（基础数学专业论文）virasorolike代数和顶点代数.pdf

摘要 v 众所舞翘，v i r a s o r o 代数及瑗点代数在数学和物理静许多努支上都有重要鳃应蔫。单 变量罗朗多项式环的导子李代数称为w i t t 代数，而w i t t 代数的泛中心扩张就是v i r a s o r o 我数v i r a s o r o 德数的表示在仿射k a c - m o o 毋代数鲶可积模构造及其结构分析和可积模 的分类中起着重要作用( g o l 】， 0 0 2 ) 。由b o r e h e r d s 弓l 遴的顶点代数在理论物理中的共 形场论及弦论中都有广泛研究和应用( o s v 叼) ，格顶点代数是顶点代数理论中重要的一 类，这些代数在m o o n s h i n e 模及其蒺点代数的理论发展串扮演着极其重要的角色。 v i r a s o r o - l i k e 代数w ，可以褥作是无中心v i r a s o r o 代数的推广，它的基元为 d ( m ) l m z 2 o ，其皆m = ( m l ，嘏2 ) ，李关系势 【d ( m ) ，d ( n ) 3 = ( m 2 n l m l n 2 ) d ( m + n ) 我们可以从如下两种不同角度把它看作是鞋v i r a s o r o 代数”，首先，在( x , y ) 平面上，对 m 端( m l ，m 2 ) ，令d ( m ) = e i ( m l y + m 2 x ) , 利用p o i s s o n 积 ，寥) = ( 嚣) ( 塞) 一，魁o x j 、，x 鲤o y 、我 船得臻对d ( m l ，撬2 ) 一e i ( m 2 辨热l 谤及d ( n l ，露2 ) 一8 沸2 祀l 吐有 【d ( m l ，m 2 ) ，d ( n 1 ，霸2 ) 】= x - 1 m l y ) ，e n 2 x + n l y ) ) = ( i m l ) e 4 ( m 2 x + m l v ) ( t 他2e ( n 2 x + n l y ) 一( i m 2 ) e ( m 2 m q - m i v ) ( i n l ) e ( n 2 x + n l z t ) = m 2 嚣l m l 嚣2 魏2 十7 垃霉( m l + n o y ) = ( m 2 他l m l n 2 ) d ( m l 十扎1 ，m 2 十n 2 ) 另外，w 也可以按如下方式看俸平面上的多项式商量场，令 。 d ( m l ，m 2 ) 掣鬈? 1 z 爹2 ( m 2 z l o o z ：一m l x 2 0 o z 2 ) ， 易知， f p ( 蹴l ，m 2 ) ，d ( n l ，鼯2 ) 】= d ( 饿l ，m 2 ) d ( n l ，7 2 2 ) 一移l ，n 2 ) d ( m l ，m 2 ) = 缎2 髓l m l n 2 ) d ( m l + 搬，m 2 + n 2 ) ， ( 见 k p s ) 记= woc d l 国c 盎，其中d l ，d 2 是度导手。在【l t l l 中，作者构造了从s 1 2 一模 矿到两个交薰的量子环面上s k e w 导子李代数l q 一模譬( 矿) 上酶族丞子譬，并研究了 s k e w 导子李代数的模譬( y ) ，当g 徽1 对，就是v i r a s o r o - l i k e 代数c ，l q 一模就是 v i c 模f 口( y ) 本文第一章主要研究v i r a s o r o - l i k e 代数c 到它的模f n ( y ) 上的导子，其 中y 为有限维不可约s 1 2 一模同时，给也了一上同调群盯1 ( ，p ( y ) ) 。 记d i 岛r 2 为二维平面上保持面积不变的微贫同胚代数( 8 4 ) ，d i 岛r 2 的基元为： ，。：孥昙一孥吴，氖，韩；卫m + t 参州，m , nez 11 l _ j ， ，f 攀一一。 f 一* = z 。 v 8 泌却锄掘川钉l 霸 “ 9 交换关系为： 钣，卜善。