（基础数学专业论文）弱hopf代数上右扭曲弱smash积.pdf

巾文摘隳 本戈波 魑弱壬 f 代数，其对极为s ，k - 代数a 是弱h 一双摸代数， 程张爨投空海矗。嚣上溪定黎法；魄，蠢，矗，事嚣，缸转妨馨毋= 毪盎 一一s a 2 譬，萎渗跫共懿美系式t l 一8 0i 2 是一穗鑫，鑫一 s f l 2 ) 圆l l 矗= 爵毳，栽弼称豫张量狡空瓣麓圆穷楚有趣舞瓣s 黼a 酶糨，记 为黛s 嚣。这榉砖t 必靛巍然熬有了一个代数缩梅，翠位元怒l $ i ，右越瞌 s m a 娥积a s 爿佟为余代数是张蹙积余代数，敝定余莱法秘余单位，。f 穗；是) = ( 岛l 女矗1 ) f 筑$ 是2 ) ，g + ( 穗$ 惫) 一a 如玲薜( 哟。我髓主瑟是将右趟鼹s m 鑫s h 稷 麓m 嚣程鞭印f 代数上懿憋蒺攘广蘩弱珏。拶襞数上， 东交f 1 3 弼】f 1 5 l 鹩壤箍上，我餐磷凳了璐a 楚翡载健数，众t 嚣浇筵 岛一s 坼1 ) 女锄一盘一g ( ) + 危l 对，a $ 尉鼹秘双代数酌充饕精件，邵a $ 封 熬瓣鼹健数当且饺娄瓤下曼个式子嚣对艘立； ( i ) “盎l 一8 一s ( 磊4 ) ) l 矗2 ) o ( l x 蒜一s ( ) ) 2 $ ) 一( 1 l ( 撮l 一 稳l s ( ) ；$ 态2 l l 1 2 一豫一s ) ；$ 瓠1 2 ) 2 ) ( 8 ( 嚣i 一一s 秘) ) ( 善2 轨一e s 魏辍) ) ) s 辩f 茗3 妇) = 朝( 臻 瓤一 玩一s 熙) ) ) 锄( 翰一。一s ( 软) ) 海疆( 9 2 纨) s 辩( 铅) ( 3 ) g 穗( 奶一6 一s 缸5 ) ) ( 茹2 f l c “一s ( 鼬驰) ) ) o 嚣( 执姚) 一 和( 茹t 一 玛一s ( 鼬) ) ) 8 菇6 i ( 萝i ae s ( 蜘) ) s 野( 霉2 瓤弦嚣( 搬) 鼹时，嚣a 褥聪都是弱鞲。蟮代数，显满怒； 1 ) 班i 娃善 鑫at 欺 勘) ) 一挺墨垃；靠( 鑫 ( 2 ) ( s ( 矗3 ) 一聪撑国) 一铲( ，) ) t s ( a 2 ) 一l i 颤妊l 1 2 一s ( 硒) ) i 则a 女日是弱h o p f 代数，蔟中& ( 8 。 ) = ( 1 s 辩( 危) ) ( 乳( n ) i ) 。 俦照 差f 代数，貔们定义了珏是弱挝神f 代数，辩在a 上辩遮鲻羧；： ah 冉岸，褥爨簸程a 上翡述丞数! 如) 一z 一毡是a 对双横姨黪。辩巢 l ： 时菇拄愚潢瓣，皲楚弱嚣印f 黎数，a 燕瓣醚一鼹模代数，我熬褥餮在 a t 中稃雀一个 零瓣幂筹嚣e 霞褥终海代数露e 弘e 嚣 e 一矗抒e 鬟蠢努， 褒羁 差f 弋数审，有遮捧一个等徐条梅；嚣怒骚王 印f 鼗散，籍瓣蹩事攀 懿幸号存在娃的标拣化意锻分e ；即v a 筒，离抛一n 蠡( ) e ，艇h 备( e ) 。l 。 零j 掰这个簿秘条传，我 j 磷兜了蔗s 嚣黪举姆随，鼙援建s 露中鹣撩维谯象菝分 e $ 瓠避建$ 嚣燕鹈l o 西代数，o 秘分黑l 楚a 敷疆浆轰粳分，瓣8 g 楚羹$ 嚣 翁炭辍分姿基莰囊￥矗麓，嚣芒群癌缸 一e s ( 搬；4 譬= 鼗鑫妨s 露( 硝# s 。 河北师范大学硕士学位论更 在上述条静下，若e 帮q 分涮是a 霸h 的标准纯蠢欷分，且满足& ( 1 t f 8 上- s ( 1 1 ) ) q ) = s ( 1 l e 弦h ( i 棚) ，则e + 口鼎a 日的括凇化左积分。 弱h o p f 代数中分离性与半单性是等价的，这样就根容易给出a $ 好在a 上箍分鸯辩判舅准裂。器籍珏是弱珏。龋代数，霹极为s ，a 秀左髓* 模蔑数， 如果h 存在标准化左( 右) 积分，且。土_ s ( 1 ) $ 矗2 = n s ( 血2 ) l ，则a 矗 檄a 上是分离的 关键词：骥l 芰d 露浆数，卷攫楚弱s 琳撞s h 积且 麒，左积分。 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，l e thb eaw e a kh o p fa l g e b r aw i t ha1 w e a ka n t i p o d esa n dab e 鑫w e a 受珏一b i 溅o d u l ea l g e b 强 ) e 鑫n e 鑫f 狂u l i p l i c a 畦o n ：翁。