（基础数学专业论文）具有三个分担值的亚纯函数族的基数.pdf

摘要 本文主要研究具有三个分掇值的亚纯函数的唯一性首先探讨 了亚统函数、整函数为丽熬函数的条件，得弼了亚纯涵数周期的一 个充要条件纛整丞数鬟羰静一个充分条件；其次骚究亚纯函数酶式 规性，证姨了具有三个i m 分担值的驻纯缀数族的正规性；最鏖搽讨 具有三个i m 分担值的亚纯嫡数族的基数，诚明了具有三个i m 分担 值的有理黼数族的基数为有限的，还证明了具有三个d m 分担值的 藏纯黼数族的莲数也是有限数等问题 关键词：亚纯函数分担值周期函数正规性基数 a b s t r a c t l nt h i sp a p e r 。w em a i n l ys t u d yt h eu n i q u e n e s st h e o r yo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n sc o n c e r n i n gs h a r i n gt h r e ev a l u e s f i r s t l y ，w es t u d y t h ec o n d i t i o no fm e r o m o r p h i cf u n c t i o na n de n t i r ef u n c t i o nw i t h p e r i o d i c i t y 。ae q u i v a l e n c ec o n d i t i o n o fm e r o m o r p h i cf u n c t i o nw i t h p e r i o d i c i t yw a sg i v e n f o re n t i r ef u n c t i o nw i t hp e r i o d i c i t yw ea l s o g a i nas u f f i c i e n tc o n d i t i o n s e c o n d l y , ac r i t e r i o nf o rn o r m a i i t vo fa f a m i l yw i t hm e r o m o r p h i cf u n c t i o nw a so b t 鼓n e d 。强奄p r o v e dt h a t af a m i l yw i t hm e r o m o r p h i cf u n c t i o ns h a r i n gt h r e ev a l u e si mi s n o r m a l f i n a l l y , ap r o b l e ma b o u tt h e b a s i cn u m b e ro faf a m ， i l yo fm e r o m o r p h i ef u n c t i o nw a ss o l v e d 。w 宅p r o v e dt h a tt h eb a s i c n u m b e ro faf a m i l yo fr a t i o n a lf u n c t i o ns h a r i n gt h r e ev a l u e si m i sf i n i t e ；t h eb a s i cn u m b e ro faf a m i l yo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s h a r i n gt h r e ev a l u e sd mi sf i n i t e k e yw o r d s ：m e r o m o r p h i cf u n c t i o n ，s h a r i n gv a l u e ，p e r i o d i cf u n c - t i o n ，n o r m a l i t y , n u m b e r 。 i i 独创性声明 本人声明矫呈交 | 奄学位论文是我个大在导粪器指导下进 行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除文中已经标 鼙嚣雩l 雳韵内容外，本论文不包含任倚英他个人或集体已经发 表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集 体，均己在文中以明确方式标疆。