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图的循环定向 基础数学专业 研究生邹腾指导教师彭联刚 c l u s t e r 代数是近几年才出现的一种代数，与代数学中很多学科和分支都有 广泛的联系。s f o m i n 和a z e l e v i n s k y - 定义并分类了有限型的c l u s t e r 代数， 而m b a r o t ，c g e i s s 和a z e l e v i n s k y 的一项工作说明，对有限型的c l u s t e r 代 数的判定问题又依赖于其相应的图是否可以定向并且给出了一个图是否可定 向的判断方法该方法对图中所有圈上的边依次排序编号，然后考察不同的圈 是否有不同的极大边，或者是计算顶点、边、圈和连通分支间的数量关系本文 给出另外一种判定方法，我们的方法主要是通过观察顶点之间的链进行 关键词：c l u s t e r 代数有限型有向图循环定向 c y c l i c a lo r i e n t a t i o n so fg r a p h s m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s g r a d u a t es t u d e n tlz o ut e n g s u p e r v i s o rlp e n gl i a n g a n g a b s t r a c t c l u s t e ra l g e b r a sa p p e a r e dj u s ts e v e r a ly e a r sa g o i th a sb e e ns h o w nt h a t c l u s t e ra l g e b r a sa r er e l a t e dt ov a r i o u ss u b j e c t s s f o m i na n da z e l e v i u s k y d e f i n e da n dc l a s s i f i e dt h ed u s t e ra l g e b r ao ff i n i t et y p e b yar e s u l to fm b a r o t ，c g e i s sa n da z e l e v i n s k y , f i n i t et y p ef o rac l u s t e ra l g e b r ad e p e n d so l lt h ec y c l i c a l o r i e n t a t i o no ft h ec o r r e s p o n d i n gg r a p h t h e yg a v eam e t h o dt od e c i d ew h e t h e r ag r a p hc a nb ec y c h c a l l yo r i e n t e d t h e i rm e t h o di se i t h e rt oc o n s i d e rt h el i n e a r o r d e ro ft h ee d g e ss u c ht h a td i f f e r e n tc h o r d l e s sc y c l e sh a v ed i f f e r e n tm a x i m a l e d g e s ，o rt oc h e c kt h en u m b e rr e l a t i o na m o n gt h ea m o u n to fv e r t i c e s ，e d g e s ， c y c l e sa n dc o n n e c t e dc o m p o n e n t s i nt h i sp a p e r ，w eg i v ea n o t h e rm e t h o dt o d e c i d ew h e t h 盯ag i v e ng r a p hc a nb ec y c l j c 枷yo r i e n t e d o u rm e t h o di st ou s e t h ec h a i n sb e t w e e nt w ov e r t i c e s k e y w o r d s ：d u s t e ra l g e b r a ，f i n i t et y p e ，c l i r e c t e dg r a p h ，c y c l i c a lo r i e n t a - 声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的 研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以 标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写 过的研究成果，也不包含为获得四川大学或其他教育机构的 学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究 所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 本学位论文成果是本人在四川大学读书期间在导师指导 下取得的，论文成果归四川大学所有，特此声明。 