（基础数学专业论文）可定向闭3流形的弱可约heegaard分解的细分.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 h e e g a a r d 分解是3 一流形上一种重要的组合结构通过h e e g a a r d 分解来了解3 一流形 的拓扑性质和几何结构是研究3 一流形的常用的重要方法近几十年来，h e e g a a r d 分解 领域以及相关的领域的研究十分活跃，成果也非常丰富c a s s o n g o r d o n 在1 9 8 7 年引入 了弱可约的h e e g a a r d 分解的想法，证明了如下著名的结果：设y u 。形是3 一流形m 的一 个弱可约的h e e g a a r d 分解则或者是矿u 。形可约的，或者3 一流形m 包含一个正亏格 的不可压缩曲面s h a r l e m a n n - t h o m p s o n 在1 9 9 5 年把h e e g a a r d 分解弱可约的想法进一 步拓展，建立了一般的h e e g a a r d 分解的理论以他们的理论为基础，方法为工具， h e e g a a r d 分解理论有了飞跃的发展，很多经典的困难的问题相继得到解决，相关的思 想、方法和理论( 如一般化的h e e g a a r d 分解理论) 得到了深入和系统的研究和总结， 成为组合3 一流形拓扑理论中的一个重要工具 本文首先研究了可定向闭曲面上不交的两个曲线子系统，得到几个有用的性质 在此基础上深入研究了可定向闭3 一流形的弱可约的h e e g a a r d 分解，引入了弱可约的 h e e g a a r d 分解y u 。矽的相关极大圆片组概念，得到了如下的主要结果： 定理1 设m 是一个可定向闭3 流形，y u 。形是m 的一个弱可约的h e e g a a r d 分 解，d = 她，d p ) 和s = 慨，瓦j 为v u s 矿的分别包含于v 和形的一对相关极大圆 片组，凹和钯 在s上的型为 ( e ，f ；，瓦+ 如) ， 其中i 2 9 ( f ) o ，1 f 厶，气+ l ，气+ ，2 均为平面曲面则有 ( 1 ) 当1 2 芝l 时，yu 。形是可约的： ( 2 ) 当z ，= 0 时，m 包含亏格分别为，刀，的互不相交的不可压缩曲面，并且 ，z i + + n h o ，1 ，气+ 1 ，气仙，a l e a l l p 1 锄e r s u r f a c e s t h e n ( 1 ) w h e n 2 1 ，vu swi s r e d u c i b l e ；( 2 ) w h e n 2 = 0 ，m c o n t a i n sp a i r w i s ed i s j o i n t i i 大连理工大学硕士学位论文 i n c o m p r e s s i b l es u r f a c e sw i t hr e s p e c t i v eg e n u s n l ，n ，a n dn 1 + + 以， 0 j ，则称m 为一个 n 维带边流形称m 中所有满足邻域同胚于r ”+ 的点的集合为m 的边界，记为0 m 如果掰是紧致无边的流形，则称m 是一个闭流形 2 一流形就是曲面，下面就是众所周知的闭曲面的拓扑完全分类定理( 参见【1 】) ( 如图 2 1 ) ： 定理2 1 加丁2 不重复的列出了可定向的闭曲面的所有拓扑型 大连理工大学硕士学位论文 琢艇s 2环翻严敲 = 瀚连通和jr 2 群7 2 鬻2 1 m o i s e 【2 】和b i n g 【3 】在二十世纪五十年代分别独立证明了每个维数3 的流形上具有 唯一的微分和分段线性( 或p l ) 结构，下面的介绍和研究都基于这一事实 定义2 2 设m 是一个n 一流形，若scm 中每一点均有一个邻域u 使得( u ，u ns ) ( p l 或微分) 同胚于标准对( r 一，r ”) ( 所刀) ，则称s 是m 上的一个m 维子流形若厂是从 到m 的子流形f ( n ) 的一个同胚，则称f ：n m 是一个嵌入 正如曲线在研究曲面过程中发挥了重要作用一样，了解3 一流形中的曲线、曲面对于 了解3 一流形本身是十分重要的 定义2 3 假定m 是一个3 一流形 ( 1 ) 设s ，是m 中的两个( 嵌入) 曲面若它们的相交局部如图2 2 ( 左) 所示， 则称s 和s ，在m 中处于一般位置( 或横截相交) ( 2 ) 设c 是m 中的一个曲面，c 是m 中的一条简单闭曲线( 即圆周在m 中的一个嵌 入像) 若它们的相交局部如图2 2 ( 右) 所示，则称s 和c 在m 中处于一般位置( 或 横截相交) ( 3 ) 设s 是m 中的一个( 嵌入) 曲面，若锵co m ， i n t ( s ) ci n t ( m ) ，则称s 是m 的一个真嵌入的曲面 定义2 4 设m 是一个3 一流形，若h ：mx o ，1 】一mx o ，1 】是一个同胚，并且对每个 f 【o ，1 】，h ( x ，f ) = 只( x ) ：m 寸m 均为同胚，则称h 为从凰到日。