（应用数学专业论文）var方法中正态模型和混合正态模型在中国市场中的实证分析.pdf

摘要 摘要 自2 0 世纪7 0 年代以来，随着利率、汇率波动的加剧，金融业管制的放松和 金融自由化的发展，市场风险已经和信用风险一起成为现代金融风险管理的重要 内容。近年来，英国的巴林银行、美国的长期资本管理公司等一系列因承担市场 风险而发生巨额损失甚至倒闭的案例，使得无论金融机构还是监管当局都日益重 视对市场风险的管理。 为使风险管理体现客观性和科学性，市场风险管理多采用定量分析技术，大 量运用数理统计模型来识别、度量和监测风险。v a r ( 风险价值) 模型正是这样一 种定量工具，目前已受到业界的广泛认可，为全世界许多金融机构所采用。 但是，在我国，对v a r 的研究却很少。特别是正态模型和混合正态模型在中 国市场的表现的实证研究方面几乎没有。因此本文对v a t 方法中正态模型和混合 正态模型在中国市场的适用性进行了实证分析。 首先，本文简单地讨论了正态模型及事后检验方法，并利用正态模型对所选 的样本数据进行了处理，并且结合事后检验方法，对正态模型的对实际分布的尾 部的拟合性和对未来风险的预测性进行了分析。 接着，本文又讨论了混合正态模型和用来进行参数估计的o s m l e 方法，并 根据所介绍的方法对样本数据进行了处理。同样地，本文对混合正态模型对实际 分布的尾部的拟合性和对未来风险的预测性也进行了分析。 最后，本文对正态模型和混合正态模型在中国市场的表现进行了比较。 通过这一系列的分析，本文认为，引入v a r 方法作为中国股市风险监控的手 段是可行的，并且，对于中国市场，正态模型是一种有效的模型，值得采用。 关键宇v a r 正态分布：混合正态分布；q b m l e 华瘫理工大学理学矮学位论文 a b s t r a c t f r o m1 9 7 0 s ，t h em a r k e tr i s ka n dt h ec r e d i tr i s kh a v eb e c o m et h ec r u c i a lp a r to f t h em o d e r nf i n a n c i a lr i s km a n a g e m e n t ，b e c a u s eo ft h em o r ei n t e n s ef l u c t u a t i o ni nt h e r a t eo fi n t e r e s ta n d e x c h a n g e ，t h e l o o s e n e df i n a n c i a lc o n t r o la n dt h ef i n a n c i a l d e r e g u l a t i o n i n t h en e a r f u t u r e ，t h e r e a r e m a n yc a s e s ，t h eb a r i n g s b a n k s b a n k r u p t c y ，t h el o n g - t e r mc a p i t a lm a n a g e m e n tc o m p a n y sb a n k r u p t c ya n do t h e r f a m o u sc o m p a n i e s h u g el o s s t h e s ec a s e sh a v em a d et h ef i n a n c i a lo r g a na n dt h e s u p e r v i s o ra t t a c hm o r ei m p o r t a n c et ot h em a r k e tr i s km a n a g e m e n t f o rt h eo b j e c t i v i t ya n dt h ev a l i d i t yo ft h er i s km a n a g e m e n t ，t h em a t h e m a t i c a l s t a t i s t i c sm o d e l sa r ea p p l i e dt oi tt oi d e n t i f y ，m e a s u r ea n d s u p e r v i s et h er i s k t h ev a r i so o eo ft h em o d e l sa n dh a sb e e n a d o p t e db ym a n y f i n a n c i a li n s t i t u t i o n s b u t ，i nc h i n a ，t h er e s e a r c h e so nt h ev a ra r ef e w 。