（基础数学专业论文）域上的有限矩阵群.pdf

t h ef i n i t em a t r i xg r o u po v e rf i e l d b y p e n gd a q i a n b e ( j i a n g x in o r m a lu n i v e r s i t y ) 2 0 0 6 at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e l n f u n d a m e n t a lm a t h e m a t i c s 1 n c h a n g s h au n i v e r s i t yo fs c i e n c e t e c h n o l o g y s u p e r v i s o r p r o f e s s o ry o ux i n g z h o n g m a r c h ，2 0 1 1 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究 所取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含 任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声 明的法律后果由本人承担 储始豸矸嘲刎年厂月巧日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后试用本授权书 2 、不保密函 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者毖蜀六千 导师签名：砀叶 日期：加f 年f 月彤日 日期：纱，年r 月z 日 摘要 设r 为有单位元的交换环，g l ( n ，r ) 为r 上的所有n 阶可逆矩阵的集合，则 g l ( n ，r ) 对于矩阵的乘法作成一个群，g l ( n ，r ) 称为r 上次为礼的一般线性群 一般线性群是一类非常重要的群，在典型群，群表示论，抽象群论及晶体学等的 研究中有很重要的应用一般线性群和其它群之间的联系，促使人们探讨一般线性 群的有关性质本文主要研究有理数域q 上的一般线性群g l ( n ，q ) 的有限子群的 结构 第一章主要介绍和本文工作相关的文献背景及主要研究内容 第二章主要给出本文需要的预备知识，包括基本概念，若干引理及证明 第三章主要研究g l ( n ，q ) 的有限子群的阶的上界通过研究g l ( n ，z ) 中的 初等交换2 子群的结构，给出了下面的g l ( n ，q ) 的有限子群的阶的一个上界，改 进了文献f 3 5 1 中的结果 第四章主要研究当n 较小时g l ( n ，q ) 的有限子群的结构我们借助于抽象 的小阶的有限群的结构和初等数论的知识，利用初等的方法从共轭的角度刻画了 g l ( 2 ，z ) 和g l ( 2 ：q ) 的有限子群的结构此外，对礼= 3 ，4 时g l ( n ，q ) 的某些周 期元的共轭类做了研究 关键词：一般线性群，有限群，矩阵群，周期，共轭类 ， a b s t r a c t a s s u m et h a tri sc o m m u t a t i v er i n gw h i c hh a si d e n t i t ye l e m e n t g l ( n ，r ) i s as e to fi n v e r t i b l em a t r i xo v e rrw h i c ho r d e ri sn t h e ng l ( n ，r ) a c ta sa g r o u p u n d e rm u l t i p l i c a t i o n g e n e r a l l y , w ec a l lg l ( n ，r ) g e n e r a ll i n e a rg r o u po v e rrw h i c h o r d e ri sn g e n e r a ll i n e a rg r o u pi sv e r yi m p o r t a n tg r o u pa n dp l a yi m p o r t a n tr o l e si nt h