（基础数学专业论文）zexact偏序集和拟zexact偏序集.pdf

摘要 本文将e x a c t 偏序集推广至了一般子集系统z ，引入了z 极小集、z - e x a c t 偏 序集、拟z - e x a c t 偏序集、z 交e x a c t 偏序集和拟z - 代数e x a c t 偏序集等概念讨 论了z - e x a c t 偏序集上保z - 极小集与保z - 并和鸲山间的等价刻划及其有关性 质证明了关于保z - 极小集映射的扩张定理对z - e x a c t 偏序集的函数空间的性 质进行了讨论给出了拟z - e x a c t 偏序集、z - 交e x a c t 偏序集和拟z 代数e x a c t 偏 序集的刻划，并讨论了它们的相关性质证明了若z 是具有性质m 的r u d i n 子 集系统，p 为z - e x a c t 偏序集，则尸为拟z - e x a c t 偏序集；若z 是具有有限族并 性质的r u d i n 子集系统，p 为拟z - e x a c t 偏序集，则伊，k ( p ) ) 为h a u s d r o f f 空间； 若p 为z _ 交e x a c t 偏序集，且心为h a u s d o r f f 的，则p 为弱z - e x a c t 偏序集； 若尸为拟z 代数e x a c t 偏序集，则p 为拟z - e x a c t 偏序集 关键词：z - 完备偏序集；z - e x a c t 偏序集；z - 极小集：拟z - e x a c t 偏序集；z - 交e x a c t 偏序集；拟z 代数e x a c t 偏序集 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , f o rag e n e r a ls u b s e tz w ed e f i n et h ec o n c e p to fz - m i n i m a l s e t s ， z - e x a c tp o s e t s ，q u a s iz - e x a c tp o s e t s ，z - m e e te x a c tp o s e t sa n dq u a s iz - a l g e b r a i ce x a c t p o s e t s a n dt h ee q u i v a l e n tc h a r a c t e r i z a t i o n sb e t w e e nt h em a p p i n gp r e s e r v i n gt h e z - m i n i m a ls e t sa n dt h em a p p i n gp r e s e r v i n g z 叫a n dt h ez - e x a c tp o s e t sa r ed i s c u s s e d a n dw ea l s os t u d ys o m ep r o p e r i t i e so fz - e x a c tp o s e t s t h ec o r r e s p o n d i n ge x t e n s i o n t h e o r e mi sp r o v e d f o rt h eg e n e r a lf u n c t i o ns p a c eo fz - e x a c tp o s e t s ，w ed i s c u s si t s s o m ep r o p e r t i e s t h ec h a r a c t e r i z a t i o n so fq u a s iz - e x a c tp o s e t s ，z - m e e te x a c tp o s e t s a n dq u a s iz - a l g e b r a i ce x a c tp o s e t sa r eg i v e n a n dt h e i rs o m ec h a r a c t e r i z a t i o na r e d i s c u s s e d w ep r o v et h a tzi st h ep r o p e r t ymo fr u d i ns u b s e ts