（信号与信息处理专业论文）超宽带电磁场三维fdtd数值模拟.pdf

摘要 摘要 人的生命是宝贵的，然而人在工作、生活中又不可避免地受到自然灾害、人 为灾害以及其它各种突发灾害的危害。当灾害来临时，能否及时救助和保护人类 生命安全是关系到国计民生的大事。因此，为确保在紧急救援中用最短的时问找 到被困人员，开展先进的生命救助探测和定位方法具有十分重要的意义。 超宽带信号是就信号的相对带宽而言，当信号的带宽与中心频率之比大于2 5 时称为超宽带信号。超宽带电磁脉冲技术因其频带宽、分辨率高，其回波信号 能携带被探测目标丰富的特征信息的优点，这些年来发展很快，已在目标的探测 和识别方面得到了较为广泛的应用。 近二十年来，f d t d 以其运算速度快、节约存储空间、仿真效果好等众多的 优点，迅速运用于电磁场的各个领域，并开发出多种工程软件；尤其是其直接在 时间域模拟电磁波，在瞬态电磁场的数值模拟中应用更是广泛。 本文所做的工作就是基于电磁波的基本理论，通过分析f d t d 的基本算法和 将其应用于超宽带电磁脉冲信号的仿真研究需特殊处理的一些方面，建立超宽带 电磁脉冲信号传播的f d t d 三维算法。分析超宽带电磁脉冲在空气中的能量衰减 特性；提高发射源的载波频率或是缩短源的脉冲上升时间可以使发射源天线中心 轴线上的能量密度衰减速率变慢；直观地从频率域解析解和f d t d 数值模拟方法 论证了高频的辐射能力比低频的强，高频成分对形成所谓能量“慢衰减”起着至 关重要的作用。分析了超宽带电磁脉冲穿墙后的能量衰减特性：在墙体是弱损耗 介质的情况下，提高发射源的载波频率或是缩短源的脉冲上升时间同样可以使发 射源天线中心轴线上的能量密度衰减速率变慢；随着墙体电导率增大，能量密度 衰减越快，直至出现导体的趋肤深度现象。分析对比了电偶极子源与超宽带源在 空气中及遇有耗介质的传播情况，可以看出超宽带电磁脉冲具有一定的聚焦性 能。数值模拟分析了超宽带电磁脉冲信号在实际探测中的一个简单应用：穿墙探 测在一个封闭屋子里的人。 关键词：超宽带时域有限差分法完全匹配层 成都理工大学硕士学位论文 a b s t r a c t p e o p l e sl i f ei sp r e c i o u s i t sv e r yi m p o r t a n tt h i n gt os e a r c hf i n da n dh e l pp e o p l e w h os u r f e rc a l a m i t i e ss u c ha se a r t h q u a k ea n dt e r r o ra t t a c k s ow eh a v et od e v e l o p m e n t e f f e c t i v el i f ea s s e s s m e n td e t e c t o ra n dp o s i t i o ns y s t e mt of i n dt h es u f f e r i n gp e o p l ea t t h ef i r s tt i m e w ec a l las i g n a lu l t r a w i d e - b a n ds i g n a l ( u w b ) w h e ni t sr a t i oo fb a n d w i d t ht o c e n t e r f r e q u e n c ye x c e e d2 5 u w bs i g n a li sc h a r a c t e r i z e db yw i d eb a n d ，h i g i l r e s o l u t i o n u w bs i g n a l se c h oc o u l db r i n ga b u n d a n tm e s s a g eo ft h eo b j e c t s t h et i m ed o m a i nd i f f e r e n t i a l m e t h o d ( f d t d ) i so n e p o w e r f u l t o o lo f c o m p u t a t i o n a le l e c t r o m a g n e t i c s ，w h i c hh a v et h ea d v a n t a g e so ff a s tc o m p u t a t i o n ，l i t t l e s t o r a g em e m o r ya n dw e l ls i m u l a t i o n b e c a u s ei ts i m u l a t i o ne mp r o p a g a t i o nd i r e c t l y i nt i m ed o m a i n ，i ti se s p e c i a l l yc o n v e n i e n tf o rt h et r a n s i e n te mp u l s ep r o p a g a t i o n s i m u l a t i o n