（基础数学专业论文）基于图像边缘线的热传导方程放大算法.pdf

摘要 本文首先介绍了图像处理中的一些基本概念，如图数字图像的定义，图像的各 种分类，图像的连续模型和离散模型，以及偏微分方程在图像处理中的一些经典的 应用，如图像的分割，图像的滤波去噪等从而将一些在理论上已经比较完善的偏 微分方程图像处理做了一些框架性的介绍从而初步向读者介绍了偏微分方程图像 处理的一些基本内容 图像放大是图像处理的一个重要组成部分，本文针对图像放大的偏微分方程方 法开展研究工作 目前，已有许多文献对图像放大进行了研究，他们提出的一些方法有许多优越 性，有的方法原理自然易懂，有的方法运算简便，有的方法实现了计算机处理的运 算量优化，有的方法应用了新颖的数学理论等等但由于图像放大问题本身的复杂 性，以及各种模型所必须的一些先验条件，使得放大后的图像会产生诸如纹理丢失， 特征曲解，边缘模糊等一系列图像失真的现象 针对以上问题，本文在研究了各种图像放大模型的数学原理之后，提出了基于 图像边缘线的热传导方程放大算法，在一定程度上减少了图像边缘的模糊，取得了 较好的实际效果 关键词：图像，放大，边缘线，热传导方程 a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o ni n t r o d u c e ss o m eb a s i cc o n c e p t i o n si nt h ec o u r s eo fd e a l i n g w i t hi m a g e ss u c ha st h ed e f i n i t i o no fd i g i t a li m a g e ，d i f f e r e n tc l a s s i f i c a t i o no fi m a g e s ， t h ec o n t i n u a la n dd i s c r e t em o d e l se t c m e a n w h i l e ，i ta l s or e v e a l ss o m ec l a s s i ca p p l i c a t i o n sl i k et h ed i v i s i o no fi m a g e sa n di m a g ef i l t e r r e m o v i n g - n o i s ei m a g e si np a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw h e nc o p i n gw i t hi m a g e s m o r e o v e r ，w ei n t r o d u c es o m eb a s i c s u b j e c t st or e a d e r si ni m a g ed e a l i n gi np a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n t h ee n l a r g e m e n to fi m a g e si so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tc o m p o n e n ti nd e a l i n g w i t hi m a g e s t h i sd i s s e r t a t i o nm a i n l ys t u d i e st h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a lm e t h o d sw h e n e n l a r g i n gi m a g e s n o w a d a y s ，t h e r ea r eq u i t eaf e wr e f e r e n c e ss t u d y i n gt h ei m a g ee n l a r g e m e n t t l a e yf u r n i s hal a r g en u m b e ro fo u t s t a n d i n gm e t h o d s ，o fw h i c h ，s o m ea r ee a s yt o u n d e r s t a n d ，s o m ea r ec o n v e n i e n tt oc o m p u t e ，s o m eo p t i m i z et h ec a l c u l a t i n gq u a n t i t i e s ，a n do t h e r sp u ts o m en e wm a t h e m a t i c a lt h e o r yi nu s e n e v e r t h e l e s s ，b e c a u s eo f t h ec o m p l e x i t yo ft h ep r o b l e mo fi m a g em a g n i f i c a t i o na n ds o m ep r e v i o u sc o n d i t i o n s i na l lk i n d so fm o d e l s i tr e