（基础数学专业论文）一类多项式微分系统的定性分析.pdf

独创声明 v5 9 8 4 1 1 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 ( 注：如没有其他需要特别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或 证书使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：苍泉戍 签字日期：2 0 0 4 年乒月巧日 导师签字 参掀 ， 签字日期：20 0 4 年9 月比日 索璺作者、导师嗣霹 粕套艾公柯 一类多项式微分系统的定性分析 李宗成 ( 山东师范大学数学系，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 本文首先讨论了系统 j 圣= o o 茁3 + n l 。2 y + a 2 x y 2 + a a y 3 = p 3 ( 刚)、 l 雪= b o x 4 + 6 l z 3 y + b 2 2 2 y 2 + b s x y 3 + b 4 y 4 = q 扛，y ) 川 当右端多项式无公因式时的全局拓扑结构，并画出了相应的全局相图 迄今为止，对( 日) 比较系统的研究成果基本上还是空白，这主要是因为系统 的未知参量过多，而且其示性方程g ( o ) = 0 与h ( o ) = o 有公共根，有限远奇点 退化程度较高。利用高次奇点理论研究系统的全局结构十分困难，为了克服上述困 难，文中采用了g u r e v i c h 的代数不变式理论和l l i b r e 代数分类的思想，把q 4 ( 。，y ) 分成十个等价类，从而把系统( 硪) 分成十个等价类，只需研究这十拓扑等价类就 可以了在讨论过程中综合利用了张芷芬、李学敏、胡钦训等人对于高次奇点的研 究思想 其次，文中还讨论了一类余维二的高次退化平面多项式系统= y + p ( x ，) ，口= q ( 。，y ) 的极限环的分布情况，这里p ( x ，) ，q ( z ，y ) 是x ，y 的最低次数为五的多项 式利用正规形理论将上述向量场简化，则对上述向量场的研究等价于对e 孑型 的中心对称的五次l i 6 n a r d 方程 j 圣= 可 i 雷= # i x + # 2 y + a x ”+ b x n - t y ，b 0 的研究，这里礼= 5 对n = 5 或竹；3 ，b o g d a n o v 、t a k e n s 、c a r t 等先后进行了局部分叉研究， n = 5 时陈芳跃利用p i c a r d f u c h s 方程法也进行了局部分叉研究王明淑、罗定 军、李学敏、索光俭、李继彬、王现等人对n = 3 时进行了大范围分析研究，文章 中借鉴了他们的研究方法利用了周毓荣、韩茂安等人对包围多个奇点的极限环的 唯一性和唯二性的研究成果，对n = 5 时进行了大范围分析研究，得到了极限环的 分布情况 2 关键词：高次奇点，正常区域，代数不变式，全局相图，极限环 分类号：0 1 7 5 1 2 3 q u a l i t a t i v ea n a l y s i sf o rac l a s so fp o l y n o m i a l d i f f e r e n t i a ls y s t e m l iz o n g c h e n g d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n g n o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w em a i n l yd i s c u s st h eq u a l i t a t i v ea n a l y s i sa n dt h ed i s t r i - b u t i o n so fl i m i tc y c l e so fas p e c i a lk ：m o d e lo fp o l y n o m i a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m f i r s t ，w ed i s c u s st h eq u a l i t a t i v ea n a l y s i so ft h es y s t e m ： j 圣= 8 0 写3 + 。