e e n t i r ep r o c e s so fg r o u pt h e o r yr e s e a r c h f o re x a m p l e ，c l a s s i c a lg r o u p s ，t h et h e o r yo f g r o u pr e p r e s e n t a t i o n s ，t h et h e o r yo fa b s t r a c t ，g r o u p ，c r y s t a l l o g r a p h y ，e t c t h er e l a - t i o n s h i pb e t w e e ng e n e r a ll i n e a rg r o u pa n do t h e rt y p eo fg r o u pm a k em a n ys c h o l a r s r e s e a r c hi t sp r o p e r t i e s t h i sp a p e rd e a l sw i t ht h es t u d yo ft h es t r u c t u r eo fg e n e r a l l i n e a rg r o u pg l ( n ，r ) st h ef i n i t es u b g r o u po v e rq i nc h a p t e r1 ，w em a i n l yi n t r o d u c et h ew o r k sr e l a t e dt ot h i st h e s i sa n dc o n t e n t a n dm e t h o dt os t u d yi nt h i st h e s i s i nc h a p t e r2 ，w eg i v es o m en e c e s s a r yp r e l i m i n a r i e s ，i n c l u d i n gs o m eb a s i cc o n - c e p t i o n s ，l e m m a s i nc h a p t e r3 ，w ed e a lw i t ht h eo r d e r su p p e rb o u n do faf i n i t es u b g r o u po f g l ( n ，q ) t h r o u g hs e a r c h i n gt h es t r u c t u r eo fe l e m e n t a r ya b d i a n2 - s u b g r o u po f g l ( n ，z ) ，w ef i g u r eo u tao r d e r su p p e rb o u n do faf i n i t es u b g r o u po fg l ( n ，q ) ， i m p r o v et h er e s u l ti nt h el i t e r a t u r e 3 5 i nc h a p t e r4 ，w ef o c u so nt h es t r u c t u r eo ff i n i t es u b g r o u po fg l ( n ，q ) ，w h e n 礼i sr e l a t i v e l ys m a l l b yu s i n gt h ek n o w l e d g eo fs t r u c t u r eo ff i n i t es u b g r o u pa n de l e - m e n t a r yt h e o r yo fn u m b e r s ，w ef i g u r eo u tt h ef i n i t es u b g r o u p ss t r u c t u r eo fg l ( 2 ，z ) a n dg l ( 2 ，q ) f u r t h e r m o r e ，w ed e a lw i t ht h ep e r i o d i ce l e m e n t sc o n j u g a t ec l a s so f g l ( n ，q ) ，w h e n 礼= 3 ，4 k e yw o