（基础数学专业论文）t6z4和t6（z2）2的chenruan上同调环.pdf

t 6 z 4 和t 6 ( z 2 ) 2 的c h e n r u a n 上同调环 专业：基础数学 研究生：陆维新 指导老师：李安民教授 赵国松教授 w c h e n 和y r u a n c r l 对o r b i f o l d 定义了一种非常有意义的上同调理论， 现在称为c h e n - r u a n 上同调最近，b c h e n 和s ，h u ch 1 对阿贝尔o r b i f o l d 给 出了一个d e r h a m 模型来计算其上的c h e n - r u a n 上同调环 在b c h e n 和s h u 的构造中，一个重要的工具是t w i s tf a c t o r ，通过它，c h e n r u a n 上同调环可以不用复杂的全纯o r b i f o l d 曲线就可以清晰的表示出来本文 的主要工作是使用b c h e n 和s h u 的方法来计算t 6 z 4 和t 6 ( z 2 ) 2 的c h e n r u a n 上同调环 关键词：t w i s t c ds e c t o r ，t w i s tf a c t o r ，c h e n r u a n 上同调环 c h e n r u a nc o h o m o l o g yr i n g so ft 6 z 4a n d t 6 ( z 2 ) 2 m a j o r i n g ：m a t h e m a t i c s s t u d e n t ：w e i x i nl u s u p e r v i s o r ：p r o f a n - m i nl i p r o f g u o - s o n gz h a o 1 l c h e na n dr u a n c r l 】d e f i n e dav e r yi n t e r e s t i n ge o h o m o l o g yt h e o r yf o ro r b - i f o l d ，w h i c hi sn o wc a l l e dc h e n - r u a nc o h o m o l o g y l a t e rc h e na n dh u 【c h 】g i v ea d e r h a mm o d e lt oc o m p u t et h ec h e n r u a nc o h o m o l o g yr i n go fa b e l i a no r b i f o l d t h ei m p o r t a n tf e a t u r ei nc h e na n dh u si d e a si st w i s tf a c t o r ，t h r o u g hw h i c h t h ec o h o m o l o g yr i n gc a nb ed e f i n e dw i t h o u tg o i n gt h r o u g hh o l o m o r p h i eo r b i f o l d c u r v e s a c c o r d i n gt ot h e i ri d e a s ，t h ep r i m a r yo b j e c t i v eo f t h i sp a p e ri st oc o m p u t e t h ec h e n - r u a nc o h o m o l o g yr i n g so fp z 4a n dt 6 ( z 2 ) 2 k e yp h r a s e s ：t w i s t e ds e c t o r ，t w i s tf a c t o r ，c h e n r u a nc o h o m o l o g yr i n g 四川大学硕士学位论文 第一章引言 很多领域包括表示论、代数几何、理论物理、拓扑等的科学家，都对o r b i f o l d 感兴趣传统的观点认为，o r b l f o l d 是一个奇异空间，它的局部坐标卡微分同胚于 一个光滑流形在一个有限群作用下的商空间而和处理流形( m a n i f o l d ) 一样。