（基础数学专业论文）一类具有重叠的康托集.pdf

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s i m i l a rs e t s ；( n o ) c o m p l e t eo v e r l a p 3 引言 分形这一概念是由法国数学家m a n d e l b r o t 1 】于本世纪7 0 年代提出来 的。自二十世纪八十年代初开始，这一数学分支引起了人们的广泛兴趣， 从而促进了分形几何的发展。但是，直到现在人们仍没有对分形下一个严 格的定义一般来讲，欧儿里德空间中的集合，如果它具有下面所有的或 是大部分的性质，它就是分形： ( 1 ) 具有精细的结构，即有任意比例的细节； ( 2 ) 相当不规则，以至于无论它的局部和整体都不能用传统的几何语言 来描述： ( 3 ) 通常具有某种自相似或自仿射性质，可能是统计或近似意义上的； ( 4 ) “分形维数”( 用某种方式定义的) 通常大于它的拓扑维数； ( 5 ) 在许多令人感兴趣的情形，具有非常简单的，可能是由迭代给出的 定义； ( 6 ) 通常具有“自然的外貌”。 分形的例子比比皆是，如三分康托集，v o n k o c h 曲线以及s i e r p i n s k i 地 毯等分形集( f 2 】，【1 2 】，【1 3 】) 白相似集是分形几何的重要研究对象，这一概念首先由m o r a n 3 1 提 出，后来，h u t c h i n s o n 【4 】对自相似集做了系统研究，当满足一定的分离 性( 即满足开集条件) 时，自相似集的结构比较清晰，且其分形维数 和h a u s d o r f f 澳j 度具有很好的性质。而具有重叠的自相似集的结构比较复 杂，国内外有许多人( 【5 】，【6 j ，【7 j ，i s ，【9 】) 做了深入细致的研究。本文是 在文献【7 】的启发下作的。第一部分介绍了相关的预备知识，主要介绍了 h a u s d o r f f 测度和分形维数的有关概念和性质。第二部分主要讨论一类具有 重叠的康托集的结构和性质，着重讨论这类康托集的完全重叠与不完全重 叠。 4 l预备知识 1 1 分形维数与测度 定义1 1 ( h a u s d o r f f 测度) 设u 是欧几里德空间掣的一个子集，定 义u 的直径为l u i = s u p i x y i ：z ，y u ) ，设s o ，6 0 ，e 为x 的子 集，令 嚆( e ) = i n f 附：u u , d e ，吲s6 ) ， 1 1i 1 f ；( e ) 随着6 减小而逐渐增大，从而以下极限存在 咒。( e ) 2 舰弼( e ) - 可以证明h 。( ) 是一个外测度，“5 ( e ) 称为e 的s 一维h a u s d o r t f 测度，它 的值可能为0 ，正有限或正无穷如果0 ”( e ) o o ，n e 被称为s 一集 由定义，h a u s d o r f f 测度具有以下性质：设0 s t o ) = s u p s ：“。( 研= o o = i i l f s ：咒。( e ) 0 ，s20 令 露( 司= 8 u p l 且i 。： 最) 为球心在e 上，半径最大为6 的不交球族) ， p 。( e ) 2 烛片( e ) 此时，p ( ) 还不是一个外测度，而只是一个预测度，但我们可以通过下述 方式将它修正为一个外测度： ( e ) = i 1 1 f p ( 最) ：e c u 五) i l l p ( 司称为e 的8 一维p a c k i n g 测度，对应的p a c k i n g 维数d i m e e 定义为： d i m p e = s u p s ：( 司= ) = i n f s ：p ( 司= o ) 定义1 4 ( 盒维数) 设e 是r d 的非空有界子集，肌( e ) 表示直径最大 为6 并可以覆盖e 的集合的最少个数，则e 的上下盒维数定义为： 一d i m b ( e ) = 哑8 u p 可l o gn 6 ( e ) 0 - - , 0 ， 1 ”5 ” d i m b ( e ) = l i r a i n 可l o gn 6 ( e ) ， 若以上两个值相等，则称这个公共值为e 的盒维数，记为d i m 口e 在以上 定义中的( e ) 也可以取以下任一值： ( i ) 覆盖e 的直径为6 的集合的最少个数； ( i i ) 覆盖层的半径为j 的闭球的最少个数； ( i i i ) 覆盖e 的边长为6 的立方体的最少个数； ( i v ) 中心在e 内半径为j 不交球的最多个数； ( v ) 与e 相交的6 一网立方体的个数。 