（基础数学专业论文）关于单叶函数一类子族的性质.pdf

摘要 在本文中，作者研究了单叶函数一些子族的性质全文由五个部分组成 第一章是引言与预备知识，简要地介绍了本文一些基本定义和记号，以 及本文的主要结果 在第二章中，我们引入了芦型螺形函数的一类了族宠，得到了该函数族 的增长、掩盖定理及第二项系数的精确估计特别地，论文也给出了函数族宠 和另一种重要的函数族s ( 之间的一个重要关系式 在第三章中，我们用完全不同于第二章的方法得到了函数族宠更加精细 的增长、掩盖定理和第n 项系数的精确估计 在第四章中，我们主要研究了口次星形函数一类了族s ( p ，) 的性质，包 括系数估计，偏差定理，闭包定理，极值点定理 在第五章中，我们通过卷积来研究了单叶函数一类子族r b ( h ) 和r b ( ) 的 乒邻域 本文的主要意义在于对已有的结果进行了推广和改进特别地，我们揭示 了单叶函数一些子族之间的本质联系由此，我们对单叶函数一些子族的性 质便有了一个全新的认识 关键词：单叶函数；解析函数；a 次星形函数；p 型螺形函数；从属关系；卷积 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r a u t h o ri n v e s t i g a t e st h ep r o p e r t i e so fs o m es u b c l a s s e so fu n i v a l e n tf u n c t i o n s t h i 8 p a p e ri sc o m p o s e do ff i v ep a r t s t h ef i r s tc h a p t e ri nt h ep a p e ri sp r e f a c ea n dp r e l i m i n a r yk n o w l e d g e w eb r i e f l yi n t r o d u c es o m e f u n d a m e n t a ld e f i n i t i o n sa n dn o t a t i o n so ft h i sp a p e r ，a n dt h em a i nr e s u l t so ft h i sp a p e r i ns e c o n dc h a p t e ro ft h i sp a p e r ，w ei n t r o d u c eas u b c l a s s 露o fs p i r a l - l i k ef u n c t i o n so ft y p e 口a n do b t a i ni t sg r o w t h 、c o v e r i n gt h e o r e m sa n dt h es h a r pb o u n df o rt h es e c o n dt e r mc o e f f i c i e n t e s t i m a t eo ff u n c t i o n si nf ( z ) 或i np a r t i c u l a r ，w eg i v eai m p o r t a n tr e l a t i o no ff u n c t i o n sb e t w e e n 宠a n d ( 口) i i lt h i r dc h a p t e ro ft h i sp a p e r b yu s i n g a b s o l u t e l yd i f f e r e n tw a yf r o mt h a ti nt h es e c o n dc h a p t e r w eg e tm o r er e f i n e dg r o w t h 、c o v e r i n gt h e o r e m sa n dt h es h a r pb o u n df o rt h en - t ht e r mc o e f f i c i e n t e s t i m a t eo ff u n c t i o n si n ，( 石) 露 i nf o u r t hc h a p t e ro ft h i sp a p e r ，w em