（基础数学专业论文）半正交pars标架小波维函数的刻划.pdf

l - 9 气， 枣 1 、j一 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得 北京工业大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料，与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示了谢意 签名：日期：2 2 坦垒主圈 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公 布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 繇盥名：垃咻2 丝垒塑 _ 0 l i 摘要 摘要 维函数是研究小波性质的重要工具，是近年来小波分析研究中比较活跃的课 题之一2 0 0 1 年，b o w n i k ，r z e s z o t n i k ，s p e e g l e 讨论了联系一般伸缩矩阵的多小波 维函数，研究了维函数的值域特征，刻划了维函数2 0 0 2 年，b o w n i k ，s p e e g l e 引入 一般实伸缩小波维函数概念，以此研究了无理数伸缩m r a 小波、有良好局部化 性质小波的存在性等问题2 0 0 7 年，a r a m b a 童i d ，b a k i d ，r a j i d 得到了维函数的一 些新性质，并刻划了维函数，给出了一个构造维函数的方法本文研究联系一般伸 缩矩阵a 的p a r s e v a l 标架小波维函数，刻划了半正交p a r s e v a l 标架小波维函数的 值域，给出了一个z 周期非负整值函数是一个半正交p a r s e v a l 标架小波维函数 的充分必要条件另外，进一步展开了标准正交小波维函数刻划的( d 4 ) 条件，得 到了一个z 周期非负整值函数是一个标准正交小波维函数的一个新刻划 本文主要结果如下： 定理2 2 1 对任意一个阶伸缩矩阵a 及l 2 ( 酞) 中的一个半正交a p f w 矽，d e 的值域有以下三种可能的情况： ( 1 ) r a n g e ( d e ) = l 】； ( 2 ) 存在k n ，使得r a n g e ( d e ) = o ，1 ，2 ，k ) ； ( 3 ) r a n g e ( d e ) = z + 定理3 2 1 给定一个阶伸缩矩阵a 及一个z 一周期可测函数d ：r _ z + 则d 是一个半正交a p f w 讪对应的维函数等价予以下条件成立： ( d 1 ) 知d ( ) 武= 烨； ( d 2 ) l i m i n f d ( b n f ) 1a e f r n ； n _ + o o ( d 3 ) d ( b ) s d ( + b - 1 d ) d ( b ) + 1 a e r n ； d m 一 北京工业大学理学硕士学位论文 ( d 4 ) x ( f + k ) d ( f ) a e f r ， k e z n 其中= r ：对任意j z + ，d ( b 一) 1 】，b = a t 定理4 2 1 给定一个阶伸缩矩阵a 及一个z 周期函数d ：r _ z + 设 d 满足命题4 1 1 中条件( d 1 ) 7 ，( d 2 ) ，( d 3 ) 7 ，则以下条件等价： ( 1 ) d 是一个a 一小波维函数； ( 2 ) d 满足命题4 1 1 中条件( d 4 ) ； ( 3 ) fcu u( b j r b j 一1 d ) ，且fcu ( 一后) ， j = ld e , 9 4 0 k e z n 其中f = f r ：d ( ) 1 ) ，= r ：对任意jez + ，d ( b 一) 1 ， b ：，4 丁 关键词维函数；p a r s e v a l 标架小波；半正交p a r s e v m 标架小波 i i 一 i a b s t r a c t a b s tr a c t d i m e n s i o nf u n c t i o n sp l a yas i g n i f i c a n tr o l ei nt h es t u d yo fw a v a l e t s ，a n dh a v e b e e na t t r a c t i n gm a n yw a v e l e t t e r s i n t e r e s t b o w n i k ，r z e s z o t n i ka n ds p e e g l ei n 2 0 0 1a