的合痕( 或同痕) 对 可定向闭3 - 流行的弱可约h e e g a a r d 分解的细分 于m 中的曲面s 。和s ，如果存在合痕h 使得凰= ，q ( s o ) = s ，则称& 和s 是合痕 的 由微分拓扑的理论可知，3 一流形中的任意两个曲面或一个曲面和一条曲线均可以通 过流形的一个合痕移动使之处于一般位置 由微分拓扑的理论还可以知道3 一流形的子流形有着简单的邻域：如果c 是可定向 3 一流形肘中一条简单闭曲线，则在m 中c 有一个邻域同胚于一个实心环体s 1 d 2 ( 称 之为管状邻域) ，其中d 2 是一个圆片；若s 是可定向3 一流形肘中的一个可定向曲面， 则c 在m 中有一个邻域同胚于s i 一1 ，1 l ，此时称s 在m 中是双侧的 以下用曰”表示r ”中的单位球体，与b ”同胚的流形称为n 一圆片，也记作d ”特别 地，d 3 称为是一个实心球与a b 肘1 同胚的流形称为n 一球面，记作s ”易见s 3 是r 3 的 一点紧致化 下面三个定理是3 一流形发展过程中最基本、最基础的定理，其中d e h n 引理是 d e h n 【3 2 】最早提出来的，另外两个定理都是由j ) a p a k y r i a k o p o u l o s ( 参见【2 8 ，2 9 】) 给出的， 这里简单的做一下介绍： 定理2 2 ( d e h n 引理) 设m 是一个3 一流形，厂：d 2 专m 为连续映射，并且满足卅耐为 嵌入，f - 1 ( 劬2 ) ) = t g d 2 ，则存在嵌入g ：d 2 一m ，使得g ia d ：= 厶： 定理2 3 ( l o o p 定理) 设m 是一个3 一流形，曲面sc 跏连通，是，r ，( s ) 的一个正规 子群，连续映射厂：d 2 m 满足厂( 加2 ) csc o m ，并且圳a d ：j 芒n ，则存在嵌入 映射g ：d 2 _ m ，使得g ( 如2 ) cs c o m ，并且k fa d 2j 仨n 定理2 4 ( s p h e r e 定理) 设m 是一个3 一流形，是万2 ( 鲋) 的一个蜀似) 一不变子群设 映射厂：d 2 一m 连续且l 厂】硭n ，则存在一个覆盖映射g ：s 2 一g ( s 2 ) cm ，使得g ( s 2 ) 在m 中是双侧的，并且i g i 硭n 2 1 2 不可约流形及流形的连通和 流形可约及流形连通和的概念是人们在研究3 一流形时较早提出的概念，本节主要就 是介绍它们及相关的一些概念下面先介绍流形可约及不可约的概念 定义2 5 设m 是一个3 一流形，s 2 是m 中的一个2 一球面若s 2 不在m 中界定一个实 心球，则称s 是m 中本质球面若肘中没有本质2 一球面，则称m 是不可约的否则， 称m 是可约的 大连理工大学硕士学位论文 由定义可知，m 是不可约的当且仅当每个2 一球面界定一个实心球3 一流形中的2 一 球面可以把流形分成“简单块 这就是接下来要介绍的3 一流形的连通和分解的概念 定义2 6 设m 是一个3 一流形，m 内部有一个2 一球面s 分离m 为两个3 一流形1 ，2 令m 。( 或m ：) 为沿1 ( 或，) 边界上的s 填充一个实心球置( 或曰：) 所得的流形，则 称m 是m ，和m ，的连通和，记作m = m ，m ， 如图2 3 是连通和的示意图： 显然，对任意3 一流形m ，m s 3 = m 于是下面就有素流形的定义 定义2 7 如果3 一流形m = m m ，蕴含m 。= s 3 或m ，= s 3 ，则称3 一流形m 是素的 豳2 3 由定义，不难得到：不可约3 一流形是素的；反之，一个闭的可定向的素3 一流形或 者不可约，或者同胚于s 2 s 1 素3 一流形在3 一流形的连通和分解中起着重要的作用，这从下面著名的3 一流形素分 解定理就可以看出3 一流形素分解的存在性由k n e s e r 在1 9 2 9 年证明【4 】，唯一性由 m i l n o r 在1 9 6 2 年证明【5 】 定理2 5 k n e s e r m i l n o r 设m 是一个连通可定向的闭3 一流形 则 m = m 。m 2 鸠，其中每个m ，都是素的，并且在次序重排和同胚的意义下，这个 分解是唯一的一 类似于3 一流形的连通和，对曲面和带边3 一流形，它们也有连通和与边界连通和的 概念 定义2 8 设工，】，是两个紧致曲面分别从x 和】，的内部去掉一个圆片，把两个圆 周边界沿一个同胚粘贴在一起就构造出了彳和】，的连通和，记为x y 可定向闭3 - 流行的弱可约h g a a r d 分解的细分 豳2 4 定义2 9 设m 。