t h i sp a p e rb u i l dt h et h r e e d i m e n s i o nf d t da l g o r i t h mo fu w be mp u l s e p r o p a g a t i o nb a s e do nt h ee l e c t r o m a g n e t i cw a v ep r i n c i p l ea n df d t da l g o r i t h m w e a n a l y z et h ee n e r g ya t t e n u a t i o nc h a r a c t e ro fu w bi nt h ea i r i t su s e f u lt oi n c r e a s et h e c a r r i e r f r e q u e n c yo rs h o r t e nt h ea s c e n d i n gt i m e f o rs l o w i n gd o w nt h e e n e r g y a t t e n u a t i o no ft h ea x i s w ed e m o n s t r a t et h eh i g hf r e q u e n c yh a v es t r o n g e re r a d i a t i n g p o w e rt h a nl o wf r e q u e n c ya n dh i g l lf r e q u e n c yp l a yt h ei m p o r t a n tp o l ei nt h es o - c a l l e n e r g y s l o wa t t e n u a t i o n w ea n a l y z et h ee n e r g ya t t e n u a t i o nc h a r a c t e ro fu w b t h r o u 曲al o s sm e d i a w h e nt h em e d i ai sl o wl o s sm e d i a ，i t ss a m eu s e f u lt oi n c r e a s e t h ec a r r i e rf r e q u e n c yo rs h o r t e nt h ea s c e n d i n gt i m e b u ta st h em e d i ac o n d u c t i v i t y i n c r e a s e ，e n e r g ya t t e n u a t i o nf a s t w ea n a l y z ea n dc o m p a r eu w bp r o p a g a t i o ni nt h e a i ra n de n c o u n t e r i n gl o s sm e d i aw i t ht h ed i p o l es o u r c e i t sf o u n dt h eu w b p u l s e h a v ef o c a l i z em o d e a tl a s tw e g i v ea ne x a m p l eo ft h eu w ba p p f i c a t i o n k e y w o r d s ：u w b ，f d t d ，p m l i i 第1 章引言 1 1研究背景 第1 章引言 本文来源于国家自然科学基金项目( 4 0 3 7 4 0 2 7 ) “城市灾害救助生命搜索的 超宽带电磁探测方法研究”。 人的生命是宝贵的，然而人在工作和生活中又不可避免地受到自然灾害( 如 地震、滑坡、塌陷) 和人为的灾害( 战争、恐怖活动) 以及各类突发事件的危害。 当灾害等突发事件来临时，能否及时救助和保护人类生命安全是关系到国计民生 的大事。近年来，随着城市化进程的加快，城市的高层建筑日趋增多，钢筋混凝 土结构占主导地位，各种管道、线路纵横交错的密度加大，以及城市人口密集等 问题，使自然或人为灾害等各类突发事件的潜在危险与日俱增，一旦发生，将会 造成人民生命财产的巨大损失。如何最大限度地减轻各类灾害损失，抢救被压、 埋人员，有效地减少人员伤亡，是减轻灾害损失的首要任务，也是最能体现出减 灾实效和社会显示度的关键环节。国内外多次大震后抢救生命的事实证明：对压 埋人员抢救愈及时、快速，救生、救活的可能性愈大。一般来说，震后7 2 小时 内是救助被困人员的关键时期。同样，类似“9 1 1 ”事件的恐怖灾害复杂情况实 时救助问题，以及对劫持人质隐蔽位置的确定等问题都对当今生命搜索与定位技 术提出了更高的要求。因此，为确保在紧急救援中用最短的时间找到被困人员， 开展先进的生命救助探测与定位方法研究具有十分重要的意义。 我国在灾害救助高新技术与方法领域几乎是空白，特别是解决被掩埋或隔 挡时的灾后搜索救助方面缺少实用有效的救助方法和措施，迫切需要开展救助 方法理论的研究和高新救助技术的攻关。