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哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 非扩张映射不动点迭代序列的收敛性 摘要 根据各种学科发展和应用的需要，不动点理论有着各种不同形式的推广。 本文主要讨论了几种迭代格式定义的序列分别收敛于平均非扩张集值映射和非 扩张映射的不动点的方法。主要工作总结如下： 首先，回顾了不动点理论的发展历程以及前人的主要研究成果，阐述了本 文各部分所讨论的内容、背景和意义。 其次，b a n a c h 压缩映象原理是不动点理论的重要结论，颇受人们关注，由 压缩映象发展来的非扩张映射用于不动点理论的各个定理。本章给出了一个新 的概念，即平均非扩张集值映射，证明了平均非扩张集值映射对于经典的 b a n a c h 压缩原理也成立；并讨论了b a n a c h 空间的闭凸子集中由m a n n 迭代定 义的序列也可收敛到平均非扩张单值映射的不动点。 再次，m a n n 和i s h i k a w a 迭代是不动点理论的主要迭代方式，本文引入修 改的m a n n 和i s h i k a w a 迭代，证明了这两种迭代在一致凸b a n a c h 空间的有界 闭凸子集内收敛于非扩张集值映射的不动点。2 0 0 7 年，b a n c h a 提出的问题中 指出定理中的紧性条件较强，当减弱其紧性条件时，加一个较弱的条件本章给 出了这种序列仍收敛于非扩张集值映射的不动点的证明。 最后，渐近非扩张映射和渐近伪压缩映射也是非扩张映射的重要推广形 式，关于渐近非扩张映射和渐近伪压缩映射的迭代逼近问题曾在h i l b e r t 空间 和一致凸空间的框架下讨论过，本章的目的是在b a n a c h 空间的框架下，采用 三重迭代进一步研究渐近非扩张映射和渐近伪压缩映射不动点的迭代逼近问 题。 关键词平均非扩张映射；渐近非扩张映射；m a n n 和i s h i k a w a 迭代；三重迭 代；不动点 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 t h e c o n v e r g e n c e o fi t e r a t i v es e q u e n c eo ff i x e d p o i n tf o rn o n e x p a n s i v em a p p i n g s a b s t r a c t a c c o r d i n gt ot h er e q u i r e m e n t so f v a r i o u ss u b j e c t s d e v e l o p m e n ta n da p p l i c a t i o n , t h e r ea r em a n yg e n e r a l i z a t i o n so ff i x e dp o i n tt h e o r i e s t h em e t h o d so fs o m e i t e r a t i o n si t e r a t et o 蠡】【e dp o i n t so fm e a nm u l t i - v a l u e dn o n e x p a n s i v em a p p i n g sa n d n o n e x p a n s i v em a p p i n g sa r em a i n l yi n v e s t i g a t e di nt h i st h e s i s t h em a i nr e s u l t so f t h i st h e s i sa g os u m m a r i z e da sf o l l o w i n g ： f i r s t l y ，i tr e v i e w st h es u r v e yo ft h e 敝c dp o i n tt h e o r ya n dt h ep i o n e e r s m a i n r e s e a r c hr e s u l t sa n ds h o w st h eb a c k g r o u n d , s i g n i f i c a n c ea n dc o n t e n to fe a c hp a r ti n t h i sc h a p t e r s e c o n d l y , t h eb a n a c hc o n t r a c t i o np r i n c i p l ei sa