导师_ i j 璺1 惟着堑尘 二零零七年四月二十日 第一章绪论 s f o m i n 和a z e l e v i n s k y 在【1 1 】中引入了d u s t e r 代数，这是由所谓的 d u s t e r 变量生成的n 元多项式分式域的子代数，其目的是为了研究如k a s h i w a x a 和l u s z t i g 定义的量子范包络代数的对偶典型基( 【2 2 1 1 7 1 7 2 0 ) 与代数群的 全正性( 【1 2 2 1 1 5 1 1 6 】) 之间的关系，同时也希望它能够刻画关于代数群的族 的经典量子化坐标环( 文献【1 】给出了一个具体的例子) 进一步研究表明d u s t e r 代数结构的理论( 参见【1 6 1 0 ) 与以下几方面都 有联系： 表示论( 【2 7 】【5 】【4 】【9 】) 量子群( 【8 】) 泊松几何( 【1 9 】) 箭图的表示( 【3 】【2 3 】) 劳伦现象( 【1 4 】) 热动力b e t h ea n s a t zy - 系统( 【i s ) 关于有限根基的一族凸多面体( 【2 4 1 1 2 5 1 ) 在【1 3 】中，s f o m i n 和a z e l e v i n s k y 对有限型的d u s t e r 代数进行了分 类，其中将一个c l u s t e r 代数与一个反对称矩阵相对应m b a r o t ，c g e i s s 和 a z e l e v i n s k y 在【2 】中证明了d u s t e r 代数为有限型当且仅当其相应的反对称矩 阵b 对应的有向图可循环定向( 参见定义2 3 ) 且b 可导出一个正定的相交矩 阵所以若b 对应的底图( 即忘掉箭头后的图) 不可定向，则该d u s t e r 代数不 可能是有限型于是一个自然的问题是如何判定一个图是否可定向 b a r o t ，g e i s s 和z e l e v i n s k y 在f 2 】中( 定理5 1 ) 进一步给出了一个图r 是 否可定向的判断方法他们的方法是对图r 的边依次排序编号。若存在一种编 四川大学硕士学位论文第2 页 号的次序使图r 中每个圈都有互不相同的编号极大的边，则该图可定向；或者 如果其顶点、边、圈和连通分支间满足一定的数量关系，那么图r 可定向 上面那些方法均要求先观察出所有的圈，本文给出了另一种方法，主要是 通过链( 参见定义3 1 ) 来判断，这样只需要对该图特殊的顶点之间的链进行观 察即可 第二章预备知识 首先让我们回忆一下【1 l 】中有关c l u s t e r 代数的基本内容任给一个正整数 n ，一个秩为n 的d u s t e r 代数是一个有单位无零甚子的交换环，并且还有一族称 为c l u s t e r 变量的生成子d u s t e r 变量的集合是一系列互不相同的称为d u s t e r 的n 元子集之并，这些d u s t e r 之间有如下的交换关系： 对于任意的d u s t e rx 和任给z x ，都一定存在一个d u s t e rx 7 是由 d u s t e r 变量一替换x 得到，而z 和一间有如下的二项式交换关系； z 毒= m l + m 2 此处m 1 和肘j 为互素的单项式。他们以x 一( z ) 为不定元进一步，任意 两个d u s t e r 之间均可以用一系列的这种变换得到 一个秩为n 的c l u s t e r 代数对应一个n 正则树死所谓n 一正则树即该 树中每个顶点有n 条边与之相连c l u s t e r 代数中一个d u s t e r 对应图中一个顶 点，且对于图中一条边t 上，不妨设顶点t 和r 分别对应d u s t e r x t 和五， 则它们之间仅有巧与弓不同且满足； 巧= m a t ) + m j ( r ) 这里的两个单项式 乃( t ) 和坞( r ) 是以集合五一 巧) 中的d u s t e r 变量为不定 元的互素的单项式故对边t r ，有m j ( t ) 毛( r ) 仍为单项式，即有： 器m j = p 揣j ( t 聪水 ) ( 7 )7 ) p 、 、 