d d r e s s e dm u l t i - w a v e l e td i m e n s i o nf u n c t i o n sa s s o c i a t e dw i t hag e n e r a le x p a n - s i v em a t r i x t h e yc h a r a c t e r i z e dt h er a n g eo f s u c hf u n c t i o n sa n dw h a tf u n c t i o n sa r e q u a l i f i e dt ob es u c hd i m e n s i o nf u n c t i o n s b yi n t r o d u c t i o no fg e n e r a lr e a l - d i l a t i o n w a v e l e td i m e n s i o nf u n c t i o n s ，b o w n i ka n ds p e e g l ei n2 0 0 2s t u d i e dt h ee x i s t e n c e o fi r r a t i o n a l - d i l a t i o nm r aw a v e l e t sa n dw e l l l o c a l i z e dw a v e l e t s ，e t c a r a m b a 百i d ， b a k i da n dp 沮j i di n2 0 0 7g a v es o m ep r o p e r t i e so fd i m e n s i o nf u n c t i o n s ，a n do b - t a i n e dar e c i p et oc o n s t r a c ts u c hf u n c t i o n s t h i st h e s i sf o c u s e so nt h ed i m e n s i o n f u n c t i o n so fs e m i o r t h o g o n a lp a r s e v a lf r a m ew a v e l e t sa s s o c i a t e dw i t hag e n e r a l e x p a n s i v em a t r i x t h er a n g e so fs u c hf u n c t i o n sa r ec h a r a c t e r i z e d ；ac r i t e r i o nf o r az _ p e r i o d i cn o n n e g a t i v ef u n c t i o nt ob ead i m e n s i o nf u n c t i o ni se s t a b l i s h e d i n a d d i t i o n ，w ea l s oo b t a i nad e s c r i p t i o no f ( d 4 ) c o n d i t i o nf o ro r t h o n o r m a lw a v e l e t d i m e n s i o nf u n c t i o n s t h em a i nr e s u l t so ft h i st h e s i sa r ea sf o l l o w s ： t h e o r e m2 2 1 g i v e na l lnxne x p a n s i v em a t r i xaa n das e m i o r t h o g o n a l a p f w 矽i nl 2 ( r ) t h er a n g e so fd em u s ts a t i s f yo n eo ft h ef o l l o w i n g ： ( 1 ) r a n g e ( d e ) = 1 i ； ( 2 ) r a n g e ( d e ) = o ，1 ，2 ，k 】f o rs o m ek n ； ( 3 ) r a n g e ( d e ) = z + t h e o r e m3 2 1 g i v e na nnxne x p a n s i v eaa n daz g _ p e r i o d i cm e a s u r a b l e f u n c t i o nd ：r | _ z t h e ndi st h ed i m e n s i o nf u n c t i o no fs o m