盎j ( 鑫8 萝) = ：8 ( 盎l ， 6 山s ( 3 ) ) 危2 9 ，o nt e n s o rs p a c eap ，f o ra l l 凸，6 a ， ，口口i fc h e f l o l l o w i n gc o n d i t i o n sh o k l ：1 l - oo1 2 黼oo ，oz s ( 1 2 ) o1 t ，i = oo ， m o n 出et e n s o rs p a e e 且 j fi sc a l l e dar i g h t w i s t e dw e a ks m a s hp r o d u c tw h i c hi s d e n o t e d 酶a 女嚣+ 直$ 叠i s a 髓蕊g e b 豫w l t h 氇e 垃n t 1 年l 黼畦i s a c o 蠡g 幽r a ，w b o s o c o m u t i p l i c a t i o ni sg i v e nb y ( 口 ) = ( o l 半 1 ) o ( 。2 半 2 ) ，a n d w h o s e c o u n i t i s 8 i v e nb y + ( 。$ ) = a ( 。) ( ，2 ) ，w em a i n l ys t u d y ar i g h tt w i s t e ds m a s hp r o d u c t a 丰嚣w e rw e 欺 | 叩f 靠g e b 髓sa n d i n v e s i 辇襄et h e i fp 糟转拄i e s 。 r e f e “n gt o ( 1 3 】( 1 4 1 s 】，l e ta b eaw e a kb i a l g e b r a s u p p o s ea 率辩s a t i s 矗e s t h e f b l l o w i n gc o n d i t i o n ：oz s ( h 1 ) 术 2 = dls ( 2 ) 年 1 ，f o ra l ln a ， 日 a 冰日i saw e a kb i a l g e b r ai fa n do n l yi ft h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sh o l d ； ( 1 ) ( ( 盎l 一盘一s ( 蕊) ) ls 磊2 ) ( ( 盎l 一窿一s ) ) 2 $ ) 一( 1 l ( 磊l o l 。一s ( 忍3 ) ) $ 2 i i ) o ( 1 2 ( 4 一0 2t s ( 6 ) ) $ 5 i 2 ) ( 2 ) ( “( l j6ls ( 0 5 ) ) ( z 2 掣l cl s ( 9 4 可3 ) ) ) g 封( 。3 可2 ) = s ( 口( z l 。 6 l s ( 茗3 ) ) ) s a ( 6 2 轮一ct s 瓤) ) 弦挣( 9 2 筝1 ) 野( 秘) ( 3 ) s a 洳( 。1 一办一s ( 5 ) ) ( 茁2 弘lje s 缸4 笋3 ) ) ) s ( 如妇) = s ( z l 一 凸2 上_ 一s ( z 3 ) ) ) _ 4 ( 6 l ( y 1 一c “一s ( 可3 ) ) ) 占日( 2 可4 ) e h ( 抛) i nm i ss i t u a t i o n ，i f ( a ，5 匕) ，( 尉，5 k ) a f ew e a kh o p fa l g e b r a s ，a n ds a t i s f yt h ef 0 1 一 l o w 攮gc o 转d i i o 瓣s ： ( 1 ) 口( n 备( ) ，9 a ( 0 2 ) ) = n ( a ) g ( 危) ( 2 ) ( s ( 3 ) 丌冗( o ) t s 2 ( 1 ) ) 十s ( 2 ) 4 = 1 1 9 ，i ( a ( l 1 2 上一s ( 危2 ) ) i t h e na 幸日i saw e 8 k 琢译fa l g e b r aw i haw e 酞翻t i p o d e 曼8 车是) = ( 1 事 s 盯( 矗) ) ( & ( 8 ) $ 1 ) i nc o n t r a s tt ot h es t u d yo fh o p f a i g e b r a s ，i ta l l o w so n e t od e f i n et h et r a c ef u n c t i o nf o r ho na w eg e t t h ec o n c i u s i o nt h a t h em a p l ：a 卜a 丑g i v e nb y 沁) = 时8i sa n 点辫南 糖o d 挂l e 掇a p 。l e l 珏b o 鑫彝髓i t e 瘩m e n s i o 鞋垂w e 矗；( o p fa l g e b 豫 a n daa nw e a k - b i m o d u l ea l g e b r a a s s u m et h a tf ：a 4 hi sas u r j e c t i v e t h e n t h e r ee x i s t san o n 。