ni m p o r t a n tt h e o r e mo f6 x e d p o i n tt h e o r yw h i c hp e o p l eh a v ep a i dm u c ha t t e n t i o no i lt h en o n e x p a n s i v em a p p i n g s d e v e l o p p i n gf r o mc o n t r a c tm a p p i n g sa r ea p p l i e dt oe v e r yt h e o r e mo f 叙e dp o i n t t h e o r y a u t h o rg i v e san o wd e f i n i t i o n , n a m e dm e a nm u l t i - v a l u e dn o n e x p a n s i v e m a p p i n g s t h em e a n m u l t i - v a l u e dn o n e x p a n s i v em a p p i n g sa r ca l s oc o r r e c t e df o rt h e c l a s s i c a lt h e o r e m ：b a n a c hc o n t r a c t i o np r i n c i p l e a n dt h es e q u e n c ed e f i n e db ym a n n c o n v e r g i n gt o t h ef i x e dp o i n to fm e a ns i n g l o - v a l u e dn o n e x p a n s i v em a p p i n gf o r c l o s e dc o h v o xs u b s e to fb a n a c hs p a c ei sd i s c u s s e d t h i r d l y , m a n na n di s h i k a w ai t e r a t i o n sa l em a i ni t e r a t i v ep r o c e s s e so f6 x e d p o i n tt h e o r y i n t h i s c h a p t e r , t h em o d i f i e dm a n na n di s h i k a w a i t e r a t i o n sa 心 i n t r o d u c e d , a n dt h et w oi t e r a t i o n sc o n v e r g i n gt ot h ef i x e dp o i n to fn o n c x p a n s i v e m a p p i n gi nb o u n d e dc l o s e dc o n v e xs u b s e to fu n i f o r m l yc o n v e xb a n a c hs p a c ew e r e p r o v e d i n2 0 0 7 ，b a n c h ar a i s e dt h eq u e s t i o nt h a tt h ec o m p a c tp r o p e r t y i nt h et h e o r e m i ss t r o n g e r , w h e nt h ec o n d i t i o no ft h ec o m p a c tp r o p e r t yi sw e a k e n e d ，t h i ss e q u e n c e s t i l lc o n v e r g e st ot h ef i x e dp o i n to fn o n e x p a n s i v em a p p i n gi sp r o v e db ya d d i n ga w e a k e rc o n d i t i o n f i n a l l y , a s y m p t o t i c a l l yn o n e x p a n s i v em a p p i n ga n da s y m p t o t i c a l l yp s e u d o - c o n t r a c t i o nm a p p i n ga r ei m p o r t a n tf o r m so fn o n e x p a n s i v em a p p i n gw i t hr