（基础数学专业论文）莱布尼兹n李代数的中心扩张.pdf

东北师范大学硕士学位论文 摘要 这篇文章主要研究的莱布尼兹n 一李代数中心扩张和有平凡中心的有限维莱布尼兹 n 一李代数的分解唯一性。我们还可以得出内导子代数的可分性，并且得出了以下结果： 定理2 1 设l 为莱布尼兹n 一李代数三，则以下列命题是等价的。 ( 1 ) 上是单连通的，即任意中心扩张止己7 一三是唯一可分的。 ( 2 ) l 是中心闭的，即埘：l 一工是泛中心扩张，若”：l m 是中心扩张，则( 1 ) 与( 2 ) 等价。 ( 3 ) 若u ：三一m 是m 的泛中心扩张，则 ( a ) m 与三是完备。 ( b ) z 乜) = u - i ( z ( m ) ) ，”( z 犯) ) = z ( m ) 。 定理3 1 设彳是有限维莱布尼兹n 一李代数，4 可分解，且a = a ，oa ：，每个彳，为彳 的非零理想，则 ( 1 ) z ) = z ( a 。) o z ( 么：) 。 ( 2 ) 如果z 0 ) = o ，那么d e r a = d e r a lo d e r a 2 ( 3 ) 三( 彳) = ( 彳，) ol ( a ：) 。 定理3 2 设彳是有限维莱布尼兹n 一李代数且有平凡中心，则 ( 1 ) a 可分解为4 的不可分解理想的直和。 ( 2 ) a 的分解是唯一的，即若 a = a io4o 0 彳。， 和 a = b lo 岛o ob s ， a l ，一，a 。与b l 一，b s 是不可分解的，则删，并且4 = e g = 1 , 2 ，神 关键词：莱布尼兹n 一李代数；中心扩张；可分解；不可分解；导子 东北师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , t h ea i mo fu si st os t u d yt h ec e n t r a le x t e n s i o no f l e i b n i z en l i ea l g e b r aa n d t h ed e c o m p o s i t i o na n du n i q u e n e s so ff i n i t ed i m e n s i o n a ll e i b n i z en - l i ea l g e b r a sw i t ht r i v i a l c e n t e r , a n da c c o r d i n gt ot h ed e c o m p o s i t i o n ，w eo b t a i nt h ed e c o m p o s i t i o no fi n n e ra l g e b r a s a n dd e r i v a t i o na l g e b r a sr e s p e c t i v e l y t h e o r e m 2 1 f o ral e i b n i z en l i ea l g e b r alt h ef o l l o w i n ga r ee q u i v a l e n t ( 1 ) l i ss i m p l yc o n n e c t e d i e e v e r yc e n t r a le x t e n s i o n ，l 一l s p l i t su n i q u e l y ( 2 ) l i sc e n t r a lc l o s e d ，i e d ：l li sau n i v e r s a lc e n t r a le x t e n s i o n , i f 配：l m i sac e n t r a le x t e n s i o n ，t h e n ( 1 ) a n d ( 2 ) a r ea l s oe q u i v a l e n tt o ( 3 ) 比：l mi sau n i v e r s a lc e n t r a le x t e n s i o no fm ，i nt h i sc a s e ( a ) b o t hla n dma r ep e r f e c t ( b ) z ( z ) 一u - 1 ( z ( m ) l “( z 伍) ) - z ( m ) t h e o r e m 3 1 ai saf m i t e d i m e n s i o n a ll e i b n