（基础数学专业论文）一类非线性抛物方程周期解的单调型解法.pdf

摘要 摘要 本文中，x = w i p ( q 【o ，卅) ，p = l e ( ，x ) 是强可测x 值函数空 间，= e o ，n ，) 指x 与间的偶对，( ，_ ) ) 指矿与v + 间的偶对。 我们在向量值函数空间中，利用伪单调算子的极大单调扰动理论， 对一类含p 一拉普拉斯算子的抛物方程进行了研究，给出了其弱解的存 在条件，从而推广了一些相关结果。 关键词：非线性 抛物奶篇p 拉普拉斯算子 伪单调算子 极大单调算子 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i s p a p e r ，l e t = w ( q 0 ，r ) ，v = l p ( ，x ) d e n o t e t h e s p a c eo fs t r o n g l ym e a s u r a b l e x v a l u e df u n c t i o n s ，= 0 ，7 】， d e n o t e t h e p a i r i n g o ft h ee l e m e n t s f x ，y a n d d e n o t e t h e p a i r i n go f t h ee l e m e n t s “v v ev o u r p u r p o s e i st o a p p l y t h e t h e o r y o fp s e u d o - m o n o t o n e p e r t u r b a t i o n s o fm a x i m a lm o n o t o n e m a p p i n g s a n dt o g i v e e x i s t e n t c o n d i t i o n so fs o l u t i o n sf o rac l a s so fe v o l u t i o n e q u a t i o n si n v o l v i n g p - l a p l a c i a no p e r a t o r s ，s ow e e x t e n ds o m eo t h e rr e s u l t s k e yw o r d sa n dp h r a s e s ：n o n l i n e a r ；p - l a p l a e i a n o p e r a t o r s ；p a r a b o l i c p s e u d o - m o n o t o n e o p e r a t o r ；m a x i m a lm o n o t o n eo p e r a t o r s ； 引言及预备知识 1 引言及预备知识 带有n e u m a n 边界条件的非线性周期抛物方程 _ a u + 西( ) ，n 0 ，t 扫n 【0 ，t 】 u ( z ，t ) n en 最近被许多学者研究过，例如文 3 】作者在空间2 ( n o ，川) 利用退化映象及极大 单调算子的扰动理论，给出了其变分解的存在性在文 4 7 】中，作者对下面一类初 值问题： i 象+ u + g “= ，o t 1 lu ( o ) = u o 给出了解的存在条件例如文 4 】作者h i r a n o 在a 是h e m l 一连续单调，g 是紧的情 形给出了该方程个重要解的存在结果文【5 a h m e d n u 和x i n g 推广i 4 】的结果 到g 是连续情形文 6 】作者在g 是准单调情形给出了其变分解的存在结果对这 一问题的研究，许多作者曾用半群方法即，利用极大耗散算子生成一个半群，且满 足一定的增长条件，给出了其弱解的存在条件如文 1 0 上述这两种抛物方程，它 们的物理背景都可以追溯到一个热方程，其中u ( z ，t ) 可以看成物体( 质点) 在z n ， t 时刻的温度，那么u ( o ) = u o ，( u ( o ) = u ( t ) ) ，贝0 意昧着在= 0 时的温度是恒定的， ( ko 与kt 两时刻的温度是相等) f 是系统的一个外界热源 热传导现象在实际生活、生产中是屡见不鲜的，因此对这一类问题的研究有着 深远的物理意义文【2 】作者对一类含p - 拉普拉斯算子的非线性方程进行了研究， 最近几年，国内外许多数学家已研究了含p 拉普拉斯算予的方程，这主要是因为 p 一拉普拉斯算子来源于各种各样的物理现象，例如，它可用于非牛顿学说【流质) 问 生 0 卜锫= 邶掣。舞巾 河北大学理学磺士学位论文 题，一些反映扩散问题，以及流体通过多孔介质的问题 另外。