（基础数学专业论文）一类非自治二阶hamilton系统的周期解.pdf

摘要 本文利用变分法讨论了一类非自治二阶h a m i l t o n 系统 i ( 朋( t ) ) + a u + v f ( t ，u ) = ( t ) l 珏( o ) 一也( 刁= 乱7 ( o ) 一钍7 ( t ) = 0 的周期解其中，m ： o ，t i s ( 舯，眇) 为连续映射这里，s ( 础，p ) 是 几n 阶实对称矩阵，a s ( 渺，p ) 存在正常数p 0 ，使得( m ( t ) z ，z ) p h 2 对所有( t ，z ) o ，列辩都成立( ，) 为r “中内积，| i 为对应范 数f ：【0 ，t 】x 船一r 连续，v f ( t ，。) 存在且连续，h l 1 ( o ，t ；妒) 利用e k e l a n d 变分原理和鞍点定理讨论了该系统周期解的存在性，把非线 性项和位势函数放宽到一类无界函数，推广了这方面工作的一些已有结果；利 用广义鞍点定理和l u s t e r n i k - s c h n i r e l m a n 畴数理论得到了该系统的多重周 期解，取掉了泛函的常定要求；最后利用对称山路定理得到没有扰动时系统的 无穷多周期解 a b s t r a c t t h e p a p e r i sc o n c e r n e dw i t hp e r i o d i cs o l u t i o n st on o n a u t o n o m o u ss e c o n do r d e rh a m i l t o ns y s t e m s f ( m ( t ) ) ，+ a + v f ( t ，u ) = o ) 、乱( o ) 一乱( t ) ：“，( 0 ) 一( t ) = 0 w h e r e ，m ：【0 ，t 】_ s ( 舯，础) i sac o n t i n u o u sm a p p i n gi n t h es p a c e s ( ，融) o fs y m m e t r i cr e a l ( n n ) - m a t r i c e s ，s u c h t h a tf o rs o m ep 0 a n da l l ( t ，z ) o ，卅船，( m ( t ) x ，z ) p l x l 2 a s ( r “，瓞p ) ，f ： o ，t r ”_ ri sc o n t i n u o u sa n dv f ： o ，卅xr - re x i s t s ，i sc o n t i n u o u sa n d h l 1 ( o ，t ；黔) w e s t u d yt h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n so ft h es y s t e m sb yu s i n g e k e l a n dv a r i a t i o n a lp r i n c i p l ea n dt h es a d d l ep o i n t st h e o r e m w es u p p o s e t h a tt h en o n l i n e a r i t yv fa n dp o t e n t i a lfb e l o n g st oac l a s so fu n b o u n d e d f u n c t i o n a l 0 l l rw o r ki m p r o v e st h ee x i s t e dr e s u l t s w eo b t a i n e dt h er e s u l t s o fm u l t i p l i c i t yo fp e r i o d i cs o l u t i o n so ft h es y s t e m sb yu s i n gl u s t e r n i k - s c h n i r e l m a nc a t e g o r yt h e o r ya n dt h eg e n e r a l i z e ds a d d l ep o i n t st h e o r e m ，a n dt h ef u n c t i o n a ld o e sn o tn e e dt h ec o n d i t i o no fc o n s t a n td e f i n i t e a t l a s t ，w eo b t m n e dt h ee x i s t e