（通信与信息系统专业论文）jpeg2000精确码率控制算法研究.pdf

摘要 j p e g 2 0 0 0 采用能量特性更为集中的离散小波变换( d w t ) 和d t a u b m a n 所 提出的率失真优化截取的内嵌码块编码算法( e b c o t ) 作为其核心算法；采用位 平面熵编码器，分层组织码块的嵌入式压缩位流，可获得很高的压缩性能。 j p e g 2 0 0 0 能实现p r o g r e s s i v et r a n s m i s s i o n ( 渐进传输) ，这是j p e g 2 0 0 0 的一个很重 要的特征。j p e g 2 0 0 0 的渐进传输很大程度上取决于压缩率控制算法，j p e g 2 0 0 0 建议的压缩后率失真优化p c r d ( p o s t c o m p r e s s i o nr a t ed i s t o r t i o no p t i m i z a t i o n ) 算法能够在给定的压缩比下使最终压缩图像质量最好。但要精确控制输出码率， 在码流截取时就必须提供准确的目标码长。但在码流中还包含一些头信息，因而 率失真优化截取码流时要考虑这些头信息的长度。如果在截取时忽略这些头信息 码长，直接用输入码率计算得到的总码长作为目标码长进行码流截取，将会导致 最终的输出码率要比输入码率大许多。基于以上考虑，本文提出了一种在率失真 优化截取过程中预留包头长度，并结合舍弃最小长度失真斜率的方法。实验结果 表明该方法在保证图像压缩质量不受影响的基础上精确控制了压缩码率。 关键词：图像编码小波变换j p e g 2 0 0 0e b c o t 码率控制 a b s t r a c t j p e g 2 0 0 0t l s c sd i 舀t a lw a v e l e tt r a n s f o r m a t i o n ( d w t ) i nw h i c ht h ec n a r g yr e s p o n s em o r e c e n t r a l i z e d ，a n dd t a u b m a np r o p o s e de m b e d d e dm o c kc o d i n gw i t ho p t i m i z e dt r u n c a t i o n ( e b c o t ) a l g o r i t h mb a s e do nr a t ed i s t o r t e do p t i m i z a t i o nt r t m c a t i o nt o t a k ei t sc o r ea l g o r i t h m ，a n dn s e st h e b i t - p l a n ee n t r o p ye n c o d e r , f i n a l l yo r g a n i z e st h ee m b e d d e dc o d eb l o c ks t r e a mi nd i f f e r e n tl a y e r st o o b t a i nt h em o s ta d v a n c e dc o m p r e s s i b i l i t y i ti sa l le x t r e m e l yi m p o r t a n tc h a r a c t e r i s t i cf o ry p e g 2 0 0 0 t or e a l i z e p r o g r e s s i v et r a n s m i s s i o n ( e v o l u t i o n t r a n s m i s s i o n ) t h ej p e g 2 0 0 0e x p a n d a b l e t r a n s m i s s i o ni sd e c i d e dt oag r e n te x t e n tb yt h ec o m p r e s s i o nr a t ec o n t r o la l g o r i t h m j p e g 2 0 0 0 s t a n d a r ds u g g e s t e dp c r d ( p o s t c o m p r e s s i o n d i s t o r t i o no p t i m i z a t i o n ) a l g o r i t h mw h i c hc a n r e a c ht h eb e s tc o m p r e s s i o nq u a l i t yu n d e rc e r t a i ni m a g ec o m p r e i o ns t o r a g es p a c e b u tw h e nt h e a c c u t 躲c o n t r o lo fo u t p u tc o d er a t ei sr e q u k e d a c c m a t et a r g e tc o d el e n g t hm u s tb ep r o v i d e df o r c o d es t r e a ml l n n c a t i