s u l ti nm a n yp r o b l e m sa f t e rm a g n i f y i n gi m a g e s ，s u c ha s l o s i n gt h ev e i n ，d i s t o r t i n gt h ec h a r a c t e r ，b l u r r i n gt h ee d g ea n ds oo n w i t hr e g a r dt ot h ep r o b l e m sm e n t i o n e da b o v e ，w eb r i n gu pt h em a g n i f y i n g a l g o r i t h ma b o u tt h e r m a lc o n d u c t i n ge q u a t i o nb a s e do nt h ei m a g ee d g e - l i n e sa f t e r s t u d y i n gt h em a t h e m a t i c a lp r i n c i p l eo fa l lk i n d so fi m a g em a g n i f i c a t i o nm o d e l s t h i sa l g o r i t h md e c r e a s e st h eb l u r so ft h ei m a g ee d g et os o m ee x t e n t ，w h i c ho b t a i n s b e t t e rf a c t u a le f f e c t s k e yw o r d s ：i m a g e ，z o o m i n g ，e d g e - - l i n e s ，h e a tc o n d u c t i o ne q u a t i o n 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中特别 加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表和撰写过的研究成果参与 同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 了谢意 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留论 文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅，学校可以公布论文的全部或部分内 容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 日 肌岬 第一章绪论帚一早三百了匕 1 1图像介绍 简单来说，图像是自然界景物的客观反映，使用各种观测系统以不同形式和手 段观测客观世界而获得的，可以直接或间接作用与人眼并进而产生视知觉的实体具 体来说，人的视觉系统就是一个观测系统，通过它得到的图像就是客观景物在人眼 中形成的影像图像信息不仅包含光通量分布，而且还包含人类视觉的主观感受， 随着计算机技术的迅速发展，人们还可以人为的创造出各种人工图像人类社会已 经进入了信息时代，对信息的获取，加工，传输构成了重要的基础性工作今天， 计算机和网络技术得到了空前的发展，我们所面对的图像绝大多数是离散化的，并 且以数字的形式存储在计算机中，它们被称为数字图像在计算集中对数字图像的 处理和操作被称为数字图像处理虽然数字图像处理的基础建立在数学和概率统计 表示的基础上，但人的直觉和分析在评价一种具体的图像处理技术的时候依然起着 主体作用，这种评价常常是主观的视觉判断在目前的许多情况中，由于图像处理 的技术还不很成熟，许多客观的图像评价标准有待完善，所以主观的视觉判断依然 是图像处理中的一个重要组成部分，本文也在一定程度上运用了。在主观上取得了 比较好的效果”这种提法 1 2 图像分类 在介绍图像的数学模型之前，在此先对图像做一个分类针对不同的分类标准， 可能会产生不同的分类方法这里，只讨论按照颜色类型和运动类型的图像分类 第一，按颜色类型分，图像可以分为灰度图像和彩色图像，也就是通常所说的黑白 照片和彩色照片，其主要区别是灰度图像仅仅使用了颜色空间中比较特殊的一类颜 色，但包含了丰富的亮度层次；而彩色图像则使用了颜色空间中的大量颜色，包含 了亮度，颜色饱和度，颜色对比度等信息第二，按运动类型分，图像备份为动态 1 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 2 图像和静态图像简单地说，静态图像就是照片，动态图像就是电影，它是一组静 态图像在时间轴上的有序排列简单的，我们可以把一幅黑白照片认为是静态灰度图 像，一幅彩色照片认为是静态彩色图像，一部黑白的电影就是动态灰度图像，一部 彩色的电影是动态彩色图像 1 3 静态灰度图像的连续模型和离散模型 在所列出的图像分类中，静态灰度图像是最简单的一类图像，也是本文的主要 处理对象建立图像连续模型，是为了便于揭示其在图像处理过程中与偏微分方程 的关系，而因为最终的实现要通过计算机对其存储的数据进行相应的计算来完成， 所以要建立图像的离散模型一般来说，一幅静态灰度图像是一个定义在矩形区域 