（基础数学专业论文）拟banach空间的正交性.pdf

论文题目；拟b a n a c h 空间的正交性 专业。基础数学 硕士生；薛建明 指导教师：黎永锦 摘要 本文主要研究了拟b a n a c h 空间的正交性和p 正交投影算子首先，对b a n a c h 空间的 正交性作了系统的整理，在此基础上将b a n a c h 空间的正交性推广到拟b a n a c h 空间；接 着研究了拟b a n a c h 空间的p - 正交投影算子的性质和运算；最后把一些正交性质推广到 2 一赋范空间全文得出的结果推广和统一了许多作者的结果，对拟b a n a c h 空间和2 一赋 范空间的几何性质的研究有着重要的意义 关键词：拟b a n a c h 空间，b i r k h o f f 正交性，i s o s c e l e s 正交性，p y t h a g o r e a n 正交 性，p 正交投影算子 i i i t i t l e ：o r t h o g o n a l i t yi nq u a s i - b a n a c hs p a c e s m a j o r ：f u n d a m e n t a lm a t h e m a t i c s n a m e ：x u ej i a n m i n g s u p e r v i s o r ：l iy o n g j i n a bs t r a c t i nt h i sp a p e r ，o r t h o g o n a l i t i e sa n dp - o r t h o g o n a lp r o j e c i o no p e r a t o rw e r es t u d i e di nq u a s i - b a n a c hs p a c e s f i r s t l y , o r t h o g o n a l i t i e sw e r es u m m a r i z e di nb a n a c hs p a c e s ，a n do r t h o g o - n a l i t i e sw e r eg e n e r a l i z e dt oq u a s i b a n a c hs p a c e s ；s e c o n d l y , t h ep r o p e r t i e so fp - o r t h o g o - n a lp r o j e c t i o no p e r a t o rw e r es t u d i e di nq u a s i - b a n a c hs p a c e s ；f i n a l l y , o r t h o g o n a l i t i e sw e r e g e n e r a l i z e dt o2 - n o r m e ds p a c e s t h er e s u l t si nt h i sp a p e ru n i f ya n dg e n e r a l i z et h er e l a t e d r e s u l t so fm a n ya u t h o r s ，w h i c ha r ei m p o r t a n ti nt h eg e o m e t r yo fq u a s i - b a n a c hs p a c e sa n d 2 - n o r m e ds p a c e s k e y w o r d s ：q u a s i b a n a c hs p a c e ，b i r k h o f f - o r t h o g o n a l i t y ，i s o s c e l e s o r t h o g o n a l i t y , p y t h a g o r e a n o r t h o g o n a l i t y ，p - o r t h o g o n a lp r o j e c i o no p e r a t o r v 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：蘸屯明 日期：w c l 年主月) 6 日 学位论文使用授权声明 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆、院系资料室被查阅，有权将学位论文的内容编入 有关数据库进行检索，可以采用复印、缩印或其他方法保存学位论文。 