本人完全意识到本声明的 法德结果由本人承担。 学位论文侔者签名：囱穗雨 2 噼上月立参蠢 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文 的规定，即：学校有权保留并向阑家有关部门或机构送交论 文的复印件和曦子版，允许论文被查阅和借阙。本人授权云 南师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进 亍检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保 存和汇编本学位论文。 学位论文作者签名：铀丽 2 呷上年 月劲日 指导教师签名：客华 z 衫年乡月枷 第一章绪论 l 亚纯函数唯一性的发展概要 对涉及分担值的亚纯函数唯一性的研究，始于二十世纪二十年 代n e v a n l i n n a 五德定理，它标惑着耍统函数唯一经疆论适代研究 的开始 定理1 ，1 1 9 ，1 3 j 设f ( z ) 与9 ( 爿) 为两个非常数亚纯瀚数，a j d = l ，2 ，3 ，4 ，5 ) 菇五个裁剐魏囊数。如果a j ( j = l ，2 ，3 ，4 ，5 ) 蚜为f ( z ) 与g ( z ) 的i m 分担值，则f ( z ) 慧g ( z ) 以后7 0 余半秘研究快速鲍推选了亚纯函数唯一性理论的发 展照纯函数唯一性理论探讨唯一决定鼹纯函数地好斑条件。定理 1 1 1 说明非常数弧纯函数由它柱五个飘异点的五个逆象集所唯一 确定。一个骞然魏瓣题是t 定理1 1 。l 瓣条耱5 令l 麓分经值是 否还可减弱? 围绕这个问题，有一系列的研究成果1 9 2 9 年， r n e v a n l i n n a ( 1 3 j 证明了援纯函数唯一性的一个重要结果，即下述 著名鲍4 e 携分担傻定理。 寇理1 1 2 如判别的非常数亚纯函数，0 ) ，夕( 名) 以判别复数 吩= l ，2 ，3 ，4 ) - 2c m 分捏德，羯0 = l ，2 ，3 ，4 ) 中有两个 ( 不妨设为晓l ，0 2 ) 为f ( z ) 与g ( z ) 的公共的p i c a r d 例外值，且 ( ，( z ) ，尊( z ) ，a 3 ，a 4 ) 篓( a l ，a 2 ，0 , 3 ，a 4 ) ；- 1 这里符号( a l ，a 2 ，0 , 3 ，a 4 ) 一篝籀是通常交比 历史上瓣绕4 c m 分整值定理的推广有一系别工俸l r u b e t ( 1 9 7 6 ) 曾提出如下闻题：将定理中条件4 c m 分担值改为4 i m 分担值，定 理结论是否仍成立? 1 9 7 9 ，g g g u n d e r s e n l 2 给出了上述问题的反 1 镄，g u n d e r s e n 的旁 | 子是：若 f ( z ，= 高等“扣茄鹄。 ( 莫中h ( z ) 藩菲常数整交数，务睁0 ) 是骞穷复数) 。剽f ( z ) 与 9 ( z ) 以o ，o o ， ，一矗为i m 分担值( 实际上为d m 分报值) ，这说明 4 f 掰4 c m 。郡么只将4 个c m 分翟傻孛的綮几个换为i m 公共 值，情况又会怎么榉呢? 谯这方面1 9 7 9 年，g u n d e r s e n l 2 】首先 证明了3 c m + 1 j m = 4 c m 1 9 8 3 年，g u n d e r s e n 3 ，4 1 又诳明了 2 c m + 2 i m = 4 c m 。但g u n d e r s e n 在【5 】孛鬟囊魂1 c 掰+ 3 歹艇圭 4 c m 问题至今还没解决 褥夺或三个特殊的亚纯蔷数共有1 个分摆值时，这些涵数之 间的荧系的研究，人们已经褥到了一些优秀成果。例如1 9 8 9 年， g b r o s c h 1 1 证明了。 宠瑶i 1 。3 设矗，克隽非掌数菠筑丞数，宪粕分担i l m ，并满足 丙秀) + ( 囊) = s ( r ，秀) ，j l ，2 则矗兰是或者支盎兰l 。 