o n b u tt h e f ca l s oc o n t a i n ss o m eh e a d e ri n f o r m a t i o ni nt h eo u t p u ts t r e a m t h u s w h e nr a t ed i s t o r t e do p t i m i z a t i o nm m c a f i o ni sp r o c e s s e d , t h ec o d el e n g t ho ft h e s ei n f o r m a t i o nm u s t b ec o n s i d e r e de i t h e r i ft h ec o d el e n g t ho ft h e s ei n f o r m a t i o ni si g n o r e di nt h et r u n c a t i o np r o c e s s ，a m u c hb i g g e ro u t p u tc o d er a t ew i l lb eo b t a i n e db yd i r e c t l yu s i n gt h et a r g e tl e n g t hw h i c ho b t a i n sw i t h t h ei n p u tr a t e b a s e do nt h ea b o v ec o n s i d e r a t i o n , t h i sp a p e rp r o p o s e da na l g o r i t h mb yr e s e r v i n gt h e p a c k e th e a d e rl e n g t hi nt h er a t ed i s t o r t e do p t i m i z a t i o nt r u n c a t i o np r o c e s s ，a n du n i f i e st h em e t h o do f r e i e e t i n g t h e s m a l l e s tl e n g t h d i s t o r t i o ns l o p ep o i n t t h e p 鲥嘶t a lr e s u l ti n d i c a t e st h a tt h i s a l g o r i t h mc a na c h i e v ea l la c c u r a t er a t ec o n t r o lw i t h o u tr e d u c i n gt h eq u a l i t yo f t h ec o m p r e s s e di m a g e k e y w o r d s ：i m a g e - c o d i n gw a v e l e tt r a n s f o r mj p e g 2 0 0 0e b c o t r a t ec o n t r o l 西安电子科技大学 学位论文创新性声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在导 师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注 和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果； 也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说明 并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切的法律责任。 本人签名： 建塞途 西安电子科技大学 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，郎：研究生 在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。学校有权保留 送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内容， 可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。同时本人保证，毕业后结合 学位论文研究课题再撰写的文章一律署名单位为西安电子科技大学。 ( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密，在一年解密后适用本授权书。 本人签名： 导师签名： 重名丞 揖 日期丝! ：! ：! ! 日期芝塾墨山 第一章绪论 第一章绪论 1 1 引言 近年来，国际标准化组织( i s o ) 和国际电信联盟( i t u ) 及中国数字音视频编解码 技术标准工作组等提出了一系列新的标准，如国际的j p e g 2 0 0 0 ，m p e g 4 ，h 2 6 4 和 国内的a v s 等。这些标准的提出和制定更好地服务于图像压缩领域，如可视电话、 视频会议、数码相机、视频点播、网络多媒体、无线视频服务、v o d 视频点播等 等。 我们通常所说的信息，主要来自于图像、语音和数据三种形式，其中大部分 来源于图像媒体。