（基础数学专业论文）e2（z）中的有限阶半正交小波.pdf

摘要 摘要 由于2 ( z ) 中的等距离散样条为数字信号处理提供了强有力的数学工具在 借鉴p e v n y i 和z h e l u d e v 等人工作的基础上，我们给出了9 2 ( z ) 中离散样条的积 分表示，并刻划了r t b 样条；类似地，给出了小波空间中元素的积分表示，并 刻划了r t b 小波；最后，在这些工作的基础上，我们研究了2 ( z ) 中有限阶半正 交小波的分解。 本文是按如下方式组织的第一章介绍研究背景以及主要结果；第二章给出 离散样条的积分表示及r t b 样条的刻划；第三章研究小波空间中元素的积分表 示以及r t b 小波的刻划；第四章给出2 ( z ) 的有限阶半正交小波的分解 关键词：r t b 样条；r t b 小波；r i e s z 基；小波分解。 a b s t r a c t a b s t r a c t e q u i d i s t a n td i s c r e t es p l i n e si nt h es p a c e 2 ( z ) p r o v i d eap o w e r f u lm a t h m a t i c a l t o o lf o rd i g i t a ls i g n a lp r o c e s s i n g w es h a l lg i v ea ni n t e g r a lr e p r e s e n t a t i o nf o rd i s c r e t e s p l i n e si n 2 ( z ) a n dc h a r a c t e r i z er t bs p l i n e s s i m i l a r l y ，i ti ss h o w nt h a tt h ei n t e g r a l r e p r e s e n t a t i o nf o re l e m e n t si nt h ew a v e l e ts p a c ea n dt h ec h a r a c t e r i z a t i o nf o rr t b w a v e l e t s b a s e do nt h e s ew o r k ，w es h a l ls t u d yt h ef i n i t es t a g es e m i o r t h o g o n a lw a v e l e t s i np 2 ( z ) t h et h e s i si so r g a n i z e da sf o l l o w s ：i nc h a p t e r1 ，s o m en o t a t i o n s ，t h eb a c k g r o u n d a n dt h em a i nr e s u l t sa r ei n t r o d u c e d ；w ee s t a b l i s ht h e i n t e g r a lr e p r e s e n t a t i o no f d i s c r e t e s p l i n e sa n dc h a r a c t e r i z er t bs p l i n e si nc h a p t e r2 ；i nc h a p t e r3 ，t h ei n t e g r a lr e p r e s e n - r a t i o nf o re l e m e n t si nt h ew a v e l e ts p a c ea n dt h ec h a r a c t e r i z a t i o no fr t b w a v e l e t sa r e o b s t a i n e d ；f i n a l l yw eg i v et h ef i n i t es t a g es e m i o r t h o g o n a lw a v e l e t si n 2 ( z ) i nt h el a s t c h a p t e r k e y w o r d s ：r t bs p l i n e s ；r t bw a v e l e t s ；r i e s zb a s e s ；w a v e l e td e c o m p o s i t i o n i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 魏雾争隰 关于论文使用授权的说明 ”年f 7 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文 躲盟翩躲丝魄衅 第1 章绪论 11 预备知识 第1 章绪论 ( i ) 离散样条的概念及其性质 p e v n y i 和z h e l u d e v 在文献1 1 】中引入了离散样条的概念，并研究了它们的性 质，现综述如下；他们首先定义一阶离散b 样条目1 ，。