（基础数学专业论文）分形介质上的分数次扩散方程.pdf

复旦大学硕士学位论文 x 6 5 1 5 0 5 摘要 我们推导了一个外力场下的高维分数次扩散方程，用来描述分形介质 上的传输现象。对于常数势和一般势的情形，我们给出了方程的解，并讨 论了解的渐近行为。 关键词：扩散方程，r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数次导数，渐进行为 a b s t r a c t w ed e r i v e dar a d i a lf r a c t i o n a ld i f f u s i o ne q u a t i o no fh i g h e rd i m e n s i o n i n v o l v i n ge x t e r n a l f o r c ef i e l d sf o rt r a n s p o r t p h e n o m e n a i nf r a c t a lm e d i a t h e s o l u t i o no ft h i se q u a t i o nf o rc o n s t a n ta n d g e n e r i cp o t e n t i a l si so b t a i n e da n d t h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h es o l u t i o ni sd i s c u s s e d k e y w o r d s ：d i f f u s i o ne q u a t i o n ，r i e m a n n l i o u v i l l ef r a c t i o n a ，1d e r i v a - t i v e s ，a s y m p t o t i cb e h a v i o r 壹噼幅鬻、飘断j 蔼守 第一章引言 扩散现象在物理学中属于非平衡态统计力学的范畴。扩散现象是一种 常见的物理现象，例如将一滴墨水滴入一杯纯挣的水中。如果我们将墨 水想象为由很多粒子组成，那么每个粒子都在水分子的作用下作b r o w n 运 动。b r o w n 粒子是比分子大几十万倍的粒子，它的直径约为1 0 “米。它 像一个巨分子悬浮在流体中，其运动速度要比一般分子的运动速度小 得多。假设粒子是球形，可以计算出在液体中的b r o w n 粒子每秒钟受到 分子的碰撞次数是1 0 1 9 次。在这样频繁的碰撞下，b r o w n 粒子的瞬时运动 是无法观察到的，在显微镜下观察到的只是在宏观短时间内的平均运 动，b r o w n 粒子的位移不过是一种剩余的涨落而已。因为这些涨落我们 无法确切的知道粒子的位景，但粒子在某一区域内出现应该有相应的概 率。f o k k e r - p l a n c k 方程帮助我们确定了这个概率。f o k k e r - p l a n c k 方程最初 也是应用于对b r o w n 运动的理论解释。它的形式如下： o p r ( x , t ) ：l f p p ( 。，) ( 1 1 ) 挑 、1 。7 、7 这里，p ( x ，t ) 表示时刻t 时扩散质点在位置茁的概率密度，f p 算子定义为 幻r = 杀( 鼍鲁+ 尬嘉) c t 固 其中y ( z ) 代表外势，它与外力的关系为f ( 。) = 一v ( 。) ，m 表示扩散质 点的质量，卵1 表示扩散质点与扩散介质之间的摩擦系数，蜀表示扩散 常数。f o k k e r - p l a n c k 方程所描述的是根源于微小的因素的涨落。它是一 个广泛应用的方程，可以用b r o w n 粒子为例来推导，但不仅仅限于解 释b r o w n 粒子的情况。 】 复旦大学硕士学位论文 2 方程( 1 1 ) 所描述的还是规则扩散的情形，如果扩散介质是分形，即在 不规则扩散的情形，我们如何进行描述? 事实上，不规则扩散是更为普遍 的情形，在大量的系统，如液晶，聚合体，蛋白质，生物高聚体，有机 体，甚至是生态系统中都有相应的例子 5 】i s 。不规则扩散首先被人们知道 是在1 9 2 6 年r i c h a r d s o n 关于湍流扩散的论文【1 中。