（基础数学专业论文）函数空间上若干线性算子的特性.pdf

函数空间上若干线1 生算子的特性 摘要 本文所研究的内容分为两部分一、加权b e r g m a n 空间与z y g m u n d 空 问之间广义c e s 打。算子和复合算子的乘积算子的有界性和紧性特征；二、 s c h a t t e n p 类h a n k e l 算子存调和b e r g m a n 窄闯上的特征研究工作集中在以下 内容 记d 为复平面c 上的单位圆盘，以h ( d ) 表示d 上全纯函数的全体给定 0 p - 1 ，定义d 上的加权b e r g m a n 空间为 a 苔= f eh ( v ，| | ，“ z = ( 上i ，c ：，r c l 一l z l 2 ) a d a ( z ) ) ； ， 其中d a ( z ) 是d i ：规范化的l e b e s g u e 面积测度。 定义d 上的z y g m u n d 空问z 为 z = ，h ( 1 1 ) ) n c ( 西) ；j i f l f z o e 讲0 d 。 l 众所周知 i i f l l z 型s u p ( 1 一i z l 2 ) i f ( z ) j ：d 在范数i i f l i = l ，( o ) i - a t - i ，7 ( o ) i + s u p ( 1 一h 2 ) i f ( z ) l 下，z 成为个b a n a c h 空问 z e d 定义d 上的小z y g m u n d 空间z o 为 z 。2 fez ；l ：l i i r a 。( 1 一l z l 2 ) i f ( 2 ) l = o ) i 给定d 上的全纯自映射妒和g h c d ) ，定义广义c e s 狐算子和复合算子 的乘积算子毛c 0 为 ，： ( 乃。似z ) = ( ，o 妒) ( ) 9 代) 必， ，日( d ) ， z d ，0 它是广义c e s h r o 算子的一种拓广当v ( z ) = z 时，马g 就是广义c e s h r o 算子 ，： 乃，( z ) = ， ) 夕7 ) ， ，日( d ) ， z d ，0 广义c e s h r o 算子是算子理论研究领域中的个重要内容，以它为丁具可以解决 某些函数空间上的g l e a s o n 问题，而且它与复合算子及算子半群有着密切的关 系，可望被用来研究某些偏微分方程因此对广义c e s h r o 算子和复合算子的乘秘 算子的研究也很有必要我们研究了算子乃q 在加权b e r g m a n 空问和z y g m u n d ( 小z y g m u n d ) 空间之间的特性，得到了乃。在相应空间上为有界算子和紧算 子的允要条件，在算子类型上扩展了研究范围。丰富了人们对该算子的认识 设q 是尼1 ( 扎2 ) 中的有界光滑区域，y 是q 上的l e b e s g u e 测度2 ( q ) 是q 上满足 i l f l l = 上i ，( z ) 1 2 d y ( z ) ) 5 o 。 的可测函数，的集合定义调和b e r g m a n 空间玩( q ) 为l 2 ( f 1 ) 中所有调和函数的 全体 给定，工2 ( q ) ，定义乘法算子屿为 如( 9 ) = ，参。设q 是三2 ( q ) 到联( q ) 上的正交投影，以，为符号的l 2 ( q ) 一i ：的h a n k e l 算子研定义为 研= ( i q ) m ! q 我们讨论了s c h a t t e n p 类h a n k e l 算子在砩( q ) 上的特性，得到了当2 p 时，毋属于昂的充要条件，推广了这方面已有的结果 关键词：函数空间；线性算子；有界性；紧性；s c h a t t e n p 类 i i i s o m el i n e a ro p e r a t o r so nc e r t a i nf u n c t l o n s p a c e s a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，f i r s t ，w ed i s c u s st h eb o u n d e d n e s sa n dc o m p a c t n e s so ft h ep r o d u c t o fe x t e n d e dc e s 矗r oa n dc o m p o s i t i o no p e r a t o r sb e t w e e nt h ew e i g h t e db e r g m a ns p a c e a n dt h ez y g m u n ds p a c e s e c o n d ，w es t u d yt h ec h a r a c t e r i z a t i o n so fs c h a t t e np - c l a s s h a n k e lo p e r a t o ro nt