（基础数学专业论文）关于群的非交换图.pdf

关于群的非交换图 基础数学专业硕士研究生翟婷 指导教师段泽勇教授 摘要 本文主要研究了有限群的非交换图的一些基本性质及其对群结构的影响 设g 为有限群，记它的非交换图为v ( g ) ，v ( o ) 的顶点集v ( c ) ：= g z ( g ) ， 点而y ( g ) ，$ ，耖由一条边连接当且仅当忙，们1 ，记作z 一! ， 与顶点g 相连的边数称作g 的度数，记为d e g ( g ) 对于v ( g ) ，令p ( g ) = d e g ( g ) 两个非交换图v ( g 1 ) 和v ( c 2 ) 称作同构的，如果它们的顶点集间 g e y ( g ) 存在一个映射： i p ：y ( g 1 ) _ y ( g 2 ) ，使得对任意的t ，口v ( g t ) ，u 一” = 争妒( t ) 一妒( ) 这样的映射妒称作一个图同构对于同构的图v ( g 1 ) 和v ( g 2 ) ，记作v ( g 1 ) 皇 v ( g 2 ) 关于v ( g ) ，我们得到下面的主要结果一 定理3 1 设g 为矿矿( p ，q 为相异素数) 阶内幂零群，其中s y l o wq - 子群q 正 规若v ( h ) 望v ( c ) 且i h i = i g l ，则日的s y l o w p - 子群p l 交换；当p 一书，非 交换图的符号参见【1 1 】，【1 2 1 3 2预备引理 引理2 1 ( 文 h i 命题i i ) 设v ( c ) 兰v ( 日) 且z ( g ) = 1 若v ( g ) 中存在 顶点g 使d e g ( g ) = i g i 一2 ，则i h i = i g i 引理2 2 ( 文口鄙定理1 0 i 8 ) 设p 为有限群g 的勖j d p 一子群若 p z ( b ( p ) ) ，则g 是p 一幂零的 引理2 3 ( 文，j 町命题孑) 若v ( g ) 中存在顶点g 使d e g ( 9 ) = p 2 ，则以下情 形之一发生， 以，g 是p ( p + 1 ) 阶的f r o b e n i u 8 群，其f r o b e n i u s 补为p 阶循环群 2 g 是2 p 价群 目l 理2 4 ( 文，吖命题4 ) 若v ( g ) 是k 一正则图，则i ( g ) l = 2 且g = p x a ， 其中p 为非交换p 一群。a 为交换群 引理2 5 ( 文口町命题9 ) 若v ( g ) 中存在顶点g 使d e g ( g ) = l g 卜2 ，则g 为对合且g 同构于2 m 阶的f r o b e n i u s 群，m 为奇数 引理2 6 ( 文卢町定理j ) 设s = a 。m 4 ) 若v ( h ) 鲁v ( s ) ，则i h = l s l 引理2 7 ( 文，j 鄙定理j 口j 加) 若有限群g 的所有s y l o w 子群均循环，则 g 有如下表示： g = ( n ，b n 4 = 1 = 扩，b - t a b = 矿) ， 其中pi l ( m o dm ) ，m 为奇数，0 r m ，且m 与n ( r 一1 ) 互素 反之，有如上表示的有限群的所有勖f o t t ，子群均循环 引理2 8 ( 文，础3 例2 ) 4 p 佑为专素数j 阶群g 有且仅有以下几类 一，g = 和ln 4 p = 1 ) j 例g = ( 吼b ，cj 矿= b 2 = c p = 1 = 扣，6 】= f a ，c 】= f b ，c 】) ； 俐g = ( d ，b ln 却= 1 ，b 2 = n p ，6 1 8 6 = n 一1 ) ； 似j g = ( a ，b ia 2 p = 1 = b 2 ，6 。0 6 = a - i ) ； 俐g = ( o ，b ，ca p = 1 = b 2 ，6 1 d 6 = n ，c 2 = b ，西= b c ，c - 1 口c = o ) ，其中 2e l ( r o o d p ) ，仅在p 三l ( m o d4 ) 时才出现此类型； 俐g = ( a ，b ，ci 矿= 6 2 = c 3 = 1 ，c - 1 0 c = b ，c - 1 b c = a b = 6 n ) ，仅在p = 3 时出 4 现此类型，这时g 皇山 引理2 9 ( 文p a l 例) 设g 是有限群。z ( g ) = 1 。