1 9 9 1 年，g j a n k 和n t e r g l a n e s 改进了b r o s c h 的上述结 果，- ；爱翡了如下两个结果： 定理1 1 4 设 ，厶和矗为非常数亚纯函数，假定l 是如= 1 ，2 ，3 ) 的i m 分担德，且有 丙( t 乃) + 帮机) = s ( r ，办) ，j l ，2 剜至乡两个卉0 1 ，2 ，3 ) 裙等 定理1 1 5 设瞪个非常数亚纯函数如0 = l ，2 ，3 ，4 ) 分拯e 上 三个不同的慎，其中两个怒c m 分担值，一个是i m 分担值则至 夕两个f a j l ，2 ，3 ) 稆等 1 9 9 3 每，宋阑栋和正品玲【1 0 l 考虑了五个非常数亚纯磺数的情彤， 他们诚明了。 意淫l 。l 。鑫竣秀0 = l ，2 ，3 ，4 ，警是嚣个嚣鬻鼗委纯交数，它粕 分担g 上三个不同的值，其中两个是c m 分担值，一个是i m 分担 值捌至少有三个秀= l ，2 ，3 ，4 ，国相等 l 。2 本文基本内客 套文共分为五毒。 第一章绪论分为三节第一节主要回顾了亚纯函数唯一性 理论七十余零翡一婺发展遘程。第二节叙透本交静基本内容。第三 节给出贯穿全文的预备知识其中包括龛担值和分担饿集的定义， 以及本文所用到的一些定骥和符号 第二章证甓了亚纯丞数，( z ) 与，( 嚣+ 垂) ，( k c o ) 其有 三个c m 分掇值时，y ( z ) 以尼绒2 七为周期 第三章证骥了整函数，( z ) 与，( z + 1 ) 以s = 铷l t u 5 = 1 ) 为 c m 分担值集时，曩p l ，2 ，3 ，4 ，5 】使y ( z ) 一，( z + 彩。 第四章给出了划定亚纯函数正规的一个定则证明了若c 中 菲常数耍筑爨数蒺t = 炙名；l g 赡买霸三个i m 分拯往，刘t 在 c 中正规 第五章证明了c 中非常数驻纯函数族t = f o ( z ) i a 已r ) 具 有三个d m 分捏佳，则t 的基数农限。逐泛暖了c 孛舆瘟三令l 醚 分担值的非常数有理函数族的基数有限 3 l 。3 羲惫翔识 我穗曹先寒奔鳝一些鬟备知识，这垄预备知谈包括了定义，定 理等，它们基本贯穿了我们这篇论文的始终 不作特别声明的情况下，一般认为c 表示复平面，c 表示扩 充复乎露我鳃的讨论大多是基予这露个集合。t 嚣给擞一些褒零 的定义、性质j f 甜记号 定义1 3 。1 1 1 1 】c 中受纯丞数，( z ) 翡耨蔹懑数定义为：雾( _ f ) = m p ，f ) + n ( r ，f ) ( 0 r 十。) 其中 瓶( r ，力一去f t o g + i f ( r e 印) l d v 为f ( z ) 在吲= r 上的正对教的平均值，丽 i v ( 吖) = 厂煎半出州吖) l o g r 称为，( z ) 的极点的密指量 憔囊1 3 。l i l l l 浚 拳盎为c 孛鲸蓠令翌缝丞数，刘蠕( r ，矗五) 溉r ，五) + m ( r ，2 ) 关于r ( ，) 的两个綦本定辍： 定理1 , 3 。l f l l 】设f ( z ) 是l z r ( o o ) 蠹媳非常数耍纯殛数。游鑫 是有穷复数，则对予v r e ( 0 ，r ) ，有 m ( r ，丁二1 ) + ( r ，丁笔) = t ( ? ，) + l o g l 岛l + s ( a ，r ) 其中岛为衢i 在原点处的罗朗展式的酋顶非零系数，盥 e ( a ) l o g + 吲+ l o g2 ，( v r e ( 0 ，霆) ) 。 4 定理1 3 2 1 n 】设f ( z ) 在 是区域d 内的亚纯函数族，如果从该族 中的每一个函数痔别矗( 名) 如一l ，2 ，3 ，) 可以选出一个子序列 厶。( z ) ( 竞一l ，2 ，3 ，) 满足下列薅个条件之一： ( 1 ) 厶。( z ) ( 觑= 1 ，2 ，3 ，) 在d 内内闭一致收敛 ( 2 ) ( z ) ( 凳= i ，2 ，3 ，) 在d 内痨鬻一致憝子 则称此函数族 ，( 岩) - 在d 内是正规的 定理1 3 3 1 1 3 j 逸城d 内征纯函数族 ，( z ) ) 正规的充要条件是： f ( z ) 在d 内姆每一点是歪规趵。 定理1 3 4 f 1 3 j 设 ，( 彳) 煺区域d 内的理纯函数族 ，( z ) ) 在d 内燕税静光要条傍是：对予d 寿酶柽一有界闭区域g c d ，存在相 应的正数m ( 与0 有关) ，使褥对于 ，( z ) ) 中的每一个函数f ( z ) 有 燃曼m ，v z 盘 再瓣到匕 定理1 3 5 f 1 3 】若解析函数序列矗( z ) 一l ，2 ，3 ，) 在域d 内内 惠一致有葵，尉必有轰( 2 ) 戆一个子黟裂五。