e s p e c i a l l y ，t h ec o m p a r ea b o u t t h en o r m a lm o d e la n dt h em i x t u r eo ft h en o r m a ld i s t r i b u t i o n sm o d e l h a sa l m o s tn o t b e e nd o n e s ot h i st h e s i sd e m o n s t r a t e da n d c o m p a r e d t h et w om o d e l sw i t ht h er e a l m a r k e td a t a f i r s t ，t h en o r m a lm o d e la n dt h eb a c k t e s t a p p r o a c hw e r ed i s c u s s e d t h e nt h e n o r m a lm o d e lw a sd e m o n s t r a t e dw i t ht h em a r k e td a t aa n dt h e a n a l y s i s a b o u tt h e m o d e l sf i tv e r a c i t ya n df o r e c a s tv a l i d i t yw e r e p r e s e n t e d s e c o n d ，t h em i x t u r eo fn o r m a ld i s t r i b u t i o n sm o d e la n dt h ep a r a m e t e re s t i m a t i o n a p p r o a c h - - q b m l ew e r ed i s c u s s e d i n t h es a m e w a y ，t h em i x t u r e o fn o r m a l d i s t r i b u t i o n sm o d e lw a sd e m o n s t r a t e dw i t ht h em a r k e td a t aa n dt h e a n a l y s i sa b o u tt h e m o d e l f i tv e r a c i t ya n df o r e c a s tv a l i d i t yw e r e p r e s e n t e d t h r o u g h t h ea n a l y s i sa b o v e ，t h ea u t h o r t h o u g h t t h a tt h ev a ri sf e a s i b l ea st h er i s k m a n a g e m e n tm e t h o do ft h ec h i n e s es t o c km a r k e ta n dt h en o r m a lm o d e li sv a l i di nt h e c h i n e s es t o c km a 癌e t k e y w o r d ：v a r ；n o r m a ld i s t r i b u t i o n ；m i x t u r eo ft h en o r m a ld i s t r i b u t i o n s ；q b m l e 赶 第一章绪论 1 1 研究背景 第一章绪论 随着金融市场规模的不断扩大，以及金融市场风波导致的巨大损失，引起了 金融机构的监管层，尤其是银行的监管层开始重视研究有效的风险管理工具。1 9 9 3 年一个由工业国家的高层银行家、金融家和学术界人士所组成的3 0 人小组( g 一 3 0 ) 发表了个关于金融衍生工具的报告，在这篇报告里主要的建议是引入了“风 险价值系统”( va lue at risks y stem ) 来评估金融风险，v ar 从而开始逐步得到广泛运用，并在金融风险管理领域成为不可抗拒的趋势。 在金融风险管理领域中，风险被定义为未来净收益的不确定性。公司一般面临 三种类型的风险，即经营风险、战略风险、金融风险。其中金融风险主要来自于 金融变量。广义的金融风险是指未来回报的不确定性，主要包括4 种类型的风险： 信用风险、操作风险、流动性风险和市场风险。市场风险是最主要的金融风险， 它是由市场条件变化所引起的未来回报的不确定性，可以通过未结清头寸的价值 变化或收益的变化来度量。传统的风险度量工具为方差，它客观地度量了资产组 合收益率变动的不确定性，既包含人们不愿面对的亏损，又包括人们努力追求的 超额回报，但不能确切地指出资产投资的损失的可能性到底有多大。根据统计学 的理论，随机变量的特性应通过随机变量的概率分布确切描述，而不是仅仅使用 方差。因此，市场风险的度量应通过其收益的概率分布进行描述。为此，研究人 员引入了风险管理与控制的新工具一一v a r ( v a l u ea tr i s k ) ，亦称为风险价值。 v a t 体系的最初目的在于量化市场风险，目前已经成为金融风险量化分析的 标准。在美国，许多评估机构如穆迪与标准普尔，金融会计标准委员会，以及证 券与交易委员会都宣称支持v a t 。