（基础数学专业论文）三次hamilton系统的拓扑分类.pdf

独创声明 v5 9 8 1 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他入已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 ( 注：如没有其他需要特别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或 证书使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：拷孚 导师糠名秀狄 签字日期：2 0 0 4 年牛月多日签字日期：20 0 4 年( 厂月以日 索经作者、导卿川蒜 垒文公布 三次h a m i l t o n 系统的拓扑分类 吕军亮 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 本文主要是研究三次h a m i l t o n 系统的全局拓扑结构在文献 3 7 中，l l i b r e 主要研究了二次h a m i l t o n 系统的拓扑结构，得到了2 9 种全局拓扑相图 本文根据【1 9 】中l l i b r e 代数分类的思想，借鉴了 3 7 1 中的研究方法；同时综 合了张芷芬教授、李学敏教授、陆毓膦等人对于高次奇点的研究思想和方法进行讨 论主要内容为： 一采用代数不变式理论，对二元四次代数多项式进行代数分类，其中参考了 杨信安、张剑锋等人的结果根据空间直和的理论，对三次h a m i l t o n 系统进行拓 扑分类，得到了i i x 九种类型本文第一部分主要是研究至少有一个有限奇点 的1 + 3 次h a m i l t o n 系统，即j 一j x 7 的拓扑结构对于i 一i x 7 ，分别研究其 有限奇点及无穷远奇点的类型和性质，对于，得到了7 种全局相图及其存在的系 数条件，对于，得到了4 种全局相图及其存在的系数条件对于i i i 得到了7 种 全局相图及其存在的系数条件，对于，y 7 得到了5 种全局相图及其存在的系数条 件，对于y ，得到了9 种全局相图及其存在的系数条件，对于y ，得到了9 种全 局相图及其存在的系数条件，对于v i i 得到了1 1 种全局相图及其存在的系数条 件，对于矿，7 得到了1 1 种全局相图及其存在的系数条件，对于i x 得到了3 种 全局相图及其存在的系数条件但是，其中有些系统作的结果并不是很完善 二本文的第二部分主要研究了具有一条和两条直线解的1 + 2 + 3 次h a m i l t o n 系统( 3 1 ) 和( 3 2 ) ，对于( 3 1 ) 得到了1 2 种全局相图及其存在的系数条件以及分支 图，对于( 3 2 ) 得到了1 4 种全局相图及其存在的系数条件以及分支图 三在第四章中，主要讨论了三次h a m i l t o n 系统在一类小扰动一椭圆扰动下 存在极限环的一类条件 尖点 关键词th a m i l t o n 系统全局相图有限远奇点无穷远奇点鞍点中心 分类号：0 1 7 5 1 2 2 c u b i c a lh a m i l t o nv e c t o rf i e l d st o p o l o g i c a l c l a s s i f i c a t i o n l v j u n l i a n g s c i e n t i f i ci n s t i t u t eo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w em a i n l yd i s c u s st h eg l o b a l l yt o p o l o g i c a ls t r u c t u r eo ft h e c u b i c a lh a m i l t o n i a nv e c t o rf i e l d si nt h ep l a n e a si nt h ep a p e r1 3 7 ，l l i b r eh a s s t u d i e d t h eq u a d r a t i oh a m i t o n i a nv e c t o rf i e l d sa n dh a sg o t2 9k i n d so f t o p o l o g i c a ls t r u c t u r e h e r e ，w eu s et h et o o l sa n d t h em e t h o d so ft h ep a p e r 【1 