（基础数学专业论文）广义接近凸函数的变化域及极值点.pdf

摘要 本文主要讨论广义接近凸函数的变化域吃“( 毛，) ，变化子域 嘭”( z o ，五) 及其域的性质，并讨论它们的极值点全文共分为三章。 第一章是绪论部分，主要介绍研究问题的背景以及得到的主要结 果。 第二章主要讨论广义接近凸函数的变化域圪硼( ，) 及极值点。我 们采用构造法及函数性质法找到了圪硼( 白，) 的边界曲线并且讨论了 其相关性质。 第三章主要讨论广义接近凸函数的变化子域切( z o ，五) 及其相 关性质，我们采用第二章中类似的方法找到了圪p ( z o ，吒，旯) 的边界曲 线。 关键词：s c h w a r z 引理；广义接近凸函数；凸函数；变化域；极值点。 a b s t r a c t t h em a i na i mo ft h i sd i s s e r t a t i o ni st oi n v e s t i g a t et h er e g i o n 吃( z o ，) a n ds u b 。r e g i o n 圪。( z 0 ，五) o fv a r i a b i l i t yo fg e n e r a l i z e dc l o s e - t o c o n v e x f u n c t i o n s t h i sd i s s e r t a t i o ni sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r sa n da r r a n g e da s f o l l o w s i nc h a p t e ro n e ，w ep r o v i d es o m eb a c k g r o u n d sa b o u to u rr e s e a r c ha n d s t a t e m e n to fo u rm a i nr e s u l t s i n c h a p t e rt w o ，w ed i s c u s st h er e g i o n so fv a r i a b i l i t yo fg e n e r a l i z e d c l o s e - t o c o n v e xf u n c t i o n sa n dt h e i re x t r e m ep o i n t s b yu s i n gt h em e t h o do f c o n s t r u c t i o n sa n dp r o p e r t i e so ft h ef u n c t i o n s ，w ef i n dt h eb o u n d a r yc u r v e o f 巧”( ，) a n di n v e s t i g a t et h ep r o p e r t i e so f ( z 0 ，) i nt h el a s t c h a p t e r , w ed i s c u s st h es u b r e g i o n s o fv a r i a b i l i t yo f g e n e r a l i z e dc l o s e - t o c o n v e xf u n c t i o n sa n dt h e i rr e l a t e dp r o p e r t i e s w ef i n d t h eb o u n d a r yc u r v eo f 吁”( z 0 ，口。，a ) b yu s i n gt h es i m i l a rm e t h o d sa si n c h a p t e rt w o k e yw o r d s ： s c h w a r zl e m m a ，g e n e r a l i z e dc l o s e t o c o n v e x f u n c t i o n ， c o n v e xf u n c t i o n ，r e g i o no f v a r i a b i l i t y , e x t r e m ep o i n t 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的 研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人 完全意识到本 学位论文作者 承担。 