（基础数学专业论文）关于具有特殊blaschke张量的浸入子流形的一些分类定理.pdf

摘要 如所知，对于单位球面伊中无脐点的浸入子流形。：mos n ，有四个基本的 m 6 b i u 8 不变量，即m 6 b i u s 形式圣、b l a s c h k e 张量a 、m 曲i l i s 度量9 和m 曲i l 】8 第二基本形式b 对于这些不变量的研究是球面子流形的m 6 b i u s 几何的主要内容， 它与w i l l m o r e 子流形理论及子流形的共形微分几何有着极为密切的联系 本文主要研究单位球面中具有某种特定b l a s c h k e 张量的无脐点浸入子流形，共 建立了四个分类定理具体的研究内容简述如下： 在第一章，我们建立了实空间形式中具有平行平均曲率和常数量曲率的无脐点子 流形的一个m 曲i u 8 刻划，使得它们在m 6 b i u s 子流形几何的意义下完全统一了起来 我们的定理是 定理1 1 3 设茁：m _ 伊是一个无脐点的浸入子流形如果。的m 6 b i u s 形式 垂恒等于o ，并且存在m 上的光滑函数a 和平行m 曲i u 8 法向量场f ，使得b l a s c l l k e 张量a ，m 6 b i u s 第二基本形式b ，以及m 曲i u s 度量9 满足下面的关系式： a + a g + ( b ，) l 兰o ，( 1 1 2 1 ) 则a 必为常数，并且存在t d + + 1 ，1 ) 使得z 和下面的一个浸入子流形t 一等价： ( 1 ) 单位球面伊中具有平行平均曲率向量场和常数星曲率的浸入子流形圣：吖_ s ”： ( 2 ) 欧氏空间鼢中具有平行平均曲率向量场和常数量曲率的浸入子流形“：m _ r ”在共形微分同胚盯：毫”_ 驴下的像； ( 3 ) 双曲空间日“中具有平行平均曲率向量场和常数量曲率的浸入子流形g ： m j 日”在共形微分同胚r ：日“- 毋下的像 反之，通过直接计算，我们可以验证上述定理1 。1 3 中所提到的浸入子流形均满 足定理的条件因此，上述定理在共形的意义下把这些子流形用其m a b i u s 不变量简 单地统一了起来 定理1 1 3 是文献 1 和 2 中主要定理的推广 在第二章，借助于文献【3 】中的思想方法，我们对单位球面s “具有平行b l a s c h k e 张量的浸入超曲面进行了完全分类在得到这个分类之前，本文首先构造了两类具有 平行的b l a s c h k e 张量的新例子，其中的一些例子不具有平行的m 曲i u s 第二基本形 式这是十分有意思的第二章的主要定理可以叙述如下； 定理2 。1 4 设z ：m ”_ s “+ 1 ( m 2 ) 是无脐点的浸入超曲面，如果它的b l a s c h k e 张量a 是平行的，那么下面的情形之一成立： ( 1 ) 。是m 曲i u s 迷向的，因而它在局部上m 6 b i u s 等价于 ( 1 a ) 单位球面s + 1 中具有常数量曲率的极小浸入超瞌面，或 ( 1 b ) 欧氏空间r “+ 1 中具有常数量曲率的极小浸入超曲面在盯下的象，或 ( 1 c ) 双曲空间日”“中具有常数量曲率的极小浸入超曲面在r 下的象 ( 2 ) 。具有平行的m 6 b i u 8 第二基本形式，因而它在局部上m 拍i u s 等价于 ( 2 a ) s m + 1 中的标准环面s ( r ) s ”一k ( 需) ，其中r o ，k 是正整数，或 ( 2 b ) r ”+ 1 中的标准柱面s k ( r ) r ”一在共形微分同胚盯下的象，其中r 0 ， k 是正整数，或 ( 2 c ) 日”“( 一1 ) 中的标准柱面s 耳( r ) 日一k ( 一南) 在共形微分同胚r 下的象， 其中r 0 ，k 是正整数 ( 2 d ) 例2 2 1 中浸入超曲面g s s ( p ，q ，r ) ，其中p ，g ，r 是常数 ( 3 ) z 既不是m 曲i u g 迷向的，也不具有平行的m 拍i u 8 第二基本形式此时，z 在局部上m 6 b i u s 等价于 ( 3 a ) 例子2 2 2 给出的极小浸入超曲面，或 ( 3 b ) 饲子2 2 3 给出的非极小浸入超曲面 在第三章，我们着重研究单位球面中具有零m 6 b i u s 形式和常数b 1 a s c h k e 特征值 的无脐点浸入超曲面研究的结果是下面的两个分类定理。 定理3 1 3 设。：m ”_ s + 1 ( m22 ) 是无脐点的浸入超曲面如果茁的m 拍i u s 形式恒为零，并且具有两个不同的常数b 1 a s c h k e 特征值，则下面的结论之一成立； ( 1 ) 。是具有两个不同m 油i u s 主曲率的m 6 b i u 8 等参超曲面，因而在局部上 m 曲i u s 等价于 ( 1 a ) s m + 1 中的一个标准环面s k ( r ) s “一耳( r = ) ，其中r o ，是正整数， 或 ( 1 b ) r m + 1 中的一个标准柱面s ( r ) r 一“在共形微分同胚盯下的像，其中 r o ，k 是正整数，或 ( 1 c ) h + 1 中的一个标准柱面s ( ，) 日k ( 一击) 在共形微分同胚了- 下的像， 其中r 0 ，k 是正整数 ( 2 ) 霉在局部上m 曲i u s 等价于 ( 2 a ) 例3 2 1 中给出的极小超曲面，或 ( 2 b ) 例3 2 2 中给出的非极小超曲面， 定理3 1 4 设g ：m 3 _ s 4 是具有零m 曲i u s 形式的无脐点浸入超曲面如果。 