（基础数学专业论文）基本n李代数.pdf

摘要 摘要 伽李代数作为李代数的自然推广，是基本乘法运算为n 元线性运算的一种代数系 统( 当住= 2 时，即为通常李代数) 本文主要研究基本仡- 李代数和有余m 李代数 第一节，给出了伽李代数的基本概念，符号，以及一些基本的结果其中包括m 李代数的定义、伽李代数的子代数、理想、可解、幂零、中心、导代数等概念，以及两 个重要命题 第二节，给出了m 李代数的f r a t t i n i 子代数的基本性质以及一些重要结论 第三节，定义了基本n 一李代数和有余m 李代数，并研究了基本僻李代数的性质 和子代数的结构，得到了几个判定基本m 李代数的充分必要条件，讨论了基本礼李代 数和e 代数之间的关系 第四节，主要讨论了有余伽李代数的性质，研究并总结了有余伽李代数与一些已 知m 李代数之间的关系 关键词f r a t t i n i 子代数；基本纶李代数；有余纶李代数； e 代数 河北大学理学硕士学位论文 a b s tr a c t a nn - l i ea l g e b r ai san a t u r a lg e n e r a l i z a t i o no ft h ec o n c e p to fal i ea l g e b r at ot h e c a s e ，w h e r et h ef u n d a m e n t a lm u l t i p l i c a t i o no p e r a t i o ni sn a r y , n 2 ( w h e n 佗= 2 ，t h e d e f i n i t i o na g r e e sw i t ht h eu s u a ld e f i n i t i o no fal i ea l g e b r a ) 。i nt h i st h e s i s ，w em a i n l y s t u d yt h ep r o p e r t i e so ft h ee l e m e n t a r yn - l i ea l g e b r a sa n dc o m p l e m e n t e dn - l i ea l g e b r a s i ns e c t i o n1 ，w er e c a l ls o m ed e f i n i t i o n sa n dn o t a t i o n sf r o mt h et h e o r yo fn - l i e a l g e b r a s ，a n dg i v es o m eb a s i cr e s u l t s s u c ha sd e f i n i t i o n so fn - l i ea l g e b r a ，s u b a l g e b r a ， i d e a l ，s o l v a b i l i t y , n i l p o t e n t ，c e n t e r ，d e r i v a t i o na l g e b r a ，t w op r o p o s i t i o n so fn - l i ea l g e b r a s 。 i ns e c t i o n2 ，w eg i v et h ep r o p e r t i e sa n dt h em a i nr e s u l t so ft h ef r a t t i n is u b a l g e b r a s o ft h en - l i ea l g e b r a s i ns e c t i o n3 ，w ed e f i n ee l e m e n t a r yn l i ea l g e b r a sa n dc o m p l e m e n t e dn - l i ea l g e b r a s ， a n dm a i n l ys t u d ys o m ep r o p e r t i e so ft h ee l e m e n t a r yn - l i ea l g e b r a sa n dt h es t r u c t u r eo f t h es u b a l g e b r a so fi t ，w ea l s oo b t a i ns o m en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt ob e i n g e l e m e n t a r yn - l i ea l g e b r a s ，a n dg i v et h er e l a t i o n sb e t w e e ne l e m e n t a r yn - l i ea l g e b r a sa n d e - a l g e b r a s i ns e c t i o n4 ，w em a i n l yd i s c u s st h ep r o p e r t i e so ft h ec o m p l e m e n t e dn - l i ea l g e b r a s a n ds u m m a r i z et h er e l a t i o n sb e t w e e nt h ec o m p l e m e n t e dn - l i ea l g e b r a sa n ds o m en - l i e a l g e b r a sw eh a v ek n o w n ， k e y w o r d s f r a t t i n is u b a l g e b r a ；e l e m e n t a r yn - l i ea l g e b r a s ；c o m p l e m e n t e dn - l i e a l g e b r a s ；e - a l g e b r a s i i - 河北大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本入在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学或其他教育机构的学位或证书 所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了致谢。 