（基础数学专业论文）关于killing向量场与平均曲率流的注记.pdf

中文摘要 摘要 复几何与曲率流是微分几何研究领域的重要研究课题，也是热点问题，其 研究受到国内外数学家的广泛关注本文讨论总结了与复几何有紧密联系 的k i l l i n g l 甸量场，并探索了2 维曲面在4 维欧氏空间的平均曲率流 第一部分简要介绍k i l l i n g 向量场与曲率流的研究背景以及本文的研究内容 第二部分回顾 j k i l l i n g 向量场一些基本性质，定理及其应用，找出常曲率空间 的k i l l i n g i f i 量场与j a c c o b i 场之间的关系，给出找到常曲率空间的k i l l i n g 向量场的 方法 第三部分介绍平均曲率流的基础知识，其中包括超曲面与高余维数的情形 第四部分进行了2 维曲面在4 维欧氏空间的平均曲率流的探索，给出数量曲率 负部的一个估计 关键词：k i l l i n g r h - j 量场；李导数；等距变换群；平均曲率流：数量曲率 湖北大学硕上学位论文 a bs t r a c t c o m p l e xg e o m e t r ya n dc u r v a t u r ef l o wa r ei m p o r t a n ts u b j e c t so fd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y t h e ya l ea l s oh o ti s s u e sa n db e e ns t u d i e de x t e n s i v e l yb ym a t h e m a t i c i a n sa t d o m e s t i ca n da b r o a d t h et h e s i ss u m m a r i z e st h ek n o w l e d g eo fk i l l i n gf i e l d sw h i c h h a v eac l o s er e l a t i o nw i t hc o m p l e xg e o m e t r ya n ds t u d yt h em e a nc u r v a t u r ef l o wf o r2 d i m e n s i o n a ls u r f a c ei n4d i m e n s i o n a le u c l i d e a ns p a c e i nt h ef i r s tp a r t ，w eb r i e f l yi n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do fk i l l i n gf i e l d s ，c u r v a t u r e f l o wa n dt h ec o n t e n t so ft h i st h e s i s i nt h es e c o n dp a r t , w er e c a l lt h eb a s i ck n o w l e d g eo fk i l l i n gf i e l d s ，w h i c hi n c l u d e s t h eb a s i cp r o p e r t i e sa n dt h e o r e m so f k i l l i n gf i e l d s t h e nw eg i v eo u ts o m ea p p l i c a t i o n s o ft h e m f i n d i n go u tt h er e l a t i o nb e t w e e nk i l l i n gf i e l d sa n dj a c c o b if i e l d si nc o n s t a n t c u r v a t u r es p a c e sa n dt h em e t h o do ff i n d i n gt h e mi nt h e s es p a c e s i nt h et h i r dp a r t ，w er e c a l lt h eb a s i ck n o w l e d g eo fm e a nc u r v a t u r ef l o w , i n c l u d i n g t h es i t u a t i o n so fh y p e r - s u r f a c e sa n dh i g h e rc o d i m e n s i o n i nt h ef o u r t hp a r t ，w es t u d yt h em e a nc u r v a t u r ef l o wf o r2d i m e n s i