内的反映现实场景的灰度变化的组合，其中显示图像内容的那个区域被称为图像的 支撑集图像的物理模型是定义在支撑集q 上的一个映射，即u ：x q 一y ，其 中值域y 是所有灰度的集合一幅图像对应了一个具体的映射规则，依据不同的映 射规则就会得到不同的图像下面将物理模型转化为数学模型，这需要合适的表示 y ，以便将图像视作函数加以研究设亮度最低的纯黑色对应于0 ，亮度最高的对 应于1 ，其他的灰度根据亮度的不同而均匀的对应于 0 ，1 】之间的某个实数，这是一 个一一映射，借助于以下的关系“：x q 斗y 一 o ，l 】，这个模型就是灰度图 像的连续模型由于计算机只能接受和处理离散数据，必须把上述灰度图像的连续 模型转化为离散模型，这种离散化了的图像就是数字图像，相应的过程称为图像的 数字化将图像的支撑集，矩形区域q 分割离散化为一些按行和列排列的小方块， 每个小方块就被称为像素，在同一幅图像中，像素的大小是相等的既然如此，易 知支撑集就被看做一个m o 行，咖列的矩阵，图像中的每个像素都有一个离散的整 数坐标( x 1 ，x 2 ) ，0 z 1 m o ，0 x 2 n o 在离散的图像中，每个像素都被赋予一个 唯一的灰度值，记为u ( x 1 ，x 2 ) 这既是图像的离散化过程显然，对于离散的灰度 图像模型，为了便于处理，灰度值也要进行量化在目前的通用标准中，灰度被离散 化为2 5 6 个等级，它们是整数0 ，1 ，2 ，2 5 5 ，最黑的映射到0 ，最白的映射到2 5 5 ， 中间的灰度被均匀的划分整个离散灰度值的集合记为 0 ，1 ，2 ，2 5 5 】或者g ，由此 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 3 可得，灰度图像的离散模型就是t ：z q y 一【0 ，1 】一【0 ，l ，2 ，2 5 5 1 其中z = ( x l ，x 2 ) 是离散的 1 4 本文的研究内容与主要结果 基于图像边缘线的热传导方程放大算法 本论文的核心内容是基于偏微分方程的图像放大方法，论文中介绍了偏微分方 程在图像处理中的一些应用及几种经典的图像放大方法，创新之处是针对图像放大 时常会产生的边缘模糊的现象，提出了基于图像边缘线的热传导方程放大算法，在 一定程度上减少了图像边缘的模糊，取得了较好的实际效果 1 5 论文结构安排 本文总共由四章组成，各章内容安排如下： 第一章我们简要介绍了研究课题的背景，图像及数字图像的基本概念 第二章对偏微分方程在图像处理中的一些应用进行了介绍，例如基于偏微分方 程的图像分割，图像去噪，图像去噪的停止迭代准则 第三章介绍了几种图像放大的方法，例如双线性插值，n o w t o n - t h i e l e 插值方 法实现图像放大等，并且对一些简单的算法各出了计算机实现代码 第四章重点介绍了基于偏微分方程图像放大的一些方法基于偏微分方程，引 入边缘线概念，并且针对这一概念，提出了基于图像边缘线的热传导方程放大算法， 最后给出了数值实验结果 第二章偏微分方程图像处理的主要工作 2 1引言 图像处理与分析是信息科学与工程中的一个主要研究领域，而基于偏微分方程 的图像处理使图像处理领域中的一个重要分支图像处理采用偏微分方程的思想可 以追溯到d g a b o r 1 】和其后a k g a i n 的工作，但是这个领域实质性的创始工作应 该归功于j j k o e n d o r i n k 2 】和a p w i t k i n 3 各自独立的工作，他们在图像处理中 引入了尺度空间的严格理论在过去的2 0 年中，图像处理与分析吸引了许多数学 家的注意基于p d e s 的图像处理方法在这个领域得到了广泛的重视，因为他在平 滑噪声的同时，可以使边缘的以保持现在，源于变分方法和形变模型的偏微分方 程方法已经成为图像处理与分析的一个重要工具 基于偏微分方程的图像处理属于低层图像处理的范畴 4 1 ，其处理结果通常被 当作中间结果供其他图像处理方法进一步使用所以基于偏微分方程的图像处理的 应用几乎覆盖了整个图像处理领域，包括图像识别，图像分割，图像重建，图像边 缘提取，图像检索，图像放大，医学图像处理，彩色图像处理，动态图像分支等 采用偏微分方程做图像处理的一个重要优点是【5 】。由于数学界对于偏微分方 程的数值解有长期深入的研究，因此可以获得高度准确性和稳定性数值解在图像 处理和计算机视觉中引入偏微分方程理论，不仅有很多现成的成熟算法，而且提供 丰富的理论结果 2 2 基于偏微分方程的图像分割 图像分割技术就是把图像分割成具有相同的强度，颜色或纹理特征的若干子区 域 6 j ，并使它们对应不同的物体或物体的不同部分的技术图像分割的目的是把物 体从图像中分离出来，同时得到相应的边界在图像分割中要解决的两个关键问题 4 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 5 吲：一是怎样形成能把边界集和它所分割的区域联系在一起的模型，而是寻求表示 边缘集和区域两者之间几何的最有效方法 当前，尽管已提出了许多的技术和算法用于图像分割，但是这个问题仍然没有 通用的解决方法由d m u n f o r d 和j s h a h 8 1 提出的m u n f o r d - s h a h 变分模型是处 理图像分割的较为常用的方法，此外，利用参数形变模型和几何形变模型进行图像 分割也是比较重要的方法 。 