（基础数学专业论文）关于fuzzy关系方程的一些研究.pdf

关于一f u z z y 关系方程的一些研究 基础数学专业 研究生王赁指导教师王学平( 博士教授) 论文摘要：本文对一f u z z y 关系方程解集的结构及f u z z y 方阵可 实现 的问题进行了探讨首先引入了连续交既约元的概念，讨论了连续交既约 元的一些性质，井将其应用于 f u z z y 关系方程解集的刻画：在论域无限 且b 为连续交既约元时，给出了完全分配格上的方程a x = b ( 其中 为i n l a 合成，a = ( ) * j ，j 为无限集) 存在可达解或不可达解的充婴条 件，进一步，讨论了方程解集的结构其次提出了f u z z y 方阵可 实现的 概念，给出了f u z y 方阵可 实现的充要条件，并对可 实现f u z z y 方阵 的性质进行了讨论最后给出了一种能求出可 实现b 3 1 z z y 方阵的 容度的算法 关键词：完全分配格； 一f u z z y 关系方程；解集；f u z z y 方阵；可 实现 容度；算法 第i 页，共：，j 页 s o m es t u d i e so nt h e - f u z z yr e l a t i o n a le q u a t i o n s m a j o r ：b a s i cm a t h e m a t i c s w r i t e r ：w a n gy u ns u p e r v i s o r ：w a n gx u e - p i u g a b s t r a c t ：t h i sp a p e rd e m sw i t ht h er e s o l u t i o n so f 囝一f u z z vr e l a t i o n a l e q u a t i o n sa n d r e a l i z a b l ep r o b l e m so ff u z z ym a t r i c e s f i r s t l y ，w ei n t r o d u c ea c o n c e p to fc o n n i i o u sm e e t - i r r e d u c i b l ee l e m 6 n t , i n v e s t i g a t es o m ep r o p e r t i e so f t h ec o n t i n u o u sm e e t - i r r e d u c i b l ee l e m e n t sa n du s ei tt oe h a r a c t e r i z es o l u t i o n so f 一f u z z yr e l a t i o n a le q u a t i o n s ：an 凹e s s 研a n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nd e ! s c r i b i n g t h e , a t t a i n a b l es o l u t i o n ( r e s p t h eu n a t t a i n a b l es o l u t i o n ) o ft h e f i i z z yr e l a - t i o n a le q u a t i o na x = bi ni n f i n i t ed o m a i n sa n do i lc o m p l e t e l yd i s t r i b u t i v e l a t t i c e sw h e r e d e n o t e si n f qc o m p o s i t i o n ，a = ( q ) j j ，ji sa i li n f i n i t e s e t ) i ss h o w nw h e nbi sac o n t i n u o u sm e e t i r r e d u c i b l ee l e m e n t ，f u r t h e r ，t h e s o l u t i o ns e ti si n v e s t i g a t e d s e c o n d l y ，ac o n c e p to f 囝一r e a l i z a b l e 如z z ym a t r i x i si n