现 代的观点把o r b i f o l d 看成是一个拓扑空间，附加上一个结构f 一般称为o r b i f o l d 结构) 整体商o r b i f o l d 的研究在弦理论中是基本的z a s l o wf z l 给出了大量的整 体商的例子并计算了它们的o r b i f o l d 上同调群w c h e n 和y r u a n 对任意的 o r b i f o l d 给出了o r b i f o l d 上同调群的严格的数学定义【c r i 】，现在一般称为c h e n _ r u a n 上同调除了是对非整体商的一般化情形定义了上同调群以外，在这种新 的上同调群中的一件很有意思的事情是可以在其中定义一个乘法运算，使其成为 上同调环这一点是以前的数学家或理论物理学家没有注意到的 自从c h e n r u a n 上同调的概念出现以后，如何计算上同调环被很多人所关 注w c h e n 和y r u a n c r l 给出了几个简单的例子b d o u gp a r k 和m a i n a k p o d d a r 【p p 】计算了m i r r o rq u i n t i e 的c h e n - r u a n 上同调环但是要确切的给出 乘法运算是一件很困难的事情，通常需要使用障碍丛的概念通过三点函数来证明 环结构的存在性，这一般称为c h e n - r u a n 的o r b i f o l d 量子上同调环构造 最近，b c h e n 和s h u c h l 使用d e r h a m 理论，对阿贝尔o r b i f o l d 的上同 调环给出了一种简单的表示方法，可以避开障碍丛，直接给出环结构c h e n - h u 的方法中一个重要的工具是t w i s tf a c t o r ，通过它，每个上同调类可以用一个 t w i s t e df o r m s 来表达，而且c h e n - r u a n 上同调环的乘法运算可以简单的解释成 为t w i s t e df o r m s 之间的外积运算， t 6 z 4 和p ( z 2 ) 2 是著名的c a l a b i y a uo r b i f o l d 的例子，著名数学家c v a f a 和e w i t t e n 】曾经对它们做过研究本文的主要工作是使用c h e n - h u 的方 法计算其上的c h e n r u a n 上同调环 本文的写作安排如下： 四川大学硕士学位论文2 在第二章中，我们回顾了o r b i f o l d 、t w i s t e df a c t o r 、c h e n - r u a n 上同调群等 一系列o r b i f o l d 基本概念在第三章中，我们介绍了c h e n r u a n 上同调环的 d e r h a m 模型在第四章中，我们计算了t 6 m , 和t 6 ( z 2 ) 2 的c h e n - r u a n 上同 调环 四川大学硕士学位论文 第二章c h e n r u a n 上同调群 3 在这一章中，我们回顾c h e n - r u a n 上同调群的一般理论o r b i f o l d 的概念首 先是由i s a t a k e s 引进的，当时他称之为v - m a n i f o l d 最近，w c h e n 和y r u a n 在他们的一系列文章中系统地阐述了o r b i f o l d 的基本概念和基本理论下面的叙 述采用他们的观点，详细的论述参见 c m 、【c r 2 2 1 o r b i f o l d 定义2 1 1 设x 是一个第二可数的h a u s d o 谚拓扑空间， 以 州是x 的一个 开覆盖，满足以下条件： j 对每个开集阢，存在( 晚，g ，以) ，其中玩是n 维流形，g 是一个光滑作 用在玩上的有限群，使得也：玩一矾是 不变的，并且诱导一个同胚 0 , 0 , 笺玑此时，称( 玩，q ，也) 为巩的一个一致化系统或x 上的一个 o r b i ，0 l d 坐标卡 2 两个坐标卡( 玩，g i ，如) 、( 玩，g j ，c j ) 之间的嵌入a ：( 玩，g t ，也) 一( 岛，劬，咖) 是一个光滑嵌入入：晚一喀，满足如。