m u m f o r d - s h a h 变分模型的主要思想是：给定一幅图像9 ( z ) ，图像分割的目标 就是寻找一个光滑的函数u ( x ) 和不光滑的集合k ( 用来表示边界) ，使以下的泛函 e ( u ，k ) = ( q l v u ( m ) 1 2 + p ( u 一夕) 2 d x + l e n g t h ( k ) ) ( 2 1 ) n k 最小，其中口，p 是参数这个公式有非常深刻的物理背景：( u 一9 ) 2 这一项可以 保证u ( x ) 与原图像g ( x ) 保持内容上的基本一致，l v u ( x ) 1 2 确保了绝大部分区域 是光滑的，而l e n g t h ( k ) 像是为了使图像的边界最简单，这三项的这种保证了图像 分割的效果这个模型理论深刻，可以同时进行图像去噪和分割，但是由于数学处 理上的困难，需要有效的数值逼近计算此外，由c h a n 和v e s e 8 提出了简化的 m u n f o r d - s h a h 图像分割模型 由m k a s s ，a w i t k i n 和d t e r z o p o u l o s 9 1 提出的参数形变模型，又称蛇模型或 活动轮廓模型，是一种曲线演化模型蛇模型的引人之处在于，他对于广泛的一系 列视觉问题给出了统一的解决方法该模型首次引进了变分法其基本思想是：首 先给定图像和初始曲线，然后使曲线沿法线方向演化，当运动到物体边界处时，则停 止演化，即已检测到图像中物体的边缘，其中物体边界的判别需依赖于传统的基于 图像梯度的边缘检测器该模型的数学表述如下： 定义图像u ( x ) ：qcr 2 一冗，形变曲线c ( s ) = ( z ( s ) ，可( s ) ) ，8 【0 ，1 】在图像 区域内使如下能量极小 e ( c ( s ) ) = 忍毗( c ( s ) ) + 艮t ( c ( s ) ) = 0 1 互1 ( q l c ，( s ) 1 2 + p ic ，( s ) i d s + lg ( 札( c ( s ) ) ) d s ) ( 2 2 ) 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 6 其中， 邑n 。( c ( s ) ) 是控制曲线形状的内能， q ，p 是调节参数；忍耐( c ( s ) ) 控制曲 线外部行为的势能，g c u c c c x ) ) 探测图像边缘特征的势函数，可取为- i v u ( x ) 1 2 或 - i v g 盯( z ) 宰u ( x ) 1 2 , v g 盯( z ) 为高斯函数，是的曲线被吸引到目标边缘 根据变分原理，由能量泛函e ( c ( s ) ) 得到c ( s ) 满足e u l e r 方程 q c ，( s ) 一p ( s ) 一v 夕( 让( c ( s ) ) ) = 0( 2 3 ) 然而，这个模型存在一些缺点：初始曲线选择要合适，否则容易陷入局部最小解； 不能处理曲线的拓扑变化；离散模型时，标记点的选择也是一个困难 为了克服以上困难，v c a s e l l e s ，r k i m m e l 和g s a p i r o 9 提出了侧地活动轮廓 模型，定义演化曲线c ( 8 ，亡) ，t 0 为人工时间参数，满足 塞= ( k g 一( v g ，) ) ( 2 4 ) 其中，k ，n 分别为曲线c ( 8 ，t ) 的曲率和单位法向量，需要用参数化方式计算，这是 很麻烦的；同时，还需要重新参数化拓扑变化后的曲线利用下面的水平集方法， 这些问题可以得到很好的解决 以曲线演化理论和水平集方法为基础的几何形变模型同样是一种曲线演化模 型，曲线演化理论研究利用几何参数描述曲线的形状变化，预先沿着法线方向的形 变可用以下偏微分方程描述 窑：v ( k ) n ( 2 5 ) 疣 、_ 7 其中，v ( k ) 是速度函数，决定了曲线的演化速度在曲线演化理论中，研究的最 多的是曲率形变和常数形变，它们各有特点 s j o s h e r 和j a s e t h i a n 1 0 】提出的水平及方法是曲线演化的一种实现方法，他 将曲线隐含的表达为更高位的曲面的一个水平集，因此可以适应曲线的拓扑变化 定义曲线c ( 8 ，t ) 为下列水平集函数的零水平集 ( c ( s ，) ，t ) = 0( 2 6 ) 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 1 丝o t + v ，o 优c = o ( 2 7 ) 将方程甏= y ( 七) 和单位法向量= 青啬( 假设在零水平集内是负的，在外 是正的) ，代入方程喾+ v ，优o c = o 得到裳= y ( 圳v i 其中，曲线c ( s ，t ) 的曲 率为梏v 尚 实现水平集方法时，还需要解决一些问题例如，水平集函数的选择，速度函 新的扩屠等 2 3 基于偏微分方程的图像去噪 利用偏微分对图像进行处理的最早应用是图像滤波去噪，作为一种预处理手 段，图像滤波几乎成为所用图像处理方法的前奏早在1 9 8 4 年，k o e n d e r i n k 1 0 】就 发现了图像信号经过高斯滤波后的结果与热传导方程存在一定的联系在许多场合 