（基础数学专业论文）复合poissongeometric过程在风险模型上的应用.pdf

摘要 在聚合风险理论中，一个非常重要的问题是研究破产概率。关于 风险模型中破产概率的研究，可以依据风险模型的不同提法，在针对 保险公司运作中遇到的种种问题，通过对概率和统计模型进行修正， 附加种种条件，使得模型更接近保险公司的实际运作，这使得破产概 率的研究变得非常富有挑战性。 本文利用复合p o i s s o n g e o m e t r i c 过程研究了两个问题：复合 p o i s s o n g e o m e 仃i c 风险模型破产时罚金折现期望和索赔次数为复合 p o i s s o n g e o m e t r i c 过程的多险种风险模型。在第一个问题中，利用微 分方法，得到破产时罚金折现期望函数的渐进公式，结果是g e r b e ra n d s h i u ( 1 9 9 8 a ) 在经典风险模型下结果的一种推广。然后利用鞅方法推导 出破产概率和盈余水平首次达到给定水平x ( x u ) 的概率表达式。在第 二个问题中，给出了初始资本为u 时破产概率沙( 0 ) 的明确表达式， 以及初始资本为u 时，破产概率( u ) 的近似估计和在某些特殊情 形下的精确分析表达式。 关键词：复合p o i s s o n g e o m e t r i c 过程；风险模型；破产概率 a b s t r a c t i nt h ea g 铲e g a t er i s kt h e o av e r yi m p o r t a n tq u e s t i o ni st os t u d yt h e m i np r o b a b i l i 够1 om a k et h er i s km o d e l sm o r ec l o s e l ys i m u l a t et h er e a l p r a c t i c e s ，b a s e do nt h ed i f f e r e n tn a t u r eo ft h en s km o d e l sa n dt h ei s s u e s e n c o u n t e r e di ni n s u r 锄c ec o m p a n i e s p r a c t i c e s ，t h er e s e a r c ho fm i n p r o b a b i l i 妙a m e n d sa n di m p o s e s 如r t h e rc o n d i t i o n so nt h e s ep r o b a b i l i s t i c a n ds t a t i s t i c a lm o d e l s ，w h i c hm a k e sm er e s e a r c ho f1 1 l i np r o b a b i l i t ym 1 1 o fc h a l l e n g e i nt h i sp a p e r ，w eu s et h ea p p r o a c ho f c o m p o u n dp o is s o n g e o m e t r i c t os t u d yt w op r o b l e m s ：t h ed i s c o u n t e dp e n a l t ye x p e c t a t i o na tm i ni nt h e c o m p o u n dp o i s s o n g e o m e 撕cr 主s km o d e la n dt h em u l 石一1 i n ei n s 删c e r i s km o d e lw i t hm ec l a i m 姗m b e rb e i n gap o i s s o n - g e o m e t r i cp r o c e s s i n m e6 r s tp r o b l e m ，i nt e r m so ft h em e m o do fd i 虢r e n t i a t i o n ，w ed e d u c ea