它有两个显著的优点：是它按照随机变量的特 性，通过随机变量的概率分布来刻画风险度量概念，因此比较确切；二是它把全 部资产组合风险概括为一个简单的数字，并以货币计量单位来表示风险管理的核 心一一潜在亏损，所以它富有吸引力，并迅速被推广。 风险价值( v a t ) 作为一个统计概念，本身不过是个数字，它是指一家机构面 临“正常”的市场波动时，相信自己的资产组合可能遭受的最大损失。这个定义 隐含的意思是说，遭受比v a r 更大的损失的概率是个确定的、很小的值。 在一本关于v a r 的开山之作中，p j o r i o n 是这样定义v a t 的：“v a t 是给定 的置信水平和目标时段下预期的最大损失( 或最坏情况下的损失) 。” 华南理工大学理学硕士学位论文 举例来说，一个组合持有期为一天，置信水平是9 5 ，v a r 等于l o 元，其含 义是：该组合一天的损失超过1 0 元的概率不超过5 。 虽然v a t 是描述给定组合可能遭受损失大小的一种简单方法，具有一定的灵 活性，可以满足各种金融机构的需要，只需选好时间范围和置信水平就可以。但 是，v a r 也不是十全十美的，它的一个主要缺陷是它不要求对金融市场的市场因 素( 在本文中主要指股市收益率，以下本文就都将市场因素具体化为股市收益率) 的走势作理论上的假定。因此，在应用基于v a r 方法的风险管理系统时，需要凭 借大量的主观判断。这样，选择不同的模型描述市场行为，其导致的结果也可能 是大不相同的。 1 2 关于7 a r 的研究工作 关于v a r 的研究主要集中在两大部分：( 1 ) 极端值理论和( 2 ) 收益率的分 布以及如何改进估计收益率的方差的统计模型。在本文中我们主要讨论的是第( 2 ) 部分。 通常我们假设收益率服从正态分布，但是越来越多的实例证明：收益率并不 服从正态分布，它的真实分布相对于正态分布具有细腰、厚尾性。分布的厚尾性 说明了收益率发生极端情况的概率比人们用正态分布预测的要大的多。而v a r 方 法关心的恰恰就是尾部的分布，因此，假设收益率服从正态分布往往会低估实际 的损失。 针对分布的厚尾问题，人们从不同方面提出了很多改进。在分布方面，人们 提出了尖峰分布、混合正态分布、分形分布等。在改进估计收益率的方差的统计 模型方面，人们提出了a r c h 模型，g a r c h 模型以及由g a r c h 模型衍生出的i g a r c h 、 e g a r c h 等模型。 本文主要探讨的是收益率分布的不同对计算v a r 的影响：正态分布是不是在 中国市场也不适用；在给定分布的情况下，不同时间间隔长度对v a r 有效性以及 分布假设有效性的影响。 1 3 本文的结构 本文主要分为三大部分： 第一部分主要对v a r 的背景以及其本身进行了简单阐述。这部分包括；第一 章绪论，第二章v a l u e a t r i s k 。 第二部分主要是针对不同的分布假设对实际数据进行分析，计算相应的v a r ， 并对它们进行了比较。这部分包括：第三章正态分布下v a r 的计算，第四章混合 2 第一章绪论 正态分布下v a r 的计算。其中，第四章是这部分的重点，作为计算v a r 的基础， 这一章还介绍了一种估计参数的方法，即准贝叶斯一极大似然法( q b - - m l e ) 。 第三部分对全文进行了总结。 华南理工大学理学硕士学位论文 i i i i i i i 2 1v a r 的定义 第二章v a l u e a t r i s k 什么是v a r ? v a r 作为一个统计概念，本身不过是个数字。一家实体机构的 v a r 是指这样的一种损失额，给定置信水平c ，持有期限t 日，在t 日持有期内预 计超过这一损失额的概率只有1 一c 。它的数学定义如下： 假设x 表示收益率，( x ) 为收益率x 的分布密度函数，c 为给定的置信水平， 那么给定持有期f 目的v a r 表示如下； 或者 用图示表示如下 r m ) d x = i c p ( x 一 么r ) = l c ( 2 一1 ) ( 2 2 ) 从上面v a r 的定义中，可以推断最重要的特征： ( 】) v a t 是个总结性度量值。度量特定风险的总结性方法很长时间以前 就已经存在了，但v a r 却是一种独特的风险度量方法，它在综合的 框架下考虑了市场风险所有可能的来源。这特征使v a r 方法独具 4 第二苹v a l u e - a t - r i s k 吸引力，易于为高级管理层认识所掌握。 ( 2 )v a r 要求用随机形式表达一个组合未来的损益( 以下称p & l ) ，以致 未来的每个预期，p & l 或p & l 的区间都可以与其所发生的概率同时 表达。通过模拟历史数据并把它们用于对未来的预测或者利用真实 的历史数据进行预测或者对p & l 假设一个合适的概率密度函数均可 以做到这一点。 ( 3 )v a r 值依赖于所选择的时间间隔。举一个例子作为启发，对于一个 给定的组合，我们会预期一天的v a r 比一个月的v a r 小一些。这不 过是个常识：给定一只股票，持有一个月的预期p & l 一般会比同一 只股票持有一天的预期p & l 大的多( 用绝对值衡量) 。 ( 4 )v a r 取决于所选择的置信水平。