（基础数学专业论文）平移不变空间中的若干采样问题.pdf

中山大学博士学位论文 中文摘要 平移不变空间中的若干采样问题 专业 博士生 导师 基础数学 强晓风 林伟教授 摘要 采样问题是信号处理中的一个最基本的问题。为了能够有效地恢复信号，需要解 决两方面的问题。首先要清楚对特定空间中的函数，当采样集合满足什么条件时，才 可以稳定唯一地重建原始的信号。其次，一旦可以稳定重建，设计快速高效的算法， 就是另一个急待解决的问题。 本论文主要研究平移不变子空间中的采样问题。 第一章主要介绍了采样问题的发展状况，并且介绍了框架、再生核等与采样密切 相关的基本概念和性质。 第二章我们主要研究了加权日( j 产) 空间的平移不变子空间( 圣) 上的非均匀采样问 题。其中 磁( 圣) = r t 农( 一老) ，c = ( ) 瑶( z 8 ) ，i = l ，- 一，r ) = 1k e z d 这里生成函数西w i ( 既) ，w ( 日) 是w i e n e r - a m a l g a m 空间，其上的范数定义为 忖) 。三锄。烈m 堋m 一1 坼o 。 川( l 铲) = s u 曼。s u p f ，( 嚣- t - k ) l - ( k ) ，p = o 。 i e 2 d z f o ，l p 第1 页 中山大学博士学位论文中文摘要 w 0 ( 吃) 是( e 1 ) 中的连续函数组成的闭子空间。”和u 都是f 一上的正的对称的连续函 数，且u p + 们u ( z ) ) ， 扛+ ) 茎e 0 ( z ) 口( 可) ，其中g 为正常数。在这样的空间 中，考虑平均采样 ( f ) = ，( z ) 如( z ) 出 其中平均函数也，反应了具体的采样设备的特征，厶a = l 。设x = b j ，其 中l ，为可数集，当x 是均匀采样集时，u n s e r 等 5 3 1 研究了当也；= 妒( 一巧) 时加权平均 采样和重建的问题。当p = 2 ，r = 1 ，d = 1 ， = 1 时，s u n 和z h o u 7 5 在假设 s 蜊( ) c x i 一；，+ ；】，0 ( * + ) 时研究了均匀采样问题ag r s c h e n i g1 4 6 l 证明了若l q + l 一 6 0 使得 a i i f t t ( i f ( x ) 1 2 婷b t t f t l z x 则x 也一定是懈( 西) 的稳定采样集 a i i i i 碍( i ，( 。) l ，m ( z ) ，) ；s l l f l l l 不 2 x 此结果打破了以前人们认为加权空阃骡诤) 中的稳定采样集一定要比y 2 ( 圣) 的更密一些 的观点。 关键词：非均匀采样，多生成平移不变子空间，加权平均采样，积分增量采样，重 建，迭代算法，r i e s z 基，局部化框架。 第1 i i 页 中山大学博士学位论文英文摘要 s 。m es a m p i i n g p r o s p b a l e c m e s s i ns h i f t i m r a r i a n t m a j o r ：b a s i cm a t h e m a t i c s n a m e ：q i a n gx i a o - f e n g s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rl i nw e i a b s t r a c t t h es 帅p l i n gp r o b l e mc o n s i s t so ft w om a i np a r t s ： ( 1 ) g i v e nac l a s so ff u n c t i o nv o nr 4 ，f i n dc o n d i t i o n so ns a m p l i n gs e t sx = 锄 r 8 ) j j ，w h e r ej i sac o u n t a b l ei n d e xs e t ，u n d e rw h i c haf u n c t i o n ，vc a nb er e n - s t r u c t e du n i q u e l ya n ds t a b l yf r o mi t ss a m p l e s ，( q ) ) e x ( 2 ) f i n de f f i c i e n ta n df a s tn u m e r i c a la l g o r i t h m sw h i c hr e c o v e ra n yf u n c t i o n ，v f r o mi t ss a m p l e so nx i nt h i sp a p e r ，w em 8 i i l l yc o u c e r nw i t ht h es a m p l i n gp