的b l a s c h k e 特征值均为常数，则下述论断之一成立： ( 1 ) z 是m 6 b i u s 迷向的，因而在局部上m 6 b i u s 等价于 ( 1 a ) 球面s 4 中的一个具有常数量曲率的极小浸入超曲面叠：m 3 斗酽，或 ( 1 b ) 欧氏空间科中的一个具有常数量曲率的极小浸入超曲面苗：m 3 _ 科在共 形微分同胚一下的像，或 ( 1 c ) 双曲空间日4 中的一个具有常数量曲率的极小超浸入曲面孟：m 3 _ h 4 在 共形微分同胚r 下的像。 ( 2 ) z 具有两个不同的b l a s c h k e 特征值，因而在局部上m 曲i u s 等价于 ( 2 a ) 酽中的标准环面s ( r ) s 3 一( f _ = ) ，其中r o 同，k = 1 ，2 ，或 ( 2 b ) r 4 中的标准柱面s 矗( r ) 础一耳在共形微分同胚口：r 4 一十s 4 下的像，其中 r 0 ，k = 1 ，2 ，或 ( 2 c ) 日4 中的标准柱面s k ( r ) 日3 一耳( 一南) 在共形微分同胚t ：h 4 斗s 4 下的 像，其中r o ，蟊= 1 ，2 ，或 ( 2 d ) 例3 2 1 中对应于m = 3 ，k = 2 的极小浸入超曲面，或 ( 2 f ) 例3 2 2 中对应于m = 3 ，= 2 的非极小浸入超曲面。 ( 3 ) z 具有三个不同的b l a s c h k e 特征值并且在局部上m 曲i u s 等价于 ( 3 a ) 例3 2 3 中对应于r 去的浸入超瞌面g s s ( 1 ，1 ，r ) ，或 ( 3 b ) 标准v e r o n e s e 浸入曲面茁：s 2 ( 、喜) os 4 的一个具有常数半径的非极小管 状超曲面，参见例3 2 4 关键词：m 6 b i u s 形式；b 1 a s c h k e 张量；m 曲i u 8 度量；m 曲i u s 第二基本形式 1 1 1 a b s t r a c t a si sk n o w n f o ra ni m m e r s e du i n b i l c - f r e es l l b m a n i f o l do ：a ，s ”i nt h el m i t s p h e r es ”，t h e r ea r ef o u rm 6 b i u si n v a r i a n t s ，n a m e l y ，t h em 6 b i u sf o r m 圣，t h eb l a s c l l k e t e n s o r a ，m 6 b i u sm e t r i c9a n dt h em 曲i u ss e c o n df u i l d a m e n t a lf o r mb t h es t u d yo f t h e 8 ei n v a r i a n t si 8t h em a i ni n g r e d i e n to ft h em 6 b i u sd i f f e r e i l t i a lg e o m e t r yf o rs u b m a n - i f o l d s i ns “，w h i c hi sc l o s e l yl i e l a t e dw i t ht h e 乇h e o r yo fw i l l m o r es u b m a n i f o l d sa n dt 1 1 e c o n f o r m a ld i f f e r e n t i a lg e o m e t r y i nt h i sd i s s e r t a t 沁nw em a i n l ys t u d yt h ei m m e r s e du m b i l i c f r e es u b m a n i f o l d si n 铲w i t hs o m es p e c i a lb l a s c h k et e n s o r sa n dp r o v ef o u rc l a s s m c a t i o n 蚀e o r e m s ，w h i c h a r eb r i e n ys c a t e da 8f b l l o s ： i nc h a p t e ro n e ，w eg i v eam 曲i u sc h a r a c t e r i z a t i o no f “lt h eu m b i l i c f r e es u b m a n i f o l d si n8 p a c e f o r m