2 0 0 9 年9 月2 8 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，研 究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学。同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允 许论文被查阅和借阅。本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密口。 作者签名 导师鲐缮髯亥 以上相应方框内打“ ) 日期： 20 0 9 年9 月28 日 日期： 20 0 9 年9 月2 8 日 2 6 广义接近凸函数的变化域及极值点 1 绪论 本章主要介绍问题的研究背景及本文得到的主要结果。此章由以下三节构成。 1 1 问题的研究背景 对单叶解析函数的研究已有相当长的历史，而且得到了许多经典的、漂亮的 结果。目前，很多数学工作者已经把单叶函数中许多经典的结果扩张到了拟共形 映射和单叶调和映射且得到了广泛的应用。 在单叶函数研究中，确定某些单叶函数族的变化域( 或单叶函数非叠代平凡 动力系统) 是近些年一个非常活跃的研究课题。变化域的研究可分为两种：一种 是研究某些单叶函数族( 如典型实函数族、凹函数族、星形函数族等) 的系数变 化域( 参见【l ，2 ，3 ，4 】) ；另一种是研究某些单叶函数族( 如典型凸函数族、接近凸 函数族、星形函数族等) 的变化域( 参见 5 ，6 ，7 ，8 ，9 ，1 0 ，1 1 】) 。其中研究单叶函数 系数变化域是2 0 世纪非常活跃的研究主题。单叶函数系数变化域研究中，最著名 的是b i e b e r b a c h 猜测，此猜测已经由d e b r a n g e s 于1 9 8 4 成功解决( 参见 1 2 ) 。 研究这两种变化域的方法不一样，大体可分为极值点法、构造法、函数方程 法、函数性质法( 如h e r g l o t z 表示，函数从属) 四大类。本文主要研究广义接近 凸函数的变化域，变化子域及极值点，主要方法是采用构造法和函数性质法( 参见 5 ，6 ，7 ，8 ，9 ，1 0 ，l l 】) 来确定其变化域。 1 2 广义接近凸函数的变化域和极值点 用h ( d ) 表示单位圆盘上的解析函数族，其作为拓扑向量空间的拓扑是函数列 在d 内的每一紧子集一致收敛，其中d 表示单位圆盘。 假设痧是译位圆盘d 内一解析函数并满足妒( o ) = 0 ，缈7 ( o ) 0 。 矽是凸的当且 高校教师在职硕十学位论文 仅孰( 驰) ) 。，其中驰) - 1 ，搿雄。一 定义：c = 9 ：缈( o ) = o ，( o ) o 以及r e ( 0 ( z ) o ) 。 若厂c ，则f 是单叶的， 见【1 2 ，1 3 。对于给定的一复数口。( r e ( a 。) o ) 和ze d 以及一凸函数矽c ，定义 础叫泖( o ) 吖( o ) ) ( 0 m ( o ) _ 1 _ 。，帮以 如果厂k 缸。) ，则厂 是单叶的令k = u 非c 砖i ( a 。) ， 如果k ，则称f 是广义接近凸函数。易知fe “( 口。) 当且仅当 r e ( 巧”) ( z ) ) o ，z 。其中巧”) ( z ) = 鼎且巧”) ( 。) = 。 和 x c y - , z 石= z c ：i z | 1 ) 以及白d ，引进下列符号： 巧”i ( z o , 口。) = 缸。g f t ( z 。) ：厂k ；”( 口。) ，= 卜华咄删k 。，) i 口。 l ( 1 2 ) 其中c 是给定的。 由经典的h e r 西。t z 表示知：f 的极值点是厂( z ) = 吾芝专。 定理2 2 4 设z o d 和r e ( a 。) 0 ( 1 ) 如果z o = o ，则巧”( z o ，口。) = 0 ) 。 ( 2 ) 如果z 。o ，则乃”( z 。，a 。) 是一闭凸集，它的边界曲线是： 广义接近凸函数的变化域及极值点 h ( c ) = l o gf = ! 町( z 。) = f ( 竺气兰笔笋) 9 ( f ) d f 町( z 。) = f 。