t r o d u c e d ，an e c e s s a r ya n ds u f l i c i e n tc o n d i t i o nt h a ta 凡z z ym a t r i xi s 囝 - r e a l i z a b l ei sf o r m u l a t e da n ds o m ep r o p e r t i e so ft h e 囝一r e a l i z a b l ef u z z ym a t r i c e s a r eo b t a i n e df i n a l l y , a na l g o r i t h mt oc a l c u l a t et h e 一c o n t e n to f r e a l i z a b l e f l l z z ym a t r i c e si sg i v e n 。 。 k e yw o r d s ：c o m p l e t e l yd i s t r i b u t i v el a t t i c e ：囝f 、t z z yr e l a t i o n a le q u a - t i o n ；s o l u t i o ns e t ；f u z z ym a t r i x ； 一r e a l i z a b l e ； 一c o n t e n t ；a l g o r i t h m ( 日 ( ) ( ) ( 菇) s u p ，v i n f , a 0 u n c ( c ) i j k o i q i = o o i q l o o 摧台奎墨 三4 。m 部分符号说明 格 格l 的最大下界与最小上界 对每一个 存在 属于f 不属于1 大于f 小于) 大于或等于( 小于或等于) 不大于等于( 彳i 小于等丁) 上确界 下确界 空集 集合的并 集合的交 集合问的包含( 真包含) 指标集 s u p m f 合成算子 伽，一a 合成算子 q 为无限集( 包括可数无限集和不可数尤限集】 q 为有限集 取值于格上的n m 阶f u z z y 矩阵 矩阵a 的转置 格三上nx m 阶f u z z y 矩阵的集合 方程的解集 方程的可达解与不可达解的集合 自然数集 正自然数集 从1 到n 的所有自然数构成的集合 南属于集合a 而不属于集合疗的元所构成的集合 【0 ，1 与f o ，1 1 的笛卡尔积 第i v 页，共页 v l = 1 l 仉v j 2 一 b 酽彤影胪k小h 四川师范大学学位论文独创性及 使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用 指导下，独立进 文不含任何其他 个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人 和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容致。如因不符而弓 起的! 学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所徂：人学拥有 学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生必须按学校规定提交印刷版 和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索；2 ) 为教学和科研目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的学位论文作 为资料在图二b 馆、资料室等场所或在校园网上供校内师生阅读、浏览。 论文作者签名： 加7 年产月力泸 引言 “关系。是客观存在于自然界的，它反映着自然界中万事万物之问的某种 联系，例如“兄弟关系”、“师生关系”，元素与集合间的“属于关系”和“不 属于关系”、两个实数之间的“大小关系”等等以上这些关系都是非此即彼 的，我们称之为经典关系但在现实生活中并不是任何两事物间的关系都能明 确界定的，例如在信息处理中各种信息的“相近关系”、电学中电流的“稳定 关系”与4 不稳定关系”等都是不明确的我们称之为f u z z y 关系f u z z y 关 系最早于1 9 6 5 年由z m d e h 【1 1 提出，之后，研究者们对f u z z y 等价关系f 2 7 1 f u z z y 