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摘要 从拓扑学角度看，f r a m e ( 或l o c a l e ) 是拓扑空间开集格的推广，而从代数角度看一个 f r a m e ( 或l o c a l e ) 就是一个完备格厶满足无限分配律： 口a ( v s ) = v 口a5 1 5 s ) ，8 l ，s l ， 这种推广的一个重要意义在于人们可以用序代数的方法。在直觉逻辑的基础上来研究f r a m e ( 或l o c a l e ) 的拓扑性质，并且进一步可应用于拓扑空问范畴从范畴论角度来看。一个f r a m e ( 或l o c a l e ) 其实就是一个小的完备( 余完备) 范畴厶使得任意两个对象之间的态射集至多 有一个元素，并且满足对任意一个对象a ，积函子口( 一) ：l l 保持任意余积，因此是否 可以将f r a m e ( 或l o c a j e ) 的概念推广到任意一个小范畴上就成为一个有趣的自然的问题 本文引入广义f r a m e 与广义f r a m e 同态的概念，这两个概念是f r a m e 与f r a m e 同态概 念在范畴意义下的严格推广，存在大量的非平凡的例子表明广义f r a m e 的范围远远大于通常 的f r a m e 我们借助于范畴论的工具来研究广义f r a m e 的拓扑性质、代数性质和范畴性质 由于广义f r a m e 本身是一个小范畴，它具有一些重要的范畴性质，例如完备性余完备性以 及c a r t e s i a n 闭性而且f r a m e 范畴是广义f r a i n e 范畴( 即以广义f r a m e 为对象，以广义 f r a m e 同态为态射的范畴) 的反射子范畴 我们讨论了广义f r a m e 中点，素元与谱空间的性质，证明了一个广义f r a m e 上全体点 与该广义f r a m e 上全体素元之间存在着范畴等价的关系，此关系不同于经典f r a m e 理论中 一个f r a m e 上全体点的集合与该f r a m e 上全体索元的集合之间的一一对应关系讨论了广义 n a i d e 范畴与拓扑空问范畴之问的函子关系，证明广义f i ：a m e 的谱空问是s o b e r 空问 给出广义f r a m e 的核函子、商、开商与闭商的定义证明了一个广义f r a m ea 上全体 核函子所构成的范畴( a ) ( 或一个广义f r a m ea 的全体商所构成的范畴q ( a ) ) 是广义 f r a m e ，该结果推广了f r a m e 理论中一个f r a m e 的全部核所构成的格( 或一个f r a m e 的全部 商所构成的格) 仍然是f r a m e 的经典结论 接下来，我们讨论广义f r a m e 范畴中的积与余积构造最后，讨论广义f r a m e 的分离性 与紧性 i 第i i 页 摘要 关键词： 广义f r a m e ，广义f r a m e 同态，广义f r a m e 范畴点，素元，谱空间，商 核函于，积。余积，正则性，完全正则性。正规性，紧性 a b s t r a c t i nv i e wo ft o p o l o g y , f r a m ( o rl o c a l e s ) a r cg e n e r a l i z a t i o no fo p e n - s e tl a t t i c e s ；o f t o p o l o g i c a ls p a c e s ，a n di nv i e wo fa l g e b r a ，af r a m e ( o rl o c a l e ) i sac o m p l e t el a t t i c e l ，s a t i s f y i n gt h ei n f i n i t ed i s t r i b u t i v el a w ： n a ( v s ) = v o as f s s ，o l ，s l ， w h a tt h em o s ti m p o r t a n tm e a n i n gf o rt h eg e n e r a l i z a t i o ni st h a tw ec a ns t u d yt h e t o p o l o g i c a lp r o p e r t i e so ff r a m e s ( o rl o c a l e s ) o nt h eb a s i so fi n t u i t i o n a ll o g i cb ym e a n s o fo r d e ra l g e b r a ，a n da p p l yt h e mt ot h ec a t e g o r yo ft o p o l o g i c a ls p a c e s i nv i e wo f c a t e g o r y , af r a m e ( o rl o c a l e ) i