它也经常出现在非线性弹性学以及石油精炼等问题当中 基于上述原因，在这篇文章中，我们运用了z e i l d e r 1 1 关于伪单调算子的极大单 调扰动结果，研究了下述带非齐次边值的非线性抛物阃题弱解的存在性， i 旦兰l l = 尘一d i v ( i v “l 一一2 可u ) 十g u ，( z ，t ) o 【o ，t i 一 a 壬( 札l r )a n o ，t 1 l lu ( ，0 ) = ( 。，t ) 口en 其中q 是r 中的有界区域，具有充分光滑的边界ta n = r ，a nx o ，t 】一且格 林公式成立p 2 ，；1 + ；= l ，? 。，n = ( 札n ：，n ) 表示e = 舳 0 卅的外法 向量u ( z ，t ) w 1 p ( n 0 ，卅) ，l q ( f 2 o ，t 】) ，圣是定义在w 1 9 ( nxf 0 ，川) 上的 一个正常凸下半连续函数 设z = w 1 p m 【0 ，引) ，它是一个b 空间，x 的范数指川l x ，( z ，y ) x 。x 指f x ，z x 的偶对，令r 1 ，三7 l ，x 1 指强可测的x 值函数空间u ：= n 【0 ，t 1 一x ， 满足：i l u ( 2 ，t ) l l 爱d t r ，有 若以上条件成立，则方程b a u + b u 有一个解 3 河北大学理学硬士学位论文 2 主要结果 设以下条件( g ) 成立t ( g 1 ) g ：x 一2 f 是d e r a i 一连续伪单调算子； ( g 2 ) 函数( z ，t ) 一( g u ( z ，z ) ，口( z ，) ) * 在nxf o ，t 】是可测的，v u ，口x ； ( 6 i ) | | g t ( z ，t ) l l x o ( i i ( z ，) i l f l + 6 ( ，t ) ) ，v u ( z ，t ) 6x ，6 ( 2 ，t ) l q ( n o ，t ) ； ( g 4 ) 存在z ( z ，) w ，使( g u ( z ，) ，u ( 。，t ) 一z ( ，t ) ) x o ，v u ( z ，) 6x 成立 定义2 1算子a u = 一d i ( i v u l p 一2 v u ) ，对于每个固定的t 0 ， 我们定义映射a ：x x 。如下， ( a “，。x = l v u l ，一j v u v ”出 由 8 j 8 知，a 是处处定义，d e r n i 一连续的，单调算子，故是极大单调的 定义2 2设以= 妒( z ，一) ：r 一面是正常凸下半连续函数，艮= a 饥定义 圣( u ) ：v 一面为， 西( t ) = j 上t z n 也( “扭出也( u i r ) 工1 ( a n 【0 i 卅) i + o 。也( u | r ) 三1 ( o n 【o ，t ” 可以证明垂是正常凸下半连续函数，对u k ，6v + 有， ，60 6 ( u ) 仁争，6 凡( u ( z ，t ) ) ，“r 其中舳( u ) 的定义如下；对v u ，u6v ，有 西( ) 一圣( u ) j o 上n a 圣( t i r ) ( v u ) d r d t ，v 矿 4 主要结果 引理2 1 问题( + ) 弱解的存在性等价于下列变分问题变分解的存在性：即找 “y 满足“( z ，o ) = u ( z ，? ) ，使得： 曼! 掣，。一t 矿+ a “，。- - u y + g u ， t 正y + 蚕( u ) 一圣( ) ，口一u ，v v v 证明：若“( 。，) 是( + ) 的解，则 由格林公式得； 由边值条件有 上掣( 。叫如一上酬v “ p - 2 v u m 叫如 + 上g “( ”一“) 如= 上f ( t ，- - u ) 如 五掣( ) 出+ 上i v u | p - ：v u v ( 。叫如 一厶( n ，i v “r 2 v “) 扣一“) d r + 上g u p 一“) 如 = 上f ( v - - u ) 如 上掣( ”叫如+ 上i v 印。v uv ( 。叫如 + 厶州u l r 】( u u ) d r + 上铂( ”叫如 = 上巾一“) 如 上式两边从 0 ，t 】积分有， r 上掣卜u 肭+ z t 上l v 叫p - 2vu 、7 卜州础 + 上r 上。a 亚( n i r ) ( 。一“) d u d t + 上t fg u ( ”一。) a 。出 = l 、f ( ? j - - u ) d z d t 5 河北大学理学硕士学位论文 由次微分的定义 从而我们有 即 垂( 。) 一圣( “) t i a no i ( u i r ) ( ”一“) a p a t f 上掣( 脚+ i ( 7 上j v 妒。v v - u z + 圣( ) 一圣( u ) + 上g札扣一u)dzdtjo j n “m 叫揪 曼兰g 生， 一u y + a u ，u u 矿+ 垂( u ) 一圣( “) + g u ， 一u v ， 一“vv v v 从而u 是( 1 ) 的解 反之，若u v ，u ( 。，o ) = u ( 。