（基础数学专业论文）二阶时滞微分方程的振动性.pdf

论文题目：二阶时滞微分方程的振动性 专业：基础数学 硕士生：宋利娜 指导教师：贾保国副教授 摘要 本文主要研究二阶时滞微分方程 ，所n 【x ( f ) + c f ( f p ( f q ) ”+ n ( f p ( f 一谚) 一吼( f p ( f q ) = o ，f o j = lf = if = l 解的的振动性，在已有结果的基础上得出了更全的结论。 自1 9 8 8 年s t e f hh i l g e r 1 】在他的博士论文中首次提出测度链理论以来，时 间尺度理论作为其一种特殊情形，便引起了人们广泛的关注。这篇论文第三章把 第二章里的振动性判定定理应用到时标上。这篇论文主要分为四章： 第一章我们对时间尺度，时间尺度上的微积分理论及其研究背景做了简单的 介绍。 第二章介绍一类二阶时滞方程的基本理论和已有的两个定理。 第三章，我们在第二章的基础上，得出一个更优的结论，并列举了一些例子。 最后，我们把前面的主要结果推广应用到时标上。 关键词：差分方程，微分方程，时间尺度，振动性，时滞微分方程 i l l 原创性及学位论文使用授权声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集 体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：瓣i 研 日期：7 0 四年6 月z 日 学位论文使用授权声明 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版，有权将学 位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆、院系资料室被查 阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索，可以采用复印、缩印或其 他方法保存学位论文。 学位论文作者签名：鞠拥产 同期：z g 年6 月乙同 导师签名： 同期： 年月日 1 1 第一章时间尺度的基础理论 1 1 时间尺度的历史背景和理论意义 通常人们研究微分方程和差分方程时，都是把他们分别开来进行研究。因此， 很自然的问题是：能否建立一种统一离散和连续分析的理论? 直至1 9 8 8 年， s t e f a nh i l g e r 1 在他的博士论文中首次对时间尺度理论的引入，这一问题在 一定程度上才得到了解决。这一理论的提出，给对时滞微分方程和时滞差分方程 的研究提供了有力的工具。因而，时间尺度上的微分方程的定性理论研究便引起 了国内外许多学者广泛的关注，并获得了一些很好的研究成果。比较有影响的代 表著作有r p a g a r w a l1 9 9 2 年出版的专著 2 ，v l k o c i c 和g l a d a s1 9 9 3 年 出版的专著 3 ，m r s k u l e n o v i c 和g l a d a s2 0 0 1 年出版的 4 等。其中专著 3 在介绍基本理论，总结已有结果与方法的基础上，提出了许国“公开问题与 猜想；另外，m r s k u l e n o v i c 和g l a d a s 等人在文献 2 中，对二阶非线性 差分方程进行了比较系统的研究的同时，也提出了一些“公开问题与猜想，供 研究者去探讨。这些问题引起了研究者的强烈兴趣，无疑也为初始研究者，尤其 是那些初入门而找不到研究问题的人，提供了极好的、现成的研究课题。 1 9 9 5 年国际差分方程专业期刊j o u r n a lo fd i f f e r e n c ee q u a t i o n sa n d a p p l i c a t i o n s 的创立更是推动了差分方程理论研究的发展，为差分方程理论研 究的发展，为差分方程的交流与合作提供了一个专业的舞台。尤其，该杂志的编 辑g l a d a s 教授把各国学者在研究中遇到不能解决的问题集中起来加以分类，以 “公开问题与猜想 的形式在杂志专栏上提出，激起了人们的研究兴趣，促进了 差分方程理论的进一步发展。 然而，对差分方程理论的研究还处于初始阶段，许多方面有待于人们进行进 一步研究。正如v l k o c i c 和g l a d a s 在专著 3 中所言：“这是一个处于孕育 阶段的肥沃的研究领域 。w g k e l l y 和a c p e t e r s o n 在 5 中展望：差分方程 是一个丰富的领域，既有趣又有用。 