同余关系f 8 - 1 1 j 、f u z z y 关系的分解等问题进行了深入的研究髓着对 f u z z y 关系研究的不断深入，f u z z y 关系在f u z z y 数学研究中的重要地竹口益 显现目前，f u z z y 关系的研究在f u z z y 自动机、f u z z y 算法、模式识别、模 糊聚类分析( 如天气预报：地震预报；环境保护等) ，模糊综合评判( 如评价某工 程的设计质量：课堂教学质量的评估) 等方面有着广泛的应用 f u z z y 关系方程是以f u z z y 关系为研究对象的一个数学分支，在关系结构 中布尔变量豹处理2 铷以及数字线路的研究f 2 4 1 等方而有着广泛韵应用在 f u z 珂集领域中1 1 1 f u z z y 关系方程的研究是1 9 7 6 年由法国学者s a n e h e z 3 l 从医疗诊断的问题出发作为综合评判问题的逆问题而引入的研究f u z z y 关 系方程的臼的：一方荷是为了丰富布尔方程的理论并推广布尔方程中的有戈 工作，如l u c ef 2 5 l 关于布尔方程的求解工作等；另一方面也是为了深刻捣，j i 并 处理如医疗诊断这类复杂系统中的模糊现象【2 6 1 理论方面，f u z z y 关系方程 的研究主要集中在方程解集的刻画f 2 7 - 3 2 1 ，具有某些代数性质的解的确定等 【3 3 - 3 6 】课题 下面我们简单回顾一下完备b r o u w e r i a n 格上f u z z y 关系方程研究的历史： f u z z y 关系方程的研究中所涉及的合成算子很多但研究的对象通常是合 成算子为s u p i n 的f u z z y 关系方程而如何确定定义存完备b r o u w e r i a n 格 上f u z z y 关系方程的解集是人们研究的主题1 9 7 6 年，s a n c h e z 【3 l 首先建立了 完备b r o u w e n a n 格上s u p 一轨，合成f u z z y 关系方程解集非空豹充要条件证 第l 页共：页 引言 明了方程有解就定有最人解，且给出了最人解的表达式不久，人们发现定 义在完备b r o u w e r i a n 格r ls u p l n ，龠成f u z z y 关系a 程的解集通常是一上二f 格，解集是由一个个区间构成的【3 ，4 ( m 因此在方稃有解时考察对解集巾每个 解是否存在小于等于它的极小解对研究如何确定定义在完备b r o u w e r i a n 格上 s u p i n l 合成f u z z y 关系方程的解集就特别重要，因为如果能证明对方程的每 一个解存在小于等于它的极小解且这样的极小解只有有限多个，则方程的枢个 解集便可确定人们围绕方程的解的存在性以及方程有解时考察对解集中的每 个解是否存在小于等于它的极小解等问题主要进行了以下几个方而的研究： 1 论域为有限集时： ( 1 ) 方程有解的判别【一i i ，4 2 】； ( 2 ) 方程有解时，解集中是否存在极小元的问题 2 9 ，4 3 】； ( 3 ) 方程有解时，每个解是否存在小于等于它的极小解的问题【3 1 ，4 ，l 】； ( 4 ) i o ，1 1 格上改进解集中极小元的确定方法【4 5 - 4 9 】及极小元的个数的估 计 5 0 - 5 3 ； ( 5 ) 在完全分配格上给出了确定f u z z y 关系方程的整个解集的方法f 2 7 ，孔， 叫： 2 当沦域为无限集时，人们二l 要硎究了当解集j l 空时极小解的存在性l j 圳 及解集巾每个元是否存在小于等于它的极小元【3 ( ) ，3 2 ，3 4 l 等问题 而在1 9 8 5 年，a d in o l af 2 2 1 等人发现，用i n ，一。合成算子进行模糊关系 的计算或推理规则的合成效果更好，因此，对 一f u z z y 关系方程a = r b ( 已 知a f ( x ) 和r r ( x y ) ，求b f ( y ) ) 和b = a r ( 已知a f ( x ) 和 口f ( y ) ，求r f ( x y ) ) 的研究工作应运而生1 9 8 5 年，a d in o l a 等人 最先提f i 一f u z z y 关系办程的概念且构造出了完备b r o u w e n a n 格i ： 一f u z z y 关系方稃的最小解1 9 8 9 年，ad in o l a ，wp e d r