i 。2 分+ a 2 x y 2 + a 3 y 3 = p 3 ( r 酽3 、 i 雷= 6 0 2 4 + 6 l z 3 y + 6 2 。2 y 2 + b 3 x y 3 + h 矿= q 4 0 ，y ) 、l i ， j w h e r ep 3 ( z ，y ) a n dq 4 ( x ，y ) h a v en oc o m m o nf a c t o r w eo b t a i ns o m ec o r r e s p o n d i n gp h a s ep o r t r a i t so ft h es y s t e m t h em a i nt e c h n i q u e su s e di nt h i st h e s i si n c l u d e t h ei d e ao f a l g e b r a i c c l a s s i f i c a t i o no fl l i b r e ，a n dt h ei d e a so fh i g h o r d e rc r i t i c a lp o i n t o fp r o f e s s o rz h a n gz h i f e n 、l ix u e m i n 、h uq i n x u ne t c b ym e a n so ft h et h e o r y o fa l g e b r a i ci n v a r i a n t ，w eo b t a i nc a n o n i c a lf o r m so ft h ef o u r t h o r d e rb i n a r yf o r m s o i lt h er e a ld o m a i n t h e no nb a s i so ft h i s ，w eo b t a i nt h ea l g e b r m cc l a s s i f i c a t i o no f t h es y s t e m ( 磁) t h e r e r et e nt o p o l o g i c a le q u i v a l e n tc l a s s e s s ow eo n l yn e e ds t u d y t h e m s e c o n d ，w ea l s o d i s c u s st h ed i s t r i b u t i o n so fl i m i t c y c l e so f ac l a s so fc o d i m e i l s i o n t w od e g e n e r a t eh i g h t e rp o w e rp l a n ep o l y n o m i a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m ： i 圣= y 十p ( x ，y ) i 口= q ( x ，y ) w h e r e p ( 。，y ) a n dq ( 。，可) a r ep o l y n o m i a l s o fd e g r e en o tl e s st h a n5 w er e d u c et h e v e c t o rf i e l db yn o r m a lf o r mt h e o r y t h e nt h es t u d yi se q u i v a l e n tt ot h es t u d yo ft h e s y s t e m ： j 圣= 掣 i 口= 卢l 。