（基础数学专业论文）随机利率衍生产品的定价理论与若干应用.pdf

摘要 随机利率衍生证券的定价方法主要有两种：偏微分方程( p d e ) 方法和鞅方法本文采用p d e 方法讨论三个问题。 第一个问题是附息票债券期权的定价问题其中，短期利率模型 是无套利的h u ll - w h it e 模型，首先用概率论方法和p d e 方法得到偏 微分方程的基本解具体形式在此基础上对下列三种情形作了讨论： ( 1 ) 期权到期日与资产交割日相同；( 2 ) 资产交割日滞后于期权到 期日但两者介于相邻两个息票日之间；( 3 ) 资产交割日滞后于期权到 期日后的若干个患票支付日得到了相应的显式定价公式。 第二个问题是当本国利率，外国利率满足g a s i c e k 模型时，欧式 外汇期权的定价问题对这个多维偏微分方程并不采用基本解方法，而 是通过选择适当的计价单位，引进相对价格体系，将方程的维数从三 维降到一维，从而得到了该问题的显式定价公式 第三个问题是养老金保险合约在利率随机的情形下保费额的确 定问题对离散交付和连续交付保费两种情形作了讨论由于连续交 付保费所以养老金保险合约的价格函数满足的抛物型方程是非齐次 方程，这与前面两个问题都不同。结果表明：连续交付的费率是离散 交付额的一种自然推广 关键词：随机利率，附息票债券期权，外汇期权，养老金保险合约， 鞅方法，p d e 基本解。 a b s t r a c t t h i s p a p e rs t u d i e s t h ep r i c i n g t h e o r yo fi n t e r e s tr a t e d e r i v a t i v e sa n di t sa p p l i c a t i o n t h ep r i c i n gm e t h o d so ft h e i n t e r e s tr a t ed e r i v a t i v e sh a v et w op r i m a r yf o r m s ：t h ep a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o na n dt h em a r t i n g a l ea p p r o a c h i nt h i st e x t ， w ed is c u s st h r e ep r o b l e m sb ym e a n so fp a r t i a id i f f e r e n t i a l e q u a t i o n t h ef i r s ti st h ep r i c i n gp r o b l e mo ft h ec o u p o n b e a r i n g b o n do p ti o n t h e r e i n ，t h es h o r t t e r mi n t e r e s tr a t em o d e li st h e n o a r b it r a g ei n t e r e s tm o d e l 一h u l l w h it em o d e l f i r s t ，w it h t h em e t h o d so fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o na n dp r o b a b i i i t y t h e o r y ，w e c a nf i n dt h ec o n c r e t ef o r m o ft h ef u n d a m e n t al s o l u t i o no fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n b a s e do nt h e m ，w e d is c u s st h et h r e ep r o b l e m s ( 1 ) t h em a t u r i t yd a t eo fo p t i o ni s t h es a m e n e s so ft h ea s s e t sp r o m p td a y ( 2 ) t h ea ss e t sp r o m p t d a yi sb e h i n dt h em a t u r i t yd a t eo fo p t i o nb u tt h e ya r eb e t w e e n t w on e i g h b o r i n gd e li v e rc o u p o nd a t e s ( 3 ) t h ea s s e t sp