为 f1 ，j ：o 1 】，n 一1 b 1 ，n 0 ) = 【o ，其它 j 1 一一 一1。 on l 图1 ：1 阶离散b 样条 进一步，p 阶离散b 样条定义为易一= b 1 ，。+ 马一l 。其中e 表示卷积例如2 口2 ，n 。) = j + l , o 0 定理1 3 2 b ，2 n ) = 2 1 c ( ；) 1 2 2 b ，n ( ) + 2 i c ( + ”) 1 2 丁b ，。( + r ) 其中c ( x ) = ( 1 + e 。x ) p 第1 章绪论 记马，。( z ，j ) 垒e 卅z b p 。0 一抽) ( 通常称为岛，。的z a k 变换) ，那么下面 i z 的定理成立( 见【1 ) ： 定理1 4 ( 1 ) 对于固定的j z ，耳，。( 。，j ) 是z 的三角多项式，从而 岛，。( j t n ) = 歼1 詹”e 妇马，。( 。，j ) d x ，其中j ，l z 尤其当f - 0 时， 岛，。( j ) = 击后”耳，。( z ，j ) d x ，其中j z ( 2 ) e ； ( 。，j 一n ) = e i k z e ；m ( z ，j ) ( 3 ) 岛，2 n ( 。，j ) 2c ( ；) 耳，n ( ，j ) 十c ( + ”) 马，n ( i + ”，j ) ，其中c ( 。) = ( 1 + e 缸) 一 ( i i ) 缓增数罗h 空间f 中的小波分析 p e v n y i 和z h e l u d e v 于2 0 0 2 年( 1 】) 利用离散样条在缓增数列空间中引入了小 波基，本文正是受这一工作的启发完成的为此，先综述p e v n y i 和z h e l u d e 。的 工作： 定义1 3 所谓缓增数列空间定义为如下集合f = “c ( f ) ) l z 1 3 m ，s 0 ，s t i c ( f ) l m 1 + i 2 i 5 ，v 。z ) ，称昂n ( j ) 2 黾。( d 廓，n ( j f n ) 为p 阶离散样条，其中 c ( 0 h e z f 所有离散样条昂，形成的空间记作嵋，。，即 嵋，。垒 岛，。i 昂，。( j ) = c ( z ) 岛，。( j l n ) ， 。( f ) ) f z f ) i e z 定义1 4 设 q ( 。) ) l z f ，定义日( 。) 垒邑q ( f ) e 池，则称日( z ) 为2 7 r 周期 分布 2 ”周期分布的全体记作d ；记d 为2 ”周期无限次可微函数的全体 3 北京工业大学理学硕士学位论文 定理1 5 品，。 = = s ，。( j ) = 南詹”g ( z ) 马，。( z ，j ) d x ，其中g ( 。) d 。 设( 。) d ，令妒( j ) = 丽1s o ”( ) 马，。( z ，j ) d x ，称( z ) 为妒的密度函数由 于( z ) ed c d ，所以妒为k ，。中的样条 定义1 5 若上述妒经过平移 妒( 一女n ) ) 女z 生成了离散样条空间k 。的基， 则称样条妒为t b 样条，即v 昂，。嵋，。，都有s p ，。( j ) = c ( ) p 0 一n ) ， k e z 其中c f 定理1 6 ( 对t b 样条的刻划) 妒为t b 样条仁亭v x r ，( 。) 0 定义小波空间仉名，2 。= r ，。l r ( j ) b p ，2 。0 2 i n ) = o ，vf z ) j z 定义z a k 小波唧，2 。( z ，j ) = n ( ) 岛。( ，j ) + a ( x & 2 2 ) e p ，。( ! 誓4 ，) ， 其中a ( 七) = 2 e i z c ( x + 丌) t 2 p ，。如+ 7 r ) ，而c ( 。) = ( 1 + e 缸p z a k 小波具有如下性质： f 1 】 定理1 7 ( 1 ) 唧，2 。( $ ，j ) 讳，2 。