6 1 2 自相似集与开集条件 设d 是形的非空闭子集，对于映射s ：d d ，如果存在常数 c ( 0 ，1 ) ，使得对任意z ，y d ，i s ( z ) 一s ( ) i c 陋一训，则称s 为d 上的 压缩映射，简称压缩。如果等号成立，即i s ( z ) 一s ( ) i = c l z y l ，则称s 为相似映射，c 为压缩比。设毋，s _ 是d 上的压缩映射。如果存在非 空紧集e c d 满足 e = u s ( 司， = 1 则称e 为压缩族 最：1 l m 的不变集或吸引子。下面的定理给出了 压缩簇的不变集的存在性及其结构。 定理1 1 【4 】设研，s k 为r p 上的压缩，则 ( i ) s ：1 i m ，存在唯一的不变集e ，即 m e = = u s i ( e ) ； = l ( i i ) 如果在渺的非空紧子集类仁t 定义变换s ，使 m s ( e ) = u 最( e ) ， t = 1 设胪是s 的k 次迭代，即对任意紧集f s o ( f ) = 只s ( f ) = s ( s 扣1 ( f ) ) ，k 1 如果f 是妒中的任意紧集，且满足对任意 ，最( f ) cf ，则 e = a 胪( f ) l 设最( 1 i m ) 是d 上的压缩比为c i 的相似映射，由定理1 1 ，存 在唯一的不变集e ，使得e = u 銎，最( e ) ，不变集e 被称为相似压缩 族 s d l l m ) 的自相似集。 定义1 5 ( 开集条件) 对于压缩族 最：1 i m ) ，如果存在非空有界 开集y 使得 m u & ( y ) ck 且s , ( v ) n s a v ) = o ，l j ， 7 则称压缩族 s ：1 i m 满足开集条件( o s c ) ，也称该压缩族的不变 集e 满足开集条件。 定义1 6 ( 相似维数) 设e 是压缩比为c i 的相似压缩族& ( 1 sm ) 的自相似集，则称满足 = 1 ， i = l 的s 为自相似集e 的相似维数记作( f i r a s e 定理1 2 1 1 2 设e 是压缩比为c 的相似压缩族岛( 1 i m ) 的自相 似集，如果e 满足开集条件，s = d i m s e ，则 ( i ) d i m h e = d i m p e = d i m s e = s ； ( i i ) 0 0 其中s 为e 的相似维数。 注：本章的概念和定理可参考文献【1 2 】，1 1 3 】。 8 2 a - 康托集及其重叠结构 我们已经知道，在对自相似集的测度与维数的研究中，开集条件起着 非常重要的作用。定理1 4 刻画了开集条件，因为在其等价条件中仍需要 对h a u s d o r 任测度进行细微的估计。事实上，当出现重叠时，自相似集的 结构会变得很复杂，前人( 【5 】，【6 】，用， 8 1 ，f 9 1 ) 就专门就一些具有重叠的 自相似集的性质进行了许多深入的研究。在前人的启发下，本文试图对一 类具有重叠的自相似集一知康托集进行讨论。 2 1k 康托集的结构 定义2 1 设a 【0 ，1 1 ， 岛( ) = s 1 7 ，毋( ) = ( z - i - a ) 7 ，岛( $ ) = ( z - i - 2 ) 1 7 ， 岛( 甸= ( z + 4 一a ) 7 ，鼠( z ) = ( z - i - 6 2 a ) 1 7 ，( $ ) = ( z 4 - 6 ) 7 是r 上的六个自相似压缩，我们称它们的吸引子为* 康托集，记作毋 若a = 0 ，则岛= 岛，鼠= 岛，毋是一个典型的均匀康托集合 在此情形，d i m 日取= l 0 9 7 4 ，d i m s 毋= l 0 9 7 6 从而由定理1 4 知，此时 开集条件不满足若a = 1 ，则毋是一个满足开集条件的康托型集， d i m h e x = d i m s e x = l 0 9 7 6 设而= 1 0 ，l 】，q = o ，1 ，5 ) ，毋，= u 礼。