r o m p td a y isb e h i n ds e v e r a lc o u p o nd a t e sa f t e rt h em a t u r i t yd a t eo fo p t i o n f r o mt h ea b o v e ，w eg a i nt h ec o r r e s p o n d e n te x p li c it p r i c i n g f o r m u l a t h es e c o n dp r o b l e mi st h a tw h e nt h ed o m e s ti ci n t e r e s tr a t e a n d t h ef o r e i g ni n t e r e s tr a t es a tis f yt h ev a si c e km o d e l ，w e 4 d o n tu s et h ef u n d a m e n t a l 一s o l u t i o nm e t h o do fm u l t i d i m e n s i o n a l p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nt os o l v et h ep r i c i n gp r o b l e mo f e u r o p e a n m st y l ef o r e i g ne x c h a n g eo p ti o n ，h o w e v e r ，w er e d u c e t h ed i m e n s i o no ft h ee q u a t i o nf r o mt h r e et oo n et h r o u g hc h o o s i n g p r o p e rn u m e r a i r ea n df e t c h i n gi nr e l a t i r ep r i c es t r u c t u r e ，a s a c o n s e q u e n c e ， w e g ai nt h ec o r r e s p o n d e n te x p li citp ri ci n g f o r m u l ao ft h isp r o b l e m i nt h ee n d ，w ed i s c u s st h ep r o b l e mo fh o wt oc o n f o r mt h e i n s u r a n c ep r e m i u mw h e nt h ea g ep e n si o ni n s u r a n c ec o n t r a c ti s u n d e rt h esit u a ti o nt h a tt h ei n t e r e str a t eisst o c h a stic t h is t e x td i s c u s s e st h et w oc i r c u m s t a n c e so f d is c r e t e - - - p a ya n d c o n ti n u o u s m p a yi n s u r a n c e p r e m i u m a sa r e s u lto f c o n ti n u o u s p a yi n s u r a n c ep r e m i u m ，t h ep a r a b o li c e q u a ti o n w h i c hs a t i s f i e db yt h e p r i c e f u n c t i o no ft h ea g ep e n si o n i n s u r a n c ec o n t r a c tisa n i n h o m o g e n e o u se q u a ti o n t h a t i s d i f f e r e n tf r o mt h ef o r m e r p r o b l e m s s oit p r o v e d t h a t c o n t i n u o u s u p a yr a t ei san a t u r a le x t e n do ft h ed is c r e t e p a y sit u ati o n k e y w o r d ： s t o c h a s t i ci n t e r e s t r a t e ，c o u p o n b e a r i n gb o n d ， m a r ti n g a l ea p p r o a c h ，a s s e t sp r o m p td a y ，f u n d a m e n t a ls o l u ti o n 5 第一章引言 随着经济全球化的发展，利率市场的不确定性日益增加为了抵御利率风险，人们正越 来越多的使用利率衍生证券。