( j 一2 k n ) = 0 ，vk z 3 e z ( 2 ) 对固定的j ，唧，2 。( z ，j ) d ( 3 ) 呻，2 。( 。，j 一2 k n ) = e i k 2 t o p ，孰( z ，j ) 定理1 8 r w ；加 = 亭r ( j ) = 簖1 后”d ( z ) 岛，。( z ，f ) d x ，其中d ( ) d ， 设r ( z ) d ，令妒( j ) = 磊1 詹”r ( 。) 哟却( 。，f ) d x ，称r ( z ) 为妒的密度函数 由于r ( 。) dc d ，所以妒为w ；，2 。中的小波特别地当r ( ) ；1 时 妒为基小波，记作鹕却 4 - 第1 章绪论 定理1 9 当r ( 。) ；1 时，币：m ( j ) = g ( o b p ，n o l n ) ，其中 g ( f ) = 2 ( 一1 ) 卜1 薹( ；) _ b 2 p ，n ( n 1 ) + n ( f + p 一1 一r ) ) ， 一芦一p + l fs p + 1 r = u 卢= 垃岩 ，并且g ( 一p + 2 一f ) = ( 一l p g ( z ) ，从而也可知鹕却具有紧支集。 定义1 6 若上述吵经过平移 妒( - 一2 自n ) ) k z 生成了小波空间w 名，2 。的基，则 称妒为t b 小波，即v r w 名，2 。，都有r ( j ) = d ( ) 币0 2 k n ) ，其中d f k e z 定理1 1 0 ( 对t b 小波的刻划) 妒为t b 小波甘v x r 1 t ( z ) 0 定理l 1 1 w 名h 名，2 e 中的t b 小波与k ，2 一中的t b 样条经过平移 构成了缓增数列空间f 的一组基 ( i ) 几个概念 为叙述我们的工作，在本小节中，先引入几个简单的概念 定义l 7 称蟊一垒 岛，n l 岛，n ( j ) 2 怠c ( z ) 岛，n ( j f n ) ， c ( f ) ) f z 驴( z ) ) 为 铲( z ) 中的离散样条空间，显然诈，。 嵋，。 定义18 设 _ ( 。) ) f e z ( z ) ，定义日( 。) 垒磊q ( z ) e 妇，则称日( z ) 为2 ”强 周期分布2 ”强周期分布的全体记作e ，显然f c d ， 注记实际上，e 7 = l 2 一丌，丌 定义1 , 9 设x 为赋范线性空间，a x ，若v 。x ，：c ( 后) ，其中 k e z 。( k ) ) z x ，jm ，m 0 ，s t m 2 忙0 2 m i i c i l 2 ，则称 女e z 为x 的r i e s 。 基 北京工业大学理学硕士学位论文 定义1 1 0 若妒吃，。满足 妒( 一 n ) ) k z 生成了离散样条空间诈m 的r i e s z 基，则称样条妒为r t b 样条 定义小波空间谛；，2 。= r ，。j n ( j ) b p ，2 。( 一2 t n ) = o ，vf z 卜 j z 定义1 1 1 若币吼2 n 满足 妒( 一2 k n ) k z 生成小波空间嘛舰的r i e s z 基，则称中为r t b 小波 1 2 背景与主要结果 1 9 8 6 年，法国数学家y m e y e r 成功地构造了具有一定衰减性的光滑正交小 波函数，称为m e y e r 小波在此之后，p gl e m a r i 和g ，b a t t l e 也分别独立地构 造出了小波函数1 9 8 8 年，i d a u b e c h i e s 基于多项式函数构造出具有紧支集的 正交小波基( 1 4 】) ，为小波的发展奠定了基础1 9 8 9 年，s m a l l a t 提出了多分 辨分析的概念( 【5 1 ，【6 1 ) ，把j s t r o m b e r g ，y m e y e r ，pg l e m a r i 4 和g b a t t l e 等人 的小波构造方法成功地统一起来更为重要的是：s m a l l a t 在多分辨分析的基 础上给出了相应的分解与重构算法，这种算法能很好地应用于数字图像处理在 此基础上，小波分析不断发展，已成为应用数学的一个重要分支 构造小波的基本工具之一就是b 样条到目前为止，利用多项式样条构造小 波方面，已经取得了丰硕的成果a c o h e n ，i d a u b e c h i e s ，j c f e a u v e a n ，c k c h u i 、m u n s e r ，a a l d r o u b i 以及m e d e n 等人都分别给出了关于利用多项式样条 构造小波的一些很好结果g b a t t l e ( f 7 】) 与p g l e m a r id ( 8 ) 分别在1 9 8 7 年、 1 9 8 8 年利用样条函数构造了正交小波基。