（基础数学专业论文）一类半线性椭圆方程dirichlet问题的变号解及其集中现象.pdf

首都师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到 本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名 川冯象 日期：协印年月6 日 l 首都师范大学学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有 权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸 质版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索，有权 将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规 定 学位论文作者签名：7渤丸 日期：竹z 月日 一类半线性椭圆方程d i r i c h l e t 问题的变号解及其集中现象 摘要 本文主要运用极小极大方法和截断的方法研究一类半线性椭圆方程 d i r i c h l e t 边值问题变号解的存在性及解的集中现象 设q 是r 中的区域，具有光滑边界考虑半线性椭圆方程d i r i c h l e t 边值问题 ( 只) r 篙。如可l 罴 其中y ( z ) 是h s l d e r 连续函数，满足 ( ) y ( z ) o 0 ，v z r n ( k ) 存在有界区域a c c q 使得 y 0 2 蜡y ( z ) 感y ( z ) ，( s ) c 1 ( r ) 满足 ( ，1 ) ，( s ) = o ( 1 8 1 ) ，当8 0 时 ( ，2 ) 存在1 p 2 一1 使得 熙铬= 。 8 1 5 r ro o ，n = 1 ，2 其中2 i 建，、，3 ( ，3 ) 存在2 0 使得；对于任意的( o ，o ) ，方程( 只) 有一个变号解啦硪( q ) 进一步， 啦恰有一个局部极大值点鼍a ( 即全局最大值点) 和一个局部极小值点 鼍a ( 即全局最小值点) ，觋y ( 2 ) = v o0 = l ，2 ) ，并且 k 刚 唧( 一刮竿i ) + 唧( 一圳宰i ) 其中m 卢为正的常数 注：在上述定理的条件下，进一步假设，( s ) 是奇函数，c 0 a l v e s 和s h m s o a r e s 3 得到了上述结果本文减弱了非线性项，( s ) 的条件，得到了同样 的结论 关键词：极小极大方法，截断方法，变号解，集中现象 一类半线性椭圆方程d i r i c h l e t 问题的变号解及其集中现象 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ee x i s t e n c ea n dc o n c e n t r a t i o nb e h a v i o ro fan o d a l s o l u t i o nt oak i n do fs e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o nw i t hd i r i c h l e tb o u n d a r yv a l u eb y u s i n gm i n i m a xa n dt r u n c a t i o nm e t h o d s l e tqcr b ead o m a i nw i t hs m o o t hb o u n d a r y w ec o n s i d e rt h es e m i l i n e a r e l l i p t i ce q u a t i o n c 叶吖2 譬 m 叫l ： w h e r ey ( x ) i sah s l d e rc o n t i n u o u sf u n c t i o n ，s a t i s f y i n g ( h ) y ( z ) o t 0 ，v z 毫 ( k ) t h e r ee x i s t sab o u n d e dd o m a i nac o m p a c t l yc o n t a i n e di nq s u c ht h a t k = 。i n 。a f y 扛) 妻基y ( z ) a n d ( 8 ) c 1 ( r ) s a t i s f i e s ) ，( s ) = o ( 1 8 1 ) ，a ss 一0 ( ，2 ) t h e r ee x i s t s l p 2 一1s u c h t h a t l i m 静= 。 r0 0 ，n = 1 ，2 w 妇2 k i 篙，3 ( ) t h e r ee x i s t s2 0s u c ht h a tp r o b l e m ( 只) p o s s e s s e san o d a ls o l u t i o nu e 础( q ) f o r e v e r y ( 0 ，印) m o r e o v e r ，h a sj u s to n ep o s i t i v el o c a lm a x i m u mp o i n t 鼍a ( h e n c eg l o b a l ) a n do n en e g a t i v el o c a lm i n i m u mp o i n t 霉a ( h e n c eg l o b a l ) w e a l s oh a v e 觋y ( 只) = v o ( i = 1 72 ) a n d 姒删s 卟币( 一引华1 ) + e x p ( 一圳宰1 ) w h e r em ，pa r ep o s i t i v ec o n s t a n t s r e m a r k ：u n d e rt h eh