在输运理论中它的研究 从上个世纪6 0 年代开始。特别要提到的是，s c h e r 和m o n t r o l l 对不定形半导 体色散传输的理论描述使得不规则扩散的理论研究得到广泛的关注 2 一 4 o 不规则扩散的特征是它的均方位移有如下的形式： r 2 三( r 2 ( t ) ) 一t 7 ，0 ，y 1( 1 3 ) 这里r ( t ) 表示质点在时刻离开t = o 时刻的位置的径向距离。当7 = 1 时，它 描述的是规则扩散。 由于复杂介质几何结构上的限制，在分形介质上的扩散显示出许多不 规则性质。这种限制表现为介质的空间相关性，这种相关性在整个度量尺 度上导致了均方位移在整个时间尺度上的随机游走的不规则行为。 人们希望建立理论来解释概率密度p ( r ，t ) 的渐近性质。概率密 度p ( r ，t ) 有如下的渐近性质： l o gp ( r ，t ) 一一c o n s t ( r r ) “ ( 1 4 ) 这里r r 1 ，t 叶o 。，= 2 ( 2 一，y ) 。更精确地说，它服从扩展的高斯分 布： p ( r ，一州2 ( 孟) 6e x p - c o n s t ( 主) ”) ( ) 这里r r 1 ，t 斗o o ，6 是一个待定的参数，让= 2 ( 2 7 ) ，由是所考虑 的分形介质的分形维数。 不规则扩散已有的模型包括： ( 1 ) 分数次的b r o w n 运动f 9 1 - 【1 0 】，( 2 ) 推广的扩散方程 1 l 】， ( 3 ) 连续时间随机游动模型 1 2 ， ( 4 ) l a n g e v i n 方程 1 3 ，( 5 ) 推广的l a n g e v i n 方程 14 】，( 6 ) 推广 的m a s t e r 方程【1 5 】，( 7 ) 推广的热统计力学 1 6 】。 复旦大学硕士学位论文 近来，为了描述不规则扩散过程，一些学者推广j f o k k e r - p l a n c k p 亨程，得到了分数? 次f o k k e r p l a n c k 方程 17 j f 2 5 】。在参考文 献 19 中，m e t z l e r 等人给出了一个基本的框架，并且讨论了有外力场 情形下不规则扩散的衰减。他们讨论的是一维分数次f o k k e r - p l a n c k 方程： t o p ( x , t ) = 。蛾1 - - y f p p ( z ，t ) 这里f p 篑i ：子 ( 1 6 ) l r r = 未( 焉暑+ 畅未) c ， 外力和外力势有如下关系：f ( x ) = v ( 茁) ，仉表示不规则摩擦系 数，j 0 表示不规则扩散常数，并且根据分数次导数的定义有 。才牡丽1 新打葶转， ，( i s ) 可见方程( 1 6 ) 是一个积分微分方程。分数次导数算子( 1 8 ) 是一个卷积， 其核以幂法则衰减，这与复杂系统的记忆效应相符合。容易看到当1 - 1 时，方程( 1 6 ) 简化为标准的f o k k e r - p l a n c k 方程( 1 1 ) 。 运用m i t t a 廿l e f h e r 函数，在初值条件为 边值条件为 p ( x 一。，0 ) = 6 ( 。一。) l i m p ( x ，t ) = 0 士o o 7 的情况下，方程( 1 6 ) 的解可以表示成如下1 19 ： p ( x ，t l x ，o ) = e 4 。w 2 一。7 2 e 九( 。) ( z 7 ) 马( 一a 。t 7 ) ( 1 9 ) 这里垂( z ) = y ( z ) m 仉】，砂。( z ) 是h e r m i t i a n 算子l = e - e l f p e 。的特征函 数，l 和三f p 有相同的特征值a 。并且它们按升序排列，即o a o ， a 1 ，7 1 的情形，方程( 1 1 3 ) 的解p ( r ，t ) 在 原点不总是奇异的。在特定的条件下，它可能是正则的。 第二章预备知识 这里主要介绍一下r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数次积分和微分的相关知识。 定义2 1 ：让妒p ) l 1 ( o ，。积分 e 酬= 高z 2 蒜出 z n ( 疆洲= 丽1z 6 拦浩戤 z 0 ，称为阶数为。