（基础数学专业论文）几类广义正则半群的半直积及结构.pdf

山东师范大学硕士学位论文 几类广义正则半群的半直积及结构 魏学 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 本文主要给出了几类广义正则半群：c r p p 半群，右适当半群，c w r p p 半 群，左c r p p 半群和完备r p p 半群的半直积的刻化，其中前两类半群的半直积结 果是在不含幺元的情况下得到的 第一章给出引言与预备知识 第二章 c r p p 半群的半直积，主要结论如下： 定理2 1 1 设s 和t 为半群，晓：s e n d ( t ) 是给定的半群同态，则半直积 s 口t 为c r p p 半群的充要条件为： 1 ) s 和丁为c r p p 半群； 2 ) 对所有e e ( s ) ，t t ，有t 8 = t ；对所有，e ( t ) ，5 s ，有，8 = ，；且对任 意的x s ，g 毛，有g 毛z 第三章 右适当半群的半直积，主要结论如下： 定理3 1 ，1 设s 和t 为半群，口：s 啼e n d ( t ) 是给定的半群同态，且对于任 意的e e ( s ) ，q ( e ) = 1 e n d ( t ) ，则半直积s at 为右适当半群的充要条件为； 1 ) s 和t 为右适当半群； 2 ) 对所有z s ，e ( t ) ，t t ，若，m t ，有尸m t x 定理3 2 1 设s 和t 为半群，口：s 啼e n d ( t ) 是给定的半群同态，则半直积 s 口t 为右适当半群的充要条件为： 1 ) 对于任意的e e ( s ) ，s 和t 8 为右适当半群 2 ) 若( e ，) e ( s 口t ) ，贝0e e ( s ) ，= ，8 e ( t ) 3 ) r e ，e ( s ) ，u ，t ，t ，若u 8 t 正= t 正，v l v = 口，贝0 ( u ) e = ( u 口) ， 4 ) r e e ( s ) ，t zz s ，若， 互矿，贝0 ，z m t c z 5 ) v s s ，t t ，3 e e ( s ) ，使得s e = s ，t 8 = t ，且( e ，t ) c + ( s ，t ) 第四章 c w r p p 半群的半直积，主要结论如下： 定理4 1 设s 和t 为幺半群，q ：s e n d ( t ) 是给定的幺半群同态，则半 直积s 。t 为c w r p p 半群的充要条件为： 1 ) s 和t 为c w r p p 半群； 2 ) 对所有e e ( s ) ，t t ，有t 8 = t ；对所有，e ( t ) ，8 s ，有，3 = ， 山东师范大学硕士学位论文 3 ) 若e m s ，则( e ，1 ) 舰。，1 ) ；若，m t ，则对于任意的z s ，有 缸 第五章左c r p p 半群的半直积，主要结论如下： 定理5 1 设s 和t 为幺半群，a ：s - - - - - 4e n d ( t ) 是给定的幺半群同态，则半 直积sx 。t 为左c r p p 半群的充要条件为； 1 ) s 和t 为左c r p p 半群； 2 ) 对所有e e ( s ) ，t t ，有t 8 = t ；对所有，e ( t ) ，s s ，有，5 i = ，8 ； 3 ) 对所有t t ，若，m t ，则对于任意的z s ，有广m t x ； 4 ) v s s t t ，存在唯一的，m t ，满足f s t = t 第六章完备r p p 半群的半直积，主要结论如下： 定理6 1 设s 和t 为幺半群，o c ：s e n d ( t ) 是给定的幺半群同态，则半 直积sx 口t 为完备r p p 半群的充要条件为： 1 ) s 和t 为完备r p p 半群； 2 ) ( 俨) + = ( t + ) = ( t + ) z + ，俨十t + = t ，v x s t t ； 3 ) 若( e ，s ) 岣鲇) ，且满足e 8 = s ，j , s t = t ，则，= 矿； 4 ) 若e l ，e 2 ，e 3 ，e 4 e ( s ) ， = 斤1 ，2 = 艿2 如，3 = 露3 ，3 ，4 = 筲4 ，4 t ，则 铂铂f 挚 挚f 4 = f ? 仞q l 挚自 f 4 。 