e g a r dt o 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 t h ei t e r a t e p r o b l e mo ft h ea s y m p t o t i c a l l yn o n e x p a n s i v em a p p i n ga n d t h e a s y m p t o t i c a l l yp s e u d o - c o n t r a c t i o nm a p p i n gw e r ed i s c u s s e ；c lw i t h i nt h ef r a m e w o r ko f h i l b o r ts p a c ea n du n i f o r m l yc o n v e xb a n a c hs p a c e i nt h ef r a m e w o r ko fb a n a c h s p a c e ，t h et h r e o - s t e pi t e r a t i o ni su s e d ，t h ea p p r o x i m a t i o no ff i x e dp o i n to fi t e r a t i o n s o fa s y m p t o t i c , a l l yn o n e x p a n s i v em a p p i n ga n da s y m p t o t i c a l l yp s e u d o - c o n t r a c t i o n m a p p i n g w o i os h o w n t h i si 8t h ec h a p t e r sa i m k e y w o r d sm e a nn o n e x p a n s i v em a p p i n g , a s y m p t o t i c a l l yn o n e x p a n s i v em a p p i n g , m a n na n di s h i k a w ai t e r a t i o n s ，t h r e e - s t e pi t e r a t i o n ，f i x e dp o i n t i i i 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文非扩张映射不动点迭代序列的收 敛性，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间独立进行研究 工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他人已发表或撰写 过的研究成果。对本文研究工作做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式注 明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签名：怕蘸j ，拓日期：协呵年卜月8 日 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 非扩张映射不动点迭代序列的收敛性系本人在哈尔滨理工大学攻读硕士学 位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归哈尔滨理工大学所 有，本论文的研究内容不得以其它单位的名义发表。本人完全了解哈尔滨理工大学 关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门提交论文和电子版 本，允许论文被查阅和借阅。本人授权哈尔滨理工大学可以采用影印、缩印或其他 复制手段保存论文，可以公布论文的全部或部分内容。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用授权书。 不保密四。 ( 请在以上相应方框内打) 作者签名：榀屯款日期：w 年妒8 日 导师签名3 碴 f 期：冲呲日 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 1 1 课题背景 第1 章绪论 自上世纪初b a n a c h 提出以他姓氏命名的b a n a c h 压缩映射原理【l 】之后， b a n a c h 压缩映射的概念和b a n a c h 压缩映射原理已经从各个方面和各个不同的 角度有了重要的发展，而且其中某些结果已被成功的应用于研究空间中许多方 程解的存在性和唯一性上，这一原理实际上是经典的p i c a r d 迭代法的抽象表 达，它是经典的代数型的不动点原理。