( 竺兰 ：i ；笋兰) 9 ( f ) d f 如果l o g 厂h ) ( z o ) = l o g f ：”( z 。) 对于某个厂砖( ) 和ce a dh v a 3 芏z ，则厂= z 。 定理2 2 5 设z 。d o ) ，巧”( z 。，口。) a 巧“( z 。，口。) 是一致域。 定理2 2 6 z 。和z 。 o ) ，如果厂( z ) 霹( ) 和g ( z ) = 兰专产砖( ) ， 则巧1 ( z 。，口。) 的边界函数h ，( c ) = 1 0 9 z ( ) 和蟛”( z 。，吒) 的边界函数 h 。( c ) ：l o g g ( z 。) 满足：以( c ) = 掣骂( c ) ，( c e 0 9 ) 。 1 3 广义接近凸函数的变化子域及性质 在1 2 节的前提下，我们定义： 髟j 砖e 口。，a ，= 厂足；帕c 口。，：云dc 篇，l ：。= 2 a r e c 口。， c ，3 ， 和 形“( 知，口。，a ) = 4 0 9 f 。，其中* ) _ 1 + 等，z 。 定义：c = 妒：妒( o ) = o ，( o ) o 以及r e ( 乞( z ) o 。5 普f ec ，则f 是单叶的，见【1 3 ， 1 4 】对于给定的一复数口。( r e ( a 。) o ) 和z d 以及一凸函数矽c ，定义 k ( 引h ( d ) 们m ，( o ) - 一广山( o ) ( 0 ) _ 1 - 。，等咆以 及r e ( 篙羔) o ) o 如果叫1 刷广是单叶的令k = 拶( 吼 如果厂k ，则称f 是广义接近凸函数。易知厂k 5 ，i ) ( 口。) 当且仅当 r e ( 批堋 0 z 。其中砒加且批o ) - 即 令s o = 缈是单位圆盘内一解析函数：l 缈( z ) i 1 及缈( o ) = o ) 。易知对于每一个 厂足5 “( ) ，存在函数哆，b 。，其中 4 广义接近凸函数的变化域及极值点 啪，= 辍艇。， 亿， 反之亦然。 我们引进下列符号： 蟛”( ，g r n ) = 垂。g f ( n ( 白) ：f ”( ) ， ( 2 2 ) 和 ，= 卜掣o l ：删拈牝， 御螂是给飙 l 一 l 由经典的h e r g l o t z 表示知：存在定义在 o ，2 z ) 上的单位概率测度函数( f ) 使得 窖= r ”卸。 则f 的极值点是化) = 瓮。 我们称巧”( ，口。) 为k ；”( 口。) 的变化域。近年来，p o n n u s a m y , v a s u d e v a r a o 及 y a n a g i h a r a 分别讨论了接近凸函数类、有界微分函数类及凸解析函数类等的变化域 ( 参见 4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 ，1 0 ，1 1 】) 。 本章的主要目的是确定集合吃( z o , a 。) 及其性质。本章的主要结果是定理2 2 4 ， 定理2 2 5 及定理2 5 6 。 2 2 预备引理，( 孙) 的性质及主要定理 在陈述主要定理及性质之自仃，先做一些准备令s 表示星形函数族，这罩 s + = 厂( d ) 是星形域：厂( o ) = 厂( o ) 一l = o 及z d 。每一个函数s + 可用下列式 子末刻划r e ( 箸) 。，z ed , ( 参见 1 3 1 4 ) o 对于正数p ，令( s + ) p = 厂= ：五e s ) ，( 参见【1 8 】) 。 引理2 2 1 设f 是单位圆盘内的解析函数且f ( z ) = z p + 。如果对于任一 ( 1 ) ( 2 ) 高校教师在职硕十学位论文 舢，r l + 箸) 。删川叭 2 2 2 巧”( z o ，) 的性质及证明 列举吃“( z 。，口。) 的性质如下： ( i ) 啄”( z o ，) 是紧集。 因为k ( 口。) 是h ( d ) 内的闭集且吃”( z 。，口。) 有界。 ( i i ) 吃砷 z o ，口。) 是凸集。 证明：如果厶，石k 5 ”( 口。) 及o fs 1 ，则函数 z ( z ) = frr fe x p ( 1 一t ) l 。g 矗”，( 螽) + t l 。g f , h ( ) 扣岛d 受d 一。d 厶也属 于砖砷( 口。) 。因为l o g f , 细( z 。) = 1 - t ) l o g f o h ( z o ) + t l o g f l ”( z o ) ，所以以“( z o ，a 。) 