最近二十多年来，海外利率衍生证券市场发展很快。在我国， 随着市场经济体制的不断完善，资本市场逐步开放，利率市场化的内外部条件正在逐步具备， 各种利率衍生证券也正由各金融机构逐步较快地向市场推出因此，研究利率衍生证券的定 价机制具有重要的现实意义 零息票债券的价格受市场上各种不确定因素的影响，它的变动具有随机性。零息票债券 的价格变化反映了各种市场利率( 如，即期利率，短期利率和远期利率) 的波动。然而由于 人们只能知道当前市场上的债券报价。并不知道未来市场价格情况的变化，为了尽可能的减 少由于未来市场存在的不确定性给投资人带来的风险，我们需要研究和确定未来债券的一种 合理价格。为此需要建立债券价格模型一种最初的想法是把债券作为利率的衍生产品，通 过建立适当合理的利率模型，确定债券的理论价格和利率期限结构。一种在数学上容易处理 的方法是建立短期利率模型。一旦模型建立，因此而获得债券的理论价格，我们就等于确定 了所有的市场利率。因为零息票债券的收益率反映了市场的即期利率。因此，人们提出了各 种形态的短期利率模型常见的短期利率模型有 ( 1 )v a s i c e k ( 1 9 7 7 ) ：d r , = ( 6 一q ) 国+ o d 嵋 ( 见【2 】) ( 2 ) r e n d l e m a n - b a r t t e r ( 1 9 8 0 ) ：d r , = ( 础+ 佣) ( 见【2 3 】) ( 3 )c o x - i n g e r s o l l r o s s ( 19 8 5 ) ：啦= ( b - a r , ) d t + 仃机 ( 见【4 】) ( 4 ) h o - l e e ( 1 9 8 6 ) ：疵= o ( t ) d t + 圆 ( 见 2 6 】) ( 5 ) h u l l - w h i t e ( i ) ( 1 9 9 0 ) ：疵= ( 口( f ) - a ( t ) r , ) d t + o ( t ) d w t ( 见【2 7 】) ( 6 ) h u l l w h i t e ( i i ) ( 1 9 9 0 ) 虫= ( p ( f ) 一a ( t ) r , ) d r + 盯( f ) d w , ( 见【3 】) ( 7 ) b l a c k - k a r a s i n s k i ( 1 9 9 1 ) ：比坼= ( o ( t ) 一口上e ) 西+ a d w ，)( ( 见【2 4 】) ) 利率的一个重要特征是具有均值回归现象，并且受市场不确定因素的影响而呈现随机波 动现象因此v a s i c e k 于1 9 7 7 年首先提出了一个符合上述特点的短期利率模型。该模型结 构简单，作为衍生债券的零息票债券价格函数具有指数仿射结构型的表达式从而容易得到 其他利率。然后，它也存在明显的缺点；除了可以取负值之外，相应的零息票债券价格不能 自动拟合实际市场的初始期限结构。此后人们开始提出各种随机利率模型。有些模型具有均 值回归现象，除了v a s i c e k 模型外，还有c o x - i n g e r s o l l - r o s s ( 简称c i r 模型) ，h u l l w h i t e ( i ) h u l l w h i t e ( i i ) ，b l a c k - k a r a s i n s k i 等 有一类模型是所谓时齐模型，即在定义短期利率的随机微分方程中所有系数都是与时间 无关的常数。例如v a s i c e k ，r e n d l e m a n b a r t t e r ，c o x - i n g e r s o l l r o s s 等。这类模型的一个共 同缺点是由它们确定的零息票债券的初始期限结构都不能与实际市场的初始期限结构吻合， 因为这类模型中只有有限个参数。 还有一类模型是所谓的无套利模型，即由它们确定的零息票债券价格函数在初始时刻与 市场报价完全一致。例如，h o - l c e ，h u l l w h i t e ( 1 ) b l a c b k a r a s i n s k i 。h u l l w h i t e ( i i ) 。这是 一类比较好的模型，被市场实践者能够接受的模型 还有一类模型是所谓仿射结构模型，即由它确定的即期利率是短期利率的仿射函数。例 如，v a s i c e k 。