因此，研究时间尺度上的微分方程对于寻求微分与差分方程的联系和区别以 及统一，推广和改进微分与差分方程的许多重要结果有着重要意义。另一方面， 由于时间尺度的特殊性，其研究方法既有与研究微分与差分方程的方法相同的地 方，又有其蛊身的特瘸性。 1 2 基本概念 1 2 1 时标的基本理论 一个时标是实数一个任意的非空闭子集，例如：r ，z ，n ，n o ，即实数， 整数，自然数，非负自然数。 定义1 在时标丁上定义跳跃算子p ，仃：r 呻r 。 其中，后跳算子p o ) = s u p s 丁：s f ) ， i n f a ：一s u p z ，s u p 彩：= i n f r 。 若p o ) 一f ，则称点是左稠的；若p ( f ) f ，则称f r 是左散射的； 若盯0 ) 一，则称点f 是右稠的；若口) f ，则称f r 是右敖射的； 若尹擘) o ，存在t 的一个6 邻域，( 即对任意6 o ， u 一( f 一6 ，f + 6 ) n z ) ，使得 2 l ，( 仃( r ) ) 一，( s ) 一， 盯( ，) 一s 】ls 占l 仃( r ) 一s l ，s 【厂。 则称，a ( f ) 为厂在f 上的一导数。如果对所有的f 丁都有，a ( f ) 存在，则称厂在 z 一可微，简称可微的。 定理1 6 假设，：r 呻尺是一个函数，z r 。则有以下结论： ( i ) 若，在点f 可微，则厂在点f 连续。 ( i i ) 若，在点f 连续，且点f 右散射的，则，在点f 可微： 川小掣铲。 ( i i i ) 若点f 是右稠的，则，是可微的当且仅当 存在且是一个有限的数。在这中情况f 州；粤掣掣。 ( i v ) 若厂在点f 可微，则 ，( ( f ) ) = 厂( f ) + ( f ) 厂a ( f ) 。 定理2 2 0 假设，g ：r 呻j 5 c 在点f r 可微。则 ( i ) 函数之和，+ g ：z r 在f 可微 ( 厂+ g ) a ( f ) ；，a ( f ) + g a ( f ) 。 ( i i ) 对任意的常数口，口厂：r - r 在f 可微 ( 口厂) a ( f ) = 口，a ( f ) 。 ( i i i ) 乘积函数居：丁_ 尺在f 可微 ( 招) a ( f ) = ，a ( f ) g ( f ) + ，( 盯( f ) ) g a ( f ) 。 3 ( i v ) 若，( f ) ，( ( f ) ) 辨。，则手在点f 可微 嘶小一稿。 ( v ) 若g ( 爹) g ( 秽t ) ) 雾。，剡吾在点可微 盼毋掣群。 定义3 2 0 函数，：丁一r 称为形连续的，如果它在右稠点连续，在左稠 密点的极限存在。以连续的函数集，：r 坤r 记作 巳一岛( r ) = 岛( z ，r ) 定义4 【7 】称方程的一个解x ( f ) 在r 处有一个广义零点，如果x ( f ) = o 。如果 x ( f ) 工( 盯( f ) ) o 则称方程的一个解x ( f ) 在( f ，( f ) ) 上有一个广义零 点。如果方程在区间【c ，矗】上没有超过薅个或两个以上的广义零点的非平凡解， 剡称方程在区闻【c ，o 】上是共轭的。 定义5 【7 】称方程在岛，) 上非振动的，如果存在c ( 岛，) 使得对任意的 d c 方程在区间【c ，】上是菲共轭的。反之，称方程在( 气，) 上是振动的。振动 性也可以这样定义：方程的一个非平凡解在，) 上如果有无限多个广义零点， 则称这个解是振动的。 兰2 2 黎曼积分 令露，务为时标f 中的两个点，且- ，参】是f 中的阈区闻。l ，刍】的个划分p 为任意有序的子集： 夕；k 机，厶jc 【露，刍】 其中仃 气 厶6 。区间瞳小岛) 为划分p 的子区间。我们定义所有划分的集 4 合为p p ( 口，6 ) ，厂为 口，6 上的实值有界函数。设 m s u p 厂p ) ：f 口，6 ) ) 坍一i n f 厂( f ) ：f 口，6 ) ) ，1 f 以。 定义6 2 2 】在划分p 下对应的达布上和和达布下和分别定义为： u ( 厂，p ) 2 善m ( - 1 ) ， l ( 厂，p ) 2 善聊，( 一- ) 。 注：因为u ( ，p ) s m ( 一一- ) = m p 一口) ，l ( ，p ) 之所p 一口) ，所以 聊( 6 一口) s ( 厂，p ) su ( ，p ) sm ( 6 一口) 。 