n c eo fi n f i n i t ym a n y d i s t i n c tp e r i o d i cs o l u t i o n s o ft h ec o r r e s p o n d i n gn o n - p e r t u r b a t i o ns y s t e m sb yu s i n gt h es y m m e t r i c m o u n t a i np a s st h e o r e m 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不 包括其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北师范大学 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：却院啼 日期：知。牛年# 月， 日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文 的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。( 保 密的论文在解密后应遵守此规定) 呦罐崎铷躲彗罨承吼一年日 i l l _ 月l j 吾 天体力学中质点的运动规律通常可以归结为一个非线性的常微分方程组，称为 h a m i l t o n ( 哈密顿) 系统天体运行的轨道就对应于相应的非线性h a m i l t o n 系统的周期解， h a m i l t o n 系统所描述的运动是天体运动中最简单的一种周期运动非线性h a m i l t o n 系统 的周期解的存在性，多重性，和周期解的性质问题一直是数学家和物理学家所关心的重要 义一个泛函，使得，的临界点恰对应于此h a m i l t o n 系统的周期解这就是h a m i l t o n 系统所 岔( t ) + v 7 ( z ( t ) ) = 0 2 ( t ) = j h 7 ( z ( t ) ) ( ( 1 + e c o s t ) 2 u ，) ，q - ( i - be c o s t ) a s i n u = 4 e s i u t ( 1 - t - e c 0 b t ) ( i e i 0 ，使得 ( m ( ) 。，。) p 川2( 0 - 2 ) 对所有( t ，) 【0 ，t l p 都成立( ，- ) 为豫一中内积，i i 为对应范数f ：【0 ，t 】p r 连续，v f ( t ，。) 存在且连续，h l 1 ( 0 ，t ；r - ) 在此系统中，正定对称矩阵m ( t 1 只要求为连续的另外，在在此系统中又出现了矩 阵a 关于二阶h a m i l t o n 系统的工作。绝大多数都是关下a = 0 的情形，而当a 为非零且 为非定矩阵时。由于方程所对应的泛函在。= 0 附近的主要部分为不定的，这给研究工作 带来了额外困难在加了较强的限制条件后，j m a w h i n 采用变分方法得到系统( 0 1 ) 周期 解的存在性和多重性其中，在研究系统n 1 ) 解的存在性的时候j m a w h i n 利用的工具是 环绕形式的鞍点定理，并在矩阵a 为半负定的前提下利用l u s t e r n i k - s c h n i r e l m a n 畴数理 论得到了多重解结果，并要求f ( t ，z ) 和v f ( t ，z ) 都为有界函数在本文，作者将f ( t ，z ) 和v f ( t ，。) 都推广到了一类无界函数，采用到了一些初等的不等式在证明解的存在性的 时候利用的是鞍点定理；在证明多解定理的时候，利用北京大学刘嘉荃教授的广义鞍点定 理在矩阵a 为非半负定的情况下得到了系统( 0 - 1 ) 的多重周期解并利用对称山路引理得 到扰动项为0 时系统的无穷多个周期解关于该系统的研究具有重要的意义，可采用的方 法除了变分法以外还有拓扑度、上下解等方法，但目前看到的文献不是很多 本文共分为4 个部分： i 预备知识， 2 系统的周期解的存在性结果 3 系统的多重周期解结果 4 没有扰动时系统的无穷多周期解结果 2 1 预备知识 本节我们给出临界点理论中的一些基本概念和一些必须的定义和引理以及一些初等 的不等式本节的所有内容均为引录，读者可参考所列文献以获得更为详细的叙述和内 容 定义1 1 ( p a l a i s - s m a l e 条件) 设x 为b a n a c h 空间，称泛函妒c 1 伍，酞) 满足 ( p s ) 条件是指对任何点列 ) cx ，由妒( $ 。) 