n ( g ) = n ( a 4 ) ，则 g 型a 4 引理2 1 0 ( 文 1 7 1 定理j j ) 设g 为内幂零群于是 1 ) g 均喻为矿矿。央寺p ，q 韵桷异素数 f 缈g 有正规s y l o w 子群，设为q - s y l o w 子群q ，此时g 的p s y l o w 子群p 循 环设p = ( n ) ，则母( p ) = ( a p ) 含在g 的中心z ( g ) 内 r 别设是真含在q 内的g 的极大正规子群，则i q ：n i = 矿，其中b 为 q ( m o d p ) 的指数，且之元与口可换 “，设c o 于是，c 是q 的一个生成元的充分必要条件是c 与a 不可换 r 彰若c 为o 的一个生成元，则【c ，n l = c - 1 矿也是q 的生成元 r 纠设c 为q 的一个生成元于是q = ( c ，矿，d 矿，d 矿- 1 ) ，从而由( 5 ) 得 o = ( 【c ，a 4 ，【c ，司。，【c ，o , w 。- 1 ) r 刀若q 为a b e l , 则q 为初等a b e l 例n = 圣( q ) = q ，其中垂( q ) 为q 的f r a t t i n i 子群，为q 的导群 r 圳若q 不是a b e l 群，则n 为初等a b e l 群，且n = z ( q ) 当q 2 时，q 的方指数( e x p o n e n t ) 为口j 当q = 2 时，q 的方指数为4 r j 砂z ( g ) = 壬( g ) = 圣( p ) 垂( q ) 引理2 1 1 ( 文i 甜引理2 ) 如果固定的素数p l l c a ( = ) l ，对任意1 1 7 g ，则g 不是非交换单群 引理2 1 2 ( 文1 鄙定理9 1 2 ) 设是有限群g 的正规子群若f n i = n 与 l g ：n i = m 互素，则g 包含m 阶子群，且任意两个m 阶子群在g 中共轭 引理2 1 3 ( 文口钉定理j ) 设g 为有限群，z ( g ) = 1 ，m 是素图不连通的 非交换单群若n ( g ) = ( m ) ，则g 垒m 0 3v ( g ) 的性质及其对群结构的影响 本节主要围绕以下三个方面进行研究： ( 1 ) v ( g ) 的一些基本性质以及由v ( g ) 的某些特点推知群的结构 ( 2 ) ( 文【1 2 】问题1 2 ) 对于哪些群性质p 有z 当g 有性质p 且v ( h ) 垒v ( g ) 时，日也有p ? 由于猜想一。v ( 日) 皇v ( g ) 时，1 日i = l g i ”尚未得到完全证 明，所以为了简化问题，有时候我们加上了“i h f = i g i ”的条件，从而问题变为； 对于哪些群性质p 有t 当g 有性质p ，且v ( h ) 竺v ( g ) 同时1 日i = i g i 时。日也 有p ? ( 3 ) 哪些群g 的非交换图是独特的，即由v ( h ) 皇v c g ) 便可知h 垒g ? 由于本文考虑的都是有限群，因此在证明过程中，我们主要参考了文【1 1 l 的分析 阶的证明方法，即对群的阶i g l 群的中心的阶i z ( g ) i ，元的中心化子的阶l c a ( g ) i 进行分析 图的连通性完全图正则图等是图论的一些基础知识，文【1 1 】证明了v ( g ) 总 是连通的，下面的命题3 1 和命题3 2 则从完全图和正则图两方面考虑 命题3 1 v ( g ) 不可能为完全图 证明：假设v ( g ) 为完全图任取点g y ( g ) 若z ( g ) 1 ，则它包含一个 非单位元c 使 g c ，9 】= 1 ，这说明9 c 与9 不相邻，与v ( g ) 为完全图矛盾，于是 z ( g ) = 1 又若9 2 1 ，则g g 一，说明g 与g - 1 是v ( g ) 中的两个不同点，又显 然b ，g - 1 】= 1 ，于是g 与g 。