+ + a x 8 + b x “_ 1 9 ， a b 0 ，n = 5 w h i c hi sac l a s so f5 - d e g r e el i 4 n a r de q u a t i o n sw i t hc e n t r a ls y m m e t r y t h em a i n t e c h n i q u e su s e di nt h i sp a r ti n c l u d et h ei d e a so fw a n gm i n g s h u 、l u od i n g j u n 、 l ix u e m i n 、s u og u a n g j i a ne t c ，w h i c ha r eu s e dt os t u d yt h eg l o b a la n a l y s i sf o r 4 n = 3 w ea l s ou s et h er e s u l to fz h o u y u r o n g 、h a nm a o a n ，w h i c h i st h eu n i q u e n e s s a n dd u a l i t yo fl i m i tc y c l e ss u r r o n d i n gs e v e r a ls i n g u l a rp o i n t s a sa r e s u l t ，w eo b t a i n t h ed i s t r i b u t i o n so fl i m i tc y c l e s k e yw o r d s ：h i g h o r d e rs i n g u l a rp o i n t ，n o r m a lr e g i o n ，a l g e b r a i c i n v a r i e n tg l o b a lp h a s ep o r t r a i t ，l i m i tc y c l e s c l a s s i f i c a t i o n ：0 1 7 5 1 2 5 第一章综述及预备知识 1 1综述 本文属于常微分方程定性理论与分支问题的范畴 常微分方程是数学中一个古老的分支，也是一个仍然充满活力的分支，它从产 生到现在，已经经历了近四百年，包含了众多人的研究成果，内容极其丰富在1 7 世纪末及1 8 世纪，常微分方程的研究主要集中在求微分方程各种具体类型通解的 明显表达式上，在求解方法及应用上都取得了相当的成绩，1 8 3 5 年，c a u c h y 对 常微分方程解的存在性提供了严格的证明，但是l i o u v i l l e 于1 8 4 1 年证明了黎卡堤 方程 兰d 芝, r = 尸( 盘) 掣2 + q 扛) 轳+ r ( z ) 的解一般不能用“初等函数”表示出然而，科学研究和实际问题急需求解微分方 程，研究解的性质，这就促使人们开创并发展了微分方程定性理论 微分方程定性理论是h p o i n c a r 6 工作的影响下发展起来的，以其在1 8 8 1 1 8 8 6 年发表的题为“微分方程所定义的积分曲线”的四篇经典论文为标志而诞生的一个 新的数学分支它的基本思想是：在不求解微分方程解的情况下，根据方程本身的 结构和特点来确定其积分曲线的分布和解的性质比如，对某些给定系统确定其周 期解的存在性或解的有界性经过一百多年的充实和发展，已成为从事许多学科和 尖端技术( 包括自动控制技术，经济学，生物学，密码学等) 不可缺少的数学工具 多琐式微分系统的定性理论在定性理论中占有重要地位，是研究其他问题的基 础它不仅在纯数学领域中是有价值的，而且对应用领域而言，也是必不可少的， 它能对机床的切割、电子管振荡、生物、化学、物理等许多领域中出现的大量的数 学模型提供有利的数学工具例如，研究生物体在病毒入侵后产生免疫反应系统： j 亩= z 【一a 2 一k a 2 x + k ( o t 2 一a 2 ) g 一争x y l i 口= 协l k ( a l a 1 ) 。