有界，妒( z 。) 一0 ，可推得 有收敛于 列 定义1 2 ( ( p s ) c 条件) 设x 为b a n a c h 空间，称泛函妒c 1 ( x ，r ) 满足( p s ) c 条 件是指对任何点列 ) c x ，由妒( ) 一c ，( ) 一0 ，可推得c 为临界值 定义1 3 设m 为拓扑空间，acm 为其闭子集令c a t ( a ) = i a f m z + u + o 。i j m m 个可缩的闭子集f l ，j k 使得acur ) 其中，4 为非负整数我们称c 8 t ( a ) 为a 的 = 1 畴数 其中 命题i i 噼。= u p ( o ，列，酞n ) l 也p ( 【o ，t i ，舯) ) 牝峪= ( z t l 妒出+ z t i 吐( t ) | p 彬( 1 - 1 ) u j j w p2 ( 上”( ) j p 出+ 上吐( ) | p 如) ； ( i ) 对u 噼”，有 ( i i ) f u ( t ) d t = 0 时 。呻， 0 u 0 。= s u pi u 0 ) t e l o , t i 0 。sc 悔0 p 3 ( 1 - 2 ) ( 1 - 3 ) ( 1 4 ) 命题1 2 噼中的弱收敛子列在9 u | 1 。之下收敛 命题1 3 对u 珥，若f u ( t ) d t = 0 ，则 ( i ) ( w i r t i n g e r 不等式) n t ) 1 2 d tg 杀n 圳2 m ( i i ) ( s o b o l e v 不等式) 陋睡磊小 1 2 d t 命题1 4 ( i 1 + l h i ) 9s2 p ( 1 。1 9 + l b l p ) ( p 0 ) ( 1 - 5 ) ( 1 - 6 ) ( 1 7 ) 定理1 1设x 为b a a a c h 空间，泛函妒：x 一t 下方有界且可微，如果妒关- 丁c i n f x 妒满足( p s k 条件，则妒在x 上有最小值 定理1 2设x 为b a n a c h 空间，妒c 1 ( x ，r 1 ) ，x = x ox + ，d i m x 一 o 。，且 粤妒 群妒 ( 1 8 ) 筇 “ 其中， 记 晶= 扣x 一川u l l = r )( 1 - 9 ) b 葛= 如x 一川u | l 研 m = 9 e ( ，x ) = i d ) c = i n fs u pl p ( 9 ( s ) ) g “a 印； 则当妒满足( p s ) 条件时，c 必为临界值 定理1 3 ( 广义鞍点定理) 设x 为b a n a c h 空间，x = y o z 闰基誊毫巨这里，z 为x 的子空间，d i m z o ，( 1 j m ) 使得 n ( a ) = s p m a l ，口2 ，一，a 。)( 2 - 6 ) f ( t ，z + t j ) = f ( t ，z )( 1s js m ) ( 2 - 7 ) 对所有( t ，茹) 【0 ，司融成立， 在珥空间定义泛函q 如下： 咖) = z 7 ；惮u ) ，邢) ) 一( 侧饥“) 冲 ：； 1 1 u 1 1 。一 】( 2 - s ) i 0 ，使得 口( “) 一；她2 ，如果“日_ ( 2 - 1 1 ) g ( u ) ；酽，如果u 日+ ( 2 - 1 2 ) 注意到k 有有限多个特征值大于1 ，所以h 一为有限维再由假设( h 1 ) ，( h 2 ) 以及微分方 程的初等知识我们可以知道j 一中的元素与口( t ) 在日 中的临界点及问题( 2 - 5 ) 的解是 一致的，故 n ( i k ) = n ( a ) = 酽 如果u 日；，则t = 铲+ t 一+ 矿，其中铲日o ，钍日一，t + h + 7 2 系统周期解的存在性 我们再在王玮中定义泛函r 如下： r ( u ) = 【f ( t ，u ( ) ) ( ( t ) ，u ( t ) ) 出 易知，r ( u ) c 1 ( 1 0 ，t l ，r ) ，且 灯 = ( v f ( t ，让( o ) ) 一 ( t ) ，v ( t ) ) d t j 0 在h 上定义泛函 l p ( 札) = 口( “) 一r ( 珏) 一z 2 【；( 哪) u ，( t ) ，也) ) 一；( 州哦u ) 一耶州啪+ h ) 川洲m 驴连续可微且 ，t = 一( v f ( t ，“0 ) ) 一九0 ) ，v ) d t ( 2 1 3 ) 则问题( 0 - 1 ) 的解恰为泛函妒的临界点 下面是我们关于系统1 ) 周期解的存在性结果 定理2 1假定m 和a 满足( h i ) ，h 