h eh a r m o n i cb e r g m a n s p a c e s l e tdb et h eu n i td i s ki nt h ec o m p l e xp l a n ec ，a n dl e th ( d ) b et h ec l a s so fa l l h o l o m o r p h i cf u n c t i o n so nd f o r0 p - 1 ，t h ew e i g h t e db e r g m a ns p a c e a 2 i sd e f i n e db y a 笔= f 6 h ( d ) ：”，“ 嚣= ( 上i ，c z ，r c l l ：1 2 ，。以c ：，) ； + o o ) ， h e r ed ad e n o t e st h en o r m a l i z e dl e b e s g u ea r e am e a s u r eo nd t h ez y g m u n ds p a c e i sd e f i n e db y w h e r e z = ，h ( d ) nc ( 面) ：l i l l i o 1 e 讲d d i ti sw e l lk n o w nt h a t f l l ! s u p ( 1 一f z l 2 ) i f ( z ) i ：d i v i ti se a s yt os e et h a tzi sab a n a c hs p a c eu n d e rt h en o r m ”怙w h e r e t h el i t t l ez y g m u n ds p a c eo fd ，d e n o t e db y o ，i st h ec l o s e ds u b s p a c eo fz c o n s i s t i n g o ff u n c t i o n sfw i t h m l i m ( 1 一汗) i f 7 化) l = o g i v e n 妒a nh o l o m o r p h i cs e l f - m a po fda n d 夕日( d ) ，t h ep r o d u c to fe x t e n d e d c e s a r oa n dc o m p o s i t i o no p e r a t o r 乃oi sd e f i n e db y ，： ( 乃岛，) ( 名) = ( fo 妒) ( 专) 9 7 ( 专) 式， f 日( d ) ， 2 d ，0 t h i si sag e n e r a l i z a t i o no ft h ee x t e n d e dc e s 2 i r oo p e r a t o r , i f p ( z ) = z ，t h e n 弓gi sj u s t t h ee x t e n d e dc e s 打oo p e r a t o r 训扣知舢代聪 f 日( d ) ， 名d t h ee x t e n d e dc e s i t mo p e r a t o ri ss i g n i f i c a n ti nt h eo p e r a t o r t h e o r yo fh o l o m o r p h i cf u n c t i o ns p a c e s t h e r e f o r e ，i ti sn e c e s s a r yt os t u d yt h i so p e r a t o r 毛go nt h eh o l o m o r p h i c f u n c t i o ns p a c e s w ec h a r a c t e r i z et h eb o u n d e d n e s sa n dc o m p a c t n e s so ft h eo p e r a t o r 乃o b e t w e e nt h ew e i g h t e db e r g m a ns p a c ea n dt h ez y g m u n ds p a c e ( 1 i t t l ez y g m u n d s p a c e ) a c c o r d i n gt ot h i s ，w ee n l a r g et h er e s e a r c hf i e l do fo p e r a t o r s ，a n dg i v ead e e p e r c l a r i f i c a t i o no ft h i so p e r a t o r l e tqb eab o u n d e ds m o o t hd o m a i ni n 彤( 礼2 ) a n dl e t1 厂b et h el e b e s g u e m e a s u r eo nq d e n o t