+ k a t y 】 研究无浓度扩散时，p r i g o g i n e 的三分子模型可归结为系统： i = a 一( b + 1 ) z + x 2 y i i l = b z _ 可 具有平方阻尼的振动系统，其振动方程为： 圣= l 誊= 一；z 一；9 2 ， ( y o ) 6 著名的v a nd e lp o l 方程； 苗+ p ( z 2 1 ) 圣+ 石= 0 ，( 弘 0 ) 生态v o l t e r r a v o t k a 捕食方程： j 圣= ( a - b y ) z l 口= ( e z d ) y ，( a ，b ，c ，d o ) 总结前人的成果可以看出，人们对多项式系统研究最多、最完善的主要是二次 系统，特别是叶彦谦的专著多项式微分系统定性理论 2 】对于多项式系统特 别是二次系统的发展及所应用的方法作了比较全面的概括与总结但是人们对三次 以上的系统的研究，一方面由于研究时间比较短，另一方面系统本身也非常复杂， 目前对其了解还很不完善，所获得的成果主要是对一些特殊情形下的高次系统的研 究主要成果如下：对奇点的一般性理论的研究( 如【1 2 1 1 2 1 ) 得出鞍点量计算公式 及系统的可积条件；研究由中心焦点问题跳出极限环的文章，如【2 0 】成功地讨论 了一次加三次的中心焦点问题；李继彬等利用p o i n c a r 6 分支理论研究了一个至少 有十一个极限环的三次系统( 如【1 9 1 ) ；具有代数曲线解的三次系统( 如 3 0 1 1 3 1 3 2 ) ； 齐次三次系统的拓扑结构和分类( 如f 6 】f 7 】) ；有关有界三次系统的文章( 如f 1 8 】) ；有 星形结点的三次系统的全局结构( 如【1 1 】) ；一次近似为鞍点或中心的三次系统等方 面的文章( 如【4 6 d ；有关分岔方面的文章( 如 2 2 】【3 4 】【4 7 】) ；有关极限环的文章( 如 15 1 2 0 1 【3 1 1 ) 等 对于右端无公因式的( 日) 系统：圣= t 3 ( z ，g ) ，0 = q 4 ( x ，y ) ，由于右端未知 参量过多，研究其全局结构便十分困难，目前还很少见到这方面的研究成果本文 利用代数不变式的思想对铂( 茁，y ) 进行分类，得到( 日) 系统的十个不同的分类， 然后对每一个等价类用定性的方法加以讨论，从而获得一些相关结果 此外，文中还讨论了一类余维二的高次退化的平面多项式系统； 士= y 十 p ( x ，) ，口= q ( q y ) 的大范围分析，得出了其极限环的分布情况，这里p ( x ，) ，q ( x ，y ) 为t ，y 的最低次数为五的多项式 微分方程组 1 2预备知识及基本引理 靛麓嚣萎y g 篡掣 z m i9 = ，二( 。，”) + 皿( 。，) = y ( z ，掣) 7 其中x 。，k 分别是z ，y 的m ，n 次齐次多项式，m ，n 1 ，且垂= 0 ( r m ) ， i j = o ( r ”) ，当r 斗0 时，o ( o ，0 ) 为( 1 2 1 ) 的孤立奇点，即x = ( 0 ，0 ) = r ( o ，0 ) = 0 ， 且当0 仃， 其中a ( o ) = 一s i n o x m ( c o s o ，s i n o ) ， i f m n ， 日( 日) = c o s ( c 0 8 0 ，s i n o ) ， i f m o 则a o a k b 女：l o o k i 兰e r r 1 是第一 类正常区域，故有无数条轨线沿0 = 0 k 进入原点 引理1 2 ，3 1 1 7 1 设l 是奇数，c h k 0 则o 硇 是第二类正常区域，有轨线 沿0 = o k 进入原点 注；只有一条轨线还是有无数条轨线进入奇点d ，构成第一类判别问题，对此 问题有 引理1 2 班7 】设0 = o k 是o ( o ) = 0 的2 重根f 为奇数，g ( ( 巩) h ( o k ) 1 时圣= o ( t m + 1 ) ，皿= o ( r 8 + 1 ) ，r 0 ，则( 1 2 1 ) 只有唯一的轨线沿0 = o k 进入奇点o 注；对多项式系统，弓f 理1 2 。4 的结论自然成立。 设0 = o k 满足g ( o k ) = o ，h ( o k ) = 0 ，此时在扇形a o a k b k 上，无论e 和r o 取得怎样小，弧上既有向内走的积分曲线，又有向外走的积分曲线。这时单靠边界 9 口= 靠一e , o = 氏+ 上积分曲线的走向就无法断定整个扇形区域内的积分曲线的 走向，此时由文献【5 】： ( i ) 可利用和特殊方向0 = o k 在原点相切的垂直等倾线 = 0 ) 和水平等倾线 ( 0 = 0 ) 把角域以一e 日 巩+ e , o m c ( 当以= 署时：；一e 口 ；+ ， 0 y e ；当巩= 警时：誓一 口 挚+ e , - - c y 0 使蕊8l 耳y ) so ( 0 ) 在角域内当0 z c ( - c 。 