r d s ：g e n e r a ll i n e a rg r o u p ，f i n i t eg r o u p ，m a t r i xg r o u p ，p e r i o d i c ， c o n j u g a c yc l a s s i i 目录 摘要：i a b s t r a c t i i 术语和符号 第一章绪论 1 1 课题背景与发展概况_ 1 1 2 主要研究内容2 第二章预备知识 2 1 基本概念4 2 2 若干引理及证明5 第三章g l ( n ，q ) 的有限子群阶的一个改进 3 1 g l ( 2 ，q ) 的初等交换2 一子群1 1 3 2 g l ( 3 ，q ) 的初等交换2 一子群1 6 第四章g l ( n ，q ) 的有限子群 4 1 g l ( 2 ，q ) 的有限子群2 2 4 2 g l ( n ，q ) ( 3 n 4 ) 的周期元共轭类2 9 参考文献3 3 致谢3 6 附录( 攻读学位期间所发表的学术论文目录) 3 7 术语和符号 本文中我们使用_ 下术语和符号 字母f 总表示一个域或数域，c 为复数域，q 为有理数域，r 为有单 位元的交换环，z 为整数环； ( r ) 表示r 上n x n 型( 或次为n ) 的矩阵的全体； c l ( n ，r ) 为r 上的一般线性群，厶为g l ( n ，r ) 的单位元； 对9 g l ( n ，r ) ，9 7 表示g 的转置，若s g l ( n ，r ) ，= 【s l s s ) f ，尬o o o 、 设舰m n ( r ) ，1 i 甄舰e m 2 。m s ：i om 2 ”一o i _ 。：五j 称为尬，尬，尥的直和； 、 ( n l ，讯) 表示正整数凡l ，礼七的最大公因数； d ( z ) 表示有限群g 的元z 的阶； 【卅日表示群借助于群的半直积； a u t ( g ) 表示群g 的自同构群； g 表示竹阶循环群； 岛表示扎次对称群，如表示礼次交错群； 仇表示8 阶二面体群； q 8 表示8 阶四元数群； i v 第一章绪论帚一早z 百t 匕 全文共分四章，第一章主要介绍和本文工作相关的文献背景，研究内容及思 路；第二章主要给出预备知识，包括基本概念，若干引理及证明；第三章主要研究 g l ( n ，q ) 的有限子群的阶的上界通过研究g l ( n ，z ) 中的初等交换2 _ 子群的结 构，给出了下面的g l ( n ，q ) 的有限子群的阶的一个上界，改进了文献【3 5 】中的结果； 第四章主要研究当n 较小时g l ( n ，q ) 的有限子群的结构我们借助于抽象的小阶 的有限群的结构和初等数论的知识，利用初等的方法从共轭的角度刻画了g l ( 2 ，z ) 和g l ( 2 ，q ) 的有限子群的结构此外，对n = 3 ，4 时g l ( n ，q ) 的某些周期元的共 轭类做了研究 1 1课题背景与发展概况 一般线性群是一类非常重要的群，在典型群、群表示论、抽象群论及晶体学等 的研究中有很重要的应用一般线性群和其它群之间的联系，促使人们探讨一般线 性群的有关性质 设兄为有单位元的交换环，g l ( n ，r ) 为r 上的所有礼阶可逆矩阵的集合， 则g l ( n ，r ) 对于矩阵的乘法作成一个群，g l ( n ，r ) 称为r 上次为住的一般线性 群令y 是域f 上的几维线性空间，g l ( v ) 表示y 上全体可逆线性变换的集 合，则g l ( v ) 在映射乘法之下组成一个群，称为y 上次为n 的一般线性群若 口g l ( v ) ，m a t ( a ) 为q 在y 上给定基的矩阵，则映射7 - ：ghm a t ( g ) 确定了一 个由g l ( v ) 到g l ( n ，f ) 的同构对应 首先，一般线性群与典型群密切相关，g l ( v ) 中满足某些给定条件( 例如对应 的行列式为1 或保持y 上某个“型”不变) 的元素集合构成了典型群，而典型群是 极为重要的一个群类，有限群的各个领域都要用到关于典型群的结果特别当f 为 有限域时，由g l ( n ，f ) 得到的典型群在有限群( 特别是有限单群) 的研究中起着至 关重要的作用( 见f 1 ) 当r 为域时，研究有限群g 到g l ( n ，r ) 内的同态，即g 在域上的矩阵表示， 就形成了群论的( 甚至独立于群论的) 一个分支群表示论它在十九世纪末和二十世 纪四十年代得到了决定性的发展，对有限群的构造的研究起了十分重要的作用( 见 【2 】，【9 】，【1 0 】) 一般线性群与自由群也有非常密切的联系若r 是秩为n 的自由群，层为r 的导群，a u t ( f ) 为r 的自同构群，则a u t ( f n 只) 垒g l ( n ，z ) ，其中z 为整数环 令g 是r 的自同构群a u t ( f , 。) 