sw i t hp a r a l l e lm e a nc u r v a t u r ea n dc o n s t a n ts c a l 盯c u r v a t u r e t h i s u n i n e st h e s es u b m a n i f b l d 8i nt e r m so fm 6 b l u si n v a r i a n t s 0 u rt h e o r e mi sa sf b l l o w s ： t h e o r e ml 1 3l e to ：m - 酽b ea ni m m e r s i o nw i t h o u tu m b m cp o i n t s i f t h em 6 b i u sf o r m 垂o fzv a n i s h e si d e n t j c a l l ya n dt h e r ea r eas m o o c hf u n c t i o nao nm a n dap a r a l l e lm 6 b i u sn o r m a lv e c t o r 丘e l dfo f 8 u c ht h a tt h eb l a s c h k et e n s o ra ，t h e m 曲i u ss e c o n df u n d a m e n t a if o r mb ，a n dt h em 6 b i l l sm e t r i cgo f 霉s a t i 8 f yt h ef o l l o w i n g e q u a t i o n ： a + a 9 + ( b ， ) 1 三o ， t h e nai sac o n 8 t a n ta n dt h e r ee x i s t 8at 0 + ( 扎+ l ，1 ) s u c ht h a tzi s ：e q u i v a l e n t t oo n eo ft h ef o l l o w i n gi m m e r s i o n s ： ( 1 1a ni m m e r s b n 雪：m _ 酽w i t hp a r a l l e lm e a nc u r v a t u r ev e c t o r 王i e l da n d c o n s t a n ts c a l a rc u r v a t u r e ： ( 2 ) a ni m m e r s i o n 牙：m _ s “w h i c hi st h ec o m p o s i t i o no ft h ec o n f o r m a lm a p 玎：孵斗驴a n da ni m m e r s i o n “：m _ 戳w i t hp a r a l l e lm e a nc u r 、，a t u r ev e c t o rn e l d a n dc 0 1 1 8 t a i l ts c a l a rc u r 、t a 七u r e ： ( 3 ) a ni m m e r s l o n 圣：m _ s “w h i c hi st h ec o m p o b i t i o no ft h ec o n f o r m a lm a p 丁：日”os 2a ! l da ni m m e r g i o n 可：mf 日“w i t hp a r a l k lm e a nc u r v a t u r ev e c t o rf i e l d l v a n dc o n s t a n ts c a l a rc u r 、啊，t u r e ， w ec a nv e r i f yt h a ta l lt h ei m m e r 8 i o n 8w i t l l o u tu m b i l i cp o i n t sw h i c ha r em 6 b i u s e q u i v a l e n tt oo n eo f 叠si n ( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) h 1 1 l s ts a t i s 母t h ec o n d i t i o n so f t h e o r e m1 1 3 s o o u rt h e o r e mg i v e si nf a c tam 6 b i u sc ha 】l a c t e r i z a i o no fa l lt h o s ei m m e r s e ds u b m a n i f o l d s i nt h er e a ls p a c ef o r m 8 酽，r “a n d 日” c l e a r l y ，t h e o r e m11 3i sag e n e r a l i z a t i o no ft h em a j nt h e o r e m 8i nr e f e r e n c e s 1 1 a n d 2 1 ， i nc