的r i e m a 衄l i o u v i l l e 分数次积分，简称乜阶的分 数次积分。 分数次积分有如下些简单的性质： 如果q 是一个反射算子，b p ( q v ) ( x ) = 妒( o + b 一茹) ，那么有如下的简 单关系： q z ；5 = 瑶q ，q i 。q 一= 强q 分数次积分的分部积分公式如下： b f l z ) ( 强纠( 工) 妇= 6 砂( 石) ( 驻妒) ( 茹) 如 其中妒( 茁) ，妒( 茁) l - ( ，b ) 。这个公式只要交换积分次序就可以得到证明。 下面的性质也成立； i 备l ! 。【p = 畦譬截中， 各1 2 一节= l 譬艘妒 定义2 2 给定区间( 。，中的函数，( z ) ，下面的表达式 ( 吲) = 南鑫，。器咄 ， 星星盔芏亟圭芏堡垒塞 7 ( 则) _ 南丢z 6 器砒 ， 其中0 n 1 ，称为阶i 拘r i e m a n n l i o u v i l l e 分数次导数，简称为阶的分 数次导数。 如果。芝1 ，我们用表示血的整数部分， 口) 表示它的小数部分， 1 1 0 o ) 1 ，且成立n = m + ) 。那么d 苒，d 各，的定义如下： d 髯，= ( 鑫) m d 黔= ( 盖) 陋h 1 蒯。， d ，= ( 一五d ) 嘲：，= ( 一忑d ) “1 一- - 我们可以得到： 当，( z ) = 扛一n ) 。一，k = 1 ，2 ，1 + i o 】时，( d 知，) ) 三0 分数次积分和分数次导数有如下的关系： ( d 备，) 扣) = ( 强) “， 第三章外力场下的高维 分数次扩散方程 r 曲我们先运用g i o n a 和r o m a n 的万缓推导外力场f 的高维分数次扩 散方程。 高维情形下标准的有外力场的径向扩散方程可以表示成： 可o p ( r , t ) = d 两1 萨0 ，a - 1 瓦0r ”、, r ，t ) ) 一“r 去_ l o ( r a - t f ( r ) p ( r ，t ) ) ( 2 1 ) 为了计算的方便，我们把方程( 2 1 ) 写成如下形式： a p 鬲f f , 一t ) ：l f p p ( r ，) ， ( 2 ，2 ) 矾 。” 、， 这里 f p ( 石o + 了d - 1 ) ( 。丽。一例r ) ) ( 。3 ) 首先，我1 r e 明方程( 2 1 ) 可以表达成类似于方程( 1 1 1 ) 的形式，即 在方程的右侧只涉及空间变量r 的一阶导数。我们把整个扩散过程考虑 为分形系统的输入输出( 参考 3 4 d ，概率流s ( r ，t ) 的总流量和平均概率密 度p ( r ，) 的关系应该是：( 参考【2 9 】) t s ( r ，r ) 打= z k 。一r ) p ( r ，r ) d ， 这里k ( ，r ) 被看成扩散核。因为我们考虑的是平稳过程， 是0 7 ) 的函数，& p k ( t ，7 - ) = k 0 一r ) 。概率流s ( r ，f ) 为： s ( r ，t ) = 一( 未+ 等- 一2 f ( r ) ) p ( r ，t ) ， 8 ( 2 4 ) 因此k ( t ，r ) 仅仅 ( 2 5 ) 复旦大学硕士学位论文 这里一= i ( d 一1 ) ，一。= 括。 在l a p l a c e 域内，方程( 2 。4 ) 和( 2 5 ) 可以写成： s ( r ，s ) = s k ( s ) p ( r ，s ) 蜘) 一( 昙+ 等咱聊) ) p ( r 】s ) 由上两式可以得到： 如啪) ：d s 2 舻( s ) p ( r s ) ( ，+ 端) 这里 量( r ) = ( 筹飞( r ) ) 一( 了t 1 一t z 2 f ( r ) ) 2 ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 方程( 2 8 ) 与方程( 2 2 ) 的l a p l a c e 变换工f p p ( r ，8 ) = s p ( r ，s ) 比较得到渐近表达 式k ( s ) 一8 1 2 ( 当h _ 时) 。用反l 印1 8 c e 变换得到扩散核的表达式： k ( t r ) 2 芒耘 ( 2 1 0 ) 这里a l 是常数。