r o b l e mi ns h i f t - i n v a r i a n ts p a c e s i nc h a p t e ri ，w ei n t r o d u c et h ed e v e l o p m e n to ft h es a m p l i n gp r o b l e m w ea l s o p r e s e n ts o m er e l a t i v ek n o w l e d g ea b o u ts a m p l i n g i nc h a p t e ri i w es t u d i e dt h es a m p l i n gp r o b l e mi nt h ec o n t e x to fs h i e i m n a x i a n t s u b s p a c e so ft h ew e i g h t e ds p a c e s 圮( 掣) g e n e r a t e db y 垂w o ( 耽) 7 ，t h a ti s w ( 壬) = q k 啦( 一女) ，q = ( q ) 曙( z 。) ，i = 1 ，r ) i = 1k z d w h e r e ”a n dud r ew e i g h tf u n c t i o n t ot a k ei n t oa c c o u n tt h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h ea e - q u i s i t i o nd e v i c e s ，aw e i g h t e da v e r a g ev a l u ei nt h en e i g h h o r h o o do fz ，i s , 3 s s u m e d t h i s m e o j l st h a tt h es a m p l e dd a t ai so ft h ef o r m ， 一 ( ，) 2 上。，( z ) ( z 冲 第1 v 页 中山大学博士学位论文英文摘要 w h e r el 噼曲z = 1 e a c hf u n c t i o n 邙qr e f l e c t st h ec h a r a c t e r i s t i co ft h es a m p l i n gd e v i c e u s e dt om e a s u r et h ea v e r a g es a m p l i n gv a l u eo f i nt h en e i g h b o r h o o do fz 3 w h e nt h e s a m p l i n gs e ti su n i f o r m ，u n s e re ta l 【5 3 】s t u d i e da v e r a g es a m p l i n gu n d e rt h ea s s u m p t i o n 妒。，= 妒( 一x j ) f o r p = 2 ，r = 1 ，d = 1 ， = 1 ，t h ec a s e o f u n i f o r ms a m p l i n g w i t hm u l t i p l e d e v i c e sh a v eb e e ns t u d i e db ys u na n dz h o u 【7 s ，u n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a t s 唰( ) c b 一：，+ ：l ，0 ( + ；) f o rn o n - u n i f o r ms a m p f i n g ，g r s c h e n i g 【4 6 lp r o v e dt h a ti fi q + 1 一l 兰6 以2 ，t h e na n y b a n d - l i m i t e df u n c t i o n ，w i t hs u p p ( f ) c 【一i 1 ， 】i su n i q u e l yd e t e r m i n e df r o mi t sa v e r a g e s ，p r o v i d e dt h a t ( ”) h o l d s h ea l s os h o w e dt h a t ，c a nb er e c o n s t r u c t e d b yi t e r a t i v ea l g o r i t h m s s u na n dz h o u 【7 9 1a l s os t u d i e da v e r a g es a m p l i n gu n d e rt h e a s s u m p t i o n ( ”) ，a n