o n a ls u r f a c ei n 4d i m e n s i o n a le u c l i d e a ns p a c ea n dd i s c u s st h es c a l a rc u r v a t u r ee s t i m a t e k e yw o r d s ：k i l l i n gf i e l d ；l i ed e r i v a t i v e ；i s o m e t r i ct r a n s f o r m a t i o ng r o u p ；m e a nc u r - v a t u r ef l o w ；s c a l a rc u r v a t u r e u 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研 究所取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完 全意识到本声明的法律后果由本人承担 论文作者签名：肖抨 签名日期：切孵j 月) 汨 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可 以允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢利为目 的的前提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容( 保密论文在解密后遵守 此规定) 作者签名：茼择 指导教师签名：夸杰汲 日期：彻7 年夕月驾旧 日期：研年乡月万日 1 引言 1 1 k i l l i n g 向量场与曲率流的研究背景 复几何与曲率流是微分几何研究领域的重要研究课题，也是热点问题，其 研究受到国内外数学家的广泛关注而k i l l i n g l f i 量场与复几何有紧密联系，它在 微分几何的发展特别是研究黎曼空间的等距变换群时起着非常重要的作用目 前在复几何的研究中，它再次派上用场二十世纪七十年代开始，随着微分方程 理论逐渐成熟，数学家开始应用分析方法解决几何问题；反过来，微分几何理论 又提供了大量有意义地微分方程，而研究这些方程，往往要提出新的观点和方 法近几年，热方程方法在几何分析中被广泛运用，并取得了很多有影响的成果， 比如p e r e l m a ng 1 2 7 2 8 用r i c c i 流解决p o i n c a r e 猜想，h u b e r tl b r a y 1 1 4 , 1 5 1 6 】用逆平均 曲率流证明有关黑洞的质量与表面积的p e n r o s e 不等式等平均曲率流是几何 分析的一个研究方向，而黎曼流形问的映射的形变已经研究了很长时间它源 于b r a k k ek 6 1 在上个世纪7 0 生l z 代末对曲面的平均曲率流所做的研究主要想法 是找到一种自然的程序把一个映射形变为典范的( c a n o n i c a l ) 映射。调和热流是 著名的例子，它是映射的能量函数的梯度流具体地说，假设f ：_ m 是黎曼流 形间的光滑映射，则平均曲率流是下述抛物方程组的解： 面d f ( z ，芒) = 日( z ，吉) j ( ，0 ) = f o 其中f ： 0 ，丁) 是而( ) = f ( ，t ) 在m d p 的一族浸入，日( x ，t ) 是f t ( ) 在r ( z ) 处 的平均曲率向量上个世纪7 0 年代末8 0 年代初，数学家开始研究超曲面的情形 在f 7 ，1 0 ，1 3 中，作者考察了相应的非抛物型问题，其令人感兴趣的地方在于它可 以描述被加热的纯金属的冷却情形h u i s k e ng 在【1 7 中研究了光滑嵌入到欧式 空间册+ 1 中的托维无边紧致一致凸的曲面的平均曲率流它在有限时间里逐渐变 为球形，最终缩为一点作者又在【1 9 中运用r e s c a l i n g 技巧对奇异点附近的渐进行 为进行分析，提出了单调公式e c k e rk 与h u i s k e ng 在【1 0 中研究了完全图的平 均曲率流在【1 8 ，2 0 】中作者讨论了欧式空间中紧致超曲面平均曲率流的第1 型奇 异点，并给出了分类超曲面的平均曲率流目前基本完成，高余维数情形正在紧张 湖北大学硕上学位论文 进行，比如【3 3 ，3 4 1 w h i t eb 3 5 1 是对经典平均曲率流的很好的总结半黎曼情形 一直与黎曼情形同时存在，比如【2 ，3 ，4 ，5 ，8 ，9 ，1 2 ，2 9 我校李光汉教授在这方面取 得了很好的结果，例如【2 4 ，2 5 尽管如此，h u i s k e ng 与s i n e s t r a r ic 在【2 1 中再次 得到关于超曲面很好的结果，他们研究了欧式空间中平均凸超曲面发展的第型 奇异点，证明此类奇异点的光滑r e s c a l i n