c o x - i n g e r s o l l - r o s s ，h o - l c e ，h u l l w h i t e ( i ) ，h u l l w h i t e ( i i ) 。这类模型对 应的零息票债券价格函数可以表示为指数型仿射函数，因此具有很好的解析函数功能 另外，有些模型在一定条件下，利率将总是正的例如b l a e k - k a r a s i n s k i 模型保证利率 不会出现负值c o x - i n g e r s o l l r o s s 在条件2 b 仃2 下利率总取正值。r e n d l e m a n b a r t t e r ，在 初始时刻利率取正值时，就永远取正值 胁2 i f 一胁妇模型( i i ) 克服了c i r 模型的缺陷保持了c 职模型优点，因此是一个不 错的可选短期利率模型，但由于短期利率服从z 2 分布，因此在利用风险中性鞅测度或其他 等价鞅测度计算其衍生产品的价格时会遇到困难。最近，m a l l i e r 与a l o b a i d i 采用偏微分方 程傅立叶变换的方法给出了c i r 模型下的利率互换合约定价封闭形式表达式( 见 2 8 】) 。 胁盯一黝f 纪模型( i ) 保持了均值回归的特点和能够自动拟合实际市场的初始期限结构的 优点，而且，由于短期利率服从正态分布，所以没有胁z f 一臃妇模型( i i ) 存在的有关计 算方面的困难。除了以上模型之外，人们还提出了其他一些模型，例如，平方g a u s s 模型( 见 下一章介绍) 和l i b o r 市场模型( 见【2 9 】【3 0 】) 以及互换市场模型( 见【3l 】) ，但都各有优点 和缺陷。 2 短期利率模型下的衍生证券价格函数虽然容易导出满足的偏微分方程，但用一个反映瞬 时利率水平的短期利率来刻画整个利率期限结构在实践中总觉得不太合理。为此，人们还提 出多因素模型( 见【5 】【1 0 】) 和远期利率模型( h i m 模型) ( 见【1 4 】) 由于远期利率模型的初 始输入量就是实际市场上的初始期限结构，所以它是一种无套利模型而且由于远期利率与 零息票债券价格之间存在简单的关系，所以给出这种模型等于给出整个零息票债券市场的模 型。另外，由h i m 模型确定的短期利率模型一般不再具有马尔科夫性质了( 见【1 0 】) 本文将采用胁盯一砌妇模型( i ) ，研究若干短期利率衍生证券的定价问题。 一般而言对短期利率衍生证券的定价有两种途径：一种是采用鞅方法，即通过选取 适当的计价单位和相应的等价鞅测度，使得所求衍生证券的关于该计价单位的相对价格过程 是该测度下的鞅，因而求衍生证券的价格只要求该衍生证券到期时刻相对价格在该测度下的 数学期望。另一种方法是偏微分方程求解方法，即通过对冲原理或鞅表示原理导出所求衍生 证券价格函数满足的偏微分方程，并根据问题本身的约束条件，转化为求抛物方程的定解问 题的解。本文将对所涉及的不同衍生证券主要采用偏微分方程的方法分别确定它们的价格。 在第二章中，除了介绍一些基本概念之外，还介绍了鞅方法和偏微分方程方法。对于鞅 方法，本文叙述了计价单位的转变与鞅测度变换的关系事实上，用鞅方法计算衍生证券的 价格时，很关键的是在鞅测度下求期望值时能够使相应的随机变量个数减少和确定随机变量 在该测度下的分布，从而使计算量减少和求出具体的表达式例如，m a r ks c h r o d e r ( 1 9 9 9 ) ( 见【3 3 】) 采用这种方法计算了若干期货合约，远期合约和期权的价格。计价单位的转换好 坏对求解的难易程度影响有时很大( 见【6 】【3 2 】) 这种计价单位转换的思想在本文求解多维 偏微分方程的解时也具有启发意义。在这一章中本文还阐明了利率衍生证券价格函数满足的 偏微分方程系数与风险市场价格确定的鞅测度下短期利率随机微分方程的关系，这就是，漂 移项与关于空间变量的一阶导数项系数相同。本文还得到结论，一个利率衍生证券价格函数 满足的偏微分方程的基本解除去一个到期日与该利率衍生证券到期日相同的零息票债券价 格函数就等于在利率衍生证券到期日的该短期利率的在远期测度意义下的概率密度函数。换 句话说，基本解是由零息票债券的价格函数乘以概率密度函数构成的。特别的，对短期利率 模型是h u l l w h i t e 模型来说，通过找到转换测度的l a d o n - n i k o d y m 导数和g i r s a n o v 测度变 换的核( 见【l 】) ，求出了新测度意义下的标准布朗运动。从而明确在新测度意义下短期利率 的分布，得到了相应偏微分方程的基本解。另外，本文在附录中通过自变量和函数的变换， 将上面所述的偏微分方程经过多次变换变成标准的抛物方程，从而也可得到具体的基本解。 