h a p t e rt w o ，b yu s i n gt h ei d e a so f 【1 1 ，w ea 脂a b l et oc l a 8 s i f ya l li m m e r s e d u m b i l i c - f r e eh y p e r s u r f 如e si ns m + 1w i t hp a r a l k lb l a s c h k et e n 8 0 r b e f o r et h i sc l a s s i 矗一 c a t i o n ，t w ok i n d so fn e we x a m p l e 8a r ec o n s t r u c t e d ，s o m eo fw l l i c hd on o th a v ep a r a l l e l m 6 b i u ss e c o n df u d 啪e m a lf o r m 8 t h i si n d e e di si n 七e r e 8 t i n g t h en l a i nt h e o r e ml n c h a p t 盯t w oc a nb es t a t e d 鼬f o u o w s ： t h e o r e m2 1 4l e t 茁：m m 一s m + 1 ( m 2 ) b ea nl m m e r s e dh y p e r 8 u r f a c e w i t h o u tu m b i l l c s i ft h eb l a s c h k et e n s o rao foi sp a r a l l e l ，t h e no n eo ft h ef b l l o w i n g c a 8 e sh 0 1 d s ： ( 1 ) 。i sm 6 b i u si s o t r o p i ca n di st h e r e f b r em 6 b i u se q u i v a l e n tt o ( 1 a ) am i n i m a l i m m e r s e dh y p e r s u r f a c ei ns m + 1w i t hc o n s t a l l ts c a l a rc u r v a t u r e ，o r ( 1 b ) t h ei m a g eu n d e r 盯o fam i n i m a li m m e r s e dh y p e r s u r f a c ei nr m + 1w i t hc o n 8 t a n t s c a l a rc u r 、r a t u r e o r ( 1 c ) t h ei m 函萨u n d e rf 。fam i n i m mi m m e r s e db y p e r 8 u r f a c ei n 日m + 1 ( 一1 ) w i t h c o n s t a n ts c a l a rc u r v a t u r e ： ( 2 ) zi so fp a r a l l e lm 6 b i u ss e c o n df u n d a r n e n t a lf o r mb a n di 8t h e r e f o r el o c a l l y m 6 b i t l se q u i v a l e n tt o ( 2 a ) as t a n d a r dt o r u 8s k p ) s m 一( 、，呵二7 ) i ns m + 1f o rs o m e ， oa n dp o s i t i v e i n t e g e rk ，o 。 ( 2 b ) t h ei m a g eu n d e r 盯o fas t a n d a r dc y l i n d e rs 耳( r ) r m 一i n 妒+ 1f o rs o m e r 0a n dp o s i t i v ei n t e g e r 1o r ( 2 c ) t h e i m a g e u n d e r7 - o f as t a l l d a r dc y l i n d e r s ( r ) 日m 一( 一番) i n 日m + 1 ( 1 ) f o rs o m er 0a n dp o s i t i v e i n t e g e r k ；o r v ( 2 d ) c f s s ，口，r ) f o rs o m ec o n s t a n t sn 叮，r ； ( 3 ) oi sn o n i s o t r o p i cw i t han o n - p a r a l l e lm 6 b i u ss e c o n df u n d a m e n t a lf o r m 口a n d i sl o c a l l ym 6 b i u se q u i v a l e n tt o ( 3 a ) o n eo ft h em i n i m a lh y