为此，国家十五科技攻关立项“地震 救助生命搜索与定位技术研究( 2 0 0 l b a 6 0 1 8 0 5 ) ”，分别设立三个专题开展光学、 声波振动、热红外生命搜索技术与方法研究。惟独没有设置电磁探测方法的专 项研究，主要原因是由于该类应用基础研究滞后，未能展现它在灾害救助生命 搜索中的优势作用。 从原理上讲，电磁探测方法是弥补这些不足的有效方法，自8 0 年代一9 0 年 代以来，一种基于超宽频带电磁脉冲技术的新理论、新方法的出现引起了该领域 的广泛关注。人们通过对超宽频带电磁脉冲技术的慢衰减性、能量聚焦性和不随 频率变化等特点的理论工作和实验分析认为，该项技术与方法具有较大的理论研 究意义和实用价值，它能解决其他非电磁搜索技术与方法( 光学、声波振动、热 红外) 的缺点。 成都理工大学硕士学位论文 u w b 是指信号带宽大于5 0 0 m h z 或者是信号带宽与中心频率之比大于2 5 。超 宽带和其它的”窄带”或者是”宽带”主要有两方面的区别。一是超宽带的带宽，按 照美国联邦通信委员会( f c c ) 的定义信号带宽与中心频率之比大于2 5 为超宽 带；信号带宽与中心频率之比在1 2 5 之间为宽带，小于l 为窄带。二是 超宽带的无载波传输方式。传统的”窄带”和”宽带”都是采用无线电频率( r f ) 载 波来传送信号，载波的频率和功率在一定范围内变化，从而利用载波的状态变化 来传输信息。相反的，超宽带以基带传输。实现方式是发送脉冲无线电( i r ) 信 号传送声音和图像数据，每秒可发送多至1 0 亿个代表0 和1 的脉冲信号。这些 脉冲信号的时域极窄( 0 1 至1 5 纳秒) ，频域极宽( 数h z 到数g h z ，可超过1 0 g h z ) ， 其中的低频部分可以实现穿墙通信。 目标的超宽带散射就是目标对信号的非稳态响应。由于超宽带信号的宽频谱 特性，因而目标的电尺寸可以从很小到很大，可能历经瑞利区、谐振区和光学区。 在低频段( 瑞利分量) ，目标的散射较小。在谐振区，目标的尺寸可与波长相比较， 散射波的振荡周期是目标尺寸信息的标志。在光学区，散射中包含了目标散射中 心个数、相对位置以及它们之间的相互作用的信息，这些都包含在同一回波中。 充分利用这些信息，不仅可以探测目标的位置，而且可以认知目标的性质。超宽 带电磁脉冲技术因其频带宽、分辨率高，其回波信号能携带被探测目标丰富的特 征信息的优点，这些年来发展很快，它在目标的探测和识别方面得到了较为广泛 的应用。 1 2 国内外研究现状 目前超宽带技术开始应用于许多方面，如军事( 超宽带雷达) 、无线通讯、 探测等方面。在国外已有将超宽带技术成功应用于生命救助探测与定位的实例： 美国费尔法救援队使用超宽带技术研制的生命搜索与定位设备发现了埋压在 35 米深废墟下的幸存者，该方法用于反恐探测也显示一定效果。国外已有公司 开发出设备能够让警察在外面发现屋内的运动物体，这样就可以在破门而入时， 预先知道里面是否有人。另一家超宽带设备公司z i r c o n ，在制造一种便携设备， 能在家庭装修时，探测到墙另一面是否有重要的物品，以决定能否用电钻。在国 内，超宽带技术在生命搜索与定位领域的应用还是空白。 对于瞬态电磁场的数值模拟，目前比较常用的方法是f d t d 法。f d t i ) 已发展成一种比较成熟的电磁场数值计算方法。在公开刊物上提及的若干f d t d 程序有： x f d t d ( 1 9 9 6 年) ：具有多种功能，包含有瞬态近一远场外推，亚网格技 术，介质可以是有耗介质、磁化铁氧体；可以用来分析生物体对电磁波吸收特性 第1 章引言 ( s a p , ) ，复杂物体电磁散射和r c s 计算。 e m a 3 d ( 1 9 9 7 年) ：分析核电磁脉冲( n e m p ) 及雷电耦合，高功率微 波，宽带r c s 等；软件具有多种边界条件，亚网格剖分，适用于有耗介质，平 面波源及电压电流源。 ac o n f o r m a lf d t ds o f t w a r ep a c k a g e ( 2 0 0 0 年1 ：用来模拟射频天线，微 带电路元件；采用非均匀及共形网格，p m l 吸收边界。 1 3 电磁场数值计算方法概论 目前电磁场数值讨算中常用的有差分法、有限元法、矩量法和边量元法等方 法，其中又以差分法和有限元法最为成熟和瞩目。 差分法是将偏微分方程中的偏导函数用差商形式来表示，将所要求电磁场的 区域中计算无限多个点的函数值变为计算有限多个点上的函数( 这一过程称之为 离散化) ，求出数值解的方法。 有限元法是根据变分原理和离散化而取得近似解的方法。它从变分原理出 发，求得与微分方程边值问题等价的变分问题( 通常是二次泛函求极值的问题) ， 然后通过分区插值把二次泛函的极值问题转化为一组多元线性代数方程来求解。 考虑到信号的超宽带特性，直接从频率域模拟比较困难。我们选用时域有限 差分法( f d t d ) 来对超宽带电磁脉冲进行数值模拟。 时域有限差分法以差分原理为基础，直接从概括电磁场普遍规律的m a x w e l l 旋度方程出发，将其转化为差分方程组，在一定的体积和一段时间上对连续电磁 场的数据取样，它在每一时间部计算空间网格空间各点的场值，随着时间步的推 进，就能直接模拟电磁波的传播及其与介质体的相互作用过程，使电磁场的时域 特性被直接反映出来，这一特点使它能够直接给出非常丰富的电磁场问题的时域 信息，给复杂的物理过程描绘出清晰的物理图像。