此处( ) z 因为坞( t ) 和屿( 亡，) 以五中元为不定元，故i 取值从1 到n 已知底图死中任一点均与n 条边相连，而对于每一条边均可如上做一个交换 单项式之比，故( ”) 中b i j ( t ) 的脚标j 亦可从1 到取值从而得到n 竹 整数矩阵b ( t ) = ( b o ( ) 甜，称为与顶点t 相对应的矩阵进一步， 易( t ) 和 屿( r ) 实际上并不包含巧这个元，故它们的比中也不会出现巧，即( ) = 0 ， 四川大学硕士学位论文第4 页 j l ，2 ，n ) 同时，m j ( t ) 和m s ) 互索，故若尬( t ) 中出现不定元x k ， 则b k j ( t ) 0 ，而若 易( t ，) 中不出现不定元x r ，则b r j ( t ) = 0 所以： m a t ) = 所( t ) i iz 炒 i ：b 0 o m a t ) = 功( t ，) i i2 ， 个整数项方阵b = ( b i t ) 称为符号反对称的，如果。b o = = 0 或者b i j 和符号相反b = ( b o ) 和b 7 = ( 屹) 为同阶整数方阵，称b 7 由8 在k 方 向上做矩阵m u t a t i o n 得到，记为b 7 = 肌( b ) ，如果， 屹= 出学丑藉妒后 眨吡， 容易验证这里有肛0 p ；i d 而实际上，d u s t e r 代数中关于任意顶点t 的矩阵b ( t ) 均为符号反对称的， 并且对于边t t ，不妨设b ( t ) 和b ( e ) 分别表示点t 和r 对应的矩阵，则： b ( e ) = 鲰( 日( t ) ) 反之，由【1 1 】中命题4 3 我们知道，对于给定的n - 正则树 l ，一系列n 阶整数方阵 b ( f ) ) * 可以如上对应一个d u s t e r 代数当且仅当 其满足如下条件t 1 ) 对任意t 死，b ( t ) 为反对称矩阵 2 ) 对于边t 与t ，则有，b ( r ) = i t k ( b ( t ) ) 由上述可知，一个c l u s t e r 代数对应于一个符号反对称的矩阵族 b ( t ) ) t e ，并且如果t 与在正则树已中有边相连，那么b ( t ) 和b ( e ) 可经过一次的 m u t a t i o n 得到从而这族符号反对称矩阵中的所有矩阵是m u t a t i o n 等价的我 们称正则树瓦中顶点t 和等价，如果相应的符号反对称的矩阵b ( t ) 和b ( t 7 ) 相等( 在同时交换相应的行与列的意义下) 如果把c l u s t e r 代数相应的n - 正则 树中的顶点用顶点等价类代替，两个等价类中如果有代表元相邻则该两个等价 类相邻，如此得到c l u s t e r 代数的e x c h a n g e 图而称具有有限e x c h a n g e 图的 c l u s t e r 代数为有限型 四川大学硕士学位论文第5 页 对于一个n 阶符号反对称矩阵b ( t ) = ( b i j ) ，作1 1 个顶点的有向图如下： 如果幻 0 ，则有从顶点t 指向j 的一条边，且赋权i b i j b j i l ，称为该矩阵相应 的边权图，记为r ( b ) 例2 1 对干5 阶符号反对称矩阵 相应的边权图r ( b ) 为 b 隹引 1 3 4 定义2 1 圈的循环定向是该圈上所有边的定向均为首尾相连的 例2 2 循环定向的三角形只有以下两种 1 31 在本章的最后，我们给出两个重要的定义 3 定义2 2 如果图中一个满子图为圈，那么该满子图称为c h o r d l e s s 圈 四川大学硕士学位论文第6 页 定义2 3 对一个图，若存在- - 4 定向使得其中每个c h o r d l e s s 圈都是循环定向 的，则称该图为可循环定向 m b a r o t ，c g e i s s 和a z e l e v i n s k y 在【2 】中证明了c l u s t e r 代数为有限型 当且仅当其相应的反对称矩阵b 对应的有向图可循环定向且b 可导出一个正 定的相交矩阵所以为了讨论如何构造有限型c l u s t e r 代数的问题，我们下面研 究图的可定向问题 第三章主要结论 约定下面简称c h o r d l e s 8 圈为圈，一般的圈则特别说明图可循环定向简称 为可定向 定义3 1 设1 1 ，赴，i 3 毛是图中互不相同的顶点且t 3 若这t 个顶点间除可 能的边 i 1 ，赴) 外其余的边有且仅有 略，毛件1 ) p l 以t 一1 ) ，则称为连接i l ，蟊的 一条链，记为( i l ，i 2 蟊) 一 此处的定义与b a r o t ，g e i s s 和z e l e v i n s k y 在【2 ( p 1 7 ) 中的定义略有不 同，他们要求t 1 与赴之间一定没有边 称一个圈上的两个箭头为相容的，如果它们均为顺时针或逆时针的否则， 称它们互斥称链被一条路所蕴含，如果该链上的所有顶点均在该路上显然长 度大于等于2 的路总是蕴含链 定义3 2 称两点间几条链为本质互异的，如果任一条链一定包含其余几条链之 外的点 譬如 a ! 