事实上，我们希望在给定的时间范 围内未来实际发生的损失不超过给定置信水平下( 例如9 5 ) 的 v a r 。从上面的简单图示，可以很容易地看出，置信水平越高，v a t 越大，置信水平越低，v a r 越小，但此时v a r 所起的风险防范作用 也越小。 如上( 3 ) 、( 4 ) 所述，时间间隔信水平的选择对v a r 的计算十分重要，那 么如何选择时间范围和罨信水平呢? 这两个因素的选取从某种程度上讲带有随意性。例如，巴塞尔委员会( b a s l e c o m m i t t e e ) 的内部模型选择了间隔为1 0 天，置信水平为9 9 。计算出的v a r 再 乘以一个安全因素( 值为3 ) 就得到了保证监管目的的最小资本要求。 假设巴塞尔委员会选择1 0 天为时间间隔，因为这反映了频繁监督的成本与 趁早发现潜在问题的获益之间的替代关系。而从使用者角度看，这一时间间隔的 选择本应由投资组合本身的特性决定。商业银行现在以每日间隔公布其交易v a r 是由于其投资组合营业额的快速变动。相比之下，象养老金之类的投资风险组合 通常就慢慢地调整其所面临的风险，从而经常选取一个月的时间间隔。由于这一 基本时间间隔应与一个按序进行投资组合清算所需的最长期间相适应，因而时间 间隔就应与在正常交易量所需时间内有价证券流动性相联系。 对于置信水平的选择几乎没有什么可以遵循的规则。我们所假定的巴塞尔委 员会选定了9 9 的置信水平，因为这一水平反映了监管者要确保一个安全有效的 金融体系的愿望与对银行规定最小资本需要对其收益产生的不利影响之间的替代 关系。使用者则根据自己的需要设定了多种不同的置信水平。 不同置信水平的选取影响是否显著要视其用途而定。如果所得置信水平用于 决定需多少铺底资金，那么置信水平的选取非常关键。所选定的置信水平应反映 公司对风险的回避程度及超过v a r 的损失成本。风险回避程度越高，损失成本越 大，表明弥补损失所需的资本量越大，从而置信水平也越高。而如果得到的v a r 华南理工大学理学硕士学位论文 ! e ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! g ! _ i i i ii m l ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! s 只是作为一种公司内部比较不同市场风险的尺度，置信水平的选择就显得不那么 重要。 然而，置信水平的选取，对“模型效用”而言是非常重要的。应选择一较高 置信水平，以便在这水平下不易超出损失界限，就拿9 5 的置信水平来说，我 们预计在一个月内超出v a r 值的损失不超过2 个观察值；如果我们选择了9 9 置 信水平，模型约在1 0 0 天后才会与实际相符。因此，一般来说，说明我们是否观 测到大量超出v a r 的观察值需要更长时间。因而选择一个允许使用者在通常时间 问隔内检测估计值的置信水平尤为重要。 2 2 v a r 的常用计算方法 v a r 是指在给定的置信水平下，在一个时间间隔内的最大损失。它有多种不 同的测量方法，这一节就是要给出常用的几种度量v a r 值的方法。 v a r 的度量方法基本上可以划分为两类。第一类以局部估值为基础，例如组 合一正态方法。第二类以完全估值为基础。完全估值包括历史模拟法 ( h i s t o r y s i m u l a t i o n ) ，应力测试法( s t r e s st e s t i n g ) 和结构蒙特卡罗法 ( s t r u c t u r e dm o n t ec a r l o ) 。本文主要集中在局部估值方法，即主要是探究收 益率分布假设，以及对分布假设的实证研究和比较。 2 2 1 组合一正态方法 组合正态方法把v a r 看作是组合收益率的标准差等一系列元素的乘积： v a t = a o d ( 2 3 ) 其中，口为常数是置信水平所对应的分位数；仃，为组合收益率在选定时间 间隔的标准差。 此方法是基于组合收益率的正态性假定： ( 2 4 ) 若： ( 1 ) 如果组合种仅包含少量资产，且它们的收益率服从正态分布。 6 第二章v a l u e a t - r i s k ( 2 ) 组合包含大量头寸，其分布仅限于正态分布。 模型可被证明有效。 组合一正态法的实用性体现在两个方面。一方面是分散化投资成功的组合都 包含大量彼此独立的资产头寸，且服从正态分布。如果组合中任何资产的收益率 分布的均值和方差均有界，就可应用中心极限定理假设组合的收益率服从正态分 布。另一方面是通过这一方法迅速确定向交易部门分配的资本准备金数量。如果 能观察到交易部门的收益率历史纪录，就可以计算出收益率的均值和标准差( 例 如，周收益率或月收益率) 。可以据此提取准备金以防备可能发生的损失，或为 整个部门设置交易限额。 但不能就这样认为它是风险度量和风险管理的唯一解决方案，特别是当组合 中包含大量高度非线性资产( 如期权) 时或在评估各行业组合时应尤为谨慎。这 一方法的主要优点就是其简洁性，它不要求估计大规模相关性矩阵。 