（基础数学专业论文）与特殊性质p对偶的空间和αd空间.pdf

摘要 摘要 设x 是拓扑空间，令p = a ：a 是x 的具有性质p 的子集) ，如果对于 x 的任意邻域指派，都存在a p ，使得x = u ( z ) ：z a ) ，则称x 是 与性质p 对偶的空间对于给定的特殊性质p ，本文主要讨论了与性质p 对偶 的空间的一些基本性质，并给出了x 是与性质p 对偶的空间的充分必要条件 这些结论可应用于多种空间类，作为其中的一推论，得到每个弱p 一加细( 离散对 偶) 一散布空间是离散对偶空间拓扑空间x 称为a d 一空间，如果对x 的任意 的非空闭集f 和任意开覆盖彩，都存在闭离散集d c f 和映射：d _ 纠，满足 f c u i 咖( d ) ：d e d 。本文还讨论了q d 一空间的相关结论 关键词：d 一空间，性质p 对偶，弱p 一加细空间，q d 一空间。 北京工业大学理学硕士学位论文 a b s t r a c t l e txb ea s p a c e ，a n dp = a ：a i sas u b s e to fx ，a n dh a sp r o p e r t yp ) as p a c exi sd u a lt h ep r o p e r t ypi ff o ra n yn e i g h b o r h o o da s s i g n m e n t 砂f o rx ， t h e r ei sas u b s e tacx ，a p ，s u c ht h a tx = u 咖( z ) ：z a ) i nt h i sn o t e ， im a i n l yd i s c u s sp r o p e r t i e so fs p a c e sw h i c ha r ed u a l l ys p e c i a lp ，a n da l s og i v ea n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rs p a c e sw h i c ha r ed u a l l ys p e c i a lp t h e s e c o n c l u s i o n sc a nb eh e l df o rm a n ys p a c e s a sac o r o l l a r y , w eh a v et h a ti fxi sa w e a ko - r e f i n a b l e ( d u a l l yd i s c r e t e ) - s c a t t e r e ds p a c e ，t h e nxi sd u a l l yd i s c r e t e a s p a c ex i sa na d s p a c ei ff o re a c hc l o s e ds u b s e tfo fxa n de a c ho p e nc o v e r i n g 彩o f xt h e r ee x i s tad i s c r e t ec l o s e di nfs u b s e tao ffa n dam a p p i n g 西o f ai n t o 彩s u c ht h a tn ( o ) ，f o re a c ha e a ，a n dt h ef a m i l y ( a ) = ( o ) ：a e a c o v e r sf w ea l s og e ts o m ec o n c l u s i o n sc o n s e r n i n ga d - s p a c e s k e y w o r d s ：d - s p a c e ，d u a l l yp ，w e a kp - r e f i n a b l es p a c e ，a d - s p a c e i i 独食i | i 障声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获 得北京工业大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料，与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示了谢意。 签名：弓岔 挈日期：沙夕7 5 7 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公 布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：；疚i 绰导师签名：彭心驽日期：2 。