这说明图像是人们日常生活中信息交流最为重要的媒体之一， 也是蕴含信息量最大的媒体。然而日常生活中海量的图像数据、受限的网络带宽 以及不同的客户需求都会给信息的存储和传输带来巨大的困难。 静态图像的嵌套式编码和静态图像编码的率失真理论广泛应用于i n t e r n e tw e b 浏览、大型图像数据库的存储和浏览、数字图书馆、移动图像接收、远程监控、 医疗图像、电子商务等领域。 嵌套式编码所生成的码流具有渐进分级传输的特点广鑫分布式的网络情况下， 可以有效的满足不同客户端的要求。如果编码码流在任意码率上都是优化的，那 么在服务器端，只需存储一个具有较高分辨率的拷贝，就可以根据不同客户端的 网络带宽条件和屏幕分辨率实时的接收截短形式的具有不同分辨率的拷贝，满足 不同的可视条件。这样就不需要为每一个客户都保留相同图像的不同分辨率的拷 贝，大大减小了图像信息的存储空间，并且所褥的码流都是局部优化的。由于小 波变换有效的消除了图像的时间冗余，并且小波变换域各子带系数具有很强的空 域相关性，因此非常适合图像的嵌套式编码传输。 图像编码的率失真理论解决了在给定失真门限的情况下，图像编码所能达到 的最大编码率。本文详细的讨论了率失真理论与嵌套式静态图像编码的具体关系， 由率失真理论计算在给定的编码率下各子带的码流截断点，使得截取码流所引起 的失真最小。因此率失真理论在图像编码中具有非常重要的理论指导意义。 1 2 图像压缩编码技术的发展和现状 静态图像压缩就是充分利用数字图像的空间冗余、时间冗余、视觉冗余、结 构冗余等，达到压缩冗余信息的目的。针对不同的冗余，可以采用许多不同的编 j p e g 2 0 0 0 精确码率控制算法研究 码。比如位平面编码、脉冲编码调制h j ( d p c m ) 、熵编码、方块编码( b l o c k t r u n c a t i o n c o d i n g ) 、矢量量化编码v q l 2 - 6 ( v e c t o rq u a n t i z a t i o n ) 、分层编码 f h i e r a c h i c a lc o d i n g ) 、子带编码( s u b b a n dc o d i n g ) 和变换编码( t r a n s f o r mc o d i n g ) 等 等。近年来，人们又提出了神经网络法、几何模型化、分形和小波变换等编码技 术。 一直以来，图像编码技术遵循着对图像信源特性的不断认识以及对人类视觉 系统特性的不断认识这两条主线索展开，推动着图像编码技术的不断进步。迄今 为止，图像编码技术的发展大体上经历了早期、中期和当前三个阶段。 首先是5 0 一7 0 年代的早期阶段，作为图像编码技术研究的开始，首先发展起 来的是基于s h a n n o n 信息论的熵编码技术。熵编码技术是一种纯粹基于信息的统 计概率模型的无失真编码技术，其编码下限是图像的信源熵。其代表方法包括 h u f f m a n 编码、游长编码、算术编码和l e m p e l z i v 字典编码。随后，人们发现图 像中相邻像素之间存在着很强的相关性，去除这种冗余无疑会大大简化图像的数 据表示，在此基础上提出了以差分脉码调制( d p c m ) 为代表的各种预测编码方法 和各种内插编码方法。因此，早期阶段发展起来的大多数编码方法都是针对去除 图像内部的统计相关性来达到压缩图像的目的。随着对图像本身特性研究的开展， 人们发现图像数据在数值上发生细微变化时，人眼并不会察觉。基于这一点，人 们摆脱了无失真编码的限制，开始寻求各种限失真编码的方案，编码方案的设计 目标从如何精确恢复原始图像数据转变为如何将重构图像的误差限定在人眼可接 受的范围之内。进一步地，结合允许细微差异的量化方案，使得在这一阶段后期 的编码方法的压缩效率比熵编码又有了较大的提高。 1 9 8 5 年，瑞士学者m k u n t 提出“第二代图像编码技术”的概斜7 标志着中期 阶段的到来。区别于去除图像统计冗余的早期编码方法，第二代图像编码技术以 去除图像的视觉冗余为主要目标，强调编码不仅应充分利用图像信源的局部和全 局的统计相关性，而且要利用图像内部的几何特征、自相似性和方向性等多种自 然属性和规律，同时强调对于图像不再简单地作为客观信源来看待，而在充分考 虑人类视觉系统特性( h v s ) 的基础上，针对图像视觉信息进行有效编码。在这 一阶段，引起广泛关注的编码方案包括基于方向性滤波的编码、基于图像纹理轮 廓的编码和区域基编码。中期阶段的另一个重要成果就是混合编码的出现和发展。 混合编码研究的一个直接成果就是j p e g 图像压缩国际标准的诞生，它融离散余弦 变换( d c t ) 、d p c m 、视觉加权标量量化和熵编码于一身，达到了很高的性能指 标。j p e g 标准的出现，成为数字图像编码技术发展的一座里程碑，许多方法都以 它作为评价自身性能优劣的参考，因此有人称之为“图像编码四十年研究成果的 结晶”。需要指出的是，上述有损编码中的信息损失( 误差) 是在量化阶段产生的， 因此，如何设计最优性能的量化器一直是各个阶段的重要研究课题。1 9 5 9 年， 第一章绪论3 s h a n n o n 在率失真理论中论述了矢量量化( v q ) 的性能总是优于标量量化( s q ) ， 当编码长度趋于无穷的情况下，比特率和失真之间的关系可达到率一失真界，v q 编码技术就是这一论断的技术实现。