且仅当 r m - 1 ) ，( 1 4 2 4 ) m 2 1 具强非线性源退4 l , i 尥物方程解的柯西问题 2 2 “d 是有界的 故假设对p 1 z ( ) 矿错+ 搿锗( 知肭鼎， 即 z 耥( t o 小编- 广错+ 群， ( 1 s 孚) ( 1 4 2 5 ) 则由( 1 4 2 3 ) ，( 1 4 2 4 ) ，我们可得 z ( t ，p ) “力t o t t 1 而v ( d 在有限时间f = t o 时可变为无界，事实上“是定义在所有f 0 时间上的，由 上式说明这不可能因此对p 1 ，( 1 4 2 5 ) 的不等号应反向成立，即 ( 厂y + - ! - l ( x , t o ) 鳓鞘俺1 p 鬻+ 帮 ( 1 4 2 6 ) j c g o = 归叶案啬让p _ ，若( 1 2 1 9 ) 删吠，t o ) = 0 ，因此( 1 1 1 ) 的 祠西问题不存在整舒日e 负非平凡正解口 第五节定理2 4 的证明 先证( 1 2 2 0 ) 式对于勋r ，设 p = ( 1 + i x 0 1 ) ，= _ a ( m 而( p - 1 ) - 1 ) ， 易( 翔) = l k 一硒i ( 1 + 圳 从口 m ( p 仁- 1 ) l 上- i 可得厂 熊学由( 1 5 1 ) 和s c h w a r t z 不等式可 得 6 rk ) “( x , t ) f m b - 1 d x d t s 专rk ) 蒜出西 ( 1 5 3 ) +似丁一t o ) 一p - - l f ( 1 + l 和i ) 者+ 丛群 rk ) b l v u r 1 1 w 旷1 d xd t 舻1 ( rk ) 尹i v h l p 扩l 肛l 卜川d x d o 宁 ( 1 5 4 ) ( rl ) 扩l x 斛尹p l w p d x d t ) 上, 暑6 m p - 1 ( ( 幻) ) 争( 以( 幻) ) ； 下面估计j r ( t o ) ，我们使用缈= 尹l 广1 为( 1 2 4 ) 中的检验函数可得 rk ) 扩l 肛l 卜川i v “p c a ra t sr p - k ( x o ) l 肛l 胁1d xd t + 6 r 乞) h 尹1 1 6 1 a xa t ( 1 5 5 ) 毫l i4 - 如 璺斐塑堕鳖坠塑塑生堂塑量坚墨 一2 4 分别估计工j 和如 其中 l i o 待定，n = 0 ，1 ，2 ，设 其中 矿 “= p + 矿 k = 吾一( 嘉儿 k = 互一( 而心k = 七一刍 风= 墨p i ( x o )幺= b n ( k ，f ) ，0 如 t sl 利用范数的定义扩l f i 和( d 设 抽= 卜雌寺 上s ( z - - d - - l ； 【o ， 者上r e ( p - 1 ) - 1 ( 1 - “) p = j l + 附，= 删，者 南； 【p 1 ，者2 南 类似【9 】9 命题2 i 可得 l | l 圳嘞脚s “等崩压u 且d x g r ) z ， ( 1 - 6 - 2 ) 材= f | l f 训- ，+ 勰器r 1 ) q o = 鱼t 帅) “三一万0 4 m 力 具强非线性源退化抛物方程解的柯西问题 由于存在t 可使m 墨l ，则 s u pf l u ( ，r ) 1 1 吨昂妒一而毋广而而 耵宰 c j 彤j = 矿出棚一 进而取1 = 1 时 m 洲k 枷) s 矿旆( f l 汹) h 出鼎 ( 1 - 6 3 ) 若口 m ( p - 1 - l 上- i ，利用p 和，的定义得r 1 。( 1 + t x l ) y o o + l 蚓) h b j o ( x o ) ， 以上说明了y te ( 0 ，d ，m 1 器s ( s u p 1 1 1 西删( 1 - 6 - 4 ) 若口_ 刷( p - 1 ) l - t ，由而= 0 和p l 以及( 1 6 3 ) 对于扣 喇 0 ， ms1 得 j 些s 矿譬( ，而辆f 0 , , r ) d y d r ) ( 1 + i 卅) 珊d 0 j 协) 些s 矿等( s u p 心t ) ) i ) c ( 1 6 + 5 ) ( 1 + h ) 布 o r 1 ( 调整f 即勘时情况设球 ；黼又 y t ( 1 + l x 0 1 ) ( 1 + i 硝) 1 则y 还依赖t 由( 1 6 2 ) 我们可得 峨矿掣慨意器x i ) 峄( j 吸矿出纠舌 “眯岛u + i ，卜lj o d 兵强非线性源退化抛物方程解的柯西问题 扣u 鸭棚黼( 1 + 坩耥 ( 压一出们赢， 进而 百i 丽u l t = , b sh j f ( i + i ) - 糟l 一出打) 枷 其中g m ( p 1 ) 十嚣- 上蝴明了 黑墨“fl l l u ( ，t j 鼎 ( 1 + i x t ) # r 刮、j o 朋r v 结合( 1 6 4 ) 和( 1 6 7 ) ，贝蚜口 f l + l 一、蒇新只i f pj 从( 1 6 6 ) ，得 拙慨s 矿暾t - ( 呷y t r tasupcrs器-4- ) 掣 lw j 帅。