d ( + ) b e i n ge v e na n dn o n d e e r e a s i n go n 【0 ，封t h e yg a v ed e n s i t y c o n d i t i o n so nxa n dd e r i v e df r a m ea l g o r i t h m sf o rt h er e c o n s t r u c t i o n t h e ya l s og a v e b o u n d s0 nt h ee r r o ro fr e c o n s t r u c t i o nw h e nan o n - b a n d - l i m i t e df u n c t i o n si sr e c o n s t r u c t e d b yt h ef r a m ea l g o r i t h m s f o rv = 1 ，a l d r o u b ie ta 1 【7 g a v ed e n s i t yc o n d i t i o n so nx u n d e rw h i c haf u n c t i o njc a nb er e c o n s t r u c t e db yi t e r a t i v ea p p r o x i m a t i o n - p r o j e c t i o n a l g o r i t h m s ( a pa l g o r i t h m sf o rt h ea b b r e v i a t i o n ) ，a n dt h ec o n v e r g e n c er a t e so ft h ea - p a l g o r i t h m s i nt h i sp a p e rw es t u d i e dt h ew e i g h t e d - a v e r a g es a m p l i n ga n dr e c o n s t r u c t i o n p r o b l e mi nt h ew e i g h t e dm u l t i p l yg e n e r a t e ds h i f t - i n v a r i a n ts p a c e sw ( 圣) w ep r o v e d i 1 i l l e2i i 1 1 w ( l e ) “i _ r1i l q l h + ，8 0w ec a ng i v et h ed e n s i t yc o n d i t i o n so nx a n dt h e i t e r a t i v ea l g o r i t h m s i nc h a p t e ri i i ，w ei n v e s t i g a t et h er e c o n s t r u c t i o no fab a n d l i m i t e ds i g n a lf r o mi t sn o n - u n i f o r mi n t e g r a ls a m p l e sd a t a ( 奶) = 最t f ( x ) d x ，w es h o wt h a ti ft h en o n - u n i f o r m s a m p l i n gs e ti saf i n i t eu n i o no fu n i f o r ms a m p l i n gs e t s ，t h ea p p r o x i m a t i n gp o l y n o m i a l s w i l ly i e l dt h ee x p l i c i tr e p r e s e n t a t i o n 删2 丽1 若nk b 。邑) 谢 s oi tw i l lb ec o m p u t e dm o r ee a s i l y , w ea l s og i v et h en u m e r i c a le x a m p l e s ， 第v 页 中山大学博士学位论文 英文摘要 i nc h a p t e ri v w ea l s oi n v e s t i g a t et h ef r a m eo ft h ew e i g h t e dm u l t i p l yg e n e r a t e d s h i f t i n v a r i a n ts p a c e s 嘿( 圣) = ，；c l k ( 一七) ，c i = ( q k ) ( z 6 ) i = 1k e z d w h e r er a ( x + t ) c ( z + 1 z i p r e ( t ) ，s 0 w ep r o v e 如) xi sal o c a l i