学位论文作者签名：薛乏胡 导师魏霹卿 日期：1 年箩月易日 第一章绪论 1 1 综述 b a n a c h 空间理论产生于2 0 世纪初，由于其在数学和其它学科中的广泛应用，在2 0 世纪3 0 年代就得到了很大的发展，并很快成为一门独立的学科2 0 世纪6 0 年代以后， 不仅b a n a c h 空间理论本身有了深入的发展，而且其理论方法还深入到了矩阵论，微分方 程，最优化理论等众多数学分支，更值得注意的是它在量子力学，物理学等许多领域都 获得了广泛的应用，已经成为研究自然科学与工程技术理论不可缺少的重要研究工具 众所周知，内积空间的正交性是泛函分析的重要内容之一，是研究内积空间的重要 工具，由此产生的内积空间的投影定理，投影算子等概念更是丰富了内积空间的理论 一般的线性赋范空间尤其是b a n a c h 空间几何性质的研究，在2 0 世纪初得到了很大的发 展，随着研究的不断深入，各种正交性概念相继引入2 0 世纪3 0 年代， g b i r k h o f f 1 】是最早提出b 一正交的概念，同样是在2 0 世纪3 0 年代，b d r o b e r t s 【8 】给出了 b a n a c h 空间的r - 正交定义，由于在某些b a n a c h 空间中，r 正交的应用有较大的局限 性，r c j a m e 【1 0 】在1 9 4 5 年引入了两种新的正交性定义ti - 正交和p - 正交， 1 9 5 7 年i s i n g e r 【9 】又将上述的r - 正交的定义进行改进这些正交性概念的引入和改进不但 丰富了b a n a c h 空间的几何理论，更为b a n a c h 空间几何性质的研究提供了重要工具 设x 是实数域r 上的b a n a c h 空间，z ，y x ，当x 满足一定的条件，就可以定义 x 正交于y ，记为z 上! 对于在b a n a c h 空间上的正交性一般主要从以下几个方面来研究 它的性质： 1 非退化性：z 上a x 当且仅当a = 0 或x - 0 ； 2 对称性：z 上可且可上z ； 3 齐次性t 如果z ，y x ，有x 上y ，那么对于任意的口，b r ，有a x 上幻； 4 右可加性；如果z 上! ，且z 上z ，那么z 上+ z ； 左可加性。如果可上z ，且z 上x ，那么秒+ z 上z ； 5 右存在性：对于任意的x ，y x ，存在a r ，满足x 上a x + y ； 左存在性：对于任意的z ，y x ，存在a r ，满足a x + y 上z ； 6 右唯一性；对于任意的x ，y x ，存在唯一的a r ，满足z 上a x + 可； 左唯一性。对于任意的z ，y x ，存在唯一的a r ，满足a t , + y 上z 2 拟b a n a c h 空间的正交性 1 2b i r k h o f f 正交性 在二十世纪三十年代，g b i r k h o f f 最早给出了b a n a c h 空间上的一种正交性的定 义。 定义1 2 1 口j 设x 是实数域r 上的b a n a c h 空问，z ，y x ，若对于任意的 a r ，满足如下不等式 i | z + a 可| | i i z | | 则称zb 一正交于秒，记为z - l - by r 。c 。j a m e s 在文献【3 】中研究了在赋范空间中b 一正交性与线性泛函、超平面的关 系，而且还指出赋范空间中的每个元素都b 一正交某个过原点的超平面再由b 一正交的 定义我们有如下性质与结论： 性质1 2 2 倒( 齐次性) 如果z 上口! ，那么对于任意的a ，b r ，有a x 上且的 定理1 2 3 御设，是赋范线性空间x 上的线性泛函，h 是一个超平面，对于任 意的h h ，都有f ( 九) = 以则i ，( z ) i = l i f l l l l x l i 的充要条件是z 上日日 证明：若i ，( z ) i = i l 刘i l z l l ，对于任意的h h ，a r ，有 厂( z + a h ) j = 1 厂( z ) + f ( a h ) l = i ，( z ) j i i f l l l l x + 入 j | 从而对于任意的h h ，久r ，有陋+ a 酬陋l l ，即x 上口日 若z 上口日，设1 厂( z ) i = p l l x l l ，因为对于任意的h h ，i i x + h i l 忙i