g 的极限是弱凸的为了推广上面这一结 果，s m o c z y kk 在【3 0 中证明了同样的结果在更弱的条件下也成立，即欧氏空间 中超曲面舰的平均曲率满足如下两个先验条件 日+ d 0 ， 1 3 1 2 c o h 2 + b 其中d ，c o ，6 是非负常数和t 0 ，t ) 对于欧氏空间中的平均凸超曲面这两个先验 条件自然满足，而s m o c z y kk 证明欧氏空间中星形超曲面以及其它一大类超曲面 都满足这两个先验条件s m o c z y kk 的技巧是利用两个先验条件得到数量曲率 的负部估计，这在伟= 2 时给出了可能的奇异点的分类作者还对数景曲率作出 估计后来，【2 2 得到欧式空间中非负平均曲率流的主曲率的其它对称多项式的 负部的估计本文得以进行还有赖于z h ux 的【3 6 对超曲面平均曲率流的总结以 及m t w a n g 【3 3 】对高余维数平均曲率流所进行的基本研究 1 2 本文的研究内容和组织结构 本文内容主要分三个部分第一部分讨论k i l l i n g 向量场的一些基本性质，定 理，并举出它们的一些应用，找出常曲率空问的k i l l i n g 向量场与j a c c o b i 场之间的 关系，给出找到常曲率空问的k i l l i n g 甸量场的方法，并验证了下述定理 定理a 黎曼流形m 上的每一个k i l l i n g 向量场是m 中沿任意测地线 的j a c o b i 场 第二部分介绍平均曲率流的基本知识h u i s k e ng 在【1 7 中研究了光滑嵌入 到欧式空间舻+ 1 中的n 维无边紧致一致凸的曲面的平均曲率流，所满足的发展方 程是拟线性的抛物方程组，且在有限时间里有一个光滑解作者在该文中给出了 度量与曲率的基本发展方程( 也可参考【3 6 1 ) m - t w a n g 在【3 3 对高余维数平均 曲率流进行了基本研究 第三部分是在以上准备知识的基础上，研究2 维曲面在4 维欧氏空间的平均曲 2 率流，得到关于数量曲率负部的估计的下面结果 假设m 是4 维欧氏空间中的2 维光滑闭曲面，且法丛平坦，则可以选取适当 的标架，使得( a 3 ) = ( h 3 i j ) - 与( a 4 ) = ( 4 巧) 可以同时对角化，且 。巧= 酱如，其 中i a a i 为第二基本形式的分量矩阵的模长，日3 ，日4 为平均曲率的分量于是 a 1 2 = ( 入i ) 2 + ( 入2 ) 2 + ( 入 ) 2 + ( 入；) 2 ，i h l 2 = ( 入；+ 入2 ) 2 + ( a + 入；) 2 定理b 假设m t 是4 维欧氏空间中的一族2 维光滑闭曲面，它的平均曲率流在 极大时间区间【o ，r ) 上存在，而且在发展过程中满足法丛平坦， l h l 2 0 ， 日4 v 1 日3 = h 3 v 1 9 4 ，h 3 v 2 h 4 = h 4 v 2 h 3 ， a 3 l 2 4 = 入4 l 2 3 则对于任意的叩 0 ，存在仅依赖于初始流形 毛和7 7 的常数q ，使得 i a l 2 一l h l 2 , 7 1 h 1 2 + q 此结果表b j 当i h 2 趋于无穷时，数量曲率的负部不会像i h l 2 那样变得快 3 湖北大学硕_ 上学位论文 2 k i l l i n g 向量场的基本性质，定理及应用 2 1 预备知识 设m 是微分流形，给定向量场秒= ( ) 设局部坐标为z 1 ，扩，秽关于自然 标架的分量为 1 ，u n 这里( z 1 ，矿) 记为0 ) 设微分方程 在初始条件 下的解为 警“( 删 2 川 t = 0 ，x = ，( i = 1 ，2 ，n ) ( 2 1 1 ) x = f ( t ，z ) = y c t ，z 1 ，扩) 则由( 2 1 1 ) 式表示的从z 1 ，矿到x 1 ，x 体的变换在t - - 0 的附近具有以t 为参 数的群性质，称之为局部单参数变换群 当向量场口生成的局部单参数变换群是等距变换群时，则u 称为k i l l i n g 向量场 当m 上的向量场x 生成局部单参数变换群哦时，对于张量场s ， 力 ( 纵s ) p2 ( 羞哦( 氏) ) t - 0 称为s 关于x 的李导数，以q o x 作用称为关于x 的李微分 对任意的x = p 最，y = 矿专，则有 彬= ( p 鲫0 0 石a 一矿券) 未 4 2 k i l l i n g 向量场的基本性质。