舭& 。“( 矗) ，其中 鼠。“= & 。o o & 。注意n s d s o ) c 而，i q 由定理1 1 ( i i ) ，我们有： 毋= n 是l 毋 设五。 = & 。如) 那么五。，“的起点( 即左端点) 是 最。“( o ) 我们把五。“称做毋的_ | c 阶基本区间 因为每个k 阶基本区间厶，“的长度是7 ，所以每个区间的位置完全 由它的起点决定我们把k 阶基本区间的起点集记作地知注意到 詹 乩“( o ) = 鲁 9 其中a o = 0 ，a l = a ，a 2 = 2 ，a 3 = 4 一a ，a 4 = 6 2 a ，8 5 = 6 ，i l i q 因此有 = 宴鲁ia o - o ，。t 吐。捌池一。九 a s f f i4 - - 3 、, n 5 - 6 靠印j - 设i l ，缸和且，靠是q 中的两个不同的元素，若i n t ( i i 。， ) n i n t ( 厶， ) 口，那么称这两个k 阶基本区问五。，弓。，a 有重叠否则称 这两个k 阶基本区间是正分离的由上述定义我们有 命题2 1 两个后阶基本区间五。，“， 有重叠当且仅当 除一剖盯 从取，的定义可以看出，b k 是由一些不相交的闭区间组成，并且其 中每个闭区间是一个或多个k 阶基本区间的并根据b 的构造可知，毋 主要由它的起点集坞，k 决定当a 是无理数时，取的结构相当复杂，但 是当a 是有理数时，其结构就相对简单些对于后种情形，我们引入与集 合慨，k 相关的集合五。 ( o ，6 ) ，定义如下： 设a = 罟q ，口，b n ，( n ，b ) = 1 ，b n 定义 a ，= a ，k ( o ，6 ) = ( 7 o ) z ：霉慨，k ) 我们称死，为毋，k 的七阶构造集在不产生混淆的情况下，我们将乃k 简记 为耳容易看出，集合n 的每个元素是一个整数，并且与七阶基本区间的 起点集是一对应的： 最。，o 。( o ) 一( p 口) 岛。，o 。( o ) 1 0 因此 晰，驴 妾旷1i b o = o , b i = b , b ：= 2 a , b 3 f f i 4 a - b , 6 4 = 阢一2 6 ，6 5 = 6 砜，如n ) 为了便于研究甄与瓦+ 1 之间的关系，我们定义如下映射：对于写n ， a c n ，设 7 1 0 和) = 仡， 1 ( z ) = 7 x + b ，h 2 0 ) = 7 x + 2 a ， _ 7 1 3 ( z ) = 7 x + 4 a 一6 h 4 ( z ) = 7 x + 6 a 一2 6 ，岵 ) = 7 x + 6 a 鬼( a ) = 乜( z ) ：z a ) ，h ( a ) = u 岛k ( a ) ， k l ，, t k = k l0 0 ，h = h ( h 一1 ) 根据毋，t ，地，和乃，k 的定义，可得如下命题成立。 命题2 2 设后0 ，则 ( 1 ) n + 1 = ( 靠) = h k + 1 ( o ) ； ( 2 ) 胪( o ) ch k + 1 ( o ) ，从而t kc2 k 1 设t = t ( a ，b ) = u 芒1 死，由命题2 2 得，瓦t l k 0 0 我们称t 为b 的 构造集设u ：螈，k 一乃， ，u ( x ) = ( 神d ) z ，则以下引理给出了地，k 与乃k 之 问的关系： 命题2 3 设z ，y 螈崩则 i z y i 7 一 = l u ( z ) 一矿( ) l a 设五。，”乃， 是两个k 阶基本区间，由引理2 3 可得下列结论： 五。， 与易。， 有重叠 = f & 。，“( o ) 一毋。， ( o ) i 7 一 铮i u ( & 。，虹( o ) ) 一矿( 毋。机( o ) ) i o 2 2完全重叠与不完全重叠 设j h 是个k 康托集，令易t = u ，。