0 ) 时处处成立，那么这个角域内部不可能有两条积分曲线进入或走出原点 当对应的线性系统含有一个零特征根或两个零特征根时，总可以通过适当的线 性变换和时间变换，把所给的非线性系统分别化为： 圣= p 2 ( z ，) ，1 7 = y + q 2 ( z ，y )( 1 2 4 ) 圣= y 十p 2 ( z ，) ，口= q 2 ( z ，y )( 1 2 5 ) 其中0 ( 0 ，0 ) 是( 1 2 4 ) 及( 1 2 5 ) 的孤立奇点，且p 2 ( z ，g ) ，q 2 ( z ，y ) 都是( o ) 内次数不低于2 的解析函数，于是当6 充分小时有下面的结论： 引理1 2 7 【1 7 】对于系统( 1 2 4 ) ，若在& ( o ) 内存在解析函数y = 妒( z ) 满足 妒( z ) + q 2 ( z ，妒( z ) ) 兰0 ，l z i 0 时，o ( o ，o ) 为不稳定结点 ( i i ) 当m 是奇数，且a 。 o ( 仇或7 1 , = m 且a 0中心或焦点 n 为偶数，扎 m 或 a 2 m + 1 0b 。0礼= m 且a 0结点 n 为奇数，n m 退化奇点，如图( 1 2 3 ) n m 鞍结点，如图( 1 2 4 ) 注：实际上在引理1 2 9 中，当b 。o , n t o , 时，可以根据n 的奇偶性 b n , a ：。的正负情况对鞍结点作更详细的划分，见【4 5 】 当? l 为奇数时的 鼍。 ? 心。 鬈 夕! 翟 - _ 。 石 n 夕 瓤 当7 , 为偶数时的图形为 】1 一九 o j 文丑n 0 考虑非线性方程 k 口，疋城o 3 心。 厂w 刈r l 心 、 心 6 f 口，q h o b o 水。 圣= a x + ，( o )( 1 2 6 ) 其中，f c 。( 形，冗”) ，f ( 0 ) = 0 ，2 9 i ( 0 ) = 0 作非线性变换x = t y ，则( 1 2 6 ) 化为 口= ( t _ 1 a t ) y + f ( v )( 1 2 7 ) 记t _ 1 a t = 以则j 为j o r d a n 标准形。将f ( y ) 在y = 0 点泰勒展开，得到 f ( f ) = b ( g ) + ，仍以z 表示y ，则( 1 2 7 ) 可表示为 圣= j x + f 2 ( z ) + f 3 扛) + + f r l ( x ) + o ( i xe 7 )( 1 2 8 ) 以( z ) h k ，h k 为礼元礼维k 次多项式所组成的空间，k = 2 ，3 ，r 一1 则有 引理1 2 1 0 【2 5 】【3 3 1 ( e 规形定理) 设x 彤7 ( 舻) ( 或爿7 ( g “) ) ，x ( o ) = o , 2 9 x ( o ) = j ，并且x 有表达式( 1 2 8 ) ，则在原点附近存在一系列变换 z = y + h k ( y ) ，k = 2 ，3 ，r 一1 h k ( y ) h k ( ) 经过一系列变换( 每次变换后把y 换为盘) ，可将( 1 2 8 ) 变成如下形式 圣= d x + 巧( 茁) + 瑶( z ) + + 鼍1 ( z ) + o ( i x l 7 )( 1 2 9 ) 其中巧( z ) g ，2 k r 一1 ，g k 是l j ( h k ) 的补空间算子l j 由下式定义： l j ：h k _ h e ，l j ( h k ( x ) ) = j h k ( z ) 一d h k ( z ) g z ，k = 2 ，3 ，r 一1 定义1 2 4 微分方程( 1 2 9 ) 的j 次截取式( 2 j 冬r 一1 ) 圣= j x + 巧0 ) + 目 ) + + 巧( z ) 其中口( z ) g i ， = 2 ，3 ，d 称为( 1 2 9 ) 的j 次正规形 设依赖于参数的向量场已化为能用中心流形定理的标准形式 j 把加+ m ，y ，i t ) ( 1 2 a 0 ) l 口= b x + g ( x ，y ，肛)( z ，y ，i t ) r cxr 。