夕i 。 该图中点a ，b 问的链( a ，1 ，2 ，6 ) ，( a ，3 ，2 ，( 吼3 ，4 ，6 ) 就不为本质互异的，因为上 面的链( o ，3 ，2 ，b ) 上的点均在其余两条链上 四川大学硕士学位论文第8 页 显然。满子图如果不可定向，则该图不可定向 完全图( 任意两点之间均有且仅有一条边相连) 的定向是很清楚的：易知 小于四点时都可定向，并且至少4 个点的完全图是不可定向的因为它一定包 含4 点完全图为满子图，而4 点完全图 一定不可定向故下面都不考虑完全图，即下面的图都不是完全图 引理3 1 两圈之间若有相邻两条及以上的公共边，则该图一定不可定向 证明；当有相邻两条公共边时，如下图 专。兮耄 蟊南纱矗 其中设圈a 为0 ，鼻k ， l 矗 ，g 为0 ，j ，k ，j l 靠) 且公共边仅为0 ，j ， ( ，j ) ，若0 - 如) 与 j - 易) 之间没有边，则0 ，i ，赴，j ，j - 如) 为 个圈g ，此时a ，q 和g 无法同时定向否则若0 ，i 1 矗，k ，j ，j - 矗) 不为一个圈，即a z 矗) 与 j 矗 之间有边相连，取边协，矗) 使得r + 8 最小，则 i ，t 1 露，矗j 1 ) 必为一个圈g ，此时仍有q ，g 和岛无法 同时定向 假设圈a 和g 除公共边0 ，j ) ，j 外还有至少一个公共点，总可以适 当的选取公共点使得露= 五中的r 最大，易知此处r t ，s p ，那么或者 四川大学硕士学位论文第9 页 4 蟊，靠矗，为一个围c 3 ，或者协魂，和协丘 间有边相 连，选取边 如，矗) 使得a + b 最大，则 吒i t ，七，矗矗) 为一个圈g ， 对这两种情况都有圈a 。岛和岛无法同时定向 对于相邻的公共边更多的情况可以类似的讨论 引理3 2 相交于一边0 ，j ) 的两圈之间，不能有任何不过交点i 或j 的路分别 连接两圈上非t ，j 的点 证明：如图； i 1j 1 i l i； ；l i ij ； i ； 钆 昴 设圈a 为 t ，j ，i 1 矗) ，圈q 为a ，j ，j l 如) 且公共边为0 ，j ) 若两圈除点i ，j 外还有交点，即该两点由长度为0 的路相连接总可以取最 小的i 。使得i 。= 如，此处a 1 1 ，t 一1 ) b 1 1 ，p 一1 ) ，否则比如a = 1 ，b 1 则，点i 和如之间有边相连，故使得 i ，j ，j 1 靠) 不是c h o r d l e s s 圈此时 如果 i 1 站) 和d l j 6 ) 之间没有边，则 t ，i t i 。，如_ 1 j 1 ) 为一 个圈岛，则a ，q 和c j 不能同时定向否则， 1 1 站) 和 j - 九) 之间有边，取边协，矗) 使得r + 8 最小，则 t ，i l ， j 1 ) 必为一个圈 岛，则a ，q 和g 不能同时定向 若两圈除点i ，j 外没有交点，但非交点有长度为1 的路相连，即0 l 蟊 和 j 1 矗) 之间有边，则类似引理2 1 中的证明过程 故两圈之间仅有公共边0 ，j ，而且0 蟊) 和 j - 矗 之间没有边 若有长度至少为2 的路连接非交点的两点。则一定有链连接该两点不妨设为 有链( 站，k 1 肆，j r ) 连接点以， ，s 1 ，q ，r 1 ，p j ，则取使得0 1 如， 和( 七1 辟) 之间有边 如，) 的最小的i 。，和最小的矗使得有边 如，) ， 四川大学硕士学位论文第1 0 页 且取，使得一k 。最小如图 、j 7 如矗 若此时链( i 。，如) 与链( i ，i l i 。，如j - ) 拼成一个圈g ( 此时可 能有i l = 。，岛= ，j 1 = 如) ，则白，岛和g 无法同时定向否则，该构造 过程保证仅可能点i 和 k ) 之间还有边，设为a ，k ) ，“。) ， 则显然a ，i l t 。，砬。) ，“k i ，：) ，0 ，k k ，血j - ) 均 为圈 考虑由 a 睾，i ，i l 蟊，j ，靠j 1 ) 组成的满子图，仅可能 与 i 。如，歹，矗如) 之间还有边，故该满子图中i 点上的所有 边( f ，订，亿e - 】，“矗 ，0 ， a ，岛。) 