y p o t h e s e so ft h ea b o v et h e o r e ma n da s s u m i n gt h a t ，( 5 ) i s a no d df u n c t i o n ，c 0 a l v e sa n ds h m s o a r e so b t a i n e dt h ea b o v er e s u l ti n 3 】i n t h i sp a p e r ，w eg e tt h es a m ec o n c l u s i o nw i t h o u tt h eo d d n e s s o f ，( s ) k e y w o r d s ：m i n i m a xm e t h o d ，t r u n c a t i o nm e t h o d ，n o d a ls o l u t i o n ，c o n c e n t r a t i o n b e h a d o r 4 一类半线性椭圆方程d i r i c h l e t 问题的变号解及其桌中现象 o 前言 这一节，我们主要介绍以前的一些结果设n 是r 中的区域，具有 光滑边界考虑椭圆方程 一u + y ( z ) u = ，( u ) ，z r ( o 1 ) 及 r = m 吖缸l ： 似2 ， 其中v ( x ) c 1 ( r n ) 满足 ( m ) y ( x ) n 0 ，v z r ( w ) 。阜my ( x ) = o o i z l + ( s ) 俨( 醒) 满足 ( ，1 ) ，( s ) = o ( ，当s 一0 时 ( ，2 ) 存在1 p 2 一1 使得 熙哿= 。 靴= 馕怎2 ( ，3 ) 存在2 0 p + 1 使得 0 o ，v s 。 则存在印 0 使得：对任意的s ( o ，印) ，方程( 只) 有一个变号解魄日j ( q ) 进一步，啦恰有一个局部极大值点鼋a ( 即全局最大值点) 和一个局部 极小值点雩a ( 即全局最小值点) ，觋y ( 2 ) = v o ，“= 1 ，2 ) ，并且 脚 e x p ( 一叫华1 ) + e x p ( 一引竽1 ) 其中眠p 为正的常数 一类半线性椭圆方程d i r i c h l e t 问题的变号解及其集中现象 1 问题和主要结果及评述 这一节，我们给出所研究的i 司题和主要结果设q 是r “中的区域， 具有光滑边界考虑半线性椭圆方程 c 叶吨2 = 。沁吖l 罴 其中y ( z ) 是h s l d e r 连续函数，满足( h ) ( k ) ，( s ) c 1 ( r ) 满足( 1 ) 一( ，4 ) 现在我们给出问题( 只) 的变分框架记 日= 札g o x q ) i 上y ( z ) u 2 如 0 使得：对于任意的( 0 ，s o ) ，方程( 只) 有一个变号解明( q ) 进 一类半线性椭圆方程d i r i c h l e t 问题的变号解及其集中现象 一步，恰有一个局部极大值点硭a ( 即全局最大值点) 和一个局部极 小值点p l a ( 即全局最小i l 点) ，她y ( 砭) = v o ，0 = 1 ，2 ) ，并且 l m i e x p ( 一圳半1 ) + 唧( 一刮半1 ) 其中m ，p 为正的常数 一类半线性椭目方程d i r i c h l e t 问题的变号解及其集中现象 2 主要结果的证明 取k 0 满足k 古，取0 1 0 ，a 2 0 使得 掣= 芸，( 2 ) 定义 氕s ) _ 净“n 2 或s t l ，( s ) ， a 2 s a l g ( x ，s ) = x a ( x ) f ( s ) + ( 1 一x a ( z ) y ( s ) 其中x a 为a 的特征函数由( ) 一( ) ，g 是n 上的c a r a t h d d o r y 函数并 且满足 ( 9 1 ) g ( x ，s ) = d ( ，当s 一0 时，对z q 一致成立 渤) 存在1 p r 一1 使得 l i m 掣：0 d + 0 0 l s i p ( g a ) 存在2 口曼p + 1 使得 0 0 使得：v 尥，有 五( 札) 2c 1 2 上l 士p 1 如p 。 取) c 尬使得五( ) 一龟，则( ) 在h 中有界通过取子列，不妨设 一i i , ，在h 中则 上l u 士i 升1 如一，磐器上i u 孝旷1 出p 。 从而u 士0 断言：z ( u 士) u 士0 事实上，由范数的弱下半连续性、f a t o u 引理及n i e m y s k i 算子的连 续性，有 j 厶 s 2j v 钍土1 2 + y ( 硎铲1 2 出一上、a 9 ( z ，铲) 铲如n一n = 上叫v 铲i + ( 1 一i 1 ) 上、a y ( 刮仳士1 2 出+ 上y ( 蚓“叩如 + 上、 ；y ( z ) i 士1 2g ( z ，u 士) u 士 d z 剑i m i n r 盼v 吲2 如+ ( 1 一m a 俐硐2 出+ 上俐嗍2 司 二耋竺堡塑里查堡里堡生垒! 堕旦整竺窭兰壁墨墨墨! 兰望邑一 十袋尊上u 【；y ( 圳乱士1 2 - g ( z ，砖) 札孝 如 王l i r a i j o 。f 【z 翻v “孝1 2 如+ ( 1 一；) 上、a y ( 圳u 妻1 2 出+ 上y ( 圳札砉| 2 如 + 上、a ；m ) 阻2 _ g ( 删珈孝】如】 一 t i m i j , , 。