不相邻，同样矛盾所以此时z ( g ) = 1 且对每个非中 心元9 有9 2 = 1 ，从而g 为交换群，矛盾，假设不成立 命题3 2 若v ( a ) 为七正则图，则自不为j ，素数，奇素数的平方，两个相异 素数的乘积 证明：下面分类推出矛盾 ( 1 ) 若= 1 ，即对任意点g y ( g ) ，d e g ( g ) = i g l - l c a ( g ) i = 1 ，由于i c b ( 9 ) i i g i ， 则i c 0 ( 9 ) l i d e g ( g ) ，于是1 c 台( g ) l = 1 ，这显然不可能 ( 2 ) 若= 2 ，即对任意g y ( g ) ，d e g ( g ) = l c l - l c a ( g ) i = 2 由于i c a ( g ) 1 d e g ( g ) ， 6 于是i c d g ) i = 1 或2 ，从而推出g 为交换群，矛盾若k = p ( p 为奇素数) ，即对 任意g y ( g ) ，d e g ( g ) = i g l l c g ( 9 ) i = p ，于是i c a ( g ) l = 1 或p 若i c g ( g ) i = 1 ， 则g 为单位元群，矛盾若i c 台( 9 ) i = p ，则i g i = 2 p ，而2 p 阶的非交换群只有 d 却：= ( 茁，oiz 2 = 口p = 1 ，矿= 8 - 1 ) 分析v ( ) ，经计算d e g ( x ) = 2 p 一2 ， d e g ( a ) = p 显然2 p 一2 p ，v ( d 2 p ) 不是p 正则的故k 不能为素数 ( 3 ) 若k = 矿协为奇素数) 由引理2 3 知，g 为2 矿阶群或者为p ( p + 1 ) 阶 p r o b e n i u s 群当g 为f r o b e n i u s 群时，z ( g ) = 1 ，这与引理2 4 矛盾，所以v ( g ) 不可能为七正则的当f g | - 印2 时，存在对合t g ，显然t g z ( g ) ，否则g 为交 换群，从而1 c b ( t ) l = 2 p 或2 ，于是d e g ( t ) = 2 p 2 2 p 或d e g ( t ) = 2 矿一2 ，它们均为 偶数，不可能为矿 ( 4 ) 若k = 册( p 玑p ，q 为素数) ，则对任意g y ( g ) ，d e g ( g ) = p q = i g i i c a ( g ) l ，于是i c d g ) = l ，p ，q 或册分情况讨论： ( o ) i c 台( 9 ) i = 1 时。g 只能为单位元群，显然矛盾 ( b ) i c g ( g ) i = p 时，推知g = p 因为z ( g ) sc g ( g ) ，则i z ( g ) l = 1 或p 当 i z ( g ) i = 1 ，则g 中的非中心元的阶均为p ，从而g 为p 群，但这与有限p 群的中 心非平凡矛盾当i z ( g ) = p ，则g z ( g ) ，与g y ( g ) 矛盾 ( c ) i c g ( y ) i = q 时，同( b ) 可得矛盾 ( d ) i c g ( y ) i = p q 时，则i g i = 2 p q ，i z ( g ) i = l ，p ，g 或p 口设v ( g ) 的顶点数为 n 若l z ( g ) i = 1 ，则n = 2 p q 一1 ，2 1 p ( g ) = ( 2 鲫一1 ) p q ，则2 l p 或2 旧不 妨设p = 2 则l g | = 4 q 矛盾于引理2 4 若i z ( g ) i = p ，则n = 2 p q p ， 2 1 p ( g ) = ( 2 朋一p ) p q = ( 2 q 一1 ) f q ，则2 1 f q ，p = 2 或q = 2 ，这时i g i = 4 q 或幼均矛盾于引理2 4 若l z ( g ) i = p q ，则c g ( g ) = z ( g ) ，g z ( g ) ，矛盾 接下来的命题3 3 和3 4 主要考察从v ( g ) 的一些特点推知群的大概结构 命题3 3 设存在v ( g ) 的一个顶点g 有d e g ( g ) = l g l - p ，p 为l gj 的最小素因 子。