中，图像滤波作为一种图像预处理手段，他需要满足两个限制条件，即对比不变和仿 射不变而仿射不变可以被分解为平移不变，旋转不变，欧式不变，伸缩不变等满 足相关不变性条件的滤波器都有对应的一族偏微分方程，随着不变性条件的增强， 对应的偏微分方程的范围在缩小最后，满足对比不变和仿射不变的偏微分方程只 有一个，即所谓的a m s s 方程， 蓑掣 ( 2 9 ) l a l v a r e z ，f f u i c h a r d ，p l l i o n s 和j m m o r e l 等将整个推导过程进行了巧妙的组 织，形成了一个公理体系 图像滤波去噪指的是利用各种滤波模型，通过多点平滑等方法从已知的含有噪 声的图像中去掉噪声成分【1 1 1 为了抑制图像中的噪声，可以使用很多常规的方法， 例如均值滤波，中值滤波，顺序统计滤波，低通滤波，维纳滤波，以及由这些滤波方 法衍生而来的许多其他滤波器，包括模糊滤波器，自适应均值滤波器，基于边缘特 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 8 征的滤波器等，上述各种滤波方法都能在一定程度上滤除图像中能够存在的噪声 与以往的某些经典去噪方法相比，利用偏微分方程不但能够较好的抑制噪声，并且 能够保留图像原有的边缘和纹理特征，提高抑制噪声和图像复原的效果 偏微分方程去噪理论首先是从g a u s s 滤波引入的理论研究和数值运算均表 明，大部分局部滤波算子都能转化为微分算子对于二维图像f ( x ，y ) 而言，最为广 泛的方法就是将，( z ，y ) 视为一个均匀( 图像各点处的扩散系数相同) 线性扩散过程 繁乒 ( 2 1 0 ) 但是这种扩散方程由于其均匀扩散性，使得其不能再去除噪声的同时保留边 缘，而只能在两者之中去一个折衷 要改进均匀扩散的高斯滤波带来的缺点，一个自然的想法就是考虑利用图像结 构的先验信息，减少在边缘处的扩散以在去噪的同时更好的保持边缘一个简单的 思路就是将梯度算子作为边缘检测算子，构造扩散系数为原始图像梯度的函数，在 梯度小的地方( 图像的平坦处) 具有较大的扩散系数，而在梯度大的地方( 边缘处) 具有t l t l j , 的扩散系数，因而它能够有效的去除平坦处的噪声，而保留边缘不变，这 种方程我们成为线性非均匀扩散方程 瓦0 u = d i 秒( c ( f w , 0 1 2 ) v 饥) ( 2 1 1 ) c(ivuol2卜万赫(212v * u 0 ) 上十iv 。 一 但这种方法存在两个方面的缺点：第一是它依据原始图像的梯度来判断边缘，这种 判断无疑会受到噪声的影响而产生误差：第二是它在边缘处的扩散系数取得很小， 这实际上相当于没有对边缘处的噪声进行处理，因而边缘处的噪、声几乎保持不变 为了解决线性非均匀扩散方程中的第一个问题， 种非线性扩散方程 警硝叱( i v 让i 2 ) v u ) p e r o n a 和m a l i k 1 2 】提出了一 ( 2 1 3 ) 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 9 这种方程在迭代的过程中不断地根据最近一步所获得的图像梯度作为边缘检测算 子。因而能减少噪声对边缘检测的影响，但是这种方程仍然没有解决边缘上的噪声 处理问题 为了解决边缘处去噪问题，j w w i c k e r t 1 3 - 1 4 等人在非线性扩散方程的基础上 进一步研究了非线性各向异性扩散方程 善掣刮弛) ( 2 1 4 ) i 乱( z ，0 ) = u o ( x ) 这种方程将扩散系数d 设计为一个矩阵( 称为扩散张量) ，并使得它总是在沿边缘 的方向上具有较大的扩散系数，而在垂直于边缘的方向上具有较小的扩散系数，这 样就既能保证边缘的保留又能保证对边缘处的噪声进行处理 在这些研究的基础上，为进一步解决边缘处的模糊问题，g u yg i l b o a 1 5 】等人 研究了一种前后向扩散方程 一o u ：一c v 2 u ( x ，亡) (215)0t 一2 一 ，艺)l 厶 其中 c ( s ) ： 1 一( s k 1 ) n o s k ( 2 1 6 ) 10 ，e l s e 这种方程在边缘处的扩散系数取负值，目的是是模糊的边缘得到锐化而为了解决 二阶扩散方程中存在的“块状”效应，y u - l iy o u 1 6 】等人研究了四阶扩散方程： 塞= l q ( i a u | ) 翻 ( 2 1 7 ) 这些研究结果都较好的解决了灰度图像的有关去噪问题 2 4 图像去噪的停止迭代准则 如前文所述，对图像去噪的理论基础已经完备，但是，在实际对离散的数字灰 度图像的处理中，由于多数偏微分方程都没有解析解，以上各种基于偏微分方程的 平滑滤波方法都是采用数值迭代的方法获得滤波结果，也就是说这些方法得到的是 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 1 0 一系列逐步平滑去噪的图像，在逐步平滑的过程中，希望最大限度的去除噪声，又 要适当的停止迭代，防止扩散模型破坏图像信息如果扩散时间t ( 由于扩散时间最 终通过迭代次数表现出来，在此对扩散时间与迭代次数不加区分) 太小，难以获得 满意的效果；如果太大，则会出现过光滑反而错过了最佳滤波效果，由此带来了一 个关键的问题；为了获得最好的平滑滤波效果，什么时候停止迭代? 