sas m a l lc o m p l e t e ( c o c o m p l e t e ) c a t e g o r yl ，s u c h t h a tt h es e to fm o r p h i s m sb e t w e e nt w oo b j e c t sh a sa tm o s to n ee l e m e n t s a t i s f y i n g t h ec o n d i t i o nt h a tf o ra n yo b j e c ta ，t h ep r o d u c tf u n c t o ra ( 一) ：l _ lp r e s e r v e s c o p r o d u c t s h e n c ei ti san a t u r a la n di n t e r e s t i n gq u e s t i o nw h e t h e rw ec a ng e n e r a l i z e af r a m e ( o rl o c a l e ) t oas m a l lc a t e g o r y i nt h et h e s i s ，w ei n t r o d u c et h ec o n c e p t so fg e n e r a l i z e df r a m e sa n dg e n e r a l i e d f r a m eh o m o m o r p h i s m sw h i c ha r es t r i c tg e n e r a l i z a t i o n so ft h ec o r r e s p o n d i n gc o n - c e p t so ff r a m e si nt h es e n s eo fc a t e g o r y t h e r ee x i s tag r e a tn u m b e ro fn o n - t r i v i a l e x a m p l e ss h l ，i n gt h a tg e n e r a l i z e df r a m e sa r en o tf r a m e si ng e n e r a l s ow ec a n d i s c u s st h et o p o l o g i c a lp r o p e r t i e s , a l g e b r a i cp r o p e r t i e sa n d c a t e g o r yp r o p e r t i e so f g e n e r a l i z e df r a m e sb yt h et o o lo fc a t e g o r yt h e o r y a ss m a l lc a t e g o r i e s ，g e n e r a l i z e d f r a m e sh a v em a n yc a t e g o r yp r o p e r t i e ss u c ha sc o m p l e t e n e s s ，c o c o m p l e t e n e s sa n d c a r t e s i a nc l e s e d n e s s w es h o wt h a tt h ec a t e g o r yo ff r a m e si sar e f l e c t i v es u b c a t - e g o r yo ft h ec a t e g o r yo fg e n e r a l i z e df r a m e s ( i e ，t h ec a t e g o r yw h o s eo b j e c t sa r e g e n e r a l i z e df r a m e s ，a n dw h o s em o r p h i s m sa r eg e n e r a l i z e df r a m eh o m o m o r p h i s m s ) w ed i s c u s st h ep r o p e r t i e so fp o i n t s ，p r i m ee l e m e n t sa n ds p e c t r u m so fg e n e r a l - i z e df r a m e s , a n dp r o v et h a tt h ec a t e g o r yo fa l lp o i n t so fag e n e r a l i z e df r a m ea n dt h e c a t e g o r yo fa hp r i m ee l e m e n t so ft h eg e n e r a l i z e df r a m ea r ee q m v a l e m t h er e s u l t 第i v 页a b s t r a c t d i f f e r