1 9 9 0 年，c k c h u i 和王建忠基于样 条函数构造出正交小波函数，并讨论了具有较好局部化性质的尺度函数和小波函 第1 章绪论 数的构造方法这方面的讨论可参见文献【9 1 一【1 3 1 具有紧支集的双正交样条 小波被ac o h e n ，i d a u b e c h i e s 以及j c f e a u v e a n 首先构造出来，可参见文献 1 4 。 注意到前述讨论均在函数空间中进行，即自变量为连续变量但实际问题中 的信号均为离散的，因而离散空间中样条小波的意义就变得更为重要，这种定义 在整数集上的离散样条小波在进行数字图像处理时，有着更大的优越性 离散样条曾在7 0 年代初期就被研究过( 1 5 ) ，最近几年又成为研究的热点。 利用离散样条讨论小波构造的工作可参见文献【2 】，【1 6 】一【2 1 】2 0 0 0 年，p e v n y i 等人研究了缓增数列空间中的非周期离散样条理论，完成了缓增数列空间中样条 小波的构造理论( 【1 】) 他们证明了； 缓增数列空间f 可以作如下分解： 即 w r - ： f = _ o ，8 t c 1si r ( z ) i 0 2 ，v t r 结果3 设p ，f n ，r 是2 ”周期无限次可微函数， v 。r ，( z ) 0 ，r ( z ) 0 ，对1 m l ，定义 妒m ( j ) = 击t r t ( 。) 呻刀( z ，j ) d 。，仰( j ) = 击詹”( z ) 耳，2 。( ，j ) d z ，j z ， 贝4 妒m ( j 一2 m k ) ，a ( j 一2 。k ) 1 1 m l ，z ) 是e 2 ( z ) 的r i e s z 基 1 3 本文结构 本文主要研究t 2 ( z ) 中有限阶半正交小波的分解内容安排如下：第1 章首 先引入一些概念及相关命题，接着介绍了研究背景，最后列出本文的主要结果 第2 章利用z a k 变换给出了离散样条的积分表示，并在此基础上证明r t b 样条 8 - 第1 章绪论 的刻划定理。第3 章利用z a k 小波研究小波空间中元素的积分表示，用类似于第 2 章的方法讨论r t b 小波的刻划第4 章，给出2 ( z ) 中有限阶半正交小波的分 解，即2 ( z ) 中的一组r i e s z 基在本文的最后，我们提出了几个尚待解决的问题。 北京工业大学理学硕士学位论文 第2 章r t b 样条的刻划 2 1 离散样条的积分表示 与缓增数列空间中离散样条的积分表示类似，在本小节中，我们给出2 ( z ) 中 离散样条的积分表示，即下面的定理 定理2 1 岛，。岛，。 = 寺s p 。( j ) = 嘉j ；”g ( z ) 耳，。( ，j ) d x ，其中g ( z ) e 证明： “ vj z ，3 k z ，s t k ns j 墨( k + 1 ) n 一1 ，从而 品，。( j ) = c ( f ) 耳，。( j z n ) 2 去c ( f ) 上一b ( 蜘) 如 ，r 2 f 提z 。” 由于b 具有紧支集，所以上式对 的求和只有有限项，故 啪，= 去z h 鼬捌驴一溉 其中 c ( f ) ) f z 2 ( z ) 令g ( 。) 垒c ( f ) e 妇，则e ( z ) e ，从而 最，。) = 去z h 。( 。) 岛一毛j ) 虹 “仁”若昂，。( j ) = 磊1 詹”a ( z ) 耳，。( z ，j ) d x ，其中d ( z ) e = l 2 卜- ”，r ， 那么可设c ( x ) = c ( 啦“2 ，其中 c ( ? ) ) f z 护( z ) 另一方面，对固定的， z z 耳，。( ，) l 2 卜玎，】，且，。( z ，j ) = 一。砩，。( j l n ) ，由p l a n c h e f a l 公式，我们 z 有 昌。( j ) = c ( f ) 岛，。o i n ) ， f 2 即岛，。( j ) = 刍莳”g ( z ) e p 。( 。，j ) 是卫2 ( z ) 中的p 阶离散榉条证毕 1 0 _ 第2 章r t b 样条的刻划 当( z ) dce 7 ，妒( ，) = 击后” ( 。) 马，。( z ，j ) d x 为讳。