a i n l yi n v e s t i g a t et h ep r o p e r t i e so fas u b c l a s s5 ；( 口，p ，7 ) o fs t a r l i k ef u n c t i o n so fo r d e ra ，i n c l u d i n gi t sc o e f f i c i e n te s t i m a t e ，d i s t o r t i o nt h e o r e m ，c l o s u r et h e o r e m a n de x t r e m ep o i n t st h e o r e m i nt h ef i f t hc h a p t e ro ft h i sp a p e r ，b yu s m gc o n v o l u t i o nt e c h n i q u e s ，w ei n v e s t i g a t et h e5 - n e i g h b o r h o o d so fas u b c l a s sr 6 ( 7 1 ) a n dr b ( 危) o fu n i v a l e n tf u n c t i o n s t h em a i ns i g n i f i c a n c eo ft h i st h e s i sl i e si ne x t e n d i n go ri m p r o v i n gs o m ek n o w nr e s u l t s i np a r t i c u l a r ，w er e v e a lt h ee s s e n t i a lr e l a t i o no ft h ep r o p e r t i e so fas u b c l a s so fu n i v a l e n tf u n c o t i o u s t h e r e f o r e ，w eh a v ead e 印r e a l i z a t i o na b o u tt h ep r o p e r t i e so f as u b c l a s so f t m i v a l e n tf u n c t i o n s k e yw o r d s ：u n i v a l e n tf u n c t i o n ；a n a l y t i ch m c t i o n ；s t a r l i k ef u n c t i o n ；s p i r a l l i k ef u n c t i o n ； s u b o r d i n a t i o nr e l a t i o n ；c o n v o l u t i o n 江西师范大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导卜进行的研究工作及取得的研究成果。j 孓我 所知，除文中已经注明引州的内容外，论文中不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得江西师范人学或其他教育机构的学位或证书而使刚过的材料。对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 学位论文作者签名：玉避签字日期：2 垒q 旦：曼 江西师范大学学位论文使用授权声明 本人同意在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属江西师范人学。本人保证毕业离校 后，发表本论文或使州本论文成果时署名j ：o - 4 立仍为江西师范人学。学校有权保留学位论文并向 国家主管部门或其他指定机构送交论文的电子版和纸质版；有权将学位论文川t - 1 1 赢利目的的 少量复制并允许论文进入学校图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数 据库进行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编山版。 