es e m i - o r t h o g o n a l a p f w 曲i f a n do n l yi f ： ( d 1 ) 厶d ( ) 必= 业q - 1 1 ( d 2 ) l i r a i n f d ( b 1 ) 1f o ra e r ； ( d 3 ) d ( b ) d ( f + b 一1 d ) sd ( j e 7 ) + 1f o ra e r ； i i i ，-iilr 北京工业大学理学硕士学位论文 ( d 4 ) k e z n w h e r ea = ， k e y w o r d s d i m e n s i o nf u n c t i o n ；p a r s e v a lf l a m ew a v e l e t ；s e m i - - o r t h o g o n a lp a r - - s e v a lf l a m ew a v e l e t i v 一 11 i 目录 目录 摘要i a b s t r a c t ：i i i 第1 章绪论1 1 1 概念和符号1 1 2 研究背景和主要结果3 1 3 本文结构5 第2 章半正交p f w 维函数的值域7 2 1 关于p f w 的几个性质7 2 2 半正交p f w 维函数的值域8 2 3 本章小结1 1 第3 章半正交p f w 维函数的刻划1 3 3 1 一些准备1 3 3 2 半正交p f w 维函数的刻划2 0 3 3 本章小结3 0 第4 章标准正交小波维函数的一个注记3 1 4 1 一些辅助引理3 1 4 2 主要结果3 4 4 3 本章小结3 6 结论_ 3 7 参考文献：3 9 致谢：4 3 v ， 第1 章绪论 1 1 概念和符号 第1 章绪论 z 表示整数集 z + 表示非负整数集 n 表示正整数集 r 表示维欧式空间 z 表示维整数点集 t = 卜互1 ，；) 表示n 维环面 一个阶矩阵a 被称为伸缩矩阵是指a 是一个所有特征值的模都大于1 的 整数矩阵对伸缩矩阵a ，我们以b 表示a 的转置矩阵，并记q ：= i d e t b i 我们 将z b z 的不同陪集代表元的完全集记为朋= d o ，d x ，d g ) ，其中要求 d o = 0 r 中的两个可测集相等、包含关系以及两可测函数的相等、不等关系均指 在相差一个零测度集的意义下成立 对r 中可测集e ，称e p = u ( e + k ) 为e 的z - 周期化集合 k e z n 对r 中的一可测函数，定义其支撑s u p p ( f ) 为 s u p p ( f ) = z r ：，( z ) o ) 显然，在相差一个零测度集的意义下，s u p p ( f ) 是唯一确定的 给定可测函数，：r _ z ，集合scz 若对a e z r 有，( z ) s ，且 对每个5 s ，存在一个正测度集玩使得对x 忍有，( z ) 三5 ，那么称s 是函 数厂的值域，记为r a n g e ( f ) = s 映射7 ：r _ t 称作一个平移投影映射是指：7 _ ( ) = f 7 ，- ，并且存在 k z ，使得= + k 北京工业大学理学硕士学位论文 l 2 ( r ) 表示满足 i ii l l z = ( 厶l y ( 删2 如) 。o 的所有函数，作成的h i l b e r t 空间，其中内积定义为 p ( ，夕) 2 厶m ) 丽出( ，夕l 2 ( r ) ) ，r 1 对于任意，l 1 ( r ) nl 2 ( r ) ，定义，的傅里叶变换为 氕) = ，( ) e - 2 r i ( ，f 氓 其中( ，) 表示豫中的内积，驴( r ) 中函数的傅里叶变换按其酉扩充定义 给定伸缩矩阵a 定义l 2 ( r ) 上的伸缩算子d 及平移算子t k ( k z ) 分 别为 d f ( ) = i d e a l 1 ，( 4 ) ，t k f ( ) = ，( 一七) ，( ，l 2 ( 昶) ) 容易验证它们都是酉算子 给定一可分的希尔伯特空间“，“中的一个至多可数序列 厶】- 。