（基础数学专业论文）局部对偶平坦的finsler度量.pdf

局部对偶平坦的f i n s l e r 度量 基础数学硕士研究生周宇生 指导教师王佳教授 摘要 对偶平坦的流形是微分几何中一类重要的研究对象，应用非常广泛，在信息几何，相对论，超弦 理论中有重要的应用沈忠民教授曾从f i i l s l e r 几何的角度对信息几何做了很多研究但要从f i i l 8 l e r 几何出发研究信息几何，就必须先研究对偶平坦或局部对偶平坦的f i n s l e r 度量而在目前已知的 f i l l s l e r 度量中，只有n c k 度量和局部闵可夫斯基度量是局部对偶平坦的在局部对偶平坦的f i i l s l e r 度量研究中，我们首先应该研究r a n d e r s 度量和( q ，卢) 度量，在此基础上再推广到一般的f i n s l e r 度量本文主要研究了局部对偶平坦的r 眦d e r s 度量和平方r a n d e r s 度量的性质，获得以下结论。 定理3 3 ( m ，f ) 是佗( 3 ) 维的f i 瑚l e r 空间，f 是局部射影平坦的，则以下条件等价， ( 1 ) f 是局部对偶平坦； ( 2 ) p = c ( z ) f ； ( 3 ) 己t = 2 p e z ； ( 4 ) 瓦z = 2 c ( z ) f 毛h 其中p = 气乒是f 的射影因子 将定理3 3 的结果应用到非r a n d e r s 度量的( q ，p ) 一度量，我们有下面的结论： 定理3 4 ( m ，f ) 是3 ) 维的f i i l s l e r 空间，f = q ( s ) 是( q ，p ) 度量其中q ：= 鬲歹歹 是黎曼度量，p ：= 6 i 矿是1 形式，s = 鲁且h 订w + 乜s 则f 是局部对偶平坦且局部 射影平坦的当且仅当f 是局部闵可夫斯基度量 定理4 1 ( m ，f ) 是n ( 3 ) 维f i n s l e r 空间f = q + p 是r a n d e r s 度量，其中q ：= 、口巧矿矿 是局部射影平坦的黎曼度量，p ：= 玩扩是1 形式，则f 是局部对偶平坦的当且仅当f 是下列情形 之一： ( 1 ) f 是局部闵可夫斯基度量； ( 2 ) f 局部等距为 户= 迦珂卿需乎鲰 其中肛= 一4 c 2 ，c 是一常数 当c = 丢时，f 是f u c k 度量 定理4 2 ( m ，f ) 是n ( 3 ) 维f i n s l e r 空间f = a + p 是r a n d e r s 度量，其中q ：= 、o 巧矿矿 是黎曼度量，p ：= 玩矿是闭的l 形式，则f 是局部对偶平坦的当且仅当其满足： ( 1 ) 机b = 去( o 巧一玩幻) + 2 e ( 6 j 一6 2 n 巧) ； ( 2 ) g 孑= 口m + e q 2 6 m e 纫m 其中e = e ( z ) ，7 - = 丁 ) 是标量函数，口= 字p 当e = o 时，f 可以局部等距为 6 讥酽i 琊羽开= 石砑+ 2 c 一2 再习砰一。 其中p = 一4 c 2 ，c 是一常数如果c = ，则此时p 是一f u c k 度量 定理5 1 ( m ，f ) 是3 ) 维的f i n s l e r 空间，f = 垒专华是平方r a n d e r s 度量，其中 a ：= 石万可是局部射影平坦的黎曼度量，卢：= 玩矿是1 形式，s = 鲁则f 是局部对偶平坦的当 且仅当f 是局部闵可夫斯基的 定理5 2 ( m ，f ) 是3 ) 维的f i n s l e r 空间，f = 垒专譬是平方r a n d e r s 度量，其中 a ：= 丽是黎曼度量，p ：= 6 i 是闭的1 形式，s = 鲁则f 是局部对偶平坦的当且仅当f 是局部闵可夫斯基的 关键词：f i n s l e r 度量局部对偶平坦局部射影平坦r 粕d e r s 度量( q ，p ) 一 度量 f u c k 度量局部闵可夫斯基度量 n l o c a u yd u a lf l a tf i n s l e rm e t r i c s m a j o r ：b a s i cm a t h e m a t i c s s p e c i a l i t y ：d i 髓r e n t i a lg e o m e t r y s u p e r v i s o r ：p r o f w a n gj i a a u t h o r ：z h o uy u s h e n g ( s 2 0 0 5 0 9 5 2 ) a b s t r a c t t h em e t r i c 8o fd u a l lf l a ti so n ec l a s so fi m p o r t a n tm e t r i c si ng e o m e t r y ，w h i c l lh a ss i g n m c a n t 印p l i c a t i o i l si nl a u r g