早期研究多围绕s q 最优量化区间的划分和最 优量化值的求解进行探索，七十年代后期出现的l b g 算法极大地推进了矢量量化 研究的进展，包括对失真测度的探讨、码书设计、各种矢量量化系统的研究，快 速搜索算法等等，它对于中期阶段的混合编码及新数学工具的引入都具有重要的 意义。在这一阶段还出现了以视觉的空间频率特性为出发点的子带图像编码技术， 它具有多分辨率和渐进传输的特点，直接影响后期小波编码技术的发展。 当前阶段的编码技术即现代图像编码技术，区别于经典图像编码技术，其最 大特点是引入了新的数学工具和理论。从8 0 年代末到9 0 年代中期，大量崭新的 数学理论成果如小波理论、分形几何理论、神经网络理论和计算机视觉理论等被 引入图像编码领域，为图像编码技术的发展注入了巨大活力。小波理论在9 0 年代 受到众多领域科技工作者的高度重视。作为数学和工程应用等学科共同研究的结 晶，小波变换在信号分析、图像处理、地震勘探、量子物理和非线性科学等诸多 领域得到广泛应用。小波理论为各种信号及图像处理方法提供了种统一的分析 框架，成为当前信号与图像处理等众多领域的研究热点f s 】。在图像编码领域，由于 具有描述非平稳信号的独特优点，小波变换可将图像信号分解成不同空间分辨率、 不同频率特征和方向性特征的子图像信号，这便于在失真编码中综合考虑人的视 觉特性，同时也利于图像的逐渐浮现传输。另外，它作用于图像的整体，在有效 去除图像的全局相关性的同时，使量化误差分散到整个图像中，避免了j p e g 方法 带来的方块效应。所有的这些优势使得它成为一种极有前途的编码方法，它所具 备的高压缩潜力也正不断为各国学者的研究成果所证实。近年来涌现出来的一些 基于小波变换的压缩算法，结合特定的量化和编码方法，普遍能够在高压缩比下 获得比j p e g 更为理想的压缩性能。其中最为突出的是s h a p i r o 提出的内嵌零树 ( e z w ) 编码方法一j 和s a i d 与p e a r l m a n 提出的基于分层树集合分割( s p i h t ) 编 码方法【】0 1 。当前最新提出的j p e g 2 0 0 0 标准中的e b c o t 1 1 】法能够取得更为优秀的 压缩效果。随着8 0 年代中期人工神经网络( a r t i f i c i a ln e u r a ln e t w o r k ，a n n ) 研 究的兴起，许多学者开始尝试将a n n 引入图像压缩领域。d 心i n 本质上是一种大 规模的非线性动力学系统，它模仿及延伸人脑功能的信息处理系统和借鉴了生物 神经网络的一些主要结构特点，具有自学习特性、大规模并行处理、非线性处理 特性和分布式存储等许多优点。后来提出的模型基编码思想建立在计算机视觉、 模式识别和形态学等多种理论的基础上，它突破了s h a n n o n 的信息理论框架，通 过对图像主体建立模型，用少量参数来表征整个图像，是实现低比特率编码的有 效方法。 伴随着更广泛的理论基础，图像编码技术发展至今吸收和继承了前面阶段的 4 p e g 2 0 0 0 精确码率控制算法研究 成果，并注重各种算法的相互渗透和补充，达到了更高的性能，同时也吸引着更 多的学者为之而努力。 1 3 图像压缩标准 现有的图像压缩编码系统广泛应用于传真、声音、固定电话、移动电话、个 人通讯系统、静态图像存储系统、视频会议、数字电视、视频和电影等等。为了 生产和应用的兼容，产生了大量的标准。目前制定标准的组织有国际电信联盟 ( i t u ) 、美国a n s i 委员会电信委员会、电信工业联合会( t i a ) 、欧洲电信标准机 构( e t s i ) 、日本电信委员会( t i c ) 、中国通信标准化协会( c c s a ) ，电气电子工程师 学会( 1 e e e ) 和国际标准化组织( i s o ) 等。 静态图像压缩标准可分成两大类：二值图像( b i l e v e li m a g e ) 压缩标准和连续图 像( c o n t i n u o u si m a g e ) 压缩标准。 l 、j b i g t l 2 】 二值图像压缩标准j b i g l 主要是针对传真图像和报文图像的压缩，它的形成 使得传真机得到了普及。j b i g 2 设计的目标是高性能的无损压缩，有损压缩在取得 较无损压缩更高压缩比的情况下，具有不可见的质量下降。j b i g 2 的应用面扩展到 了文件的存储，数据归档，图像在i n t e r n e t 及无限信道上传输。j b i g 2 具有如下特 点：支持图像质量和内容的渐进编码；支持对不同区域采用不同的编码方法进行 编码，适用于交互媒体应用；可将多个图像文件压缩到一个j b i g 2 文件中。与j b i g 1 相比，具有更强的抗干扰和更高的压缩性能。 2 、j p e g 1 3 】 j p e g 是1 9 9 1 年建立并通过的第一个适用于连续色调静止图像的压缩算法， 可实现图像的无损和有损压缩。