( g ) 一l ；2 ，3 ，) 在d 内内闭一致收敛 分担值沟定义及定理： 定义1 3 。3 【1 2 1 若歹( z ) 和岔( 暑) 为c 中姆亚纯委数，8 e 。磐 ，( z ) = a 与9 ( z ) = o 在c 中的根( 不计较重数) 一样，则称口为 ，( z ) 与g ( z ) 的i m 分担值若函数族 ，( 乏) ) 中任意两个函数都以 。为i m 分担值，则称函数族 ，( z ) ) 以n 为i m 分担值 定义1 3 4 【1 2 】若口为亚纯函数，( z ) 与9 ( z ) 的i m 分担值当，( z ) = o 的v 一个根询，它为p 重根时，z o 亦为9 ( 2 ) = n 的p 重根，反 之亦然则稗。为，( z ) 与9 ( z ) 的c m 分担值 定义1 3 5 1 1 2 1 若。为亚纯函数f ( z ) 与g ( z ) 的i m 分担值如e = z ：z c 且f ( z ) = o ) 妒，且当z o e e 时，询作为方程， ) = 口 与g ( z ) = n 的根的重数不相同则称。为，( z ) 与9 ( z ) 的d m 分 担值若函数族 ， ) ) 中任意两个函数都以。为d m 分担值，则 稚函数族 ，( 名) ) 以。为d m 分担值 定义1 3 6 1 1 2 】设，( z ) 为非常数整函数，s 为c 的一个子集则 毋( s ) ：= u z i z c ，( 名) = n ) o = 称为s 关于，的c m 原像集( 其中，( z ) = n 的m 重根在毋( s ) 中重复1 1 2 次) 定义1 3 7 【1 2 】设，( z ) 与9 ( z ) 为非常数整函数，s 为复平面c 中 的一个集合如果e ，( s ) = 马( s ) ，则称s 为，与夕的c m 分担 值集 最后再给出一个后面要用到的定理： 定理1 3 6 1 1 3 1 若，( z ) = o + p z + ( 1 8 o ) 在圆 r 上解析 并且不取0 和1 ，则 r q ( n ，卢) 这里q ( a ，p ) 只依赖于o l 和p 6 第二章亚纯函数为周期函数的充要条件 定理2 1 若，( 名) 是亚纯函数，忌c o ) ，且f ( z ) 与f ( z + 庇) 以 0 ，1 ，( 3 0 为c m 分担值则f ( z ) 兰f ( z + 南) 或f ( z ) 兰f ( z + 2 七) 反之也成立 引理2 1 【12 】设非常数亚纯函数f ( z ) 和g ( z ) 以0 ，1 ，o o 为c m 分担 值，且，( z ) 9 0 ) 则存在整函数p ( z ) 与1 ( z ) 使 化，：嶷州z ，：篡鲁 其中扩( z ) 1 ，( 2 ) l ，且e 卢( 。) e 7 ( “ 引理2 2 设i 为r + 的测度为+ o 。的子集，鲫) d = 1 ，2 ，一，p ) 为p 个整函数，且其中至多有一个退化为不为。和l 的常数，并至 少有一个为超越的若弓不为零的复数a j ( j = 1 ，2 ，p ) 使 a l g l ( z ) + a 2 9 2 ( z ) + - - + a p g p ( z ) 兰1 ( 宰) 则 ( o ，卯) p 一1 j = l 其中 砷剖一磊掣， t ( r ) = m a x t ( r ，9 1 ) ，t ( r ，夕2 ) ， 证明：对( ) 求导得： p q 三0厶oj o3 j = l ，t ( r ，跏) - p r + ) ( 南= 1 ，2 ，p 一1 ) l o 。磐夕l ) ，驰( z ) ，钐( 2 ) 线性无关，这时有 fa l g l ( z ) 十a 2 9 2 ( z ) + + a p g p ( z ) 兰l ， t耋觜嘞燮吣吐2 锄叫。 ( 1 ) 由亮菜姆法刘知 蜘) = 筹睁辑。p ) n ( z ) = 鹂黼豢垂2 ) 9 2 轴) 岛( ；) 鼢必 9 l ( ；)啦囊) d ( z ) = =鼎gl(z ( o ) = m - 一l * ii ) ( z ) 伊叫 g l ( z )9 2 ( z ) 野( 名) 9 i ( z ) 窘：( z ) 品 !。