口7 ，f 1 2 第1 章绪论 1 1 研究背景 第1 章绪论 d 一空间的概念是1 9 7 9 年由v a nd o u w e n 在【4 0 】中引入的在拓扑空间 ( x ，丁) 中，一邻域指派是指一个映射：x _ 丁，使得对于任意的zex ， 有z ( z ) x 是拓扑空间，如果对于x 的任意邻域指派，都存在闭离散 子集d ，使得x = u 毋( z ) ：zed ，则称x 是d 一空间( c f 【4 0 】) 在文献 【4 0 】中证明了s o r g e n f r e y 直线的有限积空间是d 一空间在文献 1 6 】中b o r g e s 证 明了半层空间是d 一空间，因此我们知道每个度量空间( 层空间，m o o r e 空间等) 是d 一空间在文献 1 9 】中b u z y a k o v a 证明了强一空间是d 一空间，在 1 2 】中 a r h a n g e l s k i i 证明了如果x 是有限个具有点可数基的子空间的并，则x 是d 一 空间因此如果空间x 是有限个度量空间的并，则x 是d 一空间彭于2 0 0 8 年 证明了如果x 是有限个m o o r e 空间的并，则x 是d 一空间( c f 3 3 】) 文献 4 2 】的作者发展了伊空间的思想，引入了与性质p 对偶的空间类，相 关定义与结论可参阅 4 2 】与 7 】我们如下给出的与性质p 对偶的空间与文献 4 2 】 中的定义的表现形式不太一样，但实质是一样的，如下表现形式可以把d 一空间 的定义也统一来表述x 是拓扑空间，令p = a ：a 是x 的具有性质p 的子集 ) ，如果对于x 的任意邻域指派咖，都存在a p ，使得x = u ( z ) ：x a ) ， 则称x 是与性质p 对偶的空间，有时简称为p 对偶空间在上述定义中，如果 对每个a p ，a 是x 的闭离散子集，则x 是d 一空间；如果对每个a p ，a 是x 的离散子集( 作为子空间是离散子空间) ，则x 是离散对偶空间在【6 1 中， 北京工业大学理学硕士学位论文 张沛宇讨论了离散对偶空间的性质，本文将讨论与性质p 对偶空间的性质，其中 的性质p 将满足本页中提到的条件( 1 ) 、( 2 ) 、( 3 ) 厂是空间x 的集族，如 果对任意x x ，都存在开集k ，使得x k ，且i f ：knf d ，f 歹】i 1 ， 则称厂是x 的离散集族，若对每个f ，f 是x 的闭集，则称厂是x 的闭 离散集族x 是给定的拓扑空间，在本文中讨论的p 都将满足如下条件： ( 1 ) 若ycx ，y = u ，其中f 是x 的离散集族，且对每个f 厂，有 f p ，贝4y 尹； ( 2 ) a p ，若b 是子空间a 的闭子集，则b p ； ( 3 ) f 是x 的闭子空间，a 是子空间f 的具有性质p 的子集，则a p 如果p l = a ：a 是x 的闭离散子集) 、伤= a ：a 是x 的离散子集 ) ，则p 1 与伤都满足上述性质( 1 ) 、( 2 ) 、( 3 ) 如果r = a ：a 是x 的仃一 闭离散子集) ，则伤也满足上述性质( 1 ) 、( 2 ) 、( 3 ) 我们将研究当p 满足上述条件的时候，与性质p 对偶的空间所表现出的特 殊性质为此我们将用到拓扑对策的基本知识，相关定义与结论可参阅文献【3 8 与 4 3 】 a d 一空间的概念是2 0 0 2 年由a v a r h a n g e l t s k i i ，r z b u z y a k o v a 在【1 1 】 中引入的如果对x 的每个非空闭集f ，以及x 的任一开覆盖“，都存在x 的闭离散子集d ，dcf 及映射：d 一甜，使得fcu 咖( z ) ：z d ) ，则称x 为a d 一空间很显然每个d 一空间是q d 空间。在 1 1 】中证明了如果x 是正 则的且是有限个仿紧空间的并，则x 是a d 一空间在 1 2 】中证明了如果x 是 有限个次仿紧空间的并，则x 是a d - 空间在【3 2 】中，彭证明了如果x 是有限 个次亚紧空间的并，则x 是a d 一空间 第1 章绪论 弱瓦加细空间的概念是s m i t h 在 3 5 】中引入的，在 4 中，彭讨论了弱乒加 细空间的性质，实际上证明了每个弱- _ 加细空间是a d 一空间本文将讨论a d 一 空间的一些与d 一空间相类似的性质 本文中的空间如未特别说明，均满足五分离性公理，未给出定义可参阅文 献【1 】与 5 】是自然数集，u = nu o 】- 1 2基本概念 定义1 ( c f 【4 0 】) 拓扑空间( x ，丁) 的一邻域指派是一个映射：x _ 丁，使 得对于任意的x x ，有z ( z ) 定义2 ( c f 1 】) 设x 是拓扑空间，集合d 称为x 的离散子集，若对任意的 x e d 都存在开集u ，满足z e u ，且i u n d i a 定义3 ( c f 【4 0 】) 拓扑空间x 称为d 一空间，如果对x 的邻域分派，都存 在x 的闭离散子集d ，使得x = u ( d ) ：d e d 定义4 ( c 4 2 ) x 是拓扑空间，令p = a ：a 是x 的具有性质p 的子集) ， 如果对于x 的任意邻域指派咖，都存在a p ，使得x = u ( z ) ：x a ) ， 则称x 是与性质p 对偶的空间，有时简称为p 对偶空间 定义5 ( c 1 ) 拓扑空间x 的集族彩= ：a e a 称为x 的覆盖，如果 u ：a a ) = x 如果彩的元素全是开集，则称之为开覆盖 如果彩是有限集( 可数集) ，则称之为有限( 可数) 覆盖 如果彩的子集彩7 仍是覆盖，则称彩7 是彩的子覆盖 北京工业大学理学硕士学位论文 拓扑空间x 称为紧空间，如果x 的每一开覆盖具有有限的子覆盖 定义6 ( c 【1 1 】) 拓扑空间x 称为a d 一空间，如果对x 的任意的非空闭集 f 和任意开覆盖“，都存在闭离散集d c f 和映射矽：d _ 甜，满足f c u 西( d ) ： d e d 定义7 ( c f 5 】) 映射，：x _ y 称为连续的，如果对任意的u 开于y ，厂1 ( u ) 是x 中的开集 定义8 ( c f 【5 】) 映射s ：x y 称为闭映射，如果对任意的f 闭于x ，则 s ( f ) 闭子y 定义9 ( c f 【1 】) 设a 是拓扑空间x 的子集，所有包含集a 的闭集的交集称 为集a 的闭包 定义1 0 ( c 1 】) 令彩= ：a e a 是一集族 称彩= ：a e a 是局部有限的，如果对任意的x e x ，都存在x 的邻域 巩，使得i o r ：u n o ，q a ) l u 如果i q ：u n d ，q c h l l ，则称彩 为离散集族 称彩是口一局部有限的，如果彩是可数个局部有限集族的并，既彩= 铝幺： 讫纠) - ，每一个是局部有限的 称彩是点有限的，如果对任意的x e x ，l u ：x e u ，彩i u 称彩是点可数的，如果对任意的x e x ，i u ：x e u ，彩i u 集族“称为闭包保持的，如果对任一甜7 c u ，都有u 扩了u 研= u g ： u e u 7 ) 定义1 1 。( c f 5 】) 拓扑空间x 称为l i n d e l s f 空间，如果对义的每一个开覆盖 垂 第1 章绪论 都存在可数子覆盖 定义1 2 ( c f 【1 】) 覆盖y 称为覆盖彩的加细覆盖，如果少中每一元素总包 含于彩中的某一元素内 拓扑空间x 称为仿紧空间，如果x 的每一开覆盖具有局部有限的开加细 定义1 3 ( c f 1 】) 拓扑空间x 称为次仿紧的，如果x 的每一开覆盖具有盯离 散闭加细 x 是一拓扑空间，纠是x 的开集族，令o r d ( z ，“) = l ：x 阢u “】i 定义1 4 ( c f 1 ) 空间x 称为弱9 加细空间，如果x 的每一开覆盖彩具有 开加细v = u n e l i ，对每一x e x 存在n e n 使l o r d ( x ，k ) u ；如果上述条件 加强为每一( i e n ) 都是x 的覆盖，则称x 是仁加细空间 定义1 5 ( c f 【3 5 ) x 是拓扑空间，如果对x 的任意开覆盖甜，都存在开加细 y = u k ：几) ，满足如下条件： ( 1 ) 对任意z x ，都存在凡z n ，使得1 o r d ( z ，。) n 当m n 时zg 易m + l ，而d 2 m + lc 1 m 第2 章性质- p 对偶的空间 易m + 1 令o = u 2 n + 1n ( x u ( 玩m + 1 ：m n ) ) ，由p + 一似空间的定义可 知，e 2 m + 1 是x 中的闭集，其中仇 ，对每个q a ，r 是与性质尹对偶的 闭子空间， r ：o c 人) 是闭包保持的令咖是空间x 的任意邻域指派因 为f 1 是与性质p 对偶的闭子空间，故存在具有性质p 的子集d lcf 1 ，使得 日cu ( d ) ：d d 1 1 2 第2 章性质p 对偶的空间 对于o l a ，不妨设对任意的p q ，存在具有性质p 的子集上冶c 昂， 且d 口c 乃u ( d ) ：d u d 卢，卢7 p ) 】，同时乃u 驴( d ) ：d u _ 功，p 7 p ) ) cu 咖( d ) ：a d 卢) 由于兄u 咖( d ) ：a u d p ，p q ) ) 是r 中 的闭集，因此由定理1 可知存在着具有性质p 的子集d qcr u ( d ) ：d u ( d p ，p q ) ，使得r u ( d ) ：d u d 扫，p q z 时，k n d 卢= d 由于zgu 昂：p q z ) ， 且厂是闭包保持的集族，因此= x u 昂：p q z ) 是开集令o 。