这个基本解是下一章关于附息票债券欧式期权求出具体定价公式的关键。 3 在第三章中，本文讨论附息票债券欧式期权的定价问题这类期权的标的资产是附息 票债券。传统的或标准的期权合约是期权的到期日与标的资产的交付日相同j a m s h m i d i a n ( 1 9 8 9 ) 在v a s i c e k 模型下给出了解答，得到了显式的解析的定价公式( 见【1 5 】) 正如前 面所叙述的，由于v a s i c e k 模型是套利模型，由于衍生证券的杠杆作用，市场实践者并不乐 意接受。本文采用h u l l - w h i t e 模型，直接采用基本解方法，得到了显式解析定价公式。明 显是j a m s h m i d i a n 公式的推广附息票债券欧式期权的一种变异是资产交付日滞后与期权 到期日。这类期权的实际金融背景也许是合约双方都有提个资金头寸和利率期限的考虑，因 此希望适当推迟交付时间。觑n r a r d 就两个日期介于相邻两个息票支付日之间的情形在扩 散系数满足某种特定条件的h j m 模型下采用鞅方法给出了显式的解析解( 见 1 6 1 ) 。本文对 此情形在h u l l w h i t e 模型下用基本解方法作了讨论得到的结果经细致演算与h e n r a r d 结 果一致。但本文给出的是任意t 时刻的解表达式，而h e n r a r d 只给出初始时刻的表达式结 果。最后本文还对交付日滞后与期权到期日后若干个息票支付日的情形作了讨论。得到了定 价公式。结果表明衍生证券的无套利价格只是若干零息票债券的线性组合，因而期权的空头 方可以采用复制策略规避风险 经济全球化使得各国经济的依存度加大汇率，本国利率和外国利率形成的交叉货币市 场上有关衍生产品的定价问题已经得到了多方面的关注本文考虑欧式外汇期权的定价问 题。就本国利率和外国利率都是常数，汇率服从几何布朗运动的情形，给出了显式的定价公 式( 见【1 7 】【1 8 】) 1 9 9 1 年，a m i n 和j a r r o w 就本国利率和外国利率都服从h j m 模型，汇 率服从几何布朗运动的情形也绘出了显式的定价公式本文则就本国利率和外国利率都服 从觑盯一黝妇模型( i ) ，汇率服从几何布朗运动的情形，讨论外汇期权的定价问题。由于 是一个交叉货币市场，我们必须注意在作等价鞅测度变换时必须在同一种货币单位内进行， 因为所取的计价单位是银行帐户。因此，如果是本国的银行帐户。就要将所有外国资产通过 汇率全部转换成“本国一资产，即全部是以本国货币作计价的。尽管在客观概率测度p 意 义下。本国资产和外国资产的计价单位不一致为此，本文重新推导了外汇证券的价格函数 满足的偏微分方程，由于涉及本国利率，外国利率和汇率三个随机量，为了用对冲方法来建 立偏微分方程，在建立投资组合时必须寻找三个交易资产对冲风险，得到局部无风险的投资 组合。我们注意到对冲后得到的偏微分方程是三维的，而且作为特殊的“本国”资产本国 货币意义下的外国债券价格函数满足的偏微分方程与在客观概率测度下利用外国t 债券 得到的风险市场价格而得到的偏微分方程不一致。还注意到，建立的偏微分方程涉及三个状 态变量，维数是三维的，对此，一种方法是如同上一闳题那样，先寻求一个三维基本解，然 4 后利用基本解得到结果，另一种是通过鞅方法求期望值，但虽然表面上到期损益为 ( 辱一k ) + ，只有一个随机变量b ，由于在等价鞅测度下，汇率的随机微分方程为 识= e 毗一r ，) d t + o t t i , 】 因此有 b = c e x p j rp 一疋一争凼+ j r ，碱】， 由此可见，指数上的随机过程是路经依赖的，要求出他的密度函数并不容易。第三种方法是 本文的方法。这种方法受启发于远期测度变换，通过进行相应的组合变量的变换，把求解的 偏微分方程的维数降低两维，从而求出定价问题的显式表达式。 第五章，本文讨论养老金保险问题。养老金合约是一种在合约期初若干时段上由购买人 交付给保险公司某种现金流并在一定时期后由保险公司支付某种现金流给投保人的合约。我 国养老金制度已经发生很大变化，各保险公司根据市场的需要已经推出了许多类型的养老金 保险品种在利率是确定性的情况下，经过精算师的计算可以得出各种保单费率。由于保单 一般时间都较长，因此假设利率是确定性的不太合理为此，本章考虑短期利率下的养老金 保险合约的定价问题 本文将采用偏微分方程的求解方法，对购买人没有违约的情况下就离散交付和连续交付 的交付额和交付率给出答案结果表明，无违约情况下的连续交付是无违约情况下离散交付 的自然推广对于投保人有违约权利的养老金保险合约定价问题有待进一步做研究。 5 第二章基本概念与理论 2 1 即期利率、远期利率、短期利率 金融证券市场上零息票债券价格的变化反映了市场上各种利率的变化为此我们通过债 权价格来定义即期利率，远期利率和短期利率。