sf r o mt h ec l a s s i c a lr e s u l tt h a tt h es e to fa l lp o i n t so faf r a m ea n dt h es e to fa l l p r i m ee l e m e n t so ft h ef r a m ea r eo n e - t o - o n ei nf r a m et h e o r y m o r e o v e r ，w ed i s c u s s t h ef u n c t o rr e l a t i o nb e t w e e nt h ec a t e g o r yo fg e n e r a l i z e df r a m e sa n dt h ec a t e g o r yo f t o p o l o g ys p a c e s ，a n ds h o wt h a tt h es p e c t r u m so fg e n e r a l i z e df r a m e sa r es o b e r t h ed e f i n i t i o n so fn u c l e u sf 1 1 n c t o r s q u o t i e n t s o p e nq u o t i e n t sa n dc l o s e dq u o - t i c n t so fg e n e r a l i z e df r a m e sa r ei n t r o d u c e d w ep r o v et h a tt h ec a t e g o r y ( a ) o f a n u c l e u sf u n c t o r so fag e n e r a l i z e df r a m ea ( o rt h ec a t e g o r yq ( a ) o fa l lq u o t i e n t s o fag e n e r a l i z e df r a m ea 1i sg e n e r a l i z e df r a m e t h i sg e n e r a l i z et h ec l a s s i c a lr e s t l l t t h a tt h el a t t i c eo fa l ln u c l e io faf r a m e ( o rt h el a t t i c eo fa l lq u o t i e n t so faf r a m e ) i s f r a m e m o r e o v e r ，w eo b t a i n e dt h ep r o d u c ta n dc o p r o d u c tc o n s t r u c t i o no ft h ec a r e - g o r yo fg e n e r a l i z e df r a m e s f i n a u y , w ed i s c u s st h es e p a r a t i o n sa n dc o m p a c t n e s so f g e n e r a l i z e df r a m e s k e yw o r d s ：g e n e r a l i z e df r a m e ，g e n e r a l i z e df r a m eh o m o m o r p h i s m ，c a t e g o r y o fg e n e r a l i z e df r a m e s ，p o i n t ，p r i m ee l e m e n t ，s p e c t r u m ，q u o t i e n t ，n u c l e u sf u n t o r ， p r o d u c t ，c o p r o d u c t ，r e g u l a r l i t y , c o m p l e t er e g u l a r i t y , n o r m a l i t y , c o m p a c t n e s s 果。 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已 经发表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了 谢意。 作者签名： 日期： 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子 版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文 进入学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行 检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解 密后适用本规定 作者签名： 日期： 引言 我们知道f r a m e ( 或l o c a l e ) 理论是把完备的h e y t i n g 代数作巍一种广义的拓扑结构， 来研究它的拓扑性质，范畴性质以及它和拓扑空间范畴之问的内在联系的一个数学分支。