在区间【口，6 上函数厂达布上积分定义为u ( ，) 一i n f u ( ，p ) ：p p ( 口，6 ) ) ，达布 下积分为l ( ，) ；s u p 仁( 厂，p ) ：p p ( 口，6 ) ) 。 定义7 1 7 】若( 厂) = 【厂( 厂) ，则我们称厂从口到6 是可积分的( 或者称为一 可积分的) 。在这种情况下我们把积分值写作f 厂( f ) f 。我们称这个积分为达布 一积分。 定义8 【1 8 】假设厂为区间 口，6 上函数，划分p p ( 口，6 ) 。在每一个区间 k ) 有1 o ，使得 s 一，i f s 为，对应于任意p j d ( 口，6 ) 的黎曼一和，岛为k 羽) 的任意值，则我们说厂在 区间 口，6 上黎曼可积。 5 令口c 丁，假设存在一个子集 气：七0 ) cz ，其中口一b o ，厂( ) ；时，厂( 砂) 之厂( 工) 厂( y ) 当y o 是，盟一或盟_ 1 。 yy 引理2 1 假设g c ( r ，尺+ ) ，g ( f ) s f ， 鳃g ( f ) = ，y c 2 ( 丁，) ，尺) ，且在区 间 丁，) 上 y ( f ) o ， y7 ( f ) o ，y ”o ) so 则对于每一个七( o ，1 ) ，存在一个夏芝丁，使得 y ( 酬七华y ( t ) ， f 瓦。 ( 2 1 1 ) 引理2 2 假设p ( o ，1 ) ，其它关于方程( 2 1 0 ) 的假设成立。若对于某些o a 1 。则方程( 2 1 0 ) 的非 振动解x ( f ) 满足x ( f ) o ( 2 。1 7 ) f p ” 成立，对于任意的集合e ，有p ( e ) = o 。 定理2 4 9 】假设( h ) 成立，p 苫1 。加上引理2 3 和引理2 4 中的情况，分别对 应于p ；1 和p 1 。若( 2 1 3 ) 成立，则方程( 2 1 0 ) 是振动的。 l o 第三章一类二阶时滞微分方程的振动性 3 1 此类方程的振动性研究 在这一章里，主要考虑二阶中立型时滞微分方程： 【x ( f ) + 荟c f ( f p ( f t ) 】”+ 著只( f 砖( f 一点) 一善呸( f 砖( f q ) = o ，f o 3 1 其中朋苫甩，_ a = 1 ，2 ，) ，4 0 = l 2 ，m ) ，q o = 1 ，2 ，1 ) ，_ ，龟，q 都为 正常数，4 苫q 。 且 q ( f ) c ( 【o ，) ；【o ) ) o = 1 ，2 ，z ) ； 只( f ) c ( 【o ，) ；【o ，) ) g = 1 ，2 ，z ) ； 呸( f ) c ( 【o ，) ；【o ，) ) ( f l 2 ，z ) 。 在论文里，假设下列成立： ( 日1 ) o s 吃 气时，x f ) o 。 标记： 喇哪) + 妻q p 江p 吲一薹z e 摊始y 渺( 3 3 ) 根据( 3 3 ) 和( 日，) 一( h 。) ，可以得出 w 8 ) 2 x ( ，) + 骞q ( ) 工一t ) 】+ 薹强( ，一蘸) 茗z 一毒) 一砉譬( f q ) x ( r q ) 就可得出 = 一善只( f ) x ( f 一引+ 善绣( f ) z ( f 一唾) + 善呸( f 一4 ) x ( f 训一善( f 一嘎一q ) s 一善【珐( f ) 一墩( f 一点) p ( f 一毒) + 著【锈( f ) 一呸( t 一呸) p ( 一嘎) s 一荟【蔹( ) 一绣f 一点) p 爹一点) 5 一【p 如( r ) 一日如( f 一6 ) 】戈( t 一6 ) f 急气+ z ( f ) 蠕一甜( f 一屯) o 。因此，z f ) 在麓，) 是不可积分 ( 2 ) 若当气时，w o 成立 y ( t ) m x ( t ) + 妻q ( 懒- 薯) 一砉j ：e 吼( 亭) 石( 芋) d 弘 y ( f ) 一m ( f ) ，y ”( f ) 一w ”( f ) ，f 芝 上式和( 3 。4 ) 联合可得出当时，y ( ) 是递减的。由不等式y f ) y 毛) o ， 磐y ( f ) 一一 ( 3 5 我们称x 爹在，) 上是有界的。否则，憋z ) ；，则存在乞象气，满足 卜掣掣。l ，北m 。 l 麓x m x ( 乞) 0 y ( t z ) - z ( t z ) + 耋q ( t z ) x ( t z q ) 一薹r 吼( 亭) 工( 亭) d 孝凼 麓x ( 乞) 州洲一，t ) 一x ( 即，嬉r e 氆( 誊) 矗渺 划f 2 ) 工( f 2 - t t ) 一工( 乞嘞) 砉j ：2 e 呸( 乎) 嘞 4 h f 2 ) 一耋r e 船膀卟( 铲。