入= 虻 只任意两个坐标卡( 玩，g l ，也) 、( 喀，岛，奶) ，以= 也( 晚) cx ，= 咖( 谚) c x ，任意一点卫玑n ，存在z 的一个开4 f 域阢n ，的一 个坐标卡( 谚，g ，) ，使得存在嵌入( 咖，g ，曲) 一( 玩，g i ，a ) 、( 雨，g ，纠一 ( ，q ，咖) “= ( 阢，g ，如) ) 称为坐标卡集 4 称坐标卡集“是1 ，的一个加细，如果v 的每个坐标卡都可以嵌入甜中的 某个坐标卡两个坐标卡集称为等价的，如果他们有共同的加细 若在x 上给定了n 维坐标卡集的等价类“，则称x 是一个。而痂l d 设x 是一个o r b i f o l d ，。x 如果( 疗，g ，7 r ) 是z 的一个一致化系统，并 四川大学硕士学位论文 4 且= ( g ) ，那么定义z 的迷向群为g 0 = 9 a l g ( y ) = g ) 称x 是一个近复 o r b i f o l d ，如果x 的切丛上存在一个自同构j ：t x t x ，满足j 2 = 一i d 定义2 1 2 称o r b i o l dx 是一个阿贝尔o r b i f o l d ，如果任意的z x ，迷向群 g 。是阿贝尔群 定义2 1 3 假设有限群g 光滑的、有效的作用在光滑流形m 上，那么相应的 o r b i f o l d ( m a ，甜) 称为整体商，其中“由流形m 上的光滑结构来构造， 在这篇文章中，我们主要关心的是阿贝尔o r b i f o l d ，特别是整体商的阿贝尔 o r b i f o l d 2 2 t w i s t e ds e c t o r 假设x 是一个o r b i f o l d 我们考虑以下集合 爻j = ( 。，( g ) ) ix x ，g = ( 9 1 ，一，g k ) ，m g 。，i = 1 ，一，七) 其中，( g ) 。表示k 元组g = ( 9 1 ，鲰) 在磷中的共轭类，g 。表示所有k 元 组的集合我们用以来记g 2 中的所有k 元组共轭类的集合，那么，2 k 可以分 解为连通分支的不交并 兔= u ( g ) w k x c g ) ， 其中， y ( g ) = ( 茹，g 。) iz x ，g 。( g ) ) 称2 1 为i n e r t i a 。而咖2 d ，通常记为 x 如果g ( 1 ，1 ) ，每一个x ( g ) 称为 k - s e c t o r 当k = 1 时，若g 1 ，那么每一个x ( 们称为t w i s t e ds e c t o r t 墨1 ) 称为 n o n t w i s t e ds e c t o r ，它和x 是同构的 当o r b i f o l dx 是一个整体商m c 时，那么t w i s t e ds e c t o r sx ( 9 ) 垒m g ， 并且i n e r t i ao r b i f o l d 贾1 可以分解为2 1 = u 9 g 墨9 ) 兰u g 。且p g ，其中m g 是 g g 作用在m 上的不动点集 四川尢学硕士学位论文 2 3c h e n r u a n 上同调群 5 在这一节中，我们定义c h e n r u a a 上同调群在这中间很重要的一个概念 是d e g r e es h i f t i n gn u m b e r 设x 是近复o r b i f o l d ，x ( 9 ) 是它的一个t w i s t e ds e c t o r ，任意的。墨g ) 假 设( 疗，g ，”) 是。的测地一致化系统( 见【c r 2 】) ，取克( 9 ) 是墨9 ) n u 的一个原 象，孟墨们是z 的一个原象，则t 0 贾( 曲可以分解为墨9 ) 的切丛和法丛，进 而可以分解为作用g 下的特征丛 t 0k = t x ( 。) 。瓤9 ) = 峨9 】。凳l 扇 ( 2 3 1 ) g 作用在t 2 ( 9 ) 上是平凡的，而作用在每个线丛岛上是非平凡的，2 m 是墨9 ) 在x 中的余维数 法丛瓤，) 的分解可以下压为置，) 在x 中的法丛n o ) 的分解。器1 易，所 以作用g 可以表示成对角矩阵的形式 d i a g ( 1 ，1 ，e 2 ”“，e 2 ”) ， ( 2 3 2 ) 其中，对所有的j = 1 ，m ，白q n ( 0 ，1 ) 函数( 。