y c z ，s s e s s a 和e ，s a n c h e zp 7 又在完备b r o u w e r i a n 格上给出了一f u z z y 关系方程a = 疗 b 有解的充要 条件，即一f u z z y 关系方程有解当且仅当方程有最小解：并在线性格上构造 出了 f u z z y 关系方程的极大解之后，人们发现定义在完备b r o u w e r i a n 格 上的 f u z z y 关系方程的解集通常是一交半格，解集是由一个个区问构成的 w a n g y u n 2 1 5 叠- 1 2 6 c o n l 第2 页，共 _ 页毕业论文 引言 f 3 7 1 因此，在方程有解时，考察对解集中的每个解是否存在大于等于它的极 大解对确定定义在完备b r o u w e n a n 格上 一f u z z y 关系方程的解集就特别重 要，因为如果能够证明对 一f u z z y 关系方程的每一个解存在大于等于它的极 大解且这样的极大解只有有限多个，同时能构造出所有的极大解，那么方程 的整个解集便可确定因此，围绕定义在完备b r o u w e r i a n 格上的 一f u z z y 关 系方程解集中的每个解是否存在大于等于它的极大解问题，研究者们傲了大 量的工作f 2 8 ，：；5 1 为解决这个问题，人们首先选择了定义在i o ，1 】格卜的 一f u z z y 关系方稃作为突破口。当论域有限时，证明了方程角i f 集中每个解存在大 于等于它的极大元且这样的极大元只有有限个f 3 7 1 之后，研究者们进一步研 究了当论域为有限集，定义在完全分配格上 一f 、l z z y 关系方程解集非空时， 对解集中每个元是否存在大于等予它的极大元的问题后来，李【3 9 】在b 有有 限交既分解、b 为完全交既约元及有不可约完全交既分解的情况下对定义 在完备b r o u w e r i a n 格上 f u z z y 关系方程 x = b 的极大解的存在性进 行了充分的讨论，并进一步讨论了 一f u z z y 关系方程a x = b 的解集的 性质和结构后来，杨雁对另外两种类型的f u z z y 关系方程( 第一种：已知 【o 1 】格上f u z z y 关系r f ( x y ) ，若在 o ，1 】格上存在f u z z y 集a y ( x ) 和b f ( y ) 使r = a b ，则称r 是可 分解的；第二种：己知 o ，1 1 格i ： f u z z y 关系r f ( x y ) ，若在【0 ，1 】格上存在f u z z y ，关系a f ( xxz ) 和 b f ( z y ) 使r = a b ，则称r 是可 广义分解的) 进行了深入的研究 对于第一种 f u z z y 关系方程，杨【5 6 】首先刻画了可 分解的f u z z y 关系的 分解解集，即构造出了方程r = a b 的整个解集，并进一步证明了可 分 解的f u z z y 关系是收敛的且给出了一种计算其收敛指数的算法对于第j ：种 f u z z y 关系方程，杨f 5 了1 首先证明了任意一个f u z z y 荚系r f ( x y ) 是可 广义分解的，然后给出了一种算法来构造a 和b 使r = a b ，剪迸一步证 明了计算 广义容度p ( r ) ( 其中p ( r ) = m m i z l ：r = a b ) ) 是。个“n p - 完全问题”本文第一章在论域无限且b 为连续交既约元时，对定义在完全分配 格上的一f u z z y 关系方程a x = b 的解集进行了讨论首先0 i 入了连续交 既约元的概念并讨论了连续交既约元的一些性质，然后在b 为连续交既约元时， 给出了方程存在可达解和不可达解的充要条件，进步。在方程解集非空时讨 w a n g y u n 2 1 5 1 2 6 c o m第3 页共；：j 页 毕业论文 引言 论了方程解集的结构 众所周知， 一f u z z y 关系方程的一个特殊而又重要的研究方而就是f u z z y 方阵的可实现问题( 即给定 o ，1 1 格上的n 阶f u z z y 方阵r ，若存在一个n p 阶f u z z y 矩阵8 使得兄= b b t ，则称r 是可 实现韵) 早在t 9 6 8 年， j b k e l l yf 1 2 1 和1 9 8 2 年，khk i m 1 3 l 对布尔矩阵的w 实现问题做了一定的 