（基础数学专业论文）亚纯函数正规族和唯一性的若干问题.pdf

摘要1 1 摘要 亚纯函数的正规族及唯一性理论是复分析中重要的研究课题，国内外许 多学者对此作出了大量卓有成效的研究工作。本文主要在亚纯函数的正规族 及唯一性方面进行了一些研究，得到了一些有意义的结果。全文共分四部 分。 在前言中，我们对亚纯函数的正规族与唯一性的起源，发展背景以及这 领域的一些研究成果作了简单综述。 在第一章，我们给出了本文所须的基础知识：亚纯函数值分布理论方面 的基础知识及常用记号，以及正规族与唯一性的一些基本概念，记号以及一 些基本结果。 在第二章，我们从分担的角度出发得到了亚纯函数的几个正规定则，推 广和改进了徐焱、吴风琴、廖良文 2 7 】，庞学诚 1 8 】，黄晓军和顾永兴【1 3 】的相 应结果。 在第三章，我们利用带权分担研究了关于亚纯函数唯一性的g r o s s i ；- 题， 得到了一些结果。 关键词：亚纯函数，正规族，q 一正规函数，一致a 一正规族，分担值，唯一性。 a b s t r a c ti 1 i a b s t r a c t n o r m a lf a m i l i e sa n du n i q u e n e s so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n sa r ei m p o r t a n t s u b j e c t si nc o m p l e xa n a l y s i s m u c hw o r kh a sb e e nt a k e n o nt h i si s s u e i nt h i st h e s i s ， w em a i n l ys t u d yn o r m a lf a m i l i e sa n du n i q u e n e s so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ，a n d o b t a i ns o m ei n t e r e s t i n gr e s u l t s t h i st h e s i si sd i v i d e di n t of o u rs e g m e n t s i np r e f a c e ，t h e r ei st h ep r e f e r e n c e ，w eg i v ear e v i e wa b o u tt h eo r i g i n a l ，t h e h i s t o r i c a lb a c k g r o u n do fn o r m a lf a m i l i e sa n du n i q u e n e s so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s i nc h a r p t e r l ，w ew i l lg i v es o m eu s u a ln o t a t i o n s ，d e f i n i t i o n sa n db a s i cr e s u l t si n v a l u ed i s t r i b u t i o nt h e o r ya n dt h et h e o r yo fn o r m a l i t ya n du n i q u e n e s s ，w h i c hw i l lb e u s e di n 血i st h e s i s i nc h a r p t e r 2 ，w eo b t a i ns o m en o r m a lc r i t e r i ao fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n sc o n - c e r n i n gs h a r i n gv a l u e s ，w h i c hi m p r o v ea n dg e n e r a l i z et h er e l a t e dr e s u l t sd u e t oy x u ， e q w u ，l w l i a o 2 7 ，x c p a n g 1 s ，x j h u a n g ，y x g u l l 3 i nc h a r p t e r 3 ，b yu s i n gt h ei d e ao fw e i