（基础数学专业论文）几类smarandache问题的均值.pdf

几类s m a r a n d a c h e 问题的均值 基础数学专业研究生陈俊峰指导老师高丽教授 摘要 本文主的要目的是应用初等方法与解析方法对罗马尼亚著名的数论专家f s m a r a n d a c h e 教授在o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s 一书中所提出的第5 个，2 1 个， 2 9 个和第4 9 个问题进行了一些探讨，即研究了与进制有关的数字之和函数、位数 函数以及m 次方幂补数和原数列这几个问题的性质，并得出了一系列较好的均值 公式 本文共分为以下四部分； 第一部分主要介绍了本文要用到的一些基本知识和基本定理； 第二部分运用初等方法和组合数论知识，对二进制数字之和函数的p 次均值， n 进制数字之和函数的p 次均值进行了猜想、归纳，得出了a p ( ) 和( ，n ) 的 精确计算公式并在此基础上，给出了n 进制数字之t 次方和函数的p 次均值， 即d ，( ，n ) 的精确计算公式，从而使这一方面的研究更趋成熟； 第三部分研究了位数函数的性质，应用正整数的分拆，多项式定理，常系数线 性非齐次递推关系等知识，对二进制及，；进制位数函数的p 次均值进行了研究，得 出了b ，( ) 和b ，( ，n ) 的精确计算公式，从而更深刻的认识了位数函数的性质； 第四部分应用阿贝尔恒等式、欧拉积公式、复变积分法、带余项的p e r r o n 公 式，以及一些数论函数的性质，分别研究了m 次幂补数和原数列的若干性质，并 给出了 1 和 s ，( n ) 以及掣的渐近公式 n zn tn o ( s p ( n ) ，p 2 = p a 5 p ( n ) 却( n 十1 ) 关键词：数论函数n 进制位数函数m 次方补数原数列均值 o ns e v e r a lm e a nv a l u eo fs m a r a n d a c h ep r o b l e m s a b s t r a c t t h em a i np u r p o s eo ft h i st h e s i si st os t u d yt h e5 t h ，2 1 s t ，2 9 t h ，a n d4 9 t hp r o b e m s p r e s e n t e db yt h ef a m o u sr o m a n i o nn u n l b e rt h e o r e t i ce x p e r tf s m a r a n d a c h ei nh i so n l y p r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n sb yu s i n gp r i m a r ym e t h o d sa n da n a l y t i cm e t h o d s t h a ti st o s a y 、t h es e q u e n c eo ff u n c t i o n so fd i g i t a ls u i u ，l o c a t i o nn u m b e rf u n c t i o n ，m p o w e rc o m p l e m e n t sa n dp r i m i t i v en u u l b e r sa r es t u d i e d a n ds e v e r a lr e g u l a rr e s u l t sa r eo b t a i n e d t h i st h e s i si sc o m p o s e do ff o u rc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，s o i n ep r e p a r a t o r yk n o w l e d g e a r ei n t r o d u c e d 。i nc h a p t e r2 ，u s i n gp r i m a r ym e t h o d s ，c o n j e c t u r ea n di n d u c t i o n lt h r e e a c c u r a t ec a l c u l a t i n gf o r n l u l a eo ft h ed i g i t a ls u l nf u n c t i o n sa p ( ) a p ( ，n ) a n d 珥( ，n ) a r eo b t a i n e d a n di nc l l a p t e l3t w oa c c u r a t ec a l c u l a t i n gf o r n m l a eo ft h el o c a t i o nn u m b e r f u n c t i o n sb p ( n ) a n d 岛( ，n ) a r eo b t a i n e dt o o i na d d i t i o n ，u s i n ga b e le q u a t i o nf o r - l n u l a 。