研究在此基础上，1 9 8 2 年，刘f 1 4 1 首先提出f u z z y 方阵可实现的概念并给出了 f u z z y 方阵可实现的必要条件1 9 8 4 年，王f 15 】和于f l6 1 几乎同时给出了f u z z y 方阵可实现的充要条件此后，赵【1 7 l 等研究者对f u z z y 方阵的可实现性做了 更深入的研究，主要是寻找f u z z y 方阵可实现的充要条件本文第二章对f u z z y 方阵的可实现问题进行了探讨首先给出了f u z z y 方阵可 实现的概念，然 后给出了f u z z y 方阵可 实现的充婴条件，最后对可 实现f u z z y 方阵的性 质进行了讨论 由于实数域一卜( o ，1 ) 矩阵的可实现问题在组合问题中有者良好的应用前景 而容度更是可实现矩阵的一个重要的数值特征1 1 2 】所以在f u z z y 矩阵的可实 现问题中，可实现f 、l z z y 矩阵的容度是最为关键的事实上，自从王【15 1 和于 【1 6 1 给出了f u z z y 方阵可实现的充要条件后，很多研究者对可实现f u z z y 方阵 的容度做了不少的研究，如王f 18 1 、刘 l 讲等，他们对可实现f u z z y 方阵的容度 的上，下界做了比较精确的估计，1 9 9 8 年，wp e d r y c z 2 i 1 甚至还给出了梯度 下降法和神鲐网络法对可实现方阵的容度做了更为精确的估计，但他们的工作 仅仅是局限于对可丈现f u z z y 方阵的窖度的估计，直到1 9 9 9 年，干【2 1 】采用商 接构造可实现f u z z y 方阵r l ，- n 的实现矩阵的做注，给出了。种在f p ( _ r ) p 步内找到nxr ( n ) 阶f u z z y 矩阵b 使r = b o b 7 成立的方法从而真正意义 上给出了计算可实现f u z z y 方阵的容度的算法并就如何加速算法及容度与可 实现f u z z y 方阵的s c h e i n 秩的关系做了进一步的讨论本文第三章对可 丈 现f u z z y 方阵的 容度进行了研究，进一步在讨论可 实现f u z z y 方阵性质 的基础上给出了一种能计算它的容度的算法， w a n g y u n 2 1 5 1 2 6 c o l = r l 第4 页共i ：；页毕业论文 第一章论域无限时完全分配格上一f u z z y 关系方 程解集的结构 设a = ( q ) ，e j 为完全分配格l 上的已知向量，x = ( x f ) j e j 为一未知向 量称 4 x = b( 1 - 1 ) 为定义于完全分配格l 上的 一f u z z y 关系方程，其中 为i n 一n 合成算子。 满足方程( 1 1 ) 的x 称为方程( 1 一1 ) 的解记彤= f x ：a x = 本章将在无限论域( j 为无限集) 对完全分配格上 - f u z z y 关系办程( 1 一1 ) 的解的结构作深入的讨论首先引入了连续交既约元的概念，并讨论了连续变 既约元的一些性质，然后在b 为连续交既约元时，给出了方程( 1 - 1 ) 存在可达解 和不可达解的充要条件进一步，当0 r o 时，讨论了方程( 1 - 1 ) 的解集晏r 的 结构 1 1 基础知识 定义1 1 ，1 【5 8 】设p 为偏序集，v a ，b p ，如果a b 且v x 尸d - d ，z 则 z | l i l 表示z 与f 不可比较大小) 且z a = o 证明因为z 卜口，y 卜a ，z y ，则z 可，可z ，则z | i 可若卫a n ，设 ay = 6 ，则b 口且王b 口，掣b 口，所以z = b = 掣，这与已知矛盾：因 此z a g = o 定理1 2 ，2 设l 是格若n j j ( l ) ，则n 至多有一个上邻 证明若o j j ( l ) 且有两个上邻z ，p ，z y ，则由定理1 21 有z a 9 = o ， 而z o ， a ，这与o j j ( l ) 矛盾，所以n 至多有一个上邻 定理1 2 3 若l 是完备格，8 j z ( l ) ，则n ( l ) 当且仅当n 有惟一上 邻 证明必要性若n w j ( l ) ，则o 1 且驻0 又凼为格l 是完备的， 则a 旺d 存在且a8n a 又d w j ( l ) ，v z 8n ，z 8 ，所以a8a 8 ， 即a8o a 设a8a = b ，若存在z l 使b 工 n ，显然z 8n ，从而 z a8a = b ，即z b ，矛盾，所以不存在z l 使b z n ，从而b n - n ：即 an a 是a 的上邻由定理1 1 2 2 知，a8 口是n 的惟一上邻 充分性若。