g h t e ds h a r i n gv a l u e ，w es t u d yg r o s s p r o b l e mo nt h eu n i q u e n e s so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ，a n do b t a i ns o m e r e s u l t s k e y w o r d sm e r o m o r p h i cf u n c t i o n ，n o r m a lf a m i l i e s ，c y - n o r m a lf u n c t i o n s ，u n i - f o r m l ya - n o r m a lf a m i l y ，s h a r i n gv a l u e s ，u n i q u e n e s s 前言 上- j l _ 刖吾 正规组理论是复分析的一个重要组成部分。2 0 世纪初em o n t e l ：j i 入了正 规族概念，他把具有某种列紧性质的函数族称为正规族。正规族理论的研究 具有重要的理论意义和应用价值，例如，近年来十分活跃的复解析动力系统 中的基本概念j u l i a 集与f a t o u 集就是由正规族引出的。 刍p m o n t e li 入正规族 的概念以来，正规族的理论有了长足的发展，特别是在我国，从熊庆来、庄 圻泰到杨乐、张广厚等，他们所作的奠定性工作使我国在正规族理论方面的 研究处于国际领先地位。 正规族理论的核心就是正规定则的研究，e m o n t e l 首先建立了m o n t e l 正 规定则，该正规定则把函数族的正规性和函数族的取值紧密地联系在一起 n e v a n l i n n a 值分布理论的产生不仅使函数族的正规性与函数导数的取值问题 联系起来成为可能，也使证明上述m o n t e l 正规定则变得初等和简单，促进了 正规族理论的深入发展2 0 世纪3 0 年代em a r t y 在m o n t e l 定则的基础上建立了 一个著名的判断函数族在区域上是否正规的充要条件耳p m a r t y 定则：函数族 在区域上正规的充要条件是函数族的球面导数在该区域上内闭一致有界。相 继地，c m i r a n d a 利用n e v a n l i n n a 值分布理论证实了m i r a n d a 正规定则：若全纯 函数族在区域上一致有f 0 ，厂( 愚) 1 ，则函数族在该区域上正规。该正规定 则的重要意义在于它把函数族的正规性和函数族导数的取值联系起来，从而 开辟了正规族理论的新的研究领域 1 9 5 9 年，w k h a y m a n 建立的著名不等式启示人们提出如下问题：一个 亚纯函数在m i r a n d a 正规定则的条件保持不变的情形下是否仍保持其正规性? 不久，w k h a y m a n 把它作为猜想正式提出1 9 7 8 年，顾永兴证明了这个猜 想，即若亚纯函数族在区域上一致有f 0 ，厂( 七) 1 ，则函数族在该区域上正 规。人们把它们合称为g u m i r a n d a 正规定则随后人们在此基础上进行研究， 得到了g u m i r a n d a 正规定则的许多改进形式 到2 0 世纪8 0 年代，w k h a y m a n 所提出的几个猜想全部被证实，并获 得了一系列新的正规定则，标志着正规族理论研究达到一个新的阶段在 前言2 函数族正规性的判定上，很长一段时间以来都是采用建立界囿定理，再 应用m o n t e l 定理来实现的直到以色列数学家z a l c m a n 提出了z a l c m a n 弓f 理： 如果函数族不正规，那么就可以在原函数族基础上构造一列函数内闭一 致收敛到复平面上某个非常数亚纯函数，这样就可以用反证法来研究一 些正规族问题但他的这个结果没有能够被广泛和深入的应用，直到2 0 世 纪8 0 9 0 年代陈怀惠、顾永兴、庞学诚等人创造性地改进了l z a l c m a n 的工 作，把l z a l c m a n 的结果与函数导数联系起来，这种方法使正规族理论的研究 进入了一个新天地，它被成为z a l c m a n - p a n g 弓i 理。目前z a l c m a n p a n g z j i 理已 经成为建立函数族正规定则的重要工具。 