中的样条特别地 ( 。) ；1 时，相应的妒为基样条岛，。 2 2 三条引理 为给出r t b 样条的刻划，在本小节中，我们引入三条引理，第一条取自文献 【2 2 】 引理2 2 设y = 川”( j ) = c ( 女) “( j 一女m ) ，c z 2 ( z ) ) 是e 2 ( z ) 的子空间，其中 k e z m j u y ，若刍q ，卢 0 ，s t o l 也( 石十苇 ) 1 2sp ，v z 【o ，鲁】，贝0 u ( 一七m ) ) 女。 k = 0 。 生成v 的r i e s z 基 引理2 3 岛，。( 一n ) ) b z 生成了吃，。的r i e s z 基 证明： ，n = 雪l 雪( j ) = c ( k ) s p ，。0 一n ) ，c 2 ( z ) ) ，令c ：6 2 ，则有 k e z 易，n 亿m 欲证 b p ，。( - 一梳) ) k z 生成砖，。的r i e s z 基，由引理2 2 ，只需证明 j 0 伽，“蜓塞鼬2 。k t r 炉鲳比 o ，刊2 7 r 2 7 r k j 。，卢 o ，“o 茎愧。( 。) 1 2 卢，比吼i 】 = 0 ” 事实上，由岛，。的定义可知 岛一( 量) = ( 童1 ，。( 。) ) p = ( 1 + ；。+ e - 1 2 ：c + 。+ e 一；( n 一1 扭1 p = 篙纛叩吐 易见当z 【o ，簪) 时，岛，n ( 。) o ；当。= 鲁时，岛。扛+ 半) ：n p 0 北京工业大学理学硕士学位论文 故n - 1 f 岛，。p + 警) f ，o ，z f o , 鲁】 又b p ，。具有有限支撑，岛，。( z ) 是连续函数，因而n - 1l 岛，。( z + 警) 1 。也 是连续函数，故 j 邶 吣t 基嘲z - t - 釉 j 。，矽 o ，s a _ j 岛，。( z ! ：! 三) 1 2 卢 k = u 证毕。 引理2 4 对v ，l 1 【o ，2 ” ，a i i f l l l ，譬”i f ( z ) l l g ( x ) l d x b i i i i l 。 # 亭a 9 ( 。) f 茎b 对几乎处处的z r 成立 m ) 一1 , x e t 心， 满足詹”i ( 。) i 出= 扁m 】n n l d x 2 7 r + o o ，即，( t ) l 1 0 ，2 叫另一方面， z 2 ”i ，( z ) l ( 1 9 ( z ) i a ) d z = 五，。】。( 1 9 ( 。) i a ) d z 0 ，s a 1 l c i i 刍| | 昂，。i 2 2 b l l c l l 玉 a 0 6 0 2 。茎| | 岛，。9 2 zsb l l a l l ；, 。 ： 5 i ，n ( z ) = e ( n z ) p ( z ) a l l a l i ；, 。i l a ( n x ) u n = ) 岛，。( 。) 嵫圳啦。 a z 2 ”l e ( z ) 1 2 d z z 2 ”i e ( n z ) 1 2 i f ( n z ) 1 2 i 岛，。( z ) i 。如sb 0 2 ”i e ( 。) i 。d 。 一1 3 北京工业大学理学硕士学位论文 利用积分变换我们可将上式化为 a 小1 o “随圳2 圳2 n 篆- i 黼竿矛如口小 再由岛，的任意性及引理24 可知 n a 妹( 刮2 i n - i i 岛一竿斤n b 。e m r i = 0 又n - ii 岛，。( 毡挚) j 。为连续函数， 1 = 0 。v z r n a 妹( 蚓2 i 董f 岛，。( 掣) f 2 s 柏 k 0 “ 故v z r ，f ( 。) 0 注意到z ) i 为2 7 r 周期的连续甬辑从而 j 。l ，c 2 0 ，s t c 1 k 扛) c 2 ，甘0 r “鲁”要证i p 为r t b 样条，由必要性证明的逆过程可知l p 满足稳定性 下面只需证v 岛 髟m 岛，。( ，) = c ( _ j ) 妒“一女n ) ，其中c t 2 ( z ) _ _ _ p 髟一妒( j ) = 丽1 舻f ( 。) 讳，。( z ，j ) d x ，f ( z ) d ，从而 1，2 妒( j 一n ) 2 嘉上e 慷。f ( $ ) 易一( j ) d z 即妒( j + n ) 为( z ) ，。( 。，j ) d 的第k 项f o u r i e r 系数，从而 绺) 马，n k j ) = e 一b 刚一圳，。