作者签名： 妇乏毒赵 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年月日解密后适用本授权声明。 2 、不保密口。 ( 请在以上相应方格内打“ ) 作者签名：墨鱼圭童建 导师躲鱼蚴： 日期：丑年上月上日 日期：羔! 日年月上日 o i n t r o d u c t i o n ii i_iii i 0 i n t r o d u c t i o n i nl a s tf e wy e a r si n t e r e s tt on - a r yg e n e r a l i z a t i o n so ft h ec o n c e p to fl i ea l g e b r a h a sb e e ng r o w i n g t h i si sd u et ov a r i o u ss p e c u l a t i o n sc o n c e r n i n gd y n a m i c sa n dt o m a t h e m a t i c a lc u r i o s i t ya sw e l l u pt on o wt w od i f f e r e n tg e n e r a l i z a t i o n so ft h en o t i o n o fl i ea l g e b r aw e r ep r o p o s e d ，t h e yc o r r e s p o n dt od i f f e r e n tr e a d i n g so ft h es t a n d a r d j a z o b ii d e n t i t ya n dh a v eq u i t ed i f f e r e n tp r o p e r t i e s ，b u tb o t hh a v et h e i ro w na r e ao f a p p l i c a t i o n s i np a p e r 9 】，p r o p o s e du n i f y i n gp o i n tv i e w ，at h r e e - p a r a m e t e rf a m i l yo f m u l t i p l el i ea l g e b r a si sd e f i n e di ns u c haw a yt h a tt h em e n t i o n e ds t r u c t u r e sa p p e a ra s i t sp a r t i c u l a rs u b c a s e s h i s t o r i c a l l y , t h ef i r s tw o r kd e d i c a t e dt ot h i st o p i c sw a sv t f i k i p p o v i n1 9 8 5 ， f i l i p p o v 【1 i n t r o d u c e dt h ec o n c e p to fn l i ea l g e b r a i ni t ，f i l i p p o vc o n s i d e r sn - a r ym u l t i - l i n e a ra n ds k e ws y m m e t r i co p e r a t i o n 扛1 ，z n ls a t i s f y i n gg e n e r a l i z e dj a c o b ii d e n t i t y ： ，】，沈，y n = 陋1 i 一，x i , 弘 i = 1 ，z n 】( j 1 ) i nt h i sp a p e r ，f i l i p p o vg a v et h ef i r s tb a s i ce x a m p l e ，d e v e l o p e ds t r u c t u r a ln o t i o n ss u c h a ss i m p l i c i t ya n dn i l p o t e n c ya n dc l a s s i f i e d 死一l i ea l g e b r a so fd i m e n s i o n 礼+ 1 s h m k a s y m o vi n 【2 ，3 ，4 ，5 】i n t r o d u c e da n ds t u d i e dk - s o l v a b i l i t y , k - n i l p o t e n c y ( 0 后 佗) ， c a r t a ns u b a l g e b r a s ，k i l l i n g - f o r ma n dr e p r e s e n t a t i o n sf o rf i l i p p o v 佗一l i ea l g e b r a s ，h ea l s o p r o v e da l ln - a r ya n a l o go ft h ee n g e lt h e o r e m a n o t h e rn a t u r a l 礼- a r yg e n e r a l i z a t i o no ft h es t a n d a r dj a c o b ii d e n t i t yh a st h ef o r m ( 一1 ) ( i a , - , i n j h - , j n 一，【陋n ，z t 。】，协。，一，】= 0 ， ( j 2 ) t 1 t n ；j 1 0 2 ) t h ef r a t t i n ii n d e xo fa i st h el e a s ti n t e g e rrs u c ht h a t 异= 0 。