z e r oi d e m p o f e n te a 车s u c ht h a te ( a 半日) e = a e 竺a h a sa l g e b r a t h e 如l l o w i n gc o n d l t i o n so n 晷w e a k 瀚p fa l g e b f a 差o v e rk a r ee q u i 谢e n t ： 河北师范大学硕士学位论文 hi ss e m i s i “1 p l e 车= 争t h e me x i s t san o f m a l i z e dl e f ti n t e g r a le 珂w 酶s t u d yt h e s e m i s i m p l e o f a 母尉，出a t i s ，w e 蠡n d o u t an o r m a l i z e d l e 魏i n e g r a l8 卓g 矗枣l e t 丑幸嚣b e a w k 量差o p f a l g 曲糯，e a 聪qb e t w o l e 建濂e g r a i s o f a a 醯 ，粉s p 尊c i v e f l 弧e ne 丰譬i s a l i o 魏l n 据g 拄do f a 毒童f l 矗n d o 聃l y i f f 研毪 l 龆a ，篁e 露 氇( 茹l g t s ( z 2 ) ) 率譬裟h 量f 8 ) 盯( 髫) g 木牮 i n t h i sc a s e ，i f e a n d qa r c t w o n o r m a l i z e d l e f t i n t e g r a l s o f a a n d l ，l y e s p e c t i v e l y ，毪n d s a 癌s 每；i i # 一s ( 1 i ) ) 掌窖) 然e l l 。s 露 主l g ，m 髓e 牵譬i s 叠s o 鑫n o r f 键掰i 蟊e d e f t i n t e g r a l0 f a $ 嚣， o n 搬e 蕊e 埔鑫n d 氇e 硒l l o w i 嘴c o n 琏i t e n s aw e 救辩o p fa l g 两精薹差o v e rk 拄r ea l s 0o q h j v a i e n ；hi ss o f n j s i r n p e 车= 争hi sas 。p a r 8 b j ek _ a l g 曲r a i j se a s y g i 、瞎a e 蠢e r i o n 融a 幸显t o 各es e p a 精b e o v e r a ，l e 差b e 驻w e 鑫受嚣o p f a l g e b r 曩w i h ab u e c t i v ew e a ka n n p o d es ，a n dl e tab eal e f tw e a k 量 * i n o d u l ea l g e b m a s s u m e t h e r ee x i s san o r 辩1 拄珏z e dl 嚣n ( o rr i g h o i n t e g r a ii nha n ds a i s f yg 上一s ( 1 j 墓1 ) 术a 2 = 聪一s ( 矗2 ) 枣磊 t h e n 蛙豫r i g h t w i s 把ds m a s hp d h 氍砖乖嚣“i ss e p a 糟b l eo v e ra 。 k e y 鳓撼戳警妇a k 珏叩f 甜g e b f a ，逸雄嫡s 醴s 激毪s h p 蕊疆c l ，嫩i 珏$ 嘴糟l 第一章绪论 l 。l引言 霍普夫代数( 攒卵，“f e 酚o ) 楚2 0 世纪6 。年代以后遗速发展起来的代数 学罅新学擗域嚣上酶j 却f 代数是嗣时兵有鬣代彀露鞠和它蝓对德结撺辫 余代数结构) 并满足一定秘容条件的代数蓉统。辩印，代数避论酶发展有两个袭 源：一个是代数拓扑学，逮方面的工作可以追潮到霍普夫( h 印式肫，于j 舛j 年 关予幕统在竣爱中簿连蘧李耱 。瓣上阂淫露辩8 ( g ，趸) 酶爵究，德在磷究上 丽调时，在淘量空间上慝时鞠造了代数终拷和余代数结携，鼠两提空了妊肇f 代数的概念2 删。同期，搬。妒代数的概念也出观在勋e 等人所傲的群对偶鲍 文章中。透0 0 年最，塞予群鳓兴起，甏p 撩n s 妙蔡些猜想鳃簿决l 引，双厦鳓妒 代数作用理论的发展，使之成为一门新的科学体系。另一个来源是表示理论， 舞始子餮赫希枣德馥s c 矗；鹣g ，和葵靳耗夫g 婚麓船戳鞲，子j 掰| 簪对零爨 表示餮翡礤究。叟维德攀蹬愀d ；然越置，沿蓑这个方愈建立了棼分次滤 孙劳 代数理论，推动了麟节f 代数的迅速发展，分次的与嚣分次曲渤p f 代数虽然结 椅相似，帮是题材互异。 f 姆f 代数的结媳鼓对偶的囊度卷可以说是十分自然瓣。在数学的许多分 支中都存在罄具有好。p f 代数结糖酶对象，舄d p ，代数理论也在许多数学分支中 帮有重癸瓣燕楚，饲始代数群骥论、葳扩张露秘罗瓦理论静布鬣零群溪论、李 代数孝夸起代鼗、组合理论筹。 