es c a l l ea r t i f i c i a ln e u r a ln e t w o r b ，i i l f o r m a t i o ng e o m e t r y a n ds u p e r s t r i n g t h e o r y p r o f e s 8 0 rs h e nh 嬲d o n eal o tr e s e a r c ho ni n f o r m a t i o ng e o m e t 巧f r o mt h ep e r s p e c t i v eo f f i i l s l e rg e o m e t r y h 0 w e v e r ，i ti san m s tt o8 t u d yt h ef i n s l e rm e t r i c 8o fd u a lf l a to rl o c a l l yd u 址 丑a t a m o n gt h el ( i l o w nf i l l s l e rh l e t r i c s ，f | u 】1 k 】e t r i c sa n dl o c 砒l ym i n l 【o w s i 趿m e t r i c sa l r et h e 0 1 1 l yt 、舳w h i c ha 舱l o c 猷l yd u a ln a t w bs h o u l ds t u d yt h er a n d e r 8m e t r i c sa n d ( q ，p ) m e t r i c s b e f o r et h er e s e a r c ho fl o c a l l yd u a l ln a tf i i l s l e rm e t r i c s i nt 1 1 i sp a p e r ，w eh a v es t u d i e dt h el o c a l l y d u mn a tr a n d e r sm e t r i c sa n ds q u a r er a n d e r sm e t r i c sa n dm a l i n l yo b t a i n e dt h ef o l l o w i n gr e s u l t s t h e o r e m 3 3l e t ( 埘，f ) b eaf 伽毹e rs p a u c eo fd i m e n s i o n 佗( 3 ) i fqi sl o c a l l y p r o j e c t i v e l yf l a t ，t h e nt h ef o l l 弧r i n ga r ee q u i v 出e n 七： ( 1 ) f i 8l o c a l l yd u 出f l a t ； ( 2 ) p = c ( z ) f ； ( 3 ) 毋z = 2 p 毛z ； ( 4 ) b = 2 c ( z ) f 巧 w h e r ep ：譬i st h ep r o j e c t i v ef 如t 。ro ff t h e o r e m3 4l e t ( m ，f ) b eaf i 璐l e rs p a c eo fd i m e n s i o n 几( 3 ) f = ( s ) ( s = 鲁) i s a n ( q ，p ) m e t r i c ，w h e r ea ：= 、i 面虿i sa e m a n n i a nm e t r i c sa n dp ：= k 矿i 8a1 一f o r m ，a n d 庐七1 r 干碚+ 七3 s t l l e nfi sl o c a l l l yd u 出f l a ta n dl o c a l l yp r o j e c t i v e l yf l a ti fa n do n l yi ff i sl o c m l ym i n k 喝k i a n u 1 t h e o r e m4 1l e t ( m ，f ) b eaf i n s k rs p a c eo fd i m e d s i o nn ( 3 ) f = a + pi sar a n d e r s m e t r i c ，w h e r ea ：= 、口玎矿矿i sal o c a u yp r o j e c t i v e l y 丑a tf u e m 龇m i a nm e t r i ca n dp ：= 玩矿i 8a 1 一f o m t h e nfi sl o c “l yd u a l lf l a ti fa n do i l l yi fo n eo ft h ef o l l a w i n gh o l d s ( 1 ) fi sl o c a l l ym i n k o w s k i a n ( 2 ) fi sl o c 甜l yi s o n l e t r i ct ot h ef o l l o w i