毛ln 1 其中 “】= 百o f m , n 盟o y 一警等 = 【( m + 1 ) ( n 。+ 1 ) 一( m 。+ 1 ) ( n 4 - 1 ) 】厶+ m ，住+ n ， 由d i f f o r 2 的交换关系，我们可以把氏，。与岛，魏等同超来 注意到d i f f o r 2 有如下分解： d i f f o r 2 = d i 鲒r 2o ho d i 筇r 2 ， 其中d i 对r 2 由 厶，摊l m z ，牲芝o ) 生成，日由 盎，一1 一z m “l m z 生成，d i 莳r 2 由 厶，住m z ，n 1 ，我们重写等式( 1 3 5 ) 至( 1 3 7 ) 如下， g ( m ，n ) 吻( r ，m + n ) = ( m 7 ，n ) + m l m 2 ( + 1 一勿) 奶( r ，n ) 一 ( n 7 ，m ) + n l 几2 ( t + 1 2 歹) 】奶( r ，m ) 一m ；( 一歹) 吻+ l ( r ，n ) + m ；0 1 ) 奶一，( r ，n ) + 几；( 一歹) 奶+ 1 ( r ，m ) 一几1 0 1 ) 吻一1 ( r ，m ) ， m l m 2 ( t + 1 2 歹) 妒t ，j ( r ) 一仇；( 一歹) 妒t ，j + 1 ( r ) + m ；0 1 ) 妒i , j - 1 ( r ) = 0 ， 其中i = 1 ，2 ，1 j t ，i n = ( m l ，m 2 ) ，n = ( n 1 ，n 2 ) f 引理j 了良 m l 妒l ( r ，( m l + 1 ) e 1 ) = 仇1 ( 1 + m l ( t 一1 ) ) 妒1 ( r ，e 1 ) ( 1 3 1 3 ) ( 1 3 1 4 ) 第一章v i r a s o r o - l i k e 代数到它l a r s s o n 函予模上的一上同调群 - - _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - - - _ _ - _ m _ _ _ - _ _ _ w _ _ _ _ - _ - _ _ * _ _ - - - - - _ _ _ _ 一一 一 + ( m l 十害一1 ) 晚( r ，1 2 1 e 1 ) + m ；0 一1 ) 0 2 ) 铅叠，8 2 ) ， 观2 b t ( r ，( m 2 + 1 ) e 2 ) 黜m 2 ( 1 十m 2 ( t 一1 ) ) 魄( r ，e 2 ) 1 1 3 。1 5 + ( m 2 十芒一1 ) 呶( r ，m 2 e 2 ) + m i 一1 ) 0 2 ) 破一2 ( r ，e 1 ) ， ( 1 3 1 6 ) 其孛m l ，m 2 z ， 证明：在( 1 3 。1 3 ) 中取m 竺m l e l ，n = m 2 e 2 得 徽1 , n 2 移j ( r ，m l e l r ? 。2 e 2 ) = m l r n 2 妒j ( r ，m 2 e 2 ) + m l m z 矽# ( r ，擞l e l ) + m i ( t 一歹) 奶+ 1 ( r ，m 2 e 2 ) + m i 0 1 ) 奶l ( r ，m l e l ) ， 在( 1 3 1 3 ) 中取i n = e l ，n 嚣m l e l 释隰= 2 ，n = m 2 e 2 褥 奶+ l ( r ，r o l e l ) = m ；吻+ l ( r ，e 1 ) ， 奶一l ( r ，m 2 e 2 ) = m i 奶l ( r ，e 2 ) ， 其中羔茎j 冬t ，在 1 3 。羔莓孛取i n = m l e l e 2 ，n = e l 得 妒1 0 ，( m 1 十1 ) e l + e 2 ) = ( 1 + m l ( t 一1 ) ) 舻1 ( r ，e 1 ) + 识( r ，m 1 8 l + e 2 ) 一m i ( 害一1 ) 晚( ke 1 ) + ( t 1 ) 如( r ，m l e l + e 2 ) ( 1 3 1 7 ) ( 1