满足( h 2 ) ，f 满足( h 3 ) j r i ( f 1 ) ，则问题( 0 - 1 ) 至少存在1 个周期解 在证明之前我们先给出必须的几个引理 引理2 1如果m ：【o ，邪一s ( 舯，呼) 连续且正定，a s ( 础，巳n ) ，贝l l d i mh 一= o 当 且仅当a 为半负定的 证明必要性： 姗：d i mh 一= o ，则对任意让点珐，特另对任意常数c 舻，有q ( u ) o ，故 显然 即a 为半负定的 o 有界由h t 的自反性，不失 一般性，我们可设在日f 中u b u 由田到g ( 【o ，卅，l n ) 的紧嵌入知，在a ( 【o ，t l ，辩) 中 有“k 一珏，于是有 ，(2-17) = l | u k 一训1 2 一 一 ( 弋y f ( t ，u k ) 一v f ( t ，u ) ，“k u ) d t 当女一o 。时，上面等式左边以及右边的后两项都趋于零，从而i | u k 一训2 一o ，即l l u k 一 “i l _ 0 - 引理2 3假定m 和a 满足( h 1 ) ，h 满足( h 2 ) ，f 满足( f - ) ，给定c r ，若存在 序列 ) 当k 0 0 时，妒( t e ) 一c ，( u k ) 一0 ，则c 为妒的临界值 证明设c 和 u 女) 满足引理条件令u 2 ：登q 哟，则存在岛z ，白【o ，吲，使得 q = 白+ 码乃( 1 sj m ) 令乱：。i + 曼白哟+ 缸古，于是有筇：”i ，鲇：吉，罐= 曼鸟，显然硪有界， 且讥一u k n ( i k ) ，所以有 q ( 矗- ) = q ( u - ) ，一( 讯) = q ，( 牡k ) 另外，由( h 2 ) 和( h 5 ) ， ，( 讥) ：厂t 【f ( 亡，。i ( t ) + 。吉( t ) + 峨一妻岛乃哪) 一( ( t ) ，u 毒+ u i ) 】d t 加 j 5 1 ( 2 - 1 8 ) = 【f 0 ，“k o ) ) 一( o ) ，仳知( t ) ) 1 d = r ( 仳七) 同样地，我们有 r ( 也k ) = r ( u k ) ，一( 证k ) = r ，( u k ) ( 七) 2 系统周期解的存在性 所以，当k o o ，妒( 戗) 一0 由引理2 2 ，不失一般性，我们设在三珐中，戗一u ，所 以，妒( u ) = 0 ，妒( 乱) = l i m 妒( 血女) = n m 妒( t 工k ) = c 即c 为i p 的临界值 _ 一o 。 w 引理2 4 假定m 和a 满足( h 1 ) ，h 满足( h 2 ) ，f 满足( f 1 ) ，则妒在h o o h + 中 下方有界 证明如果“= l , 0 + u + 日o o 日+ ，利用引理2 3 中的证明令也= 缸o + 1 1 + ，砬o h oh 有界 e ( - 5 ) = 妒( ) = 口( 矗) 一r ( 磊) = 口( u ) 一r ( u ) = ； 一i o r f ( t ，u ( 啪d t + f ( 危( t ) 矿( t ) ) 出 由( f ，) 式，我们有 i f ( t ，z ) f i f ( t ，o ) l + i ( v f ( t ，s 。) ，z ) d s f ss ( t ) t z l o + 1 + ( k i + 1 ) 9 ( t ) 对儿乎所有t 【0 ，t l 和所有z p 都成立再由 俨) 的有界性，我们有： 妒( “) = 妒( 砬) ；f l “+ f 2 一o mf ( 以砬) d + 0 7 ( o ) ，u + ( t ) ) d t 妒 扣i l 妒l i l f ( t ，r i o + “+ ) d r l l l l i l + i i 。 一 f ( t ) l a o + “+ i 。+ 1 + ( i 矗o + u + i + 1 ) g ( t ) l d t i l h l l l - l i u + i i 。o 刈础掣z t 雕) 悔。+ u 刈。o t g 出 ( 2 1 9 ) ( 2 - 2 0 ) 一9 ( t ) d t i i h l l l , l l “+ i i 。 知u 刈。一2 一( 1 1 铲i l 彗+ 忙刈苗，) z t ，( t ) 出一( 1 l 矗。l l 。+ i i ”+ i i 。i f ( t ) 出 f t i i h l l 1 l u + i i 。一9 ( t ) d o ：i l u + 1 1 2 一c 5 1 1 。+ 1 1 a + - 一c 6 1 1 。