n g l e t r i c 户= 迦珂丑罱雾翌堕业 、h e r e “= 一4 c 2 ，ci sac o n s t a n t w h e nc = ，户i saf 1 1 c km e t r i c t h e o r e m4 2l e t ( m ，f ) b eaf i 璐l e rs p a c eo fd i m e n s i o nn ( 3 ) j = q + i sar a n d e r s m e t r i c ，w h e r eq ：= 、o 巧扩i sar i e m a n n i a nm e t r i ca n dp ：= 6 i 矿i sac l o s e d1 - f o r m t h e nf i sl o c a l l yd u 甜f l a ti fa n do n l yi ft h ef o l l 硎n gc o n d i t i o n sh o l d s ( 1 ) 6 t i j = ；( n a 一玩) + 2 e ( 6 i b 一6 2 口巧) ； ( 2 ) g 2 = 口暑，m + e q 2 6 m ep 可m 吼e r ee = e ( z ) ，r = 丁( z ) 8 r es c a l a rf i m c t i o 瑚，a n dp = 曼吲：工p m e n = 0 ，fi sl o c a l l yi s o m e t r i ct ot h ef o l l o w i n g 户= 迦珂珊菁雾煦 m e r ep = 一4 c 2 ，舡l dci 8ac 0 i i l s t 趿t i fc = ，户i saf u c km e t r i c t h e o r e m5 1 l e t ( m ，f ) b eaf i i l s l e rs p a c eo fd i m e n s i o nn ( 3 ) f = q ( s ) ( 8 = 鲁) i s as q u a r er a n d e r sm e t r i c ，w h e r eq ：= 亏丽i sal 。c a l l yp r 。j e c t i v e l yf l a tm e m a n n i a nm e t r i c a n dp ：= 玩矿i sal f o r m t h e nfi sl o c a l l yd u a lf l a ti fa n do n l yi ffi sl o c a l l ym i n l c c l w 8 l 【i a n t h e o r e m5 2l e t ( m ，f ) b eaf i l l s l e rs p a u c eo fd i m e 璐i o nn ( 3 ) f = a ( s ) ( 8 = 鲁) i s as q u a r er a n d e r sm e t r i c ，w h e r eq ：= 丽i 8a 瞰e m 锄i a nm e t r i ca n dp ：= 饥i sac l o s e d 1 f o r m t h e nfi sl o c a l l yd u a l 丑a ti fa n do n l yi ffi sl o c a l l l ym i n l 【o w s k i a n k e yw o r d s ： f i 璐l e rm e t r i c l o c a l l yd u a lf l a t l o c a l l yp r o j e c t i v e l yn a t r 弧d e r sm e t r i 船 ( q ，p ) 一m e t r i c s f u c km e t r i c s l o c a l l ym i n k o w s k i a nm e t r i c s 独创性声明 学位论文题罄：星塑数堡垩塑鼓呈i 墼兰；曼兰鏖量 一 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成采。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中已加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文作者：罔享鬯 签字罄期：，多年j 月够露 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密； 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名：阈宇瓷 导师签名：至住 签字日期：孙落年r 月日签字日期：瑚笤年，月) 日 一、引言 自八十年代起，f i n s l e r 几何的研究有了飞速的发展，开始在相对论、物理学、生物 学、医学以及心理学等领域得到广泛的应用，展现了f i n s l e r 几何的独特魅力但是由于许 多几何学家片面的认为f