e n t e rp r o d u c tf o r m u l a ，c o m p l e xa n a l y t i ci n t e g r a lm e t h o d ，p e r r o n ：sf o r m u l a ，a n d s o l l l ep r o p e r t i e sa b o u tn u u l b e rt h e o l e r i ef u n c t i o n s ，s o | n ep r o p e r t i e so f7 n p o w e rc o m p l e m e n t sa n dp r i m i t i v en u m b e r sa r es t u d i e di nc h a p t e r4 ，r e s p e c t i v e l y ，s e v e r a li n t e r e s t i n g a s y m p t o t i cf o r m u l a ea r eo b t a i n e d i na l l ，s o l l l eo ft h er e s u l t so ft h e5 t h ，2 1 s t ，2 9 t ha n d4 9 t hp r e s e n t e db yf s m a r a n d a c h ea r ee x t e n da n di m p r o v e di nt h i st h e s i s c h e nj u n f e n g ( a n a l y t i cn u m b e r t h e o r y ) d i r e c t e db yp r o f e s s o rg a ol i k e y w o r d s ： n u m b e rt h e o r e t i cf u n c t i o n n 1 i a r y l o c a t i o nn u m b e rf u n c t i o n m p o w e rc o m p l e m e n t s p r i m i t i v en u m b e r s m e a nv a l u e 创新性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得延安大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中做了明确的说明并表示谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名 关于论文使用授权的说明 本人完全了解延安大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生在校攻读 学位期间论文工作的知识产权单位属延安大学，本人保证毕业离校后，发表论文或 使用论文工作成果时署名单位仍然为延安大学。学校有权保留送交论文的复印件， 允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、 缩印或其它复制手段保存论文。( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密在 本人签名：j 喹皇垒塑卜 导师签名 年解密后适用本授权书。 日期： 第一章预备知识 第一章预备知识 质疑一解决质疑促成了数论的不断完善和深化比如著名的g o l d b a c h 猜 想、r i e m a n n 猜想、孪生素数猜想等等为此，著名数论专家f s m a r a n d a c h e 教 授在f 1 1 中提出了1 0 5 个尚未解决的问题其中的许多问题颇有意义和研究价值 本文就他提到的数字之和函数，位数函数以及补数等问题分别进行了探讨，得出 了一系列较好的结论以下是一些基本的，且在后续各章中应用频繁的基本知识 及引理 1 1 正整数的分拆 正整数n 的一个k 分拆就是把n 表示成k 个正整数的和 n = n l + 钆2 + t + 礼k( 七1 )( 11 1 ) 的一种表示法，其中m o ( 1 i ) ，啦叫做该分拆的分部量如果( 1 1 1 ) 是有 序的，这样的分拆叫有序分拆这时叫做该有序分拆的第i 个分部量；反之， 如果( 1 1 1 ) 是无序的，就是无序分拆，。