由上式以及分数次积分的定义，我们从方程( 2 4 ) 得到了需 要的方程： 堡告弓芝盟= a ( 杀+ 等一一。f ( r ) ) - p ( r ，n ( 。，) 这里c 是常数。在无外力的情形时，方程( 2 1 1 ) 与方程( 1 1 1 ) 相一致。 对于不规则扩散的情形，我们假定质点在分形介质上扩散( 分形介质 在 3 5 中是自相似集而在【3 6 ，3 7 】) 中是网分形) 。概率流s ( r ，) 的总流量和 平均概论密度p ( r i 吩的关系应该是( 参考f 2 9 】) ： t s ( v d t = r d l - 1 z 邵刊砷，丁) d r ( 2 - 1 2 ) 这里嘶是分形介质的维数。分形介质上的扩散核可以表示为： ( 一r ) 2 云斋 ( 2 1 3 ) 9 复旦大学硕士学位论文 其中a 是扩散系数且o 0 ，上面的q ( s ) 可以确保p ( r ，) 的正规化条件成立。 由( 2 2 1 ) 有： p ( r ，s ) = g l s “1e x p 一g 2 s 。r 1 + ) ，( 2 , 2 3 ) 其中 = 口( d ，k 1 ) ( 14 - 目7 ) 一l( 2 2 4 ) 目 ( 1 + ) 1 ( d l 一1 ) ( 1 + 8 “n 1 嘶一丽万j 砑可而丽蒋石丽丽嘞瓦币万 从方程( 2 2 3 ) 容易得到： 一_ r 2 p ( r 1s ) 打= g 3 s ( ， 这罩 ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) g 3 _ 鬻篆赭帮 g ( 1 + 明】2 叶即，卜( + 丽2 0 l ) ( 2 2 7 ) 复旦大学硕士学位论文 因为口= 7 ( 1 + 口7 ) 2 ，方程( 2 2 6 ) 的逆l a p l a c e 变换表明均方位移( r 2 ( t ) ) 正比 于一7 ，即不规则行为f 1 3 ) 成立。 运用参考文献【2 9 ，3 1 d p 的同样的方法，由( 2 2 3 ) 我们得到当r 兄 1 ，t - - 4 时概率密度的渐近形式：( 参见附录a ) 砥的t - t a s l 2 ( 麦) 6 e x p 一c o n s t ( ) 江。s ) 其中 u ，= 志，肚u ，f 孚一南】 ( 2 z 。) m ( 2 2 8 ) 我们有 l o gp ( r ，t ) 一一c o n s t ( r r ) “ ( 2 3 0 ) 如果= 0 ，那么珏= 2 ( 2 7 ) 。正如我们所需要的，方程( 2 2 8 ) 和( 2 3 0 ) 分别与方程( 1 5 ) 和( 1 4 ) 相- - 致。 让我们讨论p ( r ，t ) 在原点r = o 的行为。在参考文献【2 0 】中，b a r k a i 等j t 指出当r _ 0 时维数为d 的分数次f o k k e r - p l a n c k 方程的解有渐近行为： f 丽南驴 忙l 尸( r ，t ) 一 赤l 。g ( t 7 2 r ) d = 2 ，( 2 3 1 ) i 南， 从中可以看出r = 0 在d = 2 ，3 时是奇点。对于我们得到的分数次扩散方 程( 2 1 5 ) ，当r r 1 ，r 斗。时，我们有( 参见附录b ) ： p ( t ，t ) 一r l t - 7 ( a 一1 ) 2( 2 3 2 ) 注意到托。由下式决定： 尼。：避 ( 1 + )( 2 3 3 ) 这样才可以保证= 0 【2 9 。 在一维情形，众所周知7 和d ，不能超过1 。因此，c i 0 ，这可以推 , q a , p ( r ，t ) 在r = o 非奇异。特别的，对于规则扩散的情形，我们有1 ：1 1 2 星望丕堂亟堂笪趑 1 3 和d ，= d = 1 。这意味着k 1 = o ，( 2 3 2 ) 退化为标准扩散情形。在高维情 形，也有可能7 d ，1 ，因此方程的解在原点不总是奇异的。 情形二：一般势 接下来，我们讨论一般势的情形，即： y ( r ) = b o l o g r + b k r ( 2 3 4 ) k = o 将方程( 2 3 4 ) 代入( 2 2 0 ) 我们得到： 砷，s ) = q ( s ) r “e x p 一( 晶一矿怕墨o b k r k ) ( 。