是 凸的。 2 2 3 主要结果 本章的主要结果如下： 定理2 2 4 设z o d 和r e ( a 。) 0 。 如果z 。= o ，则巧”( z o ，) = o ) ： 如果z 0 o ，则巧”( z 。，口。) 是一闭凸集，它的边界曲线是： 。( c ) 全l 。g ”( z 。) = f ”( 兰兰专兰等) 矽( f ) d f 。 ( 2 3 ) 如果l o g 厂” z o ) = l o g f ：”( z 。) 对于某个厂k ( 口。) 和cea d 成立，则厂：z 。事实 上眵7 ( z ) f 是有界的对于f z l i z 。f 。通过计算，有： 因此i l 。g 们( z 。) l 是有界的。 钳1 i + l z 。li 6 钳。 l i z 。i 广义接近凸函数的变化域及极值点 l h 1 9 矢n ，复平面内一真子域g 称作一致域如果它满足下列条件：存在一正 数c 使得g 内任意两点而，z 2 g 有一可求长弧7 cg 对于z g 满足： s c l z l z 2 1 及m i ，n 。l ( y z i ，, z ) - c d i s t ( z ，a g ) 这里，( y ) 表示曲线7 的欧几里德长度，其中r ( z ，z ) 是连接乃到z 的曲线长度以及 d i s t ( z a d ) 表示的是z 到d 的边界的距离。综合性质( i ) 和( i i ) ，得到如下定 定理2 2 5 设d o ，巧”( z 。，口。) a 巧”( z 。，口。) 是一致域。 定理2 2 6 设z 。和z 。 0 ，如果f ( z ) k ( ) 和g ( z ) = ! 之产 砖( 口。) ，则巧1 ( ，) 的边界函数日。( c ) = l o g ( z 。) 和巧”( z o ，口。) 的边界函数 h 。( c ) = l 。g g ：飞z 。) 满足：h 。( c ) = 半日。( c ) ，( c a d ) 。 因为铲帮= 孚= 竿，器，所以定舭2 碾显黼 定理2 2 4 的证明： 如果z 。= o ，则吃”( o ，口。) = 0 。 假设z 。d o ) ，前面已证哆”( 气，吒) 是复平面晕的紧凸子集。 对于jcl l ，令 l 。g ( z 。) = f ( 兰气兰等) ( f ) d f ( z 。) ( 2 4 ) 命题1 映射d ，chl o g f 。( n ( z 。) 是非常值解析映射，这里z 。d o 。 命题1 的证明类似于性质v ，因此此映射是一开映射，这意味着巧”( z 0 ，口。) 包含一 开集。g ”，( 而) ：h 。，其中驰) - l + 鬻，z 。 定义：c = 汐：妒( o ) = o ，( o ) o 以及r e ( 乞( z ) o 。若厂c ，则f 是单叶的，见 1 3 ， 1 4 】。对于给定的一复数a ( r e ( a 。) o ) 和z d 以及一凸函数矽c ，定义 砒州h ( d ) 们m ，( o ) 一广。”( o ) ( o ) - l - 。，帮氇以 及r e 7 等羔) 。) 。如果q 们( ) ，则厂佃是单叶的。令k = u 胙c 砖( ) ， 如果f ek ，则称f 是广义接近凸函数。 易知k ：”( 口。) 当且仅当 r e ( 巧”) ( z ) ) 。，z 。其中巧”) ( z ) = 7 筹苫羔且巧”) ( 。) = 。 令玩= 缈是单位圆盘内一解析函数：i 彩( z ) | 1 及彩( o ) = o 。易知对于每一个 k 5 ”( 口，) ，存在函数缈，e b o ，其中 啪，= 辍徘趴 。 反之亦然。 通过简单计算知， ( 巧”( o ) ) - ( 2r e ( 口。) ) 缈；( o ) 。 由s c h w a r z 引理知i ( 哆“( o ) ) 卜2r e ( a 。) 。 广义接近凸函数的变化域及极值点 对于名荔= 访c ：l z l _ 1 ) 以及乙d ，引进下列符号： k c 口。，旯，= 厂k ；种c 口。，：j d ；c 了专g 蔫，l ：；。= 2 a r e c 口。， ， 略( z o ，口。，名) = 电。g f 月( z o ) ：f ”( 吒，五) 。 其中c 是给定的。 我们称巧”( z 。，o f n ，旯) 为“( 口。，名) 的变化域。 