= kn 巩， 则z o z ，o z 是开集，且i o l ：o znd a d ) l 1 因此由p 的第一条性质可 知，d 是x 的具有性质p 的子集，这样x 是与性质p 对偶的空间 口 推论l l ( c f 6 】) x = u f ：f 歹) - ，对每个f y - ，f 是离散对偶的闭子 空间，且厂是闭包保持的，则x 是离散对偶的空间 对于两个子空间并的情况，我们有如下结论 定理1 2 若x = y uz ，y 与z 都是与性质p 对偶的子空间，且y 是x 的闭子空间，则x 是与性质p 对偶的空间 证明令是空间x 的任意邻域指派，因为y 是与性质p 对偶的子空 间，故存在具有性质p 的子集d 1cy ，使得ycu ( d ) ：d d 1 ) 令z 1 = z u 咖( d ) ：d d 1 ) = x u ( 矽( d ) ：d d 1 ) ，因此z l 是z 的 闭于x 的子空间，因而由定理1 知；存具有性质p 的子集d 2cz 1 ，使得 z acu ( d ) ：d d 2 】，令d = d 1ud 2 ，则x = u ( d ) ：d d ) 由p 的 第一条性质可知，d 具有性质p 口 一1 3 - 北京工业大学理学硕士学位论文 在 6 中研究的d u t l a y 离散空间是一类性质p 对偶的空间类似地，有这样 的问题： 问题1 如果x 是可数个的离散对偶的空间并，则x 是离散对偶的空间吗? 2 2 性质p 对偶的空间的充分必要条件 在文献【2 2 中对于x 的某邻域指派，定义了闭离散集u 一粘这一概念，从而 给出了d 一空间一个充分必要条件，那是很有用的一结论类似的对于x 的某邻 域指派咖，定义1 6 给出了咖粘的定义，下面讨论与性质p 对偶空间的一个充分 必要条件 定理1 3x 是与性质p 对偶空间当且仅当对于x 的每个邻域指派， 勿( ) d ，且每个d 秒( ) 及任意的z x ，存在d 7 口( ) ，使得ds d 7 且z u ( 咖( d ) ：d d 7 ) 证明“兮”对x 的邻域指派，由于x 是与性质p 对偶空间，因此 存在具有性质p 的子集acx ，使得x = u ( d ) ：d a ) ，因此a d ( ) ， 这样刃( 咖) d 对于d d ( ) ，及z x ，若z u 西( d ) ：d d ) ，则令 d 7 = d 若zgu 咖( d ) ：d d 】，则z x u ( d ) ：d d ) 由定理1 可知， x u ( d ) ：d d ) 也是与性质p 对偶的子空间，因此存在具有性质尹的子集 d 1cx u ( d ) ：d d ) ，使得x u ( d ) ：d d ) cu 莎( d ) ：d d 1 ) 令 d 7 = d u d l ，对每个y x ，由于d d ( ) ，因此当y x u ( d ) ：d d ) 时， 有矽( 可) nd = o ，当y u 西( d ) ：d d 时，( u ( d ) ：d d ) ) nd l = d 因此 d ，d 1 ) 是具有性质p 的离散集族，这样由p 的第一条性质可知，d 7 p 这 1 缸 第2 章性质p 对偶的空间 样d 西d 7 ，d 7 d ( ) 且x = u 咖( d ) ：d d 7 ) ，因此z u 西( d ) ：d d 7 ) “乍” 令西是空间x 的任意邻域指派，由已知可知秒( 砂) d ，因此存在 具有性质p 的子集d 1 口( ) ，若x = u ( d ) ：d d 1 ) - ，则有具有性质p 的 子集d 1 ，使得x = u ( d ) ：d d 1 ) 若x u ( d ) ：d d 1 ) ，取z 1 x u ( d ) ：d d 1 ) ，于是由已知存在 d 2 口( ) ，且d l d 2 ，使得x l u ( d ) ：d d 2 ) 若x = u ( d ) ：d d 2 ) ，则结论已证，否则一直作下去 对于某个序数a ，满足对于任意的p q ，我们有d 口口( ) ，当l 历 o 时，有d p 。d 胁我们令d 三= u d 卢：p q ) ，对于任意的z x ，如果 ( z ) nd ：0 ，则存在最小的卢 口，使得西( z ) i 1d p - 1o 由于d 卢口( ) ，因 此z u ( d ) ：d d 卢) 令o z = ( u ( d ) ：d d 卢) ) n ( z ) ，贝0i 7 ：o z r id 7 0 ，7 a ) l 1 ，因此由p 的第一条性质可知，磁具有性质p ，同时我们也证明 了d 三秒( ) ，令d a = d ：，则对每个 q ，有上冶庐d q 由上述存在某序数人，使得x = u 咖( d ) ：d u d a ：0 八) ) 令d = u d q ：q a ) ，类似于前面的证明，易证d 是x 的具有性质p 的子集因此 x 是与性质p 对偶的空间口 关于离散对偶空间，通过如下定理将说明o s t a s z e w s l d 空间( c f 3 0 ) 不是离 散对偶空间 定理1 4 空间x 是离散对偶的完备空间( 即闭集都是g 6 集的空间) ，且x 中的每个闭离散子集是可数的，则x 是l i n d