定理及应用 上式也记为妒x y = ，y 】，称为x 与y 的交换子积用分量表示为 2 2 性质与定理 伽a 杀_ 圹筹 性质2 2 1 李微分是微分算子 性质2 2 2 变换群西为等距变换群当且仅当妒x 夕= 0 ，其中9 为度量张量， x 为哦诱导的向量场 用局部坐标表示q o x g 得 称 恢跏警+ 篆+ 篆= v a 靠+ v 赢 恢鲰p = v a 缸+ v p 双= 0 为k i l l i n g 方程从而得到 引理2 2 1 向量场x = a 击是硒l l i n g 向量场当且仅当它满足飚l l i n g 方程 定理2 2 1 ( 3 8 1 ，定理1 6 5 ) 在黎曼流形胗的任意点p ，对于任意实数o ， o 扣= 一a ，在p 的邻域里存在l ( i l l i n g 向量场使得( p ) p = 口a ，( v a 毛) p = 口的充要 条件是m n 是常曲率流形 2 3 定理的应用 例2 3 1 欧氏空间五p 中的l ( i l l i n g 向量场( 【3 8 】只0 1 例2 ) 设x = a ) 在酽中关于直角坐标系为l ( i l l i n g 向量场驴中i 拘k i l l i n g i h i 量 场x 是分别生成平行移动，绕原点的回转的鼬l l i n g 向量场之和，其自由度是n m + 5 湖北大学硕- 上学位论文 i ) 2 作为定义在驴上的向量函数，驴上的飚l l i n g 向量场x 用矩阵表达为 x = z a + t ，v z = ( z 1 ，z t l ) 伊 其中a 为n 阶反对称矩阵，秒伊 例2 3 2 单位球 由l ( i l l i n g 向量场 换群是正交群( n - l - 1 ) ， 以考查铲( 1 ) 上的k i l l i n g 向量场 a 对应映射a ：0 1 ，z 2 ，护，z n + 1 ) 一扛1c o s t ，z 2 s i n t ，z 3 ，x n + 1 ) 固 定伊( 1 ) 上的一点只则当p 在赤道上时，过点p 的轨线是大圆；当p 不在赤道上 时，过点p 的轨线是纬圆从而沿一条经线，a 诱导的向量场与经线的切向量场正 交而这正是伊( 1 ) 的j a c o b i 场( 【2 6 ，第5 5 节) 例2 3 3 双曲空问伊( 1 ) 上的k i l l i n g 向量场 用上面相同的方法可以知道 的k i l l i n g 向量场是沿测地线( 过日n ( 1 ) 的一点p 的测地线是r r i + 1 中通过x n + l 轴的一 个二维平面与日n ( 1 ) 的交线) 并与其正交的向量场而这正是日n ( 1 ) 的j a c o b i 场这 也验证了下述定理( 【2 3 ，推论4 2 1 ) ： 定理2 3 1黎曼流形m 上的每一个k i l l i n g 向量场是m 中沿任意测地线 的j a c o b i 场 既然我们已经知道了驴，铲( 1 ) 与h n ( 1 ) 中的k i l l i n g 向m 场的具体形式，那么 就可以求出与之等距的空间形式的k i l l i n g i f i - 量场这需要下面的两个引理 6 勤越耐o；o 黧屯 咖始 忙 啦脚 瀚 础靴 群 胍趟 阡 1 ， 0 +n z，上 一 = 2 + n z 一 2 z n ：i + 矽 n zz r j i i i l n 日 2 k i l l i n g i f i 量场的基本性质，定理及应用 引理2 3 1 ( 【3 7 】，定理4 6 ) 设v ，寺分别是黎曼流形m ，府上的黎曼联络， 妒：m _ 廊是等距，p m ，户= 妒( 尸) 则对于任意的y 弓m ，以及任意 的x t ( m ) ，都有 仇( v y x ) = v i p 。( y ) 协( x ) 换句话说，黎曼联络在等距下是不变的 引理2 3 2 设m ，是黎曼流形，：m _ 为等距，x t ( m ) ，则x 是m 上 的k i l l i n g l 句量场当且仅当 ( x ) 是上的k i l l i n g l 句量场 证明由 3 2 1 中的性质1 1 0 9 ：x 是m 上的k i l l i n g h i 量场当且仅当对任意的z t ( m ) 有 + = 0 再根据引理2 3 1 和等距的定义，即可证明 7 湖北大学顾_ 上学位论文 3 平均曲率流的基础知识 3 1 超曲面的平均曲率流 3 。1 1 外围空间是一般黎曼流形的情形 设m n 是n 维光滑流形，令 f ( ，t ) ：m n 一舻+ 1 是形+ 1 的一族单参数光滑浸入超曲面若 爰f ( z ，亡) = 一日。，t ) v ( z ，) ，z m n ，t2 o ， 其中日( z ，t ) 是f ( x ，) 处的平均曲率，v ( z ，t ) 是单位外法向量则称f ( - ，t ) 是平均曲 率流的解 令虿= _ a p ) o 冬口，p s n ，可= 矿) 0 9 n ，f = 咒口，可，瓦n = 瓦所6 分别是上 的黎曼度量，局部坐标，联络系数，l e v i c i v i t a 联络，黎曼曲率张量，则m 上的诱导 度量( z ) = 瓦多( f ( z ) ) 筹( z ) 筹( z ) ，z m ，而e 七，v ，冗r ，l = 勘崩，1 i ，j ，尼，l 凡是导度量口在m 上对应的几何量，其中 f v k 2 1 。