学位论文作者签名：至麴壁 签字日期：丝匹蟹：互 导师签名：茎垃望 签字日期：兰塑 第一章引言与预备知识 1 1 引言 复变函数的理论基础是1 9 世纪三位杰出的数学家c a u c h y 、w e i e r s t a s s 和r i e - m a n n 奠定的，到现在已有一百多年的历史，它是一门相当成熟的学科，在数学 和自然科学的各个领域中都有重要的应用单复变几何函数论作为它的一个 分支，在复变函数理论的发展过程中起着举足轻重的作用，有着许多优美而 又有意义的结果比如，二十世纪初著名的b i e b e r b a c h 猜想：若，( 孑) ：孑+ 妻矿 是单位圆盘上的单叶解析函数，则l a n l 口哪z ed 则称f ( z ) 宠 显然，当p = 0 时，( z ) s ( q ) 参见文f 16 】；而当q = 0 时，( z ) 岛 定义1 2 4 设，( 孑) es ；( ，若存在9 ( z ) s ；( 且满足 希高卜l 错+ ( 1 2 所1 叫 善中名d ，p 【o ，1 ) ，ye ( o ，1 1 ，贝0 乖家，( z ) s ；( ，p ，y ) 。 当p = 1 ，七：n 一1 时，定义1 2 4 是文献【2 5 】的定义参见文【2 5 】 及 9 ( z ) = z + k 只 它们的h a d 珊a r d 卷积表示为( ，+ 夕) ( z ) ：z + 登k 扩 易知 ，( z ) = 掣，南 定义1 2 6 【5 】若，( 孑) s 且占 0 ，则邻域n 6 ( f ) 表示为 砌= 争“：n 妻= 2 札叫s6 ) 2 只 严 n n 脚 卜孑 = 力“ 设 瞄 点o l义定 关丁- 单叶函数一类子族的性质 定义1 2 7 - 6 1 若，s c ，则规定 眦) ；掣警，孑d 下面的定义推广了文献【2 6 】的相应定义参见文【2 6 】 定义1 2 8 设函数，( 名) s ， ( z ) 在d 内单叶解析，在圆周o d 上除可能以 名= 1 ，z = 一1 为奇点外，在圆周其它地方有定义且满足 ( - ) = 7 行孬，冗e m ( 名) 】 0 ，7 l ( o ) = 1 若 1 + 言l ，仫) 一1 】 ( z ) ， 孑d ， 则称f c z ) r b ( h ) ，其中b c 且b 0 当 心) = 畿，( 一l b 。 放9 ( z ) 是d 上的p 型螺形函数且9 ( 孑) 日( d - - ) ) 从而，当t 0 时，对于任意z d ， 都有e x p ( 一e 一印t ) ，( z ) f ( i z l d ) 于是，对于0st 1 t 2 + ，有，( z ( t 1 ) ) o f ( i z ( t 1 ) f 功 而 ，( 名( t 2 ) ) = e x p ( - e - a t 2 ) f ( z ) = e ) 屯卜e 一加( t 2 一t 1 ) 】e x p ( 一e i # t 1 ) ，( z ) 关丁单叶函数一类子族的性质 = 唧卜e 一彬( z 2 一1 ) 】，( 孑( 1 ) ) ，( z ( 如) i d ) 因此z ( t 2 ) f l z ( t 1 ) i ) d ，即l z ( 圳 1 ) i ( i ) 舰嚆铲= 觋料= 1 由于，( z ( t ) ) = e 印( 一e i a t ) f ( z ) ，从而 删啪警= _ e _ i p e x p ( 彳m ) = - e - a f ( 删， 故有 d z 出( t ) 一邓勰 ( i i i ) 由于i f ( z ( t ) ) l = e x p ( 一t c 0 8 ) i f ( z ) i ，从而 嗡掣= 一e x p c 0 8 舢( z ) lc o s p 一删t ) ) 1 c o s ， 引理2 2 3 1 7 f ：d d 是解析的，( o ) = 0 ，则i ，( 0 ) l 1 ，且i f ( z ) ls 怫v z d 引理2 2 4 1 s l 方程 l 历z - - z 1l 甜( 0 可a c o s f l 一 故g ( z ) p ( 口) 充分性 设9 ( 名) 矿( q ) ，则按上述运算可知 南虢e e 印错 娥 搿卜 江西师范人学硕士学位论文 于是 叶e 胡搿 口嘶 即，( 。) 