，必是两个紧致的连通的带边3 一流形，分别从m ，鸠的边界上各取一 个小的圆片口，d ：，再将这两个圆片沿一个同胚粘贴起来，得到的3 一流形就是m ，与必 的边界连通和，记为m 。am 2 ，如图2 4 3 一流形的脚分解也称t o r u s 分解，它的主要内容是：在合痕的意义下，每个闭的 不可约3 一流形中都存在一个唯一的最小不可压缩环面组，使得沿这个环面组切开流形后 得到的分支或者是s e i f e r t 流形，或者是a t o r o j d a l 流形 其中，s e i f e r t 流形是具有余亏格2 叶状结构的3 一流形，早在二十世纪三十年代被 德国数学家s e i f e r t 提出，是被研究得最多的一类流形，在下一小节我们将详细介绍它 a t o r o i d a l 流形是其中没有本质环面嵌入的3 一流形 由于j s j 分解处理的是不可约的3 一流形，所以它可以看作是3 一流形的素分解的延 伸 定义2 1 0 设k 是s 3 中一个扭结，( k ) 是k 在s 3 中一个管状邻域记 x = s 3 一( k ) ，则o x = o n ( k ) 是一个环面令h ：o x - - o ( s 1 d ) 为一个同胚， m = x u ( s 1 d ) ( y 办( 少) ) ，v y o x ，则m 是一个闭3 一流形称之为由m 沿着k 作一 个d e h n 手术所得的流形 用d e h n 手术理论来处理3 一流形里的问题也是一种重要的方法下面给出d e h n 手术 理论中的一个经典定理： 定理2 6 【3 3 】每个可定向的连通的闭3 一流形均可由s 3 中的有限个互不相交的纽结作 d e h n 手术而得到 大连理工大学硕士学位论文 2 1 33 一流形中的一些重要曲面及几类特殊3 一流形 本小节主要介绍3 一流形中的一些重要曲面及几类特殊3 一流形，曲面包括不可压缩 曲面、边界不可压缩曲面及正则曲面；流形有h a k e n 流形、s e i f e r t 流形、图流形 ( g r a p h m a n i f o l d ) 和双曲流形另外还会提到有关谱分解理论方面的知识 说到3 一流形中的曲面，人们首先就会想到不可压缩曲面不可压缩曲面是研究3 一 流形最常用到的一种曲面它的作用类似于曲面上的本质曲线，即沿着按适当方式选取 的不可压缩曲面来切开流形可以使流形变得“简单些 定义2 1 1 设m 为一个3 一流形，曲面f 真嵌入m 于或fc 跏若f 为下列情形之 一： ( 1 ) f 是m 中的一个非本质2 一球面；或 ( 2 ) 在m 中，存在一个圆片d ，使得dnf = a d ，并且a d 不是f 上一个圆片的边 界( 称扣在f 上是本质的) 此时称d 是f 在m 中的压缩圆片，称f 在m 中是可压缩的( 如图2 5 ) 否则，称， 在m 中是不可压缩的 特别地，如果o m 在m 中是不可压缩的，则称m 是a 一不可约的或边界不可约的否 则称m 是a 一可约的或边界可约的跚在肘中的压缩圆片称为是m 的a 一约化圆片或 边界约化圆片 设曲面f 在3 一流形肘中是可压缩的，d 是，在m 中的一个压缩圆片，则，可约通 过以下方式加以简化令d i 一1 ，1 l 是d 在m 中的一个增厚，使得 ( d 【- 1 ，1 d nf = c 3 dx - 1 ，1 j id = d o ) 记e = p 扣【- l ，i d udx - 1 ，1 ) 称e 为 在m 中沿着圆片d 作2 一手术( 2 一s u r g e r y ) 压缩，所得的曲面，见图2 6 可定向闭3 - 流行的弱可约h e e g a a r d 分解的细分 鬻2 6 定义2 1 2 设m 为一个3 一流形，曲面f 真嵌入于m 如果曲面，在m 中是分离的且f 在m 中分出子3 一流形n 兰f l o ，1 i 满足f = f 0 ，我们称曲面，在m 中是边界平行的， 本文也称这里的f l o ，1 i 是，的i 一丛如果曲面，在m 中是不可压缩的且不是边界平 行的，则我们称曲面，在m 中是本质的 我们现在已经知道，本质曲面在3 一流形理论中扮演着重要的角色关于3 一流形与 本质曲面有很多重要的结论，详见文献1 2 8 ，2 9 i 有了不可压缩曲面的概念，我们就可以引入一类重要的流形：h a k e n 流形h a k e n 流形是由德国数学家h a k e n 的名字来命名的，h a k e n 也是第一个发现不可压缩曲面重要 性的数学家通过他和w a l d h a u s e n 等人的工作，h a k e n 流形是被理解得最好的一类3 一 流形关于h a k e n 流形的具体结果，我们将在下面做一下简单地介绍 定义2 1 3 设f 是m 中一个真嵌入的曲面( 可以不连通) 若有嵌入h ：，i 一1 ，1 i 专m ， 且有厅( x ，o ) = z ，v x f 和p f 1 ，o n 洲= h ( a f - 1 ，1 少，则称f 在m 中是双侧 ( t w o s