p e r s u r f a c e sa si n d i c a t e di ne x a m p l e2 ，2 2 ，o r ( 3 b ) o n eo ft h en o n m i n i m a lh y p e r s u r f a c e sa si n d i c a t e di ne x a m p l e2 2 ，3 i ti sd i r e c tv e r i 6 e dt h a te a c ho ft h ei m m e r s e dh y p e r s u r f a c e sw i t h o u tu m b i l i c sa n d s t a t e di nt h ea b o v et h e o r e mi so fp a r a u e lb 1 a s c h k et e n s o r i nc h a p t e rt h r e e ，w ed e a lw i t ht h ei m m e r s e du m b i l i c f r e eh y p e r s u r f a c e si nt h e u n i t8 p h e r ew i t hv a n i s h i n gm 6 b i u sf o r ma n dc o n s t a n tb l a s c h k ee i g e n v a l u e s t h e nw e p r o v et h ef b l l o w i n gt 、v oc l a s s i 丑c a t i o nt h e o r e m s ： t h e o r e m3 1 3l e t 石：m m - s 饥+ 1 ( m 芝2 ) b ea ni m m e r s e dh y p e r s u r f a c e w i t h o u tu m b i l i c s i f 。i so ft w od i 8 t i n c tc o n s t a n tb 1 a s c h l ( ee i g e n 、r a l u e sa n do fv a n i s h i n g m 6 b i u sf o r m ，t h e no n eo ft h ef 0 1 l 们v i n gs t a t e m e n t sh o l d s ： ( 1 ) zi 8m 6 b i u si s o p a r a m e t r i cw i t ht w od i s t i n c tp r i n c i p a lm 6 b i u sc u r v a t u r ea n d i st h e r e f o r el o c a l l ym 曲i u se q u i v a l e n tt o ( 1 a ) as t a n d a r dt o r u 8s ( r ) s m 一耳( 、，气二了虿) i ns m + 1f o rs o h l er o a n dp o s i t i v e i n t e g e rk ，o 。 ( 1 b ) t h ei m a g eu n d e r 口o f as t a n d a r dc y l i n d e rs 耳( r ) m i n m + 1f o rs o m e r oa n dp o s i t i v ei 1 1 t e g e r 南，o r ( 1 c ) t h ei m a g eu n d e r7 _ o fas t a n d a r dc y l i n d e rs 耳( r ) 日m 一片( 一南) i n 日讯十1f o r s o m er oa n dp o s i t i v ei n t e g e r j ；o 。 ( 2 ) zi sl o c a l l ym 6 b i u se q u i v a l e n tt o ( 2 a ) o n eo ft h em i n i m a lh y p e r 8 u r f 如e sa si n d i c a t e di ne x a m p l e3 2 1 ，o r ( 2 b ) o n eo ft h en o n m i n i m a lh y p e r s u r f a c e sa si n d i c a t e di ne x a m p l e 3 2 2 t h e o r e m3 1 4l e tz ：m 3 叶s 4b ea ni m m e r s e du m b i l i c _ f r e eh y p e r s u r f a c ew i t h v a n i s h i n gm 6 b i u sf o r m i fa ut h eb l a s c h k ee i g e n v a l u e sa r ec o n s t a n t ，t h e no n eo ft h e f o l l o w i n gs t a t