有惟一上邻，设m 卜口，v s 厶若= s ，则一定有8 s 如果n 亏s ，则v 卫s ，z n 且z m ( 因为若存在z s 馊g z a m a ，又m - d ，所以z a m = 。， 这与n 以( l ) 矛盾) ，因此， s = a 。；s z m 卜n ，这与n = s 矛盾所以 v s l ，若“= s ，则。定有n s ，南定义l ，1 4 戋“w a l ) 定理1 24 设l 是完备格，n 以( l ) n 1 ，则d ( 乃( l ) 当且仅当“没有 上邻 w a n g y u n 2 1 5 1 2 6c o r r l 第8 页，共【3 页毕业论文 笨一章沦域无艰时完全分配錾上乐一f u z z y 关系方程解篓曲结构 证明必要性设。c 0 ( ) ，若g 有上邻，由定理1 22 知有惟- - 3 - 邻，设 z 卜d ，又o o ( l ) ；则存在口cl 使口= a b ，但疟b ，从而跏b ，p n ，又 z 卜a ，则v p b ，p z ( 因为若存在p b 使p p a z d ，又z n ，所以p a z = o ，这与d 山( l ) 矛 盾1 ，因此，a b z o ，这又与o = b 矛盾，所以a 没有上邻 充分性若n 没有上邻，因为n 1 ，格是完各的，则a 窳n 存在且 ano n 若a8a 0 由定理1 2 3 的证明过程知aon 是。的卜邻，这 与。没有上邻矛盾，所以a8 口= o ，而忱8o ， d 且o 山( l ) ，所以 n c j ( l ) 下面在完备分配格上讨论连续交既约元的性质，设以下格l 是完备分配格， n l ，记鸵= a cl ：疟a ，n = a a 注1 2 1 由定理1 2 4 的证明知，若neo ( l ) ，n 1 ，则o 口瞬且 v a 跪，a 8 m 定理1 2 5 若d c j ( l ) ，n 1 ，则v 月聍，i a j _ o o ( i aj = o o 表示a 是无 限集1 证明若i a i n ，又z 口且 o = 【a ( a z ”1a z ，这与山( l ) 矛盾 充分性设瓣口且v a 乳，v z a ，口= a ( a 扛 若谑山( l ) ，则存 在n q l ，n 口 o 便d = p ag ，显然 p ，订虢，但o p ，o q ，这与已知 矛盾，所以8 乃( 研，再由舱的定义可知存在a 舵，疟一使得8 ；a a ，即 n c j ( l ) w a u g y u n 2 1 5 1 2 6c o i n第9 页共；页 毕业论文 t 3 方程( 1 i j 的解集 由定理l25 ，定理1 2 6 及引理11 4 易证下而定理成立 定理1 27 设o o j ( l ) ，a 1 ，a 蛇，s ca ，若i s i o o ，则a = a ( a s ) 定理1 28 设n c j ( l ) ，o 1 ，scl ，o s ，若v p s ，d p ，则 i s i = o o 进一步，v t cs ，若i t i 。c ，则o ( s 丁) 定理1 2 9 设b = 尸= q ，p q 冬c j ( l ) ，若v p p , a q ，b a ( p f p ) ) ，b ( q 口) ) ，则p = q 证明v p p ，若不存在q q 使p g ，即峋q ，p 口，则由定理1 2 8 及p b = q 知i q i = 取定0 t c q ，j t i 6 ，则称x 为方程( 1 - 1 ) 的不 可达解记影( + ) = x z ：x 是方程( 1 一1 ) 的可达解) ：g ( 一) = x 。