1 9 笋。毋叫( 名) 毋一1 ( z ) a j ( z ) = l 矗盟 耵1 0 ) 必 尊l ( o ) l o 。! o 密n e v a n l i n n a 第一基本定理 m ( r ，彩) sm ( 奠去) + 礅( r ，a j ) + o ( 1 ) m ( r ，岛) 十m ( n ) + ( r ，) 一( r ，五1 ) + 。( 1 ) = l ，2 ，彩 由予易见 ( 吩) n ( r ，移) + ( t 砉) ， 汹l 黝 嘉；饼 从而对协 l ，2 ，p ) 有 m ) + m 蝴薹喜m ( r ，等) = o ( i 。如嘶) ) ) m ( ) + m ( n j ) m ( r ，等) = o g ( r t p ) ) ) r = l ，= l 。 p _ + o 。，rge ，m e s e + 。) + 所以对于、巧 1 ，2 ，p ) 有 m ( r ，黝) 0 ，当r i ，r 芒e ，且r 充分大时有 t ( n 毋) e 1 - ( o ，协) + 1 t p ) 十o ( 1 0 9 ( r r p ) ) ) o 一1 ，2 ，p ) 故 t 若p 卜m 】+ 掣。 令r _ + 。，且rgf ，r 譬e ，燕有 5 “d o ，露) p - 1 2 0 若斑( g ) ，懿弘) ，孙( z ) 线性榴关这耩争存在窖1 ( z ) ，9 2 ( z ) ，筋( z ) 中的线性无关向螫，不妨设为g l ( z ) ，夕2 ( z ) ，乳0 ) ( 8 p ) 使( ) 可表为 嘞( z ) 甄1 ( 其中面0( j 一1 ，2 ，s ) 出燎形l o 褥 l一8 ，继令，( 弘g ) 。赫1f 。l o g g ( r e 8 ) d o l o g g ( o ) 定义3 2 i 7 1 在定义3 1 的条件下，用伊表示p 维发欧氏空间 设( ) = ( 8 p ，一，毋( 奄= 1 ，2 ，譬) 譬p 。秽( 砷( 是= 1 ，2 ，q ) 中的坳个向量线性无关，则称( 2 ) ( 七一l ，2 ，g ) 是宽许海量鳃。令 最( z ) = g ( 霉) 理( 衅一够g ( 名) ( 露一l ，2 ，西 j = l 透一步，如穗2 ) ( 露= 1 ，2 ，q ) 是完诤向量缝，剜豁 最( 岩) i ：1 是允许线性缀合令n ( r ，曲) 表示g ( z ) a = 唧野 ) 在l z l r 中的零点个数( 餐极零点按重极计算) 饰一7 ( r a ) 表示g ( z ) - 毪= e 露( 名) 在渊 羔翡零点令数。( 英孛如零纛重数不超遘 p 一，y ，那么按其重极计算，其余的零点均接p 一，y 次计算) 又令 瓦i ( r 晓) = n ( r ，n ) 一唧一l ( n 口) 相应密指量定义如下： 一7 ( n 口) ：一7 ( ng n 。j ) ：n v _ 7 ( t , a ) - n v _ , ( o , a ) d t + 礼p 1 ( o ，d ) l 。g r 甚 在上述条件与符号之下有如下； 零| 理3 1 添霉设 a ( 2 濞一1 ，2 ，g ) 为允诲淘藿经，缝令最( z ) = g ( z ) 娃( 对每一z c ，按模的递减排列 咒，( z ) l r 。( 彰) f 一- j 氏( z ) i 则对于1sj p 和1s 而g p + i ，有 】冀 i 缈( z ) 【l r 。0 ) 1 ( 其中k 为 o ( ) ) 有关的常数) 推论1 对每一个z c ，至少有q - p + 1 个乃z ) 0 推论2 设( 卢l ，伪，岛p ) 是( 1 ，2 ，口) 中任意q p 个数的一 个组合对于v z c ，令 f ( 2 ) 2 眠阶m a x 严g j f 岛( 彳) 磁( z ) 乃。( m 2 丌 则( q p ) t ( q g ) 薪1 ，f ( r e 珀) d o + 0 0 ) 0 引理3 2g 0 ) ， 最0 ) ：1 如上所设，并设 风( 名) ) ；1 为容许线性 组合，则 p ( g p ) t ( ng ) p 一1 ( _ 乃= o ) + 眠g ) j = l 其中s ( r ，g ) = 。