，) 麓h 咖；| ；f 船j 露渺弘嘞) 麓。 由( 3 7 ) 可得 。 ) ，( r z ) 一x ( r ：) + 骞q ( r ：) 工( t z t ) 一耋j ：2 啦( 亭) x ( 亭) d 亭出 制+ 砉c i ( 乞) x ( 曩) 一酬妻- j ：2 e 吼( 孝) 茗( 宇) 矗渺 美制一菇( 屯) 塞：2 呸( 亭) x 淞 ( 1 一新船m 咖弘胭 ( 1 一套f e 稚m 咖亭出心脚 这个矛盾表明，x f ) 必须是有界的。则存在一个常数m 满足，当使 l 譬当f & 时， 茗0 ) s 掰。 由( 。) 和( 3 2 ) ，可得 ) ，( r ) 觏一薹“：级( 掌) x ( 芋) d 劬 一材薹i e 绣( 芋) 啪 芝埘砉r e 岱( 亭) 露鼬柏 一 这与( 3 5 ) 矛盾。 3 2 例题 例3 11 1 2 j 我们考虑万程 x ( r ) + z ( r 一万) 】+ ( r + 1 ) 石( r 一万) + ( r 一万+ 1 + 手p f h ) x ( t ) f 苫4 ( 厶) 叫q h z ( f 一万) 一e q - 埘x ( f ) 一。 设 z = 1 c 1 ( f ) = 1 ，_ = 石 ，刀= 2 ，p 1 ( f ) = f + l 6 1 = 巧， p z ( f ) = f 一万+ 手p - f h ，6 z2 0 甩一2 ，吼( f ) ，留：( f ) 一e 。一妇，q 一石，呸一o ， 由此有： 吼( f ) 一吼( f q ) 一p q ”( e 一一1 ) s o ， 留：( f ) 一日：( f 一吒) = o ， a ( f ) 一吼( f 一哦) = ( f + 1 ) 一p q ”4 暑毛 o ， p z ( ，) 一口z ( ，一6 z ) 2 ( r 一万+ 1 + 手p 叫一h ) 一e 叫”之4 一万 。， 且 砉f e 嘴矽亭出北1 因此，定理3 3 暗示方程( 厶) 的每一个解x ( f ) 都是振动的。事实上，x ( f ) = f s i n f 是方程( 厶) 的无界振动解。 例题3 2 1 3 对于方程 卜( f ) + 缸( f 一石) 】。+ ( f + 1 ) z ( f 一幼) 一瑟十h z ( f 一万) 一o ，f o ( 厶) 我们有 z = lc 1 ( f ) = 3 ，qa 万， ，”一1 ，p 1 ( f ) t f + 1 ，6 i = 2 形， ，l 一1 ，吼( f ) = 3 e q _ 新，吼一万， 由上述条件计算出： 鸟。( f ) g 口l ( f 一吼) ； 魏( f ) 一吼( f 一呸) = f + 1 一一e ”( 1 3 p 。厢) o ，f o f e 嚷( 善) d 渺；3 ( 熏虿”) q 由定理定理3 3 ，方程2 ) 是振动的。 例题3 。3 1 4 考虑方程 p ) 数 一露) 】” + 2 ) 茗( f 一嚣) + + e q 吲+ 王) x ( f 一勃一g 一 ”x = 织f o 其中 z ；l ，q f ) 一2 墨一万， 掰a2 ，a 差) 一 + 2 ，6 l = 窍，魏( f ) = + ”+ 王，夺2 = 2 万， 糟= 毛锨( ) 一e 。哨，q = o 通过直接计算，我们可以得到 牙l ( f ) 一吼( 一q ) ， 鼽( f ) 一9 1 ( f 一盈) 一( f + 2 ) 一e q 乏1 掌毛， t 。e _ 争4 鹕d s 一1 一e 嘲1 因此方程的任意解都是振动的。特别的，x ( f ) 一c o s f 是方程的一个解。 1 6 第四章二阶微分动力方程解的振动性 时标方程作为时滞微分方程的离散形式，同时也从各种实际领域中提出，其 定性研究自王9 8 9 年开仓l 以来得到了迅速的发展。在这一章里，我们主要把第三 章的结果应用到时标上。 方程( 3 1 ) 在时标上的表达式为： 缸擘) 善q f ( 爹一t ) 】a a + 荟只( 墨( f 一焦) 一荟绣( f f 一呸_ o ，f ( 4 1 ) 其中m 苫珂，t ；1 ，2 ，z ) ，谚( f 一1 2 ，。，m ) ，q a = 1 ，2 ，_ 1 ) ，t ，嗔，q 都为 正常数，成惫q 。 且 q ( f ) c 0 ( r ；【o ，) ) a = 1 ，2 ，z ) ； 既( f ) 巳( z ；【o ，) ) g 。毛2 ，z ) ； 级o ) c i p ；【o ，灏= 毛2 ，z ) 。 