，? ) 是( 1 ) 的变分解 即，对任意的”v 有。 l t f 。o u ( ”一u ) 如a o t fl v u i p - vu v ( 。一。) a 。出 + 上上g u ( 口一t ) 如d t + 垂( u ) 一圣( “) j o 上m 一”) d z d t 令”2u + 妒， 币c 扩( n o ，驯) 则圣( 口) = 圣( “+ 廿) = 圣( “) ，札，u a q o ，t 将其 代入i - _ 式有， z t 上害+ j ( t 上l v 旷：v u e 7 拙出 + l q3 a 铂毒如d t 2 “s 4 j d z d t 6 主要结果 由的任意性我们有 即在广义意义下 f o r n 象t t 廿d z d t + j ( 7 上j v 卵。2 v uv 纰出 + 卜孛d z d t = “触出 ，= 皇兰2 ；兰! 一d i ”( i v u 尸一2 可u ) + g “ 此外，由格林公式我们有 上7 上掣( ) d z 出- 上7 扣( m 。可州胁出 + 。：1 上。( n ，i v u l 9 2 v u ) ( ”一 + j ( 1 (-u u ) a t d tg u ( v u ) d z d t 0j + 圣( u ) 一壬( u )+ ( n ，i v u l 9 2 vu ) ( 一+ ，n + 圣( u ) 一壬( u ) jdj a nj l 兰z 7 上巾叫蛐 由，= 旦掣一出。( i v u p v “) + 吼有 吣) 一啡) 一r 上。( 州v 卵。2 v u ) ( 。一u ) 捌 由次微分定义可得t ( n ，iv u l 9 2v “) ea 壬( t 1 r ) 至此说明( + ) 的弱解与( 1 ) 的变分解等价 设w = u ex ，一x + ) 则w 按范数i n l l w = i n i i x + l i u l l x 构成b 一空间，其 中u 指u 在下面意义下的广义微分 卜懈，t ) d r = - 小刈) 掣出，叭冒( n 【0 ，丁 ) 定义2 3l ：d ( l ) c w x 定义为 河北大学理学磺士学位论文 l u = u 7 ，d ( l ) = u 眦“( z ，0 ) = u ( z ，丁) ) 引理2 2由上述定义的算子l 是极大单调算子 证明：设v = l p o ，t ，x 】，由分部积分公式： ， ( u ( 。，t ) ，u ( 。，) ) x 出= 1 2 ( 1 l u ( 。，t ) i l 备一i i u ( z ，o ) i 备) ，( 1 ) j 0 1 )显然是线性的； 2 ) l 是单调的，实际上由( 1 ) ： ( l u ，u ) v = l 2 ( i l u ( 。，t ) l i 备一l i “( z ，o ) l l 备) = o ，v ued ( l ) 3 )下证上是极大单调的，为此假设 ( u ( 2 ，f ) ， ( z ，t ) ) ev v 且 0 兰( w ( z ，t ) 一l u ( z ，t ) ，v ( z ，t ) 一u ( z ，o ) v ，v u d ( 工) ，( 2 ) 我们必须证明：u d ( 工) ，”= l v ，即w = 一为此我们选取t = 币z ，曲ec 富。( n i o ，t i ) ，z x ， 贝4 “= 。ex + ，t ( z ，0 ) = 咖：( z ，0 ) = 曲：( z ，) = u ( z ，t ) ，让x ，t = z x 从而“d ( l ) ，故( l u ，u ) = 0 ，将u = 扯代人( 2 ) 可得t o 锄，。y 一，r ( ( z ) o ) + ( t ) 叫( t ) ，：) x d t ，v 2 x ， j 0 在此须指出 ( a ，b ) x = ( 6 ，n ) x ，v a ，6 x 由z e i l d e r2 31 7 及上式有， 1 o ) ( ) + 币o ) 。( t ) 疵：o ，v c 3 * i o ，2 1 ， j 0 8 主要结果 故t ，= ， l p 0 ，t ，x 】，l q o ，t ，x 】 下证u6d ( 工) ，由分部积分公式我们有 故有 0 茎u + 一u 7 ，口一“y = z 2 ( t l v ( z ，r ) 一u ( z ，t ) i i 备一| | ”( ，0 ) u ( 。，0 ) il l ) 0 茎( z ，t ) i i 备一怕( ，0 ) 1 1 备+ 2 ( u ( z ，o ) ”( 。，0 ) 一u ( 。，t ) ( z ，t ) ) ，v u 1 9 ( l ) 指出u ( z ，0 ) = u ( 。