y s t e ma n dp i sz - e x a c t p o s e t s ，t h e np i sq u a s iz - e x a c tp o s e t s w ep r o v et h a tzi sf i n i t ej o i nr u d i ns u b s e t s y s t e ma n dp i sq u a s iz - e x a c tp o s e t s ，t h e n ( 户，砣( p ) ) i sh a u s d r o f fs p a c e w ep r o v e t h a tpi sz - m e e te x a c tp o s e t sa n dx z ( e ) i sh u a s d o r f f , t h e npi sw e a k l yz - e x a c t p o s e t s a l s ow ep r o v e t h a tpi sq u a s iz - a l g e b r a i ce x a c tp o s e t s ，t h e npi sq u a s iz - e x a c t p o s e t s k e yw o r d s ：z - c o m p l e t ep o s e t s ；z - e x a c tp o s e r s ；z - m i n i m a ls e t s ；q u a s iz - e x a c t p o s e t s ；z - m e e te x a c tp o s e t s ；q u a s iz - a l g e b r a i ce x a c tp o s e r s i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意。 学位论文作者签名：弓茯蠢寸良签字日期：溯年6 月4 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解江西师范大学研究生院有关保留、使用 学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权江西师范大学研究生院 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：黼良 签字日期：砷移年多月群日 z - e x a c t 偏序集和拟z - e x a c t 偏序集 己i 言 3i 口 近三十年来，计算机科学和数学的交叉之研究，尤其是拓扑结构、格序结构 和范畴结构等在计算机中的应用引起了人们的广泛关注而是世纪七十年代初著 名数学家和理论计算机科学家、t u f i n g 奖获得者s c o r 1 2 】创建了连续格理论，为 确定性程序的指称语义奠定了坚实的理论基础其后p l o t k i n 3 峙旨出需要更一般的 数学对象用于建立非确定程序的指称语义的数学模型，因而形成了d o m a i n 这一 重要概念d o m a i n 理论发展的另一个动力来自纯数学的若干领域大约与s c o r 工作的同一时期，著名数学家h o f m a n n 、l a w s o n 、k e i m e l 和d a y 等人由于各自 的深入工作从完全不同的途径独立地展开了连续格理论的研究( 参看【4 ) 二十世 纪八十年代以后，对更为一般的具有某种连续性的格序结构的研究逐渐称为国内 外数学家和理论计算机科学家的研究热点 无论从数学的角度还是从计算机程序指称语义学的角度而言，d o m a i n 理论 研究的一个重要方面是尽可能地将连续格理论推广到更为一般的格序结构上去 在文 5 ，6 ，7 ，8 ，9 ，1 0 】中，g i e r z 、l a w s o n 、b a n d e l t 、e r n e 、h u t h 、j u n g 、 k e i m e l 等人分别引入了并研究了超连续格、广义连续格、z _ 连续格和路格，它 们属连续格最为成功的推广之列 2 0 0 7 年m a s h b u m 在【1 5 】中，引入了了弱w a yb e l o w 关系和e x a c t 偏序集的概 念，并在偏序集的基础上引入了两个新的拓扑：w a yb e l o w 拓扑和弱w