o - s , ( i o ) ( 如上一节所定义) 定义2 2 设1 如果存在以下q ，盯丁，使得= ，则称毋具有 完全重叠否则，称取不具完全重叠 令a = 鲁，( o ，b ) = l ，6 1 t k = i x 一i ：z ，f r ( 口，6 ) ，z g ， 下面我们主要对a 为有理数的情形，讨论下面的问题： ( 1 ) 当a 满足什么条件时，毋具有完全重叠? ( 2 ) 当a 满足什么条件时，毋不具有完全重叠? 为了便于研究冬康托集毋的重叠结构，我们引入映射 ，下面我们 设s n ，5 o ( m o d7 ) ，设 尬= 1 2 ，黜 定义一个从非零整数集合到自身的对应正：z o z o ， i 手 当7 i z 时； 饰，_ 莘戮端； 【墨学当7 1 ( 3 s z ) 时 容易验证以上定义的对应是一个映射由映射厶的定义，可得二( k o ) cj g 而且对于映射 在k 的限制 f 。：k o _ k 。， 我们有如下引理： 引理2 1 映射厶在圮上的限制是双射 证明：( 1 ) 先证厶在尬上的限制是单射 设x l ，2 k o 且l 勋假设厶( z 1 ) = 二( z 2 ) ，则容易得s l ( z l 一现) 或s i ( z l + 勘) 而另一方面1 x l + x 2 8 ，k o i z l x 2 i 号，从而有s f ( z l x 2 ) 且s f ( 3 ：1 + 轨) 矛盾，故f o ( = 1 ) 二( $ 2 ) ( 2 ) 下面证明 在尬上的限制是满射设p 咒 ( i ) 若o p 矗，则7 p ，7 p 【翔，即7 p k , j l l ( t p ) = p ( i i ) 若矗 p ，则o s 一7 p 因为s 0 ( r o o d7 ) ，所以 0 s 一7 p 湾】，即s 一7 p 匠，且l o ( s 一7 p ) = 0 0 7 p ) ) 7 = p ( i i i ) 若 ps 蠢，则0 7 p s 差，即7 p 一8 甄，且 厶( 7 p s ) = ( s 4 - ( 7 p s ) ) 7 = p ( i v ) 若镑 p 穹，则o 2 s 一7 p 因为8 0 ( m o d7 ) ，所 以0 2 s 一7 【毒】，即2 s - 7 p 瓦，且丘( 2 s 一7 p ) = ( 2 s - - ( 2 s - - 7 p ) ) 7 = 弘 ( v ) 若等 p 瓦5 8 ，则0 7 p 一2 s 差， 即7 p 一2 s ，且 二( 7 p 一2 s ) = ( 2 s + ( 7 p 一2 s ) ) 7 = p ( v i ) 若置 p 挈，0 3 s 一劢 ，因为8 0 ( r o o d7 ) ，所 以0 3 s 一7 p 【割，即3 s - 7 p 尬，且f , ( a s - 7 p ) = ( 3 s - ( 3 s - 7 p ) ) 7 = p ( 、r i i ) 若等 七，有一0 ) p ，由引理2 1 ，露( 矗“一( p ) ) 劈( p ) 即牙( p ) 露0 ) ，从而 疗：n l 是一个无限集而事实上 牙( 力： t l 1 ) c 配是有限集从而产生矛盾。假设不成立，引理得证。 口 引理2 3 设s 2 a ，勉一6 l ，对任意p 于，我们有7 p ，i 劢一8 1 ，1 7 p 一 2 圳7 p 一3 s l 于 证明：设p t ，则存在p l , p 2 t 使得p = p l 一庇注意到这一事 实：z t = k 0 ) z i q 因此 劢= 7 p t 一概= h o p l ) 一慨) l 1 7 p 一2 a i = i 劢1 一( 7 现+ 2 a ) i = i ( p 1 ) 一k 慨) i t ， 1 7 p 一4 a i = i ( 7 p l + 2 a ) 一( 7 比+ 6 0 ) i = i ( p 1 ) 一k ( p 2 ) i t ， 1 7 p 一6 a i = 1 7 p l 一( 7 统+ 6 n ) i = l h 0 0 1 ) 一h 5 ( p 2 ) i t ， 1 7 一( 2 d 一6 ) i = l ( 7 p l + b ) 一( 7 沈+ 2 a ) i = j h i 0 1 ) 一慨) i t ， 1 7 p 一2 ( 2 a 一6 ) i = l ( 7 p l + b ) 一( 7 沈+ 4 a 一6 ) i = i h i p l ) 一h 3 ( p 2 ) i t ， 1 7 p 一3 ( 2 a 一6 ) l = i ( 7 p l + 6 ) 一( 7 如+ 6 a 一2 b ) f ；l h i p l ) 一k ( 沈) i t 口 引理2 4 设s 2 a ，2 a 一6 ) ( i ) 若p 于，n n 且8 0 ( m o d t ) ，则疗n ( p ) 于 ( 诅) 若p 虬n 于，且8 o ( m o d t ) ，则对任意z ，露( p ) 于 证明：( i ) 只需证疗1 ( p ) 于设疗- ( p ) = q 由五的定义知， 口= 劢，1 7 p 一8 1 ，1 7 p 一2 s l 或i 劢一3 8 1 ，根据引理2 3 ，这些值都是集合于的元 素，故f ( p ) 于 1 4 ( i i ) 只需证，| k n t 若p n o ，由引理2 2 ，存在，l n 使 得圩= p ，因此 ( p ) = f ( ”一1 ) 于又由引理2 1 ，厶( p ) 兀 口 b 是否具有完全重叠，很大程度上依赖于a 的算术性质下面我们就根 据a 的算术性质对b 的重叠情况进行讨论，结合上述引理，我们可以得 到以下结果 定理2 1 设a = 罟q n 【o ，1 1 ，( 口，6 ) = 1 ，则 o 0 ，b 兰0 ( m o d t ) 专a q c 证明：注意到b 如n ? ，b 三0 ( m o d t ) 由厶的定义及引理2 1 ，可 得 厶( ：；b 玩 另一个面，根据引理2 4 ，我们有丘( 6 ) 于因此存在p ，q t 使 得6 7 = p g 故7 p = 7 q + 6 ，即k ( p ) = l ( q ) ，即在t 中有完全重叠因 此aeq 。口 定理2 2 设a = 2 q n 0 ，1 】，( n ，6 ) = 1 ，n o ，6 0 ( m o d t ) ，则 a 6 且3 口一b 0 ( m o d t ) ：- - - - a q 。 证明：由于d o ，b 0 ( r o o d 7 ) ，我们有如下结论： 口6 且孙一b 0 ( r o o d 7 ) 铮b 三一口，2 a ，一2 a ，或- 3 a ( m o d 7 ) 若b 三- a ( m o d t ) ，即n + b 三0 ( r o o d 7 ) ，则6 n b = 7 a 一( o + b ) 兰0 ( m o d t ) 所 以厶( 6 ) = ( 6 a b ) t 于因此存在护，q t 使得( 6 a b ) 7 = p g 故7 p + b = 7 q + 6 a ，即h 1 ( p ) = 蚝( q ) ，即在t 中有完全重叠因此a k 对于其他三种情形，注意到 b 兰2 a ( m o d 7 ) 号2 a b ；0 ( r o o d 7 ) 辛厶( 6 ) = ( 2 a 一6 ) 7 ， bi 一2 a ( m o d 7 ) ：争2 a + b 三0 ( r o o d 7 ) = ，2 。( 6 ) = ( 2 a + b ) 7 = 【6 a 一( 4 0 一6 ) 】7 ， 1 5 b 三一3 a ( m o d 7 ) 辛4 a b = 7 a 一( 3 n + 6 ) 三0 ( r o o d 7 ) 号厶( 6 ) = ( 4 a b ) 7 可完全按照第一种情形的方法讨论，结果是同样的 口 定理2 3 设a ：鲁0 n o ，l l ，( 口，= 1 ，n 兰o ( m o d 7 ) ，a = b 2 3 ， 则a q 证明；根据所给条件，我们有b ( 2 a - b ) 2 即b 玩一b 因为b t ，所 以k b ( b ) t 存在p ，口t 使得p q = 厶一6 ( 6 ) = 【( 2 a 一一b 1 7 = 2 7 ， 由此可得k ( p ) = ( g ) ，即a k 口 定理2 4 设a = 害q n o ，1 】，( n ，6 ) = 1 ，则 a 三b 0 ( m o d 7 ) = 争a l l ：k 证明：假设毋有完全重叠，由命题2 4 ，则存在t ，j q ，i j ，及 两个不等的整数p ，g 使得( p ) = h i ( q ) ，即7 白一曲= 白一e i ，其中e ，e j o ，b ，2 a ，4 a - b ，6 a - 2 b ，融 ，从而b ，2 a ，4 a - b ，6 0 一2 6 ，乩，加- b ，4 a - 2 b ，乩一 肋，6 口一b ，4 a ，2 a + b ，2 b 这十二个值中，至少有一个能被7 整除但是，事实 上，由于a 三b o ( m o d 7 ) ，容易验证这十二个值都不能被7 整除因此毋 没有完全重叠，即a q 。 