均同时属于至少两个圈由【2 j 2 中引 理5 6 ，可定向图中，一个点上若有边，则该点上一定有边仅属于一个圈故该 满子图不可定向，从而原图不可定向 引理3 3 不相邻两点间若有三条本质互异的链，则该图不可定向进一步地， 不相邻两点间的链条数大于等于了，则该图一定不可定向 证明：设点i j 问有三条链o 1 ( i ，i l ，如如，j ) ，0 2 ( t ，j l ，如靠，j ) 和 印( i ，1 ，j c 2 k ，j ) ，如图； h k 州n 唰靠v 簟_ 缸 四川大学硕士学位论文第1 1 页 不妨设盯1 ，观和0 r 3 之间除去i ，j 外无交点否则，如i ，= 丘则，取i ，为新的i 点，并且把链( i - 4 一1 ) 并入c r 3 中，取该路中蕴含的链为新的毋，取链毋 为( i ，蟊) 链o 2 为0 。矗) ，则该盯，观和铂还是本质互异的 若u 1 和o 2 不能组成一个圈，则必定有边 i 。 。) ，r l 【1 ，司，8 1 【1 ，p 】则 由盯- uo 2 上的点构成的满子图中必定会有两个仅相交于一条边的圈a ，q 不 妨设交线为 站，矗) ，且边 t 。，如+ 1 ) cq ， j b ，矗一1 ) cc 2 ，则有圈a 上点 i 。+ l 和岛上点如一1 由路t i 叶l 如，j ，k q 七1 ，t ，j 1 矗一1 ) 连接，故由引 理2 2 知，该图不可定向 由上面的讨论易知，当不相邻两点间的链条数大于3 时，该图不可定向 定理3 1 非完全图可定向当且仅当图中任意不相邻两点问至多有2 条本质互异 的链 必要性的证明：由引理( 3 3 ) 直接可得 至于充分性的证明，还需要一点准备易知图上定向的传递能且只能通过 恰相交于一边的圈来完成一系列仅相交于一边的圈若可定向，其上有且仅有 两种定向实际上。若有一种定向使其上所有的圈均被定向，则将其上每条边的 方向均翻转即得另一种定向此时其上任意一条路中每条边均被定向，实际上 此时给该路上任一边赋予一个方向，则每条边都被唯一的定向，故称该路为传 向路 引理3 , 4 相交于一条边的两圈有除公共边外的交点，则该图中存在不相邻两点 间有至少三条本质互异的链 证明t 设两圈为0 ， i l ，i 2 矗) 和( 1 j ，j l ，如矗 ，公共边为a ，j ) ，如 图： 四川大学硕士学位论文第1 2 页 q ；j 1 二t l 赴 除公共边a ，j ) 外有交点i 。= 如。这里a 1 ，以b 1 ，r 否则，比如 a = t ，b = r ，则边托，j ) 也为公共边放点i 和赴之间就有( i ，i l ，i 2 赴) ， ( i ，j l , 如屯) 和( i ，工西) 三条本质互异的链 当= 1 ，b = l 时可以类似的推导而当a = 1 ，b 1 时，则边 t ，j b 会 使0 ，互j l ，j 2 矗) 不是一个c h o r d l e s s 圈，矛盾当o 1 ，b = 1 时，可以类 似的推导故有a 1 ，t ) b 1 ，r ) ，所以i 。和j 之间有三条本质互异的链 ( i 。，t 。1 i l ，i ) 。，矗一1 j l ，t ) 和( 矗，办+ 1 且，j ，t ) 引理3 5 仅相交于一条边的两圈，若有非交点的两点相邻，则该图中存在不相 邻两点闻有至少三条本质互异的链 证明：设两圈为 t ，工i l ，i 2 缸) 和0 ，工j l ，j 2 矗) ，公共边为 i ，连接 相邻两点的边为 如，如) 如图： 乱1 “i 、 o b 羔 。 j r 则i ，j ，知，矗四点中必有两点不相邻，否则该四点就构成四点完全满子图不妨设 知与j 不相邻，则必存在i p + l 使：( i p ，知+ l i t , j ) 为一条链，而( 知i l ， ，j ) 澎 四川大学硕士学位论文第1 3 页 为第二条，而路 知，九，九+ 1 矗，j ) 中显然蕴含一条与前两条本质互异的链， 故知与j 之间至少有三条本质互异的链 定理( 3 1 ) 充分性的证明t 若该图不可定向，即图中必有一个圈g ，其上至少有两条互斥定向的边 t ，j ) ，q ) ，而且 七，q ) 的定向一定是由托j ) 传递并决定，否则可以改变 七，q ) 及其相关的定向使得边托j 七，订的定向相容但定向只能通过仅交于一条边 的两圈传递，故要使托j ) 的定向传递到 七，g ) 上，则一定存在圈qnc 1 = 边 i ， ，且不妨设有边 工o ) cc 2 ， j ，6 ) ca ，则可以断言顶点a ，b 一定由 不全在g u 岛上的路连通如图： ：二南 ；l i ：_ 7 9 断言：连通顶点o ，b 的路中一定有路不过交点i ，j 不妨设传向路p 1 过交点 i ，且在交点i 上有边0 ，站) i ，站 则要把方向从 i ，i 。) 传递到 i ，如) 上，或 者托如) 和0 ，讲在一个圈a ，站，站，i l 蟊) 内或者有圈 t ，i 。