另一方面，1 9 9 2 年，s c h w i c k 首先发现了分担值与正规族的联系并得到： 若亚纯函数族在区域上一致分担三个判别的复数，则函数族在该区域上正规 随后许多学者在这方面取得了丰富的结果 唯一性理论也是复分析的一个重要组成部分，它研究的是在什么 样的情况下满足所给条件的函数是唯一的上世纪2 0 年代，芬兰数学家r n e v a n l i n n a 利用他本人创立的值分布理论开始了这一领域的研究并取得了一 系列研究成果。他创立的n e v a n l i n n a 五值定理和n e v a n l i n n a 四值定理是这一研 究领域的经典结果，他证明了两个亚纯函数之间的关系可由5 个i m 公共值 或4 个c m 公共值确定。继后，亚纯函数唯一性的理论研究得到了充分的发 展。人们在不断寻求用尽量少的条件来确定函数间的关系，产生了不少研究 课题，如：函数与其导数的分担值的唯一性，分担小函数的问题，分担集合 问题( 即g r o s s 问题) 等等。这一领域的研究在国内外取得了很多有意义的结 果。目前，唯一性理论的研究依然十分活跃，还存在许多问题值得人们进一 步的研究。 本文利用n e v a n l i n n a 理论及相关知识进一步研究了亚纯函数的正规定则 和唯一性问题，得到了一些有意义的结果，改进与推广了前人的一些相关结 果。全文共分四部分。 在前言中，我们对亚纯函数的正规族与唯一性的起源，发展背景以及这 领域的一些研究成果作了简单综述。 前言 3 在第一章，我们给出了本文所须的基础知识：亚纯函数值分布理论方面 的基础知识及常用记号，以及正规族与唯一性的一些基本概念，记号以及一 些基本结果。 在第二章，我们从分担的角度出发得到了亚纯函数的几个正规定则，推 广和改进了徐焱、吴凤琴、廖良文 2 7 】，庞学诚【1 8 】，黄晓军和顾永兴 1 3 的相 应结果。 在第三章，我们利用带权分担研究了关于亚纯函数唯一性的g r o s s i ； 题， 得到一些结果。 第1 章基础知识 4 第1 章基础知识 本章我们给出了本文中要用到的一些基础知识：亚纯函数值分布理论的 一些基础知识和正规族与唯一性理论的一些基本概念和基本结果。 1 1 亚纯函数的值分布理论 亚纯函数的值分布理论是由p i c a r d ，b o r e l ，v a l i r o n ，n e v a l i n n a ，a h l f o r s 等 数学家建立并发展起来的，是上个世纪数学领域中最为杰出的成就之一。自 从上个世纪2 0 年代起，值分布理论就成了研究正规族最为重要的工具。这里 我们将简单地介绍一些值分布理论的基本概念记号以及一些基本结果，详细 内容见w k h a y m a n 1 3 或杨乐 3 1 】。 设厂( z ) 为川 r 内的亚纯函数，0 r r ，口为复数。 定义1 1 1 m ( r ，) = j lf 0 2 丌l 。g + i f ( r e t 口) 嘶，万1 ) = i lf 0 2 l 。g + 南以 其中1 0 9 + z = m a x l o gx ，o ) ，m ( r ，) 也记为m ( r ，o o ) ，m ( r ，南) 也记为仇( r ，o ) 我们用n ( r ，手) 及礼( r ，) 分别表示厂在圆盘 z ：i z l r ) 内的零点个数及极点 个数( 按重数计算) 用元( r ，) 表示不考虑重级的极点个数( 一个重极点只算 作一个极点) 定义1 1 2 m - ( n 击) ：o r 业燮t邮，击) l o 虮 孙翘n 击) = o r 业燮t即，击) 1 0 旷 第1 章基础知识 5 我们用( 7 ，) ，丙( 7 ，) 表示( r ，0 0 ，) ，丙( r ，o o ，厂) 等等 定义1 1 3 t ( r ，) = y ( r ，f ) + m ( r ，) t ( r ，) 称为亚纯函数厂( z ) 的特征函数 定3 ( 1 1 4 设，( z ) 于开平面亚纯，我们定义，( z ) 的级a 为t ( r ，厂) 的级 a = l i ms u p ，- _ o 。 l o g + t ( r ，f ) 定义1 1 5 设，( z ) 于开平面亚纯，口为任意一复数。定义a 对于，( z ) 的亏量 m = l - l i m s u p 错，e 力= 1 - 1 i m s u p 错 下面我们给出仇( r ，厂) 和t ( 7 ，) 的一些基本性质 性质1 1 1 pppp m ( r ，厶) m ( r ，厶) ，m ( r ，厶) m ( r ，厶) + l o g p 性质1 1 2 t ( r ， ) t ( r ，厶) ，t ( n 厶) t ( r ， ) + l o g p t ( r ，) 是7 的非减函数，也是l o g r 的 函数。 