根据这一原理，不仅可以判定不动点的 存在性和唯一性，而且还可以构造一个迭代序列逼近不动点的任何程度。因此 b a n a c h 不动点定理在近代数学的许多分支，特别是应用数学的几乎各个分支都 有广泛的应用，并且还被成功应用于随机算子理论和随机逼近理论等诸多领 域。 非扩张映射是b a n a c h 压缩映射的一种自然的推广，寻求在此映射下存在 不动点的条件、公共不动点的存在性及唯一性以及构造各种迭代序列，在不同 条件下讨论它的收敛性成为很重要的一项工作，并在此基础上我们探求一种新 型的非扩张性映射，努力找到在具体空间下迭代序列收敛不动点的唯一性的充 要条件，将其应用到其他领域。非扩张映射不动点的构造是非扩张映射理论及 其应用，特别是图象恢复和信号处理中的一个重要课题。 不动点理论是目前正在迅速发展的非线性泛函分析理论的重要组成部分， 它与近代数学的许多分支有着紧密的联系。特别是在建立各类方程( 其中包括 各类线性或非线性的、确定或非确定的微分方程、积分方程以及各类算子方程) 解的存在性和唯一性问题中起着重要的作用。 1 2 国内外发展概况 1 9 1 2 年，德国数学家b r o u w c r 在拓扑学的基础上运用度理论证明了关于连 续单值映射的一个著名的不动点定理 z l ，即每一个映有限维b a n a c h 空间单位球 到其自身的连续映射有不动点，它是现代数学的最优秀成果之一。 自b a n a c h 在上个世纪二十年代提出b a n a c h 压缩映象原理后，近些年来许 多人提出了一系列新型压缩映射概念和一系列新型压缩映射的不动点定理【3 ，4 5 毛 7 羽。非扩张映射是b a n a c h 压缩映射的一种自然的推广，关于非扩张映射不动 点理论的第一个重要结果属于rd em a r t ，他得出著名的k a k u t a n i m a r k o v 不动 点定理的一个有趣推广。以后不久，b r o u w c r ，k i r k 和p e t r y s h y n 等分别讨论了 定义在空间中的有界闭凸集上的非扩张映射的不动点的存在性。 1 9 3 0 年，s c h a u d c r 得到了每个定义在b a n a c h 空间有界闭凸集c 上的到其 自身的紧映射具有不动点 9 1 ； 1 9 5 3 年，m a n n 引入了下列迭代方法，称为m a n n 型迭代序列【1 0 】， j x o ec 【k l = ( 1 一) 而+ 乃，n 0 其中c 是彳的闭凸子集，玩 c o ，1 】； 自从1 9 6 5 年，k i r k 证明具有正规结构( n u s ) 的b a n a c h 空间具有弱不动点 性质【n l 以来，利用b a n a c h 空间的空间性质研究非扩张映射的不动点性质得到 了迅速的发展： 1 9 6 7 年，o p i a l 证明了具有o p i a l 性质的b a n a c h 空间具有弱不动点性质 1 1 2 1 1 9 7 2 年，g o c b c l 豇r l 【证明了一致凸b a n a c h 空间的非空有界闭凸集对于渐 近非扩张映射有不动点； 1 9 7 4 年，i s h i k a w a 为在h i l b e r t 空间中的伪压缩紧映射逼近不动点引入了 一种新的迭代方式，即i s h i k a w a 迭代【1 4 l ，如下定义： 毛+ l = 口。矗+ ( 1 一口。) 丁 尾+ ( 1 一尾) 巩】，肛0 其中 口席) ， 尾) c 【o ，l 】，并且满足一定的条件； 1 9 8 3 年，r e i c h 引入了下面的序列 f 舻而c 【k l = z + ( 1 一) 乃，靠0 并证明了如果c 是一致光滑b a n a c h 空间x 的弱紧凸子集，t ：c c 是不动点 集合非空的非扩张映射，设 = 刀一，0 口 l ，则由上式定义的序列 毛) 弱 收敛于r 在c 中的某一不动点【1 5 1 ； 1 9 9 7 年，l i u 证明了m a n n 型迭代序列的强收敛定理【1 6 】； 2 0 0 2 年，徐洪坤研究了如下定义的迭代序列 ) 的强收敛性 1 l - + i = 工+ ( 1 一) j l - 毛，刀= o l ，2 ， 。