，称为一个 标架是指存在0 c = c 1 q o ) ； ( i i i ) i i 妒1 1 2 = i ( 矽，死妒) 1 2 ； k e z n 一砂任意j n 及n e f r ，乒( 伊 + 后) ) 参 + k ) = o k e z n 命题2 1 2 对任意一个阶伸缩矩阵a 以及l 2 ( r ) 中的一个a p f w 妒，妒 是l 2 ( r ) 中的一个半正交a p f w 的充分必要条件是r a n g e ( d e ) cz + 半正交p f w 维函数的值域 引理2 2 1 给定一个阶伸缩矩阵a 满足i d e t a i = 2 设妒是一个半正交的 a p f w ，则妒是一个m r aa 一小波当且仅当r a n g e ( d e ) = 1 】， 证明 由文献 3 9 】中的定理3 以及定理2 的证明过程可知充分性成立，下证必要 性当妒是一个m r aa 一小波时，我们有i i 矽1 l = 1 并且由文献 3 9 】中定理3 可 知 r a n g e ( d e ) c ( 0 ，1 ) ， 再根据引理2 1 1 中的( 1 ) 可知 9 ( v ud e 必= 辫乩 因此我们有r a n g e ( d e ) = 1 】口 引理2 2 2 给定个阶伸缩矩阵a 设矽l 2 ( r ) 是个半正交的a p f w ， 则以下三个条件等价： ( 1 ) r 口n g e ( 巩) = 辫； ( 2 ) q = 2 且i i 矽1 i = 1 ； 一8 第2 章半正交p f w 维函数的值域 ( 3 ) r a n g e ( d o ) = 1 ) ； 此时，砂是一个m r aa 小波 证明由于妒是半正交a p f w ，因此有0 i i 矽1 i 1 再根据命题2 1 2 可知 o r a n g e ( d t f i ) cz + 而由引理2 1 1 知 z 蹦) 埏= 习i i 妒i i 2 a 1 ( 1 ) 净( 2 ) 设( 1 ) 成立，则 鲥蹦= 辫】c z + ， 从而有i i 妒1 i = 1 且g = 2 ( 2 ) 兮( 3 ) 设( 2 ) 成立，则 z 蹦) 必= 习l i 砂i 2 = 1 ， 结合 o ) r a n g e ( d o ) cz + 得r a n g e ( d o ) = 1 】 ( 3 ) 辛( 1 ) 设( 3 ) 成立，则结合引理2 1 1 有 z 蹦f ) 蜓= 习i i 妒1 1 2 = 1 于是( 1 ) 成立 当上述条件中任意一个成立时，根据引理2 2 1 可知，矽是一个m r aa 小 波口 命题2 2 1 1 2 6 】给定一个j 7 v 阶伸缩矩阵a 若ecr 是一个正测度集，那么 jur ( 印e ) i = 1 定理2 2 1 对任意一个阶伸缩矩阵a 及l 2 ( r ) 中的一个半正交a p f w 妒，d 讪的值域有以下三种可能的情况： ( 1 ) r a n g e ( d r , ) = 1 ) ； ( 2 ) 存在k n ，使得r a n g e ( d o ) = o ，1 ，2 ，k ； ( 3 ) r a n g e ( d o ) = z + 北京工业大学理学硕士学位论文 证明首先，由矽是一个半正交a p f w 及命题2 1 2 , - - 1 知，0 忑1 1 砂1 1 2 因此，为完成定理证明，我们只需证明如下结论：若k r a n g e ( d 妒) 满足k 样， 则k 一1 r a n g e ( d e ) 我们用反证法证之假设存在k r a n g e ( 吼) 满足k 百1 1 母1 1 2 ，但k 一1 隹 r a n g e ( d e ) 记e k = 亭r ：d 妒( ) = k ) ，则i e i 0 由引理2 1 1 及命题 2 1 1 知： d 妒( b f ) = d 妒( f + b - l d ) 一唧( b ) k 一1 如) d e a 4 再注意到k 一1 芒r a n g e ( d e ) ，我们有 d 妒( ) k ( f b 五k ) 对集合b e k 再应用引理2 1 1 及命题2 1 1 可得： d e ( f ) k ( b 2 既) 重复这一过程可得：对任意j 5 1 ，有 d 妒( ) k b e k ) 1 0 第2 章半正交p f w 维函数的值域 结合d t f ，的z 一周期性可知：对任意j n ，有 d 妒( ) k ( f 7 ( b e k ) ) 根据命题2 2 1 可知lu 丁( e ) i = 1 ，于是 j = x 上。妒( ) 必k l 豆丁( b j e ) i = k 这与引理2 1 1 矛盾证毕口 2 3 本章小结 i i 矽1 1 2 q 一1 本章推广了b o w n i k 等人在文献【2 6 】中关于正交小波维函数值域的结果，刻 划了半正交p f w 维函数的值域 i 第3 章半正交p f w 维函数的刻划 第3 章半正交p f w 维函数的刻划 本章讨论l 2 ( r ) 中半正交a p f w 维函数的刻划 3 1 一些准备 命题3 1 1 【4 0 】对任一矽l 2 ( r ) ，都有 w o = 否丽_ 砭妒：k z = ，l 2 ( r ) ：存在z n _ 周期函数h ，使得氕) = 九( ) ( ) ) ( 3 1 ) 命题3 1 2 4 q 给定一个阶伸缩矩阵a 及砂l 2 ( r ) 则妒是一个a p f w 的充分必要条件是 o o i f ( 8 。