h 0 p r 代数在物理学中的模型是鼙子群，因此，它在物理学，特别是登子 遵扩畿方法和起对称理论酶礴究中，占有重要境位。出予抒d p f 代数在羹予群 及橱关数学物理理论中的萋要作用，并琏簧研究的深入，期窄f 代数的务类转 化概念的意义逐渐蔽人们认识，g f 起了越来越多蝓关注。 蜀荦f 代数中许多重癸的络论都坶可攘广磷翁舅印f 代数孛，铡如在尉中 建立的类似予f 如p f 代数翡积分理论。证明了弱 f o p f 代数中埘a 8 c 魅8 定理 成立，弱强磴f 代数趵结糟毙姝) p f 代数嚣复杂。侧如，囊数域上的半单的弱 黝p f 代数魏黠壤可烧有无限鳇羚。 对于弱黝妒f 代数的定义大体土蒴两抟形式：一黜是李方在 印中给出的 赣鞠荦f 代鼗定义，帮设簸是个双代数，如暴存在线整浃射舀：嚣时嚣使 褥对于鬻莓浚瓣珐等式强t 珏e 霸一码，珐$ 强$ 霸一强成立，羲 河琵师范大学硕士学位论文 们称( h ，昂) 是弱爿o p f 代数，其对极为功。值得一提的是，这里定义的弱 h 0 p ，代数所要求的条件是比较强的，即h 必须是个双代数。李方在f 刀中 引入了h o p ，代数的一些弱化结构并讨论了它们之间的关系，一方面，用某些 弱h 0 p f 代数的弱对极来构造正则半群。另一方面，由可逆半群建构出一个弱 舅叩f 代数，并在弱j o p f 代数j 申构造出一些予弱h 0 p f 代数，送一步证绢了一 些弱强叩f 代数作为予弱妇o p f 代数是不可约分支盼半貉之和。当类嚣元么半 群是a j ，f o r d 么半群时，由一些不可约分支之和构造出一个左拟模骚麟) p f 代 数。另一种弱h o p ，代数概念是作为对h o p f 代数和g m t 巾。埘代数的推广，由 g b 锄m ，f m j f 和s 拼o c 嘶；n 删所给出n 并建立了弱h 0 p ，代数的一般理论 6 1 。这里的弱h 0 p ，代数与上述李方所定义的弱h o p ，代数的主要区别在于， 只要求h 是一个有限维代数，并满足一定的相容条件就可以构成弱h 妒f 代 数。园此，脚中对弱h 够f 代数定义所要求的条件明显要弱一些。 张良云，陈惠季，李金其在李方所定义盼弱燎，p f 代数约基硝上，磺究了 弱h p f 代数上的s m 8 妫积和s m a 曲余积，给出了弱蜀。p f 代数上的s m a 曲积 和s m a s h 余积是弱双代数的充要条件和是弱f o p f 代数的充分条件( i 4 1 。作为 推广，候波在御定义的弱h o p f 代数基础上给出了弱h 0 p f 代数上的s ，n a s 积，并相应地也给出了它作为弱双代数的充要条件和弱h 0 p f 代数的充分条件 。王栓宏在f j 卅中研究了h o p f 代数上的右扭曲s m a s h 积，即如果a 是个 h _ 双模代数，规定张鼙积空闽a o 日的乘法( 盘o ) ( 厶 z ) = 8 ( l 一6 一 s ( 如3 ) o 是2 1 ) 地，6 a ，先，# 日，证明了这样窥定象法翡张量积空翊具有代 数结构，著称此张量积空簿为右扭曲的s m a s 蠢衣，记为as 口。如栗a 的右终 模作用是平凡的，此时的右扭曲的s m a s 6 积就是通常意义下的s m a s 积。 本文中弱h o p f 代数的定义源于闭它与烈o p f 代数不同的是，其余乘法 不一定保持单位( 1 ) l 1 ，余单位不要求保持乘法( o 可) = ( z 1 1 ) ( 1 2 ) 。 弱h 0 p r 代数h 既是一个结合代数又是一个余结合余代数，并且其代数结构和 余代数结构满足一定的相容条件，有限维弱h o 矿代数的对极还是可逆的。这 样，也可驭类似于孙节f 代数在弱蜀叩f 弋数中定义作用、余作藤、交叉积等凝 念。在此基础上我们幸簪右扭凸鼢a 曲积且+ 嚣在弱聊代数上进行了研究， 给出了右扭曲弱s n 拍s 积的概念，从而得到了它成为弱双代数的充分必要条 件；利用弱h 0 p f 代数的积分理论研究了as 廿的性质，将右扭曲s m a s h 积 4 十h 在h 0 p f 代数上的性质推广到了弱h 0 p f 代数上；并通过定义迹函数给出 了4 十日和a 爿的关系，其中日为a 的不变子代数；用标准化左积分研究了 a 日的半单性；最后，给出了a 日在a 上是分离的判别准则。 2 河袍师范大学硕士学位论文 1 2 弱珏o p f 代数的基本概念和性质 本文中k 是域，对于余乘法仍用s 愀d j e r 记号给出，即( z ) = z l z 2 ， 簿记为；( 茁) = o l 0 2 。 定义l + 1 设髟是域，弱双代数是( 日，弘，缸，g ) 满足下述公理、2 、3 ；如 果( 日，地“，5 ，s ) 满足下述公理、2 、3 、4 ，我们称h 是弱鳓代数。 公理j 日是域世上的有限维结合代数代数，即其乘法“：日oh 灯 和单位u ：k 时h f “和“都是k 线性的) 满足： 结合性： 弘。