eb yl 2 ( q ) t h es e to fa l lm e a s u r a b l ef u n c t i o n sfo nqs u c ht h a t l ，l l = 上l ，( z ) 1 2 d y ( z ) ) 5 o o n 、l ， z ，- i 、 ，、l ， 2 石一1 ，f p du s z + 、- ， 0 吖厂 + 、l ， o ，厂 i i f厂 t h eh a r m o n i cb e r g m a n s p a c el 2 ( q ) i st h es e to fa l lh a r m o n i cf u n c t i o n si n 三2 ( q ) f o r ，l 2 ( q ) ，t h em u l t i p l i c a t i o no p e r a t o r 晰i sd e f i n e db y 屿( g ) = f g l e tqb et h eo r t h o g o n a lp r o j e c t i o nf r o ml 2 ( q ) o n t o 磁( q ) ，t h eh a n k e lo p e r a t o r 研i s d e f i n e do nl 2 ( q ) b y 研= ( i q ) m f q w ed i s c u s st h ec h a r a c t e r i z a t i o n so ft h es c h a t t e np - c l a s sh a n k e lo p e r a t o ro nt h eh a r - m o n i cb e r g m a ns p a c e s 磋( q ) ，a n do b t a i nt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n st h a t 毋t ob e l o n gt o 昂( 2sp co ) o u r w o r ke x t e n d st h er e s u l t si nr e f e r e n c e s k e yw o r d s ：f u n c t i o ns p a c e ；l i n e a ro p e r a t o r ；b o u n d e d n e s s ；c o m p a c t n e s s ； s c h a t t e np - c l a s s v i 浙江! j 币范大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人存导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他入或其他机 构已经发表或撰写过的研究成果其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在 论文中作了明确的声明并衷力了谢意本人完全意识到本声明的法律结果由本人 承担 作者签名： 彳尔丽萄、 日期：如67 年f 月2 7 日 学位论文使用授权声明 本人完全了解浙江师范大学有关保留、使用学位论文的规定，l l o ：学校有权 保留并向国家有关机关或机构送交论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和 借阅，可以采用影印、缩印或扫描等手段保存、汇编学位论文同意浙江师范大 学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播论文的伞部或部分内容 保密的学位论文在解密后遵守此协议 储鹕懈翮燕翩馘龆碍翻r 狮严月夕日 浙江师范大学学位论文诚信承诺书 我承诺自觉遵守浙江师范大学研究生学术道德规范管理条例我的学位 论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等，均已明确注明并详 细列出有关文献的名称、作者、年份、刊物名称和出版文献的出版机构、出版 地和版次等内容论文中未注f ! j = i 的内容为本人的研究成果 如有违反，本人接受处罚j i ：承担一切责任 承诺人( 研究生) ：彳余厕垄 指导洲j ：掘翦烈 1 1 引言 1 绪论 复变函数理论自1 9 世纪的三位杰出数学家c a u c h y , w e i e r s t r a s s 和r i e m a n n 奠 定基础以来，已有一百多年的历史现在它已经是- - f q 相当成熟的学科，f ：在数 学和自然科学的多个领域中都有重要的应用，见文献【l 】2 0 世纪上半叶，h a r d y , l i t t l e w o o d ，p r i v a l o v 和s z e g o 等数学家将具有某些共同性质的一元伞纯函数作为 一个整体米研究，发展成了函数空问的概念，从此全纯函数的研究形成了庞大的 体系，可见【2 】、【3 】和【4 】 最近的二、三十年来，伞纯函数窄问和算子理论的研究强烈地吸引着人们的 兴趣，已经成为数学的研究热点之它与概率统计、信息论等方向有着密切的 联系，也是信息控制、动力系统、指标理论等发展的直接动力和应用纽带。