彤： x 是方程( i - i ) 的不可达解，显然引+ ) u 影( 一) = 影i t 髟( + n0 r ( 一) = d ， 第1 0 页，共：页毕业沧文 第一童沧域无隈 辛专全分配稿釜一f t t z z y 关东方程掣謦绮结蜂 引理1 3 1 【2 翻设l 为完备b r o u w e r i a n 格，方程n n z = 6 的解集为，则 口当且仅当b 且v z 蜀，z b 引理1 3 2 f 2 2 1 i 殴l 为完备b t o u w e r i a n 格，6 是交既约元，方程a x = b 的解集为，则0 当且仅当一o6 弼且v xe ，x a o b i 理i ，33 【6 l i 设l 是完全分配格刚l 中每个元都可以表示为交既约元的 交 定理1 3 1 设l 为完备b r o u w e r i a n 格，b 是交既约元，彤0 当且仅当 g - ( b ) 0 证明必要性因为髟0 ，由引理1 3 2 知彤- 自摄小元x = ao 6 = ( qa6 ) j e j ，如果g 1 ( 6 ) = 口，酾巧j 有q a 刚q 口= n ，那么 a ( ，lo ) = j j 【n ( n ，ab ) l = a j j ( n ) = 1 这与( o f j ) 彤矛 盾，所以g 1 ( 6 ) 0 充分性若g 1 ( 6 ) 0 ，则存在女j 使钆菇b ，由引理1 1 5 知o k n 6 = 6 ， 定义x = ( 叶) j j 如下：j f 扣歹= 七， 2 l ，否则 易知x 彤，所以历0 定理1 3 2 设l 为完备b r o u w e r i a n 格，6 是交既约元，若彤o 则j r o 当且仅当g l ( b ) 0 证明必要性设x = ( ) ，e ，( ”，则由定义131 知存在k j 使 a 2 = 6 ，由引理l ，3 ，】知缸6 = 6 ，再出定理i 1 。! 知& 6 ，即寿g ( 占) i 医 而g t ( 6 ) 口 充分性若g 1 ( 6 ) 0 ，即存在j 使得1 5 k 菇6 ，定义x = ( 巧) j e j 如下： v f j w a n 嚣n 2 1 5 1 2 5 m 铲 ：藉 繁i l 页，鬟搿页 毕韭论交 1 3 方程f 1 i j 约筋集 则由引理1 1 5 知a j j 【( t z j ) = n k o x k = a a b = b ，从而x 旦+ 由定义 1 3 1 知x 二r ( + 1 由定理1 3 ，1 ，定理1 3 2 易证下而定理： 定理1 3 3 设l 为完备b r o u w e r i a n 格，b 是交既约元，若彤0 ：则彤 曩4 ( 注1 3l 由定理1 3 3 知，若方程( 1 - 1 ) 有解，则不存在解集中的解都是不 可达解的情形， 定理1 34 设l 为完备b r o u w e r i a n 格，b 是交既约元，设彤口，则v x 彤卜) 。都存在x “使x ”x 但x ”x 证明设x = ( 巧) j j ( ，记j t = d j ：o j a 弓 b 且满足6 = a j g 。( ”巧= j g ，i 6 ) 艇幻；若j ( b ( 6 ) ，令巧= 1 w o g t ( b ) ，则n j 。0 6 = b ， 即b = n 6 = 拙( ，e g 。( 6 ) 妁) = o ( g 。，协。) = a j g l ( 帅剧一。， 因为b 1 ，所以存在虬使。如虬。又6 = a j g 。( t ，轧，b 山( l ) ，所以 j g 。( ”t l ，。加札协。g i ( 旌，一，。锄。鲰，由j o 的任意性有 八 a 协 ( 1 2 ) 拜g i o ) 1 ，勺砒7 g j 呻，l ，一锄 另外容易看出a j ，( q n ) 人j j 巧= a j 岛( 6 ) 巧= b 现假设 】j ( 。j o q ) b ，因为a 】j 【q 口岛) = j g 1 ( 6 ) ( o ，a z j ) = a j g l ；e l 玑。奶， 则a j g i ( ”，l ，n ，。弘 b 又6 = a ，郇( 艇，协且6 山( l ) ，所以 ，g i ( 6 ) t ，山蜥胁。= b 即a j g 1 ( b ) 。， 延蜥可 a j c i ( 6 ) 。，丑，玑乳，显然 这与( 1 - 2 ) 式矛盾，所以 * j ( q “巧) = b ， 从而x 彤，且若j g 1 ( 6 ) ，由引理1 1 ，1 中的( 4 ) 有q o 码巧 6 ；若 j g 2 ( 6 ) ，有n j 口q = 1 6 从而由定义1 3 1 知x 彰( 一 例1 3 1 设格l = f 0 ，1 】2 ，如果j g l ( 6 ) ，码 6 ，在方程【 是( n z 2 。一i ) 】a 【a 。