s s ) 这里尤= k 1 + a 2 b o ，且 ) = 邛舞；丽 ( 2 。e ) 保证了p ( r ，) 的正规化条件。其中 = 害，礼= 。，。，c o = i i 西可 轳掰【g ( 1 删静， 2 一 系数a z 由下式决定： 它们的前两项是 妻n = o 去( 妻k = ok r ) “= 妻n = o n ，( z 肿) a 。= 1 + k 2 6 0 + 西1 ( 厅2 6 0 ) 2 + = e k 2 b o ， 0 口l 2 托2 6 l + 云k ；6 1 + 童5 i 磅6 1 + 一 ( 2 3 8 ) 由方程( 2 3 5 ) ，( 2 3 6 ) 得到 f o 。r d l - 1 r 2 p ( r ，s ) 打一s e ，e = ( 2 3 9 ) 因为n = 7 ( 1 + o ) 1 2 ，通过逆l a p l a c e 变换可知它与不规则行为( 1 3 ) 一致。 星星苤望塑堂丝鲨塞 1 4 让我们从方程( 2 3 5 ) 来讨论p ( r ，t ) 的渐近行为。注意到a = 7 ( 1 + e ) 2 方程( 2 3 5 ) 可以写成： 啪0 ( r 矽删2 飞p 卜嵩 _ f 1 + 三o o 如1 ，2 】( 2 4 。) 其中 0 0 庐o ( r ) = c oe x p - k 。b k r ) ，( 2 4 1 ) k = o d i = 一r l ， d n = 一( d 一1 ) r l + d ( n 一2 ) r 2 + + d l r ( n 一1 ) + r n ) 因此当h l 时 啪川。，( d r - ) 2 - 1 r - a e x p 一嵩 ( 2 4 2 ) 类似于附录a 中的讨论，我们得到当r 兄1 ，t - 。时 这里 那么也就有 聊川一t - t a l 2 州( 主) 6 e x p 一c o n s t 钍，：。氅 7 ( 1 一o l ) ( ) ( 2 4 3 ) d l = u t ( t d f 。- 1 一南) ， ( 2 - 4 4 ) l o g p ( r ，t ) 一一c o n s t - ( r 固 这正我们所需要得到的。 当r r 1 和r _ o 时，我们从( 2 4 0 ) 得到 ( 2 4 5 ) p ( r ，t ) 一r 一8 t 一7 ( 4 一) 2 ( 2 4 6 ) 第四章结论 在本论文中，我们介绍了高维情形下有外力场的分数次扩散方程： 掣= 曲卅( 茅+ 等呻f ( r ) ) 啪) 这个方程很好地描述了分形介质上的不规则扩散。与此方程相关的均方位 移满足不规则行为( 1 3 ) 。这个方程不同于分数次f o k k e r - p l a n c k 方程，由于 它的右侧只涉及空间变量r 的一阶导数，它的解更容易得到。它的解具有如 下的性质： 当r r 1 ，r _ + 0 0 时解的渐近行为服从扩展的高斯分布，这不 仅对于常数势成立，而且对于一般势也成立。我们也证明t l o g p ( r ，t ) 一 - c o n s t - ( r r ) 一是普遍成立的。如果0 = o 且“= 2 ( 2 一，y ) ，解的对数渐 近行为与( 1 4 ) 致。 当r r 1 ，r _ o 时，我们也得到了相应的渐近行为p ( r ，t ) 一 r ”t 1 ( 4 广5 ) ，( 1 彬) 。在参考文献 2 0 】中提到在二维和三维的情形下分数 次f o k k e r - p l a n c k 方程的解在原点是奇异的。而我们证明t p ( r ，t ) 在原点不 总是奇异的。这依赖于分形维数d s 和j v 规则指数，y 。 对于常数势和一般势来说都存在一个本质性的关系2 口= 7 ( 1 + 0 ) ，我 们知道口和，y 是与分形介质的结构相关的参数，d 可以被明确地确定。f 见参 考文献【3 5 】- 【3 7 】) 1 5 复旦大学硕士学位论文 附录a 我们通过把方程( 2 2 8 ) 掣 j l a p l a c e 变换和方程( 2 2 3 ) 进行比较来确定， 6 。方程( 2 2 8 ) 的l a p l a c e 变换 竹纠上o o 一枷) 2e x p - c r * t m 2 - s t ) d t ( a 1 ) 可以用最速下降法来估计其结果。 