医为 其研究方法一般不涉及点，也称之为无点拓扑学同其它数学分支一样，它的产生形成和发 展是众多优秀数学家的思想结晶我们简单回顾一下它的发展过程 1 9 1 4 年，f h a u s d o r f f 在研究抽象空间的连续性时。首先引入开集( 或邻域) 的概念， 自此，一个抽象拓扑空间就可以看作一个由某些开集构成格的结构的对象但是在= 十世纪三 十年代前，除了个别平凡的例子，教学家们所考虑的空闻大都是建立在几何基础上的，即由某 些欧氏空问拼凑而得到的空间直到二十世纪三十年代中期， m a r s h a l ls t o n e 关于b o o l e 代数和分配格的拓扑表达定理f 1 0 0 1 与 1 0 1 】发表后，格论与拓扑之间的内在联系才开始引起 人们的重视如果说p o i n c a r 61 8 9 5 年在拓扑空间引入同调群的概念标志着代数拓扑学的形 成，显示了拓扑学的代数式处理的巨大力量，则s t o n e 表达定理的深远意义在于从另一途径 揭示了拓扑与代数之间的深刻联系，也就是说人们可以以纯粹的代数对象( 如分配格b o o l e 代数、环等) 出发得到若干有趣的抽象拓扑空间，并且可以尝试利用序结构理论或代数中的方 法、技巧和结果来研究这些空间的拓扑性质，从而得到在这类空间中具有普遍意义的结果这 种借助于代数学求得拓扑学自身发展的方法，常常是很有效的例如h e n r yw a l l m a n 关于 正空间的。w 出l m a n 紧化。的工作f 1 1 2 1 以及g e l f a n d - k o l m o g o r o v 的关于连续函数环的 工作【2 9 都说明了这一点在这些工作的基础上，n s b e l i n g 于1 9 5 4 年写出了第一部完全 从格论的观点来研究一般拓扑学的专著1 9 0 到了二十世纪五十年代，这一领域的研究成果已经相当丰富然而这时数学家把格论仅 仅作为一种工具，最终的目的是为了研究拓扑空间本身服务的直到1 9 5 7 年法国数学家 c h a r l e se h r e s m a n n 2 6 】及其学生j b 6 n a b o u 1 3 1 首先认识到可以把具有某种分配性的格 看作一种广义的拓扑结构来研究，而不管它屉否可以表示为某一拓扑空间的开集格在这种新 的观点的影响下，使研究工作发生了根本变化，著名拓扑学家c h d o w k e r 和d s t r a u s s 等人为在完备的h e y r i n g 代数上重建拓扑学理论作了大量的工作【1 8 卜【2 4 l ，但l o c a l e 理论的 真正形成应归功于j o h ni s b e 在1 9 7 2 年的一篇重要论文1 5 6 l ，在该文中，与拓扑空间相对 v 第v i 页引言 应，i s b e l l 引入了l o c a l e 的概念，并且指出了l o c a l e 范畴作为一种广义的拓扑空间范畴并非 拓扑空间范畴的简单推广。其中与拓扑空间范畴相对应的若干运算甚至具有更好的性质，例如 正则仿紧l o c a l e 的乘积仍然是仿紧的，而对应的结果在拓扑空间范畴中是不成立的p t j o h n s t o n e 的专著【6 8 1 可以说是过去所有这些工作的全面、系统的总结 另一方面，l o c a l e 理论的建立为。构造拓扑学”提供了一个良好的框架，在这一框架 中，由于其在逻辑上避开了经典拓扑学必不可少的选择公理和排中律，使得经典拓扑学中许多 密切依赖于选择公理的结果都可以在1 0 c a l e 理论中得到对应的构造性结论得到广泛关注的 例子如1 9 8 0 年加拿大数学家b b a n a s c h e w s k i 和c j m u l v e y 不用素理想定理建立了 l o c a l e 的s t o n e 。c e c h 紧化1 4 】，1 9 8 1 年剑桥大学数学家p t j o h n s t o n e 不用选择公理证 明了1 0 c a l e 的t y c h o n o f f 乘积定理f 6 7 ，1 9 9 8 年，贺伟与刘应明合作不用选择公理证明了 l o c a l e 的s t e e n r o d 定理j 3 6 】等 回忆一个f r a m e ( 或l o c a l e ) l 是一个完备格满足无限分配律t o a ( v s ) = v o a s i s s ) ，n l ，s 冬l 一个f r a m e 同态尾两个丘a m e 之间保有限交与任意并的映射；以f r f l e e 为对象，以f r 8 3 2 1 e 同态为态射所构成的范畴称作f r a m e 范畴。