本文涉及的各种利率均以连续复利方式计算。 定义2 1 1 到期日为t 的零息票债券是一张保证持有者在到期日t 且只有在到期日t 获得1 元钱的合约，简称为t 债券，用p 化t ) 表示t 债券在t ( t ) 时刻的价格。 定义2 1 2 设 砒d ：= 一百h a p ( t , r ) ，o t t ( 2 1 ) 称r ( t ，t ) 为当前时间段 t ，t 上的即期利率。 定义2 1 3 设 r f ( t ；t ，s ) ：= 一l n p ( t , s i ) - 广l n p ( t , t ) ，。t t t ，r j 服从正态分布，它的均值和方差分别为 乒0 ；f ) ：e o ，lc ：鱼+ ( 一鱼) e 讲一 ( 2 。1 3 ) 口口 2 ( i ：= v a r oj r , lf = 譬( 1 - e 2 a r - 2 a s ) ( 2 1 4 ) z 口 这里e 口 le 表示测度q 意义下的条件期望算子，v a t q ie 表示测度q 意义下的条 件方差算子。由( 2 1 3 ) 可见 l i m 丘( j ，f ) ：鱼 j _ o 口 ( 2 1 5 ) 这表明，v s a i c e k 模型下的短期利率均值0 ；f ) 当时间s 趋于无穷大时将趋于常数鱼；当 口 一b 时，应( j ；，) 将下降趋于皇；当 一时，p ( j ；，) 将下降趋于= ；当 t ，短期利率服从正态分布，其均值和方差分别为 ( s ；r ) ：= e 口 ，l1 只m e + j l p 棚。甜口( “) d u 9 ( 2 2 1 ) 讯f ) = 陆饥= 鲁( 1 e 2 驴2 珊) 易见，h u l l - w h i t e 模型也具有均值回复现象。 为 ( 2 2 2 ) 令户( ，r ) 表示实际市场中的t _ 债券在t 时刻的价格，则实际市场中的初始期限结构 尸( 0 ，r ) ，t o ) 又令厂( o ，f ) ：= 一学( 假定尸( 。，d 对t 可导) ，它表示实际市场中的零时刻观 察的未来t 时刻的远期利率。 取 矽(f)：掣+aof(o，)一-02(1一p2甜)or 2 a ( 2 2 2 ) 则由这种h u l l 一w h i t e 短期利率模型推导出来的t 愤券理论价格在初始时刻的收益率曲线与 实际市场中的收益率曲线完全吻合( 例如可见 6 ) ，称这样的t 损券价格为无套利价格， 这样的短期利率模型为无套利模型。 h u l l w h i t e 模型下的短期利率也可能取负值，在t 时刻取负值的概率为 q ( r ， 0 - 2 。 ( 2 2 4 ) 这个模型下的短期利率服从自由度为1 4 b 的非中心z 2 一分布，它的均值与方差分别为 0 - 届( s ；r ) ：= p 讲一甜+ 鱼( 1 一p 讲一) ， j f ( 2 2 5 ) 至似，) ：= 了0 2 ( 矿珊小2 西) + 丢( 1 。州叩，谢 ( 2 2 6 ) 可见，c o s i n g e r s o l l r o s s 模型下的短期利率也是具有均值回归现象，而且永远取正 l o 值。虽然如此，相应的州! 券价格函数表达形式复杂，而且也不能与实际市场的初始期限 结构吻合。因此，它也是一种套利模型。 h u n 一胁i t e ( 1 9 9 0 ) 对此作了推广，使扩展后的c o x i n g e r s o l l - r o l l 模型成为了无套利 模型。 2 2 4 仿射期限结构模型 定义2 2 2 称短期利率模型是仿射结构模型，如果即期利率r ( t ，d 是短期利率的 仿射函数，即 l 地t ) - - a ( t ，t ) + 夕g dr f ，t t ( 2 2 7 ) 其中t ；t ，夕都是时间t 的确定性函数。 如果短期利率模型是仿射期限结构模型，则由定义2 1 2 和( 2 2 7 ) 式可得t 一债券的 价格函数为 p 化d = e x p a ( g d b 化t ) r t 】 ( 2 2 8 ) 其中a 化d ：一口化d ( t - t ) ，b 化1 ) ：一化t ) ( t t ) 件 命题2 1 若短期利率模型( 2 9 ) 中的漂移项系数和扩散项系数盯分别满足如下条 a ( t ，厂) = 口( t ) r + ( t ) ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) 其中口( ，) ，f l ( t ) 。，( f ) 和8 ( 0 均为时间t 的确定性函数，则相应的短期利率模型是仿射期 限结构模型。证明见【6 】。 