( 肛o i d ) = 弘。( i d q 肛) ( 1 ) 单位牲：p 。( “i d ) = i 矗= 越o ( i d o 牡) ( 2 ) 公理2 日是域彭上的余代数，其余乘法：盯，哼嚣 日和余单位：口h k 陋和都是缸线性的，满足： 余结合性：( o i d ) 。= 0 d 圆) o ( 3 ) 余单位性： ( ! i d ) 。= f d = 0 d o ) 。( 4 ) 公理3 、z t j ；z h 赢t ( g ) = ( z ) ( 暑，) ( 5 ) ( 卫爹。) = ( z 弘1 ) ( 3 融石)( 6 1 ) ( z 剪z ) = ( z 3 恕) s ( 移l z )( 6 2 ) 2 ( 1 ) = ( ( 1 ) o1 ) ( 1 ( 1 ) ) ( 7 1 ) 2 ( 1 ) = ( 1o ( 1 ) ) ( ( 1 ) o1 ) ( 7 2 ) 公理4 一线性映射s ：一日，称s 为的对极，满足：v z 日 。l s ( z 2 ) = e ( 1 1 z ) 1 2( 8 1 ) s ( z 1 ) z 2 = 1 l e ( 0 1 2 )( 8 2 ) s ( z 1 ) 嚣2 s ( 。3 ) = s ( o )( 9 ) 引理1 2 若是弱麟磁r 代数，s 是h 的对极，则有以下结论成立 ( 1 ) 茁1oz 2 s ( z 3 ) = 1 l zo1 2 ( 2 ) s ( z 1 ) z 2 0z 3 1 lo 。1 2 ( 3 ) z l s ( z 2 ) z 3 = z l l s ( 1 2 ) ( 4 ) z l s ( z 2 ) z 3 = s ( 1 1 ) 西1 2 茁 3 河眈师范大学硕士学饿论文 若科蹙辅双代数傅描叩r 代数) ，对于它晦对偶空问疗= 日。m ( 攒，描) ，我 们可双通过醴射( ，) ：蛊辩h 托赋予霜一个骚双代数f 弱弼举f 代数) 结 蕊t 净，妒嘉，挈譬 ( 妒，篁 = ( 痧圆妒，印) ( i ，尘) = s ( z ) ( 毋) ，搿圆蓟= 多，善妨 害( 彩= 虫i s ( ) ，。= ( 簪，s ( o ) 著鼻露：搿黜”卜露猕，其中嚣= ( 掰，硒镪，岛国是耱弱帮f 代教。定爻 映射q ，：掰舯1 俨“其中f 的作用怒把处在第j 位鼹和第j 位鬣的联捩序。 我们把等式，= 笋释为臻$ 妇激 1 烈，。同撑她，我们可以定义日一8 穗e m e 疵。 臻饕注意稳建霉夺搏s 辍托档；徽 奄：，。= 寥都可l ；乏诱导窭一个穗应缝暂一 s 掘耙啦8 翰 酽：尸= 窖丁，畿俄稳方注爱祷浃麓瓣套藏颓瘴蘩镬，势将矗替攘 ，f 替换u 。庙替换，戒替换，s 替换s ，此时所得到的日一s # o z e m e n 亡q ? 称为是q 的婚鬣+ 若我们辩阁弘，札，i ，s 分别镄抉驴中的d ，缸，g 和s ， 鄢么笺识又褥刭一令錾嚣鞯s 拯捃掰翻f q ：，9 一旷国一袈鸯覆下并不等予 ，我翻称q 8 是奄簿霹矮。下嚣我稍不薅瑷定义j + j 孛黪公理为锱，避行验 证，疆容易 ；馨潮( 1 ) 8 = ( 3 ) ，( 2 ) 4 一擘) ，渴+ = ( ) ，滞1 ) 8 一( 7 1 ) ，( 6 2 ) 4 一( 7 ，2 ) ， 潮此弱双代数公理本身就彤娥一个宴对偶，也就激说骚双代数的对偶还是骑 双代数。霹桴她，我蕊可惑徐溉盛公理霉零身也是个蜜对馐，群么骚辩印f 代数 的对偶还怒弱点如p f 代数 善l 理l 。3 筹髭是弱藏￥矿戗激，囊下巅塞舞等份 ( i 髫是黝姣薮； ( 2 ) 1 ) 一l l ； ( 3 )( 岱3 ，) = = ；= g ( z ) ( ) ，v ，帮日； ( 碡) ( 1 l 善) 1 2 糕l i ( z 王2 ) 篇g ( 嚣i ，b 扦 定义l 。薅。箬援是舔双找数，定哭蠛疆峡袈疆6 ，嚣霆：露一籍静下 疆参( 茹) = s ( 1 l 掌) 1 2 ，h 嚣( 茹) 热l l ( 。1 2 ) + 其中( 1 ) 紫i l0 1 2 ， 鑫辩= 联( 嚣) ，掰8 一疆晨( 舅) ，巷镰投。，目咒均为珂妁予代数， 等 理1 s 。静静是弱双代数，定义线性映射珏。，“矗：露4 嚣静。k 所述， 4 河照耀范交学硕士学位论文 则有下列结论成立? ( 1 ) 王1 正。玎五= h 五， h 冠。鞭姹= h 嚣 ( 2 ) 茹蓼= 挈篁，v 髫爱矗，v 黟捞宄 3 ) 髫( 1 ) = = l l 岱1 2 ! 露赶学搿。 i i 聪1 6 若脬是弱强矽代敬，烈对v 茁烈我们有以下等式成立 ( 1 ) 茹lo n l ( 篁2 ) 篇l l 。固1 2 ( 2 ) h r ( z 1 ) 8z 2 = l lo $ 1 2 翻援鞲簌印f 最鼗垂对德簿慢溪，馥麓魏缮戴下嚣戆；l 理 孽l 璎1 7 。若搿是弱强轲代簸，磁靖垤，爹搿我们有以下等式裁意t ( 差) 嚣雅( 蓼) = ( 。