在实际应用中，上述问题可以归纳如下设v = ，+ 扎，秽表示初始图像， 表示理想的无噪声图像，佗代表噪声扩散滤波过程也就是获得从“o = 秒到u 。的 一系列解的过程 假设，表示理想的无噪声图像与噪声n 不相关，借用随机过程中相关系数的 概念，可以得到一种简单而实用的去相关最优停止准则【1 6 1 设u 。为在时间t 处获 得的最佳效果图像，可以用u o u 。表示图像噪声，那么u t 与u o u t 应该有最小 的相关性，也就是说，把滤除噪声的过程看成是。除去”“噪声”与滤波图像的相 关性的过程，基于这一思想，计算相关系数； c o r r ( u o - - u t ，u t ) = 考等揣 ( 2 1 6 ) vu “o 一“t ，u u k “t ， 其中 c d ( z ，y ) = e 【( z 一虿) ( y 一可) 】 v a r ( x ) = e ( z 一牙) 2 】 选择最优停止时间t 使得相关系数c o r r ( u o 一札。，u t ) 达到最小，这就是所谓的去相 关最优停止准侧 去相关最优停止准则的优点在于它并不需要预先知道图像噪声的方差信息( 这 一要求往往难以满足) 再选定滤波模型的前提下，利用原始图像咖可以求得各个 时间的滤波图像t 。，从最优停止准则中可以看出，最优时间t 由初始带噪声的图像 唯一确定，而不需要任何其他附加信息无论是对于线性模型还是非线性各向异性 扩散模型该准则都可以应用，有着很强的通用性 第三章图像放大的各种方法及其算法代码 3 1 引言 本章介绍了几种经典的图像放大的方法，并对几种简单的算法给出了p a s c a l 的 算法实现【1 7 1 ，但为了避免重复，基于偏微分方程的图像放大方法的理论思想及算 法的阐述在第四章展开 3 2 最近邻点插值 最近邻点插值又称零阶插值它输出的像素值等于距离它映射到的位置最近的 输入像素值对于二维图像，该法是“取代采样点周围4 个相邻像素点中距离最近 的1 个邻点的灰度值作为该点的灰度值”插值公式： f ( i + t ，j + v ) = f ( i ，j ) ( 3 1 ) 其中t ，j 均为非负整数，乱，钉为0 ，1 ) 区间的浮点数，一般可取0 5 ，厂( t ，j ) 表示源 图像( i ，j ) 处的像素值 算法实现： f u n c t i o nn e a r e s t ( x ，y , r e a l ) ：b y t e ； v a ri , j ：i n t e g e r ； b e g i n i ：= r o u n d ( x + u ) ； j ：= r o u n d ( y + v ) ； n e a r e s t ：= f ( i , j ) ； 1 1 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 1 2 e n d ； 3 3 双线性插值 双线性插值又称为一阶插值，它先对水平方向上进行一阶线性插值，然后再对 垂直方向上进行一阶线性插值，而不是同时在两个方向上呈线性，或者反过来，然 后将两者合并起来，这种方法是利用周围4 个邻点的灰度值在两个方向上做线性内 插以得到待采样点的灰度值，即根据待采样点与相邻点的距离确定相应的权值计算 出待采样点的灰度值 插值公式的推导：令f ( x ，y ) 为二维函数，设其在单位正方形顶点的值已知 通过插值得到正方形任意点的l ( x ，y ) 值，可令由双线性方程 f ( x ，y ) = d + a x + b y + c x y( 3 2 ) 定义的一个双曲抛物面与四个已知点拟合，从a 到b 这四个系数须有已知的四个顶 点的f ( x ，y ) 值拟合，首先，对上端的两个顶点进行线性插值可得 f ( x ，0 ) = f ( o ，0 ) + x f ( 1 0 ) 一f ( o ，o ) 】( 3 3 ) 类似地，对于底端两个顶点进行线性插值有 f ( x ，1 ) = f ( o ，1 ) + x f ( 1 1 ) 一f ( o ，1 ) 】 ( 3 4 ) 最后，做垂直方向的线性插值，以确定： f ( z ，y ) = f ( x ，0 ) + y f ( x ，1 ) 一f ( x ，o ) 】( 3 5 ) 将上述三个公式带入，展开等式并合并同类项可得 f ( x ，y ) = 【f ( 1 ，o ) - f ( o ，o ) 】z + ，( o ，1 ) - f ( o ，o ) 】+ 【厂( 1 ，1 ) + ，( o ，o ) - f o ，o ) - f ( o ，1 ) x y + f ( o ，0 ) 在这里，四个顶点分别为( 0 , 0 ) ，( o ，1 ) ，( 1 ，0 ) ，( 1 ，1 ) ，将其一般化为任意点( ，歹) ，( i ，j + 1 ) ，( i + l ，歹) ，( i + l ，j + 1 ) 则可以得到通用的插值公式： f ( i + u ，j + v ) = ( 1 - u ) ( 1 - v ) f ( i ，j ) + ( 1 - u ) v f ( i ，歹+ 1 ) + 仳( 1 一u ) ，( z + 1 ，j ) + u v f ( i + l ，j + 1 ) ( 3 6 ) 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 