p r o 争e s s i o nf o n n u l af o rt h ed i s c o u n t e dp e n a l t y 如n c t i o na tm i n ，w h i c hi s ag e n e r a l i z a t i o no ft h er e s u l to f g e r b e ra n ds h i u ( 19 9 8 a ) i nt h ec l a s s i c a l r i s km o d e l ；b y u s i n gt h em a r t i n g a l e 印p r o a c h ，w e 如r t h e rd e d u c et h er u i n p r o b a b i l i t ya n dap r o b a b i l i s t i ce x p r e s s i o nf o rt h es u r p l u sxt oe x c e e dt h e g i v e n1 e v e luf o rt h ef i r s tt i m e i nt h es e c o n dp r o b l e m w eg i v ea ne x p l i c i t e x p r e s s i o nf o rt h em i np r o b a b i l i t yy ( 0 ) w h e nt h ei n i t i a lc 印i t a l i su f o r 甜1 yi n i t i a lc 印i t a lu ，w eo b t a i na na p p r o x i m a t ee s t i m a t ef o rt h er u i n p r o b a b i l i 够少( u ) ； a n dw ea l s oa c h i e v ea na c c u r a t ea n a l 如c a l e x p r e s s i o nf o rt h em i np r o b a b i l i t yi ns o m es p e c i a lc a s e s k e y w o r d s ：c o m p o u n dp o i s s o n g e o m e t r 主cp r o c e s s ； r i s km o d e l ；r m i n p r o b a b i l i t y 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的 研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人 完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：钮谚缸沙彳年月 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学。 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密回。 ( 请在以上相应方框内打“ ”) 臻1 差日期：年 ，月日 月 日 复合p o i s s o n g e o m e t r i c 过程在风险模裂上的戍用 1 绪论 聚合风险理论作为保险或精算数学或者说概率论的一部分，是处 理保险业中随机模型的。在这种模型中，保险公司拥有初始资产大于 o ，理赔发生过程由一个点过程来刻画，保险公司收到保费作为其收 入，保险公司每次支付给客户的理赔额看作是一列随机变量，保费收 入与理赔额的均值的差额是“安全负荷”。 在聚合风险理论中，一个非常重要的问题是研究破产概率，即保 险公司最终的资产为负的概率。破产概率一直是风险理论研究的重 点。它之所以重要，是因为它是保险精算师的基础工具，是险种制定、 保费计算、再保险策略、代理人策略等工作的基础保险风险模型的早 期的研究可以追溯到1 9 0 3 年f i l i pl u n d b e r g 的工作，他的工作奠定 了保险风险理论的基础，l u n d b e r g 意识到复合p o i s s o n 过程是非寿险 模型的关键所在。