的k 分拆的个数称为n 的分拆数，n 的所有分拆的个数称为n 的分拆数参考文献 2 】j 我们有如下引理l1 和1 2 ： 引理11 对于有序分拆，我们有 ( 1 ) 正整数n 的有序k 分拆的个数为嘴二i ( 2 ) 正整数n 的有序r 分拆，要求第i 个分部量大于等于p i ，其个数为q 其中r = k 一1 ，5 = n 十女一了_ p ；一1 = 1 ( 3 ) 正整数2 n 分拆成b 个分部，各分部量都是正偶数的有序分拆个数为磷二； ( 4 ) 正整数2 n 分拆成个分部，若n 与同为奇数或同为偶数，则n 的备分 部量都是奇数的有序分拆个数为c 言 其中，p = k 一1 ，口= 翌 芒一1 引理1 2 对于无序分拆，若用b ( n ：) 来表示n 的分拆的个数，用丑( n ) 表示n 的所有分拆的个数，则有 ( 1 ) b ( n ，) = 0 ( 女 m ) ，且b m ) = f b ( n ，) k = l ( 2 ) b ( n + ， ) = b ( n ，1 ) + b ( n ，2 ) + - + b ( n ，女) ，且b ( n ，1 ) = 1 ，b ( 扎，n ) = 1 几类s m a r a n d a e h e 问题的均值 1 2 几个引理 引理1 3 ( 2 1 如果设阶常系数线性非齐次递推关系的一般形式为 其中，c l ，c 2 ，“为常数，c 女0 ，9 ( n ) 0 叉设递推关系( 1 12 ) 对应的齐次递推关系为 2 ( 1 2 1 ) ( 1 ，2 2 ) 那么 k 阶常系数线性非齐次递推关系( 1 2 1 ) 的通解是递推关系( 1 2 1 ) 的 特解加上其相应的齐次递推关系( 1 2 2 ) 的通解 引理1 4 2 】对任意整数r 有； ( z - + z 。+ m 。+ + zz ) “= 元赢z 4 1 l 。；2 - - 。n t 而其中的求和号是对所有满足n l + 7 2 + + m = n 的非负整数序列n l ，。2 ，m 求和 引理1 5 【3 1 假设，( ”) “对绝对收敛，如果，是积性函数，则当a 一。 时有 妻n = l 等= ”等+ 等川 其中右边的无穷乘积展布在全体素数上，且对任意正数5 ，它在半平面o 0 - 。+ d 上绝对一致收敛 如果，是完全积性的，则当o 一。时有 薹掣= 罂禹斋 引理1 6 f3 】设 4 ( s ) = 。( n ) n 一5 ，口。 那么，对任意的5 0 = ( 7 0 + i t o 及b o a o ，当b o b 0 ，b o 口o + b ，t 1 及o 1 时有： ( a ) 当z 正整数时， 蝴一：熹篡郇，等d s + o ( 塑掣) 三蝴一2 熹t 郇o + 等 ( 婴产) +d +( ) 扩。日( 2 z ) m i n ( 1 ) 丁l o gx ) ) z 1 掣胁南) ) 其中n 是离。最近的整数( z 为半奇数时，取n = z 一 ) ，i i 。l l = l n z i ； ( b 1 当。= 正整数n 时， 至州。+ j 1 州) 胪。= 丽扯f b + 。丁i t 。川等d s n z 。 + 。n b b ( b + a o ) , ) + 。n 。吲z ) m 帆掣) ) ， 这里o 常数仅和a 。，6 0 有关 引理1 7 【3 】对任一数论函数n ( n ) 令a ( z ) = n ( ，z ) 其中，a ( 口) = 0 当 。 0 时假设，在区间【y ，x 】上有连续导数，其中0 - k s o ) ， 记n ( j ) = 妻1 为n 在二进制中数字之和函数，我们称a p ( ) = 。9 ( m ) 为函 1 m 七2 k 0 ，1 o , i ! 礼一1 ( i = 1 ，2 ，一，s ) ，记a ( m ，n ) = a l + a 2 + + a 。 为n t 在n 进制中数字之和函数，我们称锦( ，n ) = f 扩( m ，n ) 为m 在n 进制中 t n k 2 k 。0 1 d i ? t 一1 ( i = 1 ，2 ，一，s ) 记d ( m ，n ) = d i - 4 - d ；- 4 - + d ： 为m 在n 进制中数字之t 次方和函数，我们称d p ( ，n ) = f 扩( m ，n ) 为m 在n t r t k 2 2o ) ，有计算公式： sp 岛( ) = 睇( i 1 ) k 。2 。 z = 1k = 0 定理2 2设n 2 为正整数，m = a l 一1 十a 2 n “2 + + 钆n h ，其中， i = 1 ，2 ，s 且k l k 2 0 ，a ( m ，n ) = a l + 0 2 + 十a 5 ，有计算公式： s p ，2 1、p k a v ( ，。) = ( q ) 喏嗥m 西a ( 啦) b e * p - k - ：、( n ) n 也- 1 l = lr = u j = l a = u ka l + g ”- k 一 垂1 。