口 命题2 5 ( 1 ) 若a q 。，则d i n l h s ) 、= d i m b e 糌； ( 2 ) 若 ，则m m j i f 取= d i i i i b e x = 嚣 证明：对于自相似集以，由定理1 3 ，有d i m 日毋= d i m 日毋 ( 1 ) 若a q 。，则存在整数，及以7 - q 硒，使得厶= ，因此至多存 在6 k o 一1 个不同的阶基本区间，从而对任意七1 ，至多存在( 6 岛一1 ) 个不同的七阶基本区间。因为这些长度为7 - k b 的区间覆盖了取，所以 d i m x e - = d i m b b l i ml 。- l o g g ( 6 h 7 - 一1 ) k = 可l o g ( 6 b - 1 ) 等 小l o g ，”l o e r ”l u k 1 6 ( 2 ) 若a q 。，设a = 2 ，则对任意2l ，t k 中的所有元素互不相同。 注意到此时t k 中任意两个元素间的距离至少是l ，从而任意两个k 阶基本 区间的起点间的距离至少是( 7 k a ) ，即用长度不超过( 7 t a ) - 1 的集合来覆 盖b 时，这样的集合至少要6 个，因此 d 血日毋= 蛳毋2 熙赫= 筹 另一方面，对任意1 ，取可以被6 个长度为7 - 基本区间覆盖，因此 m m h 毋d i m b 取舰等= 等 故 d i m 日历= d i m 日取= 器 1 7 参考文献 【1 】1m a n d e l b r o t ，b b ，f r a c t a l s ：f o r m ，l 傀a n dd i m e n s i o n , f r e e m a n ，s a nf r a n - e i s c o ，1 9 7 7 1 2 】k j f a l c o n e r ，f r a c t a g e o m e t r y ：m a t h e m a t i c a lf o u n d a t i o n sa n da p p l i - c a t i o n s ，j o l m 呐& s o n e ，c h i e h e s t e r ，1 9 9 0 3 1 m o r a np a p a d d i t i v e u n c t i o nd ，i n t e r v a l sa n dt l a u s d o r f f r t t e a s u r e , p r o c c a m b r i d g ep h l i o ss o e4 2 ( 1 9 4 6 ) ，9 9 - 1 2 5 【4 】j e h u t c h i n s o n ，f r a c t a la n ds e l f - s i m i l a r i t y , i n d i a n au n i v m a t h j 3 0 ( 1 9 8 1 ) ，7 1 3 - 7 4 7 【5 】 k s l a n & s m n g a i ，ag e n e r a l i z e df i n i t et y p ec o n d i t i o ni o ri t e r a t e d f u n c t i o ns y s t e m s , a d v m a t h ( t oa p p e a r ) 【6 1s m n g a i & y w a n g ，h a n s d o 珂d i m e n s i o no ls e t - s i m i l a rs e t sw i t h o v e r l a p s , j l o n d o nm a t h s o e 6 3 ( 2 0 0 1 ) ，6 5