a yb e l o w 拓扑，讨论了s c o t t 拓扑，w a yb e l o w 拓扑，弱w a yb e l o w 拓扑的基本性质和e x a c t 弱w a yb e l o w 拓扑的相关性质 本文将e x a c t 偏序集推广至了一般子集系统z ，引入了z 极小集、z - e x a c t 偏 序集、拟z - e x a c t 偏序集、z - 交e x a c t 偏序集和拟z - 代数e x a c t 偏序集等概念利 用z 子集系统的特殊性质讨论了它们的相关性质，并研究了它们的一些等价刻 划 全文共分为六节，具体章节及主要内容如下：+ 1 预备知识本节主要给出了全文所需的d o m a i n 理论、格论的一些基本 概念、记号和结论 2 z - e x a c t 偏序集本节引入了z - e x a c t 偏序集和z 极小集，讨论了z 完备 偏序集上z 极小集的若干性质，给出了z - e x a c t 偏序集中保z - 极小集与保z - 并和 p ，( g ，回称为p ，o 问的g a l o i s 联络，若g ，d 为保 序映射，且慨p ，y e q ，有贴) 妙石捌此时称g 为d 的上伴随，d 为g 的下伴随 ( 2 ) 映射厂：p p 称为投射算子，若厂为保序且尸可 ( 3 ) 映射厂：p p 称为闭包算子，若为p 上的投射算子且卢l p ( 4 ) 映射厂：p p 称为内核算子，若厂为p 上的投射算子且声1 p 命题1 9 【1 4 1 纤尹和d 是具有有限族并性质的r u d i n 子集系统尹和d 具有 性质m 4 z - e x a c t 偏序集和拟z - e x a c t 偏序集 2z - e x a c t 偏序集 定义2 1 设v p e o b ( p o s e t ) ，v x ，y e p ，xw e a k l yw a yb e l o w y ，记工山y 若v d e z ) ( p ) ，y = v d 号d n l x b 记u 扩 ye p ：y 定义2 2 设v p e o b ( p o s e t ) ，p 称为e x a c t 偏序集，若v a e p ，u 为定向 集且v u 韧 命题2 3 设v p e o b ( p o s e t ) 且p 为定向完备的，则下列条件等价： ( 1 ) p 为e x a c t 偏序集；t 。( 2 ) v x ，y e p ，u 为定向集，且石耖；3 z e p 使z 一，z 耖 证明 ( 1 ) j ( 2 ) ：因为p 为e x a c t 偏序集，所以v x e p ，u t l ，x 为定向集v x ，y e p ，由p 为e x a c t 偏序集可知，石= v u ，从而v u 缈因此存在z e p 使z o , x z ，缈 ( 2 ) 号( 1 ) ：v x e p ，假设x c v s 。x ，则石摹v 上l ，由( 2 ) 知，存在y e p 使y ，y s v u ，矛盾因此x = v o , x 再由命题条件知，p 为e x a c t 偏序集 定义2 4 设v p e o b ( p o s e t ) ，v x ，y e p ，工称为z - w e a k l yw a yb e l o w y ，记为 x z - w y ，若v s e z ( p ) ，y = v sj3 s e s 使x s 记u = ye p ：y 划工 定义2 5 设v p e o b ( p o s e t ) ，p 称为弱z - e x a c t 偏序集，若满足： ( 1 ) p 为z - 完备的 ( 2 ) v x e p ，且z = v u 定义2 6 设v p e o b ( p o s e t ) ，p 称为z - e x a c t 偏序集，若满足： ( 1 ) p 为z - 完备的 ( 2 ) v x e p ，u 川x 厶例，且x = v o z - , o x 命题2 7 设p 为z - e x a c t 完备偏序集，若厂：p - - + p 为投射算子，贝j j f ( p ) 也为z - e x a c t 完备偏序集 定义2 8 设j p 为z _ 完备偏序集，彳称为a 的z 极小集，若v a = a ，且v s e z ( 一，a _ v sj v d e a ，3 s e s 使d s 江西师范大学硕士学位论文 定理2 9 设p 为z - 完备偏序集，口p ，彳z ( 一，则下述条件等价： ( 1 ) a 为a 的z 极小集； ( 2 ) 彳u 础且v a = a 证明 ( 1 ) j ( 2 ) ：由a 为口的z 极小集可知，v 6 彳，v s e z ( p ) ，a _ v s 号3 s e s ， 6 ss ，即6 ：。