( 礼) 圣p k 一 呻( n ) 壬1 ( 岛) n l _ 2 m = l p - k - $ 一2p - k - x - 1 2 1 + 嘤m 叼l - k 一 呻西，。( n ) 圣，。( n ) 西p - k - a - y 2 - ，l ( n ) 圣( 2 ) ( ) n 3 他= lt = l + ( p k 一 ) ! 西 一一 ( 礼) 西p 一一a 一1 ( ) n ，一p + + i o 吵 一昭 。“ h 州 p 一州 + “ 驴垂 一 嘤竹 心1 曜 一 皿 蔓 扩 。 之 西 h 矧叫 p 岂冀 十 + 第二章关于进制数的几个均值公式 2 2 引理及证明 在证明定理之前，先引入以下几个引理： g l 理2 1 对于任意的非负整数k ，有 ( 1 ) a l ( 2 2 ) = k 2 一1 ( 2 ) a 2 ( 2 ) = k 2 一1 + 谚垂1 ( ) 2 2 ( 3 ) a 3 ( 2 ) = k 2 一1 + ( 2 3 2 ) 西l ( 七) 2 一2 + 四暖圣p ( 七) 2 一3 证明对于( 1 ) 和( 2 ) ，分别令 4 和 5 引理1 中的n = 2 ；对于( 3 ) ，参考 6 的引理1 ，具体证明从略 引理2 2 对任意的非负整数m ，有 ( 1 ) a 1 ( n 2 ，n ) = 圣l ( n ) k n 。一1 ( 2 ) a 2 ( n k , n ) =圣2 ( n ) k n 一1 + 谚垂1 ( n ) 垂l ( n ) 中1 ( 七) n 一2 ( 3 ) a 3 ( r ，n ) = 西3 ( n ) k n 2 1 + 锘垂l ( n ) 谚圣1 ( n ) 西1 ( n ) 壬p ( 七) n 一3 + g 垂2 ( n ) m 1 ( n ) m 1 ( 矗) n 2 + 谚西l ( 钆) 垂2 ( n ) 圣l ( 七) n 2 证明分别参考f 5 1 5 中的引理1 ，证明过程从略 引理2 3 对任意的非负整数k 0 有 p 一1 a p ( ，z 。n ) = q ( ，咖一1 + 叼1 西h 。( n ) 呜，( n ) 圣1 ( ) ，一2 l = i p 一2p 一1 2 一i + 叼2 c 筘，。垂，。( n ) q 。( n ) 郇。( n ) 圣( 2 1 ( ) 一一3 2 2 l7 l = 1 + - + p f 圣：( n ) 西p - 1 ) ( ) n 一” ( 2 2 1 ) 证明用数学归纳法；( i ) 当 = 1 时，由于 左边= a p ( 他，n ) = a p ( 1 ，札) + a v ( 2 一l ，n ) + a p ( 3 一l ，n ) + + a p ( n l ，忆) 1 9 + 2 ”十3 9 + + ( n 1 ) 9 = ( n ) = 右边所以当k = 1 时，原式成立 ( i i ) 假设当k = d 时成立，有 如( n “，n ) 1 l ( 钆) 圣1 。( 礼) 圣l ( d ) n “一2 6 p - 2p - 能一1 + 四2 c 筘，。( n ) 垂，( n ) 一。( n ) 西( 2 ( m 1 2 = 1 1 1 = 1 + + p ! 垂7 ( ) 垂p 一1 ( d ) n “一9( 2 2 2 ) l e i 叼 州心 + 扣 p l e ld j | 几类s m a r a n d a c h e 问题的均值 则当 = d - 4 - l 时，由定义2 2 ，和引理1 2 ，1 3 有 n 9 ( 弧n ) m r i d + i 。( m ，n ) + 扩( m ，n ) + + 由位数函数的定义，当1s n 一1 时 扩( 巩n ) = 。9 ( t n + i n d , n ) = n ( m ，n ) + i p t n 8 1 n ( h 1 ) o n n 8 o _ n n a 由此，我们有 7 + ( a ( m ，n ) + ( n 一1 ) ) 9 0 t n n d = n 四a p ( n d n ) 十c j a p l ( n 4 ，n ) 中1 ( 礼) + 四a p 一2 ( n d ，n ) 壬2 ( n ) + 。+ c 吾a o ( 7 一，n ) 圣n ( n ) 由本章前的规定知 n q ( r 一n ) = 四( ，一，n ) 西o ( n ) p 于是可以得到： a p ( ，z 州，。) = 叼a ，一，( 7 1 d , n ) 画，( n ) 7 = 0 将式( 2 22 ) 代入上式，并整理得： = ( d + 1 ) 垂p ( n ) n “+ 乏二c 譬1 西p 一，。( n ) 币1 ，( n ) 西l ( d + 1 ) n 。一1 1 t = 1 p - 2p 一1 2 一l + 叼2 啦，。西( n ) 西，。