关键词；半直积，c r p p 半群，右适当半群，c w r p p 半群，完备r p p 半群 分类号： 0 1 5 2 7 2 s e m i d i r e c tp r o d u c t sa n ds t r u c t u r e so fs o m eg e n e r a l i z e d r e g u l a rs e m i g r o u p s w b ix u e t h ei n s t i t u t eo fs c i e n c eo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gn o r r e a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t 9 h i sd i s s e r t a t i o n ，w em a i n l yd i s c u s ss e m i d i r e c tp r o d u c t so fs o m eg e n e r a l l z e dr e 争 u l a rs e m i g r o u p s ，s u c ha sc r p p s e m i g r o u p s ，r i g h ta d e q u a t es e m i g r o u p s , c 一埘聊s 锄i - g r o u p s ，l e f tc r p ps e m i g r o u p sa n dp e r f e c tr p ps e m i g r o u p s i ti su n d e rt h ec o n d i t i o nt h a t s e m i g r o u p sh a y en oi d e n t i t ye l e m e n t st h a tw eg e tt h er u s u l t sa b o u tc r p p s e m i g r o u p s a n dr i g h ta d e q u a t es e m i g r o u p s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w eg i v et h ei n t r o d u c t i o n sa n d p r e l i m i n a r i e s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ed e s c r i b et h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e l l t c o n d i t i o n sf o rt h e s e m i d i r e c tp r o d u c t so fsa n dtt ob ec r p p s e m i g r o u p s t h em a i nr e s u i t 8a r eg i v e ni n f o l l o w ： t h e 。r e m2 1 1l e ts , tb et w os e m i g r o u p s ，口：s 叶e n d ( t ) ，sh a ( s ) b ea 酉v e n h 。m 。m 。r p h i s m ，t h e nt h es e m i d i r e c tp r o d u c ts 口丁i sac r p p s e m i g r o u pi j fa n d 。n l y m ( i ) sa n dt3 , r ec r p ps e m i g r o u p s ； ( 1 1 ) f o re v e r ye e ( s ) ，t t , t h e nt 8 = t ；f o re v e r y ，e ( t ) ，5 s ，t h e n ，5 ：，；a n d f o re v e r yz 譬s , g m t ，t h e ng m t 。 i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ed e s c r i b et h en e c e s s a r y a n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o l l 8f 0 rt h e s e m i d i r e c tp r o d u c t so fsa n dtt ob er i g h t a d e q u a t es e m i g r o u p s t h em a i nr e s u l t sa r e g i v e ni nf o l l o w ： t h e 。r e m3 1 - 1l e ts , tb et w os e m i g r o u p s ，口：s e n d ( t ) ，占ha 0 ) b e ag i v e n h o m o m o r p h i s m ，a n df o ra l le 辱e ( s ) ，口( e ) = 1 e n d ( t ) ，t h e nt h es e m i d i r e c tp r o d u c t s qti sar i g h ta d e q u a t es e m i g r o u pi fa n do n l yi f - ( i ) sa n dta r er i g h ta d e q u a t es e m i g r o u p s ； ( i i ) f o re v e r yz s , f e ( r ) ，t ，i f f m t ，t h e n 厂z 死。 