，g ) = j 如不依赖z 的选 取，只和t w i s t e ds e c t o r 有关，它被定义为t w i s t e ds e c t o r 置口) 的d e g r e es h i f t i n g n u m b e rc ( 9 ) 使用t w i s t e ds e c t o r 的d e g r e es h i f t i n gn u m b e r ，h 5 r ( x ( 9 ) ) 可以写成如下的 分次形式 h g r ( x ) ：= 日4 ( x ) 2 ( 9 盛日d - 2 妇( x ) ( 2 3 3 ) 四川大学硕士学位论文 第三章c h e n r u a n 上同调环的d e r h a m 模型 6 在经典的d e r h a m 理论中，当x 是一个光滑流形时，x 的上同调群日+ ( x ) 的元可以用闭微分形式来表示 根据这个想法，b c h e n 和s h uf c h 】预见到对阿贝尔o r b i f o l d 同样可以 用微分形式来表示c h e a - t 札a n 上同调群的元素他们使用蛇一个重要的工具是 t w i s tf a c t o r 3 1 t w i s tf a c t o r 在2 3 中，线丛岛可以下压为墨口) 上的o r b i 一丛易，墨9 ) 在x 中的法丛 可以分裂为线丛e j 的直和令为易的t h o r n 类，则 定义3 1 1x ( 9 ) 上的t w i s t ，凸c t o rt ( a ) 定义为如下的形式积 m t ( 9 ) = 妒 j = l 记”：u x ( 9 ) ，i ( 9 ) ：日+ ( 五们) 一三珐十2 ，( x ) ，o 一矿( n ) t ( g ) ，则i ( g ) ( ) 称 为t w i s t e df o m 形式上，( 9 ) 是一个2 ( g ) 一微分形式，它的支撑集为五9 ) 在x 中的一 个邻域，在作外积运算时，它可以和所有的微分形式可交换t w i s tf a c t o r 正是 日+ ( 置。) ) 中的微分形式作为月孙( x ) 中的微分形式时所差的那部分在不引起 混淆时，我们常常省略矿雨简记 0 ) ( a ) = a t ( 幻 3 2 外积运算 假设啦一h c d , r + 2 4 a ) ，i = 1 ，2 是两个t w i s t e df o r m s ，外积运算n 1a 。2 可以用 通常的方式定义在 c h 】中，他们证明了以下的定理，使得乘法可以直接给出 四川大学硕士学位论文 7 定理3 2 1n j 设a l = o l t ( 9 1 ) ，a 2 = 0 2 t ( 9 2 ) ，那么3 a 3 h + ( x o 。) ) ，其中 g a = 9 1 啦，使得a 3 ：= a la 叱= 口3 t ( 9 3 ) 彤r ( x ) 例外积a 赋予日孙( x ) 一个环结构口 注记3 2 1 计算( 5 h e n r u a n 上同调环中的关键点是要计算所有的t ( 9 1 ) t ( 9 2 ) 四川大学硕士学位论文 第四章t 6 z 4 和t 6 ( z 2 ) 2 的c h e n r u a n 上同调环 8 令( 2 l ，z 2 ，z s ) 为c 3 上的复坐标，定义 = ( 口i + i b l ，a 2 + i b 2 ，n 3 + i b 3 ) l 毗，机z ，i = l ，2 ，3 ) 为c 3 。卜 的一个格( 1 a t t i c e ) ，则c 3 成为6 维环面p ，其 上有一个自然的平坦c a l a b i y a u 结构 4 1 尹z 4 的计算 令，c 是丁6 到自身的一个光滑映射，其作用如下： k ：t 6_p z l ，z 2 ，z 3 】t - - - - - - e 【- - z l ，i z 2 ，i z a 】 那么k 是良定义的，e l ik 生成的群为 l ，尤，托2 ，托3 ) 型z 4 ，则p z 4 是一个紧致 的c a l a b i - y a uo r b i f o l d 丁6 在k ，k 3 作用下的不动点集是如下的1 6 个点 化l ，z 2 ，z 3 fz l o ，丁1 + i ，i 1 ， ，z 2 ，施 o ，t l + i ) t 6 在k 2 作用下的不动点集是如下的1 6 个环面p 化1 ，。2 ，z 3 h c ，z 2 ，z 3 o ，学，j 1 ，i h 记口，5o ，n 。3 毪j ，n s = ，0 4 = ；，觞= o u ，o ，q ) ，? k = f 幻，c k ，a 。】