b yd e f i n i t i o n 2 2 ，只i ss t r i c t l yc o n t a i n e di n 冠一1 ，s ot h a ta l lf i n i t ed i m e n s i o n a ln - l i ea l g e b r a sh a v e f i n i t ef r a t t i n ii n d e x a n di fai sa b e f i a nn - l i ea l g e b r a ，t h e nf r a t t i n ii n d e xi so n e f i r s t w eg i v et h ef o l l o w i n gi m p o r t a n tc h a r a c t e r i z a t i o no ff ( a ) ： t h e o r e m2 1t h ef r a t t i n is u b a l g e b r af ( a ) i st h es e to fn o n g e n e r a t o r so fa p r o o f f i r s tw ep r o v et h a tr ( a ) c o n t a i n sa l ln o n - g e n e r a t o r so fa ： a s s u m et h a tzi sa n o n - g e n e r a t o ro faa n dz 蓝f ( a ) t h e nt h e r ee x i s t sa m a x i m a l s u b a l g e b r am o fas u c ht h a tz 垡m t h u s 尬= ( ) p r o p e r l yc o n t a i n sm ，s i n c e m i sam a x i m a ls u b a l g e b r a ，t h e n 尬= a b u t ( j = m a ，t h i sc o n t r a d i c t st h e f a c tt h a toi sa n o n - g e n e r a t o ro fa t h e r e f o r e ，2 f ( a ) 9 - 河北大学理学硕士学位论文 n o ww ep r o v et h a tf o ra n yz f ( a ) ，zi san o n - g e n e r a t o ro fa ： s u p p o s et h ec o n t r a r y , t h a ti st h e r ee x i s t sz f ( a ) a n dt h es u b s e tso fas u c h t h a t ( ) = ab u t ( ) a ，t h u sz 垡( ) l e tmb eam a x i m a l s u b a l g e b r ao faw h i c hc o n t a i n s ( ) b yd e f i n i t i o n2 2a n dz f ( a ) ，z m ，t h u s a = ( ) 冬( ) = m ，s ow eg e tm = a t h i sc o n t r a d i c t st h a tm i sa m a x i m a ls u b a l g e b r ao fa t h ep r o o fi sc o m p l e t e d p r o p o s i t i o n2 1 2 6 】l e tab ea nn - l i ea l g e b r ao v e rf ，t h e nt h ef o l l o w i n gs t a t e - m e r i t sh o l d ： ( 1 ) i fb i sa s u b a l g e b r ao fas u c ht h a tb + f ( a ) = a ，t h e nb = a ( 2 ) i fb i sa s u b a l g e b r ao fas u c ht h a tb + 圣( a ) = a ，t h e nb = a p r o p o s i t i o n2 2 2 6 】l e tab ea nn - l i ea l g e b r a ，ba ni d e a lo fa ，t h e nt h e f o l l o w i n gs t a t e m e n t sh o l d ： ( 1 ) ( f ( a ) + s ) b 冬f ( a b ) ，( 圣( 以) + b ) i b 圣( a b ) ( 2 ) i fb 垦f ( a ) ，t h e nf ( a ) b = f ( a b ) ， 垂( a ) b = 西( a b ) ( 3 ) i ff ( a b ) = 0 ( 圣( a b ) = 0 ) ，t h e nf ( a ) 冬b ( 西( a ) b ) p r o p o s i t i o n2 3f 2 6 】l e tab ea n 死一l i ea l g e b r ao v e rf ，i fah a st h ed e c o m p o s i - t i o n ：a = a 1 4 牛a m ，w h e r ea i ，i = 1 ，m ，a r ei d e a l so f a ，t h e n ( 1 ) f ( a ) f ( a 1 ) + + f ( a m ) ； ( 2 )圣( a ) = 西( a 1 ) + + 雪( a 竹1 ) i fz 1 ，z 后a ，w es h a l ld e n o t et h es u b s p a c ea n dt h es u b a l g e b r ao fa g e n e r a t e d b yz l ，z 是，( ( z l ，z j c ) ) a n d ( ) r e s p e c t i v e l y l e tvd e n o t eaf i n i t e - 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