定理1 1 1 ( 第一基本定理) 设f ( z ) 是l z i r ( 0 r o o ) 内的亚纯函数，则 对任意的有穷复数a 和0 r r ，有 t ( r ，万1 ) = t ( r ，) + l o g 川+ s ( 。，r ) ， 第1 章基础知识 6 其中c r 是击在原点的展开式的第一个非零系数，而且 6 ( a ，r ) l l o g + j aj + l 0 9 2 定理1 1 2 ( 第二基本定理) 设，( z ) 是 r ( o r + o o ) 内的亚纯函 数，a j ( j = 1 口) 为口( 口3 ) 个互相判别的复数( 可以有一个为o 。) ，若，( o ) 0 ，o 。，q 0 = 1 口) 及f ( o ) 0 ，则 ( 口_ 2 归( r 胚喜( r ，忐w 3 ) 一嘶n j = l 。 其中 g x ( r ) = 2 n ( r ，f ) 一( r ，f 7 ) + ( ? - ，去) ， 余项s ( r ，厂) 具有如下性质： ( 1 ) 当，( z ) 是有穷级时s ( 7 ，) = o l o g r ； ( 2 ) 当，( z ) 有无穷级时s ( r ，f ) = o l o g ( r t ( r ，) ) ) 至多除去一个线性测度为 有穷的集合。 定理1 1 2 ( 第二基本定理的精简形式) 设，( z ) 是 r ( o r + o 。) 内 的亚纯函数，0 = 1 口) 为口( g 3 ) 个互相判别的复数( 可以有一个为) ， 者i f ( o ) 0 ，o 。，( 歹= 1 g ) 及，( 0 ) 0 ，则 ( g _ 2 盹，) 喜斯，点j m n j ；l 其中余项s ( r ，厂) 具有定理1 1 2 中的性质。 定理1 1 3 ( 对数导数引理) 设，( z ) 是 冗( o r + o 。) 内的亚纯函数， 而r f ( 0 ) 0 ，o o ，则当0 r p r 时，有 嘶，等) 0 的。至多 可数并且口6 ( o ，) 2 定理1 1 5 ( m i l l o u x 不等式) 设厂( 名) 为i z i 兄( o 。) 内非多项式的亚纯函 数，七为一正整数若，( 0 ) 0 ，厂( 七) ( o ) 1 ，厂( 七+ 1 ) ( o ) 0 ，则对于o r 冗有 t ( r ，) 霄( r ，) + ( r ，7 1 ) + ( r ，刁砑1 ) 一( n 而1 ) + s ( r ，) ， 其中s ( r ，) = m ( r ，孚) + m ( r ，丛) + m ( r ，菇等) + l 。gi 豇学帮| + 1 。g 2 定理1 1 6 ( h a y m a n 不等式) 设f ( z ) 为l z l r ( o o ) 内非多项式的亚纯函 数，七为一正整数，若f ( o ) 0 ，o 。，厂( 七) ( 0 ) 1 ，厂( 七+ 1 ) ( o ) 0 及 ( 南+ 1 ) ，( 南+ 2 ) ( o ) ( ，( 七) ( o ) 一1 ) 一( k + 2 ) ，( 南+ 2 ) ( o ) 2 0 则对于0 r 盹，时对任意z e 都 有x ( ( z ) ，厂( z ) ) 或x ( ( z ) ，o 。) o 存在= ( r ) ，使得对所有佗 n ，厶( 名) 和，( z ) 在d ( z o ，r ) 内 有相同的零点数( 零点按重数计算) 第1 章基础知识 1 0 定理1 2 6 ( 最大模原理) 设函数，( z ) 在d 内部解析，贝u l f ( z ) l 在d 内任何点 都不能达到最大值，除非在d l 为f ( z ) 恒等于常数 1 3 唯一性 在本节中我们将简单介绍唯一性的基本概念以及些基本结果 定义1 3 1 设，是非常数的亚纯函数，o 是复数，定义集合e ( o ，) 豆( o ，) 如 下： e ( a ，f ) = 倒，( z ) 一a = o ) ， 在集合中m 重零点计算m 次； e ( a ，f ) = ( z l f ( z ) 一a = o ) ， 在集合中所有零点只计算一次。 定义1 3 2 设f ，g 是复平面c 上的非常数的亚纯函数，o 是复 数，若e ( a ，f ) = e ( a ，9 ) ，则称a 是f ，夕的c m 公共值，或称厂和g c m 分 担口；若虏( o ，f ) = 豆( 口，夕) ，则称a 是f ，9 的i m 公共值，或称，和g i m 分担a 。 