因此它是对电磁场的最原始、 最本质、最完善的数值模拟，具有最广泛的适用性。由它所得的结果应该是“完 备”的矢量场，由此算出的三维电磁场也应该是“精确的”。时域有限差分法使 电磁场的理论与计算从处理稳态问题发展到瞬态问题。从处理标量场发展到处理 矢量场。时域有限差分法的发展是与现代高速大容量计算机、矢量计算机、并行 计算机以及计算科学中并行算法分不开的。应用一般的计算方法，对于这种有多 个变量的偏微分方程组的计算是很困难的，它需要很长的计算时问，而这类问题 采用并行算法可以大量节省计算时间。国际上，时域有限差分法的普遍应用正是 与并行算法的发展联系在一起。 成都理工大学硕二b 学位论文 1 4 本文主要工作 超宽带电磁脉冲信号以其频带宽、能够携带丰富的被探测目标信息，在 无线通讯、探测等方面得到越来越广泛的应用。本文针对超宽带电磁脉冲信号应 用技术存在的问题，利用电磁波传播计算方法一时域有限差分法( f d t d ) 来研究 超宽带信号在介质中的传播情况。基于电磁波基本理论以及f d t d 基本算法， 建立了超宽带信号在介质中的传播的三维模拟数值算法，并且采用一个简单的模 型验证了算法的正确性。并依据该算法模拟超宽带电磁脉冲信号在不同介质中的 传播特性。 现将本文的主要结论归纳如下： 主要结论： 1 、基于电磁波理论的基本原理，研究分析了时域有限差分法算法基本流程 以及超宽带电磁脉冲信号源在f d t d 中的加入。( 1 ) l r 吸收边界条件采用完全匹配 层( p m l ) f 2 ) 激励源和吸收边界条件的设置都应该采用“软”生来处理，从而 能够消除“硬”性直接赋值方法引起的非物理反射：( 3 ) 在介质参数突变面处采 用特殊的处理方法，这以保证在分层界面程序的运行。( 4 ) 通过比较电偶极子源 在三维自由空间中的传播的解析解与f d t d 解，验证了程序的正确性。 2 、分析超宽带电磁脉冲在空气中的能量衰减特性：提高发射源的载波频率 或是缩短源的脉冲上升时间可以使发射源天线中心轴线上的能量密度衰减速率 变慢：直观的从频率域解析解和f d t d 数值模拟方法论证了高频的辐射能力比低 频的强，高频成分对形成所谓能量慢衰减7 起着至关重要的作用。分析了超宽 带电磁脉冲穿墙后的能量衰减特性：在墙体是弱损耗介质的情况下，提高发射源 的载波频率或是缩短源的脉冲上升时间同样可以使发射源天线中心轴线上的能 量密度衰减速率变慢；随着墙体电导率增大，能量密度衰减越快，直至出现导体 的趋肤深度现象。分析对比了电偶极子源与超宽带源在空气中及遇有耗介质的传 播情况，可以看出超宽带电磁脉冲具有一定的聚焦性能。 3 、数值模拟分析了超宽带电磁脉冲信号在实际探测中的一个简单应用：穿 墙探测在一个封闭屋子里的人。 第2 章时域有限差分法基本原理 第2 章时域有限差分法基本原理 本章介绍时域有限差分法( f d t d ) 的发展与历史和基本原理、方法，包括 f d t d 基本公式、求解稳定性要求、吸收边界条件、激励源等。 2 1超宽带信号分析方法简介 当超宽带信号作用于目标时，由于u w b 信号的特点，目标散射信号的幅度和 相位都是频率的函数，因此回波波形不同于入射波形，即使是相同的入射信号， 不同目标的回波也不同。但是只要是线性媒质目标，可以采用福里叶变换或快速 福里叶变换( f f t ) 把入射波和散射波变换到频域，在频域中进行研究，所以分析 窄带信号的方法也可用于对超宽带信号辐射与散射的研究。事实上许多超宽带信 号的辐射与散射正是采用传统的频域分析方法解决的，特别是在研究色散媒质问 题时，频域方法是比较适用与有效的。但是频域方法不能直接揭示瞬态响应随时 间推进的演变过程，也同样难以反映瞬态响应与目标特性参量之间的直接关系。 所以，由于超宽带信号的自身特点，其分析方法也是具有鲜明特色的。 2 1 1 超宽带信号辐射与散射的解析方法 对于稳态的电磁场只需关心稳态性质，而对于具有显著过渡过程的超宽带信 号，必须对电磁场的建立进行研究。从m a x w e l l 方程出发用解析方法分析发现： 一个具有起始时刻的正弦场作用于介质时，在任何情况下信号的波头都是以真空 中的光速传播，而信号的能量则存在一个建立过程。o u g h s t u n 分析了因果媒质 中超短光波脉冲的传播特性，发现信号的波头对传播具有重要影响。 解析方法可以得到目标响应的显式，所得结果具有明显的物理意义，但是求 解技巧较高，只能解决极少数的特殊问题，例如球、柱、劈等简单结构目标的超 宽带散射解。通过对这些为数不多的简单目标的解析解分析，可以得到超宽带信 号辐射与散射的一些基本结论，而且对于分析更加复杂目标的超宽带信号辐射与 散射具有指导意义。 2 1 2 超宽带信号辐射与散射的数值模拟方法 由于解析方法应用范围有限，所以数值方法是分析超宽带信号辐射与散射的 最有效的方法，数值方法主要有三类：以富里叶变换为基础的频域方法：直接在时 域求解的时域方法；以拉普拉斯变换为基础的复频域方法。