i n s l e r 几何是e m a n n 几何的推广，仅仅致力于把r i e m a n n 几何 的结果推广到f i n s l e r 几何，再加上对f i l l s l e r 几何中的非瞰e m 锄几何量的认识不足，忽 略了对f i n s l e r 几何中那些与m e m a n n 几何不同的性质与结构的研究幸好这种情况在九 十年代初有了根本性的变化在陈省身先生，美籍华裔数学家沈忠民和d b a 0 等几何学家 的带领下，克服了f i 璐l e r 几何以张量作为研究工具的局限，引入分析的方法并注重结合几 何背景，同时运用计算机做大量的符号运算，将f i i l s l e r 几何带入真正的繁荣时期这些年 来，f i i l s l e r 几何得到快速的发展，解决了困扰f i n s l e r 几何学家几十年的难题，构造了许多 特殊的f i n s l e r 空间，获得了许多耐人寻味的结果，f 妇l e r 几何展现出蓬勃的发展势头 对偶平坦的流形在实际中有着重要的应用，如相对论，超弦理论，信息几何等沈忠 民教授就曾从e m a n n i a n f i n 8 l e r 几何角度对信息几何进行了研究信息几何就是为了研 究一族概率分布的几何结构，例如：由正态分布的两个参数均值p 与方差盯作成的点集， 指定参数p ，盯，就确定个特殊的正态分布，那么s 就可以看作一个2 维的空间( 流形) ， 就是它的局部坐标但是这个空间不是欧氏空间，而是一个具有一个度量的黎曼空间，而 且这个度量是从概率分布的性质中得到的特别是s 为一族正态分布时，它是具有常负 曲率的空间，所以具有这样的概率分布，不仅诱导了黎曼结构，而且对于概率分布中几何 结构的研究，在微分几何中产生了新的概念，譬如对偶平坦的概念沈忠民教授提出公开 问题中就有：找出一个对偶平坦且具有常曲率的度量的例子，并且分类这类度量 由于( q ，p ) 一度量的可计算性，在研究( o ，p ) 一度量的性质时，我们可以用m 印l e 程序 进行大量计算，得到精确结果利用这种思想，目前在沈忠民教授，程新跃教授的工作 中，已经将( q ，p ) 一度量的局部射影平坦，s 曲率等问题完美解决了本文也主要采取这 种思想，对( q ，p ) 度量的局部对偶平坦问题进行研究，主要研究了砌m d e r s 度量和平方 r 姐d e r s 度量的局部对偶平坦问题弥补了目前f i n s l e r 几何中关于局部对偶平坦问题研 究的空白 二、预备知识 首先让我们介绍f i 璐l e r 度量 令y 是一个n 维实向量空间，1 厂上的一个m i n k o w s k i 范数己是指范数l ：y r 同时满足： ( a ) 在y o 】r 上l 是c o o 的； ( b ) l 是正2 阶齐次的，即 l ( 入y ) = a 2 己( 妙) ，入 o ，可y ； ( c ) 对任意的o y ，在y 上的基本形式现是非退化的，其中 咖m = 三磊瞅m 牡侧| 8 = t = 。 这时( vl ) 称为一个m i n k o w s k i 空间如果对任意的耖y 都有l ( 一秒) = l ( 可) ，则称厶是 对称的 设m 是一个佗维流形，t m 上的函数f ( z ，可) 称为f i n 8 l e r 度量，如果f 满足。 ( a ) f ( z ，可) 在t m o ) 上是c 。的； ( b ) 对v 可y ，b ( 可) = f ( z ，可) 是死m 上的m i n k o w s k i 范数，即 i ) f 关于可是正1 阶齐次的，即 f ( a 可) = 入f ( 耖) ， 入 0 ，暑，y ； i i ) 对任意的o 可y ，在1 厂上的基本形式跏是非退化的，其中 咖m = 丢磊 f 2 ( m u + 切虬脚 此时称( m ，f ) 为f i n s l e r 空间 如果己= ( z ) ，此时f i n s l e r 度量l 就称为黎曼度量，因此f i n s l e r 度量仅仅是没 有二次限制后，对黎曼度量的一般化，通常我们用9 = 助矿矿表示黎曼度量在上个世 纪，黎曼度量是非常重要的度量，而且已经被深入的研究 定义局部m i n k o w s k i a n 度量为； 对于流形m 上任意一点x ，在t m 上总存在一个局部坐标系( ，矿) ，使得f = f ( 耖) 只是关于( ) 舻的函数，则f 称为局部m i n k o 嗍k i a n 度量 在流形m 上的每一个f i n s l e r 度量都能诱导t m 上的一个向量场 g ：圳未一2 g 沁，可) 杀， 这里 ( 叫) ：= 扩( 咖) 慨t | ，l ( 训) 扩一l ：( z ，) ) ， 其中( z ，可) ：= ( 鲫( z ，3 ，) ) - 1 可以证明 ( z ，入耖) = 入2 ( z ，秽) ，a 0 我们此时称g 为f 诱导的个f i 璐l e r8 p r a y 当然并不是每一个s p r a y 都是由f i n s l e r 度 量诱导的 令 蟛沪器n嘶= 器n 我们称叼为f 的联络系数，巧七为f 的c h r i s t o 髓l 符号 我们给出测地线的定义 假设c ( t ) 为( m ，f ) 上的一条参数曲线，若它满足测地方程 箬懈电，i 知) - o ， 其中 g = 丢9 乱 f 2 z 。