比如， 复合算子已被应用于乘法算子的交换子与复动力系统等诸多方而；广义c e s i t r o 算子与复合算子及算子半群有着密切的关系，可望被用来研究某些偏微分方程； t o e p l i t z 代数的c o b u m 正合列为c 半代数扩张带来了深刻的肩示：h a n k e l 算子在 控制问题中有着重要应用，关于h a n k e l 算子的n e h a r i 定理与模型匹配问题具有 密剀关系所以，对复变函数空间上算二r 理论的研究就显得十分自然和非常重要 其中，对全纯函数空间上各类线性算_ 了特性的研究尤为活跃，见【5 】和【6 】本文 第二章中，我们将财单位圆盘上加权b e r g m a n 窄间和z y g m u n d ( 小z y g m u n d ) 卒 问之问广义c e s a r o 算子和复合算子的乘秘算子的有界性和紧性进行研究 在过去几十年中，全纯函数空间上的h a n k e l 算子一直是复分析的一个重要 研究内容，见【7 _ 1 4 】我们知道，多复分析和凋和分析有着紧密联系，互为交 织、互相促进这可存s t e i ne m ，c o i f m a nr r 和k r a n t zs g 等著名数学家的 工作中深刻地感受到，见【1 5 1 7 最基奉的点，全纯函数通过它的实部和虚 部与调和函数( 及多重调和函数) 有着本质关联所以，在调和函数空间上研究 h a n k e l 算子的特性是非常自然和有意义事实上，调和函数空问上的h a n k e l 算 子最近强烈地吸引着人们的研究兴趣，见【1 8 - 2 2 1 当然，由于调和函数关于乘 法运算不再封闭，它的空间特征与全纯函数的情况就有很大的不同而且调和函 数沿定义区域等高面上切向变化率与全纯函数的相应性质有着本质差异这些差 异决定了在复分析框架和在调和分析框架下研究函数空间及其上线性算- 了，两 1 绪论 者是有极大差别的这给我们的研究过程带来了一定的困难本文第三章中，我们 将在形( 礼2 ) 中的有界光滑区域上刻画了昂( 2 p o o ) 类h a n k e l 算子在 调和b e r g m a n 空问上的特性 1 2 研究背景与主要结果 以d 记复平面c 上的单位圆盘d 上全纯函数的全体记作日( d ) 给定 0 p - 1 ，定义d 上加权b e r g m a n 卒问为 钙= f eh ( d ) ；i l f l l a e = a i f ( z ) l p ( 1 - i ；一啡，) i 1 + 。) 其中d a ( z ) 是d 上规范化的l e b e s g u e 面秋测度当1 p o 。时，a 笔在范数 i l 。i l 职下是b a n a c h 空间；当0 p 1 时，a 暑关于d ( f ，g ) = l i f 一洲二z 是f 一空问 定义d 上的z y g m u n d 卒间z 为 其中 众所周知 z = ，h ( d ) nc ( 西) ；f f ，l l 上 o ，l 州r 竺s u p ( 1 一h 2 ) i f ( 。) 1 z 6 d 在范数l i 州= 1 厂( o ) i + i ，( o ) i + s u p ( 1 一i z i 2 ) i y ( 2 ) l 下，z 成为一个b a n a c h 空间 - 6 勋 定义d 上的小z y g m u n d 空间z o 为 z 。2 f6z ；l i 。m l ( 1 一i ：1 2 ) i y ( 。) l = o ) 显然z o 是z 的闭子空间 经典的c e s 泣。算子c 【】与三角级数的c e s a r o 求和有关，见 2 3 1 它是通过 o o t a y l o r 展式来定义的对f ( z ) h o d ) ，可以t a y l o r 展开成( z ) = 哟2 j c 【】 j = o 2 1 绪论 作用在，下的像为 c 盯】( z ) = 妻( 1 1 。k = 0 j = ok = o q 七) 夕 c m ) = ( 上rq 七p c 【1 在h a r d y 牢问h p ( d ) 上是有界的，见 2 1 、【2 4 】、 2 5 1 和 2 6 1 c 【】在加权 b e r g m a n 空间兜( d ) 上也是有界的，但在t 3 ( d ) i ：无界这论断的证明可见【2 7 】 和【2 8 由初等的幂级数运算可知 伽加辑巾，( 姚击) 沈 所以c 【】可以看作是积分算予 ，h 知t ，( b g 高) 7 出 和向后平移( b a c k w a r ds h i f t ) 算子 ，h 丝) 二型 2 ( 1 1 ) 的乘积由于向后平移算子在多数伞纯函数窄问上是保范算子，所以研究叫】在 这些空i wi - 的特性( 比如有界性和紧性) ，只需研究积分算子( l 1 ) 相应的性质 很自然地，给定9 1 4 ( d ) 。