i ，所以 l ，( z + 危) l = l ，( z ) + ，( 危) i = l ，( z ) l = p l l x l l p l l z + 危l l 又因为h 是过原点的超平面，从而l i f l l = p ，i ，( z ) l = l i y l l l l x l l 推论1 2 4 ( 右存在性) 设x 是实数域冗上的b a n a c h 空间，易y x ，如果存 在线性泛函，x + ，使得i i 州= 1 ，且，( z ) = 忪i i ，f ( y ) = 0 ，那么z 上日y ；进而存在 a r ，使得zj ba x + y 证明：若存在线性泛函f x 。，使得l i 川= 1 ，且，( z ) = i i z l l ，f ( y ) = 0 ，则 ，( 。+ a y ) = ，( z ) + a 厂( y ) - - 4 ，( z ) ，v 入r 从而 i i x l i = ，( z ) = ，( z + a y ) l l ，l | i i z + a 可i l = i l z + a ! ，i i 所以z 上by 于是对任意的z = a x + y x ，取口= 亏 竽，就有z 上口2 ，即存在o r ，使得 z 上ba x + y 中山大学硕士学位论文3 注；b a n a c h 空间x 中的任意两个非零元素x ，y ，根据h a h n b a n a c h 定理，存在一个 线性泛函f 满足i l f l l = l ，且f ( x ) = l l = l l ，只要令o = 罱警，则zi ba x + y ，也就是b 一正交 性有右存在性即，b a n a c h 空间x 中的任意两个非零元素都有b 一正交右存在性 定理1 2 5i s 设x 是实数域冗上的b a n a c h 空间，易y x ，如果存在实数a ， ea b ，并且。- l - ea z + y ，z - l bb xa - 苕，那么对于a a b ，有z 上ba x + y 2 0 0 5 年杨冲在文【2 】中研究了b a n a c h 空间的g a t e a u 可微和严格凸分别与正交 性的右唯一性，右可加性和b 一正交性的左唯一性，左可加性之间的关系，并得出很好结 论我们先回顾g a t e a u 可微和严格凸的定义； 定义1 2 6 厚，5 设x 是实数域r 上的b a n a c h 空问，z x 且。0 ，点。处 的支撑泛函是指x 的共轭空间x + 中的一个有界线性泛函d 卫，满足 i i d , i l = 1 ，d z ( z ) = l i x l i 如果在点x 处存在唯一的支撑泛函d z ，则称x 半径为i i x l i 的球面的一个光滑点； 如果对于任意的可x ，t r ，极限! i _ + m 。崆掣存在，则称范数l i l l 在点x 处 是g a t e a l l 可微的；此时， r e d z ( 可) = i 觋悭掣定义了点x 处存在唯一的支撑泛函 d z ，并且d z 是x + 的单位球面的一个端点，即x 是半径为i l x l i 的球面的一个光滑点 定义1 2 7 耐设x 是一个线性赋范空间，若易y x ，当z 可，且i i = 1 l = i l y l i = 1 时，有f i 业2i i 1 ，则称x 是严格凸的 定理1 2 8 脚( 右唯一性) b 一正交性在b a n a c h 空间x 中右唯一性成立的充分 必要条件是；x 是g a t e a u 可微的 定理1 2 9 甜( 右可加性) b 一正交性在b a n a c h 空间x 中右可加性成立的充分 必要条件是；x 是g a t e a u 可微的 定理1 2 1 0 倒( 左存在性) 设x 是实数域r 上的b a n a c h 空间，对任意的乃可， 必存在一个a r ，使得a x - t - y - l bz 定理1 2 1 1 例( 左唯一性) b 正交性在b a n a c h 空间x 中左唯一性成立的充分 必要条件是；x 是严格凸的 定理1 2 1 2 用( 左可加性) x 是一个出m 3 的b a n a c h 空间，则b 正交性在 x 中左可加性成立的充分必要条件是，x 是一个内积空间 4 拟b a n a c h 空间的正交性 1 3i s o s c e l e s 正交性和p y t h a g o r e a n 正交性 在b i r k h o f f 给出了正交性定义之后，b d r o b e r t s 给出了b a n a c h 空间的另一种正 交性的定义。