t h e 。r e m3 2 1l e ts ，tb et w os e m i g r o u p s ，a ：s _ e n d ( t ) ，5h q i s ) b ea 酉v e n 3 山东师范大学硕士学位论文 h o m o m o r p h i s m ：t h e nt h es e m i d i r e c tp r o d u c ts 口ti sar i g h ta d e q u a t es e m i g r o u pi fa n d o n l y 讧： ( i ) f o re v e r ye e ( s ) ，s a n dt 。a r er i g h ta d e q u a t es e m i g r o u p s ； ( i i ) i f ( e ，) e ( s o r ) ，t h e ne e ( s ) ，= e e ( r ) ； ( i i i ) f o re v e r ye ，e ( s ) ，u ， t ，i f 仳8 牡= i t ，v f v = v , t h e n ( u v ) 8 = ( u v ) l ； ( i v ) f o re v e r ye e ( s ) ，t t ，z s ，i f ， 正石。，t h e n 茹m t o x ； ( v ) f o re v e r y5 s t t ，t h e r ee x i s t se e ( 刃s t s e = s ，t e = ta n d ( e ，t ) a + ( s ，t ) i nt h ef o r t hc h a p t e r ，w ed e s c r i b et h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h e s e m i d i r e c tp r o d u c t so fsa n dtt ob ec w r p ps e m i g r o u p s t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e n i nf o l l o w ： t h e o r e m4 1l e ts ，tb et w om o n o i d s ，口：s _ e n d ( t ) ，sh 口( s ) b cag i v e n h o m o m o r p h i s mo fm o n o i d s ，t h e nt h es e m i d i r e c tp r o d u c ts nt i sac w r p ps e m i g r o u p i f a n do n l yi f ： ( i ) sa n dt a r ec w r p ps e m i g r o u p s ； ( i i ) f o re v e r ye e ( s ) ，t t ，t h e n 萨= t ；f o re v e r y ，e ( t ) ，s s ，t h e n ，8 = ，； ( i i i ) i fe m s ，t h e n ( e ，1 ) 致s ，1 ) ；i f ，m t ，t h e nf o re v e r yz s ，t h e n ，m t z i nt h ef i f t hc h a p t e r ，w ed e s c r i b et h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h es e m i d i - r e c tp r o d u c t so fsa n dtt ob el e f tc r p ps e m i g r o u p s t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e ni n f o l l o w ： t h e o r e m5 1l e ts ，tb et w om o n o i d s ：a ：s e n d ( t ) ，sha ( s ) b eag i v e n h o m o m o r p h i s mo f m o n o i d s ，t h e nt h es e m i d i r e c tp r o d u c ts x 口ti sal e f tc r p ps e m i g r o u p i fa n do n l yi f ： ( i ) sa n dta r el e f tc r p ps e m i g r o u p s ； ( i i ) f o re v e r ye e ( 鄙，t t ，t h e nt e = t ；f o re v e r y ，e ( t ) ，s s ，t h e n = ，3 ； ( i i i ) f o re v e r yt t ，z s ，i f m t ，t h e n ，茹m t z ； ( i v ) f o re v e r ys s ：e v e r yt t ：t h e r ee x i s t su n i q u e 厂 疋，s t ，。