，t ) ，特别地，我们可以选择“( z ，) = n ，v a x 因此u ( z ，0 ) = ”( 2 ，t ) ，i e 口d ( l ) 从而我们证明了l 是极大单调的 定义2 4 设v = 护【nx 【o ，t ，捌，v + = l q f 2 o ，孔x + 】， 定义再：v y ，百：v y 页( u ) ( z ，t ) = a ( z ) u ( z ，t ) 一，( z ，) 百( ) ( z ，t ) = g ( ) u ( z ，) 引理2 3 如上定义的万：v y 仍为极大单调处处定义的d e m i 一连续算子 证明：v u ， 6p nx o ，明，x 由于向量值函数空问中h s l d e r 不等式仍然成立，由i z e i l d e r2 3 3 】有， ，r，t 1 五t 工，u yl s fi ( 直“( ，) ，( z ，t ) ) x i d t + i ，( z ，t ) ， ( z ，) ) x i d t t t 上上i v u ( z , t ) l ”1 iv ”( z ，) l 如出+ | | ，j | y 州 v l lv “1 1 影l ivt l l v + l f l l v 1 | v l l y 9 河北大学理学硬士学位论文 即：j 是处处定义的 下证万：v v + 单调：v u l ，u 2 v ，j j “1 一j u 2 v = ( a 1 u ( z ，f ) 一，( z ，z ) 一【 “2 ( z ，t ) 一，( z ，t ) j ，t 土1 ( ，t ) 一u 2 ( z ，t ) x d t j 0 ，丁 2 上 x d t 三。 即i 单调最后证明jd e m i 一连续：设在y 中，u 。一u 即， j ( 7 上l l ( z ，t ) 一u ( z , t 川妥出出一。 从而在x 中u n ( z ，t ) 一u 【z ，) ，a en 【o ，t 由4 的d e m i 一连续性有，且u 。( z ，t ) 一且u ( z ，) ，在x + 中 而 ，v _ ，让y 又( a u 。( z ，t ) ，：( 。，t ) ) x 一( a u ( z ，t ) ，z ( z ，t ) h ：( z ，t ) ex ( t t 。( z ，t ) ，z ( 2 ，) ) | xsl i u 。( 。，) i l 掣一l i z ( z ，t ) i l x 0 0 由控制收敛定理有t ，?，t f ( a u ( z ，t ) 一，( z ，) ，。( ，) ) x d ，f ( a u ( z ，) 一，( ，t ) ，= ( ，t ) x d t j 0j 0 即孔。，2 y 一j u ，z y 从而jd e m i 一连续 引理2 4 问题( 1 ) 的变分解等价于下列方程的解； o + 一a v + 确+ l v ， e0 4 ( v )( ) 证明；设”ev + 是问题( + ，) 的解。则v w v 。+ ， 一t ) + j ，u t i + 百 ，一埘+ l v ，u 一叫= 0 1 0 主要结果 ，= ! ! ? ! ! ! ! = = ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! = ! ! = ! ! ! ! 一 由次微分的定义有 故有 j ( rz 。a 垂( ”i ，) ( u 一”) a t d t _ 垂( 。) 一圣( 。) 而，u 一叫v + 百口，口一仙v + 三 ， 一叫矿+ 圣( u ) 一圣( 叫) 0 ，即可关于0ev - 是强 制的 证明：由文 7 1 知，舀仍为d e m i 一连续有界伪单调的 i i g 4 1 v ! 冱( 1 i 札i l 矿1 + 6 ) ，6 三。( n 【o ，t 】) 下证百关于0 v 强制由于存在z ( z ，) w ，使 ( g u ( z ，) ， ( 。，t ) 一2 ( z ，t ) ) x 0 从而对v u ( z ，t ) x ， ，1， j c 上( g u ( z , t ) ，”( 。，) 一z ( z ，t ) ) 工出 o 即 召t i ，“一z y o ，2 工9 ( n 【o ，t ，w ) 引理得证 定理2 1 在条件( g ) 成立条件下，对v ，口( n 【o ，t ”问题( ) 存在弱解。 满足 ueg ( n o ，t ，日】) n 工9 x 【o ，t ，x ) ， 1 2 主要结果 掣叫( n 0 ，孔刖 证明：由以上讨论，j 是处处定义的极大单调算子，l 是定义在w 上极大单调算 子，抛是v y 处处定义的极大单调算子从而 d ( l ) n d ( a 圣) = w 曲 由b ”b u l 9 】知+ j + a 圣是极大单调算子由引理2 5 知百是d e m i 一连续有界伪 单调算子，且关于0 v 强制，由引理l 1 知j ”w 使 0 0 ( v ) + - a v + l v + 百u = o 由嵌入一c ( a f o ，t l ，) 的连续性，可得 ”c ( a 【o t ，日) n 护( nx 【0 i t ，x ) ，塞工。