则g 是p 幂零的 证明：因为i g i p = d e g ( g ) = l g l l c g ( g ) i ，则i c d g ) i = p ，故i g i = p 设 7 ( 9 ) sp s t u , ( c ) 下证( 9 ) = pz 由z ( p ) c a ( g ) = ( 9 ) 知g z ( p ) ，则p c a ( 9 ) ，从而l p i i c a ( g ) i = p ，故 国) = p 令v 0 ( p ) = ，( k ( p ) = g ，则gsa 毗( p ) ，i c l 整除 a “t ( p ) i = p 一1 若i c i 1 ，则i r g i 中含有比p 更小的素因子，矛盾故n = c 由引理 2 2 知g 为p 幂零的 命题3 4 设存在v ( g ) 的一个顶点9 有d e g ( g ) = 2 p ，p 为奇素数则g 是下 列情形之一： n ，g 皇( o ，6 i 扩= 1 = 沪，扩= 旷) ，其中r 对模p 的指数为3 ，0 r p ，这 时要求p 三1 ( r o o d3 ) 俐g 兰( 吼6 i 护= 1 = 6 2 ，扩= o “) = ，砂g 皇( o ，b i 口印= 1 ，6 2 = 矿，矿= 口一1 ) = q 如 证明，d e g ( g ) = 蚓一j 国j = ( 9 ) ( i g ：c a ( g ) 卜1 ) = 轨分情况讨论： 若i c 0 ( 9 ) l = 2 ，则l g i = 2 ( p + 1 ) ，这时d e g ( 9 ) = i g l 一2 由引理2 5 知，9 为 一对合且g 同构于阶为2 m ( m 为奇数) 的f r o b e n i u s 群，与l g l = 2 + 1 ) 矛盾 若1 c r g ( 9 ) i = p 则l g i = 3 p ，显然此时要求p 3 ，否则g 为交换群设 p s l y p ( g ) ，有唧51 ( r o o dp ) 且唧1 3 ，所以唧= 1 于是铂1 ，否则g 为交换 群，从而p 为g 的唯一正规的s y l o w 子群又由g 的阶数易知g 的s y l o w 子群均循 环，于是据引理2 7 知，g 垒( n ，6i 矿= 1 = 6 3 ，n 6 = r ) ，r 3 兰l ( m o a p ) ，0sr p 若r 三1 ( r o o dp ) 或r 2 三1 ( r o o d ，则g 为交换群，矛盾故r 对模p 的指数为3 又由于g 的s y l o w3 - 子群非正规，则由s y l o w 定理知：珊兰1 ( r o o d 3 ) 且，1 3 i p ，敲 竹3 = n 即p ；1 ( r o o d3 ) 经验证。此时d e g ( a ) = 2 p ，符合题设要求 若i c 0 ( g ) l = 2 p ，则l g l = 4 p ，由于g 非交换且据引理2 8 知，g 为下列情形之 一i ( i ) g 竺( n ，6 f t l 2 p = 1 = 6 2 ，口6 = d _ 1 ) = d 4 p ( i i ) g 竺( n ，b lo 印= 1 ，6 2 = 矿，扩= o - 1 ) = q 和 ( i i i ) g 鲁( o ，b ，cin p = 1 = 6 2 ，扩= n ，c 2 = 6 ，西= 6 c ，旷= 口) ，其中， 女2 三- l ( m o d p ) ，这时要求p 三l ( m o d4 ) ( i v ) g 皇( 8 ，b ，cf0 2 = 6 2 = c 3 = 1 ，n 。= 6 ，6 c = a b = 6 b ) 8 对上面四种类型的群逐一验证： 在( i ) 型和( i i ) 型群中，i c 台( o ) i = 2 p ，d e g ( a ) = 2 p ，符合题设要求 在( i i i ) 型和( i v ) 型群中，由于2 阶元和p 阶元不可交换，所以不存在某个元的 中心化子阶数为2 p ，故不符合题设要求，舍去 综上所述，命题的结论成立 以下的命题3 5 、定理3 1 、定理3 2 和定理3 3 是对引言中的猜想和问题进行 研究后得到的一些进一步的结果 命题3 5 设g 为有限质幂元群若v ( 日) 兰v ( a ) 且| h i = i g i ，则日也为有 限质幂元群 。 证明：若l g l 只含一个素因子，则j 日i 亦然，显然此时日为有限质幂元群 若i g i 至少含两个素因子，则由g 是质幂元群知，z ( g ) = 1 ，从而z ( h ) = 1 根 据v ( h ) 兰v ( g ) ，对于v ( 日) 的每个顶点h ，存在v ( g ) 中的点g 与之对应，使 d e g ( g ) = d e g ( h ) ，即i g l i o a c g ) i = i h 一i c n ( h ) j ，从而i c c ( 9 ) i = i c h ( ) | 由质幂 元群的定义易知i c g ( 9 ) l 为素数的方幂，所以i c h ( ，1 ) l 亦然又由于z ( h ) = i 故 日为有限质幂元群 推论3 1 设g 为有限质幂元群且v ( g ) 中存在顶点9 ，使d e g ( g ) = i g i 一2 若 v ( h ) 鲁v ( g ) ，则h 也为有限质幂元群 证明：由引理2 i 和命题3 5 可得 定理3 1 设g 为矿矿加，q 为相异素数，阶内幂零群，其中b y l o wq 一子群q 正 规若v ( 日) 鲁v ( a ) 且l h | = j g i ，则h 的s y l o w p 一子群p l 交换；当p 口时， 日的8 y l o wq 一子群q 1 正规，进一步地，q 交换时，q l 也交换 证明：设p 是g 的s y l o wp - 子群由引理2 1 0 知p 循环，可设p = ( n ) 这 时z ( g ) = m ( p ) x 垂( q ) ，圣( p ) = ( 矿) 经计算l 垂( p ) i = 矿由题设v ( h ) 釜 v ( a ) 且1 日i = i g i 知，l z ( 日) i = i z c a ) t 于是矿- 1 l i z ( h ) i ，从而矿_ 1 i i z ( p 1 ) | 则 jp l ：z ( p 1 ) i ；岛= p ，易知p l 交换 又由矿- 1 i i z ( h ) i 知矿_ 1 l i ( q 1 ) i ，且显然有q z l i n ( q 1 ) i ，从而矿一q 4 i i n ( q ) 根据有限群的s y l o w 定理知，日的s y l o wq - 子群的个数嘞= l h ：h ( q 1 ) i = 1 或 9 p 且三1 ( r o o dg ) 故当p q 时，= 1 ，即q 1q h 进一步，若设q 为交换群，则据引理2 1 0 有：v ( q ) = q ，= 1 ，z ( g ) = 西( p ) = ( n p ) 于是l z ( 日) i = i z ( g ) l = 矿由于q 司g ，可设g 中元素为8 ( seq ，t = 0 ，1 ，矿一1 ) 的形式，则g 的非中心元按中心化子阶数分类有以下三种： ( 1 ) p l i 且s 1 时。i c a ( a i s ) i = p o - 1 矿； ( 2 ) p f i 且s 1 时，i c 台( s ) l = 矿 1 ； ( 3 ) p t 且8 = 1 时，i c 台) i = 矿 用反证法假定q 1 不交换，则q 2 l l q ：z ( q - ) i ，从而l z ( q - ) i 矿由于 h = 片kq 1 ，所以可设日中的元素为r t c r p l ，t q 1 ) 的形式，则日的非中心元 按中心化子阶数分类如下。 ( 1 ) r z ( h ) 且t z ( q 1 ) 1 ) 时，i c h ( r t ) i = 矿- 1 q b ； ( 2 ) r z ( h ) 且t g z 旧1 ) 时，i c _ ( r t ) i = 矿q j ，j 卢且j n ( 3 p g z ( h ) 且t = 1 时，i c h ( r ) i = p n q 七，k 芦且k n ( 4 ) r 譬z ( h ) 且t z ( q 1 ) 1 ) 时，i e 盯( n ) i = 矿- 1 以z 卢且l n ( 5 ) r g z ( h ) 且t g z ( q 1 ) 时，f c x ( r 0 i = 矿。q “，m 卢且m n 我们仅需比较中心化子的阶为矿_ 旷的元的个数即可经计算g 有矿- 1 ( q 口一1 ) 个元的中心化子阶为矿- 1 矿，而日中最多有矿_ 1 ( q b 一1 ) 个元的中一5 - 化子阶为 矿- 1 矿，这与v ( 日) 掣v ( g ) 矛盾故q 也为交换群 定理3 2 若v ( g ) 垒v ( d 卸) ，p 为素数，则g 鲁d 卸或g 垒( 证明：若p = 2 ，由v ( d 8 ) 知其顶点数疗= i d s 卜l z ( d s ) l = 6 ，则i g | 一i z ( g ) i = 6 ，从而| z ( g ) i = 1 ，2 ，3 或6 当i z ( g ) l = 1 ，3 时，l g i = 7 ，9 ，显然此时g 为交换群；当i z ( g ) i = 6 时， i g z ( g ) i = 2 ，g 是中心被循环群的扩张，仍为交换群所以只能i z ( g ) l = 2 则g 为8 阶非交换群，只可能为q b 或d s 。 