9 t h em a i nt e c h n i q u e su s e d i nt h i sp a p e ri n c l u d et h et h o r l g h to fa l g e b r a i cc l a s s i f i c a t i o no fl l i b r e s ，t h ei d e at o h i g h o r d e r c r i t i c a lp o i n to fp r o f e s s o rz h a n gz h i f e n ，l ix u e m i na n dl uy u l i ne t c t h e d i s c u s s i n gp r o c e s sf o l l o w st h eb e l o ws t e p s ： a tf i r s t ，b ym e a n so ft h et h e r o yo fa l g e b r a i ci n v a r i a n t ，w em a k ea l g e b r a r i cc l a s s i f i c a t i o nt ob i n a r yq u a t i ch o m o g e n e o u sp o l y n o m i a la n dr e f e rt ot h er e s u l to fy a n g x i n a na n dz h a n gj i a n f e n g a c c o r d i n gt ot h et h o u g h to ft h ed i r e c ts u mi nt h e p l a n e ，w em a d e t h et o p o l o g i c a lc l a s s i f i c a t i o nt ot h ec u b i c a lh a m i l t o n i a nv e c t o rf i e l d s a n d g e tt h ec l a s s i f i c a t i o no f 1 一i x i nt h ef i r s tp a r to ft h ep a p e r ，w em a i n l yd i s c u s s d e g r e eo n ep l u sd e g r e et h r e eh a m i l t o n i a n v e c t o rf i e l d sw h i c hh a sa t1 e a s to n ef i n i t e c r i t i c a lp o i n t ，t h a ti s ，i 一，x f o rt h e s es y s t e m si 一i x ，w es t u d yt h e i rf i n i t ea n d i n f i n i t ec r i t i c a lp o i n tr e s p e c t i v e l y i nl i g h to ft h e s ec r i t i c a lp i o n t s c l a s s i f i c a t i o na n d n a t u r e ，w eg e te v e r ys y s t e m 8g l o b a l l yt o p o l o g i c a lp h a s ed i a g r a m a n dt h ec o e f f i c i e n t c o n d i c t i o no ft h e s ed i a g r a m s b u t ，s o m eo ft h e s es y s t e m sh a v en o tb e e no b t d i n e d p e r f e c tr e s u l t s e c o n d ，i nt h es e c o n dp a r to ft h ep a p e r ，w es t u d yd e g r e eo n ep l u sd e g r e et w o a n dp l u sd e g r e et h r e eh a m i l t o n i a ns y s t e mw i t ho n eo rt w ol i n e a rs o l u t i o na n dw e g e tt h e i rg l o b a l l yt o p o l o g i c a lp h a s ed i a g r a mr e s p e c t i v e