1 j = o 他证明了在一致凸和一致光滑空间框架下，当 ) 满足某些条件时，纯) 强收 敛于非扩张自身映射r 的不动点彻，近几年来还有许多学者对此类问题进行了 探索研究【18 1 9 j ； 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 2 0 0 5 年，曾六川研究了一致光滑b a n a c h 空间中渐近伪压缩映象不动点的 迭代逼近问题刚； 同年，s a s t r y 和b a b u 在h i l b e r t 空间中对于一个紧凸子集到其子集族的非 扩张集值映射中模拟m a n n 和i s h i k a w a 迭代，得到逼近不动点的收敛性定理 【2 1 1 2 0 0 7 年，y y a o 和n o o r 证明了渐近非扩张映射的三重迭代序列的收敛定 理翰： 同年，w e e r a y u t hn i l s r a k o o 和s a t i ts a e j u n g 运用新的方法证明了三重迭代 序列的收敛定理【2 ，一。 近十几年来，许多数学家都希望在定义集附加比紧性和凸性更弱的条件下 得到非扩张映射的不动点定理，在放宽紧性条件下，继b r o w d e r 和r l 【的重 要工作之后，又有许多重要改进；在放宽凸性条件下，d o t s o n ，c f f l s c m a n ， b o s e 和丁协平也作了一些工作，其他学者在这方面也得到许多结果随狮。 自二十世纪三十年代至二十一世纪的今天，在几代数学工作者的不懈努力 下，不动点理论取得了长足的发展，同时不断开拓新方向，进行各种推广和深 化，应用范围逐渐扩大，渗透到数学的许多其他分支。 1 3 存在的问题及解决措施 在不动点理论中，由b a n a c h 空间中的紧凸子集很容易得到不动点存在的 定理，而当减弱紧性条件时，则不能确定这个子集中的序列是否收敛到某一 点，即这个映射的不动点。本文推广了一部分定理，将其紧性条件减弱时添加 一个较弱的条件，在原定理的条件下该序列仍收敛于这个不动点。 1 4 课题来源 本课题来源于指导教师崔云安教授的国家自然基金项目( 项目编号： 1 0 5 7 1 0 3 7 ) 。 1 5 主要研究内容 1 5 1 平均非扩张映射的不动点问题 集值映射的不动点理论始于n a d l c r ，他给出了集值映射的模拟b a n a c h 压 缩原理，即设( x ，d ) 为完备的距离空间，f ：x - - c b ( x ) 是集值压缩映射，则 f 在x 中有不动点，其中c b ( x ) 为x 的有界闭子集。接着鼬出，b r o w d e r ， 哈尔滨理工大学理学硕上学位论文 l a m i d o z o 和l a s s o n d e 等其他人在此基础上研究并发展了这个问题【2 7 2 8 , 2 9 1 。 本章引入平均非扩张集值映射，定义f 是由x 到其有界闭子集的平均非扩 张集值映射，即 h ( f x ，f y ) a l d ( 毛j ，) + 口2 d ( x , f x ) + a 3 d ( x , f y ) + a 4 d ( y ，f x ) + a s d o , ，f y ) 则f 在x 中存在不动点。 1 9 7 0 年，o u t l a w 和d o t s o n 给出了在一致凸b a n a c h 空间或严格凸b a n a c h 空间中寻找不动点的迭代方法嘲。本章还将非扩张映射推广为更为广泛的平均 非扩张映射r 。即对于定义为t ：d - - x 的平均非扩张单值映射，借助由m a n n 迭代定义的序列k ：收敛于r 的不动点，其中d 为b a n a c h 空问x 的闭子 集。 1 5 2 一致凸b a n a c h 空间中m a n n 和i s h i k a w a 迭代不动点过程 1 9 7 4 年，i s h i k a w a 在h i l b e r t 空间中对伪压缩紧映射引入一个新的逼近不 动点的迭代过程 + i = 吒+ ( 1 一口。) 砸尾毛+ ( 1 一成) 玩】，刀0 其中伫。) ， 尾) c 【o l 】满足某些条件，即i s h i k a w a 迭代1 4 】斛瑚；记m a n n 迭代过 犁1 0 1 - 炳, 4 1 0 如下 + l = 口。+ ( 1 一吒) 巩， ) c 【o ，1 】 它是i s h i k a w a 迭代的特殊形式。 一维空间中，这两种迭代的比较由r h o a d e s 给出【，t l ，s a s t r y 和b a b u 在集 值映射中引入模拟m a n n 迭代和i s h i k a w a 迭代，从而证明了h i l b e r t 空间的紧 凸子集对于非扩张映射的收敛定理【2 l 】射7 弘。我们继承s a s t r y 和b a b u 在一致凸 空间的结果，引入这两个迭代的新定义并给出定义在非紧集上的m a n n 迭代和 i s h i k a w a 迭代序列的收敛性定理证明。 