按照上述广义难规化条件及( 3 1 ) ，对于任意厂k ；”( 口。，力) 可得到啦( o ) = a 。 3 2 巧”( z o ，o i n ，五) 的性质及证明 列举吃“( 毛，兄) 的性质如下： ( i ) 巧”( ，口。，允) c 巧”( z 。，口。) ( 参见第二章) 。 ( i i ) 蟛( z o ，a ) 是紧集因为砧( ) 和砧( 吒，兄) 都是h ( d ) 内的闭集且 嘭( z o ，五) 有界。 ( i i i ) 吃”( 白，五) 是凸集。 证明：如果五，z k 4 ( 口。) 及o f l ，则函数 z ( z ) = ff 卜一re x p ( 1 一，) l 。g ( 缶) + ，1 。g f , 佃，( 氧) 比蟛蟛h 嵋 也属于k ( 口。) 。因为l o g f ( ) = ( 1 一t ) l 。g 矗”( z 。) + f l o g a 佃( z 。) ，所以 巧l ( z 。，口。，兄) 是凸的。 c 唰划辞咖蚍巾c 等矽d f 卜熊 如果h 。 由引理2 1 知，存在一个函数s 且满足 = 瑶。由h o 的单叶性及( o ) = 0 知， h ( z 。) o 。对于z 。d o 恒成立。因此d ，口hl o g 气端。( z 。) 是一非常值解析函 数。 由性质( v ) 知dj 口h l 。g 气：；i ，。( ) 是丌映射。 因此哆”( z 0 口驴五) 包含一开集 4 。g 气笛。( z o ) ：h l j 。 特别地l 。g 气笃：。( ) = f ( 兰宅警) 矽7 ( f ) d f 是集合 4 。g 气墨，。( 白) ：口d c 蟛”( 毛，口 五) 的一个内点。 1 4 ，“义接近凸函数的变化域及极值点 最后，因为巧”( z 0 ，口。，名) 是一个含有内点的凸集，从而知a 巧”) z o , 口。，名) 是一若当 曲线以及蟛”( 气，五) = a 巧”( ，五) u 巧( z o ，名) 。 3 3 主要结果及证明 定理3 3 1对于允d 和气d o ) ，边界a 巧”( z o ，口。，见) 是若当曲线 ( 刊，州。啪。z 0 ) = 。( 竿搿( 倒f 。 对于厂耐”( ) ，如果l o g f n ( ) = 1 。g 气暑。( z o ) ，则= 。) ，五，其中 口( 一万，万】。 综合( i ) ，( i i ) 和 ( i i i ) ，我们得到如下定理： 定理3 3 2 设z o d 0 ，巧”( z 。，口。，, t ) a v j ”( z 。，口。，五) 是一致域。 为了给出定理3 3 1 的证明，我们先给出以下与定理证明有关的重要的结果。 性质3 3 3 对于任意厂利”( ，五) ，我们有： l 错叫础，卜观 4 ， 其护虹赴制蔫篙筹龇避 和 r ( z ，兄) = f 2 0 - 丽 2 1 ：可) ( r e f ( c t , , ) 磊) l z l zl 两 ( z ) 。 对于每一个ze d 0 ，等号成立当且仅当厂= 气吐。，这罩口r 。 证明：对于任意厂k 5 ”( 口。) ，令哆，玩( 如1 1 ) ，则嘭( o ) = 兄。由s c h w a r z 引理知见1 5 ，1 6 ，1 7 ，18 1 ： 高校教师在职硕+ 学位论文 ( 3 1 ) 知，不等式( 3 5 ) 等价于 ! 塑一允 z ，锄( z ) l z i z i ii 若毙，讹兄， 岩毙，讹名， ( 3 5 ) 从 - i z l l t = ，旯) l ( 3 6 ) 这里鲍= 等：警a z 胞扯鼍争抑亿加高 ( 3 7 ) i z 一九l z 以 经计算知( 3 6 ) 等价于： 一! 兰! 三：垒! ! 刍：l 三! 三：墨丑：竺! 三：墨! ! 丝：! 三! l 巨8 三! 三：墨笪! 三：墨! 堡! 三：墨受：! 三型 1 一l z l 2 l 丁( z ，五) 1 2i1 - i z l 2 i 丁( z ，五) 1 2 ( 3 8 ) 由( 3 7 ) 知： 和 则 和 l - j z i v ( z 硝i = 蝴竿学型， 爿c z ，兄，+ b c z ，五，= 三号i 躲 彳( z ，兄) + i z l 2 l 丁( z ，旯) 1 2b(z，旯)=量竺生二l三丑型二三!l：上型j芋兰三兰季至三三!二蝴 由( 3 8 ) 知，( 3 4 ) 成立。 