研究以9 为符号的算子写，其中 ，： ( 乃，) ( z ) = ，( ) 夕始) 武， f 日( d ) ， 2 d ( 1 2 ) ，0 该算子成为广义c e s , ； l r o 算子广义c e s 打。算子是算子理论研究领域中的一个重 要内容，以它为工具可以解决某些函数空问上的g l e a s o n 问题，而且它与复合算 子及算子半群有着密切的关系，可望被用来研究某些偏微分方程诸多学者对此 算子进行了研究在【2 9 】中，p o m m e r e n k e 证明正在日2 ( d ) 上有界的充要条件是 9 为b m o a 函数存【3 0 中，a l e m a n 和s i s k a k i s 将这个结论推j “到l p o o 的情形最近，a l e m a n 和c i m a 彻底解决了这样的问题：给定p ，q ( 0 ，o o ) ，刻 画出9 的特征，使得映射l ：日p ( d ) 一h q ( d ) 是有界的，见【3 l 】a l e m a n 和 3 1 绪论 s i s k a k i s 研究了在职，。( d ) 上乃的特性，其巾伽是a s 意义下的正规权在文献 【3 2 】中，对p 1 ，他们得到了函数g 使得乃在日( d ) 上有界的充要条件是9 为b l o c h 函数 最近，“和s t e v i 6 在【3 3 】巾引进了广义c e s a r o 算子和复合算子的乘积算子 给定d 上的全纯自映射妒和g 日( d ) ，定义广义c e s 打。算子和复合算子的乘积 算子疋。为 ，： ( 乃q ，) ( z ) = ( f o 妒) ( ) 夕7 ( f ) 诞， f 日( d ) ， z d ( 1 3 ) ，o 它是广义c e s h r o 算子的一种拓广当妒( 2 ) = 名时，( 1 2 ) 和( 1 3 ) 是一致的文【3 3 】 和【3 4 】分别刻画了算子乃c 在h 、b l o c h 空问和z y g m u n d 空问之问的有界 性和紧性特征 本文中，我们将对乃。在加权b e r g m a n 空间和z y g m u n d ( 小z y g m u n d ) 空间之问的有界性和紧性特征进行研究，得到如卜结论 定理a设妒是d 上的全纯自映射，0 p - - 1 且夕日( d ) 则 正c 0 ：a 暑一z 是有界算子的充要条件为 肚唧z e d 譬紫一( 1 一i 妒( z ) 1 2 ) 下- s z u e p d 墚一 ( 1 一l 妒( 名) 1 2 ) 卞 定理b 设妒是d 上的全纯自映射，0 p - - 1 且g 日( 1 3 9 ) 则 乃c 0 ：a 暑一z 是紧筇子的充要条件为乃o ：a 甚_ z 有界， 黼譬滞= 。i 妒( ：) i 一1 ( 1 一i 妒( z ) 1 2 ) 宇+ 1 和l i l 。! ! 二幽! 掣：o i 妒( ：) i - 1 ( 1 一i 妒( z ) 1 2 ) 学 定理c设妒是d f ：的全纯自映射 0 p 一l 且9 日( d ) 则 e ：心_ z o 是有界筇子的充要条件为乃o ：a 苫_ z 育界，g r o 和 i ：l i i 。r a ，( 1 一1 2 1 2 ) i ( z ) l l y ( z ) i = o 定理d设妒是d 上疗 全纯自跌射，0 p - - 1 且g 日( d ) 则 4 1 绪论 乃o ：兜_ g o 是紧算子的充要条件为乃o ：织一z o 有暴 。l i m 妒( z ) l - - , 1 譬1 帮一o if l f z l l 2 1 节十1 m l 圳i m 一。燃一o l 口( ：) l 一1 ( 1 一l 妒( z ) 1 2 ) 。尹 定理e设妒是d 上的全纯自殃射 0 p - - 1 且g 日( d ) 刎下 列各款条件等价： ( 1 ) 乃g ：z 一织是有界算子； ( 2 ) 正o ：z 一心是紧算。r ； ( 3 ) g a 嚣 进一步地， i i 乃c o i | z a ：2i l 夕一9 ( 0 ) 1 1 a ： 设q 是r e ( n 2 ) 中的有界光滑区域，y 是q 上的l e b e s g u e 测度驴( q ) 是 q 上满足 忖忙 加删2 帅) ) 。 o o 的可测函数，的集合定义调和b e r g m a n 空间z ( q ) 为二2 ( q ) 中所有调和函数 的全体 给定，l 2 ( q ) ? 定义l 2 ( q ) 上的h a n k e l 算子研为 所= ( i q ) m s q ， 其中q 是二2 ( q ) 到三i ( q ) 上的正交投影， 乃是乘法算子 设日是h i l b e r t 空间，0 p o 。