i z en l i e a l g e b r a w i t ha d e c o m p o s i t i o n a - a 1oa 2 ，w h e r ee a c ha i i san o n z e r oi d e a lo f a t h e nt h ef o l l o w i n g s t a r e m e n t sh o l d ： ( 1 ) z 0 ) 一z ( a 。) o z 0 2 ) ( 3 1 ) ( 2 ) i f z 0 ) 一0 ，t h e n d e r a d e r a l 9d e r a 2 ( 3 2 ) ( 3 ) l 0 ) 一l ( a ，) o 工0 2 ) ( 3 3 ) t h e o r e m 3 2 l e tab eaf i n i t ed i m e n s i o n a ll e i b n i z en l i ea l g e b r aw i t ht r i v i a lc e n t e r t h e nw eh a v e ( 1 ) a c a nb ed e c o m p o s e di n t ot h ed i r e c ts u mo fi t si n d e c o m p o s a b l ei d e a l s ( 2 ) t h ed e c o m p o s i t i o no fai su n i q u e n e s s ，t h a ti si f a = 40 4o o a ，( 3 1 0 ) a n d a = b 。 g b 2o o b ，( 3 1 1 ) w h e r e a l ，a 。a n db l ，b s a r e i n d e c o m p o s a b l e t h e n m = s a n db ya n o r d e r i n go fs u m m a n d sa i = b i “= 1 , 2 ，m ) 1 i 东北师范大学硕士学位论文 k e y w o r d s ：l c i b n i z en l i ea l g e b r a s ，c e n t r a le x t e n s i o n , d e c o m p o s i t i o n , l n d e c o m p o s r i o n ， d e r i v a t i o n , 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：翁鱼 日期：塑丝绸 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保 存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：亟恐 指导教师签名： 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 一 期： 电话： 邮编： 东北师范大学硕士学位论文 引言 n a m b u ( 1 9 7 3 ) 提出了典型的h a m i l t o n i a n 形式体系的推广理论。在此理论中，p o s s i o n 括号被n 元线性斜对称括号 ，】所代替。而n l i e 代数结构就是一个n p o s s i o n 结构， 也可以把它看作是流形m 上光滑函数的多重导数。在n a m b u 力学系统中，物理学体系的 逐步发展源于n l 函数q ，日c “( m ) ，而可导函数厂c “( m ) 是由等式 矽a f t = 饵l ，一，只- l ，f 确定的。 通过将二元李括号推广n n 元括号，从而产生了一个新的数学结构。而n - l i e 代数理 论和莱布尼兹n 一李代数理论在一些文章中已经做了详细的阐述。( c a s a s ，2 0 0 3 ：；c a s a s e t a 1 ，2 0 0 2 ：d a l e t s k iia n dt a k h t a j a n ，1 9 9 7 ：f i l i p p o v ，1 9 8 5 ：k a s y m o v ，1 9 8 7 ) 众所周知，莱布尼兹代数就是李代数的非交换的情形。( l a d a y ，1 9 9 2 ) ，同样地，莱 布尼兹n 一李代数就是n 一李代数的非交换的情形。n 一李代数和莱布尼兹n 一李代数都是通 过推广李代数和莱布尼兹代数得到的。