e m e i l t sl l o l d s ： ( 1 ) zi sm 6 b i u 8i s o t r o p i ca n dt h e r e f o r ei sm 6 b i u se q u i v a l e n tt oa no p e np a r to f ( 1 a 1am i n i m a l i m m e r s i o n 孟： 扩_ s 4w i t hc o n s t a n ts c a l a rc u r v a t u r e ，o r v l ( 1 b ) t h ei m a g eu n d e r 仃o f am i n i m a l i n l m e r s i o n 亩 c u r v a t u r e o r ( 1 c ) t h ei m a 窖u n d e rfo fam i n i m 越i m m 髓s j o n 圣 c u r v a t u r e ： m 3 叶础w i t hc o n s t a n ts c a l a r m 3 叶日4w i t hc o n s t a 刀ts c a l a r ( 2 ) $ i so ft w od i 8 t i n c tb l a 8 c h k ee i g e n v a l u e sa n di 8l o c a l l ym 6 b i u 8e q u i v a l e n tt o ( 2 a ) as c a n d a r dt o r u ss 耳( r ) 妒一彤( 们：) i ns 4f o rs o m e ， oa n d = l ，2 ， 0 r ( 2 b ) t h ei m a g eu n d e rt h ec a n o n i c a lc o n f o r m a ld i 珏套o m o r d h i s m 盯：r 4 _ 伊o fa s t a n d a r dc y l i n d e rs 耳( r ) 妒一耳i n r 4f o rs o m er 0 a n d = 1 ，2 ，o r ( 2 c ) t h ei m a g eu n d e rt h ec a n o n i c a lc o n f o r m a ld i 晚o m o r d h i s mr ：仃4 - o fa s t a n d a r dc y l i n d e rs * ( r ) 日3 一耳( 一击) i n 口4f o rs o m er o a n dk = 1 ，2 ，o r ( 2 d ) t l i em i n i m a lh y p e r s u r f 缸ei ne x a m p l e3 ，21 d t hm = 3a n dk = 2 ，o r ( 2 f ) t h en o n m i n i m a lh y p e r s u r f a c ei ne x a m p l e3 2 2w i t hm = 3a n dk = 2 ： ( 3 ) zi so ft h r e ed i 8 t i n c tb l a s c h k ee i g e n v a l u e 8a n di s1 0 c a l l ym 6 b i u se q u i v a l e n tt o ( 3 a ) t h eh y p e r 8 u r f a c ec r s s ( 1 ，1 ，r ) i ne x a m p l e3 z 3w i t hr 击，o r ( 3 b ) an o l l 一m i n i m a l 伽b eo fc o n s t a n tr a d i u so v e ras t a n d a t dv e r o n e s em i n i m a l i n l m e r s i o no fs 2 ( 、习i n t os 4 ，s e ee x a i n p l e3 2 4 k e y 、0 r d s ：m 6 b i u sf o r m ；b l a s c h k et e n 8 0 r ；m 6 b i u sm e t r i c ：m 6 b i u ss e c o n df u n 一 ( a n je 】1 t 悬3f o r 瑚 v l l 第一章实空间形式中具有平行平均曲率和常数量曲率的浸人子 流形的一个m 6 b i u s 刻画 在这篇文章中，我们给出了实空间形式中具有平行平均曲率和常数量曲率的浸入 子流形的一个m 6 b i u s 刻画，推广了参考文献 2 】中的定理 1 1 1 预备知识 1 1 引言 令z ：m - s + p 是无脐点的浸入子流形，m = d i m m ，嚣= m + p ，记矗和 日= 去t 施分别是。