在此基础上，h a r a l dc r 锄e r ( 1 9 5 5 ) i l 】和他的研究 机构构筑了非寿险数学模型的概率基础，使得风险理论成为概率论和 数理统计的一个非常活跃的分支。 关于风险模型中破产概率的研究，可以依据风险模型的不同提 法，在针对保险公司运作中遇到的种种问题，通过对概率和统计模型 进行修正，附加种种条件，使得模型更接近保险公司的实际运作，这 使得破产概率的研究变得非常富有挑战性。所以破产概率的研究在国 际上一直是人们关注的焦点 高校教师在职硕士学位论文 1 1 经典风险模型 我们设( q ，尸) 为一完备概率空间。 定义称过程u ( f ) = u + 甜一算置为经典风险模型，或p o i s s o n 模型 如果1 ) n ( t ) 是一齐次p o i s s o n 点过程， 2 ) 以) 是。是一独立同分布随机变量序列，e 以) = ， 3 ) 点过程n ( t ) 和随机序列 z 。 相互独立， 4 ) 保费c 为一常数。 注：当n ( t ) = o 时，我们规定攀z ，= o 。 设p o i s s o n 过程n ( t ) 的强度为五即e n ( t ) 】= 五t ，则保险公司在时段 o ，t 内期望赢利为： d e ( f ) 】研x ，】= ( c 一舡v 定义称乡：! 掣为相对安全负载。 以 若9 - o ，则当fjo o ，研u ( f ) 】专佃，即u ( t ) 具有向+ 漂移的趋势。 定义破产概率 y ( 甜) = p 缸+ x ( f ) o ) 我们也常用到生存概率( 或不破产概率) ，矽( “) = 1 一y ( “) 。 下面定义的函数h ( r ) 是重要的： 定义办( ，) = f e ”卵( z ) 一l 假设1 存在名 o ( k 可以取+ ) 使得：当rjk 时，有五( ，) 专佃。 关于经典风险模型，有如下几个重要结果 1 ) 卿) = 南 复合p o i s s o n g e o m e t r i c 过程在风险模型上的应用 2 ) 若 以) ：。为均值为的指数分布，则 吣) = 南e x p ( _ 志) 3 ) 若乡 - o ，r 是方程五( ，) = 要的正实数解，使得 詈p ( 1 - 砷) 如1 则1 i m p 胄”y ( “) ：生 h 。 | i l 坎一旦 旯 上式称为c r 锄e r l u n d b e r g 逼近。 4 ) y ( “) p 一，其中r 是方程j j l ( ，) = 要的正实数解 上式称为l u n d b e 玛不等式。 5 ) 吣) 2 ( o ) + 詈j l 咖q ) ( 1 _ ，( 砌出 前面已指出，经典风险模型虽然成功的解决了单险种经典模型的 破产概率问题，给出了初始资本为0 或理赔额分布为指数分布时，破 产概率的精确表达式，并对初始资本为时的破产概率进行了估计， 给出了著名的l u n d b e 玛不等式和c r 锄e r l u n d b e r g 逼近。但是经典风 险模型不考虑公司经营规模及经营状况的变化，不考虑不同险种顾客 索赔到来的本质差异，也不考虑公司实际上的多险种经营和新险种的 开发，因此，其应用受到很大的局限。经典风险模型的这种局限性， 本质上与p o i s s o n 点过程的平稳性以及保费c 为恒定的假设相关联， 为了更好的描述保险公司的经营过程，需要对它进行拓广。因此，自 经典的破产理论诞生以后精算界和数学界对此做了很多研究，从各个 方面对经典模型进行了推广。 高校教师在职硕士学位论文 1 2 经典风险模型的拓广模型 1 2 1 索赔过程 主要把索赔过程推广到一般的更新过程。在经典的模型中，我们 的索赔次数 纵o 是一个p o i s s o n 过程，其等待时间为指数分布， 通过用更一般的分布来代替指数分布，使得索赔过程是一个一般的更 新过程，如d i c l ( s o n ( 1 9 9 7 ) 嘲，吴荣与杜勇宏( 2 0 0 2 ) 【3 1 ，孔繁超、曹 龙和王金亮( 2 0 0 5 ) 【4 1 。