r 女z 又 c i ，c 2 0 ，s t 。1 i f ( 。) l 茎c 2 ，v r ， v z r ，f ( z ) 0 又由定理2 1 有 南一j ) = 去z 2 丌e 耳一z 捌如 = 去詹”错耳，。( 。，j ) d x 1 4 第2 章r t b 样条的刻划 = c ( ) 妒0 一n ) ， k e z 其中 c ( ) ) 为错e 7 的f o u r i e r 系数，c e x z ) 证毕 24 本章小结 这一章主要给出了r t b 样条的刻划。第一节给出了离散样条的积分表示。第 二节给出了r t b 样条所需要的一些引理第三节证明了r t b 样条的刻划定理 北京工业大学理学硕士学位论文 第3 章r t b 小波的刻划 3 1 小波空间中元素的积分表示 在本节中，我们将给出小波空间吼血中元素的积分表示，为此先引入几个 引理： 引理3 1 设日( z ) = ( f ) e 妣e ，( z ) = ( f ) e 妇d i e zl z 则( 1 ) h f ( x ) ee ，其中h i ( z ) = e “ ( f _ k ) r l ( k ) ； l zk e z ( 2 ) h ( 2 x ) e ； ( 3 ) 阻( ) + 日( + 7 r ) 】e i i t i n ： ( 1 ) 由日( z ) = q ( 2 ) e 池e ，显然有 q ( f ) ) l ze 2 ( z ) ，注意到 i e z ，( z ) 2 黾”( 2 ) e “。d ，易知 ”( f ) k z 1 ( z ) ，故”t q t 2 ( z ) 由于 h f ( z ) = e “2 u ( f k ) ”( ) = ( ”+ q ) ( 归h l 2 k e zi e z 因此日，( 。) f ( 2 ) 因为h ( 2 x ) = q ( z ) e 。知= ( u q ) ( f ) e 妇，所以h ( 2 z ) e ， 1 e zf z ( 3 ) 由于j f 日( i ) + 抒( ；+ ”) 】 = 【 7 ( z ) e 皤+ ”( f ) e t ( + ”) i z i e z = 曼_ ( 1 ) p ；+ ( 一1 ) e “】 l z = ； 1 + ( 一1 ) 。】q ( ：) e “； f z 1 6 第3 章r t b 小波的刻划 引理3 2 设离散样条文岛。即良( j ) = 去詹”( z ) 岛，。( z ，j ) d x 其中g e ，则它有唯一分解： 文( j ) = 岛。( j ) + 真2 。( j ) ，其中 岛。( j ) = 丽1 詹”c 2 。( z ) 岛加( z ，j ) d x 蟊，2 。， ( 。) ：二c 兰；x _ c l 生z 、t 竺t 型x ：二 x 与坐生x 二! 盟型x 2 p ，2 n 【o j 蛊2 。( j ) = 酝1 后“d 2 。( ) 呻却( ，j ) d x 以血， 嘶) = c x a x t , , x 蠲。巫x 匝堕型 n ( 。) = 4 t 2 p ，n ( ) t 2 p ，。( + ”) t 2 p ，2 。( z ) d 证明：上述表达式的证明是由文献 1 1 给出的我们只需证明 d 2 n ( z ) e ，伤n ( z ) e 7 即可令日( z ) = 2 g ( z ) 可可嘞，。( 。) 因为 c ( z ) d ，噩 ( z ) d ，q ( 。) ，由引理3 1 有 q ( 孔争，n ( 抄岛( ；+ 州虿而。( ；+ ”) 从而q n ( z ) e 7 ，同理可得d 2 。( z ) e ， 下证分解唯一性：假设存在另一种分解 鼻= 岛。+ 总。，其中s l 岛，。，且琢嘭融， 那么 ( 岛。一宴2 。) + ( 袁2 。一扇。) = 0 ， 一1 7 e霄日 +h故 z萨 皤h 出推可 - 鼍， 然 矽 显 ，二p 幽 = m 轻 而 征 北京工业大学理学硕士学位论文 从而 ( ( 岛。一是。) + ( 矗2 n 一直) j 岛，2 n o 一2 k n ) = 0 ，v k z j e z 由吼，2 。的定义，我们有 ( 岛。一岛。) b p 却( 卜2 k n ) = 0 ，v k z ，e z 进一步由引理2 3 可知岛。= 从而五。= 岛。证毕 引理3 3 对固定的。，o ) p ，2 。( ，j ) 峨加 证明： - c o p 却( z ，j ) = n ( ) 耳，n ( ，j ) + n ( 2 2 堕旧p ，。