2 2 2 历史模拟法 历史模拟法提供了一种简单的完全估值的实施工具，这个方法包括回溯过去 的时间，如最近的9 0 天，并且将当前的权数应用到历史资产收益的时间序列中： r ”= w r “ f = l ，一，f ( 2 5 ) f = i 注意权重应保持它们的当前值，这里的收益不是指实际投资组合的收益，而是 指利用当前头寸重新构造的投资组合历史。 一股来说，完全估值可能需要一组完整的价格，如报酬曲线，而不仅仅是收 益。应用到当前水平为止的价格的历史变化，可以得到f 时的假定价格： 只：= 只，。+ 华， f = 1 ，n ( 2 6 ) 从一系列完整的假定价格中可以计算得到一个新的投资组合值只：，其中可能包含 了非线性关系。要注意的是，为了抓住v e g a 风险，这组价格包括了隐含的波动度 量，这产生了与观察时间f 相对应的假设的收益： r p t = l p ；1 一p p 0 p p q 7 ( 2 7 ) 华南理工大学理学硕士学位论文 如果历史数据能按每日即时行情收集的话，实施这个方法是相当简单的。同 样的数据也可保存下来，以便以后估计v a r 时使用。通常，抽样时段的选择反映 了应用较长或较短时间间隔的一种权衡，长的时间间隔增加估计的精度，但可能 会掺入不相关的数据，从而错过基本过程中的重要变化。 这个方法也直接处理了测量v a t 的时间间隔问题，与时间长度相对应的区间 上的收益可被简单地测量。例如，为了得到每月的v a r ，使用者可通过重新构造 历史上，比如说最近5 年的月投资组合收益来实现。 依据实际价格，这个方法允许非线性和非正态分布。完全估值是通过最简单 的方式，即历史数据获得的，这个方法不需要对定价模型或基本的市场随机结构 作特定的假设。它考虑了“厚尾”问题，并且由于它不依赖于定价模型，因此不 容易产生模型风险。这个方法是稳健和直观的。 但历史模拟法也有很多缺陷和问题。首先，也是最重要的一点，如果市场因 素的未来分布与历史分布差别过大，测算结果就会非常不准。另外，如果市场因 素收益率观察值数量过少，就不太可能精确界定分布的尾数形态。如果样本的时 间段过短，相对于真实分布，该方法会低估或高估极端波动。反过来，如果样本 区间过长，则受到外界不可测因素的影响的可能性就会增大( 比如说2 0 0 1 年我国 股票市场的国有股减持政策) ，因而就很难再假设市场因素的分布是静态的了。 历史模拟法的图示见图2 一l ： 图2 1 历史模拟法的基本步骤 第二章v a l u e - a t - r i s k 2 2 3 应力测试法 应力测试法是一个与历史模拟方法完全相反的方法。该方法有时也称为情景 分析，它模拟主要金融变量大的变化，并测试其对投资组合的影响效果。 例如，我们可以指定在一个月内收益曲线上移1 0 0 个基点的情景，也可以指 定货币突然贬值3 0 的世界末日情景。这些是传统资产负债管理方法中常用的典 型情景。而对于股票市场而言，具体的指标为：股票指数上下波动1 0 。该指标 的适用性依赖于它是否恰当地反映了典型的市场变化。如果指数在给定时间间隔 内上下变化超过1 0 的话，则应力测试法在确定潜在损失方面是无效的。 投资组合中的所有资产将在新的环境下重新评价，投资组合收益将在新的情 景s 下，从假设的成分足。推导得出： r ，= w i 州r ， ( 2 8 ) 这样对此运用产生了许多不同的r 。对每一情景s ，确定一个概率只，然后产生 了投资组合收益的分布，由此即可度量出v a t 。图2 2 给出了这个方法的详细步 骤： 图2 2 应力测试法的基本步骤 9 华南理工大学理学硕士学位论文 这个方法的优点是它涵盖了历史数据所缺失的那些情况。它迫使管理部门考 虑他们可能忽略的时间。 然而，就其他方法所具有的科学意义而言，应力测试并不能很好的度量v a t 。 这个方法是完全主观的，坏的或难以置信的情景将导致v a r 的错误度量，一些企 业的经验已经表明人们对极端情况的预测非常不准确。 进一步来说，情景的选择可能受到投资组合头寸本身的影响。例如，在这个 月，投资组合可能投资于全国性的固定收入市场，那么该市场的利息率的变动就 成为主要关注对象；接下来一个月，投资组合主要投资于外汇市场，那么汇率的 变动就成为主要关注对象。如果情景随时间而发生变化，那么风险的度量也将随 之变化。此外，应力测试不能详细说明发生最坏情况的概率。预期的风险应该不 仅是损失的函数，而且也是发生这种损失的概率的函数。 对应力测试最严重的批评是它不能很好地处理相关性问题。我们知道相关性 是投资组合风险的一个基本组成部分。而应力测试考虑的是某一个或某几个时刻 金融变量大的变动所造成的影响，前面的情景则是基于理性的推测。例如，若我 国人民银行让人民币浮动，则能够推测短期利率下降且股票市场止跌，除此之外， 很难对其他金融变量提出合理的情景预测。因此，应力测试对大的复杂投资组合 不是最适用。 总之，应力测试应被看作是其他v a t 测量方法的一个补充而不是替代，对估 计主要金融变量大的变动的最坏影响时，应力测试是有用的，这类似于当分布已 被详细说明后在计算尾部再添加一些信息。 2 2 4 结构蒙特卡罗模拟法 与应力测试相比，结构蒙特卡罗( s m c ) 模拟包含恶劣金融变量广泛的可能 值，并且完全解释了相关性。