z e df r a m ef o rt h e r e p r o d u c i n gk e r n e lh f l b e r ts p a c e sv 2 ( 垂) ，w h e r ej 0i st h er e p r o d u c i n gk e r n e lf u n c t i o n s a c c o r d i n gt o1 4 5 j ，w ek n o wt h a t j 毛) xm u s tb e & b a n a c hf r a m eo fl 儡( 垂) ，i ft h e s a m p f i n gs e tx = q ) j j i sas t a b l es a m p l i n gs e ti nv 2 伸) ，s oi tm u s tb eas t a b l es a m p l i n g s e ti n 叼( 西) ，a tt h es a m et i m e ，t h ef r a m er e c o n s t r u c t i o n ，= “xf ( x j ) j i sn o to n l y v a l i di n 俨( 垂) ，b u ta l s oh o l 凼i na l l ( 圣) w eg e n e r a l i z et h er e s u l t so fg r 6 c h e n i gt o m u l t i p l yg e n e r a t e ds h i f t i n v a r i a n ts p a c e s k e yw o r d s ：n o n - u n i f o r ms a m p l i n g ；m u l t i p l yg e n e r a t e ds b i f t - i n v a n a n ts p a c e s ； w e i g h t e d - a v e r a g es a m p l i n g ；i n c r e m e n t a li n t e g r a ls a m p l i n g ；r e c o n s t r u c t i o n ；i t e r a t i v ea l - g o r i t h m s ；r i e s zb a s i s ；l o c a l i z e df r a m e ， 第v i 页 中山大学博士学位论文第一章引言 第一章引言 1 1 信号空间 做信号处理时，我们先得到信号在上的子集x = b j 上的采样值， 接下来就是要利用这些值来恢复原始信号。由于在同一个采样集合k 上具有相 同采样值的函数非常多，所以般总是先对信号做某些限制，这样才能使采样 问题变得有意义。通常我们总是假设信号是频带有限的，所谓频带有限。是指 当q = 萨一【一u ，u i d 时，( f ) = 0 ，其中u 0 0 ，( f ) = 厶。，( z ) e 一2 丌i f p d x 。 通常我们把这样的空间记作风l 。做这样的假设，是因为在1 9 1 5 ：年w h i t t a k e r 4 1 l 在 复分析中得到的一个经典的结果，即当维数d = 1 时，i - l i l b e r t 空间b ! 中的频带有 限函数，可由其均匀采样t ，( 矗) ) 。z 重建，即 弛) = m ) s l n c 扛一) ( 1 1 ) 七z 其中s 轨c ( z ) = 巫警。这个级数展开在1 9 4 9 年被s h a n o n 在其论文中【2 1 l 引用，从 而奠定了s h a n o n 的均匀采样的理论基础，在现代电子工程领域产生了巨大的影 响。上式告诉人们如何把模拟信号转换戍一系歹l j 离散点上的采样值，如何从信号 在离散均匀点上的采样值恢复原信号，使得便于编写计算机代码对信号进行数值 处理。虽然s h a n n o n 的采样定理形式优美，但由于实际应用中所处理的信号或图 像大都不是频带有限的，而且由于 s i n c 函数的衰减比较慢，使得上式在实际应用 中很少真正被使用，人们更习惯使用较简单易行的方法，比如线性插值等。但 是 _ s h a n n o n 采样理论依然对现代的采样问题具有重要的指导意义。 仔细观察上式，不难发现 第1 页 中山大学博士学位论文 第一章引言 = s i n c ( z k ) s i n c ( z f ) d 叠 。一* ( 1 2 ) = s i n c ( k z ) = 以一z g p s i n c ( x 一) ) k z 是规范正交序列。若令 y 2 ( s i n c ) = ，l 2 ( r ) ，f = c k s i n c ( 一七) ，c = ( c k ) f 2 ( z ) ) ( 1 3 ) k e z 则显然 s i n c ( x 一) k e z 是此空间的标准正交基，i 雨r v 2 ( s i n c ) 是l 2 ( 固的平移不 变子空间。