f 。1 c ) ( “，口= 1 ，4 ；i ，j = 1 ，2 ) 从2 2 的讨论中，我们可以容易的得到所有 的t w i s t e ds e c t o r 8 丑一) 。( 【。，砘，z s iz l f o ，学，i 1 ，； ，勿，z a f o ，孚h z 。， 甄删2 化l ，z 2 ，施】i2 1 c ，恐，z 3 o ，t 1 + 1 ，i 1 ，； z 4 ， x ( 一) = z 1 ，z 2 1 为】jz 1 o ，丁1 + i ，j 1 ，； ，砘，施f o ，孚 ) z 4 四川大学项士学位论文 9 接着我们计算d e g r e es h i f t i n gn u m b e r 对$ x ( 。) ，令( 玩，r ，7 r ) 为z 点 的测地一致化系统假定童晚是z 点的一个原象，那么t 玩k 可以分解成 面的切丛和法丛 t 玩k = c 3 = t 忙) o 甄。) ， 其中，觏。) 是 孟) 的法丛因此 觑。) = c 3 = c o c o c 从以上的分解中，我们可以得到k 的表示如下： k = d i a g ( 一1 ，i ， ) = d i a g ( e 2 “ ，e 槲 ，e 2 “ ) 因而，。( k ) = j 1 + + = 1 同样地，我们可以得到 k 2 = d i a g ( 1 ，一1 ，一1 ) = d i a g ( 1 ，e 2 “ ，e 2 | r i , ) ， k 3 一d i a g ( 一1 ，一i ，一i ) = d i a g ( e 2 “，e 2 “ ，e 2 ；) ， ( = c 2 = c o c ，( 托2 ) = j + = 1 ， ( 一) = c 3 = c o c o c ，。( k 3 ) = 互14 - ：+ 2 = 2 因此，x = t 6 z 4 的c h e n r u a n 上同调群 - p a 表示为以下的形式 弼凡( 铲z 4 ) = ( x ) oh 4 2 ( 置。) ) oh 。一2 ( x ( 一) ) oh 8 4 ( 墨。) ) 现在，我们计算t w i s tf a c t o r 由t w i s tf a c t o r 的定义，我们应该确定所有 t w i s t e ds e c t o r s 的法丛的t h o r n 类首先，我们应该把t w i s t e ds e c t o r s 上的法丛 分解为线丛的直和把复坐标( z 1 ，z 2 ，z 3 ) 表示成实坐标的形式z l = 。1 + i x 2 ，z 2 = 。3 4 - i x 4 ，z 3 = x 5 + i x 6 然后，我们可以选取【1 1 】= d x l a d x 2 ，【1 2 】= d x 3 a d x 4 ， f 3 j = 出5 a d x 6 分别作为线丛7 r ：c _ p 亡的t h o r n 类那么，所有的t w i s tf a c t o r s 为： ( 一) = f 1 却： 5 f f 3 】 ，t ( 一2 ) = f f 2 】却。j ；，t ( 一3 ) = 【f l 】；1 吲4 a ；a 四川大学硕士学位论文 1 0 下面，我们对所有的9 。 1 ，k ，舻，妒 计算t ( 9 1 ) t ( 9 2 ) ，这是确定c h e n - r u a n 上同调环的乘法运算的重要一步知道了这些量之间的运算，我们很容易就 能在所有的t w i s t e df o r m s 中定义乘法我们采用记号8 州。= 如“ad x 如a d x 日，那么对所有的9 。 l ，片，k 2 ，k 3 ) ，我们可以得到如下的结果 1 ) k = k 2 k 3 ，( 7 0 。，k 2 ) a t ( p 籍，k 3 ) = 0 ， 任意u ，甜，w ，z ，j ， 2 ) 1 = 托3 圪， t ( p 嚣l ，k ) a t 州k 3 ) = e 1 2 3 4 5 6 ， 若( u l ， 1 ，j 1 ) ；( 让2 ，i 2 ，如) ， ( p 恐。，k ) t ( p 笛：，p ) = o ， 若托l ，i l ，j 1 ) ( u 2 ，i 2 ，j 2 ) ， 3 ) k 3 = k - k 2 ，t ( p ：! ；，k ) a ( 瓦。