，s c h a t t e np 一类昂( 日) ( 简写s ) 是日中满 足奇异值序列 s n ( t ) ) 嚣】l p 的所有紧算予t 的伞体 h a n k e l 算予作为特殊的算二r 类在日控制问题中有着重要应片j 在过去几十 年中，各类函数空间上h a n k e l 算子的特性研究一宜是算子理论的个重要研究 内容在伞纯函数空间上最早对此算子的特性进行研究的是a x l e r , 他在1 9 8 6 年 5 1 绪论 证明了毋为有界算子的充要条件是，为b l o c h 函数；研为紧算子的充要条件 是厂为小b l o c h 函数，见【3 5 不久，s t r o e t h o f f 给出了单位圆、单位球上具有有 界符号的h a n k e l 算子的紧性特征，见【l 肚1 1 1 同时z h e n g 用不同的方法得到 了s t r o e t h o f f 在f l l 】中的结论，见【1 2 】在研究h a n k e l 算子的有界性和紧性的同 时，人们还研究了h a n k e l 算予的迹理想刻画z h u 在1 9 9 1 年对单位球b e r g m a n 空间上s c h a t t e np 一类h a n k e l 算了的特性进行了研究，得到诉岛的充要条件， 见【1 3 】不久，l n 和x u 在【1 4 】中将z h u 的结论推广到了单位球加权b e r g m a n 空 问 山于全纯甬数空问和调和函数空间之间有着天然的联系，于是人们在研究 全纯函数空间的同时自然考虑调和函数空间已有诸多学者对调和b e r g m a n 守 问上的h a n k e l 算子的有界性、紧性和迹理想刻画进行了研究：j o v o v i 6 在【1 8 】 中得到当符号，在单位球的闭包i ：连续时毋在职( b ) ( o p ) 1 z 是紧算 子紧接着，s t r o e t h o f f 将j o v o v i 6 的结论推广到某些加权调和b e r g m a n 空间，具 体见【l9 】在此基础上，m i a o 在【2 0 】中获得了日，在昧( b ) 上是有界算子( 紧算 子) 的充要条件不久，o s h i m a 将m i a o 在【2 0 】中的成果推广到了彤中的仃界光 滑区域上，得到了日r 在瑶( q ) 上是有界算子( 紧算子) 的充要条件，见【2 l 】最 近，m i a o 在【2 2 】中给出了毋是瑶( b ) 上的s c h a t t e n2 ，一类( 2sp ) 算子的 充要条件本文中，我们将讨论所在瑶( q ) 上的s c h a t t e n p 一类( 2 p o o ) 特 性，得到的结论推广了【2 2 】 定理f设2 p ，0 6 1 ，f l 2 ( q ) 则h j 昂的充要条件为 上们盯一( 。) o o 定理g设扎3 ，y 瑶( q ) 删 ( 1 ) 当0 p n 一1 肘，所品的充要条件为y 是常数 ( 2 ) 当扎一l p o o 肘，所s 的充要条件为 f l v ，( z ) i p ，( z ) p d 入( z ) 。 以下，我们以c 记与所讨论的函数无关的正常数，每次出现未必同一表式 a 竺b 意味着c 一1 a b c a 6 2 1 引言 2 广义c e s & r o 算子和复合算子的乘积算子 以d 记复平面c 上的单位圆盘d 上全纯函数的全体记作日( d ) 给定 0 p - 1 ，定义d 上加权b e r g m a n 空问为 织= ，( d ) ；i i f l i a , ：= f ai f ( z ) l p ( 1 - i = 1 = ) 。啡，) ；1 十。o ) ， 其中d a ( z ) 是d 上规范化的l e b e s g u e 面积测度当1 p ( 3 0 时，畿在范数 i i 0 熊下是b a n a c h 空间；当0 p 1 时，心关丁d ( f ，g ) = i l ，一引瞄 ：是f - 空间 定义d 上的z y g m u n d 空问z 为 其巾 z = ( ，h ( d ) nc ( 西) ；l i ，| l o n 众所周知 i i f l l z 型s u p ( 1 一2 ) i f ( 孑) i z e ：d 在范数l i l l i = l ，( o ) l + l ，7 ( o ) i + s u p ( 1 一h 2 ) i f ( z ) l 下，z 成为一个b a n a c h 空间 定义d 上的小z y g m u n d 空问z o 为 z 。 ，d i 辨( 1 一i z l 2 ) i f ( z ) l = o ) 显然z o 是z 的闭j r 空问 给定d 上的全纯自映射妒，以妒为符号的复合算子c 0 是h ( d ) 上的线性 算子，其定义为 c 帚 = f0 申 7 2 广义c e s h r o 算j 二和复合锥j f 的乘积算r 复合算子的研究是当前算子理论方向研究的热点之一，对其在函数空问上的有界 性和紧性的研究尤为引人注目( 见【3 6 - - 3 9 1 ) 0 0 单位网盘d 上的全纯函数f ( z ) 具有t a y l o r 展式f ( z ) = a j z j 定义 j = o c e s h r o 算子c 【】，其作用在f 下的像为 c = 妻j = 0 ( 南纠k = 0 。 