在这一章里，假设下列成立： ( 皿) o 蛙t o 。 标记： 1 7 w o ) 一x p ) + 骞c l ( f 沁 一t ) 薹j ：e 吼皓弦值) 扭 ( 4 3 ) 根据( 4 。3 ) 和( 曩) 一露；) ，可以得出 f1 怂 “ w a a o ) 2 l 工( f ) + 荟q ( r ) z ( ，一t ) l + 善吼( ，一点) x ( f 一或) 一善q ( f q ) x ( f q ) = 一著魏( t ) x ( r 一每) + 荟鲰( t ) x ( 一每) + 荟绣( f 一毒) x f 一谚) 一善( 一g 一g ) s 一善瞅) 一统( r 一谚) p ( f 一谚) + 善瞰) 一呸( f q ) m 一呸) s 一芝【磊( t ) 一仍( t 一喀) p ( t 一露) 就 】得出 w 丛( f ) 墨一似( f 一屯) o f 芝岛+ r ( 4 4 ) 由( 4 4 ) 我们可以得出当f 乏气时，存在& 乏岛+ z ，使得w ( f ) o 或者w ( f ) ( 囊) 矿气) 一；笺戈s 一屯) 地 上式隐含x ) 在区间i ，) 是可积分的。因此，只要q ( 手) 有界， z 0 ) ；x ( f ) + ：。q ( ) x ( f 叫i ) 在区闻瞳，) 也是可积分的。 另一方面，我们有 - z a ( t ) ( r ) + 耋e 依( 亭) 工( 亭) 蜘惫气 z ) 非减的，即有当手囊时，z ) 皂z ( 毛) o 。因此，z ( 爹) 在魏，) 是不可积分 ( 2 ) 若当f 苫时，w a ( f ) o 成立 y ( r ) 一z ( r ) + 妻c f ( 蝴一t ) 一；| ；j ：吼( 宇) 工( 亭) 必 y a ( f ) = w a ( f ) ，y a a ( f ) = w a a ( f ) ， f 上式和( 3 4 ) 联合可得出当f 时，y ( f ) 是递减的。由不等式y a ( f ) y a ( ) ) ，( t ：) = 圳+ 骞c i ( 洲t ) 一砉r c 呸( 亭) z ( 亭) 勘 急x ( t ：) + 塞q ( t ：) x ( r ：一t ) 一x ( t ：) 砉r e 级( 宇) 工( 亭) 斡 急酬一酬：| ；f e 呸( 芋) x ( 芋) 弘 。( 重一新稚磁舭羚p ( 1 一萎f 船m 班弘p 急o 这个矛盾表明x f ) 必须是有界的。因此存在一个常数m 满足，当使得当f 麓毛时， x f ) s 掰。 由( 。) 和( 4 2 ) ，可得 y ( f ) 一：| ；z 嚷( 爹) x ( 亭) d 鼢 岂一m 羹j ：e 吼( 拿) 嘞 麓埘塞f 醯( 誊) 蠢弘釜一旒一 这与( 4 5 ) 矛盾。 定理( 4 1 ) 证明完毕。 定理4 2 假设( 皿) 一( 峨) 成立，且若 砉r e 孵泌斡s l ( 4 8 ) 成立，则方程( 4 。圭 是振动的。 证骧：记= m 鑫x 如，杏，嚷：董；，ls 歹掰，羔蒜更嚣； 假设x f ) 是( 4 1 ) 的葛# 振动解。不失一般性，我们假设当手气时，并( f ) o 。 糠警。 川川) + 套c j o 弦。吲一薹j ：嘴贻) 斡 “9 ) 根据( 4 9 ) 和( 域) 一好。) ，可以褥出 w 舳o ) 。x ( r ) + 壹q ( ，) x ( r t ) 1 怂+ 妻吼( r 一嗔) z ( t 一点) 一妻牙( f q ) x ( f q ) w 舳o ) 。l x ( r ) + 荟q ( ，) x ( f t ) l + 茎吼( f 一嗔) z ( f 一点) 一善牙( f q ) x ( f q ) _ 一善魏( ；) z f 一嗔+ 荟缀( 爹) x 爹一点) 十 善缀( t 一唼) x ( r 一喀) 一善( ) x ( ) 箩一薹瞅) 一吼( t 一喀) p ( t 一4 ) + 善瞰) 一吼( ) 一q ) 篓一艺陋t ) 一绣( t 一夔) p ；一龟) 就日】得出 w a ( f ) 箩叫髓( f 一6 矗) 矿( 囊) 芝矿( 气) 一矿( ) x ( s 一屯) 厶 上式隐含x 爹) 在区间麓，) 是可积分的。因此，存在一个毫 ) 有爨， z ) 一x ( f ) 十幺c i f ) 菇一) 在蘧闻k ，) 也是可积分的。 另一方面，我稍有 z 矗( t ) ( t ) + 妻e 级( 删( 亭) 玲。，嘲 z ( f ) 非减的，即有当f 急气时，z ( f ) z ( f l p o 。