r p 其中a 为特征根有零实部的c xc 矩阵，b 为特征根有负实部的s s 矩阵， y ( o ，0 ，0 ) = o ，2 9 f ( o ，0 ，0 ) = o ，g ( 0 ，0 ，o ) = o ，d g ( o ，0 ，0 ) = 0 ，g 是( 。，y ，肛) = 1 2 ( 0 ，0 ，0 ) 附近的9 函数将参数p 看作新的变量，则变为 ( z ，y ，p ) r 。r 5 f 妒 在( 1 2 1 1 ) 的c 中心流形 ( 1 2 1 1 ) i = ( 。，y ，) i = ( z ，p ) ，i x l 6 ，i p i 6 ，h ( 0 ，0 ) = 0 ，d h ( o ，0 ) = o 当“充分小时，限制在中心流形上的向量场是下面的c 维向量场 也= a u + ，( u ， ( “，p ) ，卢( 1 2 1 2 ) i 豇= 0( u ，肛) r c r p 。 h ( u ，弘) 满足： n ( h ( x ，p ) ，) = d 。h ( x ，p ) 【a z + ，( z ，h ( x ，p ) ，p ) 】一b h ( x ，肛) 一g ( x ， ( 。，肛) ，卢) = 0 ( 1 2 1 3 ) 定义1 2 5 当向量场的线性部分矩阵有一对复特征根，并随参数变化而穿越虚 轴时，在奇点附近的一个二维中心流形上，奇点的稳定性发生翻转，从而在奇点的 附近产生闭轨的现象称为p o i n c a r 6 一a n d o r o n o v h o p f 分岔，简称h o p f 分岔。 考虑l i 6 n a r d 型方程 茧+ 厂( z ) 圣+ g ( z ) = 0 ( 1 2 1 4 ) 或它的等价方程组 f ； 山一玑( 1 2 1 5 ) l 口= 一，( o ) 可一g ( o ) 假设函数，( z ) 和g ( x ) 在区间( b , a ) 上有定义且连续，此外满足保证初值解的 唯一性条件，其中一o o b o a + o 。，带形区域d ：b 茹 n ，川 o 。，如果 f ( x ) 的零点在9 ( z ) 的零点之外( 相对于坐标原点) 时，则有如下引理 引理1 2 1 2 3 s l 设存在b x i 0 x l 0 ( i i ) 当x ( 。i ，z 1 ) u o 时，( z ) o ( o ) ( i i i ) 函数，( 。) ，耋等与垒号a 产在( 。，a ) 上不减 ( 1 v ) 函数， ) ，耋碧与壁= ；斟盟在( b ，茁i ) 上不增 如果还存在b z ：s $ i 0 x l z 2 a 使得 ( v ) g ( 。：) = g ( z z ) ，其中a ( x ) = 后口( ) 必 1 3 ， ，存 玑 玑理 定 “ “形 + + 流 a o b m “划朝忡 士p可rc，【剐阻 理 ( v i ) ，( z ) 0 ，当z 【。；，。2 】 则方程组( 1 2 1 5 ) 在带域d 中至多存在一个极限环若存在，此为包围全部奇点 的稳定环 如果，( 石) 的零点在9 ( 。) 的零点之外( 相对于坐标原点) ，则有 引理1 2 1 3 3 8 】假设存在b z ：z i z 6 0 。o 。1 z 2 0 时，令。= z 1 ( z ) = 詹9 ( ) 蜓( 。 o ) ，其反函数为x = 2 2 1 ( 。) ，又 譬，( f ) 武= r ( x ) = f ( x l ( z ) ) = r ( z ) 当x o ) ，其反函数为z = z 。( z ) ，又 信，( ) = f ( 。) = f ( 茁z ( z ) ) = 局( z ) 则方程组( 1 2 1 6 ) 当z o 和z o ) (1217)d 面2 五。一y5 ，1 例一y i 。 ”j1 1 z 1 。j 半= 最( z ) 一y( z o )( 1 2 1 8 ) 掣 引理1 2 1 4 设f 1 ( z ) ，f 2 ( z ) c o ( z 0 ) n c l 0 o ) ，又当z 0 时f 2 ( z ) f 1 ( z ) ，而当0 g 1 时局( z ) f l ( 。) ，则方程( 1 2 1 7 ) 和( 1 2 1 8 ) 的具有相同初 值条件毛( 可o ) ( 可o 0 ) 的解五( 口) ，满足z l ( ) 砘( y ) ，y o y y r 其中【y o ，坍】是 盈( g ) 的公共存在区间，i = 1 ，2 由此推得方程组( 1 2 1 6 ) 不存在闭轨线 证明：如图 jd b i 、础1 瓦 吣 o 量 。 