的第二基本形式和平均曲率向量场定义 p = ( 当卜叫砰) ) 5 ，y - p ( 1 ( 1 1 1 ) y ：m - 贰：+ 2 是m 到l o r e n t z 空间嘴+ 2 的浸入，称为z 的标准提升( 或者m 6 b i u s 位置向量) 由( 1 1 1 ) 式给出的函数p 称作浸入z 的“m 6 b i u s 系数定义 四十1 = y = ( k ，y ) r l r ”+ 1 ；k y ) l = o ， o ) 如果0 ( 几+ 1 ，1 ) 是r ? + 2 上保持标准l o r e n t z 内积( ，) l 的l o r e n t z 群，那么存在由 下式给出的0 ( n + 1 ，1 ) 的子群0 + 加+ l ，1 ) ， d + ( n + 1 ，1 ) = t d ( n + l ，1 ) ；丁( c ：+ 1 ) ce ；+ 1 ) ( 1 1 2 ) 先给出下面著名的定理 4 ： 定理1 1 1 p 分别是石，叠：m _ 驴的m 6 b i u s 位置向量，zm i j b i u s 等价于 i 当且仅当存在丁o + ( n + 1 ，1 ) 满足p = t ( y ) 为了方便，对于某个t o + ( n + l ，1 ) ，当矿= t ( y ) 时，称zt 一等价于孟 j 生j 生鍪巡塞主墨宣垩堡壬塑塑奎塑堂堑量堂奎塑垦厶王煎堡塑二尘坠i ! ! 望型重 2 由定理1 1 1 ，m 上的诱导度量9 = p ( ，) 1 = p 2 出如，则9 是m 上的m 6 b i u s 不变黎曼度量，称为z 的m 6 b i u s 度量利用向量值函数y 和度量9 的l a p l a c e ， 可以定义另一个向量值函数：m - r 孔十1 ： 11 2 一焘y 一面i ( l ，) 1 y ( 1 1 3 ) m2 m 2 ” 、7 为了方便，在这篇文章中称是z 的“m 6 b i u 8b y p o s i t i o nv e c t o r ”这样，在f 4 】中 已经证明了m 曲i u s 位置向量y 和m 6 b i l l sb y p o s i t i o nv e c t o r 满足下面的等式： ( y ) 1 = 一m ， ( d y ) 1 = o ，( y ) l = 1 + m 2 k ， ( 1 1 4 ) ( v y ) l = ，) 1 = o ， ( ) 1 = 1 ，( 1 l 5 1 这里尤记m 6 b i u s 度量口的标准化的数量曲率，也称为浸入。的标准化的m 6 b i u s 数 量曲率 令y _ m 是平凡l o r e n t z 丛m r r 2 的子丛，且关于l o r e n 切内积( ，) 1 与 r yo 耽vo k ( t m ) 是正交的那么，v 称做浸入z 的m 6 b i u s 法丛显然，有下 面的向量丛分解： _ 】l 彳r ? + 2 = r y o 豫o k ( 丁们) o 矿( 1 1 - 6 ) m 6 b i u s 法丛v _ m 的截面称做。的m 曲i u 8 法向量场很显然，普通微分到k ( t m ) 和v 的自然投影决定了关于m 曲i u s 度量譬的黎曼联络_ d 和y 上的联络d 1 ，后者。 也就是d 上称作$ 的法联络如果d 上= 0 ，则称z 的m 6 b i u s 法向量场f 是平行 的 现在，令t 上m 是浸入z ：m - s n 的法丛那么，平均曲率向量场日决定了一 个丛同构，：t 上m 斗v ，( e ) = ( 日e ，( 日e ) z + e ) ， v e t 1 m ( 1 1 7 ) 很容易可以看出，保持t 1 m 和v 上的内积和联络详细说明见 4 】称l 厂是。的 “法丛和m 6 b i u s 法丛的标准同构” 为了方便，先给出在文章中经常用到的符号的范围： 1 i ，j ，七，”l ，m + 1 o ，卢，7 ，- 礼( 1 1 8 ) 篁二童 塞窒塑星塞堂具壹垩行平均曲率和常数量曲率的浸入子流形的一个m 6 b i u s 刻画 3 取关于诱导度量如如的局部正交标架场 e i ) ，其对偶标架场 扩 ，取z 的正 交法标架场为 e 。 ，令 匠= p - 1 e 。，u 。= p 萨，玩= 厂( e 。) ，( 1 1 9 ) 那么 局) 是关于m 6 b i u s 度量的局部正交标架场， 是 蜀 的对偶标架场， 上屯 是m 曲i u s 法丛的局部正交标架场，利用参考文献 1 l 和【4 1 ，基本m 6 b i u s 不变量西，a 和b 有下面的局部表达式： 西= 四叫4 既，4 = a 玎，日= 筠叫r ， ( 11 1 0 ) 这罩 四= p q ( 鳏+ ( 一日。如) 勺( 1 0 9 训， ( 1 1 1 1 ) a 巧2 p - 2 ( h e s s 缸( 1 。g p ) 一e ( 1 。g p ) 勺( 1 0 9 p ) 一珂。托嚣) ；p 一2 ( 1 v l o g p f 2 1 + l h l 2 ) ， ( 11 1 2 ) 嘲= p _ ( 嚣一日。如) ， ( 1 1 1 3 ) 其中，符号“，z ”表示关于诱导度量咖如沿着e 。