因此，z ( f ) 在【f l ，) 是不可积分 嗣。得出才盾。 ( 2 ) 若当f 时，矿( f ) o 成立 我们定义 y ( r ) = z ( t ) + 砉q ( 蝴一t ) 一砉j ：留( 亭) x ( 宇) 弘 y ( f ) = w a ( f ) ，y a a ( f ) = w a ( f ) ，f 上式和( 4 1 0 ) 联合可得出当f 之气时，y a ( f ) 是递减的。由不等式y ( f ) y a ( ) 气时，工( f ) o 。 标记： w o ) 一x o ) + 妻q o 弦。一t ) 一；| ；j ：c 吼( 亭弦售) 如 ( 4 1 4 ) 根据( 4 1 4 ) 和( 凰) 一( 日。) ，可以得出 啪巾小扣小训卜和制) 一扣训出训 日一善a ( 蝴一喀) + 善吼( 懒一谚) + 善吼( f 一洲f 一4 ) 一善( f q ) x ( f q ) s 一善 a ( f ) 一吼( f 一唾) 卜( f 一4 ) + 善 吼( f ) 一吼( f q ) 】z ( f q ) 主一艺 a ( t ) 一呸( t 一瞑) p ( r 一引 s 一 p 矗( r ) 一g 矗( r 一6 h ) 】x ( f 一6 凡) f 乏气+ 丁 就可得出 w 丛( f ) s 一职( 卜6 h ) o f 惫岛+ r ( 4 1 5 ) 由( 4 1 5 ) 我们可以得出当t2 f ，时，存在岛+ 丁，使得w 唯) 麓。或者w 7 ( f ) ( 气) 急( 气) 一矿( f ) 麓戈( s 一屯) 厶 上式隐含x ( f ) 在区间l ，) 是可积分的。因此，只要o f ) 有界， z ( ) = x ( ) + ：i l 毫f ) z 一t ) 在区阗l ，) 也是可积分的。 另一方面，我们有 z 矗( 爹) m 蹇e g i ( 亭) x ( 亭沁地嘲 z ( f ) 非减的，即有当f 乏时，z ( t ) 岂z ( 毛) o 。因此，z ( f ) 在k ，) 是不可积分 的。得出矛盾。 ( 2 ) 若当f 乏气时，矿( f ) o 成立 我们定义 y t ) s x m 妻g 州) 一骞仨绥( 喜) 戈舭秘 y 矗( t ) = 矿( f ) ，y 越( f ) = w 丛( f ) ， f 气 上式和( 4 1 5 ) 联合可得出当f 时，) ，( f ) 是递减的。由不等式y a ( f ) y a ( 气) y ( r ：) ；制+ 妻q ( 洲乞一t ) 一砉j ：2 e 吼( 亭) x ( 亭) 幽 蚓划洲f 2 _ ) 一z ( f 2 ) 砉j ：2 e 吼( 亭) 洳 u 。( 洲铲) 一石( 铲) 砉j ：2 e 吼( 亭) 沁 2 卜u 一新船) 叫工( p ，) 卜纠一妻f 稚) 必弘_ - ) 0 这个矛盾表明x ( f ) 必须是有界的。则，就存在一个常数m 满足，当使得当f 时， x ( f ) sm 。 由f 日1 和( 4 1 3 ) ，可得 ) ，( r ) 苫一骞j ：呸( 亭) 工( 亭) 枷 芑一m 砉：e 呸( 亭) 螂 乏州妻f 吼( 宇) 嘞苫一舢一 这与( 4 1 6 ) 矛盾。 定理( 4 3 ) 证明完毕。 第五章结束语 1 9 8 8 年，s t e f a n i l g e r 1 在他的博士论文中首次提出时间尺度理论，这 一理论的提出，给对嚣重滞微分方程和时滞差分方程庭院进行研究提供了有了的工 具。因焉，时间尺度上的微分方程的定性理论磅究便引起了国内外许多学者广泛 的关注，并获得了一些很好的研究成果。 这篇论文中在已有文献的基础上，主要讨论了一类时滞二阶微分方程的振动 性。在这篇论文中，作者的主要工作如下。 ( 1 ) 受到文献 1 0 和 1 1 启发，定理3 1 和定理3 2 的基础上，得出定理 3 3 ： ( 2 ) 把第三章的三个定理推广到时标上，得出定理4 1 ，定理4 2 ，定理 4 3 。 但是由于作者水平和时间的限制，对于定理3 3 ，没有得到更好的结果。隧 着科技的进步与发展，差分系统已经成为计算机模拟，信号系统，工程控制 和生态平衡等一些领域的重要理论基础，从而也成为控制科学家，化学家， 物理学家，生物学家和经济学家的重要模型。在今后的学习生活中，我会继 续关注这一领域的发展，力求得到更好的结论。 