口，所以6 u 手叫口故彳u 棚， v a = a 。 ( 2 ) j ( 1 ) ：因为v 么= n ，v d 刮，由a c _ g ：w a 知，d 一最g v s e z ( p ) ，若a v s 号 j s s 使d5 s ，再由d 的任意性可知，彳为a 的z 极小集 推论2 1 0 设p 为z 完备偏序集，口p ，u ：卅z ( p ) ，若口有z - 极小集u ：卅， 则u 础为a 的最大的z _ 极小集 证明设a 为口的任意z - 极小集，由定理2 9 知，a c _ 1 1 争, o a ，所以上l 棚为口的 最大的z - 极小集 命题2 1 1 设p 为z - 完备偏序集，若x z - 。y ，则工y 定理2 1 2 设p 为z 完备偏序集，v a m p ，若u ：。a e z ( p ) ，且虬w a = a ，则u ：, o a 为a 的z - 极小集 证明若v u ：, a z = a ，hv s e z ( p ) ，a _ v s = 专v 6 u ：_ w a ，6 ：吖。4 ，从而3 s e s ， 使6 s s 因此u ：为a 的z - 极小集 定理2 1 3 设尸为z - 完备偏序集，坛p ，上l ：z ( 尸) ，则下述各条件等价： ( 1 ) p 为z - e x a c t 偏序集； ( 2 ) 帆p ，x 有z - 极小集且u 厶( p ) ； ( 3 ) v x e p ，u ：i z ( p ) ，3 a z ( p ) 满足v a = x ，且a c _ 1 1 ：； ( 4 ) 坛p ，u “i z ( p ) ，j 爿z ( p ) 满足v a = x ，_ r y x = n 介z - w a ：a ea ) 证明( 1 ) ( 2 ) ：由定理2 1 2 可证，u 为x 的z - 极小集，由z - e x a c t 偏序 集的定义知，u 彬以p ) ( 2 ) j ( 1 ) ：坛p ，x 有z - 极小集，不妨设为a ，贝j j v a = x 且爿u 从而工= w s v g ：立，因此v u ：可由假设知，u 砧i z ( p ) ，所以p 为z - e x a c t 偏序集 ( 2 ) j ( 3 ) ：由z 有z 极小集知，鲥z ( 一使得v a = x v 口刮，有口x ，v 艇及p ) ， 若口石s v s 净了s e s 使口s 即口乏叫x 从而口u ：吨声，所以a c _ g z , o x 6 z - e x a c t 偏序集和拟z - e x a c t 偏序集 ( 3 ) 令( 4 ) ：设彳z ( p ) 满足( 3 ) ，则v 口刮，有口0 ，故v y z 工，有口吒砌石y ， 从而口鸲枷y ，故j ，n 仃：私：a e a ) 即仳n f ：私：a e a ) v b e o , , a ：a e a ， 则v 口刮，有a z - w b ，所p a v a = 工s 6 ，即b e t 石，故n 仃：棚：口剖) 个x ，因此慨= n f i , “：口彳) ( 4 ) j ( 2 ) ：设4 z ( p ) 满足( 4 ) ，s e z ( p ) ，有x v s ，则v 延n n 删：a ea ，所 以玉s 使口j 即a 为x 的z 极小集 推论2 1 4 设尸为z - e x a c t 偏序集，工p ，彳z ，则下列条件等价： ( 1 ) 么为z 的z - 极小集； ( 2 ) a a , l l z , 。x ，且v i i = x ； ( 3 ) v a = x ，且仳= n t r 删：a e a ) ； ( 4 ) u x = 山彳 ， 证明 由定理2 1 3 的证明及z - e x a c t 偏序集的定义可知 定义2 1 5 1 6 1 设p ，a 为z - 完备偏序集，映射厂：p 专a ，称为z - s c o t t 连续 映射，茬：v u e 哟，7 。