其中最主要的是时域 成都理工大学硕士学位论文 分析方法。 1 、时域积分方程法 时域积分方程法是根据m a x w e l l 方程和边界条件建立的电磁场时空积分方 程。将所分析的目标和待求响应在时间、空间上离散化，按照时序可到目标响应 的离散解。此方法可以很好的解决线性结构目标的瞬态散射与辐射问题，但是用 于分析面、体目标时，选择合适的基函数比较困难，难以建立合适的时空离散模 型，计算误差较大，并可能由于误差积累而导致发散。关于算法的稳定性和处理 是该算法的研究重点。 2 、时域有限差分方法( f d t d f i n i t ed i f f e r e n c ei nt i m ed o m a i n ) 将时域m a x w e l l 方程的微分方程化为差分方程而得。原理明了，实现简单， 处理非均匀介质和曲面比较容易。由于此方法基于具有局部特性的微分方程和时 间步进的因果关系，与分析时域信号的要求相吻合，具有较大优势。此方法适于 并行运算处理，有可能解决电大尺寸目标的电磁特性分析，从而使该方法具有诱 人的前景。目前的研究重点是剖分方法、减小误差、吸收边界、应用于色散媒质、 应用于大目标、与其他方法的混和应用以及在不增加计算量的情况下获得目标的 远区或晚时响应等。目前完全吸收层( p m l ：p e r f e c t l ym a t c h e dl a y e r ) 技术比较成 熟，很好的解决了吸收边界问题；几种色散的f d t d 方法也己得到广泛应用，解 决了色散媒质中的超宽带传播问题；混合方法主要研究f d t d 与射线法、奇点展 开法( s e m ：s i n g u l a r i t ye x p a n s i o nm e t h o d ) 的结合。 3 、传输线矩阵方法( t l m ：t r a n s m i s s i o n l i n em a t r i x ) 根据波传播的h u y g e n s 原理利用等效传输线模拟波的传播过程，适用于研究 复杂媒质中波的传播研究。传输线法同f d t d 一样进行空间网格化，网格上不 是电场、磁场交替分布，而是通过传输线将相邻的节点连接起来，源从激励点依 次激励相邻的单元，传输线法的标准连接如图2 1 图2 1t l m 相邻单元由一对正交传输线相连，可以处理介质加载、有耗媒质等现象，计算时 第2 章时域有限差分法基本原理 也要引入吸收边界。 4 、奇点展开法( s e m ：s i n g u l a r i t ye x p a n s i o nm e t h o d ) 基本原理是将目标的瞬态响应视为一系列衰减振荡的叠加，复频域的极点对 应于目标的自然振荡频率，此频率仅仅决定于目标的形状、尺寸、材料等，与入 射信号无关。此方法适用于均匀媒质中目标的时域研究，研究重点是奇点的提取 方法、奇点的物理意义揭示等。 因为时域有限差分方法是按照时序依次计算空间各点的电磁场值，所以用分 析超宽带信号具有独特的优点。本文采用时域有限差分方法( f d t d ) 作为模拟 超宽带电磁脉冲在介质中传播的数值计算方法。下面就介绍此方法的原理、迭代 式以及一般应用。 2 2 f d t d 的历史与发展 1 8 6 4 年，m a x w e l l 用偏微分方程的形式给出了电磁波现象中电场和磁场的统 一表达式，他的研究成果被誉为1 9 世纪最显著的科学成就之一，奠定了电磁场 和电磁波的理论研究基础，此后科学家和工程师们对电磁波的大量传输、辐射和 散射问题进行了研究，以求得满足m a x w e l l 的方程解。解的形式基本有三类：一 是封闭形式的严格解析解，然而只有一些典型几何形状和结构相对简单的问题才 有严格解析解；第二类是近似解析解，它用不同的方法进行简化，得到解析公式。 在一定的范围内解决了理论和实际问题，在计算机应用之前，这是广泛的应用方 法；第三类是直接数值解，它是在计算机高度发展情况下直接从m a x w e ll 方程或 其衍生的积分方程用数学方法直接得出数值结果，由于它能描述更为复杂的结 构，所以得到了越来越广泛的应用。 6 0 年代以来随着计算机技术的发展，各种电磁场计算方法也得到广泛的应 用。这其中属于频域计算的有：限元法、矩量法和单矩法，属于时域计算的时域 有：限差分法、传输线矩阵法和时域积分法等。各种方法都具有自己的特点和局 限性，在实践中又经常把它们相互配合而形成各种混合方法。近十几年来，随着 计算机运算速度的加快和内存的加大，各种电磁场数值方法也得到不同程度的发 展，其中发展最快的当属时域有限差分法( f d t d ) 。 1 9 6 6 年，k a n es y e e 在他发表的著名论文n u m e r i c a s o l u t i o no fi n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m si n v o v i n gm a x w e l l se q u a tj o ni ni s o t r o p i cm e d i a ， 中采用后来被成为y e e 网格的空间离散方式，把带时间变量的m a x w e l l 旋度方程 转化为差分格式，并成功的模拟了电磁脉冲和理想导体作用的时域响应，这就诞 生了后来称为时域有限差分法的一种新的时域方法。