参考文献 【1 】s h i l g e f ，a n a l y s i so nm e a s u r ec h a i n s - au n i f i e da p p r o a c ht 0c o n r i n u o u s 姐dd i s c r e t ec a l l c i l l u s ， r e 蛐l t si nm a t h e m a t i c s ( 1 8 ) ( 1 9 9 0 ) ，1 8 - 5 6 【2 】r ea g a 州a l ，d i f f e f e n c ee q u a t i o n sa n dl n e q u a l i t i e s ，n e wy o r k ：m a 雠ld e k k e r ，1 9 9 2 ( 1 n e d i t i o n ) 2 0 0 | 0 ( 2 们e d i t i o n ) 【3 】gl a d a sa n dv lk o c i c g l o b a l 舡y m p t o t i cb e h a v i o ro fn o n l i n e a rd i 骶r e n c ce q u a t i o n s0 fh i g l l e r o f d e rw i t ha p p l i c a t i o n s ，l ( 1 u w e ra c a d e m i cp u b l d o r d r e c h t ，1 9 9 3 【4 】gl a d a sa n de c a m o u z i s ，d y n a m i c so fs e c o n do r d e rr a t i o n a ld i f f e r e n c ee q u a t i o n sw i t ho p e n p r o b l e m sa n dc o n j e c t u r e s ，c r cp r e s s c a m p m a nh a u ，2 0 0 1 【5 】w gk e l l y 柚da c p e t e r s o n ，d i f f e r e n c ee q u a t i o n sw i t ha p p l i c a t i o n s ，n e wy 0 r k ：a c a d p 碍鼹，1 9 9 1 嘲m b m m e ra i l dap e t e r s o n ，d y n a m i ce q u a t i o n so nt i m es c a l e s ：a ni n t r o d u c t i o nw i t h a p p l i c a t i o n s ，b i r l 【l l a u s e r b o s t o n ，2 0 0 1 【7 】j m d a v i s ，k r p m s a d 姐l ，e v e n t i l a ld i s c o i l j u g a c ) ，o nm m es c a l e s ，a p p l m a i h l e 盯，1 3 ( 2 0 0 0 ) 【8 】m a n i nb o h n e r 仙a np e r c s i n ，d ) ，i l a m i ce q u a t i o 璐o n 面腓s c a l e s 【m 】u b r qo fc i i l g r e 豁 g a m l o 西n g i n - p u b l i c a t i o nd a t a ，2 0 0 1 【9 】l 驴衄e r b e ，q i n g l 【a ik o n ga n db i n g e n gz h 柚g ，o s c i l l a t i o nn e 0 哆f o rf u n c t i o m ld i 仃e r e n t i a l e q u a t i o n s ，m a 政l d e k k e r ，n e wy 0 r k ，1 9 9 5 【1 0 】j m a n o j l o v i c ，ys h o u k a k u ，t 1 h i g a w a ，n y 0 s h i d a ，o s c i l l a t i o nc r i t e 血f o rs e c o n d o r d e rd i f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hp o s i t i v e 柚dn e g a t i v ec o e f i c i e n t s ，a p p l m a t h