t = t i nt h es i x t hc h a p t e r ，w ed e s c r i b et h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h e s e m i d i r e c tp r o d u c t so fsa n dtt ob ep e r f e c tr p ps e m i g r o u p s t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e n i nf o l l o w ： 4 山东师范大学硕士学位论文 t h e o r e m6 1l e ts ，tb et w om o n o i d s ，口：s - e n d ( t ) ，sha ( s ) b eag i v e n h o m o m o r p h i s mo fm o n o i d s ，t h e nt h es e m i d i r e c tp r o d u c tsx n t i sap e r f e c tr p ps e m i g r o u p i f a n do n l yi f ： ( i ) sa n dta r ep e r f e c tr p ps e m i g r o u p s ； ( i i ) f o re v e r yt t ，z s ，t h e n ( t x ) + = ( t + ) 。= ( t + ) z + ，铲十t + = t ； ( i i i ) i f ( e ，f ) m 8 ，t ) ，a n ds t e s = s ，s t = t , t h e nf = 矿； t i v ) i fe l ，e 2 ，e 3 ，e 4 e ( 、s 、，h = h 。1 2 = f 挚f 2 ：1 3 = i 挚1 3 ，4 = e a f 4 t ，t h e n l 蜘e 4 l 挚翻学f 4 = 仞l 挚q 4 k e y w o r d s ：s e m i d i r e c tp r o d u c t ，c r p ps e m i g r o u p s ，r i g h ta d e q u a t es e m i g r o u p s ，c w r p ps e m i g r o u p s ，p e r f e c tr p ps e m i g r o u p s c l a s s i 矗c a t i o n ： 0 1 5 2 7 5 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得( 注：如没有其他需要特别声 明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料与我一同工作的同 志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名： 飙琴 导师签字： 苗。佩i o i 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权学校 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：觑琴 导师签字： 签字日期：川年月z 日 嗡l 国1 签字日期：谚辟午月乙日 山东师范大学硕十学位论文 第一章引言与预备知识 半群的合成和分解是研究半群的一个很重要的方面，通过这方面的研究可以更 多的了解半群的性质，研究半群的合成与分解有很多方法与手段，而半直积作为研 究半群的合成的工具具有很大的优越性这样对半直积的研究就成为一个很重要也 很必要的内容因此我们可以通过去刻画半群的半直积及其结构，来刻画这类半群 的某些结构特点 半直积研究始于1 9 6 0 年，文章 1 】，【2 1 给出了两个幺半群的半直积是正则半群， 逆半群与纯正半群的充要条件，从此发展了半直积的研究，文章【1 4 ，【1 5 】， 1 6 】等研 究了一系列关于幺半群的半直积；文章 3 】给出了两个一般半群的半直积为纯正， 左逆，右逆的充要条件，至此以后关于半直积的研究有了新的方向，不再局限于幺 半群范围内，因而使半直积作为研究半群的工具有了广泛的应用性 本文主要研究几类广义的正则半群的半直积及其结构，部分是在不含幺元的情 况下得到的 下面介绍些基本概念： 设s 是半群，记e ( s ) 是s 的幂等元集合，s 上的格林丰一关系： c = ( 