( n ) 垂p 。1 ( n ) 垂( 2 ( d + 1 ) 一2 2 = 17 1 = 1 + - + 叫垂：( n ) 圣p 一1 ( d + 1 ) n “+ 1 一p 故当k = d - 4 - 1 时结论也成立，于是原命题获证 引理2 4 对于任意的非负整数k 0 ，有 p - 2p 一1 2 1 a p ( 2 。) = k 2 “1 + ( 2 9 2 ) 垂l ( k ) 2 + 昭。c 筘1 。圣i 2 ( ) 2 柚 1 2 = 1 1 l = l 证明参照引理2 3 ，证明过程从略 + p ! q 疆p - 1 ) ( ) 2 。一p ( 2 2 3 ) + q +m - 抓 +nn扩 一 = + h 啪 圣 呻k罐罐锣 何 却 一州 川一 + 第二章关于进制数的几个均值公式8 g i 理25 对任意一个非负整数k 0 ，有 p 口一 一1 a p ( b n k , n ) = 四吣( 6 ) l 女一 ( n ) 舻- 1 + 嘤 c p - 1 ( n ) 圣m ( n ) 垂l ( ) 扩川 = 01 1 = 1 p 一 一2 p - 一1 2 一l + 嘤 嘤 圣，。( n ) q ( n ) 西州。一( n ) 帮( 女) 铲3 证明由a 。( b n k , n ) 定义可知 + a p ( m ，n ) ( 6 1 ) n ! m b 时 + ( 。( 弧n ) + ( 6 1 ) ) 9 0 z n “ = b 四a p ( r ，t 1 ) + e ；a p l ( f l ，札) 圣l ( 6 ) + q a p 一2 ( n k 礼) 西2 ( 6 ) + + c ：a o ( n ，n ) 垂p ( b ) 由本章前的规定知： 6 c ：a p ( n ，札) = c ：a p ( 礼。，n ) 西o ( 6 ) 于是可以得到： 将式( 221 ) 代入上式，并整理得 = 中 ( 6 ) 陋p 一 ( ，t ) n “1 + 罐 一, k - 3 t ( n ) 由，( n ) 西l ( ) 扩一2 x = o 1 l = 1 p - 一2 p - 一7 2 1 + 嘤 哗a - - 2 垂，：( n ) 州n ) 郇小。呻( n ) 圣i 2 ( k ) 舻一。 y 2 = 1 1 1 = l + + ( 尸一a ) ! 垂7 一 ( n ) 垂p 一 一1 ( 七) n + 一9 l 2 3 定理的证明 有了以上引理，我们就能够进行定理的证明了，首先利用引理2 1 和2 4 证明 定理2 1 ，具体如下： 证明2 1 由定义2 1 和引理1 2 ，1 4 知： 422 1，j p 一 + k n 砷 一 一 扣 l 。in 一 p 1 l e l 【 f f 柚 1 一 叫 + + + 扩 一 + 一 n n 扩。以 岫蚶 = = b 屯 k 1罐 ，脚 几类s m a r a n d a c h e 问题的均值 a p ( j v ) = 。9 ( m ) l n = 扩( m ) + a p ( m ) + + a 9 ( m ) m 2 k t2 k l m 2 k t - i - 2 k 2n 2 b m v 5 p = 喏( i 一1 ) k a p k ( 2 h ) t 竺1k = 0 由式( 2 2 3 ) ，我们有 a p - k ( 2 ，) = r i 2 。t 一1 + ( 2 ”一。 p - k 一2 p - k 一1 l + ( n ( m ) + ( s t n 2 b + 曙女嘤h 。垂1 2 ( k d 2 h 。3 7 2 = l 1 l = 1 + 7 3 = 1 y 2 = l 嘤* 嘤h 嘤h 。西【3 ( k d 2 卜4 1 1 = 1 9 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 将式( 23 2 ) 代入式( 231 ) 并熬理，得： 5 p8p 山( ) = 喏( i i ) k 山一k ( 2 也) = 磷( t 一1 ) k 2 卜1 t = 1k = 0 z = 1 = 0 p - k - 2 p k 一1 2 1 + ( 2 9 一2 ) 垂l ( 蝴1 2 十嘤女嘤k 。圣( 2 ( 蝴t 一3 1 2 2 l1 1 2 i p k - 3 , o - - 一1 3 2p - k 一1 3 1 2 1 + 嘤。曜h 。嘤咖。西c 3 ( 。) 2 b 4 ，3 = 11 2 = 11 i = 1 + + ( p 一七) ! 垂p - k - 1 ( 乜) 2 也+ 一p i 最后，利用引理2 2 ，2 3 ，和2 5 来证明定理2 2 证明2 2 由定义2 2 和引理1 , 2 ，1 4 知 a 口( ，) 5 p i1 = ( a j ) 喏a 州( 啦n k ，n ) = 1k = o j = l - + 扩m ，n ) n n | n b m n + ( o ( m ，n ) + n ，) 9 o m 0 ，d ( m ，7 1 ) = d + d ；+ 十d ：则有计算公式： ( j 川= 壹壹( 萎蟛) 2 喏啦a 。