若p 为奇素数，由v ( d 和) 知其顶点数为钿一2 且存在顶点g ，使d e g ( g ) = 2 p 再由命錾3 4 ，g 只可能为或q 卸综上，我们只须验证v ( q 卸) 皇v ( d 4 p ) 设= ( o ，b ia 2 p = 1 = 6 2 ，a b = a - i ) ，0 4 p = 往，y i 庐= 1 ，可2 = 扩，x y = t , - 1 ) ， 则： 1 0 y ( d 4 p ) = 矿，b a jii = 0 ，1 ，p 一1 ，p + l ，2 p 一1 ；j = 0 ，1 ，2 p 一1 ， y ( q 4 p ) = 驴，f li = 0 ，1 ，p 一1 ，p + 1 ，2 p 一1 ；j = 0 ，1 ，2 p 一1 ， 建立一一映射如下： 妒：y ( d 4 p ) 一v ( q 4 p ) ，其中一- + 一，b a j _ + y x * ，i = 0 ，i ，p l ，p + 1 ， 2 p 一1 ；j = 0 ，1 ，2 p 一1 易知对任意的u ， y ( d 4 n ) ，t 一口 = 毒妒( “) 一妒( 口) ，故v ( q 4 p ) 皇v ( i k ) 定理3 3 若v ( g ) 竺v ( a 4 ) ，则g 型a 4 俐设p 为素数且p 5 若v ( g ) 垡v ( a 。) ，n = p ，p + 1 ，p + 2 ，则g 鲁a 。 证明：( 1 ) 由引理2 6 知，l g i = l a 4 l = 1 2 ，又由v ( g ) 鲁v ( a 4 ) 知i g 卜- i z ( g ) l = l a 4 i i z ( a 4 ) ，从而i z ( g ) f = i z ( 山) l = 1 又因为v ( g ) 竺v ( 4 4 ) ，对任意的顶点 g v ( g ) ，存在对应的顶点矿v ( 4 4 ) ，使得d e g ( g ) = d e g ( g ) ，即i g i l c g ( g ) i = i aj j c a ( 矿) j ，从而i 雪g f = j 矿山| 当g 跑遍g z ( g ) ，矿也跑遍a 4 z ( a 4 ) ，故 n ( g ) = ( a 4 ) ，据引理2 9 知g 皇山 ( 2 ) 当n 5 时，由引理2 6 ，l g | = i a 乩从而z ( g ) = 1 同上可证n ( g ) = ( 4 。) ，又由引理2 1 3 知，当n = p ，p + 1 ，p + 2 时( 其中p 为素数，p 5 ) ，g 皇a 。 注命题3 1 和命题3 2 是关于v ( g ) 的一些基本性质，相当于给出了判断一个 图不是群的非交换图的充分条件从命题3 3 和命题3 4 知，我们可以根据v ( g ) 的 某些特点推知群的大概结构，有时候甚至可以得到群的具体结构命题3 5 、定理 3 1 ，定理3 2 和定理3 3 则相对于( 2 ) 、( 3 ) 从不同的方面部分地回答了引言中提 出的猜想和问题特别地，从定理3 3 我们知道有相当一部分交错群的非交换图是 独特的，因此，该方面的研究通过这些结论得到了良好的推进 4v ( g ) 为欧拉图的有限群 文献【1 2 l 中的命题2 2 证明了：每个非交换的有限群的非交换图是h a m i l t o n 图本节我们考虑与h a m i l t o n 图紧密相关的e u l e r 图，得到下面这些有趣的结果 命题4 1 设g 为非交换有限群，则v ( g ) 为欧拉图的充要条件是对任意z g ， i c t g 扛) i 与l g i 目奇偶 证明：由于i c b ( z ) i 与l g l 同奇偶，则对任意g y ( g ) ，d e g ( g ) 为偶数，于是充分 性显然下证必要性若v ( g ) 为欧拉图，则对任意g y ( g ) ，2 d e g ( g ) = i c l - - l c g ( g ) 1 显然l c g c g ) i 与j g l 同奇偶而对任意c z ( g ) ，c 台( c ) = g ，故对任意z g ，i c b ( z ) i 与l g i 同奇偶 推论4 1 ，若非交换的有限拜g 的中心含有对合，则v c g ) 为欧拉图 证明：由上命题可得 命题4 2 若v ( c ) 为欧拉图，则g 非单群 证明：若i g i 为奇数，则g 显然非单；若i g l 为偶数，由命题4 1 知，则对任意 z g ，2 i i c 台( 圳，再由引理2 1 1 知，g 非单 命题4 3 设g 为非交换有限幂零群，则v ( g ) 为欧拉因 证明：l g i 为奇数时，显然i g i 为偶数时，易知存在对合t z ( g ) ，于是对任 意z g ，i c 0 ( z ) | 为偶数，故v ( a ) 为欧拉图 注1 非交换图为欧拉图的群例有；非交换的奇阶群。