令u ( t ) = c r ”t 一1 “2 + s t ，设t o 使得u ( t ) 取最小值，由最速下降法的理 论，当趋近于t o 时( a 1 ) 的值是其主要项。因此，我们得到 如一( 刍) 。舳+ 2 ( a 2 ) 而目。 u ( t 。) 一s ( 嘉) 2 “ 孙，( t 。) 卅( 嘉) 7 “脚嶂2 ( a 3 ) 展开“( ) 到二阶项 一t o ) 2 ，( a 1 ) 变成了 p ( r ，s ) r t i ( d ，+ 2e x p ( 一u ( t 。) ) 厂e x p 一u ，( 。) o 一如) ：2 ( a 4 ) j 0 因此把( a 2 ) 和( a 3 ) 代入( a 。4 ) ，我们得到 p ( n s ) g l r ( 品) d ，+ f 7 + 2 e x p ( 7 u 一2 s ( 1 “+ 2 ) r 2 ( + 2 ) - r - 州2 ( 刍) 呐4 ) 阶卅2 ) 1 ( a 5 ) i e q a c l ，q 是常数。比较( 2 2 3 ) 矛h ( a 5 ) 的指数部分可以得到 儿志，拈钍( 掣一1 7 “d ) ( a 6 ) 我们注意到如果= 0 ，就有 拈历2 ，刊 掣咱 ( a 7 ) 在无外力的情形，它与参考文献 2 9 】中的结果一致。 1 6 复星丕堂堑圭堂焦鲨塞 1 7 附录b 如果r 1 ，将方程( 2 ，2 3 ) 作t a y l o r 展开，我们得到 咖) = g r - a l 宝刍f i 篙 n s 耐e n = o 、， 方程( b 1 ) 的逆变换是 p ( r ，t ) 酽1 薹嘉c 高，“篙昌 因此当r r 1 ，r _ + o 时，p ( r ，圳安照下述方式衰减： ( b 1 ) ( b 2 ) p ( r ，t ) 一r t $ 1 t 一。( 8 ，1 ) ，( 1 + ) = r - n l t t ( 4 ，) ，2 ( b 3 ) 参考文献 【1 】l f r i c h a r d s o n ，p r o c s o c 11 0 ( 1 9 2 6 ) 7 0 9 2 h s c h e r ，e w m o n t r o l l ，p h y s r e v b1 2 ( 1 9 7 5 ) 2 4 5 5 3 】g p f i s t e r ，h s c h e r ，p h y s r e v b1 5 ( 1 9 7 7 ) 2 0 6 2 【4 】g p f i s t e r ，h s c h e r ，a d v p h y s 2 7 ( 1 9 7 8 ) 7 4 7 f 5 】s h a l v i na n dd b a v r a h a m ，a d v p h y s 3 6 ( 1 9 8 7 ) 6 9 5 【6 】m b i s i c h e n k o ，r e v m o d p h y s 6 4 ( 1 9 9 2 ) 9 6 1 【7 】a b l u m e n ，j k l a f t e r ，a n dg z u m o f e n ，i no p t i c a ls p e c t r e sc o p yo f g l a s s e se d i t e db yi z s c h o k k e ( r e i d e l ，d o r d r e c h t ，1 9 8 6 ) 【8 】8 g a l o s aa n de r w e i b l ，f r a c t a l si n b i o l o g y a n d m e d i c i n e ， b i r k h a u s e r ，b a s e l ，1 9 9 3 【9 】b b m a n d e l b r o t ，t h el 弛a c t a lg e o m e t r yo fn a t u r e ，f r e e m a n ，n e w y o r k ，1 9 8 3 1 0 j f e d e r ，f r a c t a l s ，p l e n u m ，n e wy o r k ，1 9 8 8 【1 1 】b o s c h a u g n e