即从力= 2 的情况推广到n 3 的情况。在推广的 过程中，我们自然想知道从李代数或莱布尼兹代数推广到n 一李代数或莱布尼兹n 一李代 数的一些推广结果。而莱布尼兹n 一李代数的可解性和幂零性已经在一些论文中得到了论 证，本文主要研究莱布尼兹n 李代数的泛中心扩张和分解唯一性，并得到一系列的结果， 更好的补充了莱布尼兹n 一李代数的内容。 东北师范大学硕士学位论文 第一章预备知识 这篇文章主要研究莱布尼兹n 一李代数的泛中心扩张和分解唯一性。我们介绍莱布尼 兹n 一李代数的一些基本概念，参见参考文献 1 ， 6 ， 1 4 。 定义1 i 莱布尼兹n 一李代数是向量空间日上定义一个n 元乘法运算 ，】满足 哺ly 2 ， 。ii l l 骞b 驴 一】。 例子：在f “上定义括积运算i v , ，屹，v 。】：一ux p 2 k ，这里ux v 2x - - 屹是向量积， 屹f “，则f “是莱布尼兹n 一李代数。 定义1 2 在域f 上的莱布尼兹n 一李代数4 的子空间b ，满足陋，b ，曰】b ， 则b 叫做4 的子代数。 定义1 3 如果莱布尼兹n 一李代数a 的子空间i 满足 b 1 ，t - l ，x ，x t + l ，毛】j ，对于vx j ，置，鼍_ 1 ，毛+ 1 ，4 ，其中， z ，么，i 乒j ，i = 1 , 2 ，- ，n ，那么，是a 的理想。 定义1 4 如果莱布尼兹n 一李代数a 的线性映射d ：a 一彳满足：任取毛，讫彳 d ( k ，毛】) 一k ，砚，】，则称d 是a 的导子。所有a 的导子生成了似) 的子 代数，记作d e r 口) 。 定义1 5 映射怒到磊二麓川称为峨舭彳决定的右乘映射。显然 右乘映射是导子，称为内导子。l ( a ) 表示由所有内导子构成的集合。 2 东北师范大学硕士学位论文 第二章莱布尼兹n 一李代数的中心扩张 定义2 1 设是一个莱布尼兹n 一李代数，子代数 z 伍) ； x 么忙。，x “，x ，毛小x 。】= 0 ，x ，e l ，i - j , i = 1 ，2 ，托 称为l 的中心。 定义2 2 设工。，l ：分别是莱布尼兹n 一李代数，如果线性映射，：l 。呻工2 满足 ，b ，】一 厂b 。l ，厂g 。) 】，那么，称为从厶到三2 的同态。 定义2 3 设0 呻， k 厶l 呻0 是莱布尼兹n 一李代数的一个短正合列，如 果k e qcz 似) ，那么短正合列称为l 的中心扩张。 定义2 4 从扩张，k 呻三到扩张厂：k 呻三的同态是莱布尼兹n 一李代数同态 g ：k 呻k ，只须满足厂一厂鲁， 并且下列图表可交换：特别地 k e r gcg - 1 恤盯) = k e r r ，k = g ( k ) + k e r r 。 定义2 5 设鼻k - 工是莱布尼兹n 一李代数的扩张，如果存在莱布尼兹n 一李代数 的个同态s ：l k ，使得扣一尉。，那么扩张称为可分的，并且s 称为分裂同态，如 果存在唯一s ：l _ k ，且声一i d l ，那么我们称扩张唯一可分的。 定义2 6 设厂k 呻l 是莱布尼兹n 一李代数的中心扩张，若k 是完备的，即 k - k ，k ，k 】，则称k 为覆盖。 定义2 7 若存在唯。一的同态，从“：m l 到厂k 呻l ，则中心扩张“：m _ l 称为泛中心扩张， 引理2 1 设正k 寸l 是莱布尼兹n 一李代数l 的中心扩张， 1 东北师范大学硕士学位论文 ( 1 ) 若，k ) 一，k ) ，kj = 厂kj ，则k ，疆，辑，j = k ，一癌，一菇，一泛j ，其中 i _ 歹，i 、，= 1 2 ，厅，z i ，x ：，x ，x ；k 。 ( 2 ) 看g 和g 是从莱布尼兹n 一李代数p 到k 的两个同态，且，g 一唐，则 g k 】一g ，l 【，一廿】，特别地，从覆盖p 一工到中心扩张厂k 呻三至多存在一个同态。 证明： ( 1 ) 由，k ) ；，k ) ，b ) 厂k ) 得t t ek c r ，石，一石；ek c r ，设 x ；= x i + 毛，石；一z ，+ z ，其中毛，z e k e r j ecz ( k ) , i 一，i 、j 一1 ，2 ，忍。贝u i x ：，x ；，j = i x l + z 。，薯+ z ，x ，+ z ，邑+ z j = k 。，x ；+ z ；，石，+ z ，吒+ z 。j = b 。，z ；，z ，+ z ，石。+ z 。j = b ，z ；，工，以+ z 。