( 2 铲，j ) ， 其中n ( z ) = 2 e 1 。碌i _ 孑观，。( z + ”) 而对固定的。，_ 昂，。( z ，j ) 拓，。 t o p 却( z ，j ) 吃，。又由z a k 小波的性质( 1 ) 有 唧却( z ，j ) b p ，2 。o 一2 k n ) = 0 ，v k z j z 从而对固定的。，呻，2 。( z ，j ) 吼，2 。证毕 利用前述引理，我们可以证明下面的定理 定理3 ，4 小波矗吼，2 。铺袁u ) = 击詹”d ( 。) t o p ，2 n ( z ，j ) d x 其中d ( z ) 。 证明： “爿”设袁晦，2 。，则五拓，由引理3 2 有五= 0 + 豆且 袁( ) = 磊1 詹”d 2 。( z ) 呻，2 。( 。，j ) d x ，d 2 。 “乍”先证袁拓，。： 袁( j ) = 簖1 后”d ( 。) 呻，2 。( z ，j ) d x ，由唧，2 。( z ，j ) 的定义及简单的积分变换，我们有 袁0 ) = 去詹”d ( z ) 。( ) 岛，。( ，j ) 如+ 击譬”d ( z ) n ( + ”) 岛，。( + ”，j ) d x 1 8 - 第3 章r t b 小波的刻划 2 击届d ( 2 x ) 。( z ) 昂，。( z ，j ) d x + 2 击辟”d ( 2 z ) 。( z ) 耳，。( z ，j ) d x = 去佑”2 d ( 2 x ) a ( x ) 昂，。( z ，j ) 出 由引理3 1 有2 d ( 2 x ) a ( x ) e ，再由定理2 1 有五托m 下证直厩，2 。 r ( j ) b p ，2 。0 2 k n ) j z = 磊1 詹”d ( x ) w p 加( z ，j ) d x b p , 2 n 0 2 k n ) j z = 磊1 詹”d ( z ) t o p 加( $ ，j ) 岛，2 。( j 一2 k n ) d z j z 而由引理3 3 有0 ) p ，2 。( z ，j ) b p ，2 。0 2 k n ) = 0 r ( j ) b p 2 。( j 一2 k n ) = 0 ，zj z 即r w ，p ，2 。证毕 当r ( 。) dce ，妒( j ) = 击詹”r ( 。) 坼，2 n ( z ，j ) d x 为吼胁中的小波特别 地，r ( z ) ；1 时，妒称为基小波，记作峭挪 3 2 r t b ，j 、波的亥u 戈0 本节给出r t b 小波的刻划为此，先引出下述定理 定理3 5 设p z + ，则 a ，卢 o ，s a s 篁l 啦细( z + 等) 1 2 反v z o ，署 e = u 证明： ( 1 ) 利用归纳法先证p = 1 时该定理成立由定理1 9 可知 妣2 。( 。) = 畦2 。( j ) e 一玎2 = g ( 1 ) b l ，。o f n ) e - - 咖 j e zi e z f z 其中g ( 1 ) = 2 c 一1 ) 一1 r 壹= o ( ：) b 2 p ，。( n 一1 ) + n ( 1 + p - l - - r ) ) ，- # - p + l z 灿+ 1 p = 唑竽 ，显然当f 0 ，1 时，a ( o ：0 故 弛。( 。) = g ( o ) b l , n ( ，) e 叫。+ g ( 1 ) b 1 ，。( 一n ) e - i 扣 j e z j z 1 9 北京工业大学理学硕士学位论文 由g 的对称性知p = 1 时，g ( o ) = 一g ( 1 ) ，我们有 书1 6 , 2 n ( z ) = g ( o ) ( j )。一n ( o ) ( 。1 4 e z b l , n) e - g i z = c n - 1 e - f j x _ 2 n - i j = o i = n 当v z ( o ，2 万) 时， 也。( 嚣) = g ( o ) ( e 1 - - e - 肯i n 2 一坐l 幽_ e - i 。) = g ( o ) 蝌l _ e - i n m2 ， 故钟渐在( o ，2 ”) 内的零点只能为百2 k r ，= 1 ，2 ，n 1 ，从而。【o ，： 时， k = 0 i 母 2 n ( 。+ 警) 1 2 o 由妒 渤的紧支性知，2 。n 量- 1j 事 ，2 n 扛+ 譬) 1 2 是连续函数， 所以。