这是经典的c e s h r o 算子由h a r d y 定理 2 a l 和m r i e s z 定理1 2 1 可知c 【】存 俨( d ) 上是有界的，其中1 p 0 ( 3 文献【2 5 】和【2 6 1 证明了当p = 1 和 0 p 一1 的复数，= 矗弹景寺易知 哪) = 万7 + 1 肋( ) 等器d ( 文【4 l 】和【4 2 】分别证明了c ，y 在h a r d y 空间和b e r g m a n 空间上是有界的当 ，y = 0 时，c 7 就是经典c e s h o 算了c 【】事实上， c = v ”，( 崦古) 7 批 所以c 【】可以看作是积分算子 ，h 知州l o g 南) ，r n 和向后平移( b a c k w a r ds h i f t ) 算子 ，h 掣 8 2 广义c e s h r o 算j 厂和复合算r 的乘积算j r 的乘积由于向后平移算子在多数全纯函数空问上是保范算子，所以研究c 【】在 这些空间上的特性，比如有界性和紧性，只需研究积分算子相应的性质由此，人 们很自然地研究以g h ( d ) 为符号的广义c e s 打。算子马，定义如下： t g f ( z ) _ 肋踟他胯 近年来，诸多学者对此算子进行了深入地研究，刻而了该算子在各类伞纯函数空 问上的特性，具体可参见【2 9 、【3 0 1 、【3 1 、【3 2 、【4 3 】和【4 4 最近l i 和s t e v i d 在广义c e s a r o 算子和复合算子的基础上引进了广义c e s b x o 算子和复合算子的乘积算子。给定d 上的伞纯自映射妒和g 日( d ) ，定义广义 c e s a r o 算子和复合算子的乘积算子e o 为 r z ( 马q ，) ( z ) = ( fo 妒) ) 9 7 健) ( 惩， ，日( d ) ， z d 当妒( z ) = 名时，乃。与广义c e s 打。算子己一致 到目前为止，人们对乃。算予在日、b l o c h 空间和z y g m u n d 空间之间 的有界性和紧性进行了研究，见【3 4 】但此算子在其他空间之间的研究还不多 见本文分别刻画l 郇：a 嚣_ z ( z o ) 和弓：z _ a 嚣的有界性和紧悱，得出 了若干充要条件我们的研究丰富了人们对函数空问上广义c e s a r o 算子和复合 算子的乘积算子的认识 2 2 a 芑到z 的马。算子 引理2 2 1 1 4 5 】设0 p 一1 则对任意的，兜，有 圳sc 趟鼯 进一步， 扩即器 定理2 2 2 设妒是d 上的全纯自映射，0 p - - 1 且g 日( d ) 9 2 广义c e s h r o 算：r 和复合算r 的乘积算r 则为o ：a 暑一z 是有界算子的充要条件为 拈唧z e d 譬紫一( 1 一i 妒( z ) 1 2 ) 节 证明： 首先，设 肛骝譬鬻 z dil l t d f2 l l olp 和 肚黜漂一 对任意的f 敷，由引理2 2 1 ， 另一方面， ( 1 一i z l 2 ) i ( t o c , d ) ( z ) i = ( 1 一1 2 1 2 ) i f 7 ( 妒( 。) ) 妒7 ( 2 ) 夕7 ( 名) + ，( 妒( ：) ) 9 ( z ) i ( 1 一1 名1 2 ) ( ，7 ( 妒( z ) ) f f 妒7 ( z ) l a 7 ( z ) i + i f ( c f l ( z ) ) l l g ( z ) 1 ) c ( 譬紫+ 滞m l 嬲 c ( m + n ) i l f l a ：( 2 1 ) ( 毛。州o ) l = 0 ，l ( 弓q ，) ，( o ) l = i ，( 妒( o ) ) 9 ，( 0 ) l c 拙t e l a i ：1 ( 2 1 ) ，我们可得毛o ：a 苫_ z 是有界算子 反之，设马o ：a x _ z 是有界算子对任意的f 一f ，我们订 c i l 乃o i i m ! ：。r 0 = f j g 州上 s u p ( 1 一2 ) l ( 乃o ，) ( 2 ) i ：d = s u p ( 1 一l z l 2 ) l f ( q o ( z ) ) q o ( z ) 9 7 ( 2 ) + ，( 妒( z ) ) 夕( z ) i ：d 1 0 2 广义c e s a r o 算j r 和复合算厂的乘积算j r 取 q ) = 1 ，我们可得 s u p ( 1 一h 2 ) l g ( z ) i 0 0 ( 2 2 ) ：d 雨取，2 ( 名) = z ，我们有 s u p ( 1 一1 名1 2 ) i 妒7 ( z ) 夕7 ( z ) + 妒( z ) 夕( z ) l o o 因为l 咿( z ) i51 ，所以 s u p ( 1 一i z l 2 ) i ( 。) 