口，b ) s s l ( v = ，y s 1 ) q z = a y 兮b x = b y ) ， 7 已= ( o ，b ) sxs l ( v z ，y s 1 ) z 口= y a 甘x b = y b ， 1 - 1 + = c + n 冗 易知，c ( s ) 设s 是半群，记e ( s ) 是s 的幂等元集合，s 上的格林幸宰一关系： 4 + = ( 8 ，6 ) sxs l ( v x ，y s 1 ) 8 z 冗( 5 ) 8 秒 争b z n ( s ) b y ) ， 7 已+ = ( n ，b ) sxs l ( v x ，y s 1 ) x a e ( s ) y a 寺z b l ( s ) y b ， 7 - 1 4 + = c + n 冗” 易知，l ( s ) c ” 定义1 1 2 】设s 和t 为半群，e n d ( t ) 是t 的自同态半群，q ：s e n d ( t ) 是给定的半群同态映射对任意的s s 和t t ，用t 。表示t 在a ( s ) 下的象t a o ) ， 则关于所有的r 8 s t ，u t ，( t t ) 3 = t s u 8 ，( 垆) 7 = 在直积sxt 中定义乘法： ( s ，) ( m ，礼) = ( s m ，p 佗) 则s xt 关于此乘法构成的半群，称为s 和t 的半直积，记为s 8l 6 山东师范大学硕士学位论文 定义1 2 【1 】设s 和t 为幺半群，e n d ( t ) 是丁的自同态幺半群，q ：s e n d ( t ) 是给定的幺半群同态映射对任意的s s 和t t ，用矿表示t 在a ( s ) 下的象 t a ( 引，则关于所有的r ，s s ，u z ( t u ) 3 = t s u 3 ：( t s ) 7 = t 盯，1 5 = 1 在直积sxt 中 定义乘法： ( s ，t ) ( m ，n ) = ( s m ，t m r t ) 则s xt 关于此乘法构成的幺半群，称为s 和t 的半直积，记为sx nt 定义1 3 设s 和t 为半群，s 左作用于集合x ，即对于每个s ，r s 和 v x x ，s z x ，且s ( r x ) = ( s r ) x 令t x = s i s ：x _ 丁) v ，9 t x , v x x ，令 乃( z ) = ，( z ) 9 ( z ) ，则t x 为半群设a ：s e n d ( t x ) 是半群同态，且对任意的 ，t x ，s s 和z x ，有，8 ( z ) = ，( s z ) ，则称半直积s at x 为s 和t 的圈积， 记为s w x t 定义1 4 设s 和t 为幺半群，s 左作用于集合x ，即对于每个s ，r s 和 v x x ，s z x ，且s ( r x ) = ( s r ) x 令t x = i i f ：x t ) v ，g t x ，比x ，令 ，夕( z ) = ，( z ) 9 ( z ) ，则t x 为幺半群，幺元为如下定义的i ： i ( z ) = 1 ，v x x 设q ：s e n d ( t x ) 是幺半群同态，且对任意的，t x ，8 s 和z x ，有 ，8 ( z ) = ，( s z ) ，则称半直积s a 为s 和t 的圈积，记为s w x t 本文中其它未说明的概念和术语见参考文献 6 】 7 山东师范大学硕士学位论文 第二章c r p p 半群的半直积 在本章中。我们研究了两个一般半群的半直积是c r p p 半群的充要条件 2 1c r p p 半群的半直积 定义2 1 1 半群s 称为r p p 半群，如果s 的所有主右理想都是投射的 由文【5 】可知s 为r p p 半群当且仅当如下集合非空， = 【e e ( s ) i a = a e ，a x = a y = e x = e y ，v x ，y s 1 - ( v 口s ) 定义2 1 2 半群s 称为c 一聊半群，如果s 为唧半群，且对任意e e ( 印，s s 有e s = 8 e ，即s 的幂等元集包含在s 的中心c ( s ) 中 引理2 1 1 设s 和f 为半群，戊：s + e n d ( t ) 是给定的半群同态。且半直积 sx 口t 为c r p p 半群，则有 1 ) 若( e ，) e ( sx 口t ) ，贝0e e ( 。$ ，= ，。e ( 即； 2 ) 若( e ，) m n ，6 ) ，( 夕，h ) m 。，d ) ，则( e ，) ( 夕，h ) 坛州) ( 。，d ) 证明 1 ) 若( e ，) e ( s 。t ) ，则( e ，删e ，) = ( e ，) ：故 e 2 = e e ( s ) ，= ，8 ， 因此 ，8 = ( ，8 ，) 。= ，8 ，。e ( t ) ， ( e ，8 ) = ( e ，) ( e ，。) = ( e ，。) ( e ，) = ( e ，6 ，) = ( e ，) ， 故，= ，。e ( ? ) 2 ) 若( e ，) m 。