1 9 7 5 年，a 1 l e nt a f l o v e 和m e b r o d w i n 结出了y e e 网格数值稳定性准则和= 维及三维情况下的计算模 成都理工大学硕士学位论文 型。随后，r h o l l a n d ，k s k u a n z 和k m l e e 把y e e 算法应用于电磁脉冲互动问 题。1 9 8 0 年，k s k u n z 和s i m p s o n 混合采用了粗细网格技术增加解的分辨率。 1 9 8 2 和1 9 8 3 年，a l l e nt a f l o v e 和k r u m a s h a n k e r 首次建立了二维和三维情 况下的电磁散射问题的f d t d 算法的模型，建立了近远场变换和r c s 的计算方法。 经过一批科学家近2 0 年的不断改进，时域有限差分法由y e e 氏创时的情形不断 发展，逐渐走向成熟。8 0 年代后期以来时域有限法进入了一个新的发展阶段， 即由成熟转入被广泛接受和应用，并在应用中不断有新的发展。在8 0 年代中期 以前，时域有限差分法的研究和应用始终限于不大的一个圈子里，而在这之后的 几年里发生了明显的变化。大批科学家参加了进来，使得它的应用范围迅速扩大， 不断发展出新的要求，这就促使对时域有限差分法进行更深入的研究，使其得到 进一步的发展。随着f d t d 方法的迅猛发展，新的处理方法和技术不断涌现，有 子网格模型技术、非正交和广义正交曲线网格技术、外推技术、网格压缩模型技 术、超吸收边界技术、色散吸收边界技术、完全匹配层吸收技术、多分辨率技术、 伪谱技术等。新方法和新技术的发展迅速扩大了时域有限差分法的应用范围。该 方法不仅在目标电磁散射特性研究中，而且在电磁兼容预测、微波电路分析、天 线辐射特性计算和生物电磁学研究等方面都获得了广泛的应用。 2 3f d t d 自, j 优点与应用 作为一种电磁场的数值计算方法，时域有限差分法具有一些非常突出的优 点： ( 1 ) 它所需要的计算机内存和c p u 时间与网格单元成正比，并且不需要矩阵 求逆，明显优于传统的矩量法： ( 2 ) 直接时域计算。时域有限差分法直接把含时间变量的麦克斯韦旋度方程 在y e e 氏网格空间中转化为差分方程，在这种差分格式中每个网格点上的电场 ( 或磁场) 分量仅与它相邻的磁场( 或电场) 分量及上一时间步的场值有关。它能充 分而形象的描述电磁波的传播过程和目标相互作用的过程，用清晰的物理图像解 释复杂的物理过程： ( 3 ) 作为一种瞬态方法，在脉冲波的激励下，f d t d 方法的一次计算结果经 f o u r i e r 变换后可获得丰富的频域信息： ( 4 ) 计算程序的通用性。由于直接从麦克斯韦方程出发，它的原理简单直观， 计算程序有很强的通用性，并且适合于并行计算，是计算很多问题的数学模型， 因而它的基本差分方程对广泛的问题是不变的： ( 5 ) 在f d t d 计算当中，由于目标的电磁参数已经反映在每一个网格的电磁场 计算中，因此它很容易处理复杂介质目标和复杂形状目标的电磁问题。所以对于 第2 章时域有限差分法基本原理 复杂结构有很强的模拟功能，只要给出所模拟结构的参数和边界条件，利用此方 法就能模拟该复杂结构。 由于有以上优点，时域有限差分法被广泛应用于电磁场的各个领域。从成功 计算生物电磁剂量学问题和电磁热疗系统的计算机模拟到对微波电路的正确时 域分析，特别是进入9 0 年代以来又被用在天线辐射特性的计算研究，f d t d 的应 用的范围和质量也在不断的扩大和提高。 2 4f d t d 基本方程的推导 m a x w e l l 旋度方程为 v 岳一詈一l v 。后：塑+ 歹 a t 式中云电场强度，单位为伏特米，v m 西电通量密度，单位为库仑米，c m 疗磁场强度，单位为安培米，a m 豆磁通量密度，单位为韦l f l 米2w b m 2 7 电流密度，单位为安培米2 ，a m 2 l 磁流密度，单位为伏特米2 v m 2 各向同性介质中的本构关系为： 西= 黾。吾= u 豆j = o 雹。j 。= o 。豆 ( 2 4 1 ) ( 2 - 4 2 ) 其中s 表示介质介电系数，单位为法拉米( f m ) ；“表示磁导率，亨利米 ( h m ) ；仃表示电导率，单位为西门予米( s m ) ；为导磁率，单位为 欧姆米。 在直角坐标系中，式( 2 4 1 ) 、( 2 4 2 ) 可写为： 9 成都理工大学硕士学位沧文 以及 一o h y 一堡：堕+ 盯e o x o y o t 拿d x 一熹叫婴d t 一峭椰 ( 2 - 4 4 ) f 2 - 4 - 5 ) 下面我们考虑( 2 4 4 ) 、( 2 4 5 ) 的f d t d 差分离散，f ( x ，y ，z ，f ) 代表豆或疗 在直角坐标系中的某一分量，在时间和空间域的离散取以下符号表示： ，o ，y ，z ，f ) = f ( i a x ，j a y ，k a z ，n a t ) = f “o ，七) f 2 - 4 - 6 ) 对于，0 ，y ，z ，t ) 关于时间和空间的一阶偏导数取中心差分近似，即 可 ，) ，z ，f ) i，“o + 1 2 ，j ，k ) 一，”a 一1 2 ，j , k ) o x i ，：h a x 矿0 ，) ，2 ，f ) i ，“( f ，+ 1 2 ，k ) 一f “( f ，一1 2 ，k ) o y i ，。