其定义如下t 定义1 3 1御设x 是实数域r 上的b a n a c h 空间， 毛y x ，若对于任意的 入r ，满足如下等式 | 1 2 + a ! ，i i = i i z a i l 则称zr 一正交于掣，记为z - l - ry 1 9 5 7 年i ，s i n g e r 【9 】9 将上述的r - 正交的定义改进如下形式t 定义1 3 2 御设x 是实数域r 上的b a n a c h 空间，易可x ，若满足如下等式 i i 南+ 赢忙| i 南一赢i | 则称zr 一正交于鼽记为z2 - ry 由于在某些b a n a c h 空间中，r - 正交的应用有较大的局限性，r c j a m e s 1 0 】在 1 9 4 5 年引入的两种新的正交性定义ti s o s c e l e s 正交性和p y t h a g o r e a n 正交性，弥补了r - 正交在应用上的局限性 定义1 3 3d o 设x 是实数域r 上的b a n a c h 空间，易y x ，若满足如下等式 i l z + y l i = i i z 一秒i i 则称z 工正交于! ，记为z1 1 可， 定义1 3 4d o 设x 是实数域r 上的b a n a c h 空间，毛! ，x ，若满足如下等式 一可1 1 2 = 1 i x l l 2 = 2 则称op 一正交于鼽记为z p 可 由i 正交和p 正交的定义可知，它们具有对称性，因此以下只讨论其右可加性、 右存在性、右唯一性 定理1 3 5d o ( 齐次性) 设x 是实数域r 上的b a n a c h 空间，如果- 正交在 x 中具有齐次性，当且仅当x 是一个内积空问 定理1 3 6 口印( 右可加性) 设x 是实数域r 上的b a n a c h 空间，如果i - 正交 在x 中具有右可加性，当且仅当x 是一个内积空间 由上述两个定理可知，对于i 正交性而言，齐次性和右可加性是等价的 中山大学硕士学位论文5 定理1 3 7 例( 右存在性) 设x 是实数域冗上的b a n a c h 空间，z ，y x ，则存 在一个a r ，满足z - l - ia x + y 推论1 3 8 倒( 右唯一性) 如果i - 正交性在x 中有右可加性或右存在性，那么 对任意的z ，y x ，则存在唯一的一个a 冗，满足z 1 - ta x + y 定理1 3 9 口町( 齐次性) 设x 是实数域冗上的b a n a c h 空间，如果p - 正交在 x 中具有齐次性，当且仅当x 是一个内积空间 定理1 3 1 0 口玎( 右可加性) 设x 是实数域r 上的b a n a c h 空间，如果p 一正交 在x 中具有右可加性，当且仅当x 是一个内积空间 由上述两个定理可知，对于实数域r 上的b a n a c h 空间的p 正交性而言，齐次性和 右可加性是等价的，所以有如下结论； 定理1 3 1 1 胆( 右存在性) 设x 是实数域r 上的b a n a c h 空间，对于任意的 z ，y x ，则存在一个a r ，满足z 上pa t , + y 定理1 3 1 2 俐( 右唯一性) 如果p 一正交性在x 中有齐次性或右存在性，那么 对于任意的x ，y x ，则存在唯一的一个a r ，满足。上尸a x + y 1 4 b 一正交性i - 正交性和p 一正交性之间的关系 在b a n a c h 空间中，正交性的定义并不是唯一的，有些是为了研究b a n a c h 空间的 性质而引入的，有些是为了解决某些问题而引入的各种正交性定义的引入，既丰富了 b a n a c h 空间的理论，又为解决某些问题提供了一些有力的工具前面两节讨论了b 一正 交性，p 正交性和i 一正交性的性质，下面我们讨论三种正交的关系，并从中揭示b a n a c h 空间和内积空间的关系 定理1 4 1 俺_ f 彩设x 是一个内积空间的充要条件是；对任意的z ，y x ，下列 关系之一成立s ( 1 ) z 上p 可令z 上，! ，i ( 2 ) z - l - ry 令z 上p 剪j ( 3 ) z 上日秒令z 上，秒j ( 4 ) z 1 4y 号z 上口可 定理1 4 2 口彰设x 是实数域r 上的b a n a c h 空间，7 4 f f - 任意的x ，y x ，有 z - 1 - iy 令z 上by ，则当z 是m = 却a n x ，於的光滑点时，有z - l - by 令z - 1 - iy 定理1 4 3 口影设x 是实数域r 上的b a n a c h 空间，对于任意的z ，y x ，有 z 2 - iy 兮z 上py ，那么x 是一个内积空间 1 5护( r ) ( 1 p o o ) 空间中正交性的判定 对于1sp 0 0 ，s 是有限个或可数个正整数集合，由所有满足 ( 3 0 ，0 n r ) 的元素( z n ) = ( z n ) n s 构成一个b a n a c h 空间瑶( r ) 易知b a n a c h 空间2 p ( r ) ( 1 p o o ) 上的b 一正交和i 正交的定义如下； 定义1 5 1在b a n a c h 空间护( r ) ( 1 p 0 0 ) 中，如果对任意的入r ，有 l i d + 捌k 悯l p 那么称ab 正交于b ，记为a - l - bb 定义1 5 2 在b a n a c h 空间f p ( r ) ( 1 p 1 但当礼。o o 时，一0 ，这与t 是连续的矛盾 2 2 拟b a n a c h 空间的b 一正交性 一般来讲，对于正交性的研究都始于两个向量之间的正交，与b a n a c h 空间中的正 交类似，我们可以在拟b a n a c h 空间对正交性做如下的定义： 中山大学硕士学位论文 定义2 2 1 设x 是r 上的拟b a n a c h 空间，马y x ，若对于任意的入r ，满足 如下不等式 i i z + a 可i | i i z i i 则称zb 正交于弘记为z 上日y 性质2 2 2( 齐次性) 设x 是实数域r 上的拟b a n a c h 空间，非零元素z ，y x ， 如果z 上by ，那么对于任意的a ，b r ，有a t 上口叻 证明：当a = 0 时，结论显然成立 当o 0 时，对于任意的o ，b r ，如果z 上日可，则对于任意的入r ，有 忪+ 入训= i a l l l x - i - a 纠i l o z i i = 忪i i 所以a x 上b 的 r c j a m e s 在文 3 】中研究了赋范空间中b 一正交性与线性泛函，超平面的关系 类似地，在拟b a n a c h 空间中我们有如下结论： 定理2 2 3 设x 是实数域r 上的拟b a n a c h 空间，有界线性泛函f 。毁= ( ， x + ：i i f l l = 1 ) ，z x ，h 是x 上的一个过原点的超平面，且对于任意的h h ，都有 ，( 九) = d ，则i ， ) i = 忙 i 的充要条件是z 上b 日 证明。若l ，( z ) i = 忙i l ，对于任意的h 日，a r ，有 l ，( z ) i = i f ( x ) + ，( a ) l = i ，( z4 - a ) l l i f l l l l x - i - 入九j j = l i z - i - a 九 从而对于任意的h h ，a r ，有忪+ a 圳忪i i ，即z 上日日 若z 上口h ，设i f ( z ) i = p l l x l l ，对任意的y x ，y = 籍z + ( 一籍z ) ，可一籍z 日， 于是 i f ( y ) l = f r m f ( y ) y z 札一器圳i = i 碍釉叫i 器圳 p i i 器州y 一器z ) 1 1 _ p | 川i 因而1 = i i ：l l = p ，i ，( z ) i = 恻1 推论2 2 4 设x 是实数域r 上的拟b a n a c h 空问，非零元素z ，y x ，若存在有 界线性泛函f x ，i i f l i = 1 ，i ，( z ) i = 忪i i ，( 可) = d 则z2 - by 推论2 2 5 ( 右存在性) 设x 是实数域r 上的拟b a n a c h 空间，非零元素z ，y x ， 若存在有界线性泛函f x ，i i f l l = 1 ，1 厂p ) i = 忪i i ，o = 一器则z - i - ba x + 耖 我们知道在实数域r 上的b a n a c h 空间x 中； 1 2 拟b a n a c h 空间的正交性 ( 1 ) 对任意的非零元素z x ，都存在过原点的超平面h ，使得x 上口日； ( 2 ) 对任意的非零元素。，y x ，都存在也r ，使得z 上日凸z + y 但在实数域r 上的拟b a n a c h 空间x 中，并非对任意的非零元素z x ，都存在过 原点的超平面h ，使得z 上b 日；并非对任意的非零元素x ，y x ，都存在a r ，使得 z - l - bd z + y 下面举例说明这两个问题。 