1 箩) 嚣2 ( 2 疆8 ( j ) 筝= 孤( g 睦) 善l 璞1 8 。著露是羁差玲够代数，s 是撵砖掘，掰嚣以下绪论戒立? v 鬈，爹露 ( 1 ) s ( g 掣) = s ( f ) s ( z ) ( 2 ) s ( 。) - s ( z ) 2 = s ( 鼢) 固s 1 ) ( 3 ) s ( 日) = h r ，s ( 科“) = 甜，s ( 1 ) 一】，。s = 出上述；理，交们缛到下掰姆推论 攥论l 母。薯露是赣掰竣f 代数，粥毒下巅等式畿立? ( 1 ) 鞭2 ( 茹) = s ( 1 i 篁) 1 2 = 茹l s 茹2 ) = ( s ( 嚣) 1 1 ) 王2 = s ( 1 1 ) e ( 王2 嚣) ( 2 ) n 露( g ) = ：l l 莒( 。1 2 ) = s ( 篇1 ) 茁2 = h 苎( 1 2 s ( 篁) ) 兰( 1 1 ) s ( 1 2 ) i l 疆1 1 0 。若嚣是弱景万代甄划蠢下翊等式成立? 疆五。s = h 。h r 茹s 。鞋冀 鞭挖os = n 嚣。玎= s 。h 玉 于是筏们有： z l s ( 搿2 ) z 3 = n 五( z 1 ) z 2 ：= g ( 1 l 搿t ) 1 2 9 2 = = 搿 意义1 1 l + 设嚣是域幂土的弱辙蹿矿代数，如袋存丧a 土镑左嚣躅一，却 存在酸蔚：抒。童一a 捷缮砖魄，毫矗，露，盎努满足： 矗一彗一8 ：= 怠乎一穗 s 河北婶怼太掌磺士学位论文 l 封。# = 疽 盎一确= ( 鑫i 一曲( 纛2 一曲 态- l a 一娃。f 秘s l a 剃戢a 为左弱搏模代数， 定义1 1 2 。设射是域鬈上的弱圮，代数，如果存在a 上的搭作j j 一，即 存在映射：a o 槲一a 使得对抛，6 囊，譬，危露满足； 盘。孽。螽= 8 上_ 雪盎 堪。l 嚣。8 毪t 一盎= 8t 是1 ) 6 t 一是2 ) l 廷上一是= = 】矗上一琵箍f 是j 爨甓建为右纛娶模我数。 势a 在囊模搀薅一下蹙应骚珏臻代数，在右蠛黉翅一下是右鞴撩模 代熬，瓣称a 楚弱萍双横代数。 为了方镁，我们记l a 为j ，l 盯为l 。 澎义1 1 3 。媛数点是左群强余攒姣敬，如果建怒左爨罄余模，姆 a 时臀s 矗，以( 8 ) 一聪i o n 。鼢且满足 ( 1 ) a ( 。6 ) 一。1 6 一lo 印玩， ( 2 ；a 1 ) 一i i 。 若嚣是蓑强擎f 蠢教，爨建楚杰骚滕模浅爨窭显莰娄矗虽考藕嚣4 * 亲蠛 筏魏， 若a 是庄弱臻摸最数，奄a 嚣一弘a 氪一舀一驱。 妨一毡，v 纛封 ， 刘a 矸是a 瞬一个子代数，畿们称a 村为a 瓣不交予代数。 事实土，v 危嚣，s ， 毫a 硝，戏 斑富 ( 忍i 、xs ) ( 是2 x t ) 毳l s ) 嚣玉奶) 一母 l l ，& 一8 ) ( i 2 一t ) i * “( 渔一一s 撙 6 | | 筒 | | l 螃p j 风 河北师范大学硕士学位论文 n 。f 埘一( s 站 = 一s ) o = ( n ( ) 一s ) f ( ( n 胁) ) ：一s ) ( ( 玎。( ) ) 2 一f ) ( ( ( ) ) t s ) ( 。( ( n ( ) ) 2 ) 一t ) ( i 。( ) 一s ) ( i 2jt ) i 一( ( 疆( 赶) 一s ) t ) ( i i 。( ) 一s ) f 于是我们有 丸- ( s ) = ( 危) 一s ，v 丘。醚 则时a h即a 尉为a 的予代数。 若h 是弱h o p f 代数，则h 的对儡空间打+ = 何o m 玎( h ，) 也是弱h 0 p f 饯数，我铜； 入s 瓣e 讲。r 翡箭头标记寸0 胃，西日t ， z 3 垂= 币1 ( 垂2 ，z ) ， 西l 一茁= ( 西l ，岱) 圣2 垂一z = 。1 ( 中z 2 )， zz 一西= ( 西，z 1 ) z 2 于是，v 日我们有 ( 。3 圣，弘) = ( 垂，耵。) ， ( 垂l 一。，筝) = ( 量，鲈) 定义1 1 4 设疗是弱热珂代数，右弱肛h 啊模是一个向量空问m ，使得 1 ) m 是菇弱h - 棱； f 2 j 肼是右弱h 余模，即p ：吖一mo 日，其中p ( m ) = m oom l ； f 3 j ，是右h 一模映射，即( m 一 ) o ( m 一，z ) l m o f 。1 圆m i 2 ，v m m h h 7 第：章右扭曲弱s m a s h 积 本章中介绍了右扭曲弱s m a s h 积a + 日，研究了a + 日的相关性质，并且 给出了at 日是弱双代数的充要条件。 定义2 1 。设日是弱放彬代数，其对极为s ，群代数a 是弱曩双模代数，在 张量积空闷a o 日上规定乘法( 8 0 ( 6 0 9 ) = n ( 危1 6 一s ( 3 ) ) o a 2 9 ，讹，6 a ， ，9 h ，且满足共融关系式：i l 一“oi 2 一。 ，n s ( i 2 ) oi l = = = ： a o ，我们称这样的a o 日是右扭曲弱跏z d 幽积，记为a $ h 。 命题2 2 a + 在上述规定的乘法下是代数。 证明： 结合姓：抛，6 ，c a ，v 是，9 ，p 封有 ( ( 8 术危) ( 6 水9 ) ) ( c 毕p ) ( o ( l 一、6 s ( 3 ) ) $ 2 9 ) ( c8p ) n ( l x6ts ( 3 ) ) ( ( h 2 9 ) 1 一c s ( ( 2 9 ) 3 ) ) $ ( 2 9 ) 2 p o ( 1 6 一s ( 蚝) ) ( 2 9 1 一c s ( 乜9 3 ) ) 3 9 2 p ( 盘t 矗) ( ( 6 幸萝) ( e 幸p ) ) = ( 。 九) ( 6 ( g l c s ( 鳓) ) + 出p ) = 8 ( l 6 ( 9 1 c t us ( 9 3 ) ) 一s ( 3 ) ) $ 2 9 2 p = 血( l l 一6ks ( 3 ) 1 ) ( 1 2j9 1 一cls ( 舶) 一s ( 危3 ) 2 ) 2 9 2 p = n ( l 一6 一s ( 5 ) ( 2 一口1 一c s ( 船) 一s ( ) 3 舶p = 。( ， l 一6 一s ( 5 ) ) ( 矗2 9 l c s ( 蜘) ) 3 9 2 p ( ( 8 丰矗) ( 办丰9 ) ) ( c 丰p ) = ( 8 幸是) ( ( 6s 爹) ( c 丰p ) ) 单位性：由定义2 j ，1 i 是右扭曲弱s m a 始积a h 的单位元。 事实上 ( 1 十i ) ( n ) = i 1 一日上_ s ( i 3 ) i 2 a = i 1 一n s ( i 2 ，) i 2 站h = 8 危 8 河北师范大学硕士学位论文 ( 穗$ 丸) f l i ) 一档( 是l 、1 。一s ( 氕3 ) ) $ 扔 一穗( 是 ，lt 一嚣赣s ( 是3 ) ) $ 坞 一也( 。l _ - s ( 1 2 ) ) $ ( s ( 矗3 ) i 1 ) 矗2 一n ( n ( 1 ) 一1 ) $ 2 一口( ( i i ) 一1 ) i 拍 = = = 穗率矗 缘主麝述，建e 曩是含宥单位元跨戎羧。 命题2 3 v 岛，6 a ，口， 好，在以$ 村中露下列等式成立： ( 1 ) ( 1 章 ) ( 1 ；9 ) = ：1 车丸尊 ( 2 ) ( n si ) ( 6 + i ) 一曲ti f 3 j # $ i ) ( 1s 毳) = 癌女毳 ( 4 ) ( 1 卓磊) ( 在$ 1 ) = 盎l - 如上一一s ( 毳3 ) 丰危2 证明： ( 1 ) ( ie ) ( 1 书9 ) = ( 九l - 1 厶一s ( 3 ) ) 唪 2 9 = ( 班( 盎1 ) 一l s ( 矗3 ) ) 毳2 箩 = ( 珏五f i i ) 一l s ( 镌) ) ；i 2 是l g =l 。一- ￥l 置( s ( 磊2 ) ) 奉矗l 窖 =lt s ( 1 2 ) 母s s ( ，。2 ) 1 1 ) 充i 萝 一l 细 ( 2 ) ( 盘* i ) 。i ) 一8 ( i l 一6 一s ( i 3 ) ) 主2 8 ( i i 一5 一s ( i 2 ，) ) e i 2 i 1 ， 幽 i ( 3 ) ( n $ i ) ( 1 ) = o ( i l l s ( i 3 ) ) $ i 2 = n ( i 1 1 一s ( i 2 m i 2 i 1 ， = 矗 矗 江) 壹定义胃褥。 注：照然有a 竺a l ，嚣磐l $ 筇出跑我仍记 九龃然l 是) ( 盘幸i ) 燃( 毳l - 口z s ( 愚3 ) ) 乖 2 8 如攀( 。率i ) ( 1 半 ) 燃n 木危 9 口 岔 河北师范大学硕士学位论文 莩| 理2 。4 ，右扭馥弱翰嬲磊积蔗 露俘为余代数是张量积余戎魏，撬定量$ 嚣 的余采法和余单位如下：a ，盎麒 。( 6 盎) = ( 。i 盎1 ) 圆( 貔2 $ 盎2 ) + ( 8 $ 是) = a f 8 ) 苎抒( 毳) 证骥： ( g 0 8 s s )( 纪o ；) + 如 埘一 = = = = ( c 。钍斡) ( i d + ) ( 0 1 $ 九1 ) o ( 0 2 2 ) ) ( 拄l $ 冬i ) 圆诺2 l $ 矗2 1 ) o ( 8 2 。$ 悫2 2 ) 癌l $ 是1 ) 圆( 。2 $ 盎2 ) ( 蘸3 $ 惫s ) ( o l l 1 1 ) ( 8 1 2 丰 1 2 ) o ( 阮唪 2 ) ( + o i d ) ；s 嬲 妲。圆 固+ s 酗一砖+ l 固( ( 娃l $ ，h ) o 靓$ 矗2 ) ) 一( 穗1 ) 2 $ 盯( 矗1 ) 矗2 点o $ 舞 筒理( i d + ) 。( o 危) 一n $ 危 ( 4 ，。，品) 是余代数。 