a v a y 可) ，2 ，f ) l ，4 0 ，j , k + 1 2 ) 一f ”a ，j , k 一1 2 ) o z l ：；f a z 可o ，y ，z ，f ) i，”v 2 ( f ，l k ) 一，”“2 ( f ，j , k ) o t i ：f a t f 2 4 7 ) 为了将上述公式在空间和时间上离散化，y e e 提出了著名的y e e 元胞。这是 实现时域有限差分的关键。电磁场的六个分量在空间的取样点分别放在立方体的 边沿和表面中心点上，电磁场通过电场和磁场的耦合传播，如图2 2 所示。 l o t 弓 坩 坩 堡以堡酣 钉 邓 竖把堡船 一 一 堡砂堡把 以 髟 一 一 堡以堕甜 叫 叫 = = 堡把堡缸 一 一 堡砂堡把 第2 章时域有限差分法基本原理 图2 2y e e 元胞 y 从图2 - 2 中可以看出，各个电磁分量配置在y e e 网格的特殊位置上：电场分量 位于网格棱边中心并且平行于棱边，每个电场分量环绕有四个磁场分量；磁场分 量位于网格面中心并且垂直于这个面，每个磁场分量环绕有四个电场分量。在空 问取样上，电场和磁场分量在任何方向上始终相差半个网格步长；在时间取样上， 磁场分量与电场分量相互错丌半个时间步。这种场量配置可以使麦克斯韦旋度方 程离散后构成显式差分方程，从而可以在时间上迭代求解，而不需要进行矩阵求 逆运算，给定相应电磁问题的初始值，f d t d 就可以逐步推进求得以后各个时刻 空间电磁场分布。此外，这种场量配置也满足在网格上执行f a r a d a y 定律和 a m p e r e 定律的自然几何结构，因而能恰当地模拟电磁波传播，而且可以自然满 足媒质边界面上连续性条件。时域有限差分实际上就是在空间和时问上离散取样 电磁场。 1 1 成都理工大学硕士学位论文 表2 1y e e 元胞中e 、h 各分量节点位置 空问分量取样时间 电磁场分量 x 坐标y 坐标z 坐标轴t 取样 1 t l + 一 j七 e e y 1 e j + 一 kn 节点 e ： 七+ 三 fj h 。 1 七+ 三 14 - 一 z l i h 。 1 七+ 三 1 z + 一 j 九+ 一 节点 1 1 日： f + 一 j + j | i 先看( 2 - 4 4 ) 第一式。设观察点( x , y , z ) 为t 的节点，即( f + j 1 ，七) 以及时刻 f = + 丢) 址，于是( 2 - 4 4 ) 第一式的离散为 啦，坐垫掣 叫哆一壁垒掣 h ( f + 知尼+ j 1 ) 一t ；舭( f + 秒1 七一i 1 ) 上式中用了平均近似，即 驰砖朋：坐鱼掣坐 这样做是为了在离散式中只出现表2 1 所示的各个场分量，实际上这一平均 值方法还可以使f d t d 随时问推进算法具有数值稳定性。式( 2 - 4 8 ) 整理后可得 第2 章时域有限差分法基本原理 其中 e ：“o + ，t ) = 倒) e ( f + 号，七) 删 盟业盥巡 一盟坐瓮掣 1 一! 塑造 倒) 2 砸2 e ( m )1 + 二笠芏 2 e ) a t 嘶，。叠盏1 + 二! 2 e ( m ) 上式中标- 可t = lm = o + ，t ) ，同样式( 2 4 - 4 ) 其余两式离散后的形式为 e ：“( f ，j + 吉，七) = c 4 ( 川) e ；o ，j + ，k ) 上式中标号 删。产型掣噬幽 一必业业a 型x 坠幽 l m = ( f ，j + ，k ) e ：“( f ，j ，尼+ j ) = c a ( m ) f 0 + ，k + ) 删， 丝塑掣 日：+ ”2 ( f ，+ ，k + ) 一日：+ ”2 0 ，j i 1 ，k + ) 1 缈 l 成都理工大学硕士学位论文 上式中标号 其中 m = ( f ，+ 号，七) ( 2 4 1 6 ) 以上( 2 - 4 1 0 ) 、( 2 4 1 3 ) 、( 2 - - 4 1 5 ) 式为f d t d 中电场的时间推进公式。 相同地可以得到f d t d 中磁场的推进公式，如下 日：“( f ，j + j ，七+ j ) = c p ( m ) 晖“2 ( f ，j + ，k + ) l 盟岩芦趔 上式中标号 一盟塑掣 ( 2 - 4 - 1 7 ) 位i 1 一塑坐 c p ( m ) = 毳器1 + 二虹= 芏 2 ) c = 蔗1 + 二业= 2 p ( m ) 卅；( f ，+ i 1 ，k + ) h ：十1 ，2 0 + ，j ，k + 9 = c p ( m ) h 2 ( f + ，j ，t + ) 上式中标号 i 型竽幽 ( 2 4 1 8 ) ( 2 4 1 9 ) ( 2 4 2 0 ) 一一(2-4-21)ax f 1 4 第2 章时域有限差分法基本原理 m = ( i + ，j , k + ) h 7 “”( f + ，+ ，七) = c p ( m ) 。