e l 6 f 空间 证明若d 是离散子空间，对每个z d ，存在开集巩，使得z 以且 一1 5 北京工业大学理学硕士学位论文 nd = z ) 因此令u = u ：z d ) ，则u 是开集且dcu 由于x 是 完备的，这样有u = u b ：钆) ，其中鼠是x 中的闭集令r = bnd ， 所以d = u r ：礼) ，r 为闭离散子集因x 中的每个闭离散子集是可 数的，故r 为可数集，n n ，所以d 是可数的对x 的任意开覆盖“，对任 意z x ，存在甜，使得z 乩，令妒( z ) = 巩x 是离散对偶的，因此存 在离散集dcx ，使得x = u ( d ) ：d d ) ，由前述，d 是可数集，因此甜存 在可数子覆盖，这样x 是l i n d e l s f 空间口 这样我们有： 说明 o s t a s z e w s l d 空间( c f 3 0 】) 是局部紧的完全正规的可数紧空间，但不 是紧空间因此o s t a s z e w s k i 空间不是d 一空间、不是d 一空间、不是离散对偶 空间 2 3 本章小结 本章首先证明了满足不同条件的空间是与性质p 对偶的空间，其次证明了与 性质p 对偶的空间的一个充分必要条件，最后说明了o s t a s z e w s k i 空间不是离散 对偶空间 1 6 i 第3 章关于a d 一空间 第3 章关于a d 一空间 a d 一空间的概念由a v a r h a n g e l ，s k i i ，r z b u z y a k o v a 在文献【1 1 】中引 入，本章联系性质p 对偶的空间和d 一空间的内容，讨论a d 一空间的类似性质 3 1a d 一空间的性质 定理1 5 d 一空间是a d 一空间 证明：设甜是空间x 的任一开覆盖，f 是x 的任一闭集当x e f 时， 令( z ) = ，x e 以“；当x 隹f 时，令咖( z ) = x f ，则咖是x 的一个邻域指 派因x 是d 一空间，所以存在闭离散集d c x ，使得x = u ( z ) ：x e d 令d 1 = d a f ，则d 1 是离散闭集令妒( z ) = ( z ) ，x e d l ，则妒：d 1 _ 纠是一 映射，且f c u ( 妒( x ) ：x e d l ，所以x 是a d - 空间口 d 一空间的概念首先由v a nd o u w e n 在1 9 7 9 年在文献 4 0 】中提出，这为拓 扑学的发展开辟了一条新的道路，在文献 4 0 】中，作者证明了s o r g e n f r e y 直线 是d 一空间，而且说明了s o r g e n f r e y 直线的有限积空间也是d 一空间，又提出了 s o r g e n f r e y 直线的可数积空间是不是d 一空间空间的问题在之后的几十年内很 多著名的学者在这个领域内做了大量的工作，得到了许多好的结果并提出了许多 好的问题，为拓扑学在这个领域的发展指明了前进的方向d 一空间的一个很重 要的问题是它和覆盖性质的关系，相关的问题有：正则l i n d e l s f 空间是不是d 一空 间，仿紧空间是不是d 一空间，次仿紧空间和亚紧空间是不是d 一空间等问题 2 0 0 2 年a r h a n g e l ，s k i i 在文献 1 2 】中也提出问题一一两个d 一空间的并是不是d 一 空间，这些问题至今还没人给出正面的回答在研究仿紧空间是不是d 一空间， 一1 7 - 北京工业大学理学硕士学位论文 次仿紧空间和亚紧空间是不是d 一空间的问题中， a v a r h a n g e l ，s k i i ， r z b u z y a k o v a 在文献 1 1 中建立了a d 一空间的概念，易证，仿紧空间，次仿紧空 间都是a d 一空间显然每个紧空间是a d 一空间在 1 6 】中，r b o r g e s ，c w e h r l y 证明了半层空间是d 空间，从而度量空间是d 一空间由定理1 ，它们 也是a d 一空间在文献 4 】中，彭讨论了弱万一加细空间的性质，实际上也证明 了每个弱万一加细空间是a d 一空间 下面主要讨论d - 一空间的闭遗传性质和a d 一空间的闭连续映射像的结论 定理1 6a d 一空间的闭子空间是a d - 空间 证明：设拓扑空间( x ，丁) 是a d 一空间，x 7 是x 的闭子空间若甜7 是x 7 的任一开覆盖，任意f 7 闭于x 7 ，令甜= u ：u 名u n x 7 ，u e t ，u “7 ) ，则 u u x x 7 】| 是x 的开覆盖因x 是a d 一空间，对x 的任意非空闭集f ，存在 闭离散集a c f 和映射：a _ u u x x 7 ) 满足f c u 西( d ) ：d e a 由于f 7 闭 于x ，因x 7 闭于x ，则f 7 闭于x ，则存在a 7 是f 7 的闭离散子集且f 7 c u 矽( d ) ：d e a 7 ) 令砂= 钏x ，则7 ：a 7 一甜7 满足f 7 c u 咖7 ( d ) ：d e a 7 ) ，所以x 7 是a d 一 空间 口 定理1 7a d 一空间的闭连续映射像是a d - 空间 证明：设厂：x y 是闭连续满映射，x 是q d 一空间对y 的任意的非 空闭集f 和任意开覆盖“，因厂是连续满映射，则- 1 似) = ，- 1 ( ) ：u e u 是 x 的开覆盖且t - 1 ( f ) 是x 的闭子集因为x 是q d 一空间，则存在闭离散集 d c f 。