禽 由上面的定理可以得到下面的推论 推论2 2 1设，( z ) = 名+ 0 , 2 2 2 + 宠，则| n 2 l 2 ( 1 一口) c 0 8 口估计是精确的 证明由于，( z ) 宠，由定理2 2 1 可知，存在9 ( z ) s ( ，使得 川= z ( 掣) 。， 其中c = e - o e o s b 又设夕( z ) = 名+ b 彳2 + ，容易推出0 , 2 = b 2 e ，于是由引理2 2 1 可 得l 口2 j = i b 2 c i = 1 6 2 l c 卢2 ( i q ) c p 下面说明该估计是精确的可考虑上文举的例子 f ( z ) 2 不1 薪一印，( 一z ) w 锎 且取在z = 0 点分母等于1 的单值解析分支易知，( 孑) = 彳+ i 耥l 户+ ，- 故 a 2 = 型l + i 生t a a 吐j ，从而i 叻i = 2 ( 1 一a ) c a s p 精确性得证 注定理2 2 1 和推论2 2 1 推广了文【16 】的结果当= 0 ，定理2 2 1 和推论 2 2 1 便是文【16 】中相对应的结果 定理2 2 2 的证明当= 0 时，结论显然成立参见文【1 观 现就a 0 的情况给出证明设，( z ) 韶，固定z d o ) ，令z o = 南，则z o o d 定义d 上的函数 熊，- 紫掣扣k 由定义抛【e 胡错】2c , e o s p 得 卜端一li一1zf 2 a c o s f l 2 0 。c o s ，z 以 i 。也)l 。 。一 从而 陋一蕊1 面l 互厕1 ，专d 于是1 2 n c 0 8 励( ) 一1 l 1 令p 偿) = 2 口c o s 卢9 ( ) 一1 ，贝0i p ( ) ls1 且v ( o ) = 2 0 c 0 8 e 一伊一1 作d 上的函数 垛，= 鲁器棵n 8 关丁单叶函数一类子族的性质 则 ( o ) = 0 ，i ，l ( 毒) i 1 由引理2 2 3 得l p ( f ) is d 由此得 l 意2 a 希婴2 a c 兰o s l 3 e 褊4 - 旧1c 0 8 研( 1 一印) 9 ( 专) e 筇】r “r 整理可得 l(1-型p生ea)a(毒)ewl4 - 阳ii 剖圳。 进一步有 l 考鬟h 胁础虬膝) 一蕊箍码l 剖引卜叫叫。 由引理2 2 4 可知，9 ( 专) 落在复平面上以。为圆心，以r 为半径的圆内，其中 n = 譬1 群2 坠a c o s t 型3 e i # 学1 ，r = 禹1 法2 a c 端o s ” 一j 1 2 i1 2 。一 一i 1 2 ip e 印一1 1 2 。 故 9 琵口一r 敬e 9 ( 毒) 狞e o - 4 - r 通过简单计算可得 和 = 掣器篆辫 、( 1 一i 枣i ) 【l 一( 1 2 q ) l 专i c o s r 币= 丽币广 = c o s 卢赫 啦= 掣器淼辫 c o s 矽背。 因此 c 0 8 p 淌蛳昧) sc 0 6 卢背，f 以 ( 1 ) 嘲p 再糯泥e 9 ( 毒) sc 0 6 卢莆，f d ( 1 ) 对于固定的孑d ，令z ( ) = 广1 【e 印( 一e 一筇，( 力) 】，t 【0 ，+ ) ，由引理2 2 2 ( 0 ，( “) 可知i z ( t ) l 在【o ，+ ) 上几乎处处可导，且 掣一郦勰 又因为 百d l z ( t ) 1 2 叫印) i t d l z ( t ) = 挈一e 警矧划e 掣等】 江西师范人学硕士学位论文 豌e 警丽1 - 雨1 百4 名( 0 1 ( 3 ) 在( 1 ) 中令毒= i z t ，名d 得 隅声揣鲰卜端 0 ，在( 6 ) 两边积分得 ! t 高掣 出sf 而高端丽掣卜 即 1 n | ，眨( t ) ) i l n l ，( 孑) 1 ni 彳( t ) i 一智l n 【1 + ( 1 2 q ) 1 名( t ) i 】一l n i z i + 三斟h 【1 + ( 1 2 n ) i ；1 1 ， 从而 l ，( z ( t ) ) i ，i z ( t ) if 1 + ( 1 2 n ) 川! 