l y i nt h el a s tp a r to ft h ep a p e r ，w ef i n dt h el i m i tc y c l ec o n d i c t i o no ft h ec u b i c a l h a m i l t o n i a nv e c t o rf i e l d su n d e rs m a l lp e r t u r b a t i o n e l l i p t i cp e r t u r b a t i o n k e yw o r d s ：h a m i l t o n i a ns y s t e m g l o b a ld i a g r a mf i n t es i n g u l a rp o i n t i n f i n i t es i n g u l a rp o i n t s a d d l ep o i n tc e n t e r c u s pp o i n t c l a s s i f i c a t i o n ：0 1 7 5 1 2 3 第一章综述及预备知识 1 1 综述 微分方程这一数学分支一方面是数学分析的理论研究的重要对象之一，另一 方面，它又是数学科学与天文学、力学与物理学及其他科学部门之间的主要联系之 一常微分方程的应用与研究开始于距今约四百年前约翰纳皮尔( j o h n n a p i e r 1 5 5 0 1 6 1 7 ) 实际上应用了常微分方程以计算正弦对数表接着，由于力学、物理学 和几何学等的需要，常微分方程在一系列的大数学家如牛顿( n e w t o n ) 、莱布尼兹 ( l e i b n i z ) 、欧拉( e u l e r ) 和拉格朗日( l a g r a n g e ) 等的工作中得到了巨大发展，这 一时期它的中心问题是解的求法 十九世纪初期，数学分析中所产生的划时代飞跃，即极限与连续等的严格概念 与方法的建立，引起了常微分方程基本理论的重大发展柯西( c a n c h y ) 严格证明 了在当时相当广泛的条件下微分方程解的唯一性，这就使得微分方程的研究建立在 坚实的基础之上但是，另一方面，实际求解却日益遭到困难，特别是1 8 4 1 年法 国数学家刘维尔( l i o u v i l l e ) 证明了黎卡提( r i c c a t i ) 方程 ， ， 孚= p ( x ) y 2 + q ( x ) y + r ( x ) ( p ( x ) 0 ) z 只有若干已为贝努利( b e r n o u l l i ) 所研究的特殊类型才可以用积分求解，而对一般 的函数尸( z ) ，q ( z ) ，r ( z ) ，则其解不可能表为积分 为了解决这一矛盾，在十九世纪后半期，常微分方程理论中出现了两个重要方 向：一个方向是与代数学的发展相关联的加罗亚群的概念在代数学中的成就的影响 扩张到数学中的其它分支，例如几何学中克莱因( k l e i n ) 的分类法在微分方程中 则出现了李氏( l i e ) 的工作，李氏引入了无限小的概念，依靠它将微分方程分类， 一方面得到了若干类型可以用积分表示其解，另一方面也揭露了更为广泛的类型是 不可能如此求解的 微分方程理论发展的古典时期，自牛顿与莱布尼兹开始，截至十九世纪后半叶 李氏的著作大致结束这一时期的基本问题是z 用初等函数及初等函数的积分求出 微分方程的通解，并尽量扩大这种解法的应用范围但不久之后，就发现了有绝大 多数微分方程及微分方程组不能这样求出因此，想用这种方法创造一套微分方程 的一般理论也是不可能的事同时，在数理的自然科学( 多半是力学，尤其是天体力 学) 问题里，往往需要解出较复杂的微分方程由于数学上及实践上的这种需要， 微分方程的数值积分法已经有了广阔的发展直到现在，凡遇必须求出数字答案的 具体问题，莫不使用此法，这个方法的主要缺点是：在原则上，它只能给出一个特 解，如欲求另一解，必须从头另做，因此，数值积分法不能作为微分方程一般理论 的根据 4 线性微分方程的一般理论，基本上已由古典的研究方向打下了基础如，解与 积分常数及原始条件( 即初值) 的相关性定理，以及由特解求出通解的方法( 拉格朗 日方法) 等非线性方程的理论，起源于柯西( 十九世纪前半叶) ，当他证明在一定 条件下解的存在和唯一性定理时，不但用了复变函数的方法( 利用高阶导数) ，并且 用了实变分析的方法( 用折线逼近积分线) 其他的主要结果；在复变方面，来自庞 卡莱( p o i n c a r d ) ( 解与参数的相关性) 和班乐卫( p a i u l e v g ) ( 解与初值的相关性) ；在 实际方面，来自毕卡( p