j t b ，工；，x ，x 。j 。 ( 2 ) y x ；，z ，p ，i - _ ，i 、j 一1 ，2 ，行，g b ；) ，g b ，) k 。 由f g 一居7 得 ，k b ；) ) = s ( g7 b ；) ) ，厂k b ，) ) = ，b b ，) ) ，由( 1 ) 得 g 性，耵，t ，毛j ) = 龇) ，一如h 如h 如) j k b ，) ，g b ；) ；，g b ，l ，g b 。) j = g ( 1 ：h ，而，x ，x 。j ) 。 故g l 【p 一】一g i p 丹廿】，因此p 是完备的，gp g i p ，即从p 到k 至多存在一个同态。 引理2 2 设厂k 呻工是完备莱布尼兹n 一李代数的中心扩张，则以下四个命题成 立： ( 1 ) k k ，k ，k + 矿且厂k ，k ，k - l 是覆盖。 ( 2 ) z ( k ) 一，一1 ( z ( ) l ，( z ( k ) ) 。z ( ) 。 ( 3 ) 若g ：l _ m 是莱前i 尼兹n 一李代数m 的中心扩张，则驴k 上l 山m 也是m 的中心扩张。 ( 4 ) 若厂：k 一是梭，矗，g ：k k 是中心扩张厂k l 到【 l 心扩张 东北师范大学硕士学位论文 i 。：k7 一 ( i q l 州念，【 | j 罔农i ，交换。 k 厂l i ， 则譬：k k ，i c i il - 心 ) 张。 “i l j ：( i ) l j 后i + 店! ，吡| j 肼= ，+ j ) = ( ，群7 ， = ( ) 。 这l 西匹a u l ( a ) 。欢ga u t ( a ) k l l j 二肝，j j 址办a u ( a ) ，政彳，( 。4 ) 刈j ：r 7 7 2 时，令少= ，则妒，九止i i a 的a i id 念i1 妒+ 痧。= 肼， i f l if l ：j 泔沦，我f i j 仃谚， a u t ( a ) ，或a m ( a ) 。根 l i ：，j 旧j ：) = | | 谚”a m ( a ) ，t 1 a u t ( a ) i i j ， 占然，以1 ，谚。 1 此足a 的4 一i ，l | i i4 念1i 矽，= i d ，9 ，i 自i j f i 爱；殳雀 仃i ：，仪! f ：j ，吵，42 ，( 1 ) ，i k lj j i ：矽，a u t ( a ) ， 定理3 2 设，4 址仃瞅维浆斫jh 勉i i 拿代数i | 仃、l j 、【l h 心，l j ! l j ( 1 ) ai i j 4 分解为i 的小i j 分解圳恕| ，| 勺i f 和， ( 2 ) al r f 1 。 令万： a a ，址投哆i 映射，j ：1 1 仃：a l - - +a ：址投彩i1 f | f 埘，改p ：a _ b 。为投影影射j ：l l _ f 。：1 3 一a 足投彩ii 坼射， 贝l j 丌，p | ，一，p 一( 1 s ) 足a 的a l ，l i i i d 念，1 t p 。+ ，) 2 ，p ，= i d ? 。 令万：= 丌r ，= 厅 ，。：e 。4 p = p ，仃= p 1 ：彳，寸b ，( j = i ，j ) 。 对j ：任意x l ，x 。a 万j k ，一，】= n - p ，b ，一，一，】 = k ，即，( ，卜一，】 = b i - 一，万+ p j ( 一) ，“j ， ! j ! l j7 r ? p j 址a ；的彳，r lm 念，j e tl i = l ，s ，眠a ，l 畎则b 露：a - - - a ， ，l f 兰r ，夕，( x ) 1 ：芝f ，p ，g ) 姓 彳 的 么一| ，l 州念 ，l 火1此 f 1 ，。l 万f毒r仃：喜刀_善筇pt怂刀lflt，-，一|，l川念。i 卜 ，i，1 对j ：v a a ，删j 。甜= 万- ) = 乃i p ( 口) l - 历j p j 0 ) 娃l j 万? p ，= 耐l ，| i ，：i ，7 if - i 知仃化i 使得丌j p j a u t ( a ；) ，如粜我1 f j 逝1 硼帑b b 、| r l 勺顺睁，! j ! i ji = 1 时， 石ip i 彳甜，( 彳) ，j ：址p i ：a l 一线址舣身j ，。砹a 。= a ? o ，o i 。，b = b ! o ，o 口、， 抛oz ( a ) = z ( b + ) = 0 ，a = z ，( 爿。) ，f ：z ，( 塌) 互)