钟= 1 j e z a e r ，( 3 - 2 ) “( ) 三痧( b ) 万( 尉( + 后) ) = 0 口e k z b z ( 3 3 ) j = o 引理3 1 1 给定一个阶伸缩矩阵a 及r 中的一个可测集，定义妒为： 一 2 妒= ) ( 设函数矽满足m = x w 则以下条件等价： ( 1 ) 妒是一个a p f w ； ( 2 ) 矽是一个半正交a p f w ； ( 3 ) 对a e r 有x w ( + k ) 1 ，x w ( 伊) = l ； k e z nj e z ( 4 ) 妒是一个a p f w ； ( 5 ) 妒是一个半正交a - p f w 证明由文献 4 2 中定理2 知：( 1 ) 与( 3 ) 等价再由( 3 ) 可知：对( j ，后) ，( j 7 ，k 7 ) z z ，j j 7 ，有d j t k 矽上d j 7 t k ，妒于是( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 相互等价根据命题3 1 2 ， 1 3 北京工业大学理学硕士学位论文 由( 3 ) 可推出( 4 ) 若( 4 ) 成立，则应用命题3 1 2 知：对( 歹，七) ，( j 7 ，k 7 ) zxz ， j j 7 有d j t k 妒上t k ，矽，从而( 5 ) 成立下证( 5 ) 可以推出( 3 ) 假设( 5 ) 成 立 由命题2 1 1 可得：对a e r ，) ( w ( + k ) = ( ) 1 再由命题 挺z 竺 。 3 1 2 得：对a e r ，x ( ) = i 妒( ) 1 2 = 1 因此( 3 ) 成立r l j e zj e z 由广义p f w 尺度集的定义，我们有下面引理： 引理3 1 2 给定一个阶伸缩矩阵a 集合scr 是一个广义a p f w 尺度 集的充分必要条件是存在一个p f w 集，使得s = ub j w j = t 引理3 1 3 给定一个阶伸缩矩阵a 一个可测集scr 是广义a p f w 尺 度集的充分必要条件是： ( i ) scb s ； ( i i ) l i mx s ( b 一“) = 1a e f r ； n o o ( i i i ) d ( b f ) d ( + b _ d ) d ( b ) + 1a e f r ， d m 其中d ( ) = ( + 七) 七z 证明必要性根据定义直接可得( i ) 由引理3 1 2 可知，存在一个a p f w 集 彤使得s = ub j 应用引理3 1 1 得：对a e r ，有 j = l 从而 x w ( ) = ( b 一”) ， j = - n + l 熙x s ( j e 7 哪f ) = ) ( w ( ) = l ，n _ 一j j z 即( i i ) 成立下证( i i i ) 由引理3 1 2 知：b y w ，j z ，互不相交因此，对a e 一1 垂 第3 章半正交p f w 维函数的刻划 r ， d ( + b - l d )= ) ( s + b - t d + 七) d e a ，i dea4k e z n = x w ( ( + b - 1 d + 七) ) d e a 4k z j = l 0 0 = x ( 。1 ( 联+ d + b 惫) ) d e a 4k e z nj = l o 。 = x ( b j ( 鹾+ 克) ) = x ( ( 联+ 后) ) + x w ( b + 后) k e z nj = tk e z n = d ( b ) + x w ( b + 后) ， ( 3 4 ) k e z n 而由引理3 1 1 可知x w ( b + 尼) 1 ，于是( 俐) 成立 七z 充分性记w ：= b s s 下证w 是一个a p f w 集由scb s 可得：对 a e r ，x s ( ) = ) ( w ( ) 于是 j = t o。