简单来说，这个方法分两步进行，第一步，风险管 理者设定了金融变量的一个随机过程和其过程参数，其中风险和相关系数等参数 可以从历史数据中获得；第二步，模拟虚拟价格走势。对每一时间段，可以从一 天到几个月，利用完全估值方法可以随行就市地确定投资组合的价格走势。然后， 用每一个“假”的收益实现值来编制收益分布，由此，v a t 的大小也能被度量出， 这个方法由图2 3 概括说明： l o 第二章v a l u e a t - r i s k 图2 3 蒙特卡罗法的基本步骤 除了等式( 2 6 ) 中资产i 的假定的价格变化缱是从一个随机过程中随机 获得的以外，蒙特卡罗方法类似历史一模拟方法。 蒙特卡罗分析是计算v a t 最有效的方法，它能说明广泛的风险，包括非线性 价格风险、波动风险等风险，它也考虑了波动时间变化、较粗的尾部以及极端情 景等因素。 这个方法最大的缺陷就是成本太高。如果由1 0 0 0 个资产的投资组合产生 1 0 0 0 种抽样途径，则总的估值数合计达到1 0 0 万，当资产的完全估值较为复杂时， 这个方法很快就变得过于麻烦以致难以实施。 这个方法另外一个潜在的弱点是，它不仅依赖于基础风险因素下的特定的随 机模型，而且也依赖于诸如期权或抵押担保之类的证券定价模型。所以，它面临 模型的风险。为了检查模型的结果相对于模型的变化是否稳健，我们应该对模拟 结果补充一些灵敏度分析。 总之，如果模型做的正确的话，这个方法很可能是度量市场风险最全面的方 法。在某种程度上，这个方法甚至可以处理信用风险。 2 3 本章小结 目前世界上一些主要银行及金融机构正越来越重视v a t 方法，它是一种容易 理解和掌握的计算和控制市场风险的方法。本章主要介绍了v a t 的定义，以及v a t 方法常用的几个模型：组合正态方法、历史模拟法、应力测试法、结构蒙特卡罗 模拟法，并一一分析了这几个常用模型的优缺点，使我们对v a r 有一个初步的了 华南理工大学理学硕士学位论文 解。 在下面的章节中，我们将具体的讨论本文利用的模型并用实际数据对模型进 行实证分析。 第三章正态分布下v a t 的计算 第三章正态分布下v a r 的计算 3 1 理论基础及基本公式 这一章主要是对正态分布模型进行实证分析，验证正态模型在拟合实际数据 分布方面的效果及根据正态模型估算出的v a r 在预测未来风险方面的有效性，并 且利用上证指数对所得结果的可信性进行了检验。本文数据取自上证指数和深沪 两地挑选出来的5 只股票( 不同行业挑选一只) 。数据样本取值范围是：1 9 9 7 年1 月2 号到2 0 0 2 年1 2 月2 0 号，共1 4 2 5 个数据。 为了验证v a r 模型在预测未来风险的有效性，本文采用了b a c k t e s t 检验方 法。 b a c k t e s t 检验是一种用来检验某v a t 模型是否有效的方法。通过统计评价 样本中实际的投资组合损失值大于v a r 的次数，就可以得出该v a t 模型在预测其 真实的风险暴露时的好坏。设评价样本的个数为t ，即测试区间的长度，月，为在 第t 日的实际损失值，f 【l ，t 】，v a t 为我们计算得到的风险价值，毒为示性函数 ，i r m ， ，t 1 ，t 】，则由v a r 的定义可知： p ( 毒= j ) = ：，石= 班 【i c ，x 2 1 记n 为评价样本中投资组合的损失值大于v a r 的次数，即： n = 善 显然n 服从二项分布，即 ( 3 一1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) r ) c 一 3 i l ( f c 、 r 工 ，。l i i ) x i i ( p 华南理工大学理学硕士学位论文 当t 很大时，n 有渐近正态分布： n ( t c ，t c 0 一c ) ) ( 3 4 ) 我们构造预测检验如下： h 。：预测无效。 h 。：预测有效。 构造统计量u 。了n 蟊- 霉t 豸c ，则u ( 。，1 ) 。如果我们在置信度1 一口下认为预测不准 确的话，即损失大于估计值的概率为口，则选择临界值u 。，使得 故h 。的否定域为： p ( i vj h 。) = 口 一止丽二万，t c + u 。耵丽二万) ( 3 5 ) 即n 若落在此区域内，则认为所算的v a t 值结果预测性良好，可以相信。简单地 说就是若称n t 为失败率，则在定的置信水平口将失败率与估计v a r 值的左 尾概率p 进行比较。如果他们无显著差异，则表示所计算的v a r 值是有效的：如果 他们相差很大，则说明所采用的y a r 模型是不适当的，应拒绝。下表给出了置信水 平为9 5 时接受该模型的n 的取值范围。从表中可以看到，左尾概率越小，越难于 确定偏差，特别是评价样本的个数较小时。 】4 第三章正态分布下v a t 的计算 衰l 基于k u p t c e 的且。