记作n m f r a m e 范畴的对偶范畴称作l o c a l e 范畴，记作l o e 在l o c a l e 范畴中，对象称作l o c a l e ，态射称作连续映射从范畴的角度， 任意f r a i r l e ( 或l o c a l e ) l 都可以看作一个小范畴。l 中的有限交就是范畴的有限积， l 中的任意并就是范畴的任意余积一个f r a m e 同态就是两个范畴之间保有限积与任意余积的 函子自然地，我们可以把f r a m e 与f r a m e 同态的概念在范畴意义下推广为广义f r a m e 与广 义f r a m e 同态的概念，这样我们就可以利用范畴论的工具来处理f r a m e 理论本文就是从这 个立足点出发来讨论问题的具体地，我们将在本文中作如下工作t ( 1 ) 给出广义f r a m e 与广义f r a m e 同态的概念，说明这两个概念是f r a m e 与f r a n l e 同态概念在范畴意义下的推广。即f r a m e 范畴f r m 是广义f r a i i d e 范畴g f r m ( 以广义 f r a m e 为对象，以广义f r a m e 同态为态射的范畴) 的满子范畴；同时这两个概念又是f r 8 2 n e 与f r a m e 同态概念的严格推广，举例说明是广义f r a m e 而不是f r a m e 的例子是大量存在的， 这也说明我们所作的推广是有意义的在这里，广义f r a m e 本身是一个小范畴，它具有一些重 要的范畴性质，例如完备性、余完备性以及c a r t e s i a n 闭性在此基础上。我们讨论了f r a m e 范畴f r m 与广义f r a m e 范畴g f r m ，l o c a l e 范畴l o e 与广义l o c a l e 范畴g l o c 之间 第v i i 页 的函子关系 ( 2 ) 我们知道，在f r a m e 理论中，一个f r a m e 上全体点的集合与该f r a m e 上全体寨元 的集合是一一对应的，常常可以将它们等同看待，并且在它们上赋予适当的拓扑，得到两个同 胚的拓扑空间。进而得到f r a m e 的谱空间的概念，而f r a m e 的谱空间建立起了f r a m e 范畴 f r m 与拓扑空问范畴t o p 之间的联系我们将f r a m e 中点与素元的概念推广到广义f r a m e 上，说明个广义f r a m e 上全体点与该广义f r a m e 上全体素元之间存在着范畴等价的关系， 此关系不同于经典f r a m e 理论中相应的一一对应关系接下来给出广义f r a l n e 的谱空问的定 义。讨论了广义f r a m e 范畴g f r m 与拓扑空间范畴t o p 之问的函子关系，并且证明广义 f r a m e 的谱空问是s o b e r 空间 ( 3 ) 给出广义f r a m e 的核函子商、开商与闭商的定义证明了一个广义f r a m ea 上全体核函子所构成的范畴 r ( a ) 与该广义f r a m e 的全体商所构成的范畴q ( a ) 都是广义 f r a m e ，这推广了f r a m e 理论中的经典结论t 一个f r a m e 的全部核所构成的格与个f r a m e 的全部商所构成的格仍然是f r a m e 为了证明这一结论，我们首先在( a ) 与q ( a ) 之间建 立适当的函子对应关系，并且证明这两个范畴是等价的在此基础上。证明( a ) 是个广义 f r a m e ，然后利用第一章第二节的重要引理，即等价函予把广义f r a m e 仍然变为广义f r a m e ， 可知q ( a ) 也是广义f r a m e ( 4 ) 讨论广义f r a m e 范畴g f r m 中的积与余积构造对偶地。得到广义l o c a l e 范 畴g l o c 的积与余积构造 ( 5 ) 讨论广义f r a m e 的分离性。包括正则性完全正则性与正规性。以及广义f r a m e 的紧性证明了正则( 或完全正则) 广义f r a m e 的商仍然是正则( 或完全正则) 的，正规( 或 紧) 广义f r a h i c 的闭商仍然是正规( 或紧) 的并且讨论了这些性质之间的一些相互关系 全文共分五章，其主要内容安排如下 第一章广义f r a m e 给出广义f r a m e 和广义f r a m e 同态的概念，它们都是f r a m e 理论中相应概念在范畴意 义下的推广，以它们为对象和态射所构成的广义f r a m e 范畴g f r m 是严格大于f r a m e 范 畴f r m 的 第v i i i 页 引言 第一节预备知识 给出了本章所需的有关范畴论的一些基本概念和性质 第二节广义f r a m e 的概念与性质 ； 首先将f r a m e 概念在范畴意义下推广为广义f r a m e ，然后给出一个重要引理12 2 ，即等 价函子把广义f r a m e 仍然变为广义f l a m e 接下来讨论了广义f r a m e 的范畴性质，说明任意 一个广义f l a m e 都是完备与余完备范畴。