等半 丽s 再百瓦丽稃下厂- 令t 一+ o o ，由引理2 2 2 ( i i ) 即得 川i百fizll4 - 12 0 0 i z l 料【( 一 类似地，由( 5 ) 右端的不等式可推出 l 他) fs 矿枷， 综上所述 而i i 丽= 1 鲥i f 舾，比d 1 0 第三章关于p 型螺形函数一类子族性质的改进 3 1 引言及引理 关于a 次星形函数，m s r o b e r t s o n 给出了它的增长、掩盖定理和系数估计 如下 定理b 【2 】若，( z ) s ( 口) ，则有 万器可i f ( 列f 枷，v d 定理c 【2 】若，( z ) s ( 口) ，则有 l a , , is 可k ! - z ( k - 2 a ) 柚划，3 ， 且估计是精确的 在本文的第二章中，我们引入了口次星形函数的推广族露( 参见定义1 2 3 ) ， 并借助于引理2 2 2 得到它的增长、掩盖定理及第二项系数的精确估计如下 定理d z o 若，( z ) 魂，则有 百f 萨i f ( 圳sf 枷，虮n 定理e 【2 0 】 若，( z ) = z + a 2 2 2 + 韶，则有 i a 2 1 2 ( 1 一q ) c 0 8 展 但定理d 不够精细，因此，在本章中，我们利用完全不同于第二章中的方法， 主要工具是应用从属原理得到了函数族宠更加精细的增长、掩盖定理及第n 项系数的精确估计 为证明本章的定理，需建立几条引理 引理3 1 1 z - j 设，( z ) ，g ( z ) s ，若存在d 内的解析函数妒( z ) ( 不必单叶) ，满 足妒( o ) = 0 ，i 妒( 孑) l 1 使得 f ( z ) = 夕( 妒( 功) ， 则称，( 名) 从属于9 ( z ) ，记作，( 名) 9 ( 名) 若9 ( z ) 在d 上单叶，则，( z ) a v z ed p ；i 叶zt 娄z 竺竺， p ( o ) = 1 ， 瓣eb ( z ) 】0 从而 p ( z ) 鬲l + z ，z d 由引理3 1 1 可知，存在d 内的解析函数t l j ( 名) ，满足叫( o ) = 0 ，( z ) i 0 ，从而口为正实部函数类 记 v ( z ) = 1 + c l 孑+ c 2 名2 + ， 由弓i 理3 1 2 可得l c 。is2 ，( t l = 1 ，2 ，) 由( 4 ) 可得 ( 1 + i t a n 所z f 7 ( 功一( o + i t a n 仞，( z ) = ( 1 一口功( z ) ，( z ) ， 展开得 ( 1 + i t a n 卢) ( z + 2 a 2 2 2 + 3 a s z s + ) 一( 口+ i t a n 3 ) ( z + a 2 户+ a s z z + ) = ( 1 一o ) ( 1 + c l z + c 2 2 2 + ) ( z + a 2 2 2 + a s z z + ) 比较两边系数得 整理得 从而 i n ( 1 + i t a n 3 ) 一( 口+ i t a n p ) a n = ( a n + c 1 一1 + c 2 一2 + + c n 一1 ) ；7 = 雨弃竿= 不( c 1 口n 一1 + c 2 一2 + + 一1 ) = 面= 可万干厕【c 1 口n 一1 + c 2 一2 + + 一1 j 。 i ：( 1 - a ) c o s 3 1 c 1 一1 + c 2 一2 + + c n 一1 竹一l s 2 ( 1 - - 。a ) c o s , 3 ( 1 + i 口2 l + i * a l + + i 一1 i ) n l 1 4 羞王苎生笪墼二耋兰壅丛丝重 即 1 0 ，l l 型掣( 1 + 口2 i + i 口3 l + + f ， ) ，加2 ) 由数学归纳法可知 m 等掣耍_ 2 ( 1 - a 掣) 喇，。 下面说明该估计是精确的，可考虑下面例子 ，( 2 南，z ed 事实上 ，( 小：z ( 1 一名) 宁 = z ( 1 一坠；艘名+ 2 ( “- 1 ) c o s f l 2 。1 a - - ) c o s , o - 1 一生丑坐继型号产业虹灿庐+ 1 = ( z 2 ( a - - 拶1 ) c o e i l oz 2 + 韭逊绷紧越! 型丑户。 