k z ( 蒙+ 丽o g i t 一面i g g i j ) ， 如果我们选取中的局部标架场e o ，e l ，e n ，使得限制在f ( ) 上有e o = v ，岛= 丽o f 。第二基本形式a = ) 由下式给出 允谚= ( 瓦v ，勺) = 一( v ，玩。，勺) 于是我们有如下的基本方程 g a u s s 方程 c o d a z z i 方程 埘= 斛+ h i k h f l h i t h j 七 v k h o v j h i 七= 知 8 3平均曲率流的基础知识 g a u s s - w e i n g a r t e n 公式 磊k o f 。 + 话面o f a 丽o f = - h q 沪 丝+of歹aoxi矿砘等 。 ，7 d z l 一u 。 a z l 性质3 1 1 1 ( s i m o n s 恒等式) 性质3 1 1 2 v 七v l h q = 阢b 斛+ 戤h i p 多w ，切 一 i l ，。却9 舶 酊+ 幻九细9 棚 口l 一 巧 却夕棚危叮+ r 航l p 9 册 q j + - 蜘p _ 9 p q h 鼋l + 瓦倒严 + p o j h k t r o k o t h i j + 8 p f j 知9 卵危幻+ v 詹r 叮订+ v f 冗。巧奄 a h q 性质3 1 1 3 v t 日+ h h i t g 觚 咖 - i a l 2 h i j + 矾呀 一了琵崩w 夕埘 巧+ 了k l p 9 埘p 口九西 + 夏艄削俨 询+ 瓦巧p g 斛护 幻 + 瓦讯g m h t q + 可知瓦t l g m 十鼠硒k g 斛 丢l a l 2 = ( v 飘h ) + i v a l 2 + z + 日( 7 l 嵇，面优0 j ) 一鬲柚1 9 “i a l 2 + 2 瓦l p g 触俨，h q ) 一2 ( _ 觇力g 斛夕粥 l q ，h q ) + ( 瓢一r o q t g 列+ 一v i r o k l t g 肼，h q ) 9 湖北大学硕上学位论文 其中z = h t r ( a 3 ) 一i a l 4 ，t r ( a 3 ) = g i j g 剐g ”n h i k h l m h n j 性质3 1 1 4 发展方程 ( 1 ) 鲁= 一2 h h q ， ( 2 ) 象= v h 两o f ， ( 3 ) 警= 日+ h ( i a l 2 + - 瓦i c ( v ，y ) ) ， ( 4 ) 等= 一h 2 地，其中舡= 肌如是体积元 ( 5 ) 鲁= a h a 一2 h h a g 。” m j + i a l 2 格 + h i j t 7 o k o l g 肼一b 知碥g 俨 - - h i k g 敞袁l 力口g m + 2 h k p g 麓矿咛一l 锄 一瓦瓦“z 一巩t g 斛 ( 6 ) 掣= a i a 2 2 i v a l 2 + 2 1 a1 2 ( i a l 2 + - 夏i c ( v ，l ，) ) 一4 9 i j g 脚夕啪百芦( 弛 l m 7 己力g 一九讯 肿7 k 口j ) - 2 9 * j g 就俨九讪( 矾碥g + 一v p r o j t 口) 其e e - 茏i c ( v ，1 ) = g m 瓦p o q 3 1 2 欧氏空间中超曲面的平均曲率流 由于欧氏空间的曲率恒为零，其中的超曲面的平均曲率流的相关式子变得较 为简单此时设m n 是n 维光滑流形令 f ( ，亡) ：m n _ 册+ 1 满足 爰f ( z ，t ) = 日( z ，t ) 育( z ，轨z 护，o ， 其中日( z ，t ) 是f ( z ，t ) 处的平均曲率，责( z ，) 是单位法向量则称f ( ，亡) 是平均曲 率流的解 g a u s s 方程 r i c c i 张量 数量曲率 r 础= h i k h j t 一九甜h j 七 忍七= 日 语一h a g t j h j k r = h 2 一l a l 2 ，其中川2 = g i i g 斛h i k h j t 1 0 3 平均曲率流的基础知识 a h 巧= v i v j h + h h u g m 竹i j i a l 2 嵇 去l a l 2 = ( 订，v l v j 日) + i v a 2 + 互 其中z = h t r ( a 3 ) 一i a l 4 ，t r ( a 3 ) = 夕巧g 从g m n h i k h t m 危町 发展方程 警= 一2 h h 0 ， 署= 一v h 丽o f ， = ，一2 h h t l g h h m j + i a l 2 ，叼， o h 巩= x h + h a 1 2 ， o 哉a _ l 4 芒= l a l 2 2 v a 2 + 2 a 1 4 3 2 高余维数的平均曲率流 假设m 是m 维紧致无边闭黎曼流形。