定义1 3 3 ( 七( r ，击) 表示厂一口的零点重级尼( 计重数) 的计数函数； 瓤七( r ，击) 表示厂一n 的零点重级七( 不计重数) 的精简计数函数； n k ) ( r ，瓦1 ) 表示，一。的零点重级七( 计重数) 的计数函数； 觑) ( r ，击) 表示，一。的零点重级七( 不计重数) 的精简计数函数 定义1 3 4 设k 是一个非负整数或无穷。对一复数a ，我们用鼠( o ，) 表示 的所有a 一值点的集合，这里a 一值点的重级设为m ，如果m 七，则计m 次；如 果m 七，则计k + 1 次。若及( o ，f ) = 毋a ，9 ) ，我们称门铂夕分担值a ，权数为后，记 为厂和夕分担( n ，七) 。 显然，和夕分担( 口，七) 意味着z o 是f 一口的重级为m ( 尼) 的零点当且仅 z o 是夕一n 的重级为m ( 尼) 的零点，并r z o 是f n 的重级为m ( 七) 的零点当 且仅当z o 是g o 的重级为n ( 七) 的零点，这里n 不必等于m 。 第1 章基础知识1 1 很显然，若厂和夕分担( o ，庇) ，则对任意整数o p 七，有门铂夕分担( n ，p ) 。 我们也注意到，和夕分担( o ，o ) 或者a ，o o ) ，即当，和9 各自分担a i m 或者c m 。因 此，一般来说，带权分担是介于m 分担和c m 分担之间大的一种更精细的分 担。 早在1 9 2 6 年n e v a l i n n a 就利用他本人创立值分布理论证明了著名的五值定 理与四值定理，开始了亚纯函数唯一性理论这一领域的研究。 定理1 3 1 ( n e v m i n n a 五值定理) 设f ( z ) - 与g ( z ) 是两个非常数的亚纯函 数，叼0 = 1 5 ) 是互相判别的复数。如果0 = 1 5 ) 是厂( z ) 与g ( 名) 的i m 公 共值，则，兰g 。 定理1 3 2 ( n e v a l i n n a l l t 值定理) 设厂( z ) 与9 ( z ) 是两个非常数的 亚纯函数，叼 = 1 4 ) 是互相判别的复数。如果0 = 1 4 ) 是厂( 2 ) 与9 ( 名) 的c m 公共值。如果，g ，则，= t ( 9 ) 。其中t 是一分 式线性变换，且保持0 = 1 4 ) 中两值不变，将另外两值互调，而且互调 的两值都是厂( z ) 与夕( 名) 的p z c o r d 例外值。 第2 章亚纯函数的几个正规定则1 2 第2 章亚纯函数的几个正规定则 2 1 引言与主要结果 设，夕为区域d 上的两个亚纯函数，设a 为一复数若，( z ) = o 使得9 ( z ) = a ，我们记为f = a 号g = o f = a 兮g = o 是指f ( z ) = a 当且仅当9 ( z ) = a ， 我们称厂和9 分担a 1 9 5 9 年，h a y m a n 【1 2 】证明了 定理a设厂为复平面c 上的超越亚纯函数，口是一个非零有穷复数，则对 于任意正整数n 5 ，7 + o 广取每个有穷复数无穷多次 当n = 3 ，4 时，m u e sf 1 6 给出了例子说明上面结果不成立 叶 3 2 研究了一个类似的问题证明了 定理b 设厂为复平面c 上的超越亚纯函数，o 是一个非零有穷复数，则对 于任意正整数佗3 ，f + a ( f 7 ) n 取每个有穷复数无穷多次 近来，方和z a l c m a n 5 】证明了当n = 2 时，定理b 仍成立 定理c设，为复平面c 上的超越亚纯函数，口是一个非零有穷复数，则对 于任意正整数n 2 ，f + a ( f 7 ) n 取每个有穷复数无穷多次 同时他们也证明了下面的正规族定理 定理d设厂为区域d 上的一族亚纯函数，n 2 是正整数，n ( 0 ) ，6 是两 个有穷复数若对每个f 厂，厂的零点均是重级的，并且在d 内厂+ a ( f 7 ) n b ， 则厂在d 内正规 徐，吴和廖 2 7 】改进和推广了方和z a l c m a n 6 】的上面两个结果，证明了 定理e设，为复平面c 上的超越亚纯函数，o 是一个非零有穷复数，n ，忌是 两个正整数满足n k + 1 , , 贝l j f + 口( ，( 詹) ) n 取每个有穷复数无穷多次 定理f 设厂为区域d 上的一族亚纯函数，o ( 0 ) ，6 是两个有穷复 数，n ，尼是两个正整数满足n k + 1 若对任意f 