肛1 ( 1 6 6 ) ( 1 6 7 ) ( j 丘矿k t ) 如硝 这包含着对所有的扣 冈 p 和所有 f 圭存在p 1 满足( 1 6 5 ) 或( 1 6 8 ) 而f x ts ，( 1 6 5 ) 和 ( 1 6 8 ) 也成立因此对p 1 将( 1 6 8 ) 右端取最大值，再利用 ( 叫，t ) ) i = s u p p 鼎1 f 矿( x , r ) d x 佗lj 口“ 具强非线性源退化抛物方程解的柯西问惠 可得 s 州u p ，删s u p 而丽 h “d 蔓矿掣- ( 鼍s u p p 一，嚣百丽u ( x , 磊0 - ( 鼍p i 州t 矗r u 十i 硼j 凰r l 卜1 ( r 0 ( 心t ，) 细舌+ 矿譬祭时丁) ) 1 ) ( 1 6 9 ) j0 t 0 则由s c h a r z 不等式对每个b r = 蹦o ) ， 0 ，0 t 三，得 r 上t v 矿r 1 出打s 刍r 上胪 出打 + 等f 上- v 矿阻一出缸 ( 1 7 1 ) 设f 为b r a 上的截断函数。且f = l 于b r 。妒= 矿邮p 为( 1 2 4 ) 的检验函甄其 中卢( o ，去) 待息则 ：ol 附阻- 噼 d x d r 量l一埘( x , t ) d x 七1 0 哇觳。 jj 最嚏 再由定理2 4 得存在y = 7 n , m ，p ，q ，口，芦 n 使得 rl u lh 一出打9 结合( 1 7 1 ) 和( 1 7 3 ) 得证口 ( 1 j 2 ) ( 1 7 3 ) 具强非线性源退化抛物方程解的柯西问题 定理2 6 的证明 利用定理2 1 可得存在序列 0 l 一0 和个约当测度a 使得 h ( ，0 ) l _ p ( 依测 度收敛) 由( 1 2 2 0 ) 式知测度p 满足( 1 2 2 9 ) 式设存在另个约当测度 ，也满足 存在序列( 一0 当& _ 0 时“( ，) _ y ( 依测度收敛) 不妨设s k i 我们研究蠹下含强非线性源的微分不等式方程的整体j 平 凡非负解的不存在性 l u l f a ( m l 卜1 “) + i m 严( 2 i i ) ( 葺力s = r ( o o o ) 我们证明了对于任何固定的口e ( m ，m + 斋1 ，方程( 2 1 1 ) 在s 中无非平凡非负整体 解作为这个结果的简单结论，我们可得。对任何固定的qe ( m ，m + 寻l ，如下方程 ( 2 1 2 ) 在s 上无整体非乎凡非负解 u t ( f u p - 1 “) + l h r l ，( 工，d s ( 2 1 2 ) 虽然这个结果已经被证明( 当1 口 1 时的微分不等方程 。l u l t d i v ( i v u r 2 v l u l ) + i “严，瓴o s ( 2 1 3 ) 我们证明了( 2 1 3 ) 对任意固定口c p l ，p i + 导) 在5 匕确韵错誊体非平凡解 作为谚潴果的简单结论，问题 蜥d i v ( 1 v u i j 。- 2 v u ) + 一，“d s ， ( 2 1 - 4 ) 对任意固定口( p i ，p i + 嚣) ，在s 上不存在整体非平凡非负解使用上面的 方法我们还可得到 啦d i v ( i 钆4 r 2 v 矿) + 矗靠 ( 五o s( 2 1 5 ) 具强非线性源退化抛物方程解的柯西问题 在p 2 ，口= 0 ，m lq ( m ( p 一1 ) ，m 0 一1 ) + 嚣) 时，在s 匕才竽在宝暨f 2 1 4 平巩 非负解事实上( 2 1 4 ) ，( 2 1 5 ) 的结果可参考文献【1 3 】而本文的证明不考虑初 始迹问题 第= 节主要结果 下面总是假设m ，丞p 均为大于等于1 的数 定义2 1 如果“吃( s ) 满足 f ( 一竹一阻r 1 h 籼o ) d x d t f 阻如以 ( 2 2 1 ) j sj s “被称为( 2 1 1 ) 的解，其中妒eg ( s ) 且妒0 定理2 1 设l m q 卅+ 蚤如果“为( 2 1 1 ) 在s 上的解，则几乎处处于s 上u ( x , o = 0 推论1 设m 1 ，1 q m + 导，则( 2 1 2 ) 在s 上无整体! 非平凡非负解 定义2 2 “e 缘( o ，o o ；略掣) ) n 黜s ) ，如果“满足 ( 一训竹+ l v 口r 2 v “v q o ) d x d t f si h 出以 ( 2 2 2 ) 则称h 为( 2 1 3 ) 的解其中妒c 7 0 岱) 且驴0 定理2 2 设1tp 一1 q p 一1 + 导，如果h 为( 2 1 3 ) 在s 上的解，则几乎处处 于s 上排“1 3 i = 0 推论2 设1 p 一1 q p 一1 + 嚣，则( 2 1 4 ) 在s 上无整体非平凡非负解 推论3 设1 m 0 一1 ) q m ( p 1 ) + 嚣，口= o ，如果h 为( 2 ，1 5 ) 在s 上的非 负解，则肛惦d = 0 几乎处处于s 上 3 1 具强非线性源退化抛物方程解的柯西问题 第三节定理2 1 的证明 设lsm q 耐五o 为( 2 1 1 ) 的解，且0 1 i + c o ，0 r r 2 + 设叩c * 且当r 【2 1 , + ) 时巩d = 1 ，当te