k 2 ) = t ，) ， 若( i ，j ) = ( u ，u ) ； t ( p 筹，k ) a t ( 瓦。，c 2 ) = 0 ，若0 ，j ) ( u ， ) ； 4 ) 尤2 = k k ，t 0 讲uk ) a t 媚，k ) = e 1 2 t ( t q ，k 2 ) ，任意u ， ，j ， t ( p 为。，k ) t ( 粥。，k ) = 0 ， 若( l ，i 1 ，j 1 ) ( u 2 ，i 2 , 止) ， 5 ) 1 = 尤2 尤2 ，t ( 咒l 。1 ，尤2 ) a t ( 咒2 2 ，k 2 ) = e 3 4 5 b ，若( 钍l ， 1 ) = ( u 2 ， 2 ) ， t ( t o ，。，k 2 ) a t ( 咒2 。2 ，片2 ) = 0 ，若( t l ， 1 ) ( “2 ，t 屹) ， 6 ) 托2 = 尤3 尤3 ，t ( 瓦1 k 3 ) a ( l 2 抛，斤3 ) = 0 ，任意u 1 ， l ，牡2 ，v 2 ， 7 ) 1 = 1 矿，t ( 1 ) a t ( 胪) = t ( 舻) ，n = o ，1 ，2 ，3 对一个整体商m g ，把m 的同调群在g 作用下不变的子群定义成m g 的普通的上同调群，即 俨( m g ) = 高窘。l u 伊( m ) 一 ( 4 1 1 ) 根据这个定义，我们可以计算出彤z 4 ，冗。z 4 ，t 8 z 4 的普通的上同调群如下 h a ( p t z t ) = ：0 fr ，若d ：0 ， ( 咒。z 4 ) = 0 ，若d = l ， l l 皿，若d = 2 四川大学硕士学位论文 h 8 ( t 6 z 4 ) = r ，若d = 0 0 ，若d = 1 r 5 ，若d = 2 膨，若d = 3 瞅，若d = 4 0 ，若d = 5 r 若d = 6 根据以上的计算，我们知道h 2 ( p z 4 ) 的生成元为：e 1 2 ，e 3 4 ，e 5 6 ，e 3 5 + e 4 6 ，e 3 6 一e 4 5 ：h 3 ( p z 4 ) 的生成元为：e 1 3 5 一e 1 4 6 ，e 1 3 6 + e 1 4 5 ，e 2 3 5 一e 2 4 6 ，e 2 3 6 + e 2 4 5 ；h 4 ( t 6 z 4 ) 的生成元为：e 1 2 3 4 ，9 1 2 5 6 ，e 3 4 5 6 ，e 1 2 3 54 - e 1 2 4 6 ，e 1 2 3 8 一e 1 2 4 5 接 着，选取瞄为日o z 4 ) 的生成元，矗。为日o ( 咒。z 4 ) 的生成元，仉。e 1 2 为 h 2 ( 咒。z , ) 的生成元，e o 为h o ( t 6 z 4 ) 的生成元 有了以上结果以后，e hc h e n r u a n 上同调群的定义，我们可以得到p z 。 的c h e n r u a n 上同调群如下： 秘r ( t 6 z 4 ) = 若d = 0 若d = 1 若d = 2 若d = 3 若d = 4 若d = 5 若d = 6 由定理3 21 和t ( 9 1 ) t 渤) 的运算规则，对任意的口= a t ( g d 点噬2 ( 9 i ( t ： 1 ，2 ) ，外积 ( 2 1a a 2 = a la 0 2a t ( 口1 ) a t ( 卯) 甄仉妒峨妒 氓峨 四川大学硕士学位论文 满足结合律，这里a 。aa z 是普通的流形上的外微分式之间的外积运算因此， ( 磁n ( t 6 z t ) ，a ) 是一个结合环 4 2p ( z 2 ) 2 的计算 令0 r l ，o - 2 是p 到自身的光滑映射，其作用如下： o r l ：p_t6 z l ，z 2 ，z a h _ z l ，一砘，一铂l 0 - 2 ：t 6 _p z l ，z 2 ，z 3 hf - z 1 ，恐，一z 3 我们记o - 3 ：= 1 7 1 。0 - 2 ，则由o 1 ，o - 2 生成的群为 1 ，0 - 1 ) 0 2 ，0 1 0 2 ) 些( z 2 ) 2 ，则 t 6 ( z 2 ) 2 是一个紧致的c a l a b i y a uo r b i f o l d t 6 在仉作用下的不动点集是1 6 个环面丁2 ，可以表示成如下形式 z l ，z 2 ，z 3 】i 勺 o ，丁l + i ，j 1 ，) ，j ，五c ) 记t l 垒“z 1 ，约，矧iz a c ，磊= o t 。