( n f 0 i t ，x ) 由引理21 ，2 5 可知，存在”( z ，1 ) x ，”( z ，o ) = ”( z ，? ) 是问题( t ) 的弱解且 ( z ，t ) c ( a o ，t ，日) n l 9 ( n 【0 ，t ，x ) 垒型o t 三。( n 【o ，引，x + ) 注：若设j 是w - p ( n 1 0 ，t 】) 一r 正常凸下半连续函数，取g = 句，根据以上 讨论，问题( + ) 弱解存在只n g - 在z ( z ，) ew 使 ( o j t ( z ，t ) ，u ( z ，) 一z ( ，z ) ) x 0 显然0 w 若设( 0 ，o ) 口r n ，( 研) 如同文 3 1 ，假设j 满足增长条件：1 t 1 ”1 1 j j ( “) j ( ”) 则有j ( o ) 0 ，此外假设旬满足某些增长条 件，如同引理1 1 ，则问题( + ) 有解而不须如文 3 i 假设嵋f 研】( m ) ( ，w ) ，w c r ( u ) nk e r ( 墨( ) ) o ) 由此可见，我们的方法不仅适用于更广泛的算子类，以及带非齐次边值条件，而且 条件简单明了 定理2 2 若设g 是d e m i 一连续s + 算子，其他强制条件与定理2 1 相同，则对 v ，三。( nx 【0 ，卅，x 。) ，问题( + ) 存在弱解u ，满足 u c ( a xi 0 ，叫，i t ) n 7 ( n x 【0 ，t j ，x ) 掣叫( 叫o , t m 4 )饥 、。 4 证明：由文f 7 知百是d e m i 一连续s + 算子，故是伪单调算子 结论由定理2 1 即得 1 4 -j_-l-t。k j 参考文献 3 参考文献 1 z e i l d e r e n o n l i n e a rf u n c t i o n a l a n a l y s i sa n di t sa p p l i c a t i o n s i l aa n dii b s p r i n g e rn e w y o r k 1 9 9 0 2 何震、刘建中，变分不等式和非齐次边值，南开大学学报，v 0 1 3 2 ，d e c 1 9 9 9 8 7 9 3 3 s a m i r a d l y , d a n i e l g o e l e v e n ，a n dm i c h e l ，t h e r ar e c e s s i o nm a p p i n g sa n dn o n c o e r c i v ev a r i a t i o n a li n e q u a l i t i o n s n o n l i n e a ra n a l y s i s ，t h e o r y , m e t h o d sa n d a p p l i a t i o n s v 0 1 2 6 n o 91 9 9 6 1 5 7 3 - 1 6 0 3 4 h i r a n o nn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sw i t hn o n m o n o t o n e p e r t u r b a t i o n s ， n o n l i n e a ra n a l y s i s ，v 0 1 1 3 ，n o 6 ，1 9 8 9 ，5 9 9 6 0 9 5 a h m e d n u x i n g x e x i s t e n c eo f s o l u t i o n sf o rac l a s so fn o n l i n e a re v o l u t i o n e q u a t i o n sw i t hn o n m o n o t o n ep e r t u r b a t i o n s n o n l i n e a ra n a l y s i s v 0 1 2 2 ，n o 】， 1 9 9 4 8 1 8 9 6 l i uz h e nh a i ，n o n l i n e a re v o l u t i o nv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sw i t hn o n m o n o t o n e p e r t u r b a t i o n ，n o n l i n e a ra n a l y s i s ，v 0 1 2 9 ，n o 11 ，1 9 9 7 ，1 2 3 1 1 2 3 6 7 j u h ab e r k o v i t sa n dv e s a ，m u s t o n e n ，m o n o t o n i c i t ym e t h o d sf o rn o n l i n e a re o