i c a r d ) ( 逐步逼近法及其推论) 和林德劳夫( l i n d e r l s f ) ( 对于 初值微分) 在微分方程的一般理论中，占重要地位的是庞卡莱创始的定性理论从1 8 8 1 1 8 8 6 年其连续发表的“微分方程定义的积分曲线”( s u rl e sc o u r b e sd f i n i e s p a ru n e d q u a t i o nd i f f d r e n t i e l l e ) 为题的论文，在他研究的问题里，不但必须知 道方程的解在一段有限时间的性质，并且必须知道该解在时间无限增加时的变动状 态，从庞卡莱起，这一方面的研究，主要是右端不含t 的方程组一也就是后来白 克浩夫( b i r k h o f f ) 定名为动力系统的那些方程组一阶形式为 一个 “- z “- = ( o l ，z 2 ，一，z n ) ( i = 1 ，2 ，n ) ( 1 1 1 ) l 这里的变数z 1 ，z 2 ，茁。可以看作n 维空间( 相空间) 里点的坐标动力系统( 1 1 1 ) 的每个解规定出一个运动该解的图形叫做轨道( 积分线) 庞卡莱对于平面积分线( 7 , = 2 ) 时的方程组( 1 1 1 ) 所规定的积分线做了充 分的定性描述后来，班狄克生( b e n d i x s o n ) 把庞卡莱的结果更加完善在方程组 ( 1 1 1 ) 的通款反面。庞卡莱只得到初步结果李雅普诺夫( l i a p u n o v ) 却不仅研究 了( 1 1 1 ) 的通款，并进一步研究了右端直接含t 的方程组 一个 = 导= ，l 瓴x l ，勘，z 。) ( i = 1 ，2 ，扎)( 1 1 2 ) 李雅普诺夫所研究的基本问题是：测验方程组( 1 1 2 ) 的解尤其是代表平衡和周 期运动的解一t 轴上无穷间隔内，对于初值的微小变异是否稳定无论是稳定性理 论还是定性理论里，更为重要的是关于( 1 1 1 ) 的奇点的研究所谓奇点，就是满足 方程组 ( 历l ，z 2 ，卫。) = 0 ( i = 1 ，2 ，礼) 的点关于平面积分线( 即竹= 2 ) 在奇点附近的分布问题，我们要回朔到庞卡莱，班狄克生和其他著作者们；关于在 n 维空间里( 1 1 1 ) 的奇点有何特性远未达到完善的阶段 定性理论的特点之一是它的产生与发展都与生产实践和物理、力学以及工程技 术问题紧密联系着，庞卡莱、李雅普诺夫创造这理论就是与他们密切关心当时吸 引数学家的天体力学分不开的后来，从二十世纪三十年代起。定性理论的发展也 是有与生产实践的相结合由于新的物理、力学及工程技术问题的推动及无线电技 术、自动控制等的发展，特别是人造地球卫星、宇宙飞船等最新科学技术的发展， 5 定性理论的问题和意义又在新的条件下极大地得到扩展和丰富 获得较大发展的动力体系是具有不变积分的体系，例如，古典力学中哈密顿 ( h a m i l t o n ) 方程就属于这种体系哈密顿系统的理论自建立以来，一直是非线性领 域的一个重要组成部分由于哈密顿系统广泛存在于数理科学、生命科学以及其各 个领域，特别是天体力学、量子力学、航天技术及生物工程中的许多模型，都是以 哈密顿系统的形式出现因而对该领域的研究，多年来常盛不衰，而今已成为当今 非线性科学研究中的一个最富有成果而又生机勃勃的研究方向对于哈密顿系统庞 卡莱已经注意到它的重要性，而证明了“回归定理”但这个理论的最大成就却归 功于白克浩夫，他的著名诸能历经( e r g o d i c ) 定理( 1 9 3 2 年) 在统计力学上的用处 很多 但是，对于定性理论的研究，人们主要研究的是平面上的( 2 维) 系统，对于高 维系统的研究，相对来说成果要少的多，并且很不完善对于二维的情形的研究的 主要方法：求出该系统在有限平面和赤道上的奇点个数及分界线的走向，从而对该 系统的全局结构进行分类研究，并尽可能作出其全局相图总结前人的成果，人们 研究最多、最完善的主要是平面二次系统，叶彦谦教授在 2 】、 3 】中对二次系统 的发展及所用的主要方法作了全面的概括和总结但人们对三次及以上的系统的研 究却很少，并且很不完善，主要是对一些特殊情况下系统的研究对于哈密顿系统 的研究至今很完善的结果很少见，主要是1 9 9 4 年j c c r t e s 和j l l i b r e 在 3 7 】对 二次哈密顿向量场作了全面分类并得到了其2 9 种全局相图本文是在此基础上主 要讨论三次哈密顿系统的拓扑分类、1 + 3 次哈密顿系统的全局相图、某些特殊的 1 + 2 + 3 次哈密顿系统的全局相图及在小扰动下出现极限环的一类条件 6 1 2 ，预备知识和基本引理 给定微分方程组 