，盈 的一个置换，且s t ，u ， = 1 ，4 ，a 。) 竺t 2 ，其中，扣，s ，t ) 为 1 ，2 ，3 ) 1 ，2 ，3 下面，我们计算d e g r e es h i f t i n gn u m b e r 类似于4 1 的计算，对x x ( 川， 取z 点的测地一致化系统( 玩，g ，7 r ) 假定圣以是。的一个原象，那么 t 玩i 毫。可以分解为量，。) 的切丛和法丛 r 晚l 膏( = c 3 = 哺，) 。颠，。) = c 。瓤。) ， 其中，取，) 是置，。) 的法丛因此， 嘶= c 2 = c o c 根据以上的分解，我们可以得到o r l 的表示如下： 0 1 = d i a g ( 1 ，一1 ，一1 ) = d i a g ( 1 ，e 2 “ ，e 2 “。 ) 1 2 四川大学硕士学位论文 因此，( 口1 ) = j 1 + j 1 = 1 同样地，我们可以得到 口j = d i a g ( 一1 ，l ，一1 ) = d i a 9 ( e 2 “i 1 ，1 ，e 2 1 r 1 ) 如= d i a 9 ( 一1 ，一1 ，1 ) = d i a g ( e 2 “j 1 ，b 撕 ，1 ) ( ，：) = c 2 = c o c ， 。( 啦) = j 1 + j 1 = 1 ， ( 。) = c 2 = c o c ，。( ) = + = 1 1 3 类似于5 4 1 的方法，我们选取同样的f 1 1 i ，f f 2 】，【f 3 】，则所有的t w i s tf a c t o r s 为： t ( 一，) = p 。】却。】 ，t ( 0 2 ) = 【l ，l 【f 3 】 ，t 慨) = 1 1 1 ； 1 2 一 对所有的鲰 1 ，0 1 ，0 2 ，如) ，计算( 9 1 ) a f ( 9 2 ) 如下： ( 1 ) 。= 口l - 观，( 。a t ) a ( 毪，a 2 ) = e 5 6 t ( 瑶观) ，若w 1 = v 2 ( 4 ) 1 = 口1 o 1 ( 5 ) l = 啦0 2 t ( 砭。i f l ) t ( 吃口2 ) = 0 ， 若v l v 2 ， ( 霹。，d t ) t ( t 毫啦，仃3 ) = 1 2 ( t 曼。，疗1 ) ， 若u 1 = t 圯， t ( 磕如) a t ( t l ) = 0 ， 若“1 t 2 ， t ( t j 。口1 ) t ( 吃叻) = e 3 4 t ( 瑶观) ，若1 = v 2 ， f ( 砭。，d 1 ) a ( 毪，口3 ) = 0 ， 若u l u 2 ， t ( 砭。盯1 ) ( 砝蜥，口1 ) ；e 3 4 5 6 ， 若( 1 ，臼1 ) = ( u 2 ，吨) ， t ( t i 坤：，盯1 ) t ( t 乞地，口1 ) = 0 ， 若( 蚍，v 1 ) m 2 ，u 2 ) ， t ( 磕观) a t ( t l ，观) = e 1 2 5 6 ， 若( 1 ，u 1 ) = ( 2 ，抛) ， t ( 丁基。，d 2 ) a t ( 丁磊，。 ) = 0 ， 若( t l ，口1 ) ( t 2 ， 2 ) ， t ( 磕以) a t ( t l t l 2 ，) = e 1 2 3 4 ， 若( u 1 ， 1 ) = ( u 2 ，啦) ， t ( 磕i f 3 ) at ( 吃。，铂) = 0 ， 若( 札1 ，u 1 ) ( “2 ，u 2 ) ， ( 7 ) i = l 以，( 1 ) a t ( 以) = ( 叽) ，i = 0 ，1 ，2 ，3 这里，我们已经选取( y o = l 为群( z 2 ) 2 的单位元 ! 型查芏堕主芏堡垒墨 1 4 h “( 丁品( z 2 ) 2 ) = h n ( 矿( z 2 ) 2 ) = 根据计算，我们得到h 2 ( t 6 ( z 2 ) 2 ) 的生成元为：e 1 2 ，e 3 4 ，e 5 8 ；h 3 ( t 6 ( z 2 ) 2 ) 的生成元为：e 1 3 5 9 e 1 3 6 ，e 1 4 5 ，e 1 4 6 ，e 2 3 5 ，e 2 3 6e 2 4 5 e 2 “：h 4 ( p ( z 2 ) 2 ) 的生成元 为：e ，：“，e 1 2 5 6 e 3 4 5 6 而为h 。( 咒( z 2 ) 2 ) 的生成元，观。