矿可七一 f 2 一) ， 则称c ( t ) 为测地线，g 为f 的测地系数其中( ) 表示( 黝) 的逆矩阵 现在我们来介绍一下( q ，p ) 一度量： f = 口( s ) ，s = p a ， 其中q ：= 磊丽是曼度量，p = ：玩( z ) 扩是非零的1 一形式满足l i 忍忆 o ，i s l 6 ； 5 ( 2 ) 6 l j = 2 丁 ( 1 + 七1 6 2 ) n 巧+ ( 七2 6 2 + ) 6 i 幻) ； ( 3 ) g 去= 矿一1 ( 詹1 口2 + 乜p 2 ) 扩 其中丁= 下( z ) 是标量函数，毒是1 一形式七1 ，七2 ，b 都是常数且( 后2 ，b ) ( o ，o ) 定理3 3 ( 【4 】) ( m ，f ) 是佗( 3 ) 维的f i i l s l e r 空间，f 是局部射影平坦的，则以下条件 等价； ( 1 ) f 是局部对偶平坦； ( 2 ) p = c ) f ； ( 3 ) 疋c = 2 尸已l ； ( 4 ) e c = 2 c ( z ) f 己“ 其中p = 乒是f 的射影因子 证明： ( 1 ) 号( 2 ) ：因f 是局部对偶平坦，由引理的推论有g = p + 譬f 2 ( 巧一备) ，又因 为f 是局部射影平坦的，有g = 尸矿，将其代( 3 1 ) 式则有 乃一嘉一0 ( 3 2 ) 即 巴l = 2 f 己“ ( 2 ) 号( 3 ) ：因f 是局部射影平坦的，则 b - 矿扩一b = o ， 将( 3 3 ) 代入( 3 4 ) 式得 由( 3 3 ) 和( 3 5 ) 得 所以 即 2 p e l 一己z = o p q = f 乃 【知- 0 p = c ( z ) f 6 ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 ) = 争( 4 ) 。因为p = c o ) f ，将p = 冬代入贝得 疋l 扩= 2 c ( z ) f 2 再将( 3 6 ) 式两边同时对矿求导则得，兄= 2 c ( z ) f 巳- ( 4 ) 令( 1 ) ：因为最= 2 c ( z ) f 乃，则 ( 3 6 ) 陋2 】扩矿矿一2 f 2 】一= ( 2 巧兄t + 2 f 兄- 矿) 矿一4 f 圮h( 3 7 ) 再将乃= 2 c ( z ) f 乃z 代入到( 3 7 ) 式则得：【f 2 】茁- 矿矿一2 【f 2 】一= o ，所以f 是局部对偶平 坦的 定理3 4 ( 4 ) ( m ，f ) 是3 ) 维的f i n s l e r 空间，f = q ( s ) 是( n ，p ) 一度量其中 q ：2 、o 巧矿矿是黎曼度量，p ：= 6 t 矿是1 形式，s = 鲁且h 们了瓦孕+ 南3 s 则f 是 局部射影平坦且局部对偶平坦的当且仅当f 是局部阂可夫斯基度量 证明：必要性；因为f 是局部射影平坦且局部对偶平坦的，由定理3 3 ，我们有巴；一 2 c ( z ) f 乃= o ，将其展开得 其中 q 一+ 口t 一2 c ( z ) q q 2 2 c ( z ) q 2 s = o ( 3 8 ) 1a g 2 一磊蒂， 呀= 兰四， 艮= 矿+ 6 m 努， s d = 三6 m i z 矿+ 壶 6 m a s ) 等， s 矿：警 将上面这些代入到( 3 8 ) 式得 三等+ 哳n 等警箐咄( 咖步2 c ( 州学_ o ( 3 9 ) 用缩并( 3 9 ) 式得 ( 暑+ 2 6 m 一2 咖兰警) g 孑+ 彻一2 c ( z ) q 2 2 ：o ( 3 1 0 ) q口。 ” 。 、 、 因f 是局部射影平坦的，由引理3 2 有tr o o = 2 7 - ( 1 + 七1 6 2 ) a 2 + ( 七2 6 2 + b ) p 2 ，g 蛩= 扩一下( 后1 q 2 + 七2 p 2 ) 6 m 将他们代入到( 3 1 0 ) 式得 【三一1 - ( 咖+ 乜s 3 ) 】一c ( 枷2 + 【1 + ( h + ) s 2 + 咖4 m = o ( 3 1 1 ) 因为( o ) = 1 ，将其代入到( 3 1 1 ) 式则有。毒= o ，丁7 ( o ) = c ( z ) 所以原方程可以简化为 7 - ( 后1 s + 七2 s 3 ) + c ( z ) 2 = f 1 + ( 1 + 乜) s 2 + 后2 s 4 】7 - ( 3 1 2 ) 又因为是光滑函数，将在。