有损压缩的j p e g 编码算法步骤如下：首先将图像 分成8 x 8 的图像块，根据从左到右、从上到下的光栅方式进行排序；然后采用前 向离散余弦变换( d c t ) 对8 8 的图像块进行变换，对“个d c t 系数用均匀量化 表进行标量量化：对量化后的系数再采用z i g z a g 扫描生成游程值对的变长序列， 最后对游程值对进行h u f f i n a n 嫡编码，生成最终的压缩码流用于存储和传输。无 损压缩的j p e g 由预测编码加嫡编码完成。 3 、j p e g 2 0 0 0 e 1 4 】 j p e g 2 0 0 0 是新一代的静止图像压缩标准，其目标是在一个统一的集成系统中， 允许使用不同的图像模型对具有不同特征、不同类型( 如二值、灰度、彩色或者多 分量图像) 的静止图像进行压缩，在低比特率的情况下，获得比目前标准更好的率 失真性能和主观图像质量。该法具有如下主要特点：良好的低比特率压缩性能； 适用于连续色调和二值图像压缩；适用于有损和无损图像压缩；可按照像素精度 第一章绪论 或者分辨率进行累进式传输；可随机获取和处理码流：强的抗误码特性；可实现 固定速率、固定大小、有限存储空间的压缩。j p e g 2 0 0 0 具有的多种特点使得它具 有广泛的应用前景。 1 4 本文的主要研究内容 随着多媒体技术应用的不断增加，如何有效地利用有限的带宽是传输视频和 图像数据的主要问题。通过有效的码率控制策略控制码流，使之能够满足带宽和 终端通讯延迟的需要，并使得图像的重建质量最好。 j p e g 2 0 0 0 正是为适应不断发展的图像压缩应用而出现的新的静止图像压缩编 码标准。它采用了嵌入式零树小波变换技术【1 4 3 5 ，小波变换将输入图像分解成若 干子带，各个子带分成相同大小的编码块，各个编码块中的变换系数可按照重要 性的顺序编码和生成压缩码流，j p e g 2 0 0 0 从而实现了按照像素精度进行累进式传 输。因此，j p e g 2 0 0 0 具有极好的码率控制性能。j p e g 2 0 0 0 所采用的核心算法 e b c o t l l q f e m b e d 捌b l o c kc o d i n gw i t ho p t i m i z a t i o nt r u n c a t e d ) 对所有的编码块都 是彼此独立地进行编码，码率控制是在目标比特率的约束下找到所有编码块的最 优截断点，而最优截断点是通过预先对所有编码块编码完以后通过r d o ( r a t e d i s t o r t i o n o p t i m i z a t i o n ) ”1 计算得到。这种算法可获得极好的编码性能。 本文的研究内容是j p e g 2 0 0 0 静止图像压缩算法中的精确码率控制技术，具体 安排如下： 第一章为绪论，首先简要回顾了图像压缩编码技术的历史、现状与发展趋势， 以及对静止图像的各种压缩标准作了相应得介绍，并给出了本文的研究内容。 第二章作为基础知识的一部分，首先介绍了小波分析中的一些基本概念和理 论，分析了小波变换的性能，然后引出小波变换在图像压缩编码中的应用； 第三章对最新的国际标准j p e g 2 0 0 0 编码系统的框架结构及其核心算法等做 了详细介绍； 第五章依据j p e g 2 0 0 0 中t 2 编码器的码流组织特点以及各包头信息的编码方 式，提出了精确控制码率的算法及仿真结果。 第二章小波变换的基本理论 第二章小波变换的基本理论 2 1 小波变换概念 7 小波变换属于时频分析的种。传统的信号分析是建立在傅立叶( f o u r i 神变换 的基础之上的，由于傅立叶分析使用的是一种全局的变换，要么完全在时域，要 么完全在频率域，因此无法表述信号的时频局部性质，丽这种性质恰好是非平稳 信号最基本和最关键的性质。为了分析和处理非平稳信号，人们对于傅立叶分析 进行了推广乃至根本性的革命，提出并发展了一系列新的信号分析理论：短时傅 立叶变换、g a b o r 变换、时频分析、小波变换、分数阶傅立叶变换、线调频小波变 换等。其中，短时傅立叶变换与小波变换是为了克服传统傅立叶变换的不足而产 生的。短时傅立叶变换的思想是：假定非平稳信号在分析窗函数g ( f ) 一个短时时间 间隔内是平稳( 伪平稳) 的，并移动分析窗函数，使f ( t ) g ( t f ) 在不同的有限时间宽 度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。但从本质上讲，短时傅立 叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法，因为它使用个固定的函数。因此短 时傅立叶变换在信号分析上还是存在着不可逾越的缺陷。 小波变换是一种信号的时间尺度( 时间频率) 分析方法，它具有多分辨 分析( m u l t i r e s o l u t i o n a n a l y s i s ) 的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的 能力，是一种窗口大小固定不变但形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时 频局部分析方法。即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在 高频部分具较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于探测正常信号中夹 带的瞬间反常现象并展示其成分，所以被称之为分析信号的显微镜。