( d ) 【 ( 咖卜- ( ，n ) = ( 蟛) 喏啦* 垂n ( d ) l ( n ) n 卜1 i = 1i = l- - p - = k 0 kiff2tp-tk-tadp kilk = o1 + q 二垂m ( n ) 圣t p - t 川，1 ( r i ) 圣1 ( ) n z 一2 + 嘤嘤1 圣( n ) ( n ) 垂旷她舢_ 竹。( n ) 掣( ) 。 + + ( p k a ) ! 垂 一一1 ( n ) 西p 一一1 1 ( ：) n 。 一p + + 1 于是，完成了定理的证明 另外，我们还可以用这种分拆的思想尝试进行数字之和函数的几何均值公式， 数字之积函数的算术均值公式以及数字之积函数的几何均值公式等相关的问题的 探讨 一惴 州一州 p + 第三章关于位数函数的几个均值公式 第三章关于位数函数的几个均值公式 3 1 引言及结论 罗马尼亚数论专家f s m a r a n d a c h 教授在文献【1 3 中建议我们研究位数函数的 性质位数函数及其均值的定义由以下给出： 定义3 1 设为正整数，m = 6 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + + 2 8 ，其中b o = o 或 1 s 0 ，记6 ( ，n ) = s + 1 为r n 在二进制中的位数函数，b ，( ) = 6 p ( m ) 为位数函 m 数b ( m ) 的p 次均值 定义3 2 1 7 设7 1 , 2 为一给定的正整数，对任一正整数m ，假定m 在n 进 制中表示为m = b o + b l n + b 2 n 2 + + k ，其中0 茎b isn z ( i = 1 ，2 ，s ) ，b 。0 ， 且s 0 ，称b ( m ，n ) = 8 + 1 为m 在n 进制中的位数函数，b p ( ，n ) = 垆( m ，n ) m ( n 为位数函数6 ( m ，n ) 的p 次均值 虽然研究的内容都和进制数有关，但位数函数的均值与数字和函数有所不 同对于位数函数的均值问题研究，特别是二进制位数函数的均值问题，因其在密 码学和信息科学中有着重要的应用，而更突出了它的研究价值 本章主要应用正整数的分拆，多项式定理，以及常系数线性非齐次递推关系 等知识，分别给出了二进制以及n 进制位数函数的p 次均值，即b p ( ) 和岛( ，n ) 的精确计算公式 下面，我们给出本章的主要结论，即下面的 定理3 1 设n = b o + 2 1 + 2 2 + 2 3 + + 2 5 ，b o 的取值为0 或1 ，我们有： s b p ( n ) = i 2 ”1 + o + 1 ) p ( 一2 8 ) t = 1 定理3 2 设m = b o + b i n + b 2 n 2 + + b s n 5 ，其中s 0 ，0 b l n l 而且 i = 1 ，2 ，s 我们有： s b p ( n ，礼) = ( 礼一1 ) 乏二护一1 + ( 虬一1 ) ( s + 1 ) p n 3 + ( s + 1 ) n ( n b s n 8 ) 2 = 1 行文中，虽然耳( ) 的证明会给岛( ，n ) 的证明提供很大的方便，但二者所 用的处理方法较为类似为了免于累赘，在证明过程中相关证明只给出了其中一 个的完整证明过程 望坠曼翌皇塑墨堕竺堕塑墅丝塑堕1 2 3 2 引理及证明 为了完成定理的证明，我们首先证明下面几个引理： 引理3 1 对于任意的非负整数，有 ( 1 ) b l ( 2 ) = i 2 ”1 1 i 1 ( 2 ) b 2 ( 2 ) = i 2 2 “ l = l ( 3 ) b p ( 2 ) = i 9 2 “f 3 2 1 1 l = 1 证明( 1 ) 1 由定义知： b l ( 2 ) = f6 ( m ) ，n 2 = 6 ( m ) + 6 ( 嘲 2 6 ( ，n ) + b ( m + 2 k - 1 ) 由于0s m 2 ，由定义，我们有 由式( 3 2 2 ) 可得 即，我们有 于是有 b ( m + 2 一1 ) = 一1 + l ： b l = 6 ( m ) + 女 m 2 一i o m 2 k 一1 = 6 ( m ) + k 2 m 2 k 一1 b l ( 2 ) = b l ( 2 一1 ) + 2 t 一1 b l ( 2 ) = b 1 ( 2 一1 ) + 女2 k 一1 b l ( 2 一1 ) = b 1 ( 2 一2 ) 十( k 一1 ) 2 女一2 b 1 ( 2 一2 ) = b