，6 ) ，( 夕，h ) m 。，d ) ，则 ( a ，6 ) ( c ，d ) ( e ，) ( 9 ，h ) = ( a ，6 ) ( e ，) ( c ，d ) ( 9 ，”= ( 口，b ) ( c ，d ) 若( a ，6 ) ( c 回 l ，y 1 ) = ( m 6 ) ( c ，回( z 2 ，沈) ，贝由( e ，) 坂口，得， ( e ，) ( c ，d ) ( z l ，y 1 ) = ( e ? ，) ( c ，d ) ( x 2 ，y 2 ) ， 故( c ，d ) ( e ，) ( z 1 ，y 1 ) = ( c ，d ) ( e ，删z 2 ，秽2 ) ，则由( g ，h ) m 。，d ) 得， ，彬( e ，) ( z 1 ，秒1 ) = ( g ， ) ( e ，) ( z 2 ，y 2 ) ， 故( e ，) ( 夕，危) ( z 1 ，y 1 ) = ( e ，) ( 9 ， ) ( z 2 ，耽) ，而( e ，) ( 夕，h ) e ( s a t ) ，因而( e ，) ( 9 ，h ) a & 。，6 ) ( 。，d ) 口 r 山东师范大学硕十学位论文 引理2 1 2 吲如果s 为c r p p 半群，则v s s ，i 尥i = 1 引理2 1 3 若s qt 为r p p 半群，则对于任意的e e ( s ) ，s 和t 8 为r p p 半 群，其中t e = 8 i t t ) 证明v s s ，t z ( 8 ，t s ) sx az 若s 口t 为r p p 半群，则存在( e ，f ) e ( s nt ) ( 且口e e ( s ) ，f = f e ，) ，使得( e ，f ) 缸s , t 8 ) ，即得 ( 8 ，矿) ( e ，f ) = ( 8 ，t s ) ， 故 8 = 8 e t 8 = t s e f = g s f 若8 x l = 8 x 2 ，则 ( 8 ，t s ) ( z 1 ，y ) = ( 8 ，t s ) ( z 2 ，可) ，。 故 ( e ，f ) ( x l ，y ) = ( e ，f ) ( x 2 ，y ) ， 则有e z l ；e x 2 ，故e m s ，从而s 为r p p 半群 v e e ( s ) ，t t ，则存在( 9 ，h ) e ( s ar ) ( 即g e ( s ) ，h = h g h ) ，使得( 9 ，h ) 坂e ) ，即得 ( e ，t e ) ( g ，h ) = ( e ，t e ) ， 故 e g = e ，t e = t e g h = t e h ， 则 t 8 = t e 9 8 = ( t e h ) 9 8 = t e 矽e ，h a 8 h 9 8 = ( h g h g ) 8 = h 9 8 e ( t e ) 若。y l = t 8 y 2 ( v y l ，y 2 t 8 ) ，则 ( e ，t 8 ) ( 9 e ，分1 ) = ( e ，护) ( 9 e ，u 2 ) ， 而( g ，h ) m 。，c ) ，故 ( g ，h ) ( g e ，y x ) = ( g ， ) ( 9 e ，耽) ，h a 8 y l = h a 8 y 2 同理由t e = t e y ( v y t 。) 易得h a 8 = h a 8 y 故h a 8 m t t 8 ，因而t 8 为r p p 半群 口 注 g 。= h e ( t 8 ) i t 。= t 8 危，r e x = u y 号h x = h y ，v z ，y ( t 8 ) 1 ) ( 耽8 t 。) 推论2 1 1 若s 口t 为c r p p 半群，则对于任意的e e ( s ) ，s 和t 8 为c 一唧 半群，其中t 8 = t e i t r ) 引理2 1 4 若s 口t 为c r p p 半群，e e ( s ) ，则( g ，h ) 蚴。，t e ) 营e = 9 ，h = 9 山东师范大学硕士学位论文 h 8 坞t e 。 证明由引理2 1 3 的证明得，若( g ，h ) 且& 。t e ) ，则g 帆，h g e 埠。由推论 2 1 1 得s 为c r p p 半群，而由引理2 1 2 得i m e i = l ，故g = e 由引理2 1 1 的1 ) 得h = h g ，故h = h 8 m i r e 。 反之，若h = h 8 埠8 ，由于s 。t 为c r p p 半群，故存在( g l ，h i ) 啦。) ， 由前面的证明知9 1 = e ，h 1 m t t 。8 ，由推论2 1 1 知t 。为c r p p 半群，故h = h z ， 因而( e ，h ) m 。) 