1 ( ， 定义2 1 6 设p ，q 为z - 完备偏序集，映射厂：p - + o 称为是保z - 并的，若 v s e z ( p ) ，火v 固= v q 火d 定义2 1 7 设p 为z - e x a c t 偏序集，p 称为强z - e x a c t 偏序集，若刑具有插 入性质，即帆，y 尸，若x z - a y ，则j 6 凹使得x 枷b 吒 命题2 1 8 若p 为强z - e x a c t 偏序集，且v 口p ，介舢为上集，则n 删户 证明 v a e z ( p ) ，v 彳n ：卅，即a z _ , a v a ，由p 为强z - e x a c t 偏序集可知， m 具有插入性质，即| d 尸使得a z - , o d z - u v i i ，所以了“刮使得口划“，故 口 ( 5 ) ：易知厂保序，设d z ( p ) ，令v d = d ，则有v a d ) = j ( d ) 若x z - w d ， 则了d 使得x 由条件( 4 ) 知，以u ：吨力为贝回的7 - 极小集，于是贝力= 上 ：咄力= v f ( d ) ，故f ( v d ) = v f l d ) 即厂保z - 并v a m p ，由推论2 1 4 以及以u ：u 口) 为a 的z - 极j 、集知l f ( a ) = n f r ：刊f ( b ) ：6 u ：吨肛) ( 5 ) j ( 1 ) ：设6 号6 u 争胡，由已知条件知，1 弛) = n 仃：j ( b ) ：6 u ：胡) 即 贝口) n 介“以b ) ：6 上【“ j 以6 ) 。a a ) 所以厂保 ( 5 ) j ( 6 ) ：易证厂保z - 并甘厂是z - s c o t t 连续的设u e 严( d ，s e z ( q ) 使v s 1 贝，则 口u 使得贝乜) v s 又因为v u ：韧，且睢矿所以j “u 使得 u z - w a 再由条件( 5 ) 知， t f ( a ) = f l f i ：刊以回：掂u 棚) 特别地，有“u ：，所以 贝“) m v s ，故3 s e s 使得a u ) = s 即侦n s ，所以侦z ( q ) ( 6 ) j ( 1 ) ：f 为z - s c o t t 连续映射j 厂保z 并，设a z _ t a b ，下证贝口) & 以6 ) v s e z ( q ) ，以6 ) v s 由b f t z , o a e 矿由条件( 6 ) 有a b ) f l 仃m 口) 坝t ：卅) z ( q ) ，则 v 艇侦”z 棚) ，故j “t r 争棚，j s 使得贝“) s s ，又口乞叫u ，所a a ) - s ，故以口) 州 贝6 ) 即厂保 z - t o 定义2 2 0 设p 为z - e x a c t 偏序集，b c _ p 称为p 的z - 基，若b 满足： ( 1 ) v x e p ，( u 争n 曰) 易) ( 2 ) v x e p ，x = v ( u z _ , o x f l b ) 命题2 2 l设p 为z - e x a c t 偏序集，且曰为p 的z - 基若咖具有插入性质， 则n 扫j3 x e b 使得a z - w x z - a , b 证明由z - 基的定义可证 z - e x a c t 偏序集和拟z - e x a c t 偏序集 定理2 2 2 设p ，o 为强z - e x a c t 偏序集，z ( p ) 并完备的子集系统， y x e p ， u ：z ( p ) ，b 为p 的z - 基若g ：b q 是保z - 并和吒甜的映射，则g 可扩张 为一个保z - 极小集的映射g + ：p q 且扩张是唯一的 证明v x e p ，令删= 垤( 上l ：n b ) ( 1 ) ：当x e b 时，由g 保z - 并及其z - 基的定义知，g = g ( v ( u 哥n 刀) ) = 姒) ( 2 ) ：矿是保序的若a b ，则( u ：n b ) ( u ：扫n 功，从而甙u ：卅n b ) 酬上i 舶n b ) ( 3 ) ：g 保z 并的设a e z ( p ) ，v a = a 由g 保序知v 矿) 矿( 以) 故只需证 明g ( 口) s v g 似) y x e ( u ：一。