( f ) 和：d 一，- 1 ) 满足f - 1 ( f ) c u ( d ) ：d e d ，令d k ，( d ) = ，( z ) ：x e d 下证d 。是y 的闭离散子集对任意的d xc d + ，存在d z c d ，使得d 1 = ，( d 2 ) 1 8 - 第3 章关于o e d 一空间 由于d 2 是闭集且，是闭连续映射，则d 1 是y 的闭集，所以d + 是y 的闭离散 子集 令矿：d + 一酣满足矿( 矿) = ，( ( d ) ) ，其中，( d ) = 矿易证f = f ( f _ 1 ( f ) ) c ，( u ( d ) ：d d ) ) = u ，( 咖( d ) ) ：d e d = u b ( 矿) ：矿e d + ) ，所以y 是q d 一空间口 下面两个定理是关于q d 一空间的并的结论 3 2 关于a d 一空间的并 定理1 8 如果拓扑空间x 是可数个闭q d 一空间的并，则x 是q d 一空间 证明：令x = u n n f ，r 是x 的闭a d 一子空间设f 是x 的任意 非空闭集，“是x 的任一开覆盖不妨设任意的n e n ，f n r 仍因为f n 日 是日的闭子集且只是q d 一空间，所以存在闭离散集d 1 c f n f l 和映射1 ： d l _ 甜满足f n r c u l ( d ) ：d e d l 因为局( u 1 ( d ) ：d e d l ) 是尼的 闭子集且易是q d 一空间，若f n ( 马( u l ( d ) ：d e d l ) ) # o ，则存在闭离散集 d 2 c f o ( f 2 ( u 咖1 ( d ) ：d e d l ) ) 和映射咖2 ：d 2 _ 甜满足f n ( r ( u 咖1 ( d ) ： d e d l ) ) c u 2 ( d ) ：d e d 2 依次类推，若对于n e n 和r 已有i 羽离散集d n 和映射九满足f n ( r ( u 屯( d ) ， d e d , ，i = 1 ，2 ，n 一1 ) ) ) c u n ( d ) ，d e d n ) 因为r + 1 ( u 以( d ) ，d 耽，i = 1 ，2 ，n ) ) 是r + 1 的闭子集且r + 1 是o l d - 空间，若f n ( r + 1 ( u a ( d ) ：d d t ，i = 1 ，2 ，扎 ) ) d ，则存在闭离散集风+ 1 1 9 北京工业大学理学硕士学位论文 c f m ( r + 1 ( u ( d ) ：d e d i ，i = 1 ，2 ，绍 ) ) 和映射如十l ：巩一彩满足f n ( j k + l ( u 多l ( d ) ：d e d 2 ，i = 1 ，2 ，n ) ) ) c u 咖n + l ( z ) ：x e d n + 1 ) 易证f n ( u f t ：i = 1 ，2 ，n + 1 ) ) c u 也( d ) ：d d t ，i n + 1 ) 令d = u 扎历。，( z ) = 破( z ) ( x ed i ，i e n ) ，则对任意x e f ，存在最小的m ：e n 使得z ，k 。，如果z 譬u t ( d ) ：d 现，i m z ) ，贝0z f n ( f 1 m ( u t ( d ) ：d e d i ， i = 1 ，2 ，m z 一1 ) ) ) c u ( d ) ：d e d m 。) ，所以f c u 咖( d ) ：d e d 下证d 是闭离散集 因为对任意的z x ，当x e f 时，存在最小的e n 满足x e f n ( r ；( u 也( d ) ：d ed i ，i = 1 ，2 ，礼z 1 ) ) ) ，因为玩。是f n ( r 。( u 瓴( ：d e 觑，i = 1 ，2 ， 一1 ) ) ) 的闭离散子集，所以存在开集k 使得j 圪n j k ：i 1 ，且存在d 职k 使得 z e n 。( d ) 令d z = ( k n 。( d ) ) ( u r ：i = 1 ，2 ，n z - 1 ) 因为当i n z 时，( k n 九。