s s zi p r o c a c c i a ，p h y s r e v l e t t ，5 4 ( 1 9 8 5 ) 4 5 5 【1 2 】j k l a f t e r ，m f s h l e s i n g e r ，g z u m o f e n ，p h y s t o d a y4 9 ( 2 ) ( 1 9 9 6 ) 3 3 1 3 h c f o g e d b y ，p h y r e v l e t t 7 3 ( 1 9 9 4 ) 2 5 1 7 1 8 复星盔堂塑堂熊逖 1 9 【1 4 k g w a n g ，m t o k u y a m a ，p h y s i c aa2 6 5 ( 1 9 9 9 ) 3 4 1 1 5 】v m k e n k r e ，p h y s l e t t a6 5 ( 1 9 7 8 ) 3 9 1 1 6 】c t s a l l i s ，d j b u k m a n ，p h y s r e v e5 4 ( 1 9 9 6 ) r 2 1 9 7 1 7 r m e t z l e ra n dj k l a f t e r ，p h y s r e p 3 3 9 ( 2 0 0 0 ) 1 1 8 r m e t z l e r ，j k l a f t e r ，a n dl s o k o l o v ，p h y s r e v e 5 8 ( 1 9 9 8 ) ，1 6 2 1 1 9 】r m e t z l e r ，e b a r k a ia n dj k l a f t e r ，p h y s r e v l e t t e r s8 2 ( 1 9 9 9 ) ，3 5 6 3 【2 0 】e b a r k a i ，r m e t z l e ra n dj k l a f t e r ，p h y s r e v e 6 1 ( 2 0 0 0 ) ，1 3 2 2 1 t a b l e s o f i n t e g r a lt r a n s f o r m s ，e d i t e db ya e r d e l y i ，b a t e m a n m a n u s c r i p tp r o j e c tv 0 1 i ( m c g r a w h i l l ，n e wy o r k ，1 9 5 4 ) 2 2 】s a e 1 一w a k i l ，a e l h a n b a l y ，m a z a h r a n ，c h a o s ，s o l i t o n sa n df r a c t a l s ，1 2 ( 2 0 0 1 ) ，1 0 3 5 2 3 g j u m a r i e ，c h a o s ，s o l i t o n sa n df r a c t a l s ，1 2 ( 2 0 0 1 ) ，1 8 7 3 【2 4 s a e 1 一w a k i l ，m a z a h r a n ，c h a o s ，s o l i t o n sa n df r a c t a l s ，1 2 ( 2 0 0 1 ) 1 9 2 9 2 5 】s j e s p e r s o n ，r m e t z l e r ，a n dh c f o g e d b y , p h y r s i c a lr e v e 5 9 ( 3 ) ( 1 9 9 9 ) ，2 7 3 6 【2 6 y x u ，f 一y r e n ，j - r l i a n g ，w 一y q i u ，c h a o s ，s o l i t o n sa n df r a c t a l s ，2 0 ( 2 0 0 4 ) ，5 8 1 【2 7 】k b o l d h a ma n dj s p a n i e r ，t h ef r a c t i o n a lc a l c u l u s ，a c a d e m i c p r e s s ，n e wy o r k ，1 9 7 4 2 8 k b o l d h a ma n dj s p a n i e r ，j m a t h a n a l a p