而且是c a r t e s i a n 闭范畴 第三节广义f r a m e 范畴与f r a m e 范畴的关系 本节将f r a m e 同态概念推广为广义f r a m e 同态，说明由广义f r a m e 和广义f r a m e 同态 构成的广义f r a m e 范畴是严格大于f r a m e 范畴的证明f r a m e 范畴是广义f r a m e 范畴的 反射子范畴，对偶地l o c a l e 范畴是广义l o c a l e 范畴的余反射子范畴 第= 章广义f r a m e 的点与谴空问 本章讨论了f r a m e 与广义f r a m e 之间的一些异同点 第一节广义f r a m e 的点与素元 本节将f r a m e 中点与素元的概念推广到广义f r a m e 上，说明一个广义f r a m e 上全体点 与该广义f r a m e 上全体素元之间存在着范畴等价的关系，此关系不同于经典f r a m e 理论中一 个f r a m e 上全体点的集合与该f r a m e 上全体索元的集合之间的一一对应关系 第= 节广义f r a m e 的谱空间 给出广义f r a m e 的谱空间的定义，并且讨论了广义f r a m e 范畴与拓扑空间范畴之间的 函子关系，此关系类似于f r a m e 范畴与拓扑空间范畴之间的关系最后证明了广义f r a m e 的 谱空问是s o b e r 空间 第三章广义f r a m e 的商 本章推广了f r a m e 理论中的经典结论：在一个f r a m e 上全体核所构成的循序集与一个 f r a m e 上全体商所构成的偏序集仍然是f r a m e 第i ) 页 第一节商、开商、闭商与核函子 本节介绍了广义f r a m e 的商、开商、闭商与核函子的定义。同时在一个广义f r a m ea 上 全体核函子所构成的范畴( a ) 与该广义f r a m e 上全体商所构成的范畴q ( a ) 之间建立函 子对应关系 第二节主要结论 在上一节的基础上，我们证明了范畴( a ) 与q ( a ) 是等价的然后直接证明范畴a f ( a ) 是广义f r a m e ，再利用引理1 2 2 得到范畴q ( a ) 也是广义f r a m e ，这推广了f r a m e 理论中 的经典结论 第四章广义f r a m e 范畴的积与余积 本章构造了广义f r a m e 范畴的积与余积 第一节c ：- 理想 由p t j o h n s t o n e 引入的( ) _ 理想概念是f r a m e 理论中的有力工具，我们将( 理想 的概念在范畴意义下作推广 第二节广义f r a m e 范畴的积与余积 本节讨论了广义f r a m e 范畴g f r m 的积结构，然后应用g 理想确定广义f r a m e 范 畴g f r m 的余积结构对偶地给出广义l o c a l e 范畴g l o c 的积与余积结构 第五章广义f r a m e 的分离性与紧性 本章给出了正则广义f r a m e 完全正则广义f r a m e ，正规广义f r a m e 与紧广义f r a m e 的概念，并且讨论了它们的性质与相互关系 第一节广义f r a m e 的正则性 给出 关系的定义，并且讨论了它的一些性质，进而给出正则广义f r a m e 的定义，然后 说明正则广义f r a m e 的商仍然是正则的 第二节广义f r a m e 的完全正则性 第x 页 引 言 给出 ，显然有 ( a o b ( a ) i f q ( a ) = o ) = 虿 2 1 广义f r a m e 的点与素元 第1 7 页 则该定义是有意义的 事实上，任意a ，b o h ( a ) 1 。着a ，b 刁，则a b 虿，所以疡( 以口) = 0 = o 0 ：p 。( ) x ( b ) ；2 。若a ，b 簪虿，由q 是豪元知axbg 虿，所以 疡( a b ) = 1 = 1 1 = ) x 砀( b ) ；3 。着a ，b 中仅有 b l i l 于刁，不妨设 a 虿但b 皇虿，则a b 虿( 因为存在a 一态射axb a q ，所以 xb ) = 0 = 0 1 = 疡( a ) 疡( b ) 因此b ) = 疡( a ) x 砀( b ) 任意( s d 讵，o h ( a ) 1 。若 s d 讵f 虿，则任意i ，存在a - 态射s 一q ，由 余积的万有性质知，存在a - 态射i i & q ，即i i & 虿，所以 疡( 最) 01 1 0i i 疡( 最) e ，i e i 2 。若( s d jg 虿，则存在i j ，使最g 虿，从而p 。( s ) = 1 ，于是i i 。，( & ) = 1 又i i 。，& 窖青( 反证，若1 1 l j s 虿，则任意i ，存在a 态射& 一u 讵j & 一q 即s 虿矛盾) 所以 ( & ) = 1 = i i ( s ) t ，i e i 因此岛( u 讵，& ) = 。f p 口( & ) 由于存在a - 态射上一q ，所以p 。