一熟丑型峨纠等幽腿塑幽+ 1 从而 m = 2 ( 1 ；j - , 上1 - 上2 ( 1 + 堑焉幽) ，( n 2 ) 注2 ( 1 ) 当n = 2 时，定理3 2 2 即为定理e ( 2 ) 当芦= 0 时，定理3 2 2 即为定理c ，事实上，当芦：0 时， 川s 掣葡( ，+ 掣) = 警喜半竺 = - _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ 一- - _ - _ _ _ _ _ _ ：_ 二_ _ _ _ - _ _ _ _ 一 n l j 2 ( 1 一o 。3 2 0 , 4 2 an 一2 口 = _ _ ， n ll 2 n 一2 2 南卫佧- 2 0 。，( 砼2 ) 即 k l 2 这是定理c 的结果参见文【2 _ 1 1 5 第四章关于乜次星形函数一类子族的性质 4 1 引言 1 9 7 5 年，h s i l v e r m a n 开始对负系数的单叶解析函数进行研究：设f ( z ) s 且，( z ) = 孑一萎l l 矿，得到了它的系数估计，偏差定理，凸半径，闭包定 理，极值点定理，获得了可喜的成果后来，g u p t a 2 s 引入了函数族k ( a ，卢) 然 后，h m s r i v a s t a v a a n d o w s h i g e y o s h i 2 4 研究了函数族k ( 口，所的子族( 卢，7 ) 的系 数不等式，偏差定理，凸半径 本章的主要内容就是在单位圆盘d = z c ：h 口 叫一卜 i p 矿一+ 七) b + k i 孰l 竺一i 口 i 汐一舢扩舶 i l七；nj 江西师范人学硕士学位论文 在实轴上选择；值，使错为实数，再根据单位开圆盘内单叶解析函数性质， 并沿实轴z 一1 一得 ( p + 七一口) 6 p + p q k f n 充分性 因为 于是由 得 从而 所以 即 辫卅i 筹苦l 口 当p = 1 , k = 仃一1 时，引理4 2 1 是文献【2 5 】所对应的引理参见文献【2 5 】 下面证明本章的定理 定理4 2 1 ( 系数估计定理)若，( z ) = 矿一妻n p + i s ( 口，p ，7 ) ，则 露= 竹 塾刊一譬辫】 7 ( p + 1 - 2 卅) 证明 因为，( z ) s ( a ，p ，7 ) ，于是存在 a 0 9 ( 小= 扩一七s ；( o ) k f n 使得 l 群高卜 1 8 关丁单叶函数一类子族的性质 即 i 磊揣l 7 于是 。 i( p 一1 ) 矿一【0 + k ) a p + k 一6 p + 】矿+ 蠹l l ，等塑l 二一l 1 o 。 i 、， i ( p + i 一2 ) 汐一【p + 七) 吻+ + ( 1 2 p ) 6 ”k 】扩o i l席= ，ll 类似于引理4 2 1 的必要性证明，通过简单计算得 【( 1 + - y ) ( p + k ) a 州- k 一( 1 7 + 2 所) 6 】s7 ( p + i 一2 所+ ( p 1 ) b “ 由引理4 2 1 得 h t s 寿击 由( 2 ) ( 3 ) 得 塾刊k 七一号榉阳。+ i - 2 伪+ ) 推论4 2 1 若，( 名) 5 ；( 口，卢，y ) ，则 咻ts 虹业型鲁船赢鲁等划 且估计是精确的下面说明该估计是精确的可考虑这个例子 m ) = 矿一虹业坐群格赢咎等型 及 出) = 矿一寿击七 当p = 1 ，k = n 一1 时，定理4 2 1 及推论4 2 1 是文献【2 4 】所对应的定理及推论 参见文献酬 定理4 2 2 ( 闭包定理) 若 0 0 m ) = 矿一坼e s ( 夙7 ) ， 七= n 9 ( 石) = 矿一“矿+ 。s ；( 口，p ，y ) ， k = n 江西师范人学硕士学位论文 则 而 h ( z ) = ( 1 一入) ，( 名) + 幻( 功s ；( n ，p ，y ) ，入【0 ，1 1 证明 因为，( z ) ，9 ( 名) s ；( 口，y ) ，于是 塾刊一号瞥。+ 1 - 2 卅) ， 塾+ 7 ) m 一号掣( p + 1 - 2 肘) 日( z ) = ( 卜入) m ) + 幻( # ) = 矿一【( 卜a ) 咻+ 入6 舛 】。 