c o m p 1 8 1 ( 2 0 0 6 ) 8 5 3 8 6 3 f 1 1 】a i z h iw 色n 岛j i t a os u n ，o s c m a t i o no fs e c o n do r d e rd i f c r e n t i a le q u a t i o n s ，a p p l m a t h c 0 唧u t ，( 2 0 0 7 ) ，d o i ：1 0 1 0 1 研a n l c 2 0 0 7 0 9 0 1 6 【1 2 】kf a r r c l ，e a g r o v e ，g l a d a s ，n e u t r a ld e l a yd i 虢r e n t i a le q u a t i o n sw i t hp o s i t i v e 趾dn e g a t i v ec o e f ! f i c i e n t s ，a p p l a n a l 2 7 1 9 8 8 1 8 1 1 9 7 【1 3 】n p a r l l i ，s c h a n d ，o s c i l l a t i o no fs e c o n do r d e rn e u t m ld e l a yd i f 殆r e n t i a le q u a t i o n s w i t hp o s i t i v ea n dn e g a t i v ec o e f f i c i e n t s ， j h l d m a t h s o c 6 6 ( 1 9 9 9 ) 2 2 7 - 2 3 5 【1 4 】j s y u ，n e u t r a ld i 饿r e n t i a le q u a t i o n sw i t hp o s i t i v e 姐dn e g a t i v ec o e f f i c i e n t s ，b u l l a u s l m a t h s o c 4 3 ( 1 9 9 1 ) 【1 5 】r a g a 掰舔a 珏dm 丑蛐魏e b a s i cc a l 诣l l l s 。毅t i m es c a l e sa n ds o m 。o fi 括a p 砖i 貔i o 毪南 r e s 挂l 据m 缴h 3 5 ( 圭9 9 9 ) 。 f 1 6 】d d b a i n o va n da d 。m y s l ( i sa 硼a i 。z a h a f i c v ，n e c c s s a f ya n ds h 髓c i e n c o n d i t i o n sf b ro s c i l l a t i o n0 ft h es o l u t i o n so fl i n e a rf u n c t i o n a ld i f f i ：r e n t i a le q u a t i o n so f n e u t r a l t y p ew i t hd i s t r i b u t e dd e l a y ， j m a t h a n a l ，a p p l 1 4 8 ( 1 9 9 0 ) ，n o 1 【1 7 】阮炯，差分方程和常微分方程，上海：复旦大学出版社，2 0 0 2 年8 月 【1 8 】m a r t i nb o h n e fa n da j l a np e t e f s o n ，a 叠v a n c i 。si nd y n a m i ce ( 王u a t i o n so nt i m es c a l e s ， b i f 蚰荟珏s e b o s l o 建，l 羲a ，b o s 稔n ，m a2 3 f 1 9 】yz 纛o l l 勰dyq h u a n g ，e x i s t e n c eo f 致雠一o s c i l l a l o 垮s o l 毽l i o 藏so fs e 建d o e f n e u t r a ld e l a yd i f f e r e n c ee q u a t i o n s ，j 觚a 1 a n da p p l ，2 0 ( 4 ) ( 2 0 0 1 ) 。 【2 0 】b qz h a n ga n dx h d e n g ，0 s c i u a t i o no fd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i