唆期糍皆螋卜埘1 一丁( 啪) | 2i 一7 z u r ( z , a ) l l a ( z 瓦, a ) + 8 ( 万z , a ) l o ( z ) ：，( z ，旯) 1 - i z l 2 阢，硝 一 1 6 广义接近凸函数的变化域及极值点 易知对于任意的z d 0 ，( 3 4 ) 中不等式成立当且仅当厂= e j ，这里、7 。”，# 0 r 。 不等式( 3 4 ) 等号成立当且仅当( 3 5 ) 等号成立由s c h w a r z 引理知，存在0 r 使得哆( z ) = z 6 ( e 旧z ，名) 对于任意z d 成立，这意味着厂= 。) ，。，。 推论3 3 4 令y ：fhz ( ) ( 0 t 1 ) 勋中c 1 曲线且有z ( 0 ) = 0 ，z 0 ) = z o 。则有 啄”( 知，口。，2 , ) c d ( c ( 2 ，y ) ，r ( 名，厂) ) 兰曲c ：c o c ( 五，) i 尺( 兄，y ) ， 这罩c ( 旯，7 ) = f c ( z ( f ) ，a ) z ( t ) d t 永1r ( a ，7 ) = f ，( z ( f ) ，旯) lz ( t ) ld t 。 证明：对于任意厂k 5 ”( ，兄) ，由性质( 3 4 ) 知： 1 0 9 f ( ) ( z o ) - c ( a , 7 ) 1 = | f 锱叫印m 卜，叫 叫砸，斗缸牡 f ，( z ( f ) ，五) ) 肛= r o ，7 ) 。 定理证毕。 如下引理将在定理的证明中发挥着重要作用。 引理3 3 sr 9 - 对于秒r 和五。，函数g c z ，= f 虿二_ 忑褊d f c z 。，。 在z = 0 有三阶零点，除此之外无零点。 而且存在星形单叶函数g o 使得 g = 3 - 1 妒，( 0 ) g 坩四和g o ( o ) = q ( o ) 一1 = 0 。 性质3 3 6 令气d o ，则对于任意日( 一万，丌】，有 i o g l 墨：。( z 。) a 巧砷( z 。，a 。，a ) 。 而且如果对于厂k ；砷( 口一无) 和oe ( 一万，万 ，有l o g f “n ( z 。) = l o g 疑。 ( z 。) ，则 高校教师在职硕士学何论文 厂2 ，五。 证明：由( 3 2 ) 知： 盥： f 。n ，) ，口 名( z ) 箜堡望鱼垒坐( z ) ：! 堂型箜丝掣三! 壁：! 尘 1 6 ( n z ，a ) z 7、7 1 + 2 a z a z a z 2 器叫础= 黜黜 和 籍删矾矽= 剖端 嬲叫矾，= 夥一塑絮铲 = 雨斋 c 夥叫矾矽) - l z l 2 陬翻) 1 2c 夥州翻矽) 坐噬) ( r e ( 口。) ) 矽7 ( z ) ，舷2 ( 1 一z 五) 一( z 一五) | z 1 2 z 、 一石币万再砀。 两云i i 一 叫矾) 粥( 斋糟) 嬲叫确一亿彳，舄箫瑟 叫矾，筠箭嬲。 由引理3 3 5 知： 嬲叫矾一亿兄，罱 ( 3 9 ) 因为g ( ，是星形的，所以对于任意z 。d o ) ，存在完全属于g 0 ( d ) 内的一条线段 广义接近凸函数的变化域及极值点 连接o 和g o ( 气) 定义如下： 因为 所以 7 0 ：fhz ( f ) = 簖1 ( t g o ( z o ) ) ( o f 1 ) 。 ( 3 1 0 ) g ( z ( f ) ) = 3 - 1 伊( o ) e f g o ( z ( f ”3 = 3 1 矿( o ) e 旧( t g o ( z o ”3 = 户o ( z o ) ， g ( z ( f ) ) z 7 ( f ) = 3 t 2 g ( z o ) ( f 【o ，1 9 。 ( 3 11 ， 由( 3 9 ) 和( 3 1 0 ) 知： ，。g 气翁。，。c ，一c c 力，= 上t 主妻堇争三器一c c z 。x 兄，z c 。出 = 阳晚兄) 黼h i 出 = 而g ( z o ) g ( z 沁( f ) a ) ) l 出 = 一- r z i i l - l zi f - i “l o ) l 句一。 、。 = 而g ( z o ) 姒) o 一 ( 3 1 2 ) = 一 i l ，- j 厶 ig ( z 0 ) i 即l o g f 、，( 是，a ( z 。) o d ( c ( t ，t o ) ，r ( z ，) ) 。 由推论3 3 4 知 l 。