e ，2 为m ( t m ( z 。) ：) 的生成元，磁2 。e 3 4 为t t 2 ( 咒( z z ) 2 ) 的生成元，哦e 5 6 为俨( 瑶( z 。) 。) 的生成 元，e o 为h o ( 7 1 6 ( z 2 ) 2 ) 的生成元 因而，2 ”( z 2 ) 2 的g h e n - r u a n 上同调群为 h g r ( 铲( z 2 ) 2 ) 若d = 0 若d = l ， 若d = 2 若d = 3 若d = 4 若d = 5 若d = 6 司匕通 普 的 2 0 z 吖 z 2 力 z u 删 丁到得以可】f我 ) ll4 式公 的中 1 姐 用下使如群凋 m l 互 n l 互 文 t ，e & = = = = = = | | = | | = d d d d d d d d d d 若若若 若若若若若若若 r 吼r 峨q 破融时 仉啦 q 时 舻 瞅 仉 毗 四川大学硕士学位论文1 5 南定理3 2 1 和t ( 9 1 ) t ( 9 2 ) 的运算规则，对任意的啦= o ，t ( 甄) 上秣2 “0 = 1 ，2 1 ，外积 a la a 2 = a 1a 0 2 a t ( 9 1 ) a t ( 仍) 满足结合律，这里mao z 2 是普通的流形上的外微分式之间的外积运算因此， ( 日孙( t 6 ( z 2 ) 2 ) ，a ) 是一个结合环 四川大学硕士学位论支 参考文献 1 6 【a p 】a a d e m a n dj p a n ，t o r o i d a lo r b i f o l d s ，g e r h e sa n d g r o u pc o h o m o l o g y , m a t h a t 0 4 0 6 1 3 0 【ar 1a a d e ma n dy r u a n ，o r b i f o l da n ds t r i n gt o p o l o g y , p r e p r i n t 【b t 】r a o u lb o t ta n dl o r i n gw t a ，d i f f e r e n t i a lf o r m si na l g e b r a i ct o p o l o g y , g r a d u a t e t e x t si nm a t h e m a t i c s8 2 s p r i n g e r - v e r l a g 【c h 】b c h e na n ds ，h u ，ad e r h a mm o d e lf o rc h e n - r u a nc o h o m o l o g yr i n go fa b e f i a n o r b i f o l d s ，m a t h s g l 0 4 0 8 2 6 5 【c r i w c h e na n dy r u a n ，an e wc o h o m o l o g yt h e o r yf o ro r b i f o l d s ，m a t h a g 0 0 0 4 1 2 9 【c r 2 】w c h e l aa n dy r u a n ，o r b i f o l dg r o m o v - w i t t e nt h e o r y , i n ：o r b i f o l d si nm a t h - e m a t i c sa n dp h y s i c s ( m a d i s o n ，w i ，2 0 0 1 ) ，2 5 8 5 ，c o n t e m p m a t h ，3 1 0 ，a m e r m a t h s o c ，p r o v i d e n c e ，r i ，2 0 0 2 c r 3 】w c h e na n dy ，r u a n ，o r b i f o l dg r o m o v - w i t t e nt h e o r y , p r e p r i n t 【d j p 】f d i n g ，y j i a n g ，j p a n ，t h ec h e n - r u a nc o h o m o l o g yo fa l m o s tc o n t a c to r b - i f o l d s ，m a t h s g