其中，近年来国内外有一些文献如d i c k s o n d c ( 1 9 9 8 ) 嗍，孙立娟、顾岚( 2 0 0 0 ) 1 6 】，把索赔等待时间用e 订a n g ( 2 ) 分布来表示获得了更符合实际的结果。另一类索赔总额过程的推广是 c o x 过程亦称为双重随机p o i s s o n 过程，如魏丽( 2 0 0 5 ) 【7 】，何树红 与徐兴富( 2 0 0 4 ) f 8 】，曾霭林与张汉君( 2 0 0 3 ) 例 1 2 2 保费收入 在经典的模型中，我们的保费收人是时间t 的函数，是一个确定 性线性过程，现在很多学者把它推广到随机过程，如文献董文华与张 汉军( 2 0 0 3 ) 【1 0 】中把它推广到的p o i s s o n 过程，如文献刘家军与刘再 明( 2 0 0 3 ) 【l l 】考虑保费到达为更新过程的复合更新风险模型。 1 2 3 考察对象 经典破产理论模型中大多集中考虑最终破产概率、有限时间的破 产概率。g e r b e r ( 1 9 9 8 ) m 】等引入了两个刻画保险公司破产情形的随机 变量x = u ( t - ) 与y 毫u ( t ) f ( “；x ) = p ( u ( ? 一) x ；f o o u ( 0 ) = 拓) g ( “；y ) = p ( u ( 丁) 一y ；r o ，o 夕 o ，o 户 o ，有n ( t ) p g ( 允，户) ；而且 聊) _ 南m 】= 篱 由定义2 ，当p = o 时，复合p o i s s o n g e o m e t r i c 过程就是p o i s s o n 过程，因此复合p o i s s o n g e o m e t r i c 过程是p o i s s o n 过程的一种推广。 引理1 设索赔过程s ( f ) = ：也，其中 ( f ) ；f o 为复合 p o i s s o n g e o m e t r i c 过程，t 之间独立同分布，而且与 ( f ) ；f o ) 独立。 设置的密度为 ( x ) ，分布函数为瓦( x ) ，矩母函数为m x ( r ) ，并设每 次索赔额为以o ，则 复合p o i s s o n g e o m e t r i c 过程在风险模型上的应用 1 ) 索赔过程 s ( f ) ，f o 具有独立平稳增量； 2 ) s ( t ) 的矩母函数为m 跗) = e x p ( 篇) 3 ) s ( t ) 的数学期望及方差分别为嬲( f ) = f ，v a r s ( f ) = 口；f ，其中 口。：# 1 ，口；：( p ：+ 竽殖) ，p 。：戤。，p ：= 以? ，称 s ( f ) ，f o ) 为复合 l pl p p o i s s o n g e o m e 仃i c 过程。 引理2 设 ( f ) ；f o ) 为复合p o i s s o n g e o m e t r i c 过程，记 口：丛1 二丛，( 若户：o ，则取口：兄) ，则当t 足够小时有 p ( o ) = o ) = p m = l 一办+ d o ) ， 只( o ) = 尼) = 印七f + 彳七o ) d o ) ，尼= 1 ，2 ， 其中，4 ( f ) = p 七+ ( 霓一1 ) 【户( 1 + 耐) r 2 ，d ( f ) 与k 无关，且：，以( f ) 一 致收敛。 复合p o i s s o n g e o m e t r i c 过程在风险模型上的麻用 2 复合p ois s o n g e o m e t ric 风险模型破产时罚金折现期望 2 1 引言 设q ，f ，p 是包含下列独立因素的完备概率空间； 1 ) 普哇松过程n = ( f ) ；f o ) ，n ( o ) 一o ； 2 ) 独立同分布的随机变量序列 鼍) k = 1 ，每个x 。都有相同的 分布函数f ( x ) 和密度函数坟x ) ，并且f ( o ) = o ，瓯= ，= l ， 设o 是保险公司的初始盈余，保费以单位时间常数c 的速率被 连续收取。对于，o 时刻的盈余为 ( f ) u ( f ) = c f 一置( 2 1 1 ) 其中，n ( t ) 表示 o ，f ) 时间内的理赔次数，墨是第i 次的理赔量。 