o o ：l ( n z 饥) 1 = 中， i 乃( l ) ：显 然x = ( ， ，( 1 ，1 ，( 1 ，l ) 影，从而影d + i ：11 g 1 ( ) l = 2 牡：7 ；) j = 0 0 设x l = ( 勺k ，其中若，= 2 n g i ( ) ， 取巧= ，则a j g 1 ( f 1 ) 】= ；若j j g i ( ) = g 2 ( ) ；取巧； 从而x l = ( ， ， ， ， ， ， ，) 彤 如果j g l ( b ) ，d j6b ，在方程【 罂1 ( 口勋一i ) 】a a 。c o ；l ( n z 2 。) 】= 中， c s ( l ) ，显然x = ( ， ， ， ) 彤，p , i f f i 奠i 0 且i g x ( ) l = j f 2 n ：n ) j = o 。设j ，2 = ( q ) ，其中若j = 2 n g 1 ( ) ，取巧= ， 则仨岛( b 从而由定义1 3 1 知x 彰( 因此南定理1 3 4 的证明知存在x “，且x ”x ，伊x ”x 这与x 是j r 的极大元矛盾) ，现定义c = ( 勺) j j 如下：v j j 勺= ：2 藉 w a n g y u n 2 1 5 1 2 6 c o i l 第1 4 页共l 。：页毕业论文 第一章论域无限时竞全分配格上 一f u z z y 关系方程解集的结构 由引理1 3 1 及定义1 i 7 知g x ，由定理1 3 6 的证明知c 彤，又x 为r 的极大元，所以x = g ，因此l r 的所有极大元都具有( 1 - 3 ) 式的形式 定理1 3 8 设l 为完备b r o u w e r i a n 格，6 是交既约元，若r 口，则任取 x 彤 + ) ，至少存在彤的一个极大元x + 满足x 。x 证明设x = ( q ) j j 0 喇”，则由定义1 3 1 知存在- ，使口 n z = b 定义x 。= ( q 。) 批j 如下：， 铲化嚣 显然x 。彤，且由定理1 36 的证明知x 是影的极大元且x 。，y 由上述定理可知，当l 为完全分配格，b 为连续交既约元时，若方程( 1 1 ) 的解集非空，则方程( 1 - 1 ) 的解集有下面两种结构： ( 1 ) 若i g l ( 6 ) i o o ，则万= 彤( ” ( 2 ) 若i g l ( 6 ) i = o 。，则影= 彤( u 彤( 一 w a n g y u n 2 1 5 1 2 6c o m第1 5 页，共船页 毕业论文 第二章f u z z y 方阵可实现的条件及性质 众所周知f u z z y 关系方程的一个特殊而又重要的研究方面是f u z z y 方阵 的可实现问题，相应地，f u z z y 方阵的可 实现问题在 一f u z z y 关系方程的研 究中的重要性是显然的 本章首先给出了f u z z y 方阵可 实现的概念，然后给出了f u z z y 方阵可 实现的充要条什最后讨论了可 实现f u z z y 方阵的一些性质 2 1 预备 为了讨论方便，设以下所讨论的矩阵均为f u z z y 矩阵 定义2 1 1 1 4 】设r = ( ) 。，则称r 7 = ( 马。) 。为r 的转置矩阵 定义2 12 【1 - t l i 殳r = ( r j ) 。且v i 厶，j k 有r ，= 0 ，则称r 为 n m 阶零矩阵 定义2 1 3 设r = ( 氏) 。，如粜存在m = ( ) 。，使得r = m m 7 则称r 是可 实现的，称m 为冗的 实现矩阵进一步，称r ( 兄) = m i n p r = ， m 7 m = ( ) 。，) 为兄的 容发 定义2 1 4 设r = ( r ，) 。，在兄中任意选定k 行k 列( k n ) 位于这些 行和列的交点上的k 2 个元按照原来的次序组成一个e 阶f u z z y 方阵彤，称彤 为r 的一个k 阶子阵在尺巾划去这k 行k 列后余下的元素按照原来的次序 组成的扣一0 ) 阶f u z z y 方阵r ”称为k 阶子阵彤的余子阵 2 2 f u z z 5 方阵可实现的一些条件 设f u z z y 方阵r = ( r u ) 扩“( “2 ) ，本节将给h ；f u z z y 方阵r 可 实 现的一些条件 定理2 2 1 设r 是可 实现的，则v i 厶有忍= 1 且r 兄7 = r t 第1 6 页共 ，页 第二章f , l z z y 方阵可 宴瑰的皋份j j 之挂礁 证明凶为r 是可 实现的，由定义2 13 知存在一个m = ( ) 。， 使得r = m 胪，则p - , i = ：。( 疋。 循j ； ：；( 帆。 “) = l