1 5 3 渐近非扩张映射不动点的三重迭代逼近问题 渐近非扩张映射是通常的非扩张映射的推广，它首先由g o e b e l k i r k 1 3 】1 7 卜 引入和研究，这类映射与b a n a c h 空间映射的不动点理论密切相关。1 9 7 2 年 g o e b e l k i r k 已经证明：设e 是一致凸的b a n a c h 空间，dce 是一非空有界闭 凸集，t ：d 专d 是渐近非扩张映射，则r 在d 中有不动点。自n o o r 引入三步 迭代以来 3 2 , 3 3 , 蚓，不少人对此问题进行了研究，并得到了重要的结果 3 5 , 3 6 1 。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 本章主要证明一个由三重迭代定义的序列k ) 在满足一定条件的情况下收 敛于一致l l i p s c h i t z 的渐近伪压缩映射的不动点。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 第2 章平均非扩张映射的不动点问题 2 1 引言及预备知识 1 9 7 5 年，张石生首次引入平均非扩张映射，他给出了一些不动点存在性的 简单结果和性质，但并未对此种映射下各种迭代序列作任何讨论。众所周知， 关于非扩张映射的不动点的收敛性问题的研究，已经有了很多重要的结果。我 们将给出更为广泛的平均非扩张集值映射，此平均非扩张集值映射对经典的 b a n a c h 压缩原理也成立。 定义2 1 0 7 1 设( 石，力是一个距离空间，彳为其一子集，称彳紧的，如果彳 中的任意点列在x 中有一个收敛子列。 定义2 2 1 3 9 j 若足是b a n a c h 空间x 的非空有界闭凸子集，映射t ：k - - - h k 被称为非扩张的，如果对任意毛y k i 盼一圳肛一y l r 称为严格非扩张的，如果对任意五y 足 8 t x - t y 4 l l x - y 8 定义2 3 e 3 8 1 6 6t ：c 哼c 为非扩张映射，若 x 。) 满足 敝一t x 1 - - - h0 ，刀- h 则称伽。 为丁在c 上的渐近不动点序列。 定义2 4 t 3 s 1 2 9 设，d ) 是距离空间，由c b ( x ) 表示x 的非空有界闭子集， 对于任意彳，b c b ( x ) ，用h ( a ，艿) 表示彳与艿间的h a u s d o r f f 距离，定义如下 h ( a ，功= m a x s u p d ( a ，刀) ，s u p d ( b ，彳) ) 口e b r ：暑 定义2 5 3 8 】3 9 设x 为距离空间，一个集值映射f ：x - - 9 c b ( x ) 被称为非扩 张集值映射，如果对任意y x h ( f x , f y ) d ( y ) 定义2 6 t 3 s t l 0 映射t ：x - - hx ，点x o x 称为映射r 的不动点，如果 r x o = x o ，即一个点在变换r 下保持不变就称为j r t 的不动点。 集值映射t ：x - - - hc b ( x ) ，点施x 称集值映射r 的不动点，如果 x o t ( x o ) 。 定义2 7 设x 为距离空间，一个集值映射f ：x 专c b ( x ) 被称为平均非扩 张集值映射，如果对任意五 ，x ，有 哈尔滨理工大学理学硬士学位论文 h ( f x ，f y ) a l d ( 五y ) + a 2 d ( x , f x ) + 口3 a ( x , f y ) + a 4 a ( y ，f x ) + 口5 a ( y ，毋) 其中q o ，i = l ，2 ，5 和q l 。 l - i 定义2 8 假设f ：x 专c b ( x ) 为平均非扩张集值映射，f 称为连续的，如 果l i m a ( x 。，f x n ) = d ( x , f x ) 。 定义2 9t 称为平均非扩张映射，是指由b a n a c h 空间x 的子集d 到x 的 映射r ，对任意z ，y d ，都有 l 盼一砂i i a o x - y + b l l y - 叫i + c i k 一矧 成立。 2 2b a n a c h 不动点定理 b a n a e h 不动点定理0 3 a n a e h 压缩映象原理) 设( 石，力是一个完备的距离空 问，r 是( 石，p ) 到其自身的一个的压缩映射，则丁在x 上存在唯一不动点。 注b a n a e h 压缩映象原理对严格的非扩张映射不成立。 