( 上) = o ；又局( t ) = 1 ( 若局( t ) = 0 ，则存在 a 一态射t q ，反之显然存在a 一态射q t ，所以t 兰q ，矛盾) ，故尸。：a 一2 是 广义f r a m e 同态 设q q 是p r a 一态射，即q q 是a 一态射，则任意a o h ( a ) ，若r j ) = 0 ， 即a 刁，也即存在a - 态射a q ，从而存在a 一态射a 。，于是a 孑，即 p 。，( a ) = 0 因此存在p t a 一态射 r ( q ) = p 。一一r ( q ，) 故r 是从尸r a 到p f a 的函子 最后。1 1 兰i d m a ，r 兰i d p ， 第1 8 页第二章广义f r a m e 的点与谱空问 事实上，任意f ：a 一2 p t a ，则 r e ( f ) = r ( a 0 6 ( a ) l f ( a ) = o ) ) = 岛 其中q = u a o b ( a ) i f ( a ) = o 任意a o b ( a ) ， 刚，= r 三嚣 当a 虿时，存在a - 态射a q ，从而存在2 - 态射 f ( a ) 一f ( q ) = f ( ( a o b ( a ) i f ( a ) = o ) ) 岂i i f ( a ) i f ( a ) = o ) = 0 ， 2 所以f ( a ) = o ；当a 蚕时，f ( a ) = 1 ( 若f ( a ) = 0 ，则存在a 态射a u a a 0 6 ( a ) f f ( ) = o ) = o ，即a 虿，矛盾) 因此由a 的任意性知 即r = i d v a 任意q p r a ， f 2 ( f ) = p 。= f r ( q ) = ( p 口) = i i 月o b ( a ) i p q ( a ) = o = 虿， aa 由于存在a 一态射q q ，即q q ，所以存在a 一态射q u q ；反之，由余积的万 有性质知，存在a 一态射u a q q 因此 2 r ( q ) = 虿皇q ， a 即e r 望i d p r a 综上所述，结论成立 2 2 广义f r a m e 的谱空间 定理2 2 1 设a 是广义f r a m e ，对任意a 一对象a ，令 西( a ) = p p t a p ( a ) = 1 ) 口 2 2 广义f r a m e 的谱空间 第1 9 页 则由：a _ 2 只足广义f r a m e 同态 说明把偏序集( 2 r “，) 看作范畴，它的对象就是p l a 的子集，态射就是集合的包含 关系t l p 任以v p t a ，u v 营u v ，容易验证在( 2 九a ，) 中集合的交就 是积，并就是余积任意a ，b o b ( a ) ，任意a 一态射，：a 一日，若p 西( a ) ，则 e ( f ) ：v ( a ) 一p ( b ) 是范畴2 = ( o ，l ，) 中的态射，又p ( a ) = 1 ，所以v ( b ) = 1 ， 即p 垂( b ) ，故西( a ) 量( b ) 于是圣( ，) ：西( a ) o ( e ) 是范畴( 2 p * a ，) 中的态 射，因此圣是函子 证明设任意a ，b o b ( a ) ，任意p p t a ，则 p 圣( a 8 ) 铮p ( a b ) = l 争p ( a ) p ( b ) = 1 = p ( a ) a 尸( b ) = 1 争p ( a ) = 1 ，p ( b ) = 1 孛p 西( a ) ，尸西( b ) 曹p o ( a ) n 西( b ) 甘p 西( a ) 圣( b ) 由p 的任意性知圣( a b ) = 圣( a ) 西( 口) 设任意 & ) ，d 6 ( a ) ，任意p p t a ，则 p 币( i i & ) 营尸( & ) = 1 t ，埏j 甘p ( 最) = 1 i ， 铮v p ( s d = 1 t ， 车 五，p ( & ) = 1 铮班j ，p 圣【& ) 铮尸u 西( 踟 i ， 铮尸垂( 最) 第2 0 页 第二章广义f r a m e 的点与谱空间 由p 的任意性知垂( u & ) = u 讵，垂( & ) 故垂是广义f r a m e 同态 口 洼2 2 2l l ( p t a ) = 西( a ) ：a d 6 ( a ) ) 构成| p t a 上的拓扑 ： 事实上，显然垂( 上) = p p t a i p ( 上) = 1 ) = d ，圣( t ) = p p a l p ( t ) = 1 = 尸t a ，又由定理2 2 1 的证明知，垂( a ) n 圣( b ) = 圣( axb ) ，u 。