厂，厂的零点重级至少 是k + 1 ，且在d 内厂+ o ( ，( 惫) ) n b ，则厂在d 内正规 第2 章亚纯函数的几个正规定则1 3 我们考虑在定理f 中，把不取b 的条件改成分担b 的情况，证明了 定理2 1 1设尸为区域d 上的一族亚纯函数，a ，6 是两个非零有穷复 数，n ，尼是两个正整数满足扎k + 1 若对任意f 广，厂的零点重级至少是k + 1 ，且对任意函数厂，9 厂，厂+ o ( ，( 七) ) 竹和夕+ o ( 夕( 惫) ) n 在d 内分3 h _ b ，则户在d 内正 规 1 9 7 9 年，e m u e s 1 6 证明了 定理g 设厂为复平面c 上的超越亚纯函数，则厂2 f 7 1 取每个有穷复数 无穷多次 庞 1 7 证明了 定理h 设歹为区域d 上的一族亚纯函数若对任意厂7 r ，且在d 内厂2 f 7 1 ，则f 在d 内正规 近来，黄和顾 1 3 】中证明了 定理i 设，为复平面c 上的超越亚纯函数，k 是一个正整数，厂2 厂( 南) 取每 个非零有穷复数无穷多次 同时他们在 1 3 中也证明了下面的正规族定理 定理j 设厂为区域d 上的一族亚纯函数，k 是一个正整数，若对每个f 厂，的零点重级至少是k ，2 ，( 知) 1 ，则芦在d 内正规 同样我们考虑在定理j 中，把不取1 的条件改成分担1 的情况，得到 定理2 1 2 设尸为区域d 内的一族亚纯函数，k 是一个正整数，若对任 意函数厂厂，厂的零点重级至少是七，且对任意函数厂，g 厂，s 2 ，( 七) 和夕2 夕( 七) 在d 内分担1 ，则厂在d 内正规 下面例子说明定理2 1 2 中的零点重级的条件是必须的 例1 设k 2 是一个正整数，且厂= 佗z 一1 ：n = 1 ，2 ，3 ，) s ，对任 意厂，g 厂，有厂2 厂( 七) 和夕2 9 ( 七) 在d 内分担1 但厂在原点不正规 设厂为单位圆盘上的一族亚纯函数若，中的每个函数都是q 一正规函 数，则对任意的厂厂，存在正数m ( s ) ，使得对任意的z d 有 ( 1 - 2 ) a 端洲n 第2 章亚纯函数的几个正规定则 1 4 一般地，这里m ( ，) 跟，有关，不能保i j e m ( f ) ，f 厂) 有界如果 m ( ，) ，f 厂1 有界，我们给出下面的定义 定义1 设厂为单位圆盘上的一族亚纯函数，0 q + o o 若 s 训1 制) a 尚：z ea , ，叨 0 ，使得对任意厂厂与z ，有 其中m 仅与a 1 ，a 2 和a 3 有关，即厂为上的一个一致正规函数族 在定理l 的基础上，我们考虑分担两个值的情况下是否成立下面定理证明 了，在附加函数零点重级的条件下，上面结论仍成立，并且我们得到了更一般的 结果 定理2 1 3设厂为单位圆盘上的一族亚纯函数a b a 2 为互不相同的非 零有限复数，0 t ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 第2 章亚纯函数的几个正规定则 1 7 由( 2 2 1 ) 得 ) - 害坐1 9 1 ) n l 芸+ k 踹7 1 , t 出) ， ( 2 2 4 ) 。 ( z 一( z 一屁) + 七趴叫 r 叫 其中g ( z ) 是多项式，易知次数d e g ( g ) k ( 8 + t 一1 ) ， 厅c a ) = a 2 害器芸踹出，= 器 协2 l i t ( 2 2 5 ) n 沪严) ) ，= 等器嘉毒翥引巩 ( 2 2 6 ) 其中9 l ( z ) = a 2 ( 3 m l 一后) ( e o l 2 ) ( ( 一o r s ) 夕( z ) + a 2 ( 3 m 。一南) ( ( 一q 1 ) ( e o l s - 1 ) g ( z ) + + a 2 ( ( 一q 1 ) k q 。) 9 7 ( z ) 】( e 一历) ( ( 一屈) 一a 2 ( ( 一 o z l ) ( ( 一q 。) 