k r - n 通过简单计算得 塾刊) 【( 1 叫咻卜号掣) 7 白+ 1 - - 2 州州) 由定理4 2 1 可知日( 力s ；( 口，卢，y ) 现在证明增长、掩盖定理及偏差定理 定理4 2 3 ( 增长、掩盖定理) 若，( 名) s ( n ，p ，7 ) ，则 名l p a p ( o ，卢，7 ) i 孑i p + “i ，( z ) isi z i p + 如( 口，p ，y ) i z i p + “， 其中 铀刖= 虹业卫罄搬靠磐等型， 且估计是精确的 证明 因为，( z ) s ；( 口，p ，7 ) ，于是由( 2 ) 得 ( 1 + 7 ) ( p + n ) ea p + k 一( 1 7 + 2 所) e6 p + ，y 函+ 1 2 所+ ( p 一1 ) - k - f f i nk = - “ 又因为9 ( z ) s ；( 口) ，由引理4 2 1 得 从而 薹吣虹世鞴嵩繁等型叫郇 一一 一 七 + 胁 关丁单叶函数一类子族的性质 因此 l ，( z ) fsi z p + 唧+ k i z l 舛七l z p + 4 ( 口，反 ) i 石1 p + “ k “ 类似有 i f ( z ) l 1 名l p 一唧+ k 舛1 名l p 一4 ( q ，p , 7 ) l z l p 押 2 4 1 下面说明估计是精确的可考虑函数 ，( 名) = 矿一如陋，反7 ) 少押， 及 出) = 矿一寿击“ 当p = 1 ，t l = 1 ，膏= 礼一1 时，定理4 2 3 是文献c 2 4 】所对应的定理参见文献 定理4 2 4 ( 偏差定理) 若，( z ) s ；( 口，p ，7 ) ，则 引z p 一o , + n ) a p ( 口，展7 ) 名f ，+ ”1si ，( z ) lsp f 孑r 1 + b + 妨岛( 8 ，芦，7 ) z f p 柳， 且估计是精确的 f f n 因为，( z ) s ( q ，卢，7 ) ，于是由( 2 ) 得 ( 1 + r ) ( p + 七) 吻+ 七一( 1 7 + 筇叶) b + s7 ( p + 1 2 p ) + 白一1 ) ， k = ni 离- n 又因为g ( z ) s ：( ，由引理4 2 ，1 得 堇寿击， 从而 ( p + 妨唧+ s ( p + n ) a p ( a ，卢，7 ) j b ；t 1 因此 及 ，7 ( z ) i - p l 。j p 一1 + ( p + 膏) 唧+ k l z l p + 七一1 p f z l p 一1 + + n ) a p ( a ，展7 ) i 石l ，+ ”一1 七= n ，7 ( z ) i p k i p 一1 一( p + 动a p ( 口，p ，7 ) l z l p + ”一1 2 1 江西师范人学硕士学位论文 估计是精确的仍可考虑函数 及 f ( z ) = 矿一4 ( 口，p ，1 ) 1 名p “， 出) = 矿一寿击扩” 推论4 2 2 若，( 名) s ；( q ，p ，- ) ，则单位圆盘d 映成包含在i f ( z ) l 1 的圆盘 区域内，其中 当p = 1 ，t l = 1 ，七= 竹一1 时，定理4 2 4 及推论4 2 2 是文献阻】所对应的定理 及推论参见文献【2 4 】 定理4 2 5 ( 极值点定理) 若厶一l ( 力= 矿， 眦) = 矿一虹业丑鬻船赢劣等型砂( 七她州) ， 则f ( z ) s ：( q ，p ，7 ) 当且仅当它可表成，( 孑) = 札 ( z ) ，( x k 0 ，h = 1 ) 七=nl船=一l 证明必要性 因为，( 力s ；( 口，p ，7 ) ，由推论4 2 1 得 令 吣t 虹业卫群格赢畿等捌，( k f f i n , n + 1 ) 、( 1 + 7 ) + 岛) ( p + 一q ) 机2 石五丽刁了沥再百再j 珂两百习万莉咻b 2 2 关丁单叶函数一类子族的性质 a o 及h 一1 = 1 一k ，则 缸= n 矿一f 二_ ， 七= n 矿一f - k f f i r , 矿一f r k f f i n 啊矿+ i ( p 一口) ( 1 7 + 2 所) + ( p + k q ) ( ”+ 7 2 所+ p 一1 ) ( 1 + 7 ) p + 惫) 0 + k a ) h 【矿一 ( 功】 = ( 卜沁) 矿+ “a ( 石) 七= nk - - n , = k 一1 z p - 1 - h ( 。) 