处展开为 ， 妒= 1 + o l s + 0 2 5 2 + + s n + ( 3 1 3 ) 将( 3 1 3 ) 式代入到( 3 1 2 ) 式比较系数有 s o ：c ( z ) = 丁n 1 ；s l ：下忌1 + 2 c ( z ) 口1 = 2 丁0 2 ( 3 1 4 ) 又因为1 = 砂”( o ) ，口2 = 华，所以七1 = 2 0 2 代入上面( 3 1 4 ) 式得 2 丁n 2 + 2 7 口；= 2 7 - 2 ( 3 1 5 ) 由( 3 1 5 ) 式得7 - n 1 = o ，所以c ( z ) = o ，由定理3 3 即得p = o ，从而g = p 矿= o 所以f 是局部闵可夫斯基度量 充分性：显然 8 四、局部对偶平坦的r a n d e r s 度量 r n a d e r s 度量是f i n s l e r 几何中研究的最多的一类度量，f i l l s l e r 度量的很多性质都是 先从r a n d e r s 度量开始研究的本节我们主要研究了局部对偶平坦的r 蛆d e r s 度量，得到 了下面的结论 定理4 1 ( 【6 】) ( m ，f ) 是扎( 3 ) 维f i n 8 l e r 空间f = q + p 是r a n d e r s 度量，其中 a ：= 、n 巧矿矿是局部射影平坦的黎曼度量，p ：= 玩矿是1 形式，则f 是局部对偶平坦的 当且仅当f 满足下列情形之一t ( 1 ) f 是局部闵可夫斯基的； ( 2 ) f 局部等距为 南讥丌再弧开i 瓦万习+ 2 c ，2 可刁砰一 其中p = 一4 c 2 ，c 是一常数 当c = 时，户是f u c k 度量 定理4 2 ( 【6 ) ( m ，f ) 是n ( 3 ) 维f i i l s l e r 空间f = q + p 是r a n d e r s 度量，其中 q ：= 、卢巧矿矿是黎曼度量，：= 玩矿是闭的1 形式，则f 是局部对偶平坦的当且仅当其 满足： ( 1 ) 6 t 协= ；( 一挑幻) + 2 e ( 玩吻一6 2 口巧) ； ( 2 ) g 2 = p 剪m + e q 2 6 m e 励m 其中e = e ( z ) ，r = 丁( z ) 是标量函数，p = 字p 当e = o 时，f 可以局部等距为 p = 迦珂珊等磊翌鳖业 其中p = 一4 c 2 ，c 是一常数如果c = ，则此时p 是一n c k 度量 1 局部对偶平坦的胁d e r s 度量 9 对于砒i n d e r s 流形( m ，f ) ，我们有 口扩三第， q = 三g 蛩蜘， 艮= 晰卅6 m 等， s 矿2 r d 七q s y 七 令a ：= 【f 2 】z t ，b ：= 【f 】：z 矿经过计算得 a = 【f 2 k = 2 f 疋- = 2 ( 1 + 酬( 跏+ q 6 仇) 等+ n 6 m 脚m 】 ( 4 2 ) b = 吼妒- 2 s “( 埘仇) 等+ a 晰朋 + 2 ( 1 + s ) 【( 口m 七+ q 矿6 m ) 等+ ( 鼽+ 劬m ) 苗器+ - 6 m 心m + 幽即】 ( 4 3 ) 因f 是局部对偶平坦的，将( 4 2 ) 式和( 4 3 ) 式代入定义得 【f 】：铲一2 【f 2 k = 2 学【2 ( + a 6 m ) 四+ q r o o 】 + 2 ( 1 + 州2 ( 。m t + 警) g 2 一( + q 6 m ) 第 + 警+ a 岫一2 q 6 m 皑m ) = o ( 4 4 ) 将( 4 4 ) 乘以a 3 得 2 ( 6 知q 2 一励七) 【2 ( + q 6 m ) g 翟+ q r o o 】+ 2 ( a + p ) q 2 ( o m 知q + 秒七6 m ) g 2 一( a + q 2 6 m ) 等+ 伽玑+ q 2 6 一2 7 2 h 心m 】= 。 ( 4 5 ) 将( 4 5 ) 式按a 的多项式整理得 ( 一2 6 m 蒂+ 2 6 即一4 6 仇哕”) q 4 + ( 4 h 6 m g 孑+ 2 k 伽+ 乱仇詹g m ，一2 帅等一2 p 6 m 等+ 2 p 一筇6 m 旧仇) n 3 + ( 4 6 船g 2 + 4 6 m 弧g 2 + 2 伽鲰+ 4 触m g 2 2 p 鬻) q 2 + ( 一4 口k 封k g 2 2 p 饥砌) + 4 p 6 。剪g 2 + 2 卢r 七) 口一4 p 讥跏( 署= 0 ( 4 6 ) 由( 4 6 ) 式我们知道a 的系数项为零，所以q 3 的系数项也为零，所以我们有 4 啪m g 孑+ 2 “咖+ 4 。m 七四一2 第一2 p 等+ 2 p 一4 p 6 m i 七扩= 。( 4 7 ) ( 一2 6 m 等+ 2 晰一4 6 m 旧m ) q 4 + ( 4 6 知撕g = + 4 6 m 鲰四+ 2 咖鲰 枷n m 七四铆等妒卅黼四_ o ( 4 8 ) 器= 尹_ 0 m 僻 ( 4 9 ) ! ，m 。西函f2 _ ；i 一一口m k u a 峥爿 等= 笋 似埘 将( 4 7 ) 式用铲缩并，然后将( 4 9 ) 式和( 4 1 0 ) 式代入得 4 铲h g m + 2 6 。