夕( 名) x 【( 3 h i + 尼) ( ( 一仍) ( ( 一成) + + ( 3 毗+ 尼) ( e p 1 ) ( e 一 觑一1 ) 】于是d e g ( g x ) ( 七十1 ) ( s + t 一1 ) 下面我们分两种情形： 情形1若函数f 2 厂( 七) 一1 仅有一个零点，不妨设为知可得 疗一瓦簪出) = 器， ( 2 2 7 ) ( 舻) ) ，= f 而熹尊告而而9 2 ( 破 ( 2 2 8 ) 其中f 1 是一个正整数，b 为非零常数，p 1 和q 2 为两个多项式，9 2 ( z ) = ( 1 3 n k t ) z + b t l z 一1 + + b o 情形1 1 l 3 n + k t 由( 2 2 7 ) 可得d e g ( p x ( z ) ) d e g ( q 1 ( z ) ) ，有 d e g ( q l ( z ) ) = 3 + 忌艺d e g ( p l ( z ) ) = 3 m k s + d e g ( g ( z ) ) 3 m k s + k ( s + t - 1 ) ， 可得3 ( m n ) 忌，即m n 由( 2 2 6 ) 和( 2 2 8 ) ，有3 m k s 一8 t 第2 章亚纯函数的几个正规定则 由( 2 2 2 ) 和( 2 2 3 ) ，得到 3 m ( 七+ 1 ) s + t ( 忌+ 1 ) m + n n ，由( 2 2 6 ) 和( 2 2 8 ) ，可得3 m 一尼s 一8 t 类似情形1 1 的讨论，得3 m 3 m 矛盾 则有 可得 情形1 2 2m n 由( 2 2 6 ) 和( 2 2 8 ) 得 z 一1 d e g ( g l ( z ) ) ( k + 1 ) ( s + 亡一1 ) ， 3 n ( k + 1 ) ( s + 亡一1 ) 一后s + 1 ， 3 n ( 忍+ 1 ) s + t - 七外+ 1 ) 警+ 一后( 半+ 1 ) 一七 3 n 矛盾 情形2 若函数f 2 f ( k ) 一1 没有零点我们有( 2 2 6 ) 和( 2 2 7 ) 且f = 0 类似情 形l 的讨论，可得到矛盾引理2 2 3 得证 2 3 定理的证明 定理2 1 1 的证明假设定理不成立，不失一般性，设d = = z ：i z i 0 ) 充分小，使得d ( c b ，j ) n d ( 茹，6 ) = ，其中d ( ( b ，6 ) = ( ：i ( 一( b i 6 ，d ( g ，艿) = 【e ：i e 一茹i 6 ) 由( 2 。3 2 ) 和( 2 3 3 ) ，及h u n i t z 定理，则存在白d ( 白，6 ) ，g d ( 茹，6 ) ，使得 当j 充分大时有 i j ( z j + 乃白) + n ( 乃七( 刁+ 乃白) ) 仃一6 = 0 ， 办( 乃+ 乃g ) + 口( 乃膏( 刁+ 乃g ) ) n b = 0 由条件知，对任意函数，g 芦，有，+ o ( ，( 七) ) n u g + o ( 夕( 知) ) n 在d 上分担6 ，则 对任意整数m 有 厶( 乃+ 乃白) + o ( 群( 乃+ 乃白) ) 竹一b = 0 ， 厶( 乃+ 乃g ) + o ( 露( 乃+ 乃g ) ) n b = 0 固定m ，且注意到当j o o 时，有乃+ 乃白_ 0 ，乃+ 乃够_ 0 ，, - j - 得 厶( o ) + o ( 露( o ) ) n b = 0 第2 章亚纯函数的几个正规定则 2 1 因为厂m ( z ) + 口( 攒( 名) ) n 一6 的零点没有聚点，使得当歹充分大时有 z 七p j 屯= 0 ， z j + p j q = 0 从而 白一薏， q = p 色j 这与白d ( i o ，6 ) ，够d ( 茹，6 ) 且d ( 白，6 ) nd ( 茹，6 ) = 咖矛盾所以口( 夕( 惫) n b 至多有一个零点这矛盾于口( 夕( 七) ) n 一6 至少有两个不同零点从而定理2 1 1 得证 定理2 1 2 的证明 假设定理不成立，不失一般性，设d = = z ：i z i 0 ) 充分小，使得d ( ( 0 ，6 ) n d ( 鲒，6 ) = 妒，其中d ( ( b ，6 ) = ( ：i ( 一白i 6 ) ，d ( 茹，艿) = e ：i e 一鲒i 6 ) 由( 2 3 5 ) ，及h u 刑i t z 定理，则存在白d ( 白，6 ) ，g d ( 鲒，6 ) ，n n _ 当j 充分 大时有 疗( 乃+ 乃白) 乃南( 乃+ 乃白) 一1 = 0 ， 疗( 乃+ 乃g ) 乃知( 乃+ 乃g ) 一1 = 0 由条件知，对任意函数，g 厂，有厂2 厂( 七) 和9 2 9 ( 七) 在d 上分担1 ，则对任意整 数m 有 名( 乃+ 乃白) 滕( 勺+ 乃白) 一1 = 0 ， 名( 乃+ 乃g ) 雕( 乃+ 乃g ) 一1 = 0 固定m ，且注意到当歹_ o 。