，圣( & ) = 垂( u 拒，s ) 所以f t ( p t a ) 是尸a 上的拓扑 今后，我们把拓扑空问( p a ，f t ( p t a ) ) 称作广义f r a m ea 的谱空间 命曩2 2 3 设f ：a b 是广义f r a l r l e 同态，定义映射 如下，任意p p b p t f ：( p t b ，f t ( p t b ) ) 一( p t a ，1 2 ( p t a ) ) 则p t f 是拓扑空间之间的连续映射 p t f ( p 1 = p o f 证明任意a o b ( a ) ，任意圣( a ) f l ( p t a ) ，由于 p ( p t f ) 一1 ( 圣( a ) ) 营p t f ( p ) 垂( a ) 营( p o f ) ( a ) = p ( f ( a ) ) = 1 争p 垂( f ( a ) ) ， 于是 ( p t f ) 一1 ( 西( a ) ) = 圣( f ( a ) ) 又垂( f ( a ) ) q ( 尸b ) ，所以p t f 是拓扑空间之间的连续映射，从而p t f 是拓扑空间范 畴t o p 中的态射 口 由命题2 2 3 我们立即有下面的推论， 推论2 2 4p t ：g f r m t o p 是一个反变函子，从而p t ：g l o c t o p 是一个 函子 2 2 广义f r a m e 的谱空间第2 1 页 对于拓扑空问范畴t o p 中的对象，即拓扑空问( x ，q ( x ) ) ，则其拓扑q ( x ) 为广义 f r a m e 范畴g l h m 中的对象；对于t o p 范畴中的态射，即拓扑空间之间的连续映射，： ( x q ( x ) ) 一( f q ( y ) ) ，则n ( ) = ，。：f l ( y ) 一o ( x ) 为g f h n 范畴中的态射，即 广义f l a m e 同态所以有反变函子q ：t o p g f r m ，从而q ：t o p g l o c 是函子 定理2 2 5 函子p t ：g l o c _ t o p 是函子q ：t o p g l o c 的右伴随 证明要证q _ p t ，只要证对任意拓扑空间( x ，n x ) ，存在t o p 范畴中态射，腿= ( x ，f i x ) ，( ，q x ，n p t f l x ) ，使得任意广义l o c a l ea ，任意连续映射g ：( x ，q x ) 一 ( p t a ，n p t a ) ，存在唯一的广义连续映射g ：f i x a 满足： p t ( g ) 0 q x = 9 ， 即下面图表交换t ( x ，f t x ) o ( r n x ，f l p t f l x ) ， ( p t a ，f l p t a ) 事实上，任意拓扑空间x ，定义映射 钕= x p t f l x 如下任意z x ，任意u n x ， f 职( 。) ( u ) = 1 争z 以 则钕( z ) ：n x 一2 是广义f r a m e 同态 设以y n x ，则u n v f i x ，从而 钕 ) ( 【，x v ) = q x ( z ) ( u n v ) = 1 营z u nv 甘卫c 厂且z v 兮钕( 茹) ( u ) = 1 且取( z ) ( y ) = 1 兮钕( z ) ( u ) a 椒( z ) ( y ) = l 铮驭( 茹) ( 【，) 取( z ) ( y ) = 1 ， 第2 2 页第二章广义f r a m e 的点与谱空间 所以 ，( 。) ( uxv ) = q x 0 ) ( u ) 。n x ( z ) ( v ) 设 以，l ，f i x ，则u t j 以q x ，从而 微( 甸( 巩) = 取( z ) ( u 巩) = 1 i e it ， 铺z u 仉铮| i e ，z 阢 t j 铮| i ，取( z ) ( 以) = 1 营v 似( z ) ( 以) = 1 j 营i i 帆( z ) ( 蚴= 1 ， 所以 般( z ) ( 以) = l ， 因此似( z ) ：f i x 一2 足广义f r a m e 同态 因为任意u q x ，有 i i 锹( 茁) ( 阢) i e l 吁i 1 ( 圣( c ，) ) = z x l n x ( = ) 垂( ，) ) = 扛x l n x ( = ) ( u ) = 1 ) = 矿 所以n x = x p t f l x 足连续映射 对任意广义l o c a l ea ，任意连续映射9 ：x _ j p a ，定义函子 如下：任意a o b ( a ) g + ：a q x g + ( a ) = 。x 1 9 ( z ) ( 月) = 1 ) 则该定义是有意义的，而且g + 是广义f r a m e 同态 2 2 广义f r a m e 的谱空间第2 3 页 由于 9 - 1 ( 西( a ) ) = 。x l g ( z ) 西( a ) ) = 伽x l g ( x ) ( a ) = 1 ) = g ) ， 又g ：x p t a 是连续映射，所以g ( a ) f i x 任意，：a b m 。r ( a ) ，任意z x ，由于g ( x ) ：a 一2 是函子，所以 g ( z ) ( ，) ：g ( z ) ( a ) _ g ( z ) ( b ) 是2 中态射，即夕( 。) ( a ) g ( z ) ( b ) ，从而 g ( ) = t ze x l g ( x ) ( a ) = 1 ) 。x 1 9 ( z ) (