0 0 9 ( r t ( r ) ) ) ，丁( r ) 21 m s ，a s x p t ( r ，毋) ) 证明：由定义知 聪篡) 所以w ( 兄1 ) ，= c ( a l ，) 缈( 夕一，) 其中w ( 砂l ，) 表示妒1 ，嗨的w j 。n s k i 行列式，而c ( l ，) 为上式中数字矩阵的行列式 由于9 1 ) ，卯( z ) 是线性无关整函数，而 q ( ) l ：1 是允许向量 组，所以w ( m ，9 2 ，跏) 0 ，c ( ，q p ) 0 1 4 、， p p 吖 搿；圹 z z i “；川， b 舡啦如如；气咒砭妒，jlii-iii、 刃力 弘印郎矿 力力 舻雩既沪 力力 舻 6 ；，吼 沪。 ，。 = 瑰设a l ，a 2 ，吻，韪，筘l ，t t 岛一p 是( 1 ，2 ，酶一个持箴，粥 有 r ；蜀。z ) 如防一磁。z ) c - - 1 ( 盘l ，) ( m ，9 2 ，劬) 。堕生掣辫燮 2 1 兀厂一 英中， d ( 名) = 11 - 1 囊袅生 霸1懿2 矗f i； 。 ； 熊兰冀2 型 r l称2f a p ：墅漂掣垒努 w ( 口1 国) 一” 令 制= 嚣端， 所以 脚) = 煎焉糕字型。 对于每一个z c ，令w ( z ) = ，m 酆( 、 l o gl w 0 ；，。罅。( z ) 1 ) ， 盘l ，盘l j 由上知，日( 名) 巩。一，a p ( z ) 一c ( o l l ，) ( z ) ，魄一，( 名) 巍瑷罗( 名) = 猡( 名) 十l o g | 嚣囊) l + ( 1 ) ，黧 去f ( r ) 街= 嘉彬( r e i e ) 酾+ 2 去f l o g | 嚣( 矧始+ 。( t ) 圆为嘉，f ( r e 阳) d o 鎏( q - p ) t ( r ，g ) ，甄1 ，w ( r e 。) d 秽+ 去fl o gi h ( z ) t d o + 0 ( 1 ) o ( 1 0 9 ( r t ( r ) ) ) + n ( r ，嘉) 一( 孔驻) 十l o gi h ( 0 ) i 下证( t 刍) p 一i 玛：吼 由( ) 式，若n 为最。= 0 的p 重根，则口为蛰的p 一1 重零 点 故结论成立 定理3 1 设f ( z ) 是整函数，s = z k 5 = l 若，0 ) 与f ( z + 1 ) 以s 为c m 分担值集则3 p 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ) 使，( z ) 三f ( z + p ) 证明：仅只须讨论f ( z ) 为非常数整函数情形因为f ( z ) 与，( 。+ 1 ) 满足毋( ：) ( 固= 毋( 抖1 ) ( s ) ，从而j 整函数a ( z ) ，使 盟= ! ；一( ：) ，5 ( z + 1 ) 一l 即f 5 ( z ) 一e 。( 2 ) ，5 ( z + 1 ) + ( 一1 ) = 一e 。( 2 )( 术) 令f 5z ) = g l ( z ) ，一e 。( 2 ) ，5 ( 名+ 1 ) = 9 2 ) ，一1 = 9 3 ( 三) 若9 1 ( z ) ，9 2 ( z ) ，9 3 ( z ) 线性无关，令t ( r ) = m a x t ( r ，9 1 ) ，t ( r ，9 2 ) ，) 那么由引理3 2 ，得丁( g ) 2 ( ng z = 0 ) + n 2 ( r ，击) + o ( 1 0 9 ( r ? p ) ) ) 2 瓢高) + 四( r ，希五) + 。( 1 。g ( r t ( r ) ) ) 是正规的 亏 理4 2 设t 为单位露 z ：吲 1 ) 内的翌纯函数族砌t 在 愿点不正规舄净曩 办( z ) 器lct ， 乃 磬l cc ， 班 器l r + 及c 中非常数亚纯函数，( z ) 使勺一0 ，p j o + 0 一) 且 秀( + 岛z ) 葺f ( z ) ( j 砷。) 2 c ) 证明t 必要性已知t 在茹= 0 处不正规，这时由定理1 3 4 知， i 复数列 面) 蒡1 获亚纯函数列 乃( 名) ) 器1ct 使i 弓i 砉( j = t ，2 ，) ，且 刀( 霉) 一器j 2 。