等= p ( z ，9 ) 面d y = q ( z ，) ( 1 2 1 ) 其中e ( z ，y ) 、q 0 ，y ) c o ( 口) ，dc r 1 定义1 1 点( x o ，y o ) 称为向量场( p ( z ，y ) ，q ( x ，掣) ) 的奇点，如果满足p ( x o ，珈) = q ( x o ，y o ) = 0 假设d = 只( z o ，y o ) q y ( x o ，y o ) 一只( z o ，y o ) 饼( 跏，y o ) ，t = 只( x o ，跏) + q ( 锄，伽) 定义1 2 如果d 0 ，则奇点( z o ，蜘) 称为初等的，且当d 0 时，奇点( x 0 ，舶) 称为结点( 指数为 + 1 ) ；当4 d t 2 0 时，奇点( x 0 ，o ) 称为焦点( 指数为+ 1 ) ；当t = 0 d 时， 奇点( 正o ，y o ) 是细焦点或中心( 指数为+ 1 ) 定义1 3 如果d = 0 、t 0 ，则奇点( x 0 ，y o ) 称为半初等的如果( 3 7 0 ，y o ) 是孤 立奇点，且以0 0 ，y o ) 为轨道的正的极限集或负的极限集，那么这条轨道在( 3 2 0 ，y o ) 切于过点( z o ，y o ) 的两条相异直线，( 。o ，y o ) 则或者是( 拓扑) 鞍点，或者是( 拓扑) 结点，或者是( 拓扑) 鞍结点( 一个抛物扇形和两个双曲扇形组成) 定义1 4 如果d = t = 0 ，则奇点( 勘，y o ) 称为退化的另外，若在( z o ，y o ) 的j a c o b 矩阵不是零矩阵，如果( x o ，y o ) 是孤立的。那么它或者是一个( 单切) 鞍点 ( 指数为一1 ) ，或者是一个( 单切) 结点( 指数为+ 1 ) ，或者是一个( 单切) 鞍结点( 指 数为o ) ，或者是一个( 拓扑) 焦点或中心( 指数为+ 1 ) ，或者是尖点( 两个双曲扇形 组成，指数为o ) ，或者是一个椭圆鞍点( 一个椭圆扇形和一个双曲扇形组成，指数 为十1 ) 如果相量场的奇点( z o ，y o ) 是半初等的，则总可以经过非退化线形变换和时间 变换化为 豢= 酏苕面d y = y + q 2 ( 训) ( 1 删 并且假定o ( o ，0 ) 是( 1 2 2 ) 的孤立奇点，p 2 ( z ，y ) 、q 2 ( z ，y ) 在点o ( 0 ，0 ) 附近是 次数不低于2 的解析函数 引理1 1 1 2 4 设o ( 0 ，0 ) 是系统( 1 2 2 ) 孤立奇点，若在岛( 0 ) 内存在解析函数 y = 毋( z ) 满足 庐( 石) + q 2 ( 。，西( z j ) 三0 ，f o f 0 时，o ( 0 ，0 ) 是不稳定结点 ( 2 ) 当m 为奇数时，且a 。 0 0 ，则奇点0 ( 0 ，0 ) 为鞍点 如果a 2 。+ 1 0 ，b 。= 0 ，则奇点0 ( 0 ，0 ) 为中心或焦点 如果0 2 。+ l m 或1 1 , = m ，且a 0 ，则奇点0 ( 0 ，0 ) 为中心或焦点 礼为偶数n m 或n = m 且a 20 ，则奇点o ( o ，0 ) 为结点 礼为奇数n 1 ) ，则奇点o ( 0 ，0 ) 的性态如 下确定： 如果b 。= 0 或k 0 ，扎m ，则o ( 0 ，0 ) 为尖点，如图1 2 ； 如果b 。0 ，n 08 2 r a - i ，肛 ，d r 0 ，口f 0 ， 且协 0 或1 2 日；一珏f 2 0 口r ，d e 0 口= 士l ，d r = 0 ，研f 0 口= 士1 ，d f = 0 ，幻f 0 q = 4 - 1 ，d f = 0 ，嘶f 推论四次齐次多项式等价于以下十种形式： ，l ( y ) = 矿 ，2 ( z ，y ) = ( z 4 一y 4 ) ( 。，y ) = ；( 茁4 + 6 # x 2 y 2 + y 4 )( 卢 - i ) ，4 ( z ，y ) = x 3 y h ( x ，y ) = x 2 y 2 一y 4 ( z ，y ) = ( 掣4 + 6 2 2 y 2 ) ，7 ( 卫，y ) = j 1 ( 。