非交换的有限幂零群 对于非幂零的偶阶群，如广四元数群q 4 p p 为奇素数) ，v ( q 4 p ) 为欧拉图，因为存在 对合t z ( q 4 p ) 由于v ( q 妇) 皇v ( d 卸) ，故v ( d 4 p ) 也为欧拉图并非所有阶为 2 4 p 6 ( p 为奇素数) 形式的有限非交换群的图均为欧拉图如对于d 却= ( o ，bi 矿= 1 = 6 2 ，n = ? _ 1 ) ，易知2 tl 白( 酬= p ，v ( d 2 p ) 不是欧拉图 注2 对非交换有限群定义性质p ：“群的非交换图为欧拉图”一般地，性质p 对于子群，商群均无遗传性例如，取一个非交换有限单群日，构造g = ( t ) h ， 其中t 为对合，由推论4 1 ，v ( g ) 为欧拉图但由命题4 2 ，v ( h ) 不是欧拉图由于 a ( t ) 皇h ，所以此例同时说明了性质p 对于子群，商群均无遗传性，且这也是一个 非可解群的图为欧拉图的例子 1 2 命题4 4 若v ( c ) 为欧拉图，则g 非偶阶的f r o b e n i u s 群 证明：设f r o b e n i u s 群g = h k n ，当然z ( g ) = 1 若1 日i 为偶数，由f r o b e n i u s 群的性质知i h i ij n i 一1 ，于是i n i 为奇数因为日依共轭变换无不动点地作用于， 故对任意1 z n ，c r g ( z ) n ，f c r g ( z ) i 为奇数，与v ( g ) 为欧拉图矛盾若阿i 为奇且i | v l 为偶数，任取1 z h ，z 无不动点地作用于n ，i c 台( z ) i 为奇数，同样 矛盾 推论4 2 若v ( g ) 为欧拉图，则不存在点g y ( g ) ，使d e g ( g ) = i g i 一2 证明：假设存在点g y ( g ) ，使d e g ( g ) - - - ii g | 一2 ，由引理2 5 知g 为偶阶的 f r o b e n i u s 群，与命题4 4 矛盾 命题4 5 若v ( g ) 为欧拉图，则对任意g 矿( g ) ，d e g ( g ) 4 ，进一步地，当存 在册y ( g ) ，使d e g ( g o ) = 4 时，g 皇d 8 或q 8 ，且这时v ( g ) 为# 一正则图 证明：对任意g y ( g ) ，若d e g ( g ) = l g l i c g ( 9 ) l 3 ，则推出g 为交换群，矛 盾，从而d e g ( g ) 23 再由欧拉图的定义，有d e g ( g ) 4 若存在d e g ( g o ) = 4 ，即d e g ( g o ) = i g i i c o ( g o ) l = 4 ，从而l c d g o ) l = 1 ，2 或4 当i c d g o ) i = 1 时，i g l = 5 ，g 交换，矛盾 当l c d g o ) j = 2 时，i g l = 6 由于g 非交换，故g 为6 阶的f r o b e n i u s 群，与 命题4 4 矛盾 当i c g ( g o ) l = 4 时，i g i = 8 ，于是g 皇d s 或q 8 经验证，这时v ( g ) 为4 - 正 则图 命题4 6 若v ( g ) 为欧拉图，且存在点g y ( g ) ，使d e g ( g ) = 2 p 囟为奇素数， 则g 为下列情况之一： ( o g 望( b ，b0 p = l = b 3 ，矿= 矿) ，其中r 对模p 的指数为只0 r p ，这时 要求p 三1 ( m o d3 ) 侈j g 皇( 口，6 ln 2 p = 1 = b 2 ，a b = a 一1 ) = d 4 p 仔胗兰( a ，b ln 2 p = 1 ，b 2 = a p ，a b = n 一1 ) = q 妇 证明：只须对命题3 4 的结论中的三种情况分别进行验证； 对于( 1 ) 