我们假定n ( t ) 是带有参数兄的普哇松过程；个体理赔量置，待1 ， 是相互独立且同分布的随机变量，并且独立于n ( t ) 一般的，( 2 1 1 ) 被称为经典盈余过程。由于普哇松过程有良好的性质，所以长期而广 泛的用于各种风险模型。然而，其优美的性质正是现实情况所难以具 备的。文【2 8 1 首先引出一类称为p o i s s o n g e o m e t r i c 过程的计数过程， 作为索赔次数过程它是p o i s s o n 过程的一种推广，而且有着实际应用 背景；在没考虑利率因素的条件下，得到了当n ( t ) 为 p o i s s o n g e o m e t r i c 过程的风险模型的破产概率公式及更新方程。本章 将研究复合p o i s s o n g e o m e t r i c 过程风险模型破产时罚金折现期望的 高校教师在职硕士学位论文 性质。令t 表示破产时间 丁= i n f 口：u ( z ) o ) ( 2 1 2 ) 并且 ( “) = p ( 丁 生，于是l i m ，一u ( f ) = 口s ，并且，沙 ) o 对( 2 2 1 1 ) 两边关 于u 从u = o 到u = z 进行积分可得： 4 。最几( z ) 一j ，砌( o ) = 五r 占，风( 戈) ，e 嘞，厶( y ) 砂】出一五r p 一彬缈( “) 幽 ( 2 2 1 2 ) 再令z o 。由于l i m ：。即。( z ) = o 则： 1 7 高校教师在职硕十学位论文 ( o ) = 导西( 风) ( 2 2 1 3 ) 把( 2 2 1 3 ) 代入( 2 2 1 2 ) 中并化简得： 占，砌( z ) = 昙f 子，砌( x ) ，e 嘞y 厶( y ) 方】出+ 昙f e 一砌“( “) 如 ( 2 2 - 1 4 ) 于是，在( 2 2 1 4 ) 两边同乘以p 一卿并化简之，即可得( 2 2 7 ) 式。 注1 如果我们作如下记号： g ) = 鲁f p 嘞( ) ，q 厶( y ) 方和而( “) = 害f e 嘞。w ) 功( z ) 出 ( 2 2 1 5 ) 则方程( 2 2 6 ) 可改写为：中占( “) = 率g ( “) + 而( “) ( 2 2 1 6 ) 注2 如果令p ：o ，即得到g e r b e ra n ds h i u ( 1 9 9 8 a ) 讨论的常数利 息力下的相应结果。如果令万= o 从而风= o ，我们有艄2 考( 1 一c 坳 它可以被解释为盈余首次低于u 并且盈余量介于u y 和u - y d y 之 间的概率。 注3 由分部积分可得： 五( 孝) = 卜f j c o p 哮 卜o ( x ) 出 于是，( 2 2 8 ) 式可改写为 艿= c f 一旯( 1 一五( 孝) ) = 善 c 一九re 一乒【1 一( x ) 出) 从而，l 融去= c 一力r 【l 一( 列出= e 一鸶 ( 2 2 1 7 ) 其中，c 一尚恰是风险过程缈( f ) ，o ) 时的漂移。 定理2 4 若记击占( 孝) = r 仑一扫。占( “) 如，则有 的2 鬻 2 邶) 证明：关于式( 2 2 1 6 ) 施行拉普拉斯变换并令风= 茧，得 复合p o i s s o n g e o m e t r i c 过程在风险模型上的应用 哟= 篙 ( 2 2 1 9 ) 易算出h ( u ) 和g ( u ) 的拉普拉斯变换为 于是， 船) = 群 c 统一c ， 孵，= 鼍掣 ( 2 2 2 0 ) ( 2 2 2 1 ) 1 一营( 孝) = 鬻 ( 2 2 2 2 ) 把( 2 2 2 0 ) 和( 2 2 2 2 ) 式代人( 2 2 1 9 ) 式得( 2 2 1 8 ) 式。 注4 如果缈( x ，y ) = l ，则： ， 哟2 篙卷嬲 。 风孝【力( 1 一无( 孝) ) + 万一c f 】 进一步，令艿一o ，则得到风险过程( 1 1 ) 下的破产概率沙( “) 的 拉普拉斯变换： 、椰一无( 锄+ 孝等 烈9 2 面而湍 既然j c o g ( x ) 出雪( 风) 丽 1 ，方程( 2 2 - 7 ) 或( 2 2 1 6 ) 是一 个瑕疵更新方程。