a f q b ) x z - w a 可知，3y e a 使工j ，从而贴) s 矿s v 矿似) ，所以矿0 ) 垤似) ，从而矿( v 么) = v 矿似) 即g + 保z - 并 ( 4 ) ：矿保 z - c a 若v a ，b e p ，口啕o ，由于曰为p 的z 基及命题2 2 1 知，j u ，v e b 使得口吒w u z - 。v z - a , b ，由矿保序以及g 保z 刊知，g ( 以) 5g ( “) g ( u ) z a a 烈d 由g + 的定义知，g ( ，) g + ( 6 ) ，所以矿( 口) ：。，( 6 ) 即g 保州由定理2 1 9 知，g + 保z - 极小集 ， ( 5 ) ：矿是唯一的设h ：p 寸q 是g 的另一个满足条件的扩张，贝1 v x e p ，有 而 ) = ( v ( 虬u x n b ) ) = v h ( 8 ：o n b ) = v g ( u ：n 占) 习 9 江西师范大学硕士学位论文 3z - e x a c t 偏序集的函数空间 定义3 1 设p ，q e o b ( p o s e t ) tp ，o 为z - 完备的，保序映射厂：p 专o 称 为z - e x a c t 的，若v s e z ( p ) ，y ( v e s = v q f ( s ) 注3 2 在本文中映射厂保z - 并与厂为z - e x a c t 的是一个概念 定义3 3 记 尸- q 为从p 到o 的全体z - e x a c t 映射，此时称 p 剑为从p 到o 的函数空间令白：厂j 删，p q 专q 其中x e p ，则称e x 为赋值映射 定理3 4 若白为赋值映射，则白为保序映射 证明设v f , g e p - q r f _ g 映射，因此们荆即白白， 则e x o y ( x ) ，p 心刊由于，g 为保序 故白为保序映射 引理3 5 设p ，q 为强z - e x a c t 偏序集，则对于保序映射厂：p jo ，下述条 件等价： ( 1 ) f 为z - e x a c t 的； ( 2 ) v x e p ，y e q ，y 予埘删今3z e p ，z 纠。声jj ， z 刊_ ，u ) ； ( 3 ) v x 副t ，b ) = v 妖“) ：u z - a p e ) 引理3 6 设p ，q 为z - 完备偏序集，贝j j pjq ( 按点态序) 也为z - 完备的 证明v s e z ( e ) ，则v j ( s ) = v ，s v g 鸭g ) = v g 州距昭= v g 鸱( v $ = 妖v d 其中 产v 冗e p - - * q ，死 p q 】 引理3 7 设p ，q 为强z - e x a c t 偏序集，且z 为并完备的v x e p ，y e q ， 在p 上定义如下函数： 删= 占麓舻 ( 1 ) i xj y 】为z - e x a c t 的 ( 2 ) 若斥 p - q 】，且y 贝砷，n i xjy 】， ( 3 ) 若居 p _ q 】，则产v b j y 】：y 鸲叫贝力 1 0 z - e x a c t 偏序集和拟z - e x a c t 偏序集 证明( 1 ) ：设s e z ( p ) ，则有 邛j 冰v 耻 占嚣s 事实上，若x 叫v s ，则由p 为强z - e x a c t 偏序集知，3 x p 使得x z o j x 刈v s ， 所以3 s e s ，z 吒舻ji x jy 】0 ) = y ，故有 工号卅( v d = v ，s i xjy 0 ) 若x z _ , o v s ，贝j j v s e s ，有x 略，所以有 i x 号y l ( v s ) = v 。s i xjy 】o ) 综上所述，则hj ) ，】为z - e x a c t 的 ( 2 ) ：v ：f e z ( p - q 】) ，卢v 只则v z p ，有匕) v g 硌( z ) ，特别地，有j t x ) _ v g 鸱 ) ， 又因为y z - o g ( x ) ，所以y 州识”吒刈v g 鸱，故j 只y 刈下证明防j y 】 ，若工：。二，则b 净力( z ) 可，又y 彰o ) ( z ) ，若j 彤，则防j 叫= d 从 而d ，故i x 专纠吒成立，从而i xj 纠 z - w f ( 3 ) ：只需证明，v z e p ，有让) = v 防jy ( z ) 秒：。