9 他) i 呈! ! 二! 垒! ! ：21 1 1 垒21 l 翌篓垒21 望! ! 垒2 一p ( 1 一i 妒( 入) 1 2 ) 字+ 1 由a d 的任意性，我们有 s 脚u p 号鬻i 铲一 ( 2 4 ) a d ( 一i 妒( a ) 1 2 ) 彳+ 1 。 2 广义c e s 矗r o 算j j i 和复合算j r 的乘积算j r 因此 由( 2 3 ) ， 故 矧s 蚶u p 冰。譬1 紫； i 妒( a ) i l( 一l 妒( a ) 1 2 ) - 十 2s u p ! ! 二幽峻山终掣业! 一 i 妒( j ) i 1( 1 一l 妒( a ) 1 2 ) 皆+ 1 m s 划u p s ；譬紫i 妒( a ) l s ；( 1 一i 妒( a ) 1 2 ) 节十1 ( 芸) 1 + 学s u p ( 1 一l a l 2 ) i 妒( x ) l 1 9 7 ( 入) 0 i 妒( a ) i 令 一( 端) 字 那么s u p i l 厶：c 进。步，我们注意到 帆m ) ) i2f 云矿， ( 1 一i 妒( 入) 1 2 ) 守 所以 肭) ) l = 掣而揣两 c l i 咒g l i a r ：一f l l 毛q 忆 ( 1 一1 x 1 2 ) ( 1 ( 妒( a ) ) g ( a ) i i 以( 妒( a ) ) 妒( 入) 9 7 ( a ) 1 ) ( 1 一i , x 1 2 ) l g ( a ) l2 ( 2 - i - q ) ( 1 一l 入1 2 ) l 妒( a ) i i 妒7 ( , x ) l 1 9 7 ( a ) f ( 1 一j 妒( 入) 1 2 ) 字p( 1 一i 妒( a ) j 2 ，+ 1 1 2 2 广义c e s a , m 算。r 和复合算r 的乘积算j r 因而 ( 1 一i 入1 2 ) 1 9 ( a ) l ( 1 一i 妒( 入) 1 2 ) 字 驯驯肛z + 掣号哿秽 仁5 ， 结合( 2 4 ) 和( 2 5 ) ，我们可得 定理得证 定理2 2 3 设妒是d 上的伞纯自映射，0 0 ，存在6 ( 0 ，1 ) ，当l 妒( z ) l 6 时，有 譬鬻“和襟毡 仁6 ， 设 k n 是a 暑中的有界序列且在d 的任一紧子集上一致收敛_ 丁- o 丁是 s u pi i a i i a ssl 由丁- 乃c 0 ：织_ z 是有界算子所以由( 2 2 ) 和( 2 3 ) ，我们可 良 得 a = s u p ( 1 一1 2 1 2 ) l g ( z ) l 和岛= s u p ( 1 一2 ) i 妒，( ：) 桫( 。) f o 。 z e dz e d 令u = z d ：l 妒( ：) ls6 ) 南引理2 2 1 和( 2 6 ) ， s u p ( 1 一阡) l ( 马o ) ( z ) i z e d 1 3 2 广义c e s h r o 算j j 二和复合算丫的乘积算r = s u p ( 1 一l z | 2 ) 以( 妒( 2 ) ) 妒7 ( z ) 9 7 ( z ) + ( 妒( z ) ) 夕( z ) i s u p ( 1 一l z l 2 ) i 以( 妒( z ) ) i l 妒( z ) l 1 9 7 ( z ) i + s u p ( 1 一i z l 2 ) i ( 妒( z ) ) l i 夕( z ) i s u p ( 1 一i z l 2 ) f 以( 妒( 名) ) l i ( z ) i i 夕7 ( z ) l - i - s u p ( 1 一l z l 2 ) i ( 妒( z ) ) i i 夕( z ) l 4 - s u p ( 1 一l z l 2 ) i 髭( 妒( z ) ) i l ( z ) i i 夕7 ( z ) i - i - s u p ( 1 一i z l 2 ) i ( 妒( 名) ) i i g ( z ) i sc 2s u pl 咒( 妒( z ) ) l + gs u pi ( 妒( 2 ) ) l + c ( ：s u 。p 、u 量之； 黼i j “a ! ：+ ：s u 。p 、u 詈篇“ l i a 吕) c ( s u pi 咒( 妒( 2 ) ) i + s u pi ( 妒( z ) ) l + 2 e l i a i i a ：) 凶为 ) 和 咒) 在u 卜致收敛于0 ，所以存存，当i 妒( 2 ) l 6 和k k o 时， 有l ( 妒( z ) ) i e 和l 以( 妒( 。) ) f 又因为 所以 i ( 乃g ) 7 ( o ) l = i ( 9 ( o ) ) i i 夕( o ) l _ 0 ， k _ o 。 毛g 川l r _ 0 ， k _ o 。 反之，设乃o ：a 吕_ z 是紧算子那么我们易得乃c 0 ：a 嚣_ z 是有界算 子设 z