1 4 ；。1 7 2 ( f + 号，+ ，) 俐 型学 e a + ，+ 1 ，七) 一e ：( f + ，t ) 母l 上式中标号 m = ( f + ，+ i 1 ，k ) ( 2 4 2 3 ) ( 2 4 2 4 ) 根据上述f d t d 差分方程组可以得出计算电磁场的时域推进计算方法，如图 2 3 所示 图2 3f d t d 计算电磁场的时域推进流程图 2 5f d t d i ! t ( j 数值稳定与色散特性 任何一种数值方法，为了计算结果稳定、可靠，必须满足一定条件，作为典 型的蛙跳方法，稳定性和收敛性对时域有限差分至关重要。为了避免数值不稳定， 即计算结果随时间步进无限地寄生增长，时间步长血相对网格空间步长船，y ， z 必须有界。 时域有限差分法依据y e e 网格上构造m a x w e l l 旋度方程的时域有限差分方 程，随时间推进迭代各个电磁场量，得到电磁问题的数值解。为了使数值分析有 意义，数值模拟必须收敛，即当空间步长和时问步长趋于零时，时域有限差分解 成都理1 大学硕士学位论文 必须趋于原问题的真实解。 数值稳定性分析的基础是，考虑网格中存在f o u r i e r 数值波模式，并保证每 一个空间f o u r i e r 模式都是稳定的，由于任何波都可以用这些f o u r i e r 模式展开， 所以也保证了网格中任意的波都是稳定的。 所谓稳定性条件，是指离散间隔所需满足的一种条件，在此条件下保证差分 方程与原方程严格解之间的差有界。f d t d 算法的稳定性条件为： 1 忘丽 这里v 是电磁波在介质中的传播速度。( 2 - 5 1 ) 式即为f d t d 算法数值稳定 的c o u r a n t 条件。 平面电磁波在自由空间传播时，电磁波的相速与频率无关，然而采用时域有 限差分法在数值空间模拟这一电磁问题时，f d t d 算法所模拟的计算网格中的波 模式会发生数值色散，也就是说f d t d 网格中数值波模式的相速度可能不同于 光速c ，数值波模的传播速度不仅与频率有关，即与空间网格尺寸有关，还与波 传播方向有关。这种色散不同于实际物理色散，仅由有限网格尺寸和数值效应引 起的，称为数值色散，它将直接影响计算结果的精度，因此必须控制数值色散。 为了减少数值色散误差对计算精度的影响，空间步长一和所考虑电磁 问题的最小波长k 。之间必须满足制约关系，一般要求 2 6f d t d i 幂 边界条件 k s 篆 ( 2 5 2 ) f d t d 方法中三种最常用的边界条件是p e c ，p m c 以及a b c o r 收边界条件1 。 p e c 或者p m c 边界条件比较容易实现，p e c 简单的在边界处把切向电场设置为 o ，而p m c 则把切向磁场设置为o 即可实现。 时域有限差分最重要也是研究最多的问题之一是如何截断开域问题的计算 区域。由于f d t d 计算时，每个单元网格卜的六个场分量均需在任一时问步上 贮存起来供下一步时间计算之用。因此所取的问题空间愈大，要求存储量也愈大， 很难想象计算机的存储量是无限的。因此问题空间是有限的，要求它能将被研究 的模型“装入”，并实施f d t d 的运算过程。为了让这种有限空间与无限空间等 效，需对有限空间的周围边界进行处理，使得向边界面行进的波在边界处保持“外 第2 章时域有限差分法基本原理 向行进”的特征。 大多数的吸收边界分为两大类：一种是由微分方程推导出的i 及收边界，另一种 是由吸收媒质构成的吸收边界。m u r 提出的吸收边界属于第一种吸收边界，1 9 9 4 年b e r e n g e r 提出的理想匹配层( p m l ) 属于第二种吸收边界。p m l 吸收边界目前 在应用中较之其他的所有吸收边界具有很高的精度。本文介绍论文用到的理想匹 配层( p m u 吸收边界条件与m u r 吸收边界条件。 2 61 m u r 吸收边界条件 m u r 边界条件分为一阶与二阶m u r 吸收边界条件。对于一阶m u r 吸收边界条 件( 以t m 波为例) ： 堕+ ! 堕1 ：o ( 2 - 6 - 1 ) 【o x co t j “ 禺敌上式，日j 得一断rm u r 峻收边界条件的f d t d 迭1 弋瓦 e “( “) = e ( f + 1 ，) + 篡等 e “a + 1 ，) 一e ( f ，叫 对于二阶m u r 吸收边界条件( 以t m 波为例) ： 降：1 百0 e 十c 2 , uo h = = 。 其离散式比一阶的多一项，即 哆r “z 联舭( f + i 1 + j 1 ) 一蟛帕( f + j 1 ，磅 妙l ：， 6 类似地可得 掣1 ) + 篙 棚幔( f ，叫 一硒c 2 # 而a t ， 掣2 ( f ，+ 争1 - 1 2 舻( r + _ ，1 ，一丢) + h ：* v 2 0 + 1 ，+ 丢) 一h ：+ v 2 ( f + 1 ，一丢) 】 ( 2 6 5 ) 2 3 4 t 占 昏 c 6 惶 旺