咖+ 4 6 m 钟一2 煎筹型6 七一h 四】- 2 p 塑爵型6 七+ 6 p s 0 - 2 肌= o ( 4 1 1 ) 将( 4 1 1 ) 式整理得 2 【警6 笋碉- 4 6 2 6 m g m + 2 6 2 r 0 0 + 6 6 m 四+ 6 风_ 2 阢 ( 4 1 2 ) 将f 4 8 ) 式用6 七缩并，然后将( 4 9 ) 式和( 4 1 0 ) 式代入得 【- 2 塑尹铲+ 6 s 。一2 伯p + 【4 6 2 g 2 + 1 叩6 m g = 棚咖_ 2 p 尹 4 g 2 _ 0 ( 4 1 3 ) 将( 4 1 3 ) 式整理得 2 【警6 谨+ 警6 _ ( 6 s o _ 2 q 4 + ( 4 6 2 四+ 1 0 p 6 m g 2 + 2 舻 一4 p 2 g 2 ( 4 1 4 ) 将( 4 1 2 ) q 4 一( 4 1 4 ) 卢整理得 2 亟篱乎6 知a 4 2 煎筹掣扩p 2 q 2 = 4 6 2 6 m g 2 a 4 + 6 6 m g 孑+ 2 6 2 r o o 一 一4 6 2 ，n g 翟p q 2 1 0 6 m g 2 p 2 a 2 2 n ) 0 卢2 q 2 + 4 卢3 妙m g 孑 ( 4 1 5 ) 1 1 将( 4 1 5 ) 式整理得 2 煎铲6 七一6 6 m 四】q 2 ( 。2 一朗= ( 4 四a 2 + 2 伽q 2 4 四) ( 6 2 a 2 一朗( 4 1 6 ) 因( 6 2 a 2 一p 2 ) 不能整除( q 2 一p 2 ) 和a 2 ，所以存在r = 丁( z ) 使得 4 6 m g 2 q 2 + 2 n ) 0 a 2 4 卢鲈m g 翟= 7 a 2 ( q 2 一p 2 ) ， ( 4 1 7 ) 2 产扎6 6 仇四刮6 2 以朗 ( 4 1 8 ) 将( 4 1 7 ) 式整理得 4 p 锄g ：= ( 4 6 m g 2 + 2 r 0 0 一r q 2 + 丁p 2 ) q 2 因为a 2 不能被p 整除，所以我们有 其中p = p 七可七是q 的射影因子 g 蛩= 口q 2 ， ( 4 1 9 ) 4 p p = 4 6 m g 2 + 2 咖一丁n 2 + 7 p 2 ( 4 2 0 ) 2 定理4 1 的证明 必要性：因为q 是局部射影平坦的，所以由( 4 1 9 ) 式我们有 兄= 譬= 警矾 其中p q 是a 的射影因子所以， g 2 = 日可m 所以我们有 h 钟= 卵 将( 4 2 2 ) 式代入( 4 2 0 ) 式得 r i ) o = 寺7 - ( q 2 一p 2 ) 1 2 ( 4 2 1 ) ( 4 2 2 ) ( 4 2 3 ) 将( 4 2 1 ) 和( 4 2 2 ) 代回到( 4 1 8 ) 式得 2 6 七日七q 2 2 口p = 下( 6 2 q 2 一p 2 ) ( 4 2 4 ) 其中钆：= 券将( 4 2 4 ) 式整理得 ( 2 6 七p 七一1 6 2 ) a 2 = 2 p p 一7 - p 2 因为2 卵一丁p 2 不能整除q 2 ，所以 2 矿巩一r 6 2 = o ， ( 4 2 5 ) 2 口p 一下p 2 = 0 ( 4 2 6 ) 将( 4 2 5 ) 和( 4 2 6 ) 式解出得 口2 弘 ( 4 2 7 ) 将( 4 2 1 ) ，( 4 2 2 ) ，( 4 2 3 ) 和( 4 2 7 ) 代入( 4 7 ) 式得 4 6 七日p + 丁6 七( 口2 一p 2 ) + 6 眵魄一2 ( p 七q 2 + 2 p ! ，七) 一2 p ( 口知p + 6 七p ) + 6 卢8 o 一2 p 7 七o = o ( 4 2 8 ) 由( 4 2 3 ) 得。7 七o = 7 ( 鲰一6 知p ) ，将其代入( 4 2 8 ) 式得 s 加= 0 ( 4 2 9 ) 所以p 是闭的现在我们要分两种情形来讨论 当丁= o 时，p = o 此时显然有玩i j = o ，g 翟= 0 ，所以 兄 = a 妒+ 成k = 0 即f 是只与( 扩) 有关的，所以f 是局部闵可夫斯基的 当下o 时，因q 是局部射影平坦的，卢是闭的，所以f 是局部射影平坦的由( 4 2 3 ) 式和文献【7 】可知，f 是具有殆向s 曲率的，且s = 三( 佗+ 1 ) f 又因为f 是局部射影平 坦的，所以其具有标量旗衄率k ( z ，可) 再加上f 是具有殆向s 曲率的，令下= 4 c ，则 r = p = 2 印，所以我们有： 脚= 掣：_ c 2 一字； ( 4 3 。) 酢川= 竿机 ( 4 3 1 ) 1 3 其中盯= 盯( z ) 是一标量函数 综合( 4 3 0 ) ，( 4 3 1 ) 得 将( 4 3 2 ) 展开并整理得 由多项式原理我们有； 墼笙：一c 2 一仉 _ _ _ - - = 一r ：一 f 。 