口 引理2 1 5 若s 口t 为c r p p 半群，则 1 ) 对所有e e ( s ) ，t t ，有矿= t ； 2 ) e ( g nt ) = e ( s ) xe ( r ) ； 3 ) 对所有，e ( t ) ，8 s ，有广= ， 证明1 ) v e e ( s ) ，t t ，则( e ，t ) s at ，因为s nt 为c r p p 半群，则存 在( g ，h ) e ( sx qt ) ，使( g ，h ) m 。，f ) ， 则 ( e ，t ) ( 9 ，h ) = ( e ，t ) ， 即 e g = e ，t = t g h ， 而由引理2 1 1 得g e ( s ) ，h = h g e ( t ) ，故 t g = ( t g h ) g = t g h g = t g h = 友 由( e ，t ) = ( e ，) ( 9 ，h ) = ( g ，九) ( e ，t ) 得t = h e r ， 敌 ( e ，t ) = ( e ，h e ) ( g ，t ) = ( e ，扩) ( 9 ，t g ) 由于sx 。t 为c r p p 半群，则存在( g l ，h i ) m 。，h e ) ，( 9 2 ，h 2 ) m 吼拶) ， 由引理2 1 4 得 g l = e ，9 2 = g 由引理2 1 1 的2 ) 得 ( g i ，危1 ) ( 眈，h 2 ) em e ，h c ) ( 9 ，g ) ， 即 ( e ， 1 ) ( 9 ，h 2 ) 反e ，) ， 而由引理2 1 2 得i m ( 。, 0 1 = 1 ，故 ( e ，h i ) ( 夕，h 2 ) = ( g ，庇) ， 】0 山东师范大学硕七学位论文 则e 9 = 97 而e 9 = e ? 故9 = e ：t = t g = t 。 2 ) 由引理2 1 1 的1 ) 得e ( sx qt ) e ( s ) e ( t ) ；反之，v e e ( s ) ，e ( t ) ， 由1 ) 得，。= ，则( e ，似e ，) = ( e 2 ：，8 ，) = ( e 2 ，2 ) = ( e ：，) ：故( e ，) e ( sx 。r ) 3 ) w e ( 丁) ，s s ，因为s n t 为g r p p 半群，由推论2 1 1 得s 为c r p p 半 群，故存在e 毛使s e = 5 ，由2 ) 得( e ，) e ( s x q r ) ，且广= ( f 1 ) 5 = ，5 ，8 e ( t ) ， 则 ( 5 ，。) = ( e ，) ( s ，8 ) = ( s ，厂8 ) ( e ，) = ( s ，8 ，) ， 故 8 = s | 、 因此 ( 5 ，8 ) = ( e ，) ( s ，) = ( s ，) ( e ，) = ( 8 ，。，) = ( s ，2 ) = ( s ，) ， 故，8 = ， 口 定理2 1 1 设s 和t 为半群，q ：s e n a ( t ) 是给定的半群同态，则半直积 s 口t 为c r p p 半群的充要条件为： 1 ) s 和t 为c r p p 半群； 2 ) 对所有e e ( s ) ，t t ，有t e = ；对所有，e p ) ，s s ，有广= ，；且对任 意的z s ，9 m t ，有9 以。 证明必要性 若s nt 为c r p p 半群，则由引理2 1 5 得对所有e e ( s ) ，t t ，有t 8 = t ； 对所有，e ( t ) ，s s ，有，5 = ，由推论2 1 4 得对于任意的e e ( s ) ，s 和p 为 c 一唧半群，则由t e = t 得t 8 = t ，故t 为c r p p 半群 下证任意的z s , 9 舰，有9 舰。若9 尬，则 俨= ( t g ) z = 严矿= t = 9 ，9 磙。， 由引理2 1 4 得 ( e ，9 ) m e ) = 坛e ，t ) 若俨m = 铲佗，则 ( e ，t ) ( z ，m ) = ( e ，亡) ( z ，扎) ， 由( e ，9 ) 尬。，) 得 ( e ，9 ) ( z ，m ) = ( e ，夕) ( z ，n ) ， 故矿m = 旷佗，而旷= 9 ，则g m = 9 n ；同理易证由铲m = 铲，可得g m = 9 故9 m t z 充分性 1 1 山东师范大学硕士学位论文 若1 ) 和2 ) 成立，则任意的s s jt t ，存在e m 8 ，舰，则 ( e ，) ( e ，) = ( e 2 ，8 ，) = ( e 2 ，2 ) = ( e 。，) e ( sx 。t ) 且 ( 5 ，t ) ( e ，) = ( s e ，t e y ) = ( 8 ，t f ) = ( 8 ：t ) 若 ( 8 ，) ( z ，y ) = ( s ，) ( m ，几) ， 而e 舰，舰，由2 ) 知，舰z ，故 e z = e m ，暑，= ，佗 由广= ，m = ，得i = y = f i n n ，故 ( e ，) ( z ，y ) = ( e ，) ( m ，住) ， 则( e ，) 心。，t ) ，因此s at 为r p p 半群；对任意( e ，) z ( s 口t ) ，( s ，) s qt ， 有 ( s ，) ( e ，) = ( s e ，t 。