+ 1 1 一c 7 所以，妒( u ) = 妒( 矗) 在h o o h + 中下方有界 1 1 ( 2 2 1 ) 2 系统周期解的存在性 引理2 5 假定m 和a 满足( h t ) ，且f 满z = - ( f ，) 和( h 3 ) ，n v u h 一，当一 o 。时，妒( “) 一一。 证明如果u h 一，那么 妒( u ) ：妒( “一) 一；l i u 一1 1 2 一f o r f ( ，u 一) d t + o ? ( h ( t ) ，u o ) ) d t o 一一 o 一一 d ( 一一 【，0 ) i u l 。+ 1 + ( 1 t 一i + 1 ) g ( t ) d t + l i h l i l - 0 “一l l 。 憾1 z r ) d r f ( t ) d t 卅i t 。，rg ( t ) d t j 0 1 1 譬1 + 。 j 0 f t + j c 9 ( ) d hi l h i 圳“一怯 一扣训譬1z 7 m ) d t + l i “。j o t g 出 + f 7 f 。t | f “一 。+ j o t g ( t ) 出 一；l i u 一胪+ c 8 1 1 札一l l 。+ 1 + c 9 l i u l i + c t 。 阻 c 2 ，c 8 ，c 9 ，c l 0 全为正常数 下面我们给出定理2 ，1 的证明 ( 2 2 2 ) 证明 ( i ) 如果a 为半负定的，由引理2 1 易知d i m h 一= o 由g - 理2 4 ，妒( ) 在珥中下方有界由e l d a n d 变分原理，存在序列 让k ) ，当k o 。时，c p ( u ) 一 氍妒，( t ) 一0 再由引理2 3 ，妒( u ) 满足( 9 8 ) c 条件所以c2 霹妒为妒的临界值即 问题睁1 ) 有一个周期解“l 且妒托) 2 c2 氍l p ( i i )如果a 为非半负定的，则d i m h 一1 由引理2 4 ，妒( u ) 在h o oh + 中下方 有界：由引理2 3 ，妒( “) 满足( e s ) 。条件由d i m h 一 0 ，使 得 s 。u p 妒 h 瞄+ 妒a 一 1 2 r r z z 一 + 2 2 一 一 u u 2 系统周期解的存在性 其 1s i = = 扣日一：忪i i = 月) 由鞍点定理( 见本文定理1 2 ) 问题( 0 - 1 ) 至少存在一个用 驯解“1 ，i 二l 妒( 1 ) = c ，这里 。2 口i n m f 。m b a x i 妒( g ( 8 ) ) 其叶l ，b 元： ? z h 一：i i u | l r ) ，m 一 geg ( b 元，f 玮) ；9 ( s ) = s ，s s 元 - 艮显然，我们将非线性项v f ( t ，茁) 放宽到了次线性增长形式，对应的位辨函数f ( t ，m ) 也 变成了一类无界函数 1 3 3 系统周期解的多重性 在这一部分我们利用广义鞍点定理和l u s t e r n i k _ s c h n i r e l m a n 畴数理论讨论系统池 1 ) 的多重周期解在矩阵a 为半负定的情形下，m a w h i n $ 1 j ) 羽l u s t e r n i k - s c h n i r e l m a n 数理 论得到了系统他1 ) 的多重周期解当矩阵a 为非半负定时情形我们没有看到作者发表这 方面的结果北京大学的刘嘉荃教授利用伪畴数的概念建立了一个广义鞍点定理，利用该 定理我们得到了系统睁1 ) 的多重周期解，并且是在( f i ) 成立的前提下讨论的为了行文方 便下面我们给出广义鞍点定理的内容 广义鞍点定理殴x 为b a n a c h 空间，x = y o z 曲垂茁薯蛳，这里，z 为x 的 子空间d i m z o o ，设矿为有限维紧g 2 流形设妒：x v r 为e 1 泛函且满足p s 条 件，如果驴满足： 。i y n f 。矿i p ( 。) 