y 一2 x y 3 + y 4 ) ，8 ( 髫，y ) = 一；( 茁2 9 2 2 x y 3 + y 4 ) ，9 ( z ，y ) = ( p 2 2 4 一( 1 + p 4 ) z 2 y 2 + 芦2 可4 ) ( p 1 ) 1 _ o ( z ，y ) = 0 证明通过代数性质我们能看到 等价于i x ；f 2 等价于i i i ；五等价于，或v i ；f 4 等价于v i i i ；f 5 等价于v ；f 6 等价于i v ； 、厶等价于v i i ；f 9 等价于i ；f l o 等价 于x 1 2 第二章1 + 3 次h a m i l t o n 系统的全局相图 2 1 三次h a m i l t o n 向量场的标准形式 设h 是一个关于两个变量的四次多项式，那么h 有1 4 个独立的系数因此， 对于三次h a m i l t o n 向量场( 等，一警) 依赖于1 3 个参数在这一节中，我们把三 次h a m i l t o n 向量场化成九种标准形式，最多依赖于1 0 个参数 定理2 1 设x 是一个三次h a m i l t o n 向量场，那么x 拓扑等价于下面九种标 准形式之一： i i i i ， r v i v i i v i i i i x 圣= p + 妇+ c 可+ e z 2 + 2 f x y + g y 2 + y 3 y = 一。一o , x b y 一出2 2 e x y f y 2 圣= 口+ b x + c t 1 + e z 2 + 2 f x y + g y 2 一y 3 y = 一a o , x b y d x 2 2 e x y y y 2 一z 3 y 掣o + c ! o , + x ! b + y ：d 2 x 篓2 e ”x 7 11 f 2 y 之笺竺3 # 矿x ：i 。c 一扣 = 一一一一 2 一2 一z 3 2 ” 川 圣= 口+ b z + c y + e x 2 + 2 f x y + 9 y 2 + z 3 y 。= 一口一o , x b y d x 2 2 e x y y y 2 3 x 2 y 圣= 口+ b x + c y + e 茁2 + 2 f x y + g y 2 + 2 x 2 y 一4 y 3 y = 一o l n z b y d z 2 2 e x y y y 2 2 x y 2 2 2 = 口+ b z + c y + e z 2 + 2 f z y + 夕暑，2 + 3 2 2 暑，+ y 3 y = 一一c t x b y d z 2 2 e x y f y 2 3 x y 2 圣= 口+ b z + c y + e 卫2 + 2 f z y + = 9 可2 + x 2 y 一3 x y 2 + 2 y 3 一。一c t x b y d x 2 2 e x y f y 2 一x y 2 + y 3 圣= 口+ b x + c y + e z 2 + 2 f z y +9 可2 一x 2 y + 3 x y 2 2 y 3 雪= 一a o , x b y d x 2 2 e x y f y 2 圣= 口+ b x + c y + e z 2 + 2 f z y + ”= 。l x y 2 一y 3 g y 2 一( 1 + ) z ”+ 2 卢2 矿 o l a x b y 一如2 2 e x y y y 2 + ( 1 + p 4 ) 。鲈2 + 2 肛2 2 3 而且x 至少有一个有限奇点( 相应的没有有限奇点) 时，可以使0 2 + 卢2 = o ( 。2 + 卢2 o ) 证明x = ( 筹，一髻) 是三次h a m i l t o n 向量场我们记鼠i = 1 ，2 ，3 ，4 是i 阶齐次多项式，使得h = h 1 + 日2 + 风+ 日4 通过非退化线性变换，任何一个四 阶齐次多项式总可以化为 ，如， o 的形式，并且在这种变换下，使 用= o 。- - i - b y ，端= ；o z 2 + b x y + j a t 2 ，h i = 如3 + e z 2 y + ，名可2 + ；e 3 ， 因而h = h i + 弼+ 职+ ，i = 1 ，2 i i ，1 0 由于x 是三次向量场，所以 o 不预考虑，因而，任何一个三次h a m i l t o n 向量场总可以化为，x 九种形式之 一 如果x 有一个有限远奇点，则总可以作一平移变换( 是对称的，并且保证高 阶项的系数) ，把坐标原点移到该有限远奇点，使a z + p 。= 0 证毕 推论2 2 至少有一个奇点的l + 3 次三次h a m i l t o n 向量场，可以化为下列九 种形式之一： 士= b x + a t + y 3 雪= 一a x 一功 圣= b x + a t 一矿 分= - - a s b y z 3 圣= b x 4 - 吲+ 3 # x 2 y + y 3 1 ) = 一a x 一6 掣一z 3 3 # x y 2 圣= b x + c y + z 3 =- a x b y 一如2 y 童= b x + c + 2 x 2 y 一4 y 3 1 7 = - a t , 一幻一2 x y 2 圣= b x + c y + 3 x 2 y + 口3 分= 一一6 一3 x y 2 圣= b x + c y + x 2 y 一3 x y 2 + 2 y 3 y = - a x 一蛔一。