i d e d ) 的 定义2 1 4 如果一个紧的不可约的可定向3 一流形包含一个双侧的不可压缩的曲面，则称 此3 一流形是一个h a k e n 流形；否则称为n o n - h a k e n 流形 由h a k e n 流形的定义可知，可约的3 一流形都是n o n - h a k e n 流形，两可约的3 一流形 中有本质的2 一球面是不可压缩的，所以只有不可约的n o n h a k e n 流形中才没有不可压缩 的曲面s 3 就是这样的流形 定义2 1 5 若一个紧的不可约的3 一流形不包含闭的本质的不可压缩曲面，则称此流形 为小3 一流形 一般说来，压缩一个曲面所得的结果是每个分支的复杂度变即相应的欧拉示性数变 大 大连理工大学硕士学位论文 前面介绍的不可压缩曲面没有考虑曲面边界的情况，接下来要介绍的边界不可压缩 则是带边曲面在流形中的一个重要的约化的概念 定义2 1 6 真嵌入于3 一流形m 中的一个曲面，称为是a 一可压缩的( 边界可压缩的) ，如 果f 满足下列情形之一： ( 1 ) f 是一个圆片，且，与o m 上一圆片平行： ( 2 ) f 不是圆片，存在圆片dcm ，使得d nf = 口是o d 上的一段简单弧， dno m = 卢也是0 1 ) 上的一段简单弧，an j 6 i = o a = 筇，au 卢= 0 1 ) ，a 或者不分离，或 者将，分为两部分且任一部分的闭包都不是圆片，见图2 7 图2 7 圆片，与o m 上的圆片平行指的是，的边界在a m 上界定一个圆片，两个圆片并起 来是一个3 一实心球的边界 设m 是一个3 一流形，s 是m 中一个闭曲面，分离m 为m 7 ，m 。，是m 中的一个 曲面，与s 处于一般位置，记为f = fnm 7 假设f 7 在m 7 中是边界可压缩的，d 是f 7 的一个边界压缩圆片在m 中沿d 合痕移动，得到曲面e ，称e 是f 在m 中沿d 作一 个a 型合痕所得的曲面，见图2 8 圈2 8 在上世纪六七十年代人们利用不可压缩曲面与边界不可压缩曲面去简化流形，由此 得到了谱分解下面就简单回顾一下谱分解理论方面的知识先介绍谱的定义： 可定向闭3 - 流行的弱可约h e e g a a r d 分解的细分 定义2 1 7 设m 是一紧致3 一流形，称m 的部分谱是一列有限或无限对 。，鼻) 。，c l 其中m 。= m ，e 是鸠内双侧不可压缩非边界平行的曲面， 肘州是沿坂切e 所得流形若存在某个刀使得必川的每个成员都是3 一球，则膨的部 分谱称为肘的谱，咒称为谱的长度 下面是不可压缩曲面的有限性定理： 定理2 7 1 2 9 i 设m 是一个紧致、不可约的3 一流形则一定存在一个正整数甩( m ) ，使 得p ，s ：，& ) ( j j ，z ( m ) ) 是m 内任意一组两两不交、闭的双侧不可压缩曲面组，则至 少存在一对墨，s ，在m 内是平行的 定理2 8 【2 9 】设m 是一个紧致3 流形，假定( m 。，互) ，( m 。，e ) ，是m 的部分谱若 对每个，曲面e 在m 。内都是不可压缩且边界不可压缩的，那么存在至多3 h ( m ) 个 e 不是圆片( 办( m ) 是定理2 7 中对应的最小的聆( m ) ) 定理2 9 1 2 9 l 设m 是一个h a k e n 流形，假定m 的谱内的曲面不要求连通的，则m 有长 度为4 的谱，e ) ，：，疋) ，似。，e ) ，似。，e ) 除了不可压缩曲面和边界不可压缩曲面之外，还有一种曲面也是很常用，即接下来 要介绍的正则曲面： 定义2 1 8 设肘是一个3 一流形，t 是m 的一个剖分，如果材中的一个曲面s 满足： ( 1 ) s 与t 的所有单纯形横截相交， ( 2 ) 对于t 的每个3 一单形，s n 的每个分支d 是如下两种类型( 如图2 9 中的三 角形或四边形) 之一，则称s 相对于t 是正则的 令令 豳2 9 关于正则曲面和不可压缩曲面的关系有下面这样一个引理： 引理2 1 3 4 i 发m 是一个不可约的3 一流形，t 是m 的一个剖分，f 是m 中的一个不可 压缩曲面，则可通过一个合痕使得f 成为一个正则曲面 大连理工大学硕士学位论文 2 2 3 一流形的h e e g a a r d 分解 把一个3 一流形分解成一些“简单块 有若干种不同的方法前面我们介绍的素分解 理论及谱分解理论都是采取不同方式分解流形得到的这一节所要介绍的是另外一种 分解方式，即h e e g a a r d 分解h e e g a a r d 分解是这些方法中较早受到人们关注的，而且 通过h e e g a a r d 分解研究流形也取得了很多好的结果，文献1 3 4 i 就是关于h e e g a a r d 分解 综述的文章 2 2 1h e e g a a r d 分解 本节主要介绍3 流形的h e e g a a r d 分解，给出柄添加、压缩体、h e e g a a r d 分解及 h e e g a a r d 图等相关的概念 首先介绍的是有关柄分解理论的概念在三维的情形，有0 柄，1 柄，2 柄和3 柄 之分它们都是构成流形的一部分，同时通过粘贴柄也是构造新流形的一种重要方式 设m 是一个带边的3 流形，d 是一个圆片对m 作如下操作可以得到新的3 流形： ( 1 ) 设d ，d 是m 边界上两个不交的圆片设h ：d 7ud 。