4 c 砂膏+ ( c 2 + 盯) p + ( c 2 + 盯) q = o c 2 + 盯= 0 ； 4 * 矿+ ( c 2 + 口) p = o ( 4 3 2 ) 所以我们有t 秒知= o ，将其代入( 4 3 0 ) 式我们有，k ( z ，可) = 一c 2 ，此时c 是常数因 为q 是局部射影平坦的，所以由b e l t r 锄i 定理 8 】可知q 是具有常数曲率的黎曼度量，且 a 局部等距于b n ( ) cr “上的度量q 肛 旷迦亟黑产 ( 4 3 3 ) 由( 4 3 3 ) 式得 昂一等并 ( 4 3 4 ) 将r = 2 c p 代入( 4 3 4 ) 式得 p = 誉辫 所以f 局部等距于户= 遛珂丑焉器她 其中肛= 一4 c 2 当c = 日寸 p 可以表示为 户：迦亚攀磊产坠业 此时，户是f u c k 度量 充分件：显然 1 4 2 定理4 2 的证明 必要性：将( 4 1 9 ) ，( 4 2 0 ) 代入( 4 1 8 ) 式得 6 口p + ( 2 9 七扩一7 - 6 2 ) a 2 + 下p 2 2 p p = 6 h g 管( 4 3 5 ) 又由( 4 1 9 ) 和( 4 2 0 ) 有 紫地a 2 + 2 1 了一= 口l ( 1 十z 口t ，厶 劬知”q ” ( 4 3 6 ) 坌g 苦爹手型= p 知卢+ 6 知口一r 加+ 三鲰一三6 七p ( 4 3 7 ) 将( 4 3 6 ) 和( 4 3 7 ) 代入( 4 7 ) 和( 4 8 ) 得 2 巩卢口一2 口知2 + ( 下6 七一2 口七) q 2 + 6 0 m 七g 2 4 口耖七一7 - 励七+ 6 p s 加= o ，( 4 3 8 ) 6 8 七o + 2 6 k p 一4 p 七+ 7 6 南明q 2 7 - 卢? 可七+ 6 p o m 七g 2 4 p p 妙七= 0 ( 4 3 9 ) 将( 4 3 8 ) p 一( 4 3 9 ) 得 6 s 七o ( 2 一q 2 ) + 2 ( 6 七口一口知p ) ( p 2 一a 2 ) = 0 ( 4 4 0 ) 因p 是闭的，所以由( 4 4 0 ) 式有 即 将( 4 4 1 ) 式代入( 4 3 5 ) 式得 6 七p 一以p = 0 ， 2 6 2 p 一2 6 南以p = 0 ( 4 4 1 ) ( 6 2 a 2 一卢2 ) ( 2 p 一下卢) = 6 p ( 6 m g 2 一p p ) ( 4 4 2 ) 因为( 6 2 a 2 一卢2 ) 不能整除6 p ，所以我们有 6 m g = 一口p = e ( 6 2 a 2 一p 2 ) ， 其中e = e ( 。，掣) 是m 上的标量函数 2 p 一7 p = 6 e p 1 5 ( 4 4 3 ) ( 4 4 4 ) 由( 4 4 3 ) 和( 4 4 4 ) 我们有 g 管= e 6 2 q 2 + p 卢一e p 2 ， 口= 警p 将( 4 4 5 ) 代入( 4 2 0 ) 式得 ( 4 4 5 ) ( 4 4 6 ) n ) o = ；( q 2 一p 2 ) + 2 e ( p 2 6 2 q 2 ) ( 4 4 7 ) 又因为p 是闭的，所以 玩u = ；( o 巧一玩幻) + 2 e ( 6 t 幻一6 2 口巧) ( 4 4 8 ) 将( 4 4 0 ) 和( 4 4 6 ) 代入( 4 3 8 ) 式我们有 n m 如g 2 = e q 2 6 七+ 秽可知一e p s 知 ( 4 4 9 ) 将( 4 4 9 ) 式用知缩并得 g ：= 口十e 0 2 6 l e p ( 4 5 0 ) 当= o 时，由( 4 5 0 ) 式由我们知道，此时q 是局部射影平坦的所以由定理4 1 我 们有后面的结果 充分性。显然 1 6 五、局部对偶平坦的平方r a n d e r s 度量 本节我们用前面的方法来研究局部对偶平坦的平方旺l d e r s 度量，主要得到下面的 结果 定理5 1 ( 【9 】) ( m ，f ) 是3 ) 维的f i i l s l e r 空间，f = 延笋是平方r 加d e r s 度量， 其中a ：= 、n 巧矿矿是局部射影平坦的黎曼度量，p ：= 6 t 扩是1 形式，s = 鲁则f 是局部 对偶平坦的当且仅当f 是局部闵可夫斯基的 定理5 2 ( 9 ) ( m ，f ) 是3 ) 维的f i i l s l e r 空间，f = 延是平方r a n d e r s 度量， 其中a ：= 、卢巧矿矿是黎曼度量，p ：= 阮矿是闭的1 形式，s = 鲁则f 是局部对偶平坦的 当且仅当f 是局部闵可夫斯基的 1 局部对偶平坦的平方酗n d e r s 度量 由局部对偶平坦的定义【f 2 】z - 矿犷一2 【f 2 】d = o ，令a ：= 【f 2 k b ：= 【f 2 】z t 矿矿通过 计算我们有 a 嘲( 1 + s ) 3 【字箐跏+ 2 哳卅2 6 m 等卜 ( 5 1 ) b ：【6 ( 1 + s ) 2 6 l + 型芝 丛】( 掣g 孑砌o o + 4 6 m 钟) 恤( + 8 ) 3 ( 一2 字鲕四+ 字等