在举例之前我们先引入一个引理t 引理2 2 6 设t p ( o p 1 ) 表示使l 矗l p o o 的实数列g = ( 氛) 的全体所构成 的空间，在实数域冗上，按普通数列意义定义加法和数乘，并定义 i l z l l = ( 阱) i 1 ，z = ( 缸) f p k = l 则”l | 是r 上的拟范数，且( 护，”1 1 ) 是r 上的拟b a n a c h 空间 例2 2 7 在拟b a n a c h 空间孪中，x = ( 1 ，1 ) 则对任意的0 y 譬均有x 与y 不b 一正 交 证明：对于任意的o d r ，令y = ( a ，o ) ，取k = 一：，则 忙+ k y l l = i i z 一割- - 1 4 = i i z i i 对于任意的0 a r ，令y = ( o ，a ) ，取k = 一i 1 ，则 忙+ k y l l = 忙一刭- - 1 4 = 俐 对于任意的0 a r ，令y = ( a ，a ) ，取k = 瓦1 ，则 1 1 = + 尼秒i i = 忙一翔= 2 1 1 3 7 + k o ( a z + y ) i i 当a = o 时，取k o = 1 ，则4 = i i x l i 1 = 忙+ v i i ； 当l o l i - 时，取k o = 一i 1 ，贝oi i z 一：( n z + 秽) i i = 击 4 = 1 1 = 1 1 ； 当i d l 时，取k o = 暑= ，贝01 1 3 7 + 击( o 。+ 妙) i | = ； i i a z + y l l 这与b z + 可- l bz 矛盾，从而原结论成立 因为a z + 可上bz ，b z + v - l bz ，则 i l a x + y + 入z i l i i a z + y l l ，l | b z + 秒+ a z | i i i b x + 秒i l ，va r 取a + a = b ，入+ b = a ，则 i i b x + y l i i i a z + 可i i ，i i a z + y l i i b z + y l l 从而i i a z + y l i = i i b = + y 1 1 性质2 2 1 1 设x 是实数域r 上的拟b a n a c h 空间，z ，秒x ，如果存在实数a ， b ，a b ，并且a z + 可- l bz ，b z + 可上bz ，那么对于a o b ，则必有下列命题之一 成立 ( 1 ) 口z + 可- l bz ( 2 ) i l a = + y l i = l 了l l a x + 引l = 1 9 l l b x + y i i ，其中1 卢c 1 4 拟b a n a c h 空间的正交性 证明：因为a z + y - l sz ，b x + yd - sz ，所以ij a x + 训= i i b x + 圳 若( 1 ) 不成立，令a = a a + ( 1 一入) b ，0 入1 则 i i a x + y l i i l a x + v l i = l i ( a a + ( 1 一a ) b ) z + ! l i = j i a ( a x + y ) + ( 1 一a ) ( b z + ) i i c l l a x + y 令p = 心i i a x + y l l ，则 i l 口。+ ! ，j i = 卢l l a x + y | i = # l l b x + 可i i ，1 p c 在赋范空间中对于b 一正交性的左右存在性有。 命题2 2 1 2 例赋范线性空间x 上的任意两个元素。0 ，y 有l i mi i 礼z + 圳一 7 1 , - - - o o | | n z | | = - a i i x l l ，l i m | l n z i | 一i i n 茁一! | | = 一b i i x l l ，其中a ，口分另是使得z 上口a x + y 成 n - - + o o 立的a 的最小值与最大值 命题2 2 1 3 倒若为y 是实b a n a c h 空间x 上的任意两个元素且a x + y 上日x ， b x + y - j - bz ，( a b ) ，那么当a a b 时，有a t + y 上口z 在拟b a n a c h 空间中上述两个命题中的结论是否成立? 