1 3 其中，i ，j 均为非负整数，u ，口为 0 ，1 ) 区间的浮点数，换句话说，( i + u ，歹4 - 口) 的像素值可由原图像中坐标为( z ，歹) ，( + 1 ，歹) ，( ，歹+ 1 ) ，( i4 - 1 ，j + 1 ) 所对应的周围 四个像素的值决定算法实现： f u n t i o nb i l i n e a r ( x ，y ：r e a l ) ：b y t e ； v a ri , j ：i n t e r g e r ； v a ru ，v ：r e a h v a rc o l o r ：i n t e g e r ； b e g i n i ：= r o u n d ( x ) ； j ：= r o u n d ( y ) ； u ：= x - i ； v ：= y - j ； d e s t ：= ( 1 一u ) 木( 1 一v ) 木f ( i ，j ) + u 木( 1 一v ) 木f ( i + 1 j ) + v 宰( 1 - u ) 宰f ( i ，j + 1 ) + u 木v 宰f ( i + 1 ，j + 1 ) ； c o l o r ：= r o u n d ( d e s t ) ； i fc o l o r i 0t h e nc o l o r ：= a b s ( c o l o r ) ； i f ( c o l o r , m a x c o l o r s ) t h e nc o l o r ：= m a x c o l o r s ； b i l i n e a r ：= c o l o r ； e n d ； 3 4 双三次插值 双三次插值又称为立方卷积插值，是一种更加复杂的插值方式，即不仅考虑到 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 四个直接邻点灰度值的影响，还考虑到各邻点间灰度值变化率的影响，利用了待采 样点周围更大邻域内像素的灰度值做三次插值此法用了如下表达的三次多项式t 插值公式： 其中： 算法实现： i1 2 1 w 1 2 + i 伽1 30 i w i 1 s ( 叫) = 4 8 i 叫i + 5 i 叫1 2 一i 伽1 31 i w l 2 f ( i + u ，j + 钞) = a 木b ，i cc( 3 8 ) a = ( s ( 1 + u ) s ( u ) s ( 1 一u ) s ( 2 一让) ) ( 3 9 ) y ( i 一1 ，j + 0 ) f ( i + 0 ，j + 0 ) f ( i + 1 ，歹+ 0 ) f ( i + 2 ，j + 0 ) f ( i 一1 ，j + 1 ) ， ( i + o ，j + 1 ) ， f ( i + 1 ，歹+ 1 ) f f ( i + 2 ，j + 1 ) f f u n c t i o nb i c u b i c ( x ，y ：r e a l ) ：b y t e ； v a ri ，j ：i n t e g e r ； 兔 v a ru 钉：r e a l ； v a rd e s t ：r e a l ； v a tt l ，t 2 ，t 3 ，t 4 ：r e a l ； 1 + 0 + 1 + 2 j + 2 j + 2 j + 2 j + 2 ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) 1 上1 工 1 l 一 一 一 一 j 1 o 1 2 一 + + + 0 ， ，iii。-。一 = 8 功 功 、- ，+ 一 一 s q s s c ，) ，j-一 = c 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 v a rc o l o r ：i n t e r ； b e g i n i ：= r o u n d ( x ) ； 歹：= r o u n d ( y ) ； t ：= z 一0 ： u ：= y j ； 1 5 t l = 一t 正木( 1 一牡) 2 ，( t 一1 ，歹一1 ) + ( 1 2 u 2 + u 3 ) ，i cf ( i ，歹一1 ) + u 丰( 1 + u 一乱2 ) l c ，0 + 1 ，j 一1 ) 一u 2 ( 1 一缸) 木，( z + 2 ，j 一1 ) ； t 2 = 一u 爿c ( 1 一牡) 2 木，( z l ，歹) + ( 1 2 u 2 + t 正3 ) 木，( z ，j ) + u 木( 1 + 让一1 5 2 ) ，i cf ( i + l ，j ) 一u 2 ( 1 一u ) 木f ( i + 2 ，歹) t 3 = 一u 木( 1 一珏) 2 木f ( i 一1 ，j + 1 ) + ( 1 2 仳2 + u 3 ) 宰f ( i ，歹+ 1 ) + u 木( 1 + u 一 乱2 ) 木f ( i + 1 ，j + 1 ) 一t 2 ( 1 一t ) 木f ( i + 2 ，j + 1 ) t 4 = 一乱爿c ( 1 一札) 2 木f ( i 一1 ，j + 2 ) + ( 1 2 u 2 + 札3 ) 木f ( i ，j + 2 ) + 让木( 1 + u 一 2 ) 木f ( i + 1 ，j + 2 ) 一1 5 2 ( 1 一u ) 木，( t + 2 ，歹+ 2 ) d e s t ：= 一u 木( 1 一u ) 2 半亡1 + ( 1 一 2 v 2 + 口3 ) 木亡2 + 爿c ( 1 + 移一钞2 ) ：i c 亡3 + u 2 爿c 一1 ) , t 4 c o l o r ：= r o u n d ( d e s t ) ； i f c o l o r m a x c o l o r s ) t h e nc o l o r ：= m a x c o l o r s ； b i c u b i c ：c o l o r ； 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 1 6 3 5 利用n e w t o n - t h i e l e 插值方法实现图像放大 3 5 1n e w t o n 多项式，t h i e l e 连分式插值方法 设x = z 1 ，z 2 ，z n ) c 【a ，6 】cr 是一实点集，函数f ( x ) 在 a ，6 】有定 义，则可构造礼次n e w t o n 形式插值多项式 使得 其中 ( z ) = m 咿1 ) 吣t ) 咄( z ) i = 0 ( 如)= ，( 筑) ，i = 0 ，1 ，n i - i 龇( z ) = 1 ，咄( z ) = i i ( x - x k ) ，i = o ，1 ，他 k - - 0 而f ( x 1 ，z 2 ，翰) 是函数f ( x ) 在结点x l ，x 2 ，甄处的i 阶差商 其插值误差表达式为 m ) 一嘶) = 坠等寿型 其中( 【a ，6 】，详细理论及例证见 1 8 - i 9 】 f n + l ( ( ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) 对给定的点集x 和函数，( z ) ，我们还可以构造非线性的有理函数风( z ) ，使得 r ( 甄) = f ( x ) ，( i = 0 ，1 ，n ) ，r ( z ) 可借助下述t h i e ! e 型连分式表示 r ( z ) = ) + 硒。g - - 而x 0+ 翮2 ；- - x l + + 丽杀等丽( 3 1 5 )+ 硒石两- 叶硒忑韵【& 1 5 其中( z l ，z 2 ，甄) 为函数f ( x ) 在x l ，x 2 ，戤处的i 阶逆差商r ( z ) 是分子为【t n + l 】次，分母为 考】次的有理函数，此处【z 】表示不超过z 的最大整数 记心( z ) = 会器，那么，当z k 6 】时插值误差表达式为 他) 一锱= 与熹裂，c i f ( 城】兰舴【n j 6 】( 3 1 6 ) 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 1 7 定义b o = ( 黝) ，b l = ( z o ，x 1 ) ，k = 咖( z o ，z 1 ，x n ) ，a 一1 = 0 ，b 一1 = 。，a 。= 6 ；d ，岛= 1 ，忍( z ) = 丽a n ( x ) ，则相邻三个连分式之间有递推关系式 a i ( x ) = b i a i l ( x ) + ( z z 一1 ) a 一2 ( z ) ，i = 1 ，2 ，礼 鼠( z ) = b i b i l ( x ) + ( z z l 1 ) 鼠一2 ( z ) ，i = 1 ，2 ，几 3 5 2 n e w t o n - t h i e l e 插值方法实现任意精度图像放大 ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) 设输入图像f ( x ，y ) 是一个m ，cn 的数字图像，是一个采样点在整数点上的二 维离散信号，处理后的图像，7 ( z ，耖) 大小为m 7 ，c 7 ，则在z 方向上的伸缩比为筹， 在可方向上的伸缩比为筹 因此，原图像的像素点值p ( i ，j ) ，i = 0 ，一1 就是处理后图像的插值 结点i 【i 木箸】，u ，c 筹】i ，i = o ，1 ，一1 的值通常，对二维离散信号的插值 是先对行( 或列) 插值，再对列( 或行) 插值为了减少计算时间和提高插值效果， 对行和列采用分段插值的方法；另外为保证插值的连续性，前后两端插值端点首尾 重叠两点 数字图像的灰度值只能取有限个值，并且为整数，所以在利用上述有理插值函 数进行插值时，可能会出现插值函数不存在或出现插值奇异点问题为解决这个问 题，可采取如下办法 ( 1 ) 改变插值点的位置，向后退重新调整插值结点集； ( 2 ) 调整插值结点的个数以改变a n ( z ) 和b ；( z ) 的次数，但结点个数不少于三 个； ( 3 ) 采用n e w t o n 插值 3 5 3其他图像插值放大的方法 以下将介绍图像放大的另两种方法【2 0 l 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 1 8 3 5 3 1 样条内插法 样条是一段段的三次多项式曲线拼接而成的曲线，在拼接处不仅函数是连续 的，而且一阶导数，二阶导数也是连续的，所以样条曲线具有良好的光滑性基于 三次样条插值的构造理论【2 ，用原