一0 ( d x 0 ，l d 是一个嵌入， 使得j i z ( d 7 ) = d x 0 ，j l l ( d 。) = d 1 ，令m = mu 。( d 【0 ，1 d 称m 是往肘上粘一个1 一柄 而得到的流形，见图2 1 0 ( a ) ( 2 ) 设a 是m 边界上的一个平环( 拓扑等价于s 1 【o ，1 】) ，h ：彳- - - 10 ( dx 0 ，1 d 是一个嵌 入，使得厅( 彳) = ( 扣) 【o ，1 】令m 7 = mu 。佃 o ，1 d ，称m 是由向m 上粘一个2 一柄而得 的流形，见图2 1 0 ( b ) ( 3 ) 设m 的某一个边界分支s 为二维球面，召3 为一个实心球? h ：s - - - o b 3 是一个同 胚令m = mu 。b 3 ，称m7 是由向m 上粘一个3 柄得到的流形m 实际上是沿着m 的二维球面边界分支s 向m 中填充一个实心球而得到的流形，见图2 1 0 ( c ) 一般地，也称一个实心球为o 柄 可定向闭3 - 流行的弱可约h e e g a a r d 分解的细分 尉稼 t c ) 豳2 。1 0 定义2 1 9 3 流形日称为亏格为珂的柄体，如果中存在由刀个互不相交的真嵌入的圆 片组成的集合= q ，d 2 ，见) ，使得沿切开日以后得到一个实心球称为柄体何 的一个定义圆片集， 如图2 11 所示 嘲2 1 1 下面的压缩体的概念是柄体概念的推广 定义2 2 0 设，是一个连通的闭曲面，形是在f x 0 上沿一些两两不交的简单闭曲线 向fx 1 0 ，1l 上粘2 一柄，再将所得的流形的所有2 球面分支用3 柄填充后得到的流形则 我们称w 为一个压缩体a + w = f x 1 称为是w 的正边界v 一形= o w a + w 称为是w 的 负边界( a w 可以是不连通的) 如果a w = ，则w 为一个柄体如果w 兰a + w l o ，l ； 那么我们称形是平凡的 压缩体是拓扑相对简单的一类带边3 流形，它可以看作是柄体概念的推广，具有下 面这些较好的性质： ( 1 ) 压缩体的负边界是不可压缩的； ( 2 ) 压缩体是不可约的； ( 3 ) 压缩体中没有闭的本质曲面； 大连理工大学硕士学位论文 ( 4 ) 压缩体中不可压缩且边界不可压缩的真嵌入曲面只有本质圆片和两个边界分支分别 在压缩体的正负边界上的本质平环 关于压缩体中的本质平环，有下面一个很好的结论 引理2 2 设形是一个连通、非平凡的压缩体，人是形中的两两不交的本质平环组成的 集合则在形中存在本质圆片d 使得d n 人= 西 证明：任取形中的一个本质圆片n 由于人是形中的两两不交的本质平环组成的集合， 通过一个标准的最内圆片论证，我们可以通过合痕使得nn 人中没圆周分支，且 l d ln 人i 尽可能地小这就是说，qn 人只能是q 中的一些弧在b 上的这些弧中，至少 存在一条最外的弧a ，我们记相应d 1 的最外圆片为 则a 在人的相应的分支a 中一定是本质的，那么是a 在形中的一个边界压缩 圆片我们对a 沿作边界压缩，导出形中的一个本质圆片d 满足d n 人= 妒 此外，压缩体与嵌入其中的不可压缩曲面还有下面这样一个好的结果： 引理2 3 f 3 5 1 设形是一个压缩体，是真嵌入于w 中的不可压缩曲面则w f 的任何 分支都是压缩体 定义2 2 1 设矿是一个连通的压缩体，d 是形中互不相交、互不平行的圆片组成的集合， 满足( d ，0 1 9 ) c ( r e ，c o + 形) ，且沿d 切开w 后所得的流形同胚于 f a + 形i ，若a w 驴 lb 3 ，若a w = 砂 则称d 是形的一个完全圆片系统 不难看出，一个完全圆片系统d 中的每个圆片在形中都是本质的 事实上，压缩体可以通过另一种对偶的方法构造出来设，是闭曲面，f 可以是 不连通的，但没有2 球面分支在f i o ，1 i 的一个边界分支f 1 上粘一些1 柄，就得到 了一个压缩体w ，其中f o _ a 一形，a + 形= a 形一a 一形是形的正边界 有了这些最基本的概念之后，就可以给出一般意义下h e e g a a r d 分解的定义，即带 边3 流形的h e e g a a r d 分解的定义 定义2 2 2 设m 有三元组( m ；f 1 ，f 2 ) ，其中f 1uf 2 = o m 为3 流形m 边界分支的不交 并若存在压缩体矿和形，使得m = vu fw ，a + v = c o + w = f ，a v = f 1 ，a w = f 2 ，则称 ( 矿，形) 是m 的h e e g a a r d 分解称f 为m 的一个h e e g a a r d 曲面此h e e g a a r d 分解也可以表 示为( 矿，w ；f ) ，称h e e g a a r d 曲面f 的亏格g ( f ) 为该h e e g a a r d 分解的亏格 可定向闭3 流行的弱可约h e e g a a r d 分解的细分 定义2 2 3 m 的所有h e e g a a r d 分解的亏格中最小的h e e g a a r d 分解的亏格称为m 的 h e e g a a r d 亏格，或m 的亏格，记作g ( m ) 根据组合拓扑的基本知识可以知道，对任何三元组l 必；罗1 ，f 2 ，材总有h e e g a a r d 分解下面的讨论中我们都假定3 流形的边界分支中没有二维球面分支 事实上，h e e g a a r d 分解还可以从另外的角度去看，首先看下面就给出的h e e g a a r d 图的概念： 定义2 2 4 设( y ，形；f ) 是m 的h e e g a a r d 分解，分别给定y 和形的完全圆片系统x 和l ， 则三元组( ，；x ，n 构成了m 的一个h e e g a a r d 图 不难发现，给定了h e e g a a r d 图，就可以给定流形及其h e e g a a r d 分解所以通常人们 也会用h e e g a a r d 图来表述流形的h e e g a a r d 分解 另外，我们可以通过柄添加理论构造3 流形肘的一个h e e g a a r d 分解如下： 令矿u + fw 是3 流形m 的一个h e e g a a r d 分解压缩体矿是通过在a v i o ，1 i 的一面 上粘1 柄拓1 得到的( 若a v = 似i j 为雪3 ) 而形是由a + 形，通过粘2 - w h , 2 ，再对出现的 2 球面填充3 柄 b k i 天| 1 l tm = xu h , 1 u 协，2 u 慨) ，其中x = a 一矿【o ，l 】( 若a v 妒) ； 或彳是o 柄( 若矿是柄体) 这即是m 的一个从柄添加角度看的h e e g a a r d 分解，其中m 的两边界为0 一v 和a 一沙若从a 一形开始也可以得到类似的结果 ， 2 2 2h e e g a a r d 分解的性质和结构 本节主要通过h e e g a a r d 分解的一些重要概念来分析h e e g a a r d 分解的结构主要介绍 的概念有h e e g a a r d 分解可约、稳定化和弱可约首先引入的是h e e g a a r d 分解可约的概念： 定义2 2 5 设( v ，形；f ) 是3 流形膨的一个h e e g a a r d 分解如果存在本质圆片d 和e 满足 佃，o d ) c 缈，) 和( e ，o e ) c 缈，f ) ，而且劬= o e ，则称h e e g a a r d 分解( 矿，形；f ) 是可约 的；否则称为不可约的 如图2 1 2 给出的是h e e g a a r d 分解可约的一个示意图 图2 1 2 大连理工大学硕士学位论文 下面的h a k e n 引理是文1 8 i 中的主要结果，在3 流形理论中有着广泛而深入的应用 定理2 1 0 ( h a k e n 引理) ) 设( v ，缈；，) 是闭的可定向的3 - 流形m 的h e e g a a r d 分解如果m 包含本质的2 球面，那么在m 里有一个本质的2 球面s ，使得s n ，是一条简单闭曲线 由h a k e n 引理可知，可约的3 流形的任意h e e g a a r d 分解是可约的下面是h a k e n 引 理的一个应用广泛的推广： 引理2 4 【2 9 】设缈，形；，) 是；f 1 ，f 2 ) 的h e e g a a r d 分解，$ ，a s ) c ；f 1 ，f 2 ) 是一个由 互不相交的本质的二维球面和圆片组成的集合，则m 中存在一个由互不相交的本质的 二维球面和圆片组成的集合s ，使得 ( 1 ) s 是s 对做1 手术和合痕得到的； ( 2 ) s 的每个分支交，于一条简单的闭曲线； ( 3 ) 在形，形7 里，分别存在着完全圆片系统d 和d “，使得d n 舻= d n 舻= 妒 其次要给出的是h e e g a a r d 分解边界可约的定义 定义2 2 6 如果m 有h e e g a a r d 分解m = 形u fi t ，且存在m 的一个a 约化圆片，使其 交f 于一条简单闭曲线，则称此h e e g a a r d 分解为a 可约的 由引理2 2 6 可知，a 约化的3 流形的任意h e e g a a r d 分解是a 可约的 接下来介绍的是h e e g a a r d 分解稳定化的概念： 定义2 2 7 3 流形m 的h e e g a a r d 分解( m ，) 的一次稳定化是指( m ，f ) 与s 3 的亏格为1 的h e e g a a r d 分解( s 3 ，t ) 作连通和所得的m 的另一个分解如果m 的h e e g a a r d 分解 ( m ，) 是由它的另一个h e e g a a r d 分解( m ，7 ) 经过一次稳定化得到的，即 ( m ，) = ( m ，f ) 6 f b 3 ，t ) ，则称h e e g a a r d 分解( 肘，) 是被稳定化的 由定义可知稳定化有一个等价描述：h e e g a a r d 分解m = 彬uf 职是稳定化的当且 仅当存在真嵌入的圆片d ic 形( f = 1 ，2 ) ，使得i in 扣2 i = 1 ， 如图2 1 3 图2 。1 3 事实上，h e e g a a r d 分解稳定化与h e e g a a r d 分解可约之间也存在着一定的联系： 命题2 1 3 4 】假定日lu fh 2 是稳定化的h e e g a a r d 分解，则此h e e g a a r d 分解或者是可 约的，或者是s 3 的标准的亏格为l 的h e e g a a r d 分解 可定向闭3 一流行的弱可约h e e g a a r d 分解的细分 命题2 2 【3 4 】假定m 是一个不可约的3 - 流形，qu f 日2 是m 的可约的h e e g a a r d 分 解，则日，u f 日，是稳定化的 定理2 1 1 1 7 ls 3 的任何正亏格的h e e g a a r d 分解都是稳定化的 稳定化的问题涉及到h e e g a a r d 分解唯一性的问题，所以得到了广泛的关注但目前 研究清楚的流形还只是很少的一部分关于两个h e e g a a r d 分解可以通过多少次稳定化合 痕，目前最好的结果是r u b i n s t e i n 和s c h a r l e m a r m 在文j 3 7 l 给出的： 定理2 1 2 1 3 7 i 假定xu d 】，和彳up 曰是闭的可定向3 流形m 的两个强不可约的 h e e g a a r d 分解，它们的亏格分别为p ，q ( p g ) 则稳定化8 9 + 5 p 一9 次可以使这两个 h e e g a a r d 分解合痕 最后介绍的h e e g a a r d 分解弱可约的定义是在文献1 9 l 中由c a s s o n 和g o r d o n 引入的 定义2 2 8 如果m 有h e e g a a r d 分解( 形，形；，) ，形和形都是非平凡的，且存在本质圆 片p ，0 d ) c 缈，f ) ，如) c 缈7 ，) 使得扭n 扣= 妒，则称此分解是弱可约的，否 则是强不可约的 如图2 1 4 是一个h e e g a a r d 分解弱可约的例子： 隧2 1 4 - 强不可约的h e e g a a r d 分解有一个很有用的性质，通常被称为n e s t e dl e m m a , 我们 将在下一章陈述 由定义不难看出，可约h e e g a a r d 分解一定是弱可约的而反过来，则有下面这个 著名的c a s s o n g o r d o n 定理： 定理2 1 3 【9 】设( 形，w ) 是3 流形m 的h e e g a a r d 分解，( 形，) 是弱可约的，则或者 ( 形，w ) 是可约的，或者m 包含一个正亏格的不可压缩曲面 这个定理在处理与n o n h a k e n 流形、不可压缩曲面和d e h n 手术等有关的问题中起 着重要的作用 大连理工大学硕士学位论文 2 3 本章小结 本章主要介绍了3 一流形的基本概念和重要的定理，详细回顾了h e e g a a r d 分解理论 中重要的概念及主要定理，并就h e e g a a r d 分解的几个性质单独做了一些介绍这些定义和 性质都是第3 章讨论的理论基础 3 弱可约h e e g a a r d 分解的细化和弱( g ，g ：) 一可约的h e e g a a r d 分解 3 1 曲面上的不分离曲线组和两个不分离曲线组的型 设f 为一个紧致连通的可定向曲面由曲面的分类定理可知，f 由它的亏格g ( f ) 和它的边界分支数b ( f ) 完全确定如果b ( f ) l ，我们称，为穿b ( f ) 个孔的曲面；如果 g ( f ) = 0 ，b ( f ) 1 ，我们称f 为一个b ( f ) 型平面曲面 在本节我们总是用s 表示亏格为r l 的可定向闭曲面 设，是一个紧致曲面我们用f 表示沿，的每个边界分支往，上粘贴上一个圆片 后所得到的闭曲面设c 是曲面，上一组互不相交的简单闭曲线我们用，心) 表示沿 c 切开，所得到的紧致曲面 定义3 1 设j = j i ，1 7 r ， 为s 上一组互不相交的简单闭曲线如果沿，切开s 得到的是 一个穿2 ，个孔的连通曲面，则称，为s 的一个不分离曲线组，或完全曲线子系统如果 s 的一个不分离曲线组中恰有刀条曲线，则称该不分离曲线组为s 的一个完全曲线系 统 由定义可知亏格为刀的可定向闭曲面s 上的一个不分离曲线组，中至多有n 条简单 闭曲线，并且当，中有( 0 ，对+ 1 f ，。