通过b a n a c h 空间与拟b a - n a c h 空间的对比研究，我们有以下几个问题： ( 1 ) 在b a n a c h 空间中，对于任意的x 0 ，y ，有舰i i 竹z + 圳一i l n z i i 存在但在 拟b a n a c h 空间中，对于任意的x 0 , y ， l i mi i 彻+ 训一i i n x l i 不一定存在 ( 2 ) 在b a n a c h 空间中，对于任意的x 0 ，y ，l i m i i n 。+ 圳一i l 礼z i | 存在，不妨记为 一a l l x l l ，则有zj - ba x + y ，但在拟b a n a c h 空间中，对于x o ，y ，恕i i n x + v i i i i 佗z l l 存在，不妨记为一r 忙l i ，但并不一定有z 上b7 z + y ( 3 ) 在拟b a n a c h 空间中，对于x 0 ，y 虽然撬i i 礼x + v i i i i n z i i 不存在，但有右 存在性 ( 4 ) 如果x 是实数域上的b a n a c h 空间，并且存在实数a ，b ，a b ，满足a x + y - l - bx ， b x + y 上日z ，那么对于a a b ，都有a x + y - i - sz 但在实数域上的拟b a n a c h 空间 中，这个结论不成立 下面分别举例说明上述的问题： 例2 2 1 4 在2 ；中，设x = ( 1 ，) ，y = ( r h ，啦，) 则 忪+ 训一怕i i = ( l 嘛+ 吼阶一( 阶 k = l k = l = 扎( i 靠+ 轷) 2 一礼( 肼) 2 k = l 。 k - - 1 = n 【( 慨+ 竹u i ) 2 一( 抑 中山大学硕士学位论文 1 5 取x = ( 1 ，0 ，o ，) ，y = ( 1 ，1 ，0 ，0 ，) 则 忪+ 引| - l 删= 州 l + 丢+ 丢) 2 1 】 = 几【1 + 去+ 去+ 2 1 + 去 去一1 】 = 2 + 2 v - 元+ 1 jo o f l , 。 如果取x = ( 1 ，已，) ，y = ( 1 ，0 ，o ，0 ，) ，并记忙l l = ( i f k l ；) 2 = m 则 7 i t + 可i i i i n z l i = 一礼( 蚓 ) 2 k = l 酬 ) ( l 靠+ 等一+ 引 ) k = lk = lk = l 刮旧+ 旧自张+ 扣b h 2 卦幻 + 丢i + i i ；+ 2 薹i i ) j 2 何孺1 = 焉o 。 例2 2 1 5 在f ；中，取x = ( 1 ，1 ，0 ，) ，y = ( 1 ，0 ，0 ，0 ，) i l n z + y l l 1 1 眦1 1 = ( i 礼一1 1 ；+ i 礼i ) 2 一( i - 1 + l u l l ) 2 = t , 一1 + n + 2 v ( 一1 ) n 一4 n = 2 、( 礼一1 ) 几一2 n 一1 = 孺夏- 2 i n 五一1 = ；= = o 一1 - - + 一2 n - 4 ( 3 0 v 1 一i 1 + 1 即：一r 蚓i 一4 r = 一2 ，则r = ；但由例2 2 7 可知x ，y 不存在右存在性当然有z _ l b z + 可 不成立 例2 2 1 6 在f 叁中，取x = ( 1 ，0 ，o ，) ，y = ( o ，1 ，o ，0 ，) | j n z + 可l l l i n z | i = ( i n l + 1 ) 2 一n = 2 而+ 1 - - + ，仃_ 但对于任意的k r ，忙+ 七训= ( 1 + ) 2 芝1 = 忙m 即z 上by ，这里取a = 0 ，并且 a = l 时，可以验证zj az + 可 尸 一 塑n 塑n + + & 矗 罢胁 n n 1 6 拟b a n a c h 空间的正交性 例2 2 1 7 在f 中，取x = ( 1 ，1 ，0 ，) ，y = ( 1 ，0 ，0 ，0 ，) ，易验证y 上8z ，一x + y 上8z ， 不妨记a 一1 ，b = 0 ，但当a = 一 时，存在k = ；，使得怕一墨+ 到= i l y l l = 1 1 5 i l y - 1 1 2 3护( r ) ( o p 1 ) 空间中正交性的判定 对于0 p 1 ，s 是有限个或可数个正整数集合，由所有满足 n ) n l s l l p = ( i z n i p ) l p 。，( z n 冗) n e s 的元素( g 扎) = ( x n