方向的协变导数同时，在这篇文 章中，还用到下面的等式( 见参考文献 4 】) ： 蚴= 去( 1 + 鼎) ，= o ， b 1 2 = 等， 1 4 ) 注记1 1 1m 6 b i u s 形式中和m 6 b i u s 第二基本形式b 是弘值微分形式但 是，如果通过标准丛同构，：t 上m _ v 把v 和t 上m 等同起来，西和b 各自等同 于，_ 1 ( 圣) ，歹“( 鳓，因此，( 1 1 1 0 ) 可以写成如下形式： ，一1 ( 垂) = p c ? e 。，4 = p 2 a 玎，一1 ( b ) = 矿b 吕e 。 ( 11 1 5 ) 1 1 2 问题的提出 令酽是半径为1 的札一维标准球面，础是n 一维欧氏空间，日”是常曲率为一1 的n 一维双曲空间，定义如下。 日“= = ( o ，1 ) r r l ；( ，) 1 = 一1 ，珈 o ) 塑二望 壅至! 堕垄塞主基查垩堑塑些皇塑堂塑量堂奎笪里厶量煎型塑二尘坚! 堡i 堕型耍 4 对于任意的正整数3 ，r ，；豫1 r 一1 是具有标准l o r e n t z 内积的一维l o r e n t z 空间，此空间上的l o r e n t z 内积( ，) 。由下式给出： ( 掣，) 1 = 一可。可：+ 可1 可；， = ( o ，1 ) ，可= ( ：，可i ) r ， 这里点“- ”代表的是r _ 1 上的欧氏内积 记毋为铲的半球面，它的第一个坐标是正的有两个共形的微分同胚： a ： 础_ 伊 ( 一1 ，o ) 和7 - ：日“- 霹，它们的定义如下： 巾，= ( 群，南) ，“吣 s ， r ( ) = ( 嘉，凳) ，g = ( g ) 日”c 豫r 1 ( 1 1 1 7 ) 在参考文献 1 中有， ( 打d 盯) j “2i 石砰如嘞。，乱黔，( 11 1 8 ) 用相同的方法可以证明( 同下面引理3 2 的证明) ： ( 打打) i ，= 去匆，d 芗) l ，g = 渤) 日“c 埘“ ( 11 1 9 ) 因此，由下面定义的两个切丛， 豇i 。= ( 1 + l u l 2 ) 盯，。， 札r ”， 五l g = 珈矗， h “ ( 1 1 2 0 ) 给出两个等距同构t瓦：t 驴叶t ( s ” ( 一1 ，o ) ) ) 和蟊：丁日”_ + t 霹 现在假设z ：m _ 酽是铲中无脐点的m 一维浸入子流形，这里，令n = m + p 其中p21 在参考文献【4 】中，c p w a l l g 给出了四个的m 曲i u s 基本不变量，分 别是m 油i u s 度量g ，m 曲i u s 形式中，b l a s c h k e 张量a 和m 6 b i u s 第二基本形式_ b 研 究这些不变量与共形微分几何和w i l l m o r e 曲面的一些问题密切相关在近几年，很多 作者在相关领域给出了很多重要的结论，例如【1 1 ，【3 ， 4 ，【5 】， 6 ，【7 】， 8 】， 9 】，【1 0 】，【1 1 ，【1 2 ， 等等尤其是，在【1 】中，l i u ，w a n g 和z h a o 得到了m 6 b i u s 迷向子流形的分类定理 m 矾i u s 迷向子流形指的是对于子流形o ：m _ 伊，其m 曲i u s 形式圣= 0 ，b l a s c h k e 张量a 与m 曲i u s 度量9 成比例；4 + 蛔= 0 ，这里a 是m 上的光滑函数事实 上，他们证明的定理可以叙述如下： 第一章 实空间形式中具有平行平均曲率和常数量曲率的浸入子流形的一个m 曲i l l s 刻画 5 定理1 1 1 酽中的m 6 b i u s 迷向子流形m 6 b i u s 等价于： ( 1 ) 具有常数量曲率的极小浸入i ：m 斗s “；或 ( 2 ) 浸入圣= a 。珏，这里钍：m 一孵是具有常数量曲率的极小浸入；或 ( 3 ) 浸入i = 口。曾，这里口：m 斗丑”是具有常数量曲率的极小浸入 近来，l i 和w a n g 在【2 】中证明了s ”+ 1 的超曲面中的另一个分类定理，叙述如 下： 定理1 1 2 设z ：m _ s + 1 是无脐点的浸入超曲面如果z 的m 6 b i u s 形式垂 恒等于o ，并且存在m 上的光滑函数 ，p ，有a + 均+ 肛b = o 成立则，a ，p 一定 是常数，而且茁m 曲i u s 等价于： ( 1 ) s ”“中具有常平均曲率和常数量曲率的浸入超曲面，或 ( 2 ) r ”十1 中具有常平均曲率和常数量曲率的浸入超曲面在a 下的象，或 ( 3 ) 口m “中具有常平均曲率和常数量曲率的浸入超曲面在r 下的象 在这篇文章中，我们把定理1 1 和定理1 2 推广，给出在实空间形式酽，础和日” 中具有平行的平均曲率和常数量曲率的浸入子流形的一个m 抽i u s 刻画 1 1 3 主要定理 这篇文章的主要定理如下： 定理1 1 3 设z ：m - 伊是一个无脐点的浸入子流形如果。的m 6 b i u s 形式 西恒等于0 ，并且存在m 上的光滑函数a 和平行m 6 b i u s 法向量场f ，使得b 1 a s c h k e 张量a ，m 6 b i u s 第二基本形式b ，以及m 6 b i u s 度量9 满足下面的关系式： a + a