f ：m _ 舻是等距浸入，并且平均曲 率流在有限时间 0 ，t ) 内存在选取t m 的幺正基为 e i ) ，n m 的幺正基为 e n 指标范围指定为a ，b ，c = 1 n ，i ，j ，k 是切指标，q ，p ，y 是法指标第 二基本形式的系数定义为 a 巧= ( a ( o i ，岛) ，e a ) 记外围空间的协变导数为可，a 的协变导数定义为 ( 一v o , a ) ( o i ，岛) = ( a ( o i ，o a ) 一a ( ( 甄a ) t ，岛) 一a ( o i ，( 瓢o j ) r ) 记 毗奄= ( ( 。a ) ( 侥，o j ) ，e 口) ， 。莳，埘= ( ( _ 么可靠a ) ( 侥，o j ) ，) ， 湖北大学硕上学位论文 a h a 巧= g k t h a 巧，科 性质3 2 1 基本方程 g a u s s 方程融2k i j a l + h t i k h t j t h t u h t j 知 c o d a z z i 方程h a k j ，i h a 是i d = 玩研 r j c c i 方程冗触k = k 0 a k + h o e j h a 塘一h 卢l k h q u r i c c i 恒等式k 巧，从= h a i j ，膳一h a i m 冠吲地一 删j f k 甜七一 蒯l k 性质3 2 2 ( 1 ) 爰危n 玎= a h a 巧+ ( 审& k ) n i j k + ( v 如k ) n k i k - 2 k l o k h 。地+ 2 凰彤k 肛k + 2 成七 筋缸 一k l k i k h a 垮一k t k j k h q “+ k 二知缪七 p 谚 一k i m ( h 删日，y 一k h t j 七) ( 3 2 1 ) - h 口础( h 喇危7 诸一k 础九询) - h p i k ( h j t j h a l k h 卢t k h n 巧) 一是町知h 所奄舻+ 丸筋( e 声，v j 5 r e 口 ( 2 ) 百o l a l 2 = a a 1 2 2 i v a l 2 + 2 【( 黾k ) 嘶七+ ( 黾k ) a a i k h q 巧 - 4 k l o k h a 腩k 巧+ 8 励知，l 肛七危口巧 - 4 k t 腓h a t l h 口a + 2 j 已“雠 肋危喇 + 2 ( ( 矾詹一 涨) ) 2 + 2 ( 耐 砌) 2 证明( 3 2 1 ) 式 因为 l 以1 2 = g i 七矿h q u 洲 1 2 3平均曲率流的基础知识 我们在取点p 处的法坐标系计算 又因为 代入可得 警- 2 ( 瓦g i k 批小巧+ 2 ( ( 百c o h , 1 i j 峙 鬲0 吼七：2 h j 3 h l j i 七 瓦弧2 七 o a t a a 4 f f = 4 口 历七 a 巧九a 巧 + 2 h 口o a h a 玎+ ( v 仇j r ) 口玎七+ ( v o jk ) a 麟七 - 2 k z 玎k h 塘+ 2 玩励奄，。肛k + 2 玩历七，。励七 一k t “k h a u 一硒幻七危a “+ k 乞知肚 倒 ( 3 2 2 ) - h 口础( ，y 喇h 伽一h m 七h 玎) 一九俄七( 卢u n 肫一h p t k h n 巧) 一 研七 肛七日p + h 肛j ( e 1 3 ，可日e a ) 1 ( 3 2 2 ) 式右端第一项4 b 九触九a 巧九a 幻与后面两项抵消 右端最后一 项2 k i j h z o ( e z ，可日) 由于对称性变为零利用九幻= 2 1 v a l 2 + 2 h 口巧h , 、i j ， 得到 百o i a l 2 = a i a l 2 2 i 讹1 2 + 2 危q 嵇 ( 瓢k ) 础+ ( 飘k ) 撕 - 2 k l o k h q 塘+ 2 致历七九肛七+ 2 玩肛南 历七 一k t 融k h 俚l j k 坛i a h 氆h + k 豳眩h 6 t j + 危q 溉 柙知危伽一 n 融( 1 哪 7 诀 一h m 知，l 蚴) 一危历七( 九卢巧 甜七一，知 a 巧) 】 第四项可以计算如下： a 巧 a 伽。九1 m 知 可知一 n 巧九a m 知( 7 m j h 强一b m 知，。佝) 一九a 嵇，弛奄( 危辟咯k 地一，七九q 巧) 1 3 湖北大学硕士学位论文 =2 h a i j h , ，i m h 7 m 知 w 七一2 h a 巧 口m 七 7 m j h ，y 伽+ 危a 巧 a m 七b m 七 7 嵇 前两项计算如下 2 q 嵇 a m h m 南，切知一2 九口巧 口仇七h ，巧 7 伽 = 2 k 嵇 a 谵h m 老九例一2 k 移危蛳奄b 州，埽知 = 2 h a 玎 胛j ( n 诀 1 m 七一h a 。k h 7 i k ) = k 嵇 例( 危口诀 1 m 七一k 础h 蠡) + a m j h 玎( 。