当所处理的信号，是能量有限的，即，l 2 ( r ) 时，先对，做预处 理，五= 奴n ，其中x n 是n 的特征函数，得到的，n 就是频带有限的，然后对厶做 采样，通过重建公式重建丘，接着再做处理，就可逼近原来的信号，。整个过程 等价于对l 2 ( r ) 的函数，在v 2 ( s i n c ) 空闻中找它的最佳逼近。这种思想可以推广到 更一般的平移不变子空间。 考虑更一般的平移不变子空问 y ( 1 p ) = ，( z ) = c ( 七) 妒忙一缸) ) ( 1 4 ) k e z 其中妒( z ) 是连续的，我们称它为y ( 妒) 的生成函数。为使此空间定义合 理，一般要求( 1 4 ) 式中的系数 c ( 膏) ) k z z 2 ，而且 妒= p 一) 孑是v ( v ) 的r i e s z 基。r i e s z 基是h i l b e r t 空间中由一个标准正交基通过有界可逆算子得到的。 由r i e s z 基的定义，我们知道存在两个正数0 a ，b + o o ，使得 a i l c i i 2 | | c ( ) 妒 ) 0 2 b i i c l l 2 v c = c ) ) k z 2 2 ( z )( 1 5 ) k e z 从上式可知基函数 = 妒扣一k ) h 明是线性无关的，( 1 5 ) 中的第二个不等式 也说明y ( 妒) 是工2 ( r ) 的闭子空间。当a = b = 1 时， 慨) 旌z 是y ( 1 p ) 的标准正交 基。由p a r s e v a l 等式 o c ( 舟) j p 幢一i c ( ) e - i 2 1 r k ( 钟 zk e z 第2 页 中山大学博士学位论文第一章引言 。z 1i 乏啪矿渤叩i e z 瞰汗武 | | c 1 1 2 2 羡忙 ) 1 2 2j ( 1k 邑e c ( e 一2 柏q 2 必 z 。” z n - - j 知( 1 5 ) 在频域上的等价形式为 a 冬l 徘+ 0l 2 口妣( 1 ，6 ) 由于s i n c 函数是矿2 ( s i n c )标准正交基，所以自然满足( 1 5 ) 式。但是由 于s i n c 函数在时域上的局部性太差，可以选取形式更为简单，衰减更快的生 成函数。比如在应用中常见的礼阶基数b 样条。设 悱1 鬟 ， 则用此函数与自身重复做卷积，就得到n 阶b 样条 最( 。) = b o ( x ) 玩一l ( x ) t t l( 1 8 ) n 阶b 样条在时域上对称，支集有限。除了t t = o ) b ，其它阶b 样条的平移彼此 不正交。选取生成函数妒( z ) = b n ( x ) ( n 1 ) ，可知妒( z ) 满足r i e s z 基条件( 1 5 ) ，我 们把这样的空间叫做样条子空间。其中v ( b 1 ) 对应的平移不变子空间就是在信号 插值算法中最常用的分段线性插值。 随着小波分析的发展和广泛应用，我们注意到，在小波分析中的多尺度 分析里的空间也是平移不变子空间。因此小波分析与采样问题自然有紧密 联系 2 3 ，5 9 ，7 2 ，7 3 】。所谓的多尺度分析( m r a ) ，是指在驴( r ) 上的闭子空间序 列 嵋：j z ) 满足条件 c 让lc c c 第3 页 中山大学博士学位论文 第一章引言 c l o s l 。( u k zv j ) = l 2 ( 功 n z 巧= o ) ，( 。) 巧车 i ( 2 x ) y j + 1 ，j z 存在尺度函数妒( 。) v o ，使得和扛一k ) ) z 是的一个r i e s z 基。 尺度函数妒( z ) 除了满足m e s z 基条件以外，还满足两尺度关系，即l p ( 。) = z p ( ) 妒( 2 。一砷，为了得到一些希望的性质，通常还对妒( 。) 做以下假设 妒工1 ( r ) z 妒囊+ ) = l 8 e p ( ) z z 1 其中( 2 ) 的假设称为妒( 。) 的单位划分性质，它是为导出m r a 中空间巧的稠密性的 一个标准假设。由p o i s s o n 求和公式，有 1 = 妒协+ k ) = 烈七) e 洳2 烈) = 靠 ( 1 9 ) k 6 z知三 这里当k 0 ，如= 0 ，否则以= 1 。 这个条件s i n e 函数和b 样条都是满足的。除了考虑单生成的平移不变子空间 外，多生成平移不变予空间 w p ( i ，办) = 咖和一j ) ，c i = ( 叼) 鳄( z 。) ) ( 1 1 0 ) i = l j e z 在有限元和逼近理论中被人们使用【1 9 ，2 0 ，2 7 ，6 3 - 6 5 ，在近几年也得到了广泛的研 究【2 ，4 ，9 ，4 0 ，7 0 。考虑到实际应用中获取信号的设备的具体特征，一般假设得到 的采样是在点z t 附近的平均值。