的一个有限子群，由b a u m s l a g - t a y l o r 的一个结果 ( 1 6 ) 知道，从a u t ( r ) 到a u t ( r r ) 的自然同态将g 同构地映到g l ( n ，z ) 的 1 一个子群上去因此对g l ( n ，z ) 的有限子群的研究有助于获得a u t ( f n ) 的有限子 群的某些信息 研究一般线性群的子群是研究一般线性群的一个主要内容，从已有的工作来看， 对一般线性群的子群研究主要表现在两个方面：一是研究子群有限的条件，并对有 限子群的阶给出一个尽可能好的上界；另一方面是研究一般线性群的有子群的结构 b u r n s i d e 证明了：若f 是特征为0 的域，则g l ( n ，f ) 的具有有限方指数的子群 为有限群，且若日是g l ( n ，f ) 的方指数为e 的子群，则日的阶至多为e n ；当f = q 时，s c h u r 改进了证明了b u r n s i d e 的结果，得到了：若g 是g l ( n ，q ) 的周期子群， 则g 的阶有一个仅与礼有关的上界( 见 2 2 ) f r i d l a n d 在【5 1 中提出了下列猜想：当 礼充分大时，g l ( n ，q ) 的有限子群的阶最大为2 n 扎! ，并在 6 】中证明了当n 1 0 时 这一猜想成立? 若进一步将q 限制到整数环z 上，m i n k o w s k i 得到了g l ( n ，z ) 的有 限子群的阶最大为2 n ( 2 n 1 ) ( 2 几一2 ) ( 2 n 一2 俨1 ) 与( 矿一1 ) 眇一2 ) ( 矿一矿_ 1 ) 的最大公因子，其中p 是任意奇素数( 见2 4 1 ) r o c k m o r e ，t a n 和k a t a n e l s o n 独立 地证明了：若g 为g l ( n ，z ) 的有限子群，则对任意的正数，存在依赖的正常数 c 使得g 的阶最大为( n ! ) 1 + 5 c n ( 见 1 1 】和【3 7 】) 若g 是g l ( n ，q ) 的局部有限子 群，在文献 3 5 】中，游兴中通过研究g 上的无挠的满足极大条件的z g 模，得到了 g 的阶的一个上界，改进了m i n k o w s k i 的结果 v a i d y a n a t h a s w a m y 在 3 0 】中研究了g l ( n ，z ) 中元素的可能的周期，l e v i t t 和 n i c o l a s 在 1 5 】中研究了g l ( n ，z ) 和a u t ( f ) 中的周期元的最大阶，潘江敏研究了 在任意域上类似的问题( 见文献2 0 1 ) 令z ，y g l ( n ，冗) ，彤v 是g l ( n ，r ) 的子群若存在夕g l ( n ，r ) 使得 g - l x g = 夕( 或g - 1 w g = y ) ，则称z 与( 或与y ) 在g l ( n ，r ) 中共轭，记作 z 一秒( 或一y ) 利用有限群整表示理论的方法，v o s k r e s e n s k i i 研究了g l ( 2 ，z ) 中周期为2 和3 的元的共轭类( 【3 2 】) ，r e i n e r 研究了g l ( 3 ，z ) 中周期为2 和3 的元的共轭类( 2 1 1 ) ： m a t u l j a u s k a s 研究了g l ( 3 ，z ) 中周期为6 的元的共轭类( 17 】) 根据这些已有的结 果，游兴中利用初等的方法确定了g l ( 4 ，z ) 中周期为2 和3 的元的共轭类( 【3 4 1 ) 研究g l ( n ，z ) 的有限子群与晶体学有密切的关系( 见文献 1 9 】) ，d a d e 利用 二次型的理论确定了g l ( 4 ，z ) 的所有互不共轭的极大有限子群( 【4 】) ，曹佑安利用 d a d e 建立的理论确定了g l ( 3 ，z ) 的所有互不共轭的极大有限子群( 3 1 ) 1 2主要研究内容 本文主要研究有理数域q 上的一般线性群g l ( n ，q ) 的有限子群 第二章中，我们给出了预备知识，我们先给出了一些基本的定义，然后根据一些 文献给出了必要的基本引理及证明 2 第三章中，我们通过研究g l ( n ，z ) 中的初等交换2 一子群的结构，给出g l ( n ，q ) 的有限子群的阶的一个上界，改进了文献 3 5 】的结果( 见定理3 2 8 ) 第四章中，借助于抽象的小阶的有限群的结构和初等数论的知识，从共轭的角 度刻画了g l ( 2 ，z ) 和g l ( 2 ，q ) 的有限子群的结构( 见定理4 1 1 3 和定理4 1 1 4 ) 此外，对佗= 3 ，4 时g l ( n ，q ) 的某些周期元的共轭类做了研究 3 2 1 基本概念 第二章预备知识 弟一早 耿亩划以 定义2 1 1 对正整数扎，令妒 ) = k l ( k ，n ) = 1 ，1 2 引理2 2 2 设n 为正整数，礼= p ；p ；p ；的标准分解，其中p i p 2 1 假定p i 2 ，同理可得妒h ) e p s 妒瞄) 对所有i 1 ，因此由引理2 2 1 ，妒如) 妒) = ( p , - 1 ) p ：- 1 ；假定p i = 2 ， 则妒( c 1 ) p s j 1 妒瞄) = p 妒( p ；) = 慨一1 ) 西一1 j = l 。 i - - - - - 1 s 妒( 西) 一1 ，再由引理2 2 1 t e ：1v ( c d 引理2 2 3 8 设圣n ( z ) 为n 次分园多项式有下列基本性质，则 ( 1 ) ( z ) 的所有系数均为整数，o ( 2 ) ( z ) 的次数为妒m ) ； ( 3 ) 圣n ( z ) 在有理数域q 上不可约； ( 4 ) 矿一1 = h a l 。虬( z ) 为矿一1 在q 上的不可约分解 对任意的正整数扎，下面的引理提供了一个构造阶为佗的整数矩阵的方法 引理2 2 4 设竹为正整数，圣竹( z ) 为n 次分园多项式，m 为垂。( z ) 的友矩阵 则m a l ( k ，z ) 且m 的阶为n ，其中k = 妒m ) 证明因为圣。 ) 为n 次分园多项式，由引理2 2 3 ，西n 扛) 的系数为整数且q 上不可约及圣n ( z ) l 扩一1 于是m m ( k ，z ) ，其中k = 妒( n ) 因为西n ( m ) = 0 ， 所以m n 一厶= 0 ，即m n = 厶因为圣n ( z ) 不可约，所以晚扛) 为m 的极小多项 式若对某个m n 有m m = 厶，则西n ) l z m l ，于是所有礼次本原单位根也是 z m 一1 的根，矛盾因此m 的阶为n 引理2 2 5 令礼= p i 建p ；为正整数亿的标准分解，其中p l p 2 2 ，由引理2 2 4 ，我们可构造一个次数为 妒饼) 的矩阵尬使得舰的阶为礴令 m = 尬o o 0 尬= 则i f 的阶为竹若u ( 佗) = k ，则a = m 一) ，则a 为所求的元素现假定硝= 2 ，则u ( n 2 ) = ( p i 一1 ) p ；1 1 k ，由上面的推理g l ( k ，q ) 有阶为他2 的元素b 注意到n 2 为 奇数，一b 的阶为几 对n = 硝建成，假定有m g l ( k ，q ) 的阶为n 令g ) 为m 的极 小多项式且9 ( z ) = g l ( z ) 79 2 c = ) r 吼( z ) 7 为夕0 ) 在q 上的不可约分解因为 妒一1 的根是互不相同的且夕0 ) i 护一1 ，所以r 1 = r 2 = = = 1 由引理2 2 3 ， 对每个1 i 8 ，玑( z ) = 西d ( z ) 对佗的某个因子d 1 因为m 的阶为几，所以 【d 1 ，d 2 ，d 。】