另外，利用 连续小波变换进行动态系统故障诊断也具有良好的效果。 小波变换在信号与图像处理中应用广泛，其离散小波变换( d w t ) 的高效计算 一直是人们感兴趣的研究课题。s w e l d e n s 【l8 拇】引进的提升方法( l i f t i n g ) 由于其计算 复杂性只是原有的滤波器卷积方法的一半左右脚】，因而成为计算d w t 的主流方 法。用提升方法计算d w t 由两个过程组成：首先对输入信号做一系列的提升步 ( 1 i f t i n gs t e p s ) ，得到中间系数，然后对中间系数进行拉伸变换( s c a l i n gt r a n s f o r m ) 。 用它计算多级d w t 或多维d w t 时，现有的方法是依次按级或按维做d w t 。研 究发现，该方法存在重复运算，重复运算是由在每次小波分解的过程中都做一次 拉伸变换引起的。因此对算法结构进行调整：在计算完多级和多维的所有的提升 步后，再对中间系数进行统一的拉伸变换处理，这样可以减少多次拉伸变换的冗 余运算，因而也减少了计算d w t 的运算总量。 j p e g 2 0 0 0 精确码率控制算法研究 小波变换作为近年的研究热点已经广泛应用于数学、物理学、信号处理和医 疗成像等多个领域。小波变换具有良好的空间一频率局部化特性以及多分辨率特 征等，使其非常适合静态图像的压缩处理。于是基于小波变换的静态图像压缩算 法就成为目前静态图像压缩领域研究的热点。 2 1 1 小波变换的定义 小波变换这个新的数学分支是泛函分析、f o u r i e r 分析、样条函数理论、调和 分析、数值分析的一种完美结合。小波变换的思想是源于伸缩与平移方法。1 9 8 4 年法国地球物理学家m o r l e t 在分析地震波的局部性质时，发现传统的f o u r i e r 变换 难以达到要求，因此引入了小波的概念，将它用于对信号进行分解的过程中。随 后，g r o s s m a n ，m e y e r 和d a u b e c h i e s 等人开始了对小波的研究。 自1 9 8 6 年m e y e r 创造出具有一定衰减性的光滑函数v ，其二进制伸缩与平移 y m ( f ) = 2 - j 2 y ( 2 t - k ) ；j ，k z ( 2 1 ) 构成r ( r ) 的规范正交基后，小波才被广泛应用于各个领域。 通常我们称满足允许条件 q = 群如 眩2 ， 的函数y ( 工) n p 为基本小波和小波母函数( 有时也简称为小波函数) ，其中的 y ( 工) 为y ( 工) 的f o u r i e r 变换。实际上，由( 2 2 ) 式可知妒( 功有足够的衰减速度， 且均值为0 ，即i 。g ( x ) d x = 0 。令，则称虬。( 石) 为依赖于口，b 的小波函数，简 称连续小波或小波。其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。 任何一种变换都应该同时具有正变换和逆变换两种形式，即可以分解和重构 信号。传统的变换包括f o u r i e r 变换、加窗f o u r i e r 变换等，即信号与一系列的正弦 波或余弦波作内积： ( 厂( f ) ，p 脚) = j 厂( f ) e - j t a t 以或( 厂( f ) ，一2 榭) = f 厂( f ) e - j 2 , 嘣d t ( 2 3 ) 小波变换是指信号厂( f ) 与具有良好局部化性质的小波函数。( f ) 作内积，即： ( 厂( r ) ，6 ( f ) ) = 厂( f ) 虬，6 ( t ) c l t ( 2 4 ) 小波y ( f ) 具有以下性质： ( 1 ) 数学上满足ii f ，o ) a t = 0 ，且是一个均值为零的函数，甚至y ( f ) 的高阶矩也 第二章小波变换的基本理论 9 为零，即： f t k g ( t ) d t = 0 ，k = o ，1 ，k l ( 后为自然数) ( 2 5 ) 如果少( f ) 的k 阶矩为零，则称其为具有k 阶消失矩的小波，这时( 叻在 c o = 0 处是k 阶可微的，且小波i l f ，o ) 随着k 得增加，波形振荡越强烈。 ( 2 ) 从时域上看，由于陟( 叻l 。j 矿。坳= o ，因此它只在一个“小”的范围内波 动，即定义域是紧支撵的( c o m p a c ts u p p o r t ) ，若超出定范围，其波动的 幅度迅速衰减为零，即具有速降性。 ( 3 ) 从频域上看，由于p ( 妫j m = 。r y o = o ，因此其频谱局限在一个“小”的频 带内，即具有带通性。 2 1 2 离散小波变换( d w t ) 在实际应用中，尤其是数字信号处理领域，为了计算上的方便，需要使用小 波变换的离散形式，也就是将f ( x ) 的积分形式展开为离散和形式。所谓离散小波 就是将矿。0 ) 的参数a 和b 离散化。最常用的离散小波为二进( d y a d i c ) 小波， 令： a = 2 ，b = k 2 0 ，k z( 2 6 ) 式中z 为整数集，记 g j , k ( 功= 2 2 = 2 1 1 2 y ( 2 工一七) ，k z ( 2 7 ) 如果妙卅 构成r ( r ) 的一个规范正交基，即 ( y ”，妒。) = 艿埘j t ，k ，研，le z( 2 8 ) 则y ( 工) 称为正交小波。