f 比p 陬轷州圳u 扦) d z g ( 删珈孝司 = l i m i n f 9 ( 甄u 士) u 孝d z n 一j a = 上g ( 霸萨) 萨d z 从而髭( 乱士) 札士0 由断言可知：存在萨( 0 ，1 1 使得( t 士士) t 士t 士= 0 ，即 啦= t + u 十+ t - u 一尬 由( 9 4 ) 及f a t o u 引埋， 即铋) = 上( 扣卸钳一g ( 州埘) ) d z s 1 骢簪上( ( z , e l u l ：) 孝一g ( z ，产u 孝) ) 如 h m 1 , 一时0 0j ( ( ；g ( e “孝) 砉一g ( z ，砖) ) 如 n 、二 7 因此岛曼五( 仳。) = 五( 矿u + ) + 五0 一t 一) l i m i n f ( 五( “妄) + 以( 蛎) ) f + o o、， = l i m i n f 五( ) 即岛可达由文献【7 1 引理l 1 ，以满足( p s ) 条件利用文献【4 】命题4 1 的 证明方法，岛的达到函数是方程( 只) ，的变号解 口 一类半线性椭圆方程d i r i c h l e t 问题的变号解及其集中现象 f 面我们估计u 。的能量记 舯，= 巍。 设叫士h 1 ( r ) 是方程 一a u + y o u = ，士( “) ， z 腿。 的最小能量解，且埘+ ( o ) = 。i n 。r a x 。w + ( z ) ，钟一( o ) = 。r a 。r i n 。w 一( z ) ，即叫士满足 t c r j m # k “ 袁= 境( 加士) = 。印。i ( r n ) f 鬻境( 州) 其中境( “) 一；丘( 1 v u l 2 + y o u 2 ) 如一丘一f 士( “) 如，疋( s ) = 片f + ( t ) d t 引理2 2 t i m ，s 。u p e - m j , ( u , ) s 吃+ 瓴 证明设x o i n t ( a ) 满足y ( x o ) = v o 取r 0 使得b r ( z o ) ci n t ( a ) 取 妒俨( f ) 满足0 妒1 ，i v 砂l c 以及 抛，= 娃剽募 定义 让，士( z ) ：妒( z z 。) 删士( 车导) 由( g 】) 。( 9 3 ) ，存在t n 0 使得： 五( 如士毗，士) = m 紧j , ( t w s 士) 贝0 以( 士弛，土) t 士地，士= 0 考虑函数 t 2t e ，+ 桃+ + t e ，一l o e 一 则蛾4 - = r e , ：t ：w e ，士，j r 蛾4 - ) 4 - = 0 ，即w e 尬从而 c e 五( 姚) = 五( 时) + 五( t 蛞) 一类半线性椭圆方程d i r i c h l e t 问题的变号解及其集中现象 通过计算，我们有 五( 砖) = 5 ( c 彘+ 0 0 ) ) 其中d ( 1 ) 一o ( 当一0 时) 从而 l i m s u p e 一五( ) c 讫+ c v o 口 一0 。 下面几个引理的证明参考文献【3 ，7 】 引理2 3 蚝取到正的局部极大值或负的极小值的点必定在a 中 引理2 4 设露为时的局部极大值点，辟为的局部极小值点，则 ( 1 ) ( 碍) a l ，毗( 鼋) a 2 ( 2 ) l 华12 i + o o ，当s - - , o 时 命题2 5 如果g 。l0 ，五0 = 1 ，2 ) 满足 u “( z ：) b 0 ，t k 。( z ：) 一b 0 则l i l n 矿( ) = v o ( i = 1 ，2 ) 推论2 6 令m 2 墨瑟时( z ) ，m 2 。m 。孙i nu 。- ( x ) 则 蜮砖= 0 e _ 0 5 进一步，s 充分小时，至多有一个正的局部极大值点鼍和一个负的 局部极小值点露，并且 枷l i m y ( ) = v o2 嘧y ( z ) ，( t = 1 ，2 ) 定理i i 的证明我们只要证眈 t ；( 。) 0 使得：当0 g o 时，我们有 1 ( z ) l a = r a i n a 1 ，- a 2 ，v z 0 a 1 4 一类丰线性椭面方程d i r i c h l e t 问题的变号解及其集中现象 利用文献【7 】中的证明方法，上述不等式对在n a 上也成立 进一步，利用文献【7 ，1 7 】中的证明方法，有。 k 刚 e x p ( 一引华i ) + 唧( 一刮半i ) 口 一类半线性椭圆方程d i r i c h l e t 问题的变号解及其集中现象 参考文献 【1 】1 c o a l v e s ，j m d ooa n dm a s s o u t o ，l o c a lm o u n t a i n - p a s sf o rac l a s so fe l l i p t i c p r o b l e m si n v o l v i n gc r i t i c a lg r o w t h ，n o n l a n a l ，4 6 ( 2 0 0 1 ) ，4 9 5 - 5 1 0 【2 】c o a l v e sa n dm a s s o u t o ，o nt h ee x i s t e n c ea n dc o n c e n t r a t i o nb e h a v i o ro fg r o u n d s t a t es o l u t i o n sf o rac l a s so fp r o b l e m sw i t hc r i t i c a lg r o w t h ，c o m m p u r ea p p l a n a l ， 3 ( 2 0 0 2 ) ，4 1 7 - 4 3 1 【3 】c o a l v e sa n ds h m s o a r e s ，o nt h el o c a t i o na n dp r o f i l eo fs p i k e - l a y e rn o d a l s o l u - t i o n st on o n l i n e a rs e h r 6 d i n g e re q u a t i o n s ，j m a t h a n a l a p p l ，2 9 6 ( 2 0 0 4 ) ，5 6 3 - 5 7 7 【4 】t b a r t s c ha n dt w e t h ，t h r e en o d a