= l ，2 ，) 令屿：2 躐( 1 一饼严) 刀( z ) ( 1 - m 2 ) 对( ) ， ( 这里的刁为圆i z i ；上的确定的一点) 继令 彬。南( 1 叫划2 严卜志圳嘲， 这是由于 o 可兰爵2 ( 1 + i 巧鸯丽8 一o + 叶o 。) 由上知函数鳓( z ) ：一芳( 勺十彩z ) 在 | z | 马：掣：1 ，2 ，) 阁 马一t 掣一，2 ，) 溜盈臻。 盼删 0 ，鼠瓣习。en 使r 玛j o ) ，进薅可 知当i z i 嚣噍在阁 r 疼正烧， 彰( 牙) 器l 在| z | r 内正规从而由对角线方法，由r 的任意性，可知弓 彩( z ) ) 器1 的 一个子列( 不妨设该予列为 野( z ) 器1 ) ，窀在c 中局部一致妖敛到 0 0 或一个亚纯函数，( z ) 。又由于 ( 去) 4 ( o ) 一列( o ) = 乃掣( 辱) = l 所以如( 奄+ p i z ) = 辨 ) 墨0 0 一o 。) 0 c ) 是不可能躲， 故劬( 名) j ，( z ) ( 其中f ( z ) 为c 中的亚纯函数) ，又由上知，7 ( 勺) 0 ，叛y ( z ) 不能遂铯黄常数+ 充分性。选取充分靠近0 的复数z o ，使得f ( z o ) 0 ，。，且，7 ( z o ) 0 这榉有 乃霹e 习+ 丹缅，= r 竿黠一端_ ， 所毅；i m 群( + 乃魏) 一+ o 。 + 。 由定理1 3 4 知 岛0 ) ) 器l 在z = 0 不正规故t 在2 0 不挺 规 荸 壤4 。3 设，( 名) 为一个非誊数如受缝丞数，烈，( z ) 可取裂每个复 数，最多有两个侧外值 诞翻：设嚣常数燕纯函数，( 名) 不壤c 中秘三个互辫复数8 ，b 及c 不失一般性可设口= 0 ，b = 。，c = l ( 否则对，0 ) 施行适些的分武 线性变换可转化为这一情形) ，从而，( 名) 为非常数整函数不取o ，1 及。可澈 ，( z ) 一a + p 名+ ( p o ) 则由定理1 3 。6 知+ o 。 q ( d ，芦) ，雨q ，鳓为有限正数矛盾 鼓嚣掌数驻纯露数，( z ) 壤到每个复数，至多密嚣个篌癸。 引理4 4 1 1 5 】若函数序列a ( 名) = 1 ，2 ，) 在域d 内是解析的， 并艇在d 海寓一致收敛剃不键为零妁解析函数，如) 一是d 内可求 长简单闭穗线，其内部属于d ，且不经过， ) 晦零点。则存在正憋 数n ，使得n n 时，在，y 内部厶( 名) 和，( z ) 宥相同个数的零 点 定理4 1 的证明：由于 ) 雾c o r z s t ，则对于v 蠡t 有a ( z ) 霉 c o n s t 否翊若j 厶t 使是( z ) c o n s t ，出t = y o ( z ) i a j ) 驭 0 ，l ，。为i m 分摄值， ( 1 ) 若厶( z ) = 哟( a j o ，1 ，。o ) ) ，矛盾 ( 2 j 若是( z ) a j ( 留碧p ，l ， ) ，裂壶定鬈l 。3 。2 知 ，矗) 沁 ) + 去) + ( 曩五与) + s 矗) = ( 盎) + ( t 竞) + ( tz o ti ) + s ( t 矗= s ( 矗) j 礴j 1 矛盾由引理4 1 ，易知函数族t 在g 疗1 ( o ，1 ，o 。】) 上正规 若z + 疗1 ( o ，1 ，o 。) ) ，不妨设f l ( z + ) = 0 ，我们断言t 在z + 正规 实际上，若不然，则t 在z + 不正规根据引理4 2 ，| 如( z ) ) 罂lc t ， 乃 - 凳l cc ， 办) 器1 r + 及c 中非常数亚纯函数妒( 名) 使 乃一z + ，p j 。o + 0 _ o o ) 且y j ( z j + p j z ) j 妒( 名) ( j 0 0 ) ( z c ) 根据引理4 3 ，妒( z ) 必取到0 ，1 ，o 。