以力) ，事实上，我们有弛) v b jy ( z ) ：y z f f ( x ) ) ，下证相反的不等式：尼) v 防j 纠：y ：。以x ) ) ，为此 只需证，v 口：。以z ) ，都有x * e p ，少e o ，3i x + j 少】( z ) 口，且少 z - w f ( x ) 成立即可事 实上，由于口吒划弛) ，贝j j 3 y 。e q ，使乜，尼) ，由于，肘，则j ，吒, z z ， 矿俺+ ) ，从而庀) sv b j 卅( z ) ：y ：b ) ) 定理3 8 设p ，q 为强z - e x a c t 偏序集，且z 为并完备的厶为z - 完备的， 则 p q 是弱z - e x a c t 的 证明 v f e p - q 】，由引理3 7 ，户v 肛j y i y z 刊j f f x ) = v b 刊 | 防刊】 厂 = v u ：砌厂则 p 一q 是弱z - e x a c t 的 江西师范大学硕士学位论文 4 拟z - e x a c t 偏序集 定义4 1 设p 为z - 完备偏序集，x e p ，a ，b c _ p a 称为z w e a k l yw a y b e l o w b ，记为a z - a b ，若v s e z ( p ) ，v 艇曰号肌个彳，乞。缸 简记为f 争，并 记w z u = 咫尸( 曲：f ) ，s z - w o ) = 脚 叫：，：) 定理4 2 设p ，o 为z - 完备偏序集，q ，印为p ，q 间的g a l o i s 联络，若g 保z 并，则d 保州即犯g c _ q ，刈gj 以d ：捌回 证明设v f ，g c _ q ，f u g ，下证d ( f ) zj ( 6 3 若v s z ( e ) ，v s e a ( g ) ， 则砂g 使得v s = d ( y ) ，由园，回为p ，q 间的g a l o i s 联络和g 保z - 并，、y 罟砑= 甙v d = v 甙s ) 而保z - 并映射是保序映射，故g ( s ) e z ( q ) ，由f 鸲训g ，3 x e f ，s e s 使得z s 加) ，即d ( x ) _ s j s e t d ( f ) j s a t d ( f ) ：k $ ，因此吠刁z 钡g ) 定理4 3设尸，q 为z - 完备偏序集， ，回为p ，a 间的g a l o i s 联络若g 保z - 并，且为满射，贝i v f ，g c q ，政d ：捌g ) j ，：刊g 证明若v f ，g c _ q ，硪刁以回要证，“g v s z ( o ，v 艇g ，贝j j 3 x e g 使得x = v s ，d ( x ) = 4 v s ) = v 4 s ) ，且d ( s ) e z ( p ) ，而烈日 ( g ) ，故jy ，s e s 使m ) s 郴) 因为g 为满射，故伊s 鲥o ) 即j ，s s 号s n 个，妒所以f z - , o g 命题4 4设p 为z - 完备偏序集，彳，b ，c ，d c _ p ，则 ( 1 ) a z - a , bj 个彳枷个b 一 ( 2 ) 4 j 个bc _ i a ( 3 ) 彳吒抽，? a c _ t c ，? b c f b ，从而有c 柚 ( 4 ) 彳乏山8 ，c ：。，dj 似u 6 3 ( b u d ) 定义4 5设p 为z - 完备偏序集，p 称为弱拟z - e x a c t 偏序集，若魄p ，忙 n t f ：f ew z 训) 定义4 6 设p 为z 完备偏序集，p 称为拟z - e x a c t 偏序集，若魄p ，忙n 个f ：尼嵫。) ，且 t f ：氏w z 划) z ( f i n p ) 1 2 z - e x a c t 偏序集和拟z - e x a c t 偏序集 定理4 7 设p 为z 完备偏序集，p 为拟z - e x a c t 偏序集，则p 为弱拟z - e x a c t 偏序集 证明由拟z - e x a c t 偏序集和弱拟z - e x a c t 偏序集的定义可证 定理4 8 设p ，q 为z - 完备偏序集，f g ，回为p ，o 间的g a l o i s 联络，q 为 拟z - e x a c t 偏序集，且d 保 z - a j 则g 保z 并 证明 v s e z ( p ) ，有v 反回反v $ 下证甙v 回s v 甙s ) ，由于q 为拟z - e x a c t 偏序集，可知，个烈v $ = n 个p 足w 刈( 烈v d ) ) ，v 咫屹叫似v d ) ，由d 保龟j 战d 。