，) = ( s e ，t y ) = ( e s ，t ) = ( e s ，f s t ) = ( e ，) ( s ，) ， 故s 口t 为c r p p 半群 口 下面将半直积的结果推广到圈积中 推论2 1 2 圈积s 吼t 为c r r p 半群的充要条件为： 1 ) s 和r 为c r p p 半群； 2 ) 任意z x ，对所有e e ( s ) ，t t x ，有t ( e x ) = t ( z ) ；对所有，e ( t x ) ，8 s ， 有y ( s x ) = ，( 。) ；且对任意的n s g ( x ) m r ( 工) ，有g ( x ) m r ( 口z ) 证明首先证明t x 为r p p 半群铮t 为r p p 半群 对任意的t lg 表示g ? ，且对任意的z 置g ) = t ，所以q c 乙= g 。， 且g e ( t x ) 镑t e ( t ) 显然，e ( t 叉) 兮v x x ，f ( x ) e ( t ) 若为r p p 半群，则对于任意的t 正g t x ，存在，e ( p ) 使得 q = g ，且若g 夕= g 危可得，9 = y h ，其中g ，h t x ，由g = g ，e ( t x ) 得t = t f ( z ) ，( z ) e ( 丁) ，v x x 若t a = t b ，则g q = g q ，故对任意的。 x ，( z ) q ( z ) = y ( x ) c b ( z ) ，( z ) 口= ，( z ) 6 ：取定z ，则l ( x ) 舰，所以t 为r p p 半 群 反之，若t 为r p p 半群，对任意的，t x ，z x ，则y ( x ) t ，而t 为r p p 半 群，所以m ，非空，从而z x 为r p p 半群。故t x 为r p p 半群铮t 为r p p 半群 1 2 n m t | 可 严ms = zs 则 山东师范大学硕士学位论文 进而可得t x 为c r p p 半群营t 为c r p p 半群 由定理2 1 1 可知推论成立 口 由我们的定理2 1 1 和推论2 1 2 易证下面推论成立 推论2 1 3 设s 和t 为半群，口：s e n d ( t ) 是给定的半群同态，则半直积 s 口t 为c l i f f o r d 半群的充要条件为： 1 ) s 和t 为c l i f f o r d 半群； 2 ) 对所有e e ( s ) ，t t ，有t 。= ；对所有f e ( t ) ，8 s ，有f s = f 推论2 1 4 圈积s w x t 为c l i f f o r d 半群的充要条件为： 1 ) s 和t 为c l i f f o r d 半群； 2 ) 任意z x ，对所有e e ( s ) ，t t x ，有t ( e x ) = ( z ) ；对所有f e ( t x ) ，8 只 有f ( s x ) = ，( z ) 1 3 山东师范大学硕十学位论文 2 2c r p p 半直积的极大左可消幺半群同态象 引理2 2 1 【9 】e r p p 半群s 的最小左可消幺半群同余矿= ( 口，b ) s s j ( 3 e e ( s ) ，a e = 6 e ) 引理2 2 2 若半群s 和t 的半直积s t 为c - r p p 半群，则( s 1 ，t d a s x 。t ( 8 2 ，t z ) s l a r s s 2 ，t l v r t t 2 证明若( s 1 ，t 1 ) f f s 。t ( s 2 ，t 2 ) ，则存在( ，u ) e ( s 口t ) ，使 ( 8 1 ，t 1 ) ( e ，i t ) = ( 8 2 ，t 2 ) ( e ，u ) ， 从而 ( 8 1 e ，货让) = ( 8 2 e ，堰u ) ， 于是 8 1 e = s e e ，；= t l u = t 2 u = 堰站 因为e e ( s ) ，t 上e ( t ) ，所以8 1 0 r s , q 2 ，t 1 0 t t 2 由于上述过程可逆，从而充分性成立 口 定理2 2 1 若半群s 和r 的半直积s qt 为c r p p 半群，则s at 的极大 左可消幺半群同态象同构于s 和t 的极大左可消幺半群同态象的半直积 证明若把田。r 简记为o r ，则s o r s ，t o t 和s 口纠口分别是。9 、t 和s at 的极大左可消幺半群同态象 设s c r s 酬四，定义矽s ：t ( r t 一7 卯，t o tht s c r t ，则识为自同态映射 事实上，若t x 6 r t = t 2 0 t ，则存在u e ( t ) ，使得t i u = t 2 u ，从而( h u ) s = ( t 2 u ) 5 ， 即i 牡8 = 荡“5 ，由于 t 2 。e 口) ，故醒叼= t l t r t 从丽钒为映射 由于 、 叼) ( 2 叼) m = ( ( t