那么f ( x ) 在正交小波基上就可以展开为小波级数： ( 工) = 勺，。y 卅( 砖 ( 2 9 ) = 曲= 变换系数。似就称为厂( x ) 的离散小波变换( d w t ) ，c j , k 可以由f ( x ) 甬n d 、波基函数 的内积得到，即 勺。= ( ( 力，y mo ) ) = 2 j 2j 二厂( 工) y ( 2 jx - k ) a x ( 2 1 0 ) 如果信号也是离散的，记为，( n ) ，n z ，则离散小波变换可以写成： 1 0 j p e g 2 0 0 0 精确码率控制算法研究 逆变换为： c m = 2 j 2 厂( 疗) y ( 2 - 咒- k ) 厂( ，1 ) = c m y ( 2 7 n - k ) = = o 2 2 多分辨率分析与m a l l a t 算法 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 所谓多分辨率，实际上是一个与计算机视觉有关的概念，用数学的语言来描述， 它就相当于用一个函数的子空间序列来表示一个函数子空间。多分辨率分析 ( m r a ：m u l t i r e s o l u t i o n a n a l y s i s ) 的概念最早是由m e y e r 2 1 1 和m a l l a t 2 2 】引入的， 后来又由m a l l a t 创造性地将m r a 理论用于小波分解与重构的算法构造上【2 3 甜】。首 先引入m r a 的定义： 平方可积空间r ( r ) 中的一系列闭子空间 ) ，z 称为r ( r ) 的一个多分辨率分 析，如果满足如下条件： ( 1 ) 一致单调性：r - - 。，z ( 2 ) 渐进完全性：n = 0 ，u = r ( r ) ，“，e ( 3 ) 伸缩性：厂( 工) 巧营f ( 2 x ) + l ，je z ( 4 ) 平移不变性：f ( x ) 营f ( x k ) ，k z ( 5 ) r e i s z 基存在性：存在( 工) ，使得移o 一_ j ) ) 。是g o 的r e i s z 基。即 = s p a n c ) ( x 一| j ) ，k z ( 2 1 3 ) 并存在o a b 佃，使得对任意序列 a n ) 。e 1 2 ，有 彳军k 1 2 s 0 莓a , , c p ( x - n t 2 s 占车k 1 2 ( 2 “) 多分辨率分析( m r a ) 定义了一个对r ( r ) 逐渐逼近的空间序列 巧) ，即有 ! 磐o = 奶= l 2 ( r ) 。由上述定义可知，每个子空间巧都对应着一组基 矿m ，它 ，- 。，e z 。 j 们都是由同一个函数庐( x ) 经过伸缩和平移构成的，生成公式如下： 第二章小波变换的基本理论 九，i ( x ) = 2 i n ( 2 x - k ) ，j , k z ( 2 1 5 ) 函数庐( 工) 称为尺度函数。 因为矽( 力c 巧，而 劫( 2 x 一_ i ) ) 。是_ 的基，故存在 以) ，2 ( z ) ，1 2 ( z ) 表示平方可和序列，使得： 妒( 工) = 压以妒( 2 x 一七) ( 2 1 6 ) 这个方程称作双尺度方程，可以证明庐( x ) 可由其双尺度方程唯一确定。 由m r a 的定义可以很自然她想到，对任意一个函数，( 工) r ( r ) ，都可以用 厂( 工) 在巧上的投影p j ( x ) 来逼近厂( 功。随着，的增加，子空间巧越来越逼近 r ( 尺) ，0 ( 工) 也就越来越逼近厂( 工) ，e p = f f f ( x ) = l i m 弓( z ) 对于相邻的两个子空 间巧和巧+ ，来说，p j ( x ) 和弓+ 。( x ) 之间存在着一定的差异。为了表示这一差异，定 义另外一个空间序列 形) ，e z ，使得是巧在巧。中的正交补，即有 巧“= _ o 髟，巧上髟 ( 2 1 7 ) 这样就可以将r ( r ) 分解成如图2 1 的形式。 弋z 弋弋篡。弋、彤、既。 、 图2 1r ( r ) 的多分辨率分解 显然，空间矿，包含了从j 层空间逼近j + l 层空间时所需的“细节”信息。空 间序列 形 同样是由一个函数y 的伸缩和平移来产生的，即子空间形的基是 杪胁( 力= 2 j z y ( 2 x 一j ) ，五k z ，这里函数就称为小波函数。满足这一条件 的 形 具有如下性质： ( 1 ) f ( x ) 彬f ( 2 x ) 形。 ( 2 ) i 工) 矿，营厂( x - 后) 形，k z ( 3 ) 阻形，i ， ( 4 ) r ( r ) = 0 矾 在上述的多分辨率分析的理论框架下，m a l l a t 设计出了基于滤波器组的正交小 j p e g 2 0 0 0 精确码率控制算法研究 波分解和重构算法m a l l a t 算法，通过它可以实现信号多分辨分析的快速分解。 设c 和d 。分别对应于，( x ) 在吒和乙空间上的投影系数，可以证明分别存在一 组具有完全重构特性的低通滤波器矗( 玎) 和高通滤波器g ( n ) ( 确切地说应为带通滤 波器) ，满足： c m - l 。