00 x s ( b 一”f ) = ) ( w ( b 一州) = ) ( ( b j ) j f f i lj = - - n + l 结合( i i ) 可得：对a e 车r ， x ( ) = l j e z 由( 谢) 与( 3 4 ) 可知，对a e 荨r ，有 d + b - d ) = d ( b ) + x w ( b f + 七) d ( j e 7 ) + 1 ， d e a 4 七z 从而x w ( b + 克) 51 因此，对a k e z n ( 3 - 5 ) e 专r ，有x w ( + k ) s1 结合 知z ( 3 - 5 ) 及引理3 1 1 可知：w 是一个a p f w 集 口 一1 5 - 北京工业大学理学硕士学位论文 命题3 1 3 【2 6 】设豆是i i 的一个可测子集，那么一定存在一可测集ec 豆满 足7 - ( e ) = 7 ( e ) ，并且7 - i e 是单射 命题3 1 4 【2 6 】给定一个阶伸缩矩阵a 及一个z 周期可测函数d ：r _ z + 记 = 砭：对任意j z + ，d ( b 一7 ) 1 ) ， ( 3 - 6 ) a j = t ：d ( ) 歹) ( j n )( 3 7 ) 设对n 蠢r ，x ( + k ) d ( ) 研，岛，晶是有限个可测集，满 足：对每个1 i 礼， 丁( & ) = a i ，r l s , 是单射 则 ( a ) 存在可测集g 使得丁( g ) = a i ，并且对g 及j z + ，有d ( b 一) 1 ； n ( b ) 存在与u & 不相交的可测集h 使得7 - ( h ) = a n + 1 ，并且对h ， = 1 j z + ，有d ( b 一) 1 引理3 1 4 给定一个阶伸缩矩阵a 及一个z 一周期可测函数d ：r _ z + 设对o e r ，l i mi n fd ( b 一“) 1 ，定义 e ：= a n ( n p ) j = o 其中卣( 3 - 6 ) 定义，则 ( 1 ) ecb e ； ( 2 ) t i e 是单射； ( 3 ) l i mx e ( b 一“) = 1a e r ； ( 4 ) d ( ) 1 ，其中f e 证明 由e 的定义知：( 1 ) ，( 4 ) 成立，且ect ，从而( 2 ) 也成立下证( 3 ) 在 r 中定义范数i i ：对任意z r 2 。m 洲a x 阱 一1 6 - 第3 章半正交p f w 维函数的刻划 由1 i m0 b ”忭 1 知：存在? g o n ，使对任意n 礼o ，有 n l i b 一“z i i 。l i b n 洲z i l 。l i z l i ( z r ) 因此，当n n o 时，b n t c - ：，即t cb “t 由此得：nb 3 t = 一b i t ， j = o j = o 从而存在原点的一个领域q ( o ，6 ) cnb a t 注意到d 是一个整数值函数，由 l i m i n fd ( b 一“) = 1 ( a e r ) 知：对a e f r ，存在心n ，使得对任 意n 代，有d ( b 哪) 1 ，且b 叫q ( o ，6 ) ，从而b g n ( u ( o ，6 ) ) ce ， 即( 3 ) 成立口 引理3 1 5 给定一个阶伸缩矩阵a 及一个z 周期可测函数d ：r _ z + 设d 满足：对n e r ，x ( + 后) 之d ( f ) ，且1 骢蜜d ( b 一“毒) 1 ，e k6 z j v 一。 满足引理3 1 4 的条件则存在一个可测集s 1cr 满足： ( i ) ecs 1 ； ( i i ) s xcb s l ； ( 讹) r i s 。是单射； ( i v ) 7 - ( s 1 ) = a 1 证明记e 1 = e ，并且对n n ，定义 e n + l = ，、i o = l 砰) n a f 那么根据命题3 1 3 ，对每一个n n ，存在集合玩+ 1c 鼠+ 1 使得7 ( 玩+ 1 ) = 丁( 风+ 1 ) 并且丁i 晶+ 。是单射定义岛= u 晟，下面证明s - 满足引理要求 显然，( i ) 成立注意到e xcb e l 当n 2 时，取c 晶cb 玩一1 由此可 条件( i i ) 成立为证明条件( i i i ) 成立，假设1 ，已s 1 并且7 ( 1 ) = r ( f 2 ) ，那么需 0 0 要证明1 = 已因为& = u 忍，所以存在j ，七n 使得1 e j 并且已e k i = 1 1 7 & 8 i i & c o u = l c 已 u ：l = & 知 北京工业大学理学硕士学位论文 不失一般性，假设j k 若j 2 ， 与隹b j o + l a f 相矛盾，从而k ( 0 ) 1 而由( 3 - 1 2 ) 得k ( 0 ) 1 ，因此 k ( 0 ) = 1 ，b j o 一1 a f ( 3 - 1 8 ) 再注意到7 ( s 1 ) = a 1 ，我们有b j o 一1 f s f ) ，即存在钾z 使得b j o - - 1 荨+ 鳄 s 1 由此得 b 一如+ b 钾b s i = b r 对d m o