m 请危，y 琥一 a 他b 仇知) = ( ( 矾七一 融 叫知) ) 2 现在计算( 3 2 1 ) a h 口巧= k ，巧一( v o , k ) 口玎七一( v o jk ) q 觚知 + 2 k u j k h q 塘一2 耽励知坛七一2 玩历七嘞七一致嵇芦如 + k t m k h 。, 玎+ k t k j k h , , “一致坼 ( 3 2 3 ) + a m ( 椰j h 7 一，l 邶七，七) 、 + 口m 七( 歹 7 谵一b m 七允脚) + h o i k ( h t ，t ih a 塘一 川奄九q b ) 其中 州= 锚铽日，e n ) 上式的计算中用到了c o d a z z i 方程与r i c c i 恒等式 我们用 。，西= k 船，巧计算 k 七七，巧( q 航，七十航七) j a 航，巧+ k 盘舡七，j h a i k d k j 一九n i 仇幻七一 a m 七玎七 一h 。t k r b 旺j k + k 乜h 吣 1 4 3 平均曲率流的基础知识 = ( 唧，七+ 耽巧七) 七一 咖巧七一 n m 七巧七 一九成七8 脚七十1 k 航七j 再由g a u s s 方程与r i c c i 方程，得到 因此 而且 r m 巧七= k 仇幻七十九州尼俸七一九y f ，i 七h 巧 r 删知= k 删七十h m j h 诸一b m 七h 巧 r b 町k = k 嘲k + h a t j h m k h a t k h m j k 嵇= k ，巧一k ，移七，知一玩艇幻+ k 拥k n 研知 + q i m ( 邶j ，一k m 知危竹七) + a 础( h 删 m h m 知 倒) + h a i k ( h a l j h 璩一h a t k h 口巧) 心格知，七 = ( 可兹k ) 口嵇七一k z i j k h 8 豫+ 玩彩k h b i k + k , , , i a k h a j k + k a q a h a k 知 致舡知j =( v o ，k ) a 航詹一硒航知矗a 巧+ j 锄南 肛w + k q k b 小8 i j + k 口k b h b k j 我们把所有的外围空间的曲率项合在一起，并利用外围空间的第一b i a n c h i 恒 等式，就可得n ( 3 2 3 ) 式 现在用= ( 黾侥，e 口) 来计算 瓦0 凫n 巧= o ，并不能保证在f o ，d 上1 日1 2 0 4 2 主要结论及其证明 假设m 是4 维欧氏空间中的2 维光滑闭曲面，且法丛平坦，则可以选取适当 的标架，使得( a 3 ) = ( 跏) 与( a 4 ) = ( h 4 i j ) - t 以同时对角化，r h 口巧= 碍妨，其 中i a a i 为第二基本形式的分量矩阵的模长，日3 ，日4 为平均曲率的分量于是 a 1 2 = ( a i ) 2 + ( a ；) 2 + ( 入 ) 2 + ( a ；) 2 ，1 日1 2 = ( 入 + 入；) 2 + ( 入 + 入2 ) 2 ， l v 俐2 一i v 驯2 = 一( h 4 v 1 h a - h s v 1 h 1 4 ) 2 矿+ ( h s v 2 h 4 - h 一4 v 2 h s ) z ， 罗一1 日1 2 i 以1 2 = 少一1 4 1 4 = 一2 ( a ；a 2 一a 4 l 2 3 ) 2 定理 假设舰是4 维欧氏空间中的一族2 维光滑闭曲面，它的平均曲率流在 极大时问区间 0 ，t ) 上存在，而且在发展过程中满足法丛平坦， 1 日1 2 0 ， 日4 v 1h 3 = h 3 v 1h 4 ，h 3 v 2 h 4 = h 4 v 2 h 3 ， 入；入2 = 入4 l 2 3 则对于任意的叩 0 ，存在仅依赖于初始流形和叩的常数q ，使得 i a l 2 一1 日1 2 叼1 日1 2 + q 注此结果表明当1 日1 2 趋于无穷时，数量曲率的负部不会像1 日1 2 那样变得快 1 9 湖北大学硕上学位论文 现在引入函数 其中叩r ，盯【0 ，2 】 于是 = 唑器掣 等= + 坠警畀型 + 盯( a - - 1 ) 站， i v l 日h 1 2 i _ _ a 2 + 矿如，叩i a l 2 一竺( ! 丝罡! 里! 丝l 二! 丝丛里! 丝! ! 里! 丝鱼! 星! 里垒盟 1 日1 4 可 + 南2 肼( 岁一i a l 4 ) 一南 ( 2 一o ) i a l 2 q - o ( 1 + 叼) 肼 i v l h i l 2 一i v h l 2 + 庐一l - 1 2 1 a 1 2 记 q 2 = i a l 2 i v l h i l 2 一l h i ( v i h i ，v i a l 2 ) + i h l 2 i v a l 2 假若我们选取坐标系使得平均曲率向量膏e 3 ，, 则i h i = i h 3 1 于是 l v l h i l 2 一i v 日1 2 = 0 所以 警= 咄野+ 坠驾畀型 + 盯( o - - 1 胁释协脚i 一器 在上式中令口= 0 ，叩= 一1 ，得到 剐o cl 耶a i s ，、- ( , 酬i a l 2 , + 丽2 ( v i h i ，v 雠) 一器 4平均曲率流的数量曲率的估计 由极大值原理知解在初始流形上取得最大值记c o = m 。