量f 妒 ，2 n o + 鲁) f 2s 卢，即p ：1 时该定理成立 ( 2 ) 假设j0 1 ，岛 0 ，s ，t 下证j o ，卢 0 ，s t a 2 薹n - - 1 舢( 蚪和s 卢 a 2 n ( z + 等) f 2s 卢 = 0 坤 忱0 ，马 。扎。 利用反证法可以证明：v x i o ，孙班f o ，2 n 1 ，s f 事实上，若 v k 0 ，2 n 一1 岛n ( 。+ 等) j 2 j 西 m _ 1 ) p 1 2 。扛+ 等) f 。 则移1 ) 卵。( z o + 譬) = 0 ，这是因为 i 岛一。+ 等) 1 2 i 西k 一，脚。( 知+ 等) i 。：。 嘞。n ( z ) 2 鑫妒3 n 咖。( 女) e 刊。 2 量丕g ( f ) b ( 饥- 1 枷( 一z n ) e “z z f z 。7 。黾g ( 黾b ( m 砘n ( h n ) e - i ( 。e - - i l n x - 2 0 - 卢 0 ，s t c 1 l r ( z ) i c 2 ，y x r 3 3 本章小结 第三章主要给出r t b 小波的刻划第一节给出小波空间中元素的积分表示； 第二节给出了小波空间中r i e s z 基的刻划以及r t b 小波的刻划 2 2 第4 章驴( z ) 中有限阶半正交小波 第4 章。( z ) 中有限阶半正交小波 4 1 分解定理及其证明 利用第二章和第三章的结论，本节给出2 ( z ) 的有限阶半正交小波分解，为 此先引入下面的引理 引理4 1 t 2 ( z ) = 吃，1 证明：设雪砖，l ，则雪( j ) = ec ( 1 ) b p , 1 0 一z ) ，这里 c ( f ) 2 ( z ) 又因为 z 2 b p ，l ( j ) = j ( j ) ，所以雪( j ) = c ( j ) 由于 c ( f ) ) l ze 2 ( z ) ，故雪2 ( z ) ，从而 玮，c 2 ( z ) ；反过来，设 c ( f ) k z 9 2 ( z ) ，则c ( j ) = c ( t ) b p ，1 ( j z ) ，即ce 吃，1 f z 从而乎( z ) c 诈，l ，故驴( z ) = 诈小 g i 理4 2 ，2 n 是吃，的闭子空间 证明：由引理3 2 ，可知砖，2 n 是诈，的子空间下面证明诈却在拓，。中闭。 设童m 为b ，2 n 中的序列，依2 ( z ) 范数收敛到s 下证s ，2 。 s m k ，2 n ，。s m ( j ) = ( ) b p ，2 。( j 一2 k n ) ，其中c m 护( z ) 七z 又依范数收敛到s ，- ( ) 为柯西列， 即v e 0 ，s n ，当m ，l n 时，有f 一岛0 2 0 ，s t a i j c m c f | | 2 i i 童。一岛1 1 2 b i i 一c j i l 2 2 3 北京工业大学理学硕士学位论文 即 。) 为2 ( z ) 的柯西列，故j 。驴( z ) 使c 。些。令 亏( j ) = c ( k ) 岛，。0 2 k n ) ，则雪( j ) ，2 。进一步，i i 一副2 b i l e 。一c l l 2 k z 由极限的唯一性，我们有s = 雪e 弦。2 。证毕 定理4 3 吼，2 中的r t b 小波经过平移 妒2 ( - 一2 ) ) 蚝z 与，2 中的r t b 样条 经过平移 妒2 ( 一2 k ) ) k z 的全体生成了e 2 ( z ) 的r i e s z 基。 证明：2 ( z ) = 怫，2 0 丘，2 v s 2 ( z ) ，s = 叫+ 劬，训晦1 2 露，2 又t f ，妒分别为豇，2 ，露，2 中的r t b 小波、r t b 样条， ”( j ) = c ( ) 妒( j 一2 k ) ，”( j ) = d ( ) 妒( j 一2 k ) ，坳z k e z k e z 其中c ，d 铲( z ) ，且j m ，m 0 ，s t 显然，我们有 m l l c l i ；2sl l u i i2 2 m l c l l ；2 ，m i i d i i ；2 | | ”i f 知m l l d l l2 2 s ( j ) = c ( k ) 妒( 卜2 ) + d ( ) 妒。一2 女) 七z k 6 z 注意到嘭，2 上诈岛我们有怜眩= i i ”+ 训；2 = 0 ”| | ；2 + i i 嵫， 从而 m ( 1 c ( 郴+ i d ( k ) t 2 ) 剑蹶m ( 1 2 + i d ( k ) 1 2 ) 女z 七z 注记将2 ( z ) 分解到k 阶时