在条件( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) 下，( 2 2 8 ) 中的函数a ( t ，d 和b ( t ，t ) 分别是下列常微分方程 组的解 了d b ( t , t ) + a ( t ) b ( t ，r ) 一吾y o ) 曰2 ( ，n + l = o 讲z b ( t ，丁) = 0 掣一fl(t)b(t，r)+8(t)b2p，r)+l=oat_ - a ( t ，r ) = 0 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) 必须注意，当7 0 ) o 时，方程( 2 3 1 ) 是r i c c a t t i 方程，一般没有显函数形式的解 2 2 5 平方g a u s s 模塑 为了克服h u l l - w h i t e 短期利率模型中短期利率可能取负值的缺陷， b e a g l e h o l e - t e n n e y ( 1 9 9 1 ) 提出了如下形式的称之为平方g a u s s 模型的短期利率模型 d u 。= ( ) 一q ) + 以，= 万 h = 2 其中a ，仃均为正的常数，r e ( t ) 是时间t 的确定性函数。易见，平方g a u s s 模型下的短 期利率过程是h u l l - w h i t e 模型下的随机过程的平方，因此它可保证短期利率永远不取负值。 由于珞服从正态分布它的条件均值和条件方差由( 2 2 1 ) 和( 2 2 2 ) 给出，因此平方g a u s s 模型下的短期利率的分布函数和分布密度可以分别求出作为短期利率衍生证券的h 贲 券，其价格函数也有解析表达式( 见 7 8 ) 2 3 等价鞅测度与计价单位变换 等价鞅测度是衍生证券定价理论中的重要概念，计价单位变换则是实施计算衍生证券价 格的重要方法 2 3 1 等价鞅测度 设m 是连续交易的短期利率衍生证券市场。 定义2 3 1 称g 是一个计价单位，如果g 是市场m 中价格恒正的交易资产。 定义2 3 2 设( q f ，p ， f ) ) 是一个带有滤波的概率空间，q 是可测空间( q ，f ) 上 的另一个概率测度。g 是一个e 适应的计价单位，如果 ( 1 ) q 与尸等价，即q 与p 具有相同的零测度集。 1 2 ( 2 ) 对市场m 中的任何一个交易资产厂，台是测度q 意义下的鞅( 以后简记为q 一 ， 6 鞅) ，则称q 是关于计价单位g 的等价鞅测度( 有时为了强调计价单位起见，也记为q 譬) 。 如果计价单位是银行账户b ( r ) ，则相应的等价鞅测度称为风险中性等价鞅测度。如果计价 单位是t 债券，则相应的等价鞅测度称为t - 远期测度。 命题2 2 设h ( t ) 是市场m 中某个交易资产在到期日t 的损益( p a y o f f ) ，也称为未定 权益( c o n t i n g e n tc l a i m ) ，g 是市场m 中的一个计价单位。q g 是关于g 的等价鞅测度， v ( t ，) 是未定权益h ( t ) 在t 时刻的价格，则 ) _ g 器 ( 2 2 5 ) 其中e 暑表示测度q g 意义下的期望算子特别的。若计价单位是银行账户e ，则 v ( t ，) = e 8 h ( t ) e x p 一f 凼】| f 】 ( 2 3 6 ) 若计价单位是t - 证券。则 v ( t ，) = e 1 日( r ) e x p 一j | 凼】i e 】 ( 2 3 7 ) 其中e7 是t - 远期测度q7 意义下的期望算子，p ( t ，；r ) 表示作为短期利率，的衍生证券 的t 一债券在t 时刻的价格。 证明：直接根据等价鞅测度定义即可获得。 2 3 2 计价单位变换 命题2 3 设q m 和q 分别是关于计价单位m 和n 的两个等价鞅测度，则把测度q 变成测度q m 的l a d o n - n i k o d y m 导数为 百d q m ：必，在耻 坦川n ( t ) m ( o ) 证明见 9 。 ( 2 3 8 ) 命题2 4 设q m 是关于计价单位m 的等价鞅测厦，n 是一个计价单位，则存在等价鞅 测度q 使对任何一个交易资产厂，有专是q 一鞅 证明见 6 易知，当计价单位从1 4 变成n 时，有下列期望计算的关系式 枷 器删趴器 因此有 趴丽( 7 9 器踹 ( 2 3 9 ) 另外，由风险中性等价鞅测度q 转换成t 远期测度的l o n d o n - n i k o d y m 导数为 d q 7 p ( t ，n 一 ， 尥p ( o ，t ) b 。 ( 2 4 0 ) 2 4 偏微分方程 假设2 2 1 ( 见2 2 ) 假设2 2 2 ( 见2 2 ) 假设2 2 3 设短期利率衍生证券市场m 中的每个交易证券v 在t 时刻的价格仅与时 间t 和该时刻的短期利率有关，即价格过程为v ( t ，) ，并且价格函数v ( t ，r ) 关于t 有一 阶连续偏导数，关于r 由二阶连续偏导数。 假设2 2 4 市场m 中无套利机会，无磨擦。每个衍生证券可以无限细分 2 4 1 衍生证券价格函数满足的偏微分方程 采用对冲方法( 见 1 0 或 1 1 ) 导出短期利率衍生证券价格函数满足的偏微分方程。 设v 是市场m 的一个衍生证券，其价格函数为v ( t ，) ，由i t 5 引理，我们有 d v ( t ，f ) ：= y ( f ，) 【y ( f ，r ) d t + z 矿( f ，) d 形】 ( 2 4 1 ) 其中 眺，) = 警讹，) 警+ 扣f ，) 窘( ， ，) ( 2 4 2 ) 1 4 y v ( ，) ： o r ( t , r ) 婴 矿( ，) ( 2 4 3 ) 防 设u 是市场m 中的另一个衍生证券，则其价格函数甜( f ，) 也有关系式( 2 4 1 ) ( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) ，现在构造一个自融资投资组合：一份证券v 的多头，厶份证券u 的空头。则这个 投资组合的值过程为 乃：= y ( f ，) 一v ( t ，) 利用自融资投资组合概念和关系式( 2 4 1 ) ，可得 砌l = ( 啦矿一掣。) a t + ( 您矿一a u z 。) a r v , ( 2 4 5 ) 特别地，取 ：堕( 2 4 6 ) “z 。 则( 2 4 5 ) 中的随机项消去，使得乃成为局部无风险的投资组合值过程，因此，由市场m 无套利，得 砌。= 万f 出 ( 2 4 7 ) 把( 2 4 4 ) ( 2 4 5 ) ( 2 4 6 ) 代入( 2 4 7 ) ，整理后得 丝二量：丝l ( 2 4 8 ) z 矿y 。 这个等式的两端应当仅与t 和有关。不妨设比值为2 ( t ，) ，称它为短期利率r 的风险市 场价格。这样，市场m 中任何一个衍生证券v ，它的价格过程总满足 锗叫) 汜 其中矿，矿分别由( 2 4 2 ) 和( 2 4 3 ) 给出，将它们代入( 2 4 9 ) ，整理后可得v ( t ，) 满 足下列偏微分方程 警哪( ， ，) 枷，) ) 詈+ 如耵) 警卅= o 汜5 。， 这表明衍生证券的价格与短期利率，的风险市场价格名有关。在风险市场价格为力( ，) 的市 场里，每一个衍生证券的预期收益率在单位波动率下超过无风险利率的超额值都相同，都是 短期利率的风险市场价格。特别当取五：0 时，相应的市场便是风险中性市场。 2 4 2 风险中性轶测度与短期利率风险市：砀价格 1 炭砹短期列翠田风险币物影r 格z f ，) 瘸足条件( n o v i k o v 条件，见l j ) e 尸【e x p 哇r 矛( s ，i ) 西) 】 0 ，a ( t ，丁) 和 口( r ，t ) 都是e - 适应过程，则对t - 债券市场，存在等价鞅测度的充分和必要条件是存在一 个e 适应过程g ( ，) ，具有以下性质： ( 1 ) 过程 厶= e x p f g o ) 批一j 1f k ) 1 2 幽】是一个p 测度意义下的鞅 ( 2 ) 对一切r 0 和一切，st ，有 o e ( t ，d = 仃o ，nr 口o ，s ) a s g ( t ) c r ( t ，r ) ( 2 9 5 ) 证明见【1 4 】或【6 】。 在文【6 】中，b j 6 k 指出，( 2 9 5 ) 中的a c t ，t ) ，仃( ，t ) 不能随意指定，这是因为( 2 9 5 ) 是一个高度超定的方程组( d 个未知函数，无穷多个方程，每个t o ，对应一个方程) 。为 此他作了讨论。 如果存在等价鞅测度q ，且在测度q 意义下，远期利率随机过程模型如( 2 9 4 ) 形式， 则漂移项系数口( ，丁) 与扩散项系数c r ( t ，乃存在关系： ，t ) = c r ( t ，z ) fc r ( t ， q 弧(296)a(t= e r ( ts ) a s， ，z ) l ，q 弧 ( 2 即在等价鞅测度q 意义下，漂移项系数口( ，t ) 由扩散项系数仃( r ，丁) 唯一决定这个结果的 证明也见【1 4 】或【6 】由于当概率测度从客观概率测度尸转到等价鞅测度q 时，远期利率的 波动率不变。因此，可以先在实际市场上作出波动率参数估计，得到c r ( t ，丁) ，然后由( 2 9 6 ) 得到漂移项口( ，r ) ，这样便完全确定了鞅测度q 下的远期利率动态，从而可以直接得出t - 债券价格