栅双v d ) v s ，从而3 x e f ，s e s 使得d ) s ，即x s g o ) 故v g ( s ) e n t f ：f e w z 枷( 甄v d ) ) = 个烈v 回，从而v 甙回= 甙v 回 引理4 9 【1 4 1 设z 是具有有限族并性质的r u d i n 子集系统，p 为拟z - e x a c t 偏序集，g e e ( 曲 ) 贝j j t f ：f 刊g e z ( f i n p ) ，且个g = n ，r ，：f u g 命题4 1 0 设z 是具有有限族并性质的r u d i n 子集系统，尸为拟z - e x a c t 偏 序集则： ( 1 ) v 足尸( “”，n “庶矿( p ) ( 2 ) v u e o z ( p ) ，p e u ，j 只三尸( , o ) 使p e l 7 ：谢f c 个月三u 证明( 1 ) ：显然f 扩个t f 弘v s e z ( p ) ，若v s e n ：，由已知，。3 s 6 s 使， z - a ，从而舯介：吒，却故仃争甜f 矿c p ) ( 2 ) ：由p 为拟z - e x a c t 偏序集，仂= n 个f ：氏他叫( p ) ， 个f ：f e w ：_ u ( 一) z ( f i n p ) ，下证3f e w z - , o ( p ) 使? f g u 反之，假设v f e w z - , o ( p ) ，个飑u v 个f i ，l f 2 e f i n p 由泸个阴易验证，个局c ? f 2 j i ( f i u ) _ c i ( f 2 由此可定义保序映射妒：( f i n p ， ) 寸( f i n p ，2 ) ，5 d ( 个d 一个旷由z 为子集系统知， 个f ：凡( p ) e z ( f i n p ) ， 有卿( 个f ：雕w z u ) = 个旷：氏耽。“一e z ( f i m d ) ，c e g ，n g c n ，r ，：氏他u ( p ) ) = 仞由z 具有r u d i n 性质，3 k c _ u m i n ( 1 ( f ) ：f e 屹。i ( p ) ) 满足：( 1 ) x e z ( e ) ； ( 2 ) n t k ：k e 目印，即p _ v k 由p e u e o ；( p ) ，有v k e u ，故3k e k 使k e u ，这与 k c _ u m i n ( ? 伊) ：f e w ：( p ) 2 u m i n ( f ：， ( d ) u 旷：尺! 比( 功) 矛盾故3 f e w z 删( p ) 使 t f c _ u ，从而p 介：哪艇个埏 引理4 1 1 1 4 1 设z 是具有性质m 的r u d i n 子集系统，p 为z - 完备偏序集若 v x e p ，3 v ( x ) c _ w z 。( x ) 满足： 一 江两师范大学硕士学位论文 ( 1 ) n 个，：咫诹) ) h ( 2 ) t f ：f e v ( x ) e z ( f i n p ) 则p 为拟z - e x a c t 偏序集，且( 力= g 训：3 f e v ：。使尼t g ) 定理4 1 2 设z 是具有性质m 的r u d i n 子集系统若p 为z - e x a c t 偏序集， 则p 为拟z - e x a c t 偏序集 证明设p 为z - e x a c t 偏序集，由于u 争厶( p ) ，故3 s e z ( p ) 使得上l 川萨l s 若 沪v u ：也芦，下证忙n t y y e g ：) 显然t x c _ n 砂：y u ：) 下证n 咿：y u ：咄埘 c _ t x ，v t e n 咿：y u x ) ，则，u ：吨芦，有y _ v 8 捌萨x 即t e t x 所以 n 砂：y u ：) = 仳从而n 砂：y u ) = n t z ：z e s s 下证n 砂：y u 砧) = n t z ：z e s 只需证n t z ：z e s c _ n 砂：y 坯) v t e n t z ：z e s ，要证t e n 何：y 、l s