3 ，2 + 3 ，3 圣= b x + c ! ，一x 2 y 十3 x y 2 2 y 3 y = - a x 一幻+ x y 2 一y 3 ；：=一bx+一cy6可-+(1(+#4芦)x。)2zy轳+。一2#2y3ax 1 2 p 2 z 。 1 ) 雪= 一一6 可+ ( + 芦4 ) z 暑，2 一 z 3 ” 命题2 3 设x = + b x + 叫+ p ( 。，) 广。一凹一b y q ( z ，暑，) ) 是一个三次 向量场。那么x 拓扑等价于同一个向量场满足或者口= b = c = 0 ，或者b = 0 ，n ，c 之一至少一个不等于零，或者是b = 1 1 4 ，r ? ， r r 一 ， 缈 矿 m 皑 2 21 + 3 次h a m i l t o n 系统的全局相图 本节中，我们考虑，一，义7 的全局相图为此，先考虑一个引理 设p 僻) 是三次向量场x = ( p t ( z ，y ) 4 - 岛( z ，们，q 1 ( z ，y ) 4 - q 3 ( z ，可) ) 在球面 s 2 上的p o i n c a r d 紧化空间上，其中只，q i ，i = 1 ，3 是i 阶齐次多项式，为 了得到p ( x ) 的解析表达式，我们把s 2 作为一个微分流形选择六个坐标的邻域 以= ( z 1 ，z 2 ，x 3 ) s 2 l z i o ，k = ( g l ，。2 ，x 3 ) 铲i 。i o ) ， = 1 ，2 ，3 ，秀f 么，相 应的坐标变换映射 忱：职- - + r 2 ，哦：m r 2 定义为 忱( 钆2 ；2 ，。3 ) = 戗( x 2 ，z 3 ) = ( 善，警) ，i j ，枳j 七，i = 1 ，2 ，3 引理2 4 向量场x = ( j p l 扛，y ) 4 - 马p ，可) ，q i p ，y ) + 轨( 而) ) 的紧化p ( 爿) 在巩中表示为 j 鲁= 【q a ( 1 ，乱) 一u p a ( 1 ，珏) 】+ z 2 f q l ( 1 ，u ) 一札p 1 ( 1 ，u ) 】 id 盘r = - z p a ( 1 ，乱) + z 2 5 ( 1 ，u ) 】 在巩中表示为 j 譬= p 3 ( ”，1 ) q 3 ( v ，1 ) 】+ z 2 i p l ( ，1 ) 一 q 1 ( ，1 ) 】 l 磐= - z q 3 ( v ，1 ) + q t ( v ，1 ) j 证明在阢中，作第一p o i n c a r d 变换。= ，y = ：，d t = z 2 d ，- ，则 学= 让z 只( ，：) + p 3 ( ，；) 】+ z 【q - ( ，! ) + q a ( ，：) 】 = u 。巴p 1 ( 1 ，u ) 4 - 嘉角( 1 ，“) l4 - z 睦口l ( 1 ，“) 4 - 嘉q 3 ( 1 ，珏) 】 = 矗 q 3 ( 1 ，钍) 一u 马( 1 ，札) 1 + z 2 【q 1 ( 1 ，t ) 一让p l ( 1 ，u ) 】) 老= 一z 2 r ( ，：) 4 - 最( ：，詈) 1 - 一膏2 巴p 1 ( 1 ，牡) 4 - 嘉马( 1 ，牡) 】 = 古 一z 旧( 1 ，u ) + 矿r ( 1 ，t | ) 】) 因此 ， j 磐= f q 3 ( 1 ，u ) 一u b ( 1 ，t ) 】4 - 2 ：2 i q i ( 1 ，u ) 一t 户1 ( 1 ，u ) 】 i 磬= - z i p s ( 1 ，u ) + 2 2 p l ( 1 ，“) 同理。在巩作第二p o i n c a r d 变换g = ；，= ，d t = z 2 打，可证 j 磐= f p 3 0 ，1 ) 一”q a 扣，1 ) 】+ 【p l 扣，1 ) 一口q 扣，1 ) 】 l 磐= 一z 【q 3 扣，1 ) 4 - 孑2 q l 扣，1 ) 】 1 5 引理证毕 一系统j 的拓扑相图 i 1 7 = 一8 z 一幻 2 i ( 5 ) 2 1 ( o )2 1 ( 7 ) 图2 1 1 6 让明分两步来证明 1 。无穷远奇点： 在叽中： j 磬：- - z t 4 。珏。一2 6 。一伽。 l 盘d r = 一甜一k 3 一c u ( 2 2 1 ) 有奇点( 0 ，0 ) 作所i 耐& 钍口乱，变换：u = u ，z = z 1 ，d s = 牡打，则( 2 2 1 ) 可化为： 羹三一础罐-2buzz