= h ( k - 2 n ) c , , , 。 ( 2 1 8 ) d ，。= g ( k 一2 n ) c m 1 ( 2 1 9 ) 相应的合成表达式为： c m 。= h ( k - 2 n ) c 。吐 + g ( k - 2 n ) d 州 ( 2 2 0 ) 引入滤波器组后，可以对信号进行快速小波变换【2 5 】。设可”】表示一维输入序 列，y n 表示变换后的小波系数，其中0 n n ，y 2 n 表示低频分量，y 2 n + 1 】 表示高频分量，则有： f y 2 ，z 】- | l l 时x 2 n + k 1 y 2 n + 1 】二册x 2 n + l + k 】 亿2 ” lt 式中h k 和g k 分别为低通和高通分析滤波器系数。合成滤波可表示为： z n 】= ( y 【2 | 】i ”一2 k + y 2 k + 1 季 栉一( 2 | i + 1 ) 】) ( 2 2 2 ) k 式中研七】和科明为合成滤波器的低通和高通系数。 图2 2 所示为利用m a l l a t 算法进行信号的小波分解与合成框图。 缸n 】 孰n 】 图2 2m a l l a t 算法的分解与合成 多级小波变换可以通过级联的方式进行，每一级的小波变换都是在前一级分 解产生的低频分量上的继续，合成则是分解的逆运算。 由上图，m a u a t 算法通过一组分解滤波器h 和g 对信号进行滤波，然后对输出 结果进行下二采样来实现正交小波分解，分解的结果是产生长度减半的两个部分， 一个是经低通滤波器产生原始信号的平滑部分，另一个则是经高通滤波器产生原 始信号的细节部分。重构时使用一组合成滤波器再和膏对小波分解的结果滤波，再 进行上二采样来生成重构信号。多级小波变换可以通过级联的方式进行，每一级 第二章小波变换的基本理论 的小波变换都是在前一级分解产生的低频分量上的继续，合成是分解的逆运算。 算法中，j l 、g 滤波器的脉冲响应函数分别用h 。、g 。来表示，它们必须满足下列 条件： ( 1 ) 正交性： h h m 。= 艿。，g 。g i + 2 。= 8 0 ，。 ( 2 2 3 ) tt ( 2 ) 规范性： h 。= , 5 ，g 。= 0 ( 2 2 4 ) ii ( 3 ) g i = ( 一1 ) h l i( 2 2 5 ) 上述条件保证了小波分解的精确重构。要想构成正交变换，还须满足： ( 4 ) h t = h 磊= g 一 ( 2 2 6 ) 满足( 2 2 6 ) 的两组滤波器互称为正交镜象滤波器( q u a d r a t u r e m i r r o r f i l t e r , q m f ) 。 小波分析中的m a l l a t 算法与子带分解中滤波器组( f i l t e rb a n k s ，船) 具有完 全相同的形式。实际上，小波与f b 具有非常紧密的联系，或者说本质上是统一的。 离散小波分解可以通过f b 实现，而满足一定正则性( r e g u l a r i t y ) 条件的f b 也可 导出连续小波基。与传统的f b 设计方法相比，小波从更深的层次揭示了f b 的内 在数学涵义，并从新的角度提供了精确重构滤波器组( p e r f e c tr e c o n s t r u c t i o nf i l t e r b a n k s , 脚) 的构造方法。 2 2 3 基于提升算法的小波变换 前面介绍了小波变换的基本理论和多分辨率分析的概念。近几年来， w s w e t d e n s 等人继承了传统小波变换的空间频率的局部性，对传统小波变换 进行改进，提出了基于提升( l i f t i n g ) 的小波变换实现方式 2 6 - 2 9 。和传统的小波变 换相比较，基于提升的小波变换具有减少计算复杂度，可以实现原位计算，方便、 简单逆变换形式以及能够实现整数系数的小波变换等特点。已经证明所有传统的 小波变换都可以采用提升算法来实现 提升步骤是一种不依靠傅立叶变换构造小波的新方法，通过提升构造小波包 括三个步骤。一个规范的提升例子包括三个阶段：( 1 ) 分解，即首先通过l a s y 小波把离散的输入数据分为两个子集，偶数集合x e 和奇数集合x d ；( 2 ) 预测， 保持偶数样本不变，利用插值细分方法来预测奇数样本；( 3 ) 更新，小波分解的 平滑分量利用小波系数值进行更新以使最后一级分解所得的系数等于原始信号的 平均值。图2 3 所示为这三个步骤的结构图。在经典的小波变换中，小波系数通 常被认为是浮点数。这是因为使用的变换滤波器组中使用的滤波系数都是浮点数。 而在提升方案中却非常容易的保留整数数据，尽管数据的动态范围会增加，但是却 获得了可逆变换的可能。逆变换可从正变换快速得出，仅需把加号变为减号、数据 1 4 j p e g 2 0 0 0 精确码率控制算法研究 流反向即可提升结构与传统方法的主要区别就是它不依赖傅立叶变换。这种提升 步骤能用来构造第二代小波，即不必从一个母函数经过平移和伸缩来得n d , 波函 数。 d 图2 3 预测和更新提升步骤结构图 从提升算法的基本原理可以看出，它是完全在空域上构造小波变换，不使用 f o u r i e r 变换作为主要工具，对工程应用而言，提升算法有如下显著的优点