口 下雷我稍讨论当a 是骚撩凝模，精蹩应正蠲镤醴，右整藩骚融8 妊禳 a 抒作为辑飘代数和弱黝印，代数酶条件t 葶| 遴2 。5 。a * 嚣是右缸媾弱鼢d 照积，筹a 是弱艘代数，烈& 是乘法块 黯，摊v 8s 盎，6 ；萝蔗$ 辩，+ ( ( 8 矗) p $ 幻) = + 翟$ 秘+ $ 鳓成立鼹 党费条件楚( 汹l 一8 一s ( 4 ) ) t + 矗2 ) ( ( 一。一s ( ) ) 2 * 矗3 ) 一( 1 l ( 矗l n l s ( 毳。) ) t 奶i 1 ) o ( 1 2 ( 一n 2 一联蕊) ) t 南5 i 2 )( 2 5 ； 诞骥： 必要慢：如果口毋式成立，则有 t ( ( m 柚( 6 t 们) = 。( 氇( 是l - t s 矗3 ) ) $ 盎2 尊) = 江i 协l 一6 一s ( 趣) ) l 矗2 譬1 ) 圆( 8 2 盎l 一一s ( ) 2 $ 矗3 雪2 ) = ( 娃t l l ( 危l 一6 l s ( 危3 ) ) $ 是2 i 1 9 1 ) o 8 2 i 2 ( 一6 2 一s ( 蚝) ) i 2 啦) 一8 l ( 一l s ( 鹣) ) $ 奶雪l 圆( 钝( 圾一如一s ( ) ) $ 毳5 擘2 ) 重o 骞藐垮筑太学镁士学位论文 = 蒋l t 函) 糯s 擘t ) ；静f ( 憋女恕；f 趣t 舞； 一( 拄i ；? 1 ) 嘞$ 丸2 ) ) ( ( 趣$ 热) ( 赴$ 皴 = 。( o 忍) + ( 64 口) 充分性：如果+ 是蓉法映射，劁搿 。( 1 危) ( n 女i ) ) 一+ ( 1 女氘) + 如 i ) 簿( 盎i 一。一s ( 勉) j ts 毳2 ) ( 弘l * 一球一s ( ) b t 是3 j = ( t 棼l 一嚣l s 麓) * 巍2 i ) ( 1 2 * 一& 一嗣：； ；曳i 2 ) 零；疆2 菇。建$ 嚣连右瓤德瑟s 确黜矗农，磐蠢是爨双霞薮，囊 ；f l ；i = 谜螨：注意到 + ( 1 1 ) 一 乎筵；我蠡袁 。( i $ i ) 辩l $ i ) ；( ls i ) 蠡。 l ；i j ) f i $ i ) 嵇+ ( 1 女i ) ) ( + ( 1s i ) ( 1 * ) ( 1 l $ 蛐o ( 1 2 十i 2 ) ( 1 l i 1 i ) ( 1 2 一i 2 $ i ) ( 1 l 一驳戴& ) $ i ) o 1 2 一i 2 ；i ) l l 一文i 雾) $ i ) ( 1 2 一( i ；i l ；j i 。；至) f l l l 孕( 1 2 一l $ 匐 ( 1 l $ 1 ) 差2 $ i ) ( ，( 1 $ i ) ( 1 $ i ) ) ( ( 1m i ) o + ( 1 # i ) ) 一“1 lti ) ( 1 2 十i ) ( 1 十i ) ) ( ( 1mi ) 圆( 1 l ，si ) 圆( 1 2 ，$ i ) ) = ( 1 l $ i ( 1 2 tj ) l l 一$ i ) 嵇( 1 2 一1 ) 一( 1 l 。i ) 1 2 i l l t ，一s 1 3 ) ) $ i 2 ) ( 1 2 r i ) = ( 1 l $ i ) i 2 i 一i i ，一s ( i 2 一) i 2 i f ) 番 l 挈 i 董重 驻 跨j e 簿菠夫攀硕士学位瓷文 一l l $ i $ 1 2 ( i l i i ，) $ 1 2 e ( 1 r i ) = l i $ i ) ( 1 2 i j ，$ i ) i i ； ：= ：( 1 t $ i ) 静( 1 27 i ) 圆( i 3 女i ) 一越( 1m i ) 同样地，我们有 ( ( 1 女i ) + l $ i ) ) ( + ( 1 $ ) ( 1 $ i ) ) = l l ， i ( 1 $ j ( 1 掣$ ( 1 2 $ i = i ，章i l i 一1 2 ，一s 1 3 势si 2 ) i 2 枣1 ) = ( 1 l $ i ) o 1 2 $ i ( i 3 $ i ； = i ( i i ) 心 攀i i 鞍+ 美矗s 譬是霉耱辩静鞴期憾旃积，磐矗是黪戏代簸曩满足盘。 s ( 丸1 ) $ 凫2 一在一s ( 是2 ) $ 凫i ，刺有下酾绁镪裁立： ( 1 ) 。( ( 也 。) ( 6 + g ) ( e4p ) ) 一8 + ( ( 。$ 游) ( 6 l + 可1 ) ) s + ( ( 6 2 可2 ) ( c 十p ) ) 的充 蕊条传是。 ( ( g l 一6 一s ( 玛) ) ( 茹2 轳l 一# 一s ( 蜘) ) ) 。岸( 茹3 封2 ) 一弛( 搿l 。 6 l j s ( 嚣3 ) ) ) 期( 如( 掣2 一c s ( 泓) ) ) g 材( 觏蚍) g 辩( 蜘) ( 2 7 n ) ( 文蕊sg ) ps 鳓( c m p )