i ( 2 一3 ) + 一2 ) 2 一3 b 1 ( 2 2 ) = b 1 ( 2 ) - 4 - 2 2 ( 32 2 ) 壁至l 主王焦墼鱼墼堕些尘塑垡坌塞 1 3 上边k 一1 个等式左右两边分别相加，并整理得： b l ( 2 ) = b l ( 2 ) + i 2 “ i = 2 又由定义3 2 和引理1 2 ，1 4 我们得到： b p ( m 礼) = b p ( 1 ，z ) + 6 p ( 2 一l ，n ) + + 矿( n l ，礼) = 1 p + 1 p + 1 p + + 1 p = 扎一1 于是 故得b l ( 2 ) = l 从而得到 b l ( 2 ) = f i 2 i - l 证明( 2 ) 由定义知： b 2 ( 2 ) = 5 2 ( m ) m 2 “ = b 2 ( m ) + 6 2 ( ，n ) m 2 一l 2 k 一1 r t t 2 k = 6 2 ( m ) + 6 2 ( m + 2 k - 1 ) m 2 k 一10 r n 2 c - 1 = b 2 ( 2 。一1 ) + 2 2 一1 b 2 ( 2 。) = b 2 ( 2 一1 ) 十k 2 2 k - l b 2 ( 2 一1 ) = b 2 ( 2 一2 ) + ( 一1 ) 2 2 k 一2 b 2 ( 2 一2 ) = b 2 ( 2 一3 ) + ( 女一2 ) 2 2 k - 3 b t ( 2 2 ) = b 2 ( 2 ) + 2 2 2 上边k 一1 个等式左右两边分别相加，并整理得 b 2 ( 2 ) ( 3 ) 的证明可参照2 ) 的证明过程，此处从略 2 产 。础 一 2 动 产 蹦。瑚 | | = 几类s m a r a n d a t h e 问题的均值 引理3 2 对于任意的非负整数k ，以及p 有 ( 1 ) b l ( 小，n ) = 一1 ) - 礼t 一1 = 1 k ( 2 ) 毋( 舻，n ) = 一1 ) i 2 。 i = l k ( 3 ) b p ( ? l k ，n ) = ( n 一1 ) 弘n 。一1 证明首先证明( 3 ) 由定义3 2 和引理1 2 ，1 4 知 n 一 矿( m ，n ) + n 一1 r r t 2 r t t + b p ( 7 7 z ，n ) ( n 1 ) n 一1 r n n 1 4 ( 3 23 ) = 扩( r n ) +w ( m + 札“1 ，n ) + + 护( m + m 一1 ) n k - l , n ) m n 。一1 0 m n 一1o _ m n k = 扩( 眠n ) + ( n 一1 ) 胪扩一1 m n t 一1 b p ( n ，r 1 ) = b p ( n 一1 ，n ) + ( n t ) k v n “一1 b p 7 l 。一1 ，礼)= b p ( n 七一2 ，n ) + ( n 一1 ) ( 七一1 ) v n 一2 b p ( 礼一2 ，礼) = b p ( n k - 3 , n ) + ( 几一1 ) ( 七一2 ) p - 礼。一3 马( 几2 ，n ) = b t , ( 扎，扎) + ( n 一1 ) 一2 p n 上边k 一1 个等式左右两边分别相加，并整理得 于是完成了证明 类似可证明( 2 ) 和( 1 ) ，从略 一 n矿 。雠 ” j 一 n 矿 h 。试 m ” 一 目 | l = 第三章关于位数函数的几个均值公式 引理3 3 设n 2 的整数，对于任意的非负整数k ，和p 我们有 b p ( a n ，n ) = ( 7 l 证明由定义3 , 2 和引理1 2 ，1 4 知 ( 3 2 4 ) = b p ( m ，n ) + 矿( m ，n ) + b p ( m ，n ) n h 女 水蔓m 2 2 n 。茎m 3 n + + 扩( m ，n ) 阳一1 1 一 r e a n = b p ( m ，n ) + 驴( 仇+ n ，n ) + 扩( m + 2 n ，n ) 将式( 3 2 3 ) 代入式( 3 2 5 ) ，并整理得 3 3 定理的证明 这节我们来完成定理的证明，首先证明定理3 1 证明3 1 首先，由位数函数的定义和引理1 2 ，1 , 4 知 1 5 b pc n ) = 扩( m ) m n = b p ( m ) +b p ( m ) + + 矿( m ) r n 2 2 。s m 2 6 1 + 2 5 n b o _ m n = b p ( 2 5 ) +6 ( m + 2 5 ) + + 6 ( m + 一6 0 ) 0 m 2 s 1 。1 0 _ m b o = 岛( 2 5 ) + ( s + 1 ) p 2 扣1 + ( s + 1 ) p 2 8 2 + ( 8 + 1 ) p 2 。