，碍吃) ， 0 ，四，t ，畦珐) ， i ，t ，碍吃) 0 ，砰，四吃) ，a ，四，i b ，i 2 氇) ， 如图 谚一年i i 四 j - ! f 一 吒 夕如 故用路 i a , i l 如，讲或 缸，曙吃嘿魄，i 2 ，i b ) 替换掉路p l 中的 如，i ，砧则得一条不过点i 的路即可 四川大学硕士学位论文第1 4 页 由上知连通a ，b 的路中一定有不过交点的，故一定蕴含不过交点的链q 若 链q 的顶点全在au c t 上，即圈a ，岛上一定有除交点外的两点相邻，由引 理2 6 。存在不相邻两点间有至少三条本质互异的链，此时，结论成立否则链 q 包含au 伤外的点而路q 1 o t k ，q 6 ) 和0 2 ，j ，6 ) 也为两 条本质互异的链，否则，仅可能路缸i k ，q 6 ) 不为链，此时由引理 2 6 ，知该图中存在不相邻两点间有至少三条本质互异的链易知a ，b 问q ， q l 和q 2 这三条链为本质互异的，故充分性得证 注3 1 对相邻的两点a ，b ，则可以有任意多条本质互异的链而该图仍可定向 比如l 8 该图中相邻点a ，b 间有盯1 ，0 2 ，0 3 ，几四条链，他们均与边b _ o 组成了 c h o r d l e s s 圈，而且如上图所示进行定向，从而能够被同时定向实际上，此时 a ，b 间可以有任意条由。指向b 的链 下面讨论应用该定理的例子 例3 1 对于图 四川大学硕士学位论文第1 5 页 i 涨i。! ! 涨s 彩3 参考文献 【l 】1 b e r e n s t e i na ，f o m i ns ，z e l e v i n s k ya c l u s t e ra l g e b r a si i i u p p e rb o u n d s a n dd o u b l eb r u h a t c e l l s ，p r e p r i n t m a t h r t 0 3 0 5 4 3 42 0 0 3 【2 】b a r o tm ，g h l s sc ，z e l h v i n s k ya c l u s t e ra l g e b r a so ff i n i t et y p ea n dp o s - i t i v es y m m e t r i z a b l em a t r i c e s 【j 】l o n d o nm a t h s a c , 2 0 0 6 ，n o 3 ：5 4 5 - 5 6 4 【3 】b u a na b ，m a r s hr ，r e i n e k em ，e ta l t i l t i n gt h e o r ya n dc l u s t e rc o m b i - n a t o r i o s 【j 】a d v m a 如2 0 0 4 ，n o 1 ：1 - 5 6 【4 】b u a na ，m a r s h r a n dr e i t e n i ，c l u s t e r t i l t e da l g e b r a s ，m a t h r t 0 4 0 2 0 7 5 1 5 】b u a na ，m a r s h r ，r e i n e k em ，r e i t e n a n dl a n dt o d o r o vg ，t i l t i n g t h e o r ya n dc l u s t e rc o m b i n a t o r i c s ，m a t h r t 0 4 0 2 0 5 4 【6 】b e r e n s t e i na ，z e l e v i n s k ya t o t a lp o s i t i v i t yi ns c h u b e r tv a r i e t i e s c o r n - m e n lm a t h h e l v ，1 9 9 7 ，1 1 0 7 2 ：1 2 8 - 1 6 6 吲b e r e n s t e i na ，z e l e v i n s k ya t e n s o rp r o d u c tm u l t i p l i c i t i e s ，c a a o n i c a lb a s e s a n dt o t a l l yp o s i t i v ev a r i e t i e s 叨i n v e n t m a t h ，2 0 0 1 ，1 4 3 ：7 7 - 1 2 8 【8 】b e r e n s t e i na ，z e l e v i n s k ya s t r i n gb a s e sf o rq u a n t u mg r o u p so ft y p e 山， i ni m g e l f a n ds e m i n a r a d v s o v i e tm a t h ，1 9 9 3 ，p a r t1 ：5 1 8 9 【9 】c a l d e r op ，c h a p o t o np