出t e n 检验的非拒绝区间 评价样本的大小 左尾概率【) z 5 05 d 0 7 5 010 0 0 57 1917 , j 35z 7 n 4 p3b 6 4 11 62 n 93 135 16 o 5o 一 41 61 判 82 9 0 10 10 2o 30 3 o 0 1d o0 0o 10 1 由于本章是验证正态模型的有效性，因而本章假定收益率的分布是正态的。尽 管这与实际情况不相吻合，因为一般认为金融资产收益率的分布与正态分布相比 具有厚尾性。但由于正态分布所具有的一些特性，如参数的估计简单易行、分布的 可加性等，使其仍被广泛的使用。 设为某项投资在t 时段的收益率，若独立且服从相同的正态分布，即： ( 从仃2 ) 令，( ，) 为其分布密度函数，则有： ( 3 6 ) e ，( ，) d r = 1 - c ( 3 7 ) 其中口。为分布为标准正态分布时，置信度c 所对应的分位数。则v a r 能很容易地 表示成： p a r = + 蚴一。 ( 3 8 ) 参数乒和盯可由极大似然估计而得到。若假设置= r , - - ；，其中；2 专喜，则r n ( o ，盯2 ) ，而冠的v a r 为： v a r = d 一。 1 5 ( 3 9 ) 华南理工大学理学硕士学位论文 由于，的v a r 为r ，的v a r 加；，故当；不为0 时，我们只需计算零期望收益率r ， 的v a r 即可。 若r 为某项投资组合的收益率，且有： 墨= w ，r 。， 啊为第i 中投资所占总投资的权重 ( 3 一1 0 ) f = l 则该投资组合的v a r 为： v a r = w f 嘎w r a , 一。 ( 3 一1 1 ) 其中w = ( w 1 ，w ：，w 。) ，表示r ，的方差一协方差矩阵e 本文计算的v a t 是针对单只股票和指数，不针对投资组合。 3 2 实际数据的计算 利用前面所述方法对五只股票的样本数据进行计算，得到以下的结果。其中 表中“一年”、“两年”、“三年”、“四年”、“五年”表示选取的样本数据 的时间段长度，表中的收益率在本文中为了计算的精确度，取为真实收益率的1 0 倍。此外，表中“v a r ( 5 或1 ) ”表示用正态模型计算出的v a r ，“实际( 5 或1 ) ” 表示用实际数据计算出的v a r ，括号中的概率为左尾概率；“收益率”为用于事后 检验的评价样本的数据，这些数据已经经过递增排序，本章选出了排在前1 2 位的 数据列出，以此观测模型的预测效果。 1 6 第三章正态分布下v a r 的计算 ，篱 罩翁 2 7簟 gd。 i i o采o 露 鼍鼍 毒。 1 。拳 。；d 霉 茁心 哩 g 麓 。 罕 j 9 。 巷 村 霉 若希 冀 宁宁 。 宁 。 对舻辩s s 弩鼍t 麓 据 甲 零 。 9 。 呈 嚣 o 酊s 一 霪 t曩哆 龉g ? 。 譬 。 描 i 求村甜d 擎 笛 薯? o邗 。 守穹 令 s 翟 s心心群 d 穆鼍 鼍芑 i 9 早 宁 。 霉 希心 冀 鬈落 一 。 宁宁 亨 宁 村s 2 每蕾 鼍 d t 。 7 i 宁 。 sg宝 若# 一d 一t 警 。 奢 ： 监 张 一 蔫 叫 一o 监 饿 苎 奄 ， 一 呻 番m d l 州 窝 翻 种 羹 。d 釉 勰 o d 霞 簏 艟艟艟艟廿 l挂i i i日晴 1 7 器豁 器鬻 s8 l m o 令 串 惑篱鑫 心 ss t 雾 i -l - j 。 每 嚣窭器蠢 o so。 中 宁 滞o秆 誊譬 麓鼍誓 d。 ? 甲 1 ，、 毋稿嚣时 霉 麓鼍麓一 d。o 千 毋 爵 薯 訾 搽 霉 磊 薄 誓 s。 錾 。 i 誉 宁 对 2 ? 霉篱 宁 争d t gd。 i 荨蕊； 。 牮 拳 l 拧村o 呼? 。 豁鬈尊琴 苓 d。 夸 d l o 8 冀 0l 雌 鼍 7 os 宁 霎嚣撼 。 dg 避 械 塞 理 械 窜 惑蔫 。 。 备 一 霉 踌 d 莹 荆 高 鳃 。 辘 簟 霸 舞 廿辨廿艟| l i腔i i i甑懈 援鞲寐髫。繁曩。 “- 纛 赡姆鬻哦髫。囊麓麓q。 1 i n 囊 华南理工大学理学硕士学位论文 _ ，】 掌=裁 磊 簟 6 。 。 守宁 - 蚕硝 ?d 窝 d麓 一 d i 。 竿 。 #葛i 曩 d 鼍。誓 宁 井 o 守穹 贳 麓 i 希l 疗# t 宁蒌 西 麓 。 s 誓 宁 嚣 鼍 宁 心 鼍 搴 d 嗡 宁 i 莳 哩 早 对 。 辛 甲 s 矗。 - #i 符o 誓。t 警 。 譬 早 、： 蠢对采 僻 t t ci o 橱 宁 6 譬 孥篱 d ：； 哩 霭 1 。d ； 墨8 早 争 摹 i村 一 鼍 早 。 早 d g暮 誓 dg 譬 l +i 。 蜜葛 鼍 。 宁守 奢 。 监 诛 翟 。 握 镶 誉 墨丞苍 o 。口。 k 一 嚣 拣 。 麓 i 枷 器霜 螂 。 缝 毯 爨 蓬 持艟艟 持| i l艋l i l殴啁 1 8 嚣 荨鹦霉 s 串 s 宰 争 嚣 对i 疗。 二 $ 吧 誓一 。 窜审 霉簿蕃i 膏 sc i 宁 鼍 d i 萋 i 宁 ? 誉 d 雾 毋 。5 j 串 譬 l - 霉 对 宁 鼍 g d ： 舞 l d l 麓器 号； g 节 毫 寮 。g d 宁 d 甲 g g 嘏 。s 鑫 虿 5 2 o若 i o 惜 d6 栩 s 擎 。皇t 。 