z 胁研i a l 2 ，则对任意 的t 0 ，t ) ，在上 i a l 2sc o l h l 2 引理4 2 1 假设( 1 + 7 7 ) 1 日1 2si a l 2 c 0 1 日1 2 ，c 0 o ，叩 0 ，则q 2 i h l l = i v - i h 1 1 2 ， 其中c l = 1 6 c o ，? 一 证明q 2 = q ；+ q i ，其中 所以 又 q 苎= l a 。1 2 i v l h i l 2 一i h i 0 ，则一2 z ( 击+ 2 呀一1 ) l a l 2 i a l 2 证明因为 i 好1 2 一l a l 2 = 2 ( 久i 入；+ 入4 1 4 2 ) 所以 - 2 z = ( i h l 2 一l a l 2 ) 2 一i a l 2 ( i h l 2 一i a l 2 ) = 1 日1 4 + 2 1 a 1 4 3 1 h 1 2 i a l 2 用已知条件即可证明 现在令g + ( z ，亡) = m a x g ( x ，芒) ，o ，于是藓c 1 ( mx 【o ，? ) ) ，坳 1 爰厂藓缸= 0 ，叩 0 时， 醐叫峄疗1 堕卫倒：+ p ( p - 1 ) 9 ，+ - 2 v g 2 二。2 c 1f h l 2 一口 2 衍疗1i v l h l1 2 p p 一1 ) 疗2 l v 9 1 2 3 2 c o h 1 2 一口 。 2 故当p 1 + 4 c o c i ，( 1 + 7 ) i h 2si a l 2 c d i h l 2 , c o o ，叼 o 时，l 妇s c h w a r z 不等式 得到 ( 4 2 1 ) 式右端塾华竖盟2 p ( 1 一盯) 盟铲疗1 证毕 引理4 2 5 当p 1 + 4 c o c l ，( 1 + , 7 ) l h l 2 i a l 2 c 0 1 日1 2 ，c o 0 ，叩 o 时， 晏脚一掣艄v 外1 2 - - pg + - 1 q 2 却 一p 帮咖+ 矽鲋肛 证明这可由性质( 4 1 1 ) 式直接得到 通过计算可知 细= 2 ( h a i j 而, v v - j h ) + 品 一坠掣州1 刊夕帮h i1 日l r叫j l 2 一( 警h + 裂h i ) i 研、lll 1 - 叫卜 将上式两边同时乘以敛i g l 一，用分部积分以及c o d a z z i 方程得到 一2 | 餮d 弘 p 疗1 1 日r i 1 2 舡+ 4 厂藓1 日l _ 3 ( a 巧，v “日i 乳日。) 舡 + 2 厂藓矧- 4 q 2 咖一印厂夕 1 1 日l _ 2 k 嵇，v t 夕耽日口) 咖 + 囟( 2 一盯) 1 h i 。1 吖藓+ 印( 1 + 叩) 疗1 i h o 时，有 磊1 + 2 r - 1 ) f t + l a l 2 咖 sp c n | 落2 n g l 2 d p + 2 c o j 彝1 i h i 卜4 q 2 d 协 + 4 若r 疗，i v l h i l 2 蚓棚咖 + p 【2 ( 蠢+ c d + 1 + 7 7 ) 一盯c ；d 】厂疗1 i h i i v l h i i i v g l d p 由s c h w a r z 不等式可得，对于即 0 ， 所以 2 疗1 1 日l 一1 i v l h i i i v 9 l i s - l 竿- + 2 i 勖1 2 + 纠日f _ 2 毋i v f h i l 2 p 一1 费2 i v g l 2 + c o p i h 矿一2 疗1 i v l h i l 2 i 1 + 2 n - x ) f 鳢+ l a l 2 毗 p + ( 毋+ c d + l + 露一t o c o 万1j 厂疗2 隅1 2 缸 + 2 c 0 疗1 i h i 俨4 q 2 咖 + 4 ( 皤3 十p ( 毒+ c o 1 + 矿一等) c i d 纠厂1 日r 一宵1 i v l g l l 2 d 弘 + 4 ( 皤十p ( 带一等) c i d 纠，1 日r 一访1 令妒= m 口z c o ，c 喜+ c 。+ l + ? 7 一警，4 毒，( c ；1 + c o + l + ， 一警) c o ，2 o ，于是 学j 一厂鲋 眇 一 p ( 1 + 刍) 霸v 轷如 + j i h i 卜4 舒d 睡 4 平均曲率流的数晕曲率的估计 + ( 1