ls o l u t i o n so fs i n g u l a r l yp e r t u r b e de l l i p t i ce q u a - t i o n so nd o m a i n sw i t h o u tt o p o l o g y , a n n i h p o i n c a r d a n ，2 2 ( 2 0 0 5 ) ，2 5 9 - 2 8 1 【5 l t b a r t s c ha n dz q w a n g ，s i g nc h a n g i n gs o l u t i o n so fn o n l i n e a xs c h r s d i n g e re q u a 一 t i o n s ，t o p o i m e t h n o n l a n a l ，1 3 ( 1 9 9 9 ) ，1 9 1 1 9 8 1 6 】k c c h a n g ，i n f i n i t ed i m e n s i o n a lm o r s et h e o r ya n dm u l t i p l es o l u t i o n sp r o b l e m s b i r k h i n s e r ，b o s t o n ，1 9 9 3 吲m d e lp i n oa n dp l f e l m e r ，l o c a lm o u n t a i np a s s e sf o rs e m i l i n e a re l l i p t i cp r o b l e m s i nu n b o u n d e dd o m a i n s ，c a l c v a t ，1 2 1 ( 1 9 9 6 ) ，1 2 1 1 3 7 8 】m d e lp i n oa n dp l f e l m e r ，m u l t i p e a kb o u n ds t a t e so fn o n l i n e a rs e h r s d i n g e r e q u a t i o n s ，a n n i h p o i n c a r d - a n ，1 5 ( 1 9 9 8 ) ，1 2 7 - 1 4 9 【9 】b g i d n s ，w m n ia n dl n i r e n b e r g ，s y m m e t r yo fp o s i t i v es o l u t i o n so fn o n l i n e a r e q u a t i o n si nr ，i n ：l n a c h b i n ( e d ) ，m a t h a n a l a n da p p l ，p a r ta ，i n ：a d v i n m a t h s u p p l s t u d ，v 0 1 7 a ，a c a d e m i cp r e s s ，1 9 8 1 1 1 0 1z l l i ua n dj x s u n ，i n v a r i a n ts e t so fd e s c e n d i n gf l o wi nc r i t i c a lp o i n tt h e o r yw i t h a p p l i c a t i o n st on o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，j d i f f e q u a ，1 7 2 ( 2 0 0 1 ) ，2 5 7 - 2 9 9 【1 1 】e s n o n s s a l ra n dj w e i ，o nt h el o c a t i o no fs p i k e sa n dp r o f i l eo fn o d a ls o l u t i o n sf o r as i n g u l a r l yp e r t u r b e dn e u m a n np r o b l e m ，c o m m p d e s ，2 3 0 9 9 8 ) ，7 9 3 - 8 1 6 1 6 一类半线性椭圆方程d i r i c h l e t 问题的变号解夏其集中现象 【1 2 】y j o h ，e x i s t e n c eo fs e m i - c l a s s i c a lb o u n ds t a t e so fn o n l i n e a rs c h r d d i n g e re q u a t i o n s w i t hp o t e n t i a l so nt h ec l a ( y ) n ，c o m m p d e s ，1 3 ( 1 9 8 8 ) ，1 4 9 9 - 1 5 1 9 【1 3 ly j o h ，c o r r e c t i o n s t oe x i s t e n c es e m i - c l a s s i c a lb o u n ds t a t e so fn o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e r e q u a t i o n su n d e rm u l t i p l ew e l lp o t e n t i a l ，c o m m p d e s ，1 4 ( 1 9 8 9 ) ，8 3 , 3 - 8 3 4 【1 4 1p h r a b i n o w i t z ，o nac l a s so fn o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e re q u a t i o n s ，z a n g e w m a t h p h y s ，4 3 ( 1 9 9 2 ) ，2 7 9 - 2 9 1 【1 5 x w