a n ds c h i f f l e rr ，q u i v e r sw i t hr e l a t i o n sa r i s i n g f r o md u s t e r s ( a nc a ) ，m a t h r t 0 4 0 1 3 1 6 f l o c h a p t o nf ，f o m i ns ，z e l e v i n s k ya p o l y t o p a lr e a l i z a t i o n so fg e n e r a l i z e d a s s o c i a h e d r a 【j 】c a n a d a m a t h b u l l ，2 0 0 2 ，n o 4 5 ：5 3 7 - 5 5 6 【1 1 】f o m i ns ，z e l e v i n s k ya c l u s t e ra l g e b r a si ：f o u n d a t i o n s 【j 】a m e r m a t h s a c ，2 0 0 2 ，n o2 ：4 9 5 2 9 【1 2 f o m i ns ，z e l e v i n s k ya d o u b l eb r u h a tc e l l sa n dt o t a lp o s i t i v i t y 嘲a m e r m a t h s a c ，1 9 9 9 ，n o1 2 ：3 3 5 - 3 8 0 【1 3 1f o m i ns ，z e l e v i n s k ya c l u s t e ra l g e b r a s i i ：f i n i t et y p ec l a s s i f i c a t i o n j 】 2 0 0 2 【1 4 】f o m i ns ，z e l e v i n s k ya t h el a u r e n tp h e n o m e n o j 】a d v i na p p l i e dm a t h s ， 2 0 0 2 n o 2 8 ：1 1 9 _ 1 4 4 四川大学硕士学位论文第1 7 页 1 1 5 】f o m i ns ，z e l e v i n s k ya t o t a lp o s i t i v i t y ：t e s t sa n dp a r a m e t r i z a t i o u s j m a t h i n t e l l i g e n c e r , 2 0 0 02 2 ，n o h2 3 - 3 3 【1 6 】f o m i ns ，z e l e v i n s k ya y - s y s t e m sa n dg e n e r a l i z e da s s o c i a h e d r a 吲a n n d ， m a t b ， ， 【l z f o m i ns ，z e l e v i n s k ya p a r a m e t r i z a t i o no fc a n o n i c a lb a s e sa n d t o t a lp o s i t i v e m a t r i c e s j a d v m a t h , 1 2 2 ( 1 9 9 6 ) ，4 9 - 1 4 9 【1 8 f o m i ns ，z e l e v i n s k ya y - s y s t e m sa n dg e n e r a l i z e da s s o c i a h e d r a ，a n n i n m a t h ，1 5 8 ( 2 0 0 3 ) ，9 7 7 - 1 0 1 8 【1 9 】g e k h t m a nm ，s h a p i r om ，v a i n s h t e i na c l u s t e ra l g e b r a sa n dp o s s i o n g e o m e t r yi j 】m a t h s p 0 k a cv i n f i n i t ed i m e n s i o n a ll i ea l g e b r a s 3 r de d i t i o n c a m b r i 妇eu n i v e r s i t y p 他s s 1 9 9 0 2 1 】l u s z t i gg i n t r o d u c t i o nt ot o t a lp o s i t i v i t y , i n ：p o s i v i t yi nl i et h e o r y ：o p e n p r o b l e m s 【嗍，d eg m 旷e re x p ，m a t h 2 毋d eg 矿e r , b