即形如 踟，( ，) 2 厶m ) ( z ) 如 ( 1 1 1 ) 第4 页 中山大学博士学位论文 第一章引言 的采样，其中昏妒q = 1 ，讥，反应了测量，在q 邻域的采样设备的特征 当采样集是均匀采样集时，u n s e r 等【5 3 】研究了当也，= 妒( 一z ，) 时加权平均采 样和重建的问题。当p = 2 ，r = 1 ，d = 1 ，v = 1 时，s u n 和z h o u 【7 5 】在假设 工j s u 删( z 1 ) c x j 一；，即4 - 习，妒0 ( 1 1 2 ) 时研究了均匀采样问题。g r 6 c h e n i g 4 6 1 i t 正明了若b + 1 一巧i 墨d o 测对每个 o ，当o 2 岫1 ，有 ，( z ) = ”，( n v ) 孔。s i u c m ( x ) ( 1 i s ) n e z 其中r 是平移算子，即t y f ( x ) = ，扛一) ，s i n c 。( z ) = 血哿姓。( 1 1 3 ) 中的级数 在驴( 劭上依范数收敛，在冗上一致收敛。 s h a n n o n 采样定理的证明很多书上都能找到我们在这里只是简单说明一下， 它可由关于j 分布的p o i s s o n 求和公式得到。 k ”= ：a n v ( 1 1 4 ) n z n e z 设 是，的采样，即 ( 。) = ，( 。) n e z 则 五) = ，；( 如，如) = ( ：如”) ( u ) n e z 由于s 牡卯( 夯【一蛐，岫】，而且；2 w 0 ，则有 ，( u ) = 哺( u ) x 一。m 从而有 m ) = ”f ( n v ) 5 ( x n ”) 蜥 ( 髫) ) n e z 第6 页 ( 1 1 5 ) 一 一， 唪 、，、， 他一扩 n 一扩 一 一 舢 咄脚 l一1一扩 | f = 中山大学博士学位论文 第一章引言 = ”，( n v ) 孔。s n ( z ) n z 在平移不变子空间y ( 妒) 上的均匀采样问题， 吾j s h a n n o n 采样定理类似，借 助p o i s s o n 求和公式和m 。z 基性质可以得到相应的解决【6 ，8 。 本论文主要讨论非均匀采样问题，所以对均匀采样问题不做详细的讨论。 5 1 3 非均匀采样问题 很多时候我们只能知道信号的非均匀采样，比如在通信中，当从均匀采样 信号丢失了部分数据后，得到的就是非均匀采样。这种情形通常被称为丢失 数据问题。它的产生一般都是因为存储设备的的部分损坏，如c d 上的割痕等 等。还有医学图象，比如c t 和磁共振( m r d 得到的一般都是非均匀采样【2 4 ，3 8 】。 它还在地质 5 2 ，光学 7 1 】和一般的信号图象处理【1 6 ，2 5 ，5 4 ，5 s ，生物医学图 象【2 4 ，3 7 ，4 8 ，7 l 】等领域广泛存在。关于更多的非均匀采样的应用可参考【3 9 】 由于采样间隔的不均匀，使得f o u r i e r 分析的工具在非均匀采样问题上的使用 碰到了困难，p o i s s o n 求和公式不能被再使用。很多关于非均匀采样的研究都是设 定信号是频带有限时进行的。 对 ，( z ) = ，( 自) s i n c ( x 一) ( + ) 量z 两端取f 0 u r i e r 变换，注意至4 8 i n c 函数的f 0 u r i e r 变换是) ( 【一i 2 , 1 2 】r 则对每个 卜；， 】，郡有 氕f ) = ，( ) e 打蜒= l 。【_ ， 】e 2 ”螬 ( 1 1 6 ) 量七 因此( ) 式相当于说t e 2 丌) k z 是l 2 【- ；，韵的标准正交基。我们称它为调和 的f o u r i e r 基( h a r m o n i cf o u r i e rb a s e s ) 。调和f o u r i e i 基和频带有限函数的均匀采样的 第7 页 中山大学博士学位论文第一章引言 重建过程之间的等价关系已被用来处理某些特殊形式的非均匀采样数据。 尤其是p a l e y 和w i e n e rf 删，k a d e cf 5 1 】等人在非调和f o u r i e r 基n o n h a r m o n i cf o u r i e r b a s e s ) e i 2 丌。“，膏z ) 上所得到的结果，可以看成是关于非均匀采样和频带有限函 数的熏建的结果。p a 崎和w i e n e r 在 6 0 】中指出，如果x = q ) j z r ，使得b 一 引 7 r - 2 则& 中的函数，完全可由其采样 ，( q ) b z 重建。d u m n 和e a c h u s 证实 若b 一引0 2 2 6 2 】，同样可以重建。k a d e c 证明了最大上界常数为0 2 51 5 1 】。