g 硝。 ( z 。) 巧”z o , 口。，z ) c5 ( c ( z ，7 。) ，r ( a ，) ) 。 因此有 1 。g 气笃_ 2 ( ) a 巧“( z 。，a ) 。 假没有某个厂利”( ，名) 和秒( 一万，万】使得 l o g f ”( 气) = l 。g 销。( 气) 3 1 3 令洲归焉 篇叫邢m ，卜腿蚴引 则| l z ( f ) 是 0 ，1 内一连续函数，由( 3 6 ) 知 1 五( 圳广( z ( f ) ，旯) i z ( f ) i 。 1 9 高校教师在职硕士学位论文 脚啪出= 上r c 离【锱- c ( 撕m ) 】z 心) ) 粤 = r e 搦 l o g ( z 0 ) - c ( ) ) ) = r e 、lg g ( ( 铴z o ) ) _ l 。g 写i 。，。( ) 一c ( 五，) ) ) = f 厂( z ( f ) ，x ) lz ，o ) la t 因此对于所有t 0 ，1 】， ( f ) = ，( z ( f ) ，五) iz 7 ( f ) i 。故对于任意z ，由( 3 9 ) 和( 3 1 0 ) 知 塑：盥。 厂( n ( z ) 黔( z ) 9 因此对于任意z d 有 这意味着厂= l o g e r ( , w ( z 。) 是简 单的。 假设不是简单闭曲线，则存在岛，幺( 一万，x r o , 幺使得 l o g 销，。( z 。) = 1 0 9 r , l n ) m 。( z 。) 。 由性质3 3 6 知l o g f 、( 1 五= l o g 气墨0 由( 3 3 ) 可推出q = 皱，这与假设矛盾， 所以命题成立。 因为吩”( z 0 ，口。，五) 是复平面里的有内点的紧凸子集，所以a 哆( z o , a 。，五) 是一简单 闭曲线而曲线( 一万，万 ，0 一l o g f ( ( n j l e 。_ ( 气) 是a 巧”) ( 气，口。，五) 的一闭子曲线，则 巧”( z 。，口 a ) 的边界曲线是( 一7 r ，7 r 】，9hl o g 裂。( z o ) 。 此帝王单证毕。 乞。 壁 坐 广义接近凸函数的变化域及极值点 结语 本文主要研究两类单叶函数的变化域及其性质并得到了一些新的 结果，但本文在方法上没有很大的创新，都是采用已有的方法。关于 函数变化域的研究，其发展空间还很大，比如在方法上的创新，以及 函数类的拓展。一个很自然的问题就是对于拟共形映射及单叶调和映 射是否存在与单叶函数的变化域类似的性质，这是值得数学工作者继 续进行研究的问题。 参考文献 【1 】r e i c h ，e ，s c h l i c h tf u n c t i o n sw i t hr e a lc o e f f i c i e n t s j 】，d u k e m a t h ，2 3 ( 1 9 5 6 ) ， 4 2 1 - 4 2 7 【2 】j e n k i n s ，j a ，o nu n i v a l e n tf u n c t i o n sw i t hr e a lc o e f f i c i e n t s 【j 】，a n n o l 胁f 力，7 1 ( 1 9 6 0 ) ，卜1 5 【3 】g o o d m a n ，a w ，t h ed o m a i nc o v e r e db yat y p i c a l l yr e a lf u n c t i o n 【j 】，尸，d c 砌口l 肠t h s o c ，6 4 ( 1 9 7 7 ) ， 2 3 3 - 2 3 7 【4 】b h o w m i k ，b ，p o n n u s a m y ，s a n dw i r t h s ，k j ，d o m a i n so fv a r i a b i ii t yo fl a u r e n t c o e f f i c i e n tsa n dt h ec o n v e xh u l lf o rt h ef a m i l yo fc o n c a v eu n i v a l e n tf u n c t i o n s 【j 】 k o d a if a t h j ，3 0 ( 2 0 0 7 ) ，3 8 5 3 9 3 【5 y a n a g i h a r a ，h - ，r e g