但是选择r = 一磊，则：r e 晟g ( x ) 出= 雪( 色) = 1 ，于是， 对函数6 ( “) 应用关键更新定理，可得如下渐近公式： 定理2 5 假定f ( x ) 有连续的概率密度函数坟x ) 并且缈( x ，y ) 关于x 是连续的，则 喇端p 嘲 1 9 高校教师在职硕十学位论文 i - - - - - _ _ - _ _ - _ _ - _ _ - i _ _ _ _ i - _ - 一_ 五r p 触一p 一) f 功( x ，y 一工) 厶( y ) 咖出 一乃名( 一r ) 一c e 一肋，“寸( 2 2 2 3 ) 证明：第一个等式直接由关键更新定理得到。另一方面，由 ( 2 2 2 0 ) 和( 2 2 2 1 ) 得到 和 证舻坐兰型凳掣 ( 2 2 2 4 ) 。 c ( 风+ r ) 、7 雪( 一r ) = 兰互乏等 ( 2 2 2 5 ) 注意到雪( 一r ) = 1 ，把上面两个等式代人第一个等式即得结论成立。 推论2 6 破产概率满足： c 一尘 帅，赤p 一一o o 证明：如果国( x ，y ) ：1 ，分子为 a c o ( p 血一e 一) 1 一( x ) 】出= 兰竿+ 掣 ( 2 2 2 6 ) = 半+ 警= 警亿2 刀， r 风p o 尺 、7 注意到当万哼。时，掣专c 一兰，于是定理即得证明。 p o j r1 一p 。7 7 。”。7 。 定理2 7 假定f ( x ) 有连续的概率密度函数取) ，并且缈( 石，力关于x 是连续的，则： 厂( 戈，y o ) = 吾p 一厶 + y ) ( 2 2 2 8 ) 证明：在( 2 2 1 5 ) 和( 2 2 1 6 ) 中，令u = o 得： 5 ( 0 ) = 而( o ) ， 邶) = 昙肛一砧厶( 州力蛐 2 2 2 ” 复合p o i s s o n g e o m e t r i c 过程在风险模型上的应用 i 司时，由和的定义，得： 占( “) = 伽( x ，y ) 厂( 而y “) 蛐 令u = o ，得 占( o ) = 肛( 石，y ) ( x ，y o ) 蚴 ( 2 2 3 0 ) 注意到对于任意关于x 的连续非负函数缈( 五y ) ，都有( 2 2 3 0 ) 成立，因此，定理得证。 注5 对( 2 2 2 8 ) 关于变量x 积分，可得： j c d 厂( 五夕o ) 出2 詈r p 一厶o + y ) 出2 g ( x ) ( 2 2 3 1 ) 此g ( x ) 恰是( 2 2 1 5 ) 中的g ( x ) 注6 从( 2 2 2 8 ) 可推得： e 【p 一醪，( r ) u ( o ) = o 】= o ，j ，o ) 螂= f g ( y ) 咖 ( 2 2 3 2 ) 如果令万= o ，此时，夕。= o ，g ( y ) = 争1 一( y ) 】，于是， ) = 詈肛加肋= 志 2 3l u n d b e r g 基本方程及应用 在本节中，由鞅方法，我们不仅得到了l u n d b e 玛基本方程，而 且给出了破产概率和盈余首次达到给定水平x 的概率。 定义3 1 对于风险过程u ( t ) ，我们定义流f = ( e ，f o ) ，其中， e = 盯渺( s ) ：s f ) 易知，f 是一个仃一域，它表示u ( t ) 直到时刻t 的历 史。显然，我们有：当s o ，e = n 蹦b 选择一个数f ( 将在下文中确定) ，使矿舢肌，k 成为一个鞅。既 高校教师在职硕十学位论文 然u ( t ) 有平稳独立增量，鞅条件为： e e 一詹+ u ( o ) = 甜】= p 乒( 2 3 1 ) 注意到厶( x ) = ：，( 1 一p ) p 纠( x ) ，若用肘厶( 厂) 表示密度函数( 工) 的矩母函数，则 m 矗( ，) 一12j ：e 肛( 工) 出一1 ( 2 3 2 ) = ：。f p “( 1 一p ) p h ( x ) 出一l = ：。