例2 1b a n a e h 空间q o ，l 】，令m = eq o ，l 】，妙9sl ，( 1 ) = 1 ) ，映射t ：m m 定义为r 盯) = 矿( f ) ，r f o ) = l ，8 刎= m a x 矽( f ) ：0 t l ，则r 在m 上 不存在不动点。 证明首先证明r 是严格的非扩张映射 8 形一t g = m a x 诤厂o ) 一t g ( t ) l ：0st 1 ) = 气厂( ) 一t o g ( t o ) = t o f ( t o ) 一g ( 气) i = t o l l s - g l 眇- g l ( 0 o ，且口。收敛于a ，吃收敛于b ，设 n = l n f f i l 气- a 屯+ 4 2 k l + + g 。岛，则q 收敛于么b 。 n f f i l 证明令 4 。a t + a 2 + + a h 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 或= a + 6 2 + + 吃 c 。= a l 吒+ a 2 6 一d + + a n b t c 露= q + c 2 + + c 。 由上述的定义，可以得到 g = a l 吃+ a 2 风一l + + a n 且 不失一般性，可设色= b 一尾( 以一) ，代入式( 2 - 1 ) 有 q = 以b 一以 其中以= a l 尾+ a 2 尾一l + + 口。屏。 由于以专么，下面只需要证明几一0 。因为 尾_ o ， 0 ，有 ( 2 1 ) i 尾l ) ，且口j n 1 时 l 九i = l a l 尾+ a 2 尾一l + + a n 屈i i a t 反+ + 口护+ l i i ol + i a n - n o + 2 矽1 + + 口再屈阵 a e + i a 。一+ 2 + + a 。i a c + 分 其中= s u p l 尾l ：n 奶，所以九寸0 。 证毕。 定理2 1 设( x ，d ) 为完备的距离空间，f ：x _ c b ( x ) 是连续的平均非扩 张集值映射，且吒 a 4 ，则f 在工中存在不动点。 证明设x o x ，五取，则存在而髓，譬 0 ，使得 j ( 恐，x 1 ) h ( f x l ，f x o ) + s , a l d ( x a ，x o ) + a 2 d ( x t ，f x ) + 吩d ( 五，f ) + a 4 d ( x o ，f x a ) + a s d ( x o ，s x o ) + s , a l d ( x i ，而) + a 2 d ( x a ，x 2 ) + 0 + a j ( x o ，屯) + a s d ( x o ，五) + q a , d ( x l ，x o ) + a 2 d ( x - t ，x z ) + a 4 ( d ( x o ，五) + d ( 五，x 2 ) ) + a 5 d ( x o ，玉) + 毛 a t d ( x l ，x o ) + a 2 d ( x t ，x 2 ) + a 4 ( d ( x o ，玉) + d ( 五，x 2 ) ) + a s d ( x o ，五) + 毛 整理，可得到 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 d ( 屯，x j a 4 ，故 a l + + 呜一( 1 一a 2 一a 4 ) a l + a 2 + 口3 + 口4 + a 5 一l o 使得 d ( 毛+ l 毛) t a ( x ，毛一1 ) + i l 毛 l d ( x a ，x o ) + h ( t “_ 蜀+ j 川岛+ + 如o l + q ) ( 2 - 2 ) 记c i = l - l e l + r 2 占2 + + + 厶，代入式( 2 - 2 ) 可得 d ( + i ，毛) l d ( x l ，而) + k 任意所。刀 0 ，不妨设n i 刀，于是 d ( ，毛) j ( ，_ 1 ) + + d ( 毛+ 2 毛+ 1 ) + d ( l ，毛) l - i d ( x l ，x o ) + j i l c 二一i + + ，肿1 d ( 五，) + h e 一l + 尸d ( 毛，x o ) + j i l c = 导d ( 五，x o ) + q - 一 i f f i n 由引理2 1 ，可得级数c ，收敛，所以对任意朋，甩 0 ，且所，刀一o o 时， 9 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 q 收敛于0 ，故d ( ，毛) 寸0 。因此纯) 是一个c a u c h y 列。因为 d ( ，f x 。) d ( ，x 槲) ，又因为f 是连续的，所以有 z ( x , f x ) 一i m d ( ，) 二是由m a n n 迭代定义的序列， 即 ，= ( 卜乙) + f 。