+ 2 1 2 ，惕= 0 命题3 2 n l + v i i i = ，l + ，- 1 - ( j4 - 后) ，进而4 - 伪 1 从曩出发由命题3 1 ，e 必有一个 边界分支是某个巴，u k 的一个切口q + ，而g 的另一个切口q 一是某个e ：的一个 边界分支，i 2 1 把e 和e ：沿着c e , + 和e 。一按切开c f l 的方式重新粘合起来得到曲面e 如 则g ( e 吐) = + 如果l r 2 ，e 如必有一个边界分支是某个c f 2 j uk 一 gj 的一个切 口g + ，而巴的另一个切口巴一是某个气的一个边界分支，毛l ，i 2 重复前面的做法 这样经过l - 1 次类似的过程，得到曲面互j 2 证。这时，所有的曲面e ，e l l ，气+ ，2 ， 均被粘到上e 驴吼，且g ( f i i 如“j = 确+ 刀2 + 嘞= 聆l + + a ! e f 。，否则一，就 是一个单边界的曲面，与，和七中曲线都不分离s 相矛盾。犯t 。中的曲线两两成对为 ju k - 乜，c f ，一。j 驴中曲线的切口所以g 忆，2 啪j + ，+ j | 一( ，一1 ) = 刀，从而 n 1 + n = 刀+ ，- 1 - ( j + k ) 再由a e f ：一。妒即知，一l 一( + k ) 1 ，可 按命题3 2 的证明步骤类似地得到曲面e _ 1 2 ，i - l ，g k | 2 ，l - lj = + + 飞e ，l - l 有 2 0 + 七) 一2 “一1 ) 个边界分支，故刀l + 忾+ + 七- ( 1 l - 1 ) = 玎， 从而 j + 七= ，l + 厶- ( n 1 + + 刀 ) - 1 证毕 3 2 弱可约h e e g a a r d 分解的细分和性质 在本节我们先回顾s e h a r l e m a n n t h o m p s o n 的鸟巢引理( n e s t e dl e m m a ) 后面我 们将利用鸟巢引理来证明本文的主要结果 下面的引理被称为鸟巢引理( n e s t e dl e m m a ) ，它的证明最先由 s c h a r l e m a n n t h o m p s o n 给出，参见1 3 4 i 为方便读者阅读，这里我们概要给出该引理的 证明 引理3 1 设矿u 。形为3 一流形m 的个强不可约的h e e g a a r d 分解，d 为m 中与s 横截 相交的嵌入圆片，且o dcs 则o d 也在矿中或形中界定一个圆片 证明：对j d n s i 归纳来证1 d n s l = 1 时结论显然下面假设结论对所有满足i d ns l 七 的d 都成立令d 是m 中的一个这样圆片，i d n 蚓= i + 1 d n s 的每个分支都是简单闭曲线如果d n s 有一个分支在s 上界定一个圆片， 总可找到d n s 的一个分支口，它在s 上界定一个圆片a ，i n t ( a ) n d = 用替代口在 d 上a 所界定的圆片得到圆片皿o d l = o d 在m 中保持o d , 不动同痕移动d 1 后可使 bns i i dns 1 这样，由归纳假设即知结论成立故下面假设d ns 的每个分支都 是s 上的本质简单闭曲线，即不界定s 上圆片的简单闭曲线 设卢为dns 的一个在d 上”最内”的分支，即卢在d 上界定一个圆片cv 或 形，不妨cv 由y u 。形的强不可约性，d n s 的每一个在d 上”最内”的分支所界 定的d 上的圆片均包含在y 中 设y 是d ns 的一个分支，使得d ns 的每个落在y 在d 上所界定的圆片尸上分支 在d 上是”最内”的圆片这些圆片都在y 中，记为巨，e m 令m 是沿o e l ，o f 。， 可定向闭3 一流行的弱可约h e e g a a r d 分解的细分 往形上粘2 一环柄所得的3 一流形在形的内部取一个与a 。形平行的曲面s 则s7 是m 中的一个h e e g a a r d 曲面，且m7 的这个h e e g a a r d 分解仍是强不可约的p 是真嵌入于 肘中的一个圆片印在a m 上一定是平凡的否则，膨是边界可约的，由引理2 4 ， m 的这个h e e g a a r d 分解就是弱可约的，矛盾卯在谢上界定一个圆片d 把d 。 的内部合痕推入矿的内部，并用它替代j p ，得到d 枣= d 一尸u 显然有 | d 木n s i ，1 f ，气+ l ，气+ ，2 2 3 , , e pn t g ( f t ) 0 均为平面曲面则有 ( 1 ) 当，1 时，矿u 。矿是可约的： ( 2 ) 当，= 0 时，m 包含亏格分别为，力，的互不相交的不可压缩曲面，并且 惕+ + h i o ，1 f 厶下面证明s 木在m