具 体地说，当x ； 巧r ，1 一j l l 0 ，使得 l j j 1 2 b i i 矗l | 各v h 丑 ( 1 1 9 ) 七 其中b 叫做b e s s e l 界。 从上面的定义可以清楚地知道 e ) 是b e s s e l 序列，当且仅当 一( 汀 ) k e z 是从日到2 2 的有界映射。更进一步，我们有 引理1 2h i l b e r t 间日中的序列 8 i ) z g _ 界为b 的b e s s e l 序列，当且仅当 线性算子t 为有界算子， 0 0 t ：f 2 一h ，t ( c ) = c k e k ( 1 2 0 ) 七= l 上式中的级数是依范数收敛的。t 的伴随算子 若s ：刀，则 t ：日_ f 2 ，t + h = ( ) ( 1 2 1 ) 证明 ( 【3 4 】，p 1 0 1 ) 号 l i t i l 2 = i i t i i = l i s l l b 第9 页 ( 1 2 2 ) 中山大学博士学位论文 第一章引言 s u pi l l h l l h = 1 盏 s u p l l l h l l h = 1 ：； c 卦2 弘怕s 怕u p o 薹i 鸲，圳2 p 。删 sb ；( 川2 ) 上面的第一个等式是由r i e s z 表示定理得到的，第三个不等式是 c a u c h y - s c h w a r t z 不等式得到的，由于c = 慨) f 2 ，所以当n o ，n l _ 。o 时，( i 二。l c n l 2 ) 一0 ，从而可知是l c u e 。依范数收敛，而且由于 日= = c k h = p ( 1 2 4 ) k = l k m i i t c l l = s u p l l h l l 。：ll i = s u p l l h l l 。：1i 甚1 a n i b 钏c 怯， 得l i t 8s8 ，并且 l i t i l 2 = i i t + | | 2 = i i t t l | = 0 p t lsb( 1 2 5 ) 乍显然。 定义1 2 对每个b e s s e l 序列 铅 z ，把映射 0 0 t ：z 2 一h ，t ( c ) = c k e k ( 1 2 6 ) k 1 叫做合成映射，伴随算子 t + ：日一2 2 ，t + h = ( 日)( 1 2 7 ) 叫做分解映射。 第1 0 页 中山大学博士学位论文第一章引言 定义1 3 h i l b e r t 空_ 问, 约b e s s e l & 列 ) t z 被称为框架，如果存在正 数a ，b 0 ，使得关于 氕) t z 的分解映射丁+ 满足 a l l h l l 2 ij t + 酬2 b l t h 1 2 v h h ( 1 2 s ) 若a = b ，则称 a k e z 为紧框架。若从 ) k z 中任意移去一个，就不再是框 架，昊7 j 称为无冗余的框架， 定义1 4 设t 和p 是关于框架 ) z 的合成映射和分解映射，则称s = t t + 为框架算子。即 s ：h 一日，s h = a v h h ( 1 2 9 ) k 定义1 5 x 为赋范线性空间，p ：d ( p ) 一x 是d ( p ) o ) 垦x 上的线性算 子，设最= p a i ，其中a 为复数，i 是d ( p ) 上的单位映射。若最有逆r ( p ) ，即 r ( p ) = j 了1 = ( 尸一a ，) 一1 ( 1 3 0 ) 则称a 为p 的正则值，设p ( 尸) 表示p 的所有正则值的集合，则盯( p ) = c p ( p ) 叫 做p 的谱 口( p ) 叫做p 的谱点。 定义1 6复h f l b e r t 空间h 上的有界自共轭线性算子n ，噩：日一日，称噩 噩或死噩，当且仅当 ，v h 日。谈乃是正的，当且仅 当丑20 。 定理1 3设咦h 曲e r t 空间h 的序列 ) z 的合成映射。若s = 订”，则下 列说法等价。 ar l h l l 2 l 1 2 b l h l l 2 a i ss 墨b i 第1 l 页 中山大学博士学位论文 第一章引言 a = m i n a ( s ) ，b = m a x a ( s ) 证明 ( 1 ) 营( 2 ) l 1 2 = l i t + 1 1 2 = = = ( 1 3 1 ) 屉 而且s = 盯”是自共轭算子，等价显然。 ( 2 ) 甘( 3 ) s 是线性有界自共轭的正算子，因此有口( s ) 【m ，m 】，其中m = i n f l l i i ：l = a ，m = s u p l l h l l ；1 = b 。证得。 定理1 4 设s 是关于框架 ) 的框架算子，则有 s 是正的自共轭算子，且有有界自共轭逆算子s 一1 若日是复h i l b e r t 一= _ 间，则t 五= s - i ) 也是框架，其框架算子为s 一，界 为击，击。