t x , ，瓴 ：是实序列。若对任意豫，毛和p 。) 二满足下列三 个条件 l ( 1 ) t 。= ； n = l ( 2 ) 0 乙sd o ，存在m ，使得对任意f ，有 ，肛o “一乃。卅8 ( 1 + 占) ，- ( 2 - 4 ) 因为丁是平均非扩张映射，所以 8 ( 2 k + “l j 州+ 1 ) - ( 1 - t m 村) ( 2 k “- x “) 8 = 8 t ( ( 1 - t m + f ) j o “+ o + i 2 3 i ) 一( ( 1 一乞“) j “+ o “z “) - ( 1 - t 。“) c r y w 一“) l = i t ( o - t “) q + 气“z k 州) 一z “0 a l l o - t + ，) k w + 乙“z w 一+ f 4 + b l l ( 1 一乙“) 州+ 乙+ ，乃r 卅w z “0 + c 8 “一z “= 口o “1 w z h 4 + o w - 1 ) i l x “一z _ “8 + c 0 而“一z + ，0 = f ( 口+ 6 ) 乙州一6 + c 】8 五，件，一z + f l s o “8 州一“s o + f ( 1 + d ，r 由于k ) 有界，f 。= o o ，则存在，使得 一删l ，f 州万似) + k r z t “ ( 2 5 ) 其中万泓) = 呻枇一x 詹o 毛歹 0 由式( 2 5 ) 有 峙辨+ + l 一+ 1 8 ，( 1 - s , ) - e r ( 兀毛) 一 l 一兀& 一( n s 从( 1 - s ，) ) ) i = i1 = 11 = 1j - ii = 1 j i i r 1 r一i ，( 1 - s 。) 一( 1 - i 墨) 一= ，t 酣，一劈兀( 1 - - t _ + 。) 一 l = i扣li = i1 = 1 一l i 8 ( m ) + i - e r n ( 1 一k ；) ( 2 - 8 ) 已知l o 双l + y ) y ，y ( - 1 ，嘞，所以由式( 2 - 5 ) 1 7 ( 1 - t 朋+ ，) = n ( 1 + o ，( 1 一o + ，) 一) = 1 = i - 丑l - l 。 c x p l o g ( 1 + t 州( 1 - t 斛j ) 。1 ) 扣l， 一- ， c x p e t = 秆( 1 - t = w ) 。 i = 1 - 1 e x p ( 1 - b ) 。乙+ ，) i = i e x p 0 6 ) - 1 ( 万“m ) + 1 ) ，- 1 ) 因此由式( 2 8 ) 有 5 ( m ) + 1 - 占r e x p ( 1 6 ) 一4 ( 万( ，) + 1 ) ，一1 ) - 0 ，存在，使得k 一材8 0 ，级 数收敛于4 ，丸收敛于8 ，设q = q 屯+ 口：玩_ + + 口。2 j i ，则c 。收 一兰l一= l一= l 哈尔滨理工大学理学硕+ 学位论文 敛于彻，从而得出平均非扩张集值映射对于经典的b a n a c h 压缩原理也成立。 此外，还证明了若d 是b a n a c h 空间x 的闭子集，z 是由d 至 i j x 紧子集c 的平 均非扩张映射。若存在而和以) ：，满足条件a ，则r 在d 中有不动点，且由 m a n n 迭代定义的序列 艺 收敛于r 的不动点。 哈尔滨理工大学理学硕+ 学位论文 第3 章一致凸b a n a c h 空间中修改的m a n n 和 i s h i k a w a 迭代不动点的过程 3 1 引言及预备知识 近年来，许多学者在不同的空间中讨论了m a n n 迭代及i s h i k a w a 迭代逼 近的收敛性问题，在存在性、逼近性和收敛速度方面做了大量工作，得到了若 干定理和不动点的迭代方法。但是关于非扩张的映象的i s h i k a w a 迭代强收敛 问题的研究更多是关于b a n a c h 空间或一致光滑的b a n a c h 空间上的渐近压缩 算子、( 强) 增生算子、( 强) 伪压缩算子的i s h i k a w a 迭代序列及算予方程 t x = f 或t x + x = f 解的研究，本章在一致凸的b a n a e h 空间基础上对非扩张 映射引入了修正的m a n n 和i s h i k a w a 型迭代，给出了迭代方法和收敛定理。 定义3 1 设x 是线性空间，ecx ，称e 为一凸集，如果对任意 x , y e ，0 五l 都有 、 缸+ ( t - a ) y e 定义3 2 【4 嘴6b a n a c h 空间