i o n so fv a r i a b i l i t yf o rf u n c t i o n so fb o u n d e dd e r i v a t i r e s 【j ， x 0 d a j l i a t a ，j 2 8 t 2 0 0 5 、，4 5 2 - 4 6 2 【6 】y a n a g i h a r a ，a ，r e g i o n so fv a r i a b i1i t yf o rc o n v e xf u n c t i o n s j 】，m a t h n a c h r ， 2 7 9 ( 2 0 0 6 ) 1 7 2 3 1 73 0 【7 】p o n n u s a m y ，s ，v a s u d e v a r a o ，a a n dy a n a g i h a r a ，h ，r e g i o no fv a r i a b i1it y f o r c l o s e d - t o c o n v e xf u n c ti o n s 【j 】，c o m p l e x 跆，e l l 印t i c 励趾，5 3 ( 8 ) ( 2 0 0 8 ) ， 7 0 9 7 1 6 【8 】p o n n u s a m y ，s a n dv a s u d e v a r a o ，a ，r e g i o no fv a ri a b i1it yo ft w os u b c l a ss e so f u n i v a l e n tf u n c ti o n s j 】，j m a t h a n a l a p p i ，3 3 2 ( 2 ) ( 2 0 0 7 ) ，1 3 23 - 1 3 3 4 【9 】p o n n u s a m y ，s ，v a s u d e v a r a o ，a 。，a n dy a n a g i h a r a ，h ，r e g i o no fv a r i a b i l i t yo f u n i v a l e n tf u n c ti o n sf ( z ) f o rw h i c h 矿( z ) iss p i r a l1i k e 【j 】，h o u s t o n zm a t h ， 3 4 ( 4 ) ( 2 0 0 8 ) 10 3 7 - 10 4 8 【10 】b h o w m i k ，b a n dp o n n u s a m y ，s ，r e g i o no fv a t i a b i l i t yf o rc o n c a v eu n i v a l e n t f u n c ti o n s 【j 】， a n a l y s i s ( m u n i c h ) ，2 8 ( 3 ) ( 2 0 0 8 ) ，3 3 3 - 3 4 4 【1 1 】p o n n u s a m y ，s ，v a s u d e v a r a o ，a a n dv u o r i n e n ，m ，r e g i o no fv a t i a b i l i t yf o r s p i r a l 一1 i k ef u n e t i o n sw i t hr e s p e c tt oab o u n d a r yp o i n t 【j 】，c o l l o q 胁t t ，1 1 6 ( 1 ) ( 2 0 0 9 ) 。 3 1 4 6 【1 2 】d eb r a n g e s ，l ，ap r o o fo f t h eb i e b e r b a c h 【j 】， a c t a a s t h ，15 4 ( 1 - 2 ) ( 1 9 8 5 ) ， 3 7 - 1 5 2 f 1 3 】d u r e n ，p l ，u n i v a l e n tf u n c t i o n 【m 】，6 r u n d l e h r e nd e rm a t h e m a t i c c h e n w iss e n s c h a f t e n2 5 9 ，s p r i n g v e r l a g ，n e wy o r k ，b e r l i n ，h e i d e l b e r g ，t o k y o ，1 9 8