2p s u p 妒n 卢 s x y 这里，s = o d ，d = z 1y 珊，r ，a ，卢均为常数则泛函妒至少有c u p l e n g t h ( v ) + 1 个临界点 定理3 1 假定m 和a 满足( h 1 ) ，h 满足( h 2 ) ，f 满足( h 3 ) 和( f - ) ，则问题( 0 - 1 ) 至少存在m + 1 个周期解 证明由于在方程中出现了出现了矩阵a ，导致了泛函的不定，下面我们分两种情形 进行证明： 第一种情形：a 为半负定 这时，由引理2 1 可知d i m h 一= o 由于妒似+ 乃q ) = 妒似)日；，1 j m ) ，所 以我们可以在r i e m a n n i a n 流形 t = 了”( h o h + )( 3 - 1 ) 1 4 3 系统周期解的多重性 上定义泛函妒这里了”表示m 维环面且 妒( c l ，c 2 ，u 一，“+ ) = 妒( q + t 一+ + ) ( 3 - 2 ) = 妒( u 0 + “一+ “+ ) 在第一节中我们已经证明了泛函妒满足( p s ) 条件且为下方有界的由l 广s 畴数理论，妒至少 有c a t t 个临界点我们有下面的等式成s t ： c a r t c a t t ( t ” o ) ) 而 = c a t ( t “) c a t t ”一m + l 所阻说，系统( o 一1 ) 至少有m + 1 个不同的周期解 第二种情形：a 为非半盘定 ( 3 _ 3 ) ( 3 4 ) 首先如果a 为非半负定的，由引理2 2 可知15d i m 一 f 一致袋立，琴 离f b 成巍，遮鼹由 舻 瓣裔嚣健鞠y 躺紧谯鼹诞蚋 纛 t 8 4 没有扰动项时系统的无穷多周期解 在这一部分我们利用对称山路引理来研究系统忙1 ) 当扰动项为0 时系统 牌茹= 裟蒜 ， 的无穷多周期解我们假定f c 1 ( 【0 ，卅璩_ ) 定理4 1假定下面假设成立： ( h 1 ) d i m n ( a ) = m l 且m ，a 满足条件：u 为 船篙篡叫t 的解当且仅当u 为常数且“( a ) 这里n ( a ) = 如：a u o ) ( f 2 )f 0 ，z ) 0 ，v ( t ，z ) 0 ，列xr ，f ( t ，。) = = o 蕴台o = 0 ( f 3 ) ( 击) f ( ，。) o ，v t 【o ，列p o ( f 4 ) j q 2 ，使得 f ( ，8 砷= 矿f ( t ，z ) ，v ( t ，z ) 【o ，t l r ”，s 0 ( f s ) z f ( t ，。) 为偶的， 则系统洚1 ) 存在无穷多对相异的非零周期解 注释： ( f 4 ) 【1 b 的常数a - 与( f - ) 中的常数q 有区别 我们在前面已经知道系统( 4 - 1 ) 对应的泛函为： 妒( u ) = z 1 【；( m ( t ) ( 氓( 啪一；( 胤( 巩n ( 嘞一f ( t ，u ( 们】出 妒连续可微且系统p 1 ) 的解恰为泛函妒的临界点定义算子k ：曰；一日； 衅= 妒 “t ，珥) ( 4 - 2 ) ( 4 - 3 ) ( 4 - 4 ) = = 一：。= ! ：。：。，一= ：。：。! 一。l 垒塑垫塾塑燮垄垦丝堂塑 为紧线性自伴算予把正硌按算予，k 的特征子空间进行分解 j 露= h 一辔嚣+ o j 妒( 垂5 ) 这里，h o n ( z 一菇) ，且存在6 0 ，使得 g ( 牡) 一；1 1 2 ，如采“日一 ( 靠6 ) g ( “) ； 1 u l l 2 ，如鼽h + ( 4 - 7 ) 波意到k 有有限多个特征值大于1 ，所以h 一为有限维记x l 一日+ ，捣= h oo h - j t i d i m x 2 ，记 酸一扛戳；闭 r ，臻一p 群涠茹l o ，使得 lv f ( t ，x ) | 蟊( 1 + | 碧1 8 1 ) ，v ( ，嚣) 辫，司扩；4 - 8 ) ( i v ) 。要是瑰j 孑f ( ，茁) d r = 幽 0 令 d 22 黼麟飓嚣) ( 4 - 1 0 ) 54 没有扰动项时系统的无穷多周期 由假设( ) 所给出的超二次齐次性，我们有 f ( ) = l z i 。f ( t ，击) - - 4 2 1 茁i 。 从而有 f ( t ，。) d 2 ( 1 + l x l 。) ， 故 故 v t 【0 ，卅，21 v ( t ，。) 【o ，卅r n ( 4 - 1 2 ) d l l x l 。f ( t ，z ) 也( 1 + i z l 。) ( i i i ) 令如2 ( 啦冲m a 卅x 脚ri v f ( t i 。) | 因为 ( v f ( t ，巩) = i 俨i ( v f ( 厶高) ，尚) ， 妇0 , y e 舯 v f ( t ，z ) i d j ( 1 - 1 - 1 z l 。一1 ) ，v ( t ，z ) 【o ，卅r “； ( 4 - 1 4 ) ( i v )由预备知识中的命题( 1 1 ) 可知存在常数d o 。0 ，使得 l l x l l 。屯l l x l l ， 比田 故( i i l t f ( t ，。) d t d l ( t + 皑忪i i 。) 故 d 4 墨d 1 ( t + 芘) + o o ( 4 - 1 5 ) (