七= ； = k l 厶一1 ( 孑) + h ( z ) 七；t = h ( z ) “ 充分仕 因为 他) 、- 壹枞( 加h “( 卅主枞( 名) = h 矿+ 塾c 矿一虹止磷端篇拦等型舶 一- 七妻，矿一k 厶- - - - r , 虹监糍嵩溅等型 = 矿一塾虹址等篙蹦高咎p 幽业砂 此时只须令 1 ( p 一位) ( 1 7 + 2 卢，y ) + ( p + k 一口) ( 卯+ 7 2 所+ p 一1 ) 两习两丽矿鬲i r 一2 啊b 贝0 ，( 名) s ；( 口，p ，7 ) 推论4 2 3y ( z ) 曷( 口，厉，y ) 的极值是由 厶一1 ( 名) = 矿， ( z ) = 矿一鱼l 二竺l 二! j 羔苦号兰寺老苫苦云苦骂孑当去子二刿矿+ k ，( 七= n + ) 给出 第五章关于单叶函数一类子族的邻域 单叶函数的了类础( a ，b ) ( 其中一1 b a 1 ，b c 且b 0 ) 是由k k d i x i t 和s k p a l 2 s 首先引入，它的子类冗c 口一a ( a ，b ) ，弘( 巧，一d ，冗1 ( ( 1 2 p ) 6 , 一石) 和 r 1 ( ab ) 分别是由d a s h r a t h 2 7 ，c a p l i n g e r 、c a u s e y 2 s 和p a d m a n a b h a m 2 9 ，j u n e j a 和 m o g r a 删，g o e l 和m e h r o k 3 1 1 研究，同时& r u s c h e w e y h s l 介绍了单叶函数的矗邻域 最近，m i l l i c e n tp r e m a b a i 6 l 研究了函数类r b ( a ，b ) 中函数的矗邻域。 本章的主要内容就是在单位圆盘d = ；c ： 1 ) 内引入单叶函数一类 了族r b ( h ) 和舻( ，1 ) ，并通过卷积米研究函数族r b ( h ) 及r b ( 九) 中函数的扣邻域 在函数族印( 参见定义1 2 8 ) 及函数族硭( 如) ( 参见定义1 2 ，9 ) 中，当 1 _ ld ， h ( z ) = 嵩量( - 1 b as 1 ) 时，r b ( h ) = 础( a ，b ) ，础7 ( ) = 础( a ，b ) ，因此本章推广了文献【6 】的结果 5 2 主要结果及其证明 为证明本章的定理，需建立下面引理 引理5 2 i 设t ：( o ，7 r ) u ( 7 r ，2 _ ，r ) ，若日( z ) ：1 + 萎c ，i 矿r b ( 7 1 ) ，则 h l 0 下，1 位于危( z ) 在d 的像内部，于是由引理3 1 1 可知 1 + b i f ) 一1 】 九( z ) ， 因此由定义1 2 8 得 f ( z 1 r b ( h ) 必要性 因为，( z ) r b ( h ) ，所以函数1 + 引，( z ) 一1 】不能取到九( z ) 在o d 上的值即 1 - t - b f 7 ( z ) 一1 】 ( e 赴) ，t e e 2 6 关丁单叶函数一类子族的性质 从而 即 由定义1 2 9 可知， ，+ 昙 掣南一h ， 掣拳坐单1 掣。 z 一，l l e “i 掣木”- ( z ) o 一木i z i u z 定理5 2 2 若足( z ) r 6 ( ) ，c 且h d h i 一6 住i | 一1 i 州一到a n - - b n i 啊t 6 ：亡丽 t i = 2 。t 1 、 扣砸驴j 两 占一占 = 0 学洲z ，i 。 名l 掣咧婷o ， 9 ( z ) r 6 ( ) 肌，( ，) c 础( ) 注当h ( z ) = 址1 - k 业b z ( - i b a 1 ) 时，引理5 2 i ，定理5 2 i ，定理5 2 2 ，定理 5 2 3 分别是文献【6 】中的结果 参考文献 【1 j 1d e b r a n g e s ap r o o fo fl b i e b e r b a c hc o n j e c t u r e j a c t am a t h 1 9 8 5 ，1 5 4 ：1