= n 因此m 与尬o o om s 在q 上共轭，其中尬的极 小多项式为吼( z ) ，1 t 8 令尬的次数为啦，则啦鲰( z ) 的次数= 妒( 也) 于是ep ( d i ) e 啦= k 由引理2 2 2 ，u ( n ) e 圣d 这样我们就证明了引理 i - - - - 1i - - - - 1i = - i 2 2 5 成立 引理2 2 6 ( 【3 5 】) 若g 为a l ( n ，q ) 的一个有限子群，则g 与a l ( n ，z ) 的一 个有限子群共轭 引理2 2 7 ( 1 ) a l ( n ，q ) 有周期为七的元素当且仅当a l ( n ，z ) 有周期为k 的 元素： ( 2 ) 若角为a l ( n ，q ) ( 或a l ( n ，z ) ) 的某个元素的周期，则 ( i ) 当礼= 2 ，3 时，k = l ，2 ，3 ，4 或6 ； ( i i ) 当n = 4 ，5 时，k = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，8 ，1 0 或1 2 证明由引理2 2 5 和引理2 2 6 可得引理2 2 7 成立 引理2 2 8 设g 为有限群且g 的阶为n ，则g 与a l ( n ，z ) 的一个子群同构 证明由c a y l e y 的定理知道，g 与n 次对称群& 的一个子群同构因此只 需证明& 与a l ( n ，z ) 的一个子群同构令q “为有理数域q 上的礼维线性 7 2 琏 若 l 一 一 e 1pd 一 黟 。汹 = n u 记2 = 以 e 1磁 l 一 仇，l 。潍 = 、l ， 乜 一 记嘭则“ = a 令 1 ，扎 1 使得 m l a - 1 ，扎i 口+ 1 令。一1 = m u ，a + l = 删，于是不定方程 凹一( 0 1 ) y 】【一( 口+ 1 ) y 】= c 可化为( m ，n z m u y ) ( r n n x n v y ) = m 扎于是( n z 一 y ) ( m z v y ) = 1 因此 ( 礼z u y ) = ( 7 n z v y ) = l 或( 扎。一u y ) 兰( m x v y ) = - 1 令几z u y = 1 ，m x v y = 1 j 由( m ，n ) = ( u ，u ) = 1 及n u m u = 2 得z = 半，y = 竽为不 定方程凹2 一b y 2 2 a x y = 1 的一个整数解 情形2 假定c 为奇数，a 为偶数，此时a 一1 与a + 1 均为奇数且由a 2 + b c = 1 得b 为奇数若p l o 一1 且p l a + 1 对某个奇素数p ，则p 1 2 = a + 1 一( a 一1 ) ，矛盾 因此( a 一1 ，a + 1 ) = 1 类似于情形1 的推理可得不定方程c x 2 一b y 2 2 a x y = l 的有整数解 引理3 1 6 设a ：f 口6 、) g l ( 2 ，z ) 为2 阶元且曲c o 若c 为奇数， 则从) 证明只需证明存在=x3xz42)，刁使得x-lax=0x g l ( 2 xl a x 0 j ) 证明只需证明存在 ： 1 ，z ) 使得 l 1 翟4 由引理2 1 3 ，必需x ：f 钯2 + k 4 现1 ，其中由i x i ：士1 得关于x 2 ，x 4 的不 、2 一e r a 4 _ 山4 定方程；一6 z i 一2 a x 2 x 4 = 1 或凹；一妇i 一2 a x 2 x 4 = - - 1 有整数解由引理3 1 5 得弓l 理316 虎寺 。 定理3 1 7g l ( 2 ，z ) 中互不共轭的2 阶子群有且仅有如下3 个 帆= c ( - 1 三) ) ，= c ( 三二) ) ，= c ( ：三) ) 证明设a ：( o 6 1 g l ( 2 ，z ) 为2 阶元若a b c ：o ，由引理3 1 2 ，则 c一口 a m ，鹏或；若a b c 0 ，则当c 为奇数时，由引理3 1 6 ，a 一；若a b c 0 时，则当c ，b 为偶数，a 为奇数时，由引理3 1 4 ，a 一；若n 6 c 0 ，则当c 为偶 数，a ，b 为奇数时，注意到a 。f 一= 口c1 ，于是由引理3 1 4 ，同样有a 。 d o ， 下面我们证明肌，和吼互不共轭注意到嘶，和服的迹分别为 - 2 ，0 ，0 ，所以m 与和胍不共轭 若w 2 和共轭，则存在x ：f z 1 。2 1 g l ( 2 ，z ) 使得x 一1 x ：， z 3x 4 直接计算得z 1 = x 2 = 士1 ，z 3 = 一z 4 = 士1 ，于