型群，i g i = 3 p ，其中p 为奇素数，由命题4 1 知v ( c ) 为欧拉图 对于( 2 ) 型和( 3 ) 型群，均存在对合属于群的中心，由推论4 1 知v ( g ) 为欧拉 1 3 图 注3 命题4 2 实际上给出了一个从群的非交换图v ( g ) 来判断群非单的充分条 件；命题4 5 和命题4 6 则给出了判定一个欧拉图不是群的图的充分条件 下面考虑v ( a ) 为欧拉图的一类特殊的偶阶群的结构 引理4 1 设有限群g 的共轭类的个数为s ，且a ，q ，g 为g 的一个共轭 类桌对i = 1 ，2 ，s ，令戤q ，则m = ( ：r i ，z 2 ，如) = g 证明：若m 主g ，我们证明m 的所有共轭子群的并u m 9 妄g 设i g l = ml m l = m ，i k ( m ) i = f ，则ium g i ( m 一1 ) + 1 如果 旱( m 一1 ) + 1 n ， 则 n ( m z ) 之n f ( ) 当m q g 时，n = l , m f ，( + ) 式不成立；当m 6g 时，m f ( + ) 式仍然不 成立从而 ；( 7 ，一1 ) + 1 吼i u m 9 i l g l ， 这与m 的构造矛盾故m = g 定理4 1 设g 为非交换有限群，且l g l = 2 n ，7 l 为奇数设p s y l 2 ( g ) ，若 p 含有唯一对合，则v ( c ) 为欧拉图当且仅当存在对合属于z ( g ) 证明：充分性显然，下证必要性 设p 中的唯一对合为t ，这时g 中的所有2 阶元彼此共轭由v ( a ) 为欧拉 图知对任意z y ( g ) ，2 1 d e g ( = ) ，从而2 li c 台( 。) l ，于是有t c 台( 茹) 或t 的某个共 轭t g c b ( z ) ，后者即t c d x ) 设a ，q ，g 为g 的全部共轭类，则对 i = 1 ，2 ，毛存在孔g ，使t c 台( ) 令m = ( 。i ，如，) ，显然t 中心化 m 由上引理知m = g ，于是t z ( g ) 推论4 3 设g 为非交换有限群，且i g = 2 n ，n 为奇数，则v ( a ) 为欧拉图当 且仅当g = n ( ) ，其中f t i = 2 ，i n l = n ，n 非交换 1 4 证明：由推论4 1 知充分性显然仅证必要性由引理2 1 2 ，可设g = n h ，其 中i n i = n ，l h l = 2 ，再由定理4 1 ，h z ( g ) 令h = ( t ) ，于是g = n ( t ) ，显然 非交换，否则g 交换，于是必要性得证 问题与思考 定理4 1 对偶阶群g 讨论了s y l o w2 - 子群p 含有唯一对合的情形，自然我们 可考虑p 含有唯一极小正规子群的情形 问题1 设g 为非交换有限群，且l g l = 铲n ，n 为奇数设p s y f 2 ( g ) ，若p 含有唯一极小正规子群，则这时v ( g ) 为欧拉图的充要条件如何? 是否一定有对合 属于z ( g ) ? 进步。若p 正规时。情况又如何? 这时由于p 司g ，则性质p “群的 非交换图为欧拉图”用群的语言叙述为，g 的每个奇阶元z 共轭作用于2 群p 至 少有一个非平凡的不动点蚰 在定理4 1 与问题i 中，无论p 是循环还是正规，这时g 总是可解的故问 题1 只是寻求满足性质p 的一类非常特殊的可解群的结构设满足性质p 的群集为 a l ，满足性质“群可解”的群集为a 2 ，则a 1 与a 2 有公共部分，但无包含关系，因此 提出： 问题2 设g 可解，则v ( g ) 为欧拉图的充要条件是什么? 问题3 设g 不可解，则v ( g ) 为欧拉图的充要条件是什么? 若将问题2 和问题3 统一起来，则得到 问题4 设群g 非交换，则v ( g ) 为欧拉图的等价条件有哪些? 问题5 非交换的偶阶群g 的v c g ) 为欧拉图的充要条件是否为z ( g ) 含有对 合? 1 5 参考文献 【1 ls a k b a r i ，h r m a i m a n i ，s y a s s e m i ，w h e naz e r o - d i v i s o rg r a p hi sp l a n a ro rc o m p l e t e r - p a r t i t eg r a p h ，j a l g e b r a2 7 0