，有勺+ 办白一o ，乃+ 乃留_ o ，可得 躁( o ) 蝶( o ) 一1 = 0 因为 舄( z ) 磁( z ) 一1 的零点没有聚点，使得当7 充分大时有 z j 七p j c j = 0 ， z j 七p q = 0 白一薏， g 一薏 这与白d ( 如，6 ) ，g d ( 鲒，6 ) 且d ( b ，6 ) nd ( g ，6 ) = 矛盾所以夕2 9 知一1 仅 第2 章亚纯函数的几个正规定则 2 3 定理2 1 3 的证明 假设定理不成立，则存在a ，函数列厶厂，使 ( 1 - i z 1 2 ) a 尚 令 铷( z ) = 厶( + ( 1 一i 1 ) q 2 ) ， r l ，i r a 9 警( 。) = ，1 i r a ( 1 一i i ) 口端= o o 由m 哪定则知， 肌( 名) ) 在名= o 处不正规由引理2 2 1 ，存在点列 靠) c ， 厶_ 0 ，砖_ 0 ，函数列| 鲰) 的子列这里不妨仍记为 鲰) ，使得 g n ( ) = 鲰( 厶+ 砌) = 厶( + ( 1 一l | ) a 矗+ ( 1 一i 1 ) q p n ) 在复平面c 上按球面距离内闭一致收敛于一个非常数的亚纯函数g ( ) 因厂的 零点重级2 ，由h u r w i t z 定理知：g ( z ) r 有重级零点 设g ( 岛) = 吼( 1 i 2 ) ，由于g ( ) 非常数，则根据h u r w i t z 定理，存 在一2 5 0 ，当n 充分大时，使得 即有 g n ( ) = a i 厶( + ( 1 一i 1 ) q 厶+ ( 1 一| i ) n p n 嚣) = a i 由于f = a i 兮f 7 = a i ( 1 i 2 ) ，所以 ( 2 3 6 ) g 幺( ) = ( i i i ) a p n a i ( 2 3 7 ) 第2 章亚纯函数的几个正规定则2 4 故 g 7 ( 如) = i i mg乞(晶)=rl。imo。(1一ii)apnai-+00 = o r t + 从而g ( ) 的n i 一值点均为重值点 我们断言：g ( ) a i ( i = 1 ，2 ) 事实上，若存在岛，使得g ( 岛) = a l ，不妨设岛为g ( ) 的七级口l 一值点，k 2 因为g ( 忌) ( 岛) o ，则存在正数6 ，当o i 一岛i 6 时， g ( 詹) ( ) 0 ( 2 3 8 ) 因为岛是g ( ) 的七( 2 ) 级o l 一值点，由r o u c h 百定理不难得到得：当充分大 时，g n ( 专) 在o 1 5 - 5 0 l 上有忌个口1 一值点再由( 2 3 7 ) 及( 1 - 1 z i ) a p n a l o ，所 以这k 个a 1 一值点均为单值点从而存在 使 靠l ，矗2 ，岛南( 厶t 锄，i 歹) ， g n ( 锄) = a l ，歹= 1 ，2 ，k 又因为 熙g ：( 钿) 5 熙( 1 一训) q p 6 1 2 0 ， r o o 。 r _ o o 所以由( 2 3 8 ) 得 锄一如，j = 1 ，2 ，忌 由于g 幺( ) 一( 1 一i i ) q 肌口l 在悟一面i 内有尼个零点 厶1 ，厶2 ，靠七， 所以岛是g 7 ( ) 的一个七级零点，故 g ( 七) ( 岛) = 0 这与( 2 3 8 ) 式矛盾，所以g ( ) a 1 同理可得g ( ) a 2 第2 章亚纯函数的几个正规定则 f l ：l n e v a n l i n n a 第二基本定理得。并注意到g 只有重级零点，得 t ( r ，g ) ( r ，占) + ( 7 ，召) + 霄( r ，虿) + s ( r ，g ) 丢( r ，占) + s ( r ，g ) 壶t ( r ，g ) + s ( r ，g ) 得 t ( r ，g ) s ( r ，g ) 矛盾 所以g 为常数从而证明了定理2 1 3 。 第3 章亚纯函数唯一性 第3 章亚纯函数唯一性 3 1 引言与主要结果 设s 为一个复数集合，记 e ( s ，) = ue ( a ，ne k ) ( s ，) = ue k ) ( a ，n a e sa e s 在1 9 7 6 年，g r o s s 【8 】提出了下面的问题 问题l是否存在有限的集合s ，对任意非常数整函数，和g ， 若e ( s ，f ) = e ( s ，g ) 有f 三夕? 若上面集合s 存在，自然有下面的问题 问题2 对于上面的集合s 是否存在最少的元素? y i 首先证明了上面的集合 存在目前为止，对问题2 的最好的回答是y i 3 4 ，l i