( 1 一p ) 户卜1 ( m x ( ，) ) 一l l 一刎x ( ，) ：丝墨盟二! l 一j ( ，) 由引理l 得：膨墨( ，) = p 旯7 卜1 ，由此可得l u n d b e 略基本方程： z 乞( f ) = 五+ 万一c 孝( 2 3 3 ) 由前文所述，我们知道方程( 2 2 7 ) 有两个根，磊= 风o ，彘= 一r f o ) 复合p o i s s o n g e o m e t r i c 过程在风险模型上的应用 = 研p 一弘异u n 丁，o 】尸( 丁气) + 研p 一岛一月u b 丁 气】尸( 丁 ) 令i ( a ) 表示集a 的示性函数，于是有 秒e 瞳一吼一定u 岛丁 f o 】p ( r f o ) = e 陋一一詹u b ，( 丁 f o ) 】 ( 2 3 6 ) 研p 一一足岛，缈( f o ) o ) 】 易得： o 研p 一瓯一置u 。，( u ( 乙) 0 ) 0 ) 】= 0 ( 2 3 7 ) 于是，在( 2 3 5 ) 中的最后一项中令f 。专o o ，可得： p 一砌= e k 一曰一矗u r 丁 甜o ，有 e p 一识，( f 。) u ( o ) = “】 ( 2 310 ) 高校教师在职硕十学位论文 因为对于o f ，o 研p 一+ 削，( f 。) u ( o ) = “】p 刖，在( 2 3 1 0 ) 中令，一o o 得： p 删= e 陋一吼+ 雕，( t o 其帆胪o ，。南 由于置服从参数为的指数分布，因此，兵( x ) 是参数为( 尼，) 的 g 猢a 分布密度，即崩加篱g 一，所以 厶( x ) = ：。( 1 一p ) p 扣1 片。( x ) = ( 1 一p ) p 一声1 _ p p ( 2 4 1 ) 从而 五= 朵熬 于是，下面三个推论很自然可以得到： 推论4 1l u n d b e 唱基本方程为： 见+ 万一c 孝= 允器 其解为： 复合p o i s s o n g e o m e t c 过程在风险模璎上的应用 胪竺丝! 尘掣坠兰型 z c d彳一么2 4 c ( 1 一夕) ( 五一彳一c ( 1 一p ) ) 一，t = 一 其中，彳= 旯+ 万一c ( 1 一力 推论4 2 万( “) 所满足的更新方程为： o d ( z f ) = 5 木g ( “) + 五( 1 1 ) 其中， 舭) = 乏e 唧且撕) = 昙f 2 嘶叫砂 。、 c ( p o + ( 1 一p ) ) 、 c 由 。 推论4 3 厂( 五y o ) ：塑1 1 塑壁p + ( 1 训胁廿p ) 彦 ( 2 4 2 ) e 一盯，( 丁 o o ) u ( o ) = o 】2 二瓦高 推论4 4 假定缈( 而y ) = 缈( y ) ，则： 中占似) 西( ( 1 一p ) ) ( ( 1 一p ) 一r 弦一鼬，甜专+ ( 2 4 3 ) 其中：面( ( 1 一力) = r 缈( y ) p 邮训彦方 证明：由推论4 2 中g ( u ) 和h ( u ) 的表达式可得： 彪) = 而靠篆 从而 富( 孝) = 丛生p 够一 c ( ( 1 一p ) + 风) ( ( 1 一p ) + f ) 2 办c x ，= 2 量l 乏最 竺芝筹且| i ；c 孝，= ：瓦r 兰罢号丢号 考耋踹 由此及定理2 5 及式( 2 2 1 5 ) 可得。 推论4 5 破产概率满足： 证明：令缈( y ) = 1 ，由推论2 6 得。 ( 2 4 4 ) 复合p o i s s o n ，g e o m e t r i c 过程在风险模型上的应用 3 索赔次数为复合p o is s o n g e o m e t ric 过程的多险种风险模型 经典风险模型及其拓广模型【3 l 】f ，z 】【3 3 】为描述单一险种的风险经营 过程提供了各种数学模式。在这些风险模型中，由于险种是单一的， 顾客的索赔额是独立同分布的假定自然是合理的，同时顾客的索赔到 达时刻只需用一个点过程来刻画，这给数学处理相应地带来了方便。 考虑到风险经营业规模的不断扩大，即风险经营业险种的多元化，有 必要为多险种风险经营过程提供较单一险种更为客观实际的风险经 营模型。基于这种想法，本章建立了多险种风险模型。在多险种风险 模型中，各险种的理赔额自然是不同分布的，同时各险种的理赔时刻 也需要用不同的随机点过程来描述，这自然给多险种模型的稳定性分 析带来了一定的困难。【3 4