( d ) ) n d t = d ，所 以1 0 z n d l 1 当x e x f 时，令0 z = x f ，则0 z n d = o ，从而d 是闭离散集 因此，x 是q d 一空间口 定理1 9 设x = u ( 兄：a e a ，对每个a e a ，r 是x 的闭a d - 子空间且 咒：a e a 是闭包保持的，则x 是a d 一空间 证明：设歹= r ：a e a ，令f 是x 的任意闭集，纠是x 的任意开覆盖 因为f n f o 是娲的闭子集且r 是a d - 空间，故存在闭离散子集d o c ( f n & ) 和映射o ：d o _ “使得f n f o c u 西o ( d ) ：d e d o 对于a e a ，不妨设对任意的5 a ，存在闭离散子集d 卢c f n ( & ( u 籼( d ) ： 2 阻 第3 章关于q d 一空间 挺d 1 ，7 卢 ，) ) ，和映射咖：d p 一甜使得f n ( f 卢u ( “( d ) ：d e q ，7 p ) ) c u 加( d ) ：d e d p 由于f n ( r u 加( d ) ：d 功，p q ) ) 是f q 中的闭集，所以存在闭离散 d 口c f n ( f q u 西z ( d ) ：d d p ，p q ) 和西口：d a 一“，使得f n ( r u q 5 届( d ) ： d e d z ，p q ) ) c u 砂q ( d ) ：d e d q ) 令d = u d 口：a e a ，且令咖( z ) = 札( x ) ( x e d q ，a e a ) 显然f c u 咖( d ) ： d e d 下证d 是离散闭集 对于任意的x e f ，存在最小的o l 。e a ，使得z e f n ( r 。u 【“( d ) ：d e d y ， 7 a z ) ) 这样存在开集使得z k 且i k n d q 。i l ，且存在d e d a 。使得z e q 。( d ) 令o 。= ( kn 九。( d ) ) ( u b ：7 a z 时，0 z n 功= 0 由于x c u ( ：7 a ) ，且厂是闭包保持的，因此( 圪n d q 。) ( u 日：7 q 】- ) 是开集从而z e o z ， 0 z 是开集，且1 0 z n d l i ，则d 是x 的闭离散子集，所以x 是a d 一空间口 关于o l d 一空间的并问题，至今还没有比较好的结论，在文献【1 1 】中提到如 下结论： 定理2 0 若x = y u z ，y 与z 都是q d 一子空间，且y 是x 的闭子空间， 则x 是q d 一空间 证明见文献 1 l 】 3 3a d 一空间与覆盖性质 覆盖性质是一般拓扑学研究的重要内容，l i n d e l s f 空间，紧空间，仿紧空间， 2 1 北京工业大学理学硕士学位论文 次仿紧空间，萨加细空间，弱万一加细空间等都是以覆盖性质为出发点建立的拓 扑空间。本章节主要在覆盖性质的基础上讨论a d 一空间 1 9 7 9 年，d o u w e n 在文献 4 0 】中曾问正则l i n d e l b f 空间是不是d 空间，该 问题到现在还没人解答下面定理讨论q d 一空间与l i n d e l b f 空间的关系 定理2 1 设x 是a d 一空间，若x 7 是x 的b 集，且x 的每一闭离散集都 是可数的，则x 7 是l i n d e l b f 空间 证明：因x 是a d 一空间，贝i j 由定理1 6 与定理1 8 可知x 7 是q d 一空间由 于x 的每个闭离散集是可数的，所以x 是l i n d e l s f 空间 口 在文献【1 1 】、【1 2 和【3 2 】中，a r h a n g e l ，s k i i ，b u z y a k o v a 和彭分别讨论了仿 紧空间并，次仿紧子空间并和0 一加细空间并的问题下面是他们的具体论述 定理2 2 如果正则空间x 是有限个仿紧子空间的并，则x 是a d 一空间 证明见文献 1 1 】 定理2 3 如果空间x 是有限个次仿紧空间的并，则x 是a d - 空间 证明见文献【1 2 】 定理2 4 如果空间x 是有限个口一加细空间子空间的并，则x 是q d 一空间 证明见文献( 3 2 】。 由f 4 】知道，每个弱口一加细空间是a d 一空间，因此我们有如下问题： 问题；( 2 ) 如果空间x 是有限个弱口一加细子空间的并，则x 是a d 一空间 吗? 3 4 本章小结 2 2 第3 章关于a d 一空间 本章联系与性质p 对偶的空间和d 一空间性质，讨论了a d 一空间的性质具 体地讨论了a d 一空间的映射像，a d 一空间的遗传性，a d 一空间的并以及a d 一 空间与覆盖性质之间的关系等内容 2 孓 北京工业大学理学硕士学位论文 结论 本文在d 一空间和d u a l l y 离散空间的基础上建立了性质尹对偶的空间的概 念，同时给出与特殊性质p 对偶的空间相关结论，最后进一步研究了a d 一空间 的性质 主要结论有： 设x 是拓扑空间，令p + = e ：e 是x 的与性质p 对偶的子空间) 定理1x 是拓扑空间， e p + ，fce ，f 是x 的闭子空间，则f p + 定理2x 是拓扑空间，如果x 是p + 一似空间，则x 是与性质p 对偶的 空间 推论3如x = u ：n ) ，其中每个k 是x 的闭p + 一似子空间， 则x 是与性质p 对偶的空间 推论4如x = u k ：n ，其中每个是x 的闭的离散对偶子空 间，则x 是离散对偶的空间 定理6 如果x 是正则弱万一加细p + 一散布空间，则x 是与性质p 对偶的 空间 推论7 如果x 是正则弱乱加细( ，离散对偶j 一散布空间，则x 是离散对偶 空间 推论8 如果x 是正则仿紧做仿紧、次亚紧) 局部离散对偶空间，则x 是 离散对偶空间 推论9 如果x 是正则弱百一加细空间，且对x 中的每个点z ，都存在开集 k 同胚于u 1 ，则x 是离散对偶空间 2 垂 结论 定理1 0x = u f ：f 歹) ，对每个f 厂，f 是x 的与性质p 对偶的 闭子空间，且丁是闭包保持的，则x 是与性质p 对偶的空间 推论1 1x = u r ：f 厂) ，对每个f 厂，f 是离散对偶的闭子空间， 且尸是闭包保持的，则x 是离散对偶的空间 定理1 2 若x = yuz ，y 与z 都是与性质p 对偶的子空间，且y 是x 的闭子空间，则x 是与性质p 对偶的空间 定理1 3x 是与性质p 对偶空间当且仅当对于x 的每个邻域指派， 口( 咖) 0 ，且每个d 口( ) 及任意的z x ，存在d 7 口( ) ，使得d 多d 7 且z u ( d ) ：d d 7 ) 定理1 4空间x 是离散对偶的完备空间( ，即闭集都是g 6 集的空间) ，且x 中的每个闭离散子集是可数的，则x 是l i n d e l 6 f 空间 定理1 6a d 一空间的闭子空间是q d 一空间 定理1 7a d 一空间的闭连续映射像是a d 一空间 定理1 8 如果拓扑空间x 是可数的闭a d 一空间的并，则x 是a d 一空间 定理1 9 设x = u r ：a e a ，对每个a e a ，r 是x 的d 一闭子空间，且 见：a e a 是闭包保持的，则x 是口d 一空间 定理2 1 设x 是q d 一空间，若x 7 是x 的b 集，且x 的每一闭离散集都 是可数的，则x 7 是l i n d e l i f f 空间 主要问题有： 问题1如果x 是可数个离散对偶的空间并，则x 是离散对偶的空间吗? 问题2 如果空间x 是有限个弱万一加细子空间的并，则x 是a d 空间吗7 2 5 - 北京工业大学理学硕士学位论文 希望上述结论和问题对一般拓扑学的研究能起到积极推进作用 2 6 - 参考文献 参考文献 1 高国士，拓扑空间论，北京：科学出版社，2 0 0 0 ( 现代数学基础丛书) i s b n 7 0 3 0 0 8 1 4 4 7 2 林寿，广义度量空间与映射( 第二版) ，科学出版社，北京，2 0 0 7 3 林寿，点可数覆盖与序列覆盖映射，科学出版社，2 0 0 2 4 彭良雪，d 一空间的某些充分条件，北京理工大学学报，1 6 ( 3 ) ( 1 9 9 6 ) ，2 2 9 - 2 3 3 5 熊金城，点集拓扑讲义，高教出版社， 1 9 9 5 6 张沛宇，d u l l a y 离散性质研究，北京工业大学硕士毕业论文， 2 0 0 8 7a l a so ，t k a c h u kv v ，w i l s o nr g ，c o v e r i n gp r o p e r t i e sa n dn e i g h b o u r h o o d a s s i g n m e n t s ，t o p o l o g yp r o c ，3 0 ( 1 ) ( 2 0 0 6 ) ，2 5 3 8 8a r e n sr ，d u g u n d j ij ，r e m a r ko nt h ec o n c e p to fc o m p a c t n e s s ，p o r t u g a l m a t 9 ( 1 9 5 0 ) ，1 4 1 1 4 3 9a r h a n g e l ，s k i ia v ，b u z y a k o v ar z ，o nl i n e a r l yl i n d e l s fa n dd i s c r e t e l y l i n d e l s fs p a c e s ，p r o c a m e r m a t h s o c ，2 7 ( 8 ) ( 1 9 9 9 ) ，2 4 4 9 2 4 5 8 1 0a r h a n g e l s k i ia v ，m a p p i n g sa n ds p a c e s ，r u s s i a nm a t h s u r v e y s ，21 21