之一 情形1 如果妒( 名) 取值1 或0 0 ，则3 b 1 ，o o ，妒( z ) = b 在g 中 必有根 取出一个一个记为瓦由引理4 4 ，当j 充分大时，存在豸一芽( j o 。) ，而且y j ( z j + 助苟州) = b 当j 充分大时，巧+ 助苟一矿，而 我们假设 ( 矿) = 0 ，这与0 ，1 及0 0 为t 的i m 分担值相矛盾 情形2 如果垆( z ) 不取1 和o o ，则妒( z ) 的形式为妒( z ) = e 口( 2 ) + 1 ( 其中a ( z ) 为非零常数整函数) 所以妒( z ) 必有无穷多个判别零 点w k ( k = 1 ，2 ，) ，由妒( ) = 0 ( k = 1 ，2 ，) ，据引理4 4 知： j 苟) c 使得：f l ( z j + 乃弓) = 乃( 乃+ n 蜀( ) = 0 ( j j o ，k = 1 ，2 ) ，其中豸1 ) 一m 0 一o 。) ，豸2 ) 一0 一) 因而勺+ 乃豸( ) = 矿0 充分大时，七= 1 ，2 ) 所以助( 苟( 1 ) 一豸2 ) = 0 ，即豸1 ) 一易2 ) = o ( j 充分大时) 当j 一时，肌= 矛盾 由上讨论知，t 在c 上正规 2 1 第五章具有三个分担值的函数族的基数 定理5 1 若c 中亚纯函数族t = 厶i q ，) - 以0 ，1 ，c o 为d m 分 担值，则t 的基数至多为有限数 证明：由定理4 1 ，t 在c 中正规则在t 中存在各项互异的函数 列 厶( z ) ) 。o o ：1 ，它存在其子序列厶。( z ) ( 庇= 1 ，2 ，3 ，) 不妨就设 为 厶( z ) ) 器1 满足下列条件之一： ( 1 ) ( z ) = l ，2 ，3 ，) 在c 中内闭一致收敛到亚纯函数，( z ) ( 2 ) 厶( z ) ( 佗= 1 ，2 ，3 ，) 在c 中内闭一致趋于o o 因为，n ( z ) 以0 ，1 ，0 0 为d m 分担值，则( 2 ) 不成立 所以 a ( z ) j ，( 名) 一0 0 ) ( z c ) 由引理4 4 ，f ( z ) 与 z ) 以0 ，1 ，o 。为i m 分担值 我们考虑一个充分大的圆l z l r ( n 时，( z ) 与厶，( z ) 在h z r 内c m 分担o ，1 ，o o 综合上述得，( 2 ) 与，n ，( z ) 在i z i r 内以0 ，i ，0 0 为c m 分担 值，矛盾所以t 的元素个数至多为有限数 注：定理5 1 中的三个d m 分担值是精确的例如： 胁) = 譬筝( 佗- 1 2 ，) ， 这组亚纯函数以0 和o o 为d m 公共值，它的元素个数为无穷 定理5 2 若c 中非常数有理函数族t = 凡i a j 以o ，1 ，。为 i m 分担值，则t 的基数至多为有限数 证明：由定理4 1 知t 在c 中正规假设t 的基数为无限，则在t 中 存在各项互异的函数列 ( z ) ) 箍l 它必有一个子序列a 。( z ) ( k = 1 ，2 ，3 ，) 不妨麓设为五( z ) ( n l ，2 ，) 农c 中内 j j 一致浚敛 到亚纯函数，( z ) 即 l o c 厶( 爿) jf ( z ) 一。o ) ( zg 我们断言f ( z ) 必为有理国数否则若f ( z ) 为超越瓤纯函数，则 3 b o ，l ，o 。 使，( z ) = b 在c 中有花穷多个粳这将导致t 中 的有理函数在c 中取b 无穷次，矛盾。 取充分大的r ，则在l z i r 内，包含了f ( z ) 的所有o 点或1 点或 极点。不翁浚例 n 时， ，n 。句，( 名) 在c 蠹c m 分程0 和筇与乃( z ) 0 = n o 十l ，讫。十2 ，) 以。 和为c m 分担傻。所r j , 譬为既无零点也先极点黪有理殛数。 则= 角如 又鸯a o ，秀分整l 毽，爨秀= a o ，矛麓 所以t 的基数至多为有限数定理5 2 证毕。 参考文献 1 b r o s c h ，g ，e i n d e n t i g k e i t s s a t z ef u rm e r o m o r p h ef u n k t i o n e n ， d i s s e r t a t i o n ，r w t ha a c h e n ，1 9 8 9 【2 】g u n d e r s e n ，g g ，m e r o m o r p h i cf u n c t i o n st h a ts h a r et h r e eo r f o u rv a l u e s ，j l o n d o nm a t h s o c ，2 0 ( 1 9 7 9 ) ，4 5 7 4 6 6 【3 】g u n d e r s e n g g