9 藩蓉 。 宁 。 os 警 弩鼍 号 。 穹 警 昱 盛 d 宰 8 d 萝 i 鼍 二 嚣 7 d 甲 奢 。 垣 诛 棠 8 臁 辕 套 巷 。d 妻 誉 窝 喇 毳露 髅 。6 蜷 茗 鼍。 霸 麓 节 艟| 廿措 般| i l日磷 冀餐赛求嚣。斛螺t阻。 z 赡搬嚣礅譬。$皤攥哥。 - 群 第三章正态分布下v 目的计算 肇 凄 茎 嚣 ， 蒌 l 书寸 霉蒜高 一 一一 审甲 宁 ： 心 。 l g ；封 麓鼍 dd 穹雩 。 i 。 心对砖 ；鐾 麓誓 争 争 宁 辞培 譬 拍 甲 审 _ 二 舞 d 宁 i 嚣窝 审 审 霉 寸 g t 1 宁 8 对 串 麓 舻 宁 1 皇 驾 。 宰 霉 矗 叶- 警 筝 0对 岫 宁 。 9 t o 亨 #矗 麓 罕 罕 村i 誓 搬 串 。 宝 每e 瓣 譬t 捌 审o 擎 心 篇 鼍 s。 d 瀑 宁 宁 柑d 叶=鼍 。 宁 菇 霉 一 d 宁 l 书 善 冀 。 麓 芷 。 。 监 袜 翟篱 。 。 避 诛 誊 簟霉 os。 番 麓 枷 篱 n o a 樊 。d 爆 捌 嚣 篪 瓣艟措世 艟 靛| i l戡嘲 1 9 华南理工大学理学硕士学位论文 通常我们认为收益率服从正态分布，但观察分析上面的五个表，可以看出， 在置信水平9 5 处正态模型估计出的v a t 是高估了实际的v a r ，而在置信水平9 9 处是低估了。并且，总的来说，正态模型在9 5 置信水平处的误差要比在9 9 置信水平处( 一般约1 5 左右) 大的多。以股票“申能股份”来说，对于所应 用的五个时间段来说，在置信水平9 5 处，其误差分别为：1 8 4 、2 3 7 、2 8 ，2 、2 5 、1 5 4 ，而在置信水平9 9 处，其误差分别为：一1 9 、一i 0 8 、 一5 4 、一5 5 、一1 2 3 。对于本文所选出的五只股票，“申能股份”、“西 南药业”、“青岛啤酒”这三只股票在所应用的的五个时间段中，“两年”、“三 年”、“四年”、“五年”这四个时间段，它们在置信水平9 5 处，正态模型估 计出的v a r 相对于实际的v a r 的误差要比置信水平9 9 处要大。其他两只股票， “四年”、“五年”两个时间段在置信水平9 5 处的误差也比置信水平9 9 处大。 上述数据说明，数据实际的分布相对于相同均值方差的正态分布具有明显的“细 腰”、“厚尾”性，并且“细腰”的程度要比“厚尾”的程度大。也就是说，基 于正态分布可能无法精确建立收益率模型。但是，对于v a r 模型，关心的主要是 “厚尾”，因为“厚尾”可能造成的后果要比“细腰”严重的多。为什么现实中 会出现“厚尾现象昵? 举个简单的例子，市场上，当一只股票价格下跌时，人 们会纷纷抛售该股票。这样，他们抛售股票的行为将促使股票价格更快地跌落到 正态分布曲线所描述的极端值以下。因而，实际中，一只股票出现极端值的可能 性远大于正态分布曲线所显示的数据。所以，如果不对衡量风险的v a t 模型进行 调整就使用正态分布曲线的数据，其结果将是不准确的。这方面，本文会在以后 的章节中用另一个模型对此进行比较说明。此外，通过对每个表进行横向比较， 可以发现，“两年”、“三年”、“四年”、“五年”的数据的方差相差不大( 由 于均值相对于方差较小，因而，本文将均值都设定为0 ) ，而“一年”的方差和 其余数年的方差相差则比较远。 3 3 事后检验 上一节，本文从正态分布能否精确建立收益率模型方面讨论了正态模型的有 效性，这一节，本文从另外一个方面来讨论正态模型的有效性，即正态模型估计 出的v a t 的预测能力方面。为了讨论正态模型估计出的v a r 的预测能力，本节采 用了本章开头所说的b a c k t e s t 检验方法，通过将上面每个表中的v a r 与其旁边 一列的收益率进行比较，得到如下结果： 第三章正态分布下v a t 的计算 表3 6 上海邮通超过v a r 值的k 数 9 5 9 9 一钲1 01 两年63 三年41 四年62 五年lo 表3 7 陆家嘴超过v a r 值的7、数 9 5 9 9 一盈 l ol 两年63 三年4 1 四年62 五年l0 表3 8 申能股份超过v a r 值的个数 9 5 9 9 一生21 两年6 4 三年72 四年21 五年5l 表3 9 西南药业超过v a r 值的7、数 9 5 l 一生 3l 两年l o 4 三年30 四年62 五年74 2 1 华南理工大学理学硕士学位论文 表3 l o 青岛啤酒超过v a r 值的7 、数 9 5 9 9 一生l1 两年l o 2 三年41 四年6 2 五年2o 本文用于事后检验评价样本的样本期为计算样本期下面的一年，约2 5 0 个样 本，因而参考前面“基于k u p i c e 的b a c k t e s t 的非拒绝检验区间”表，可以知道： 在9 5 置信水平下对于左尾概率为5 的情况，若v a r 模型有效的话，则2 5 0 个 评价样本中超过正态模型估算出的g a r 的个数n 的合理区间应该是 7 ，1 9 ，观察 表3 6 到3 1 0 可以看出，在我们选出的5 只股票中除了“陆家嘴西南药业” 以外，“上海邮