一3 + + ( s 十1 ) p 2 + ( 占+ 1 ) 芦b o = b p ( 2 3 ) + ( 8 + 1 ) 9 ( 一2 5 ) ( 3 3 1 ) k 札 p 1 + 七 l o+ 一 n p 。汹 o+ 一 n p 。 一儿 l i n k 昂 j l 类s m a r a n d a c h e 问题的均值 将式( 3 2 1 ) 代入式( 3 3 1 ) ，并整理得 1 6 下面我们来_ i 正明定理3 2 证明3 2 由定义3 2 和引理1 2 ，1 4 知： b p ( n ，n ) = 6 ( 弧n ) 9 7 n ( = 6 ( m ，n ) 9 + b ( m ，n ) 一 m b s a 5 b s n 5 1 m 6 $ 一l t l 。一1 + 6 5 ” + + 6 ( m ，n ) 9 + 6 ( m ，n ) 9 n b o - b l n l1 m 一6 0 n - b o m n = b p ( b s n 5 ，n ) + b ( m + k 矿，n ) 9 + + 6 ( m + “邮) 0 m 6 s 。1 n 5 1o 2 ， 几类s m a r a n d a c h e 同题的均值 p 是一个素数，n 是任意一个正整数，则有 1 8 三= ；+ 。( 篙)n o 。7 s p ( n ) = 卸十1 ) 本文将进一步研究数列 8 ，( n ) ) 的性质，得到了如下两个渐近公式，即 定理4 2 对任意实数。2 ，p 是一个素数，n 是任意一个正整数，我们有 渐近公式 至，= 等( 与挚) n k ( m 一1 ) + 1 时，定义 a ( 。) ：o c 掣k 引理4 1 设是任意i e 常数，当口女( m 一1 ) 时，则 ( 1 ) a ( s + 1 ) 在半平面r e s k ( m 一1 ) + 上有界且解析 4。+，)：!(!：!；!二=_：坚：!：!r(。+。) ( 2 ( s 一( m 一1 ) + 1 ) ) 其蜘s ，= 玎( t g 鼍赫) 第四章关于补数和原数列的几个均值公式 1 9 证明( 1 ) 1 由定义对于m 次补数s 。( 矿) 有 i 1 ， ( p “) = l 矿t t nok m ( 1 i m 一1 ) 则显然有礁( n ) n * ( m _ 1 ) 由文献【3 】知级数量饕在半平面r e s ( m 一 1 ) + e 上绝对一致收敛，故a ( s + 1 ) 在半平面r e s ( m 一1 ) + 上有界且解析。 证明( 2 ) 显然s 。( n ) 是积性函数，由引理4 1 ( 1 ) 及引理1 , 5 ，当口k ( m 一1 ) 时有： 钏。三裂 = 珥( - + 警+ 嬲+ 船) = u ( o o 雾k 器7 “t + 薹黼+ ，十薹c o 舅k 器m t + m - i ) = 9 ( 娄矛( 硪c ，+ 譬掣+ 簧豁+ 十雾g 嘉) ) = 如c 州，) 耳( + 等+ 筹卜+ 茄高) = 小c 洲，) ( ，十坐等等掣) = ( m ( s + 1 ) ) ( ( 女+ s + 1 ) ( 1 一p ( m 川+ p 咖叫 p i i ( 丑( s + 1 ) ) p 其中，兄c s ，2u ( 矛毒芸斋) ，于是，有 删：血型掌竺! 坚竺二型! 即圳 ( 2 ( 5 一k ( m 一1 ) + 1 ) ) 几类s m a r a n d a c h e 问题的均值 引理4 2 设n 为正整数，p 是素数，再设n = 。( p ，n ) ，满足p 。，则有 ，= 耜 证明 参看文献 2 4 】中定理1 7 ，2 引理4 3 对于s p ( ，t ) ，我们有估计式 n ( p 1 ) ss p ( n ) ( n + 1 0 1 9 。( g r i 2 p ) x ( p 一1 ) 证明 参看文献 2 4 】中引理1 4 3 定理的证明 现在我们来完成定理的证明首先证明定理4 1 ： 证明4 1 显然碟( n ) n k ( m - t ) = h ( n ) 取s o = 1 ，b = k ( m 一1 ) + 一，t 1 ，。为半奇数，由引理1 6 有： l o g o 三掣= 百1 _ ：5 b + i t 料，知。 掣 + d 等等 若取。= ( m - 1 ) 一i 1 + 面1 ，把上式的积分线从。士i t 移到6 士t ，考虑到 a ( s + 1 ) 在s = k ( m 一1 ) 处有由一个一级极点，则有： 三掣2 昧嘶叫圳等+ 百1 f b a - i t + a + i t + f 2 7 卜圳知 + 。 孙。x k ( m - l _ _ ；l o gx 由留数的定义，我们有： r e s s = k ( ) 坤+ 1 ) 等 =res。：。c。一。，!o!二=一号；：；ji：i掣rcs+t，等 = 业蒜k ( 拦m1 产心c m( 2 ) (一) ) 、 第四章关于补数和原数列的几