量 1 4 石 参， 。、 弋 。 因为z 0 时f 2 ( z ) f 1 ( z ) ，且当0 z 1 时，玛( z ) f 1 ( 。) 所以当 z 0 且0 f l ( z ) 一y 从而对方程( 1 2 ，1 7 ) 和( 1 2 1 8 ) 应用微分比较定理可得其解满足以( y ) 。2 ( ”) ，y o y 0 时令z = 露孽( 0 ，则f ( x ) = 矗( z ) ；当珏 o ，m 。和m 。使酬则) = 三羔，i i ，f 浆： ( 凰) ：存在常数a 0 ，使得当2a 时x g ( z ) o i 当。a 时g ( x ) 单调上 升， ( h 3 ) ：当_ o 。时，1 9 ( 正) i o o ，而且稿= o 、i ；i 1 ) ， ( g ( z ) = 偌g ( z ) 出) 引理1 2 1 6 1 7 j 设条件( 日1 ) ，( 上k ) 和( 风) 成立，又设连续函数p ( t ) 是有界的， 则对于平面( z ，y ) 上的任何有界区域咒，存在一条简单闭曲线j ，使得咒在l ，的 内部，两且方程( 1 2 。2 0 ) 的任何与，相交的轨线都正向走进t ，的内部。 1 5 第二章 代数不变式理论及( 明) 系统的拓扑分类 2 1代数不变式理论 设k 为复数域e 或实数域r ，令k x l ，z 2 ，z 。 是含n 个变量的多项式所 形成的环，我们知道，k x l ，。2 ，。 中次数为r 的齐次多项式所形成的空间同 构于n 维向量场e 上的r 次对称共变张量所形成的空间s r ( e ) ，因此，任意n 元 r 次齐次多项式都可以看作r 次对称共变张量 设是e 到e 的非退化线性变换所形成的集合，是线性变换群l ( e ，e ) 的子群，在s ( e ) 上定义如下关系： v ，簟s r ( e ) ，r 9 = 亭j 盯e 使口( z ) = ，( 盯( 。) ) ，、，卫e 容易证明r 为s ( e ) 上的等价关系称r 为由盯诱导出的等价关系由此关系， s ( e ) 可被分成几个等价关系 设诉：s ( e ) s ( e ) ，满足矗( ，) = 夕，v f ，g s ( e ) ，称珥是盯诱导出的映 射，若：g ( x ) = 听( ，( z ) ) = ，( “( z ) ) ，v 。e 所以v f ，g s ( e ) ，f r g = 辛j 西：s r ( e ) s r ( e ) ，满足西( ，) = g 设a 为盯在e 中某一组基下所对应的矩阵，则d e t a = 川0 设“：s r ( e ) 斗k ，斗u ( f ) 为一一映射，称乱是权为g 的相关不变量，若 u ( a ，( ，) ) = 川a 札( ，) 其中听：s ( e ) s ( e ) 为仃所诱导出的映射，f s ( e ) ，g z 令f s 4 ( 冗2 ) 如下定义： f ( x ，y ) = a o x 4 + 4 a l 。3 y + 6 a 2 2 2 y 2 + 4 a 3 x y 3 + a 4 y 4 ( 1 ) 映射珏：s 4 ( r 2 ) r ；f 珏，其中i f = a o a 4 4 a l a 3 + 3 a ；则i f 是上 权为q = 4 的不变量，ecl ( r 2 ，r 2 ) ( 2 ) 映射西：岛( 砰) 冠f _ 如，其中j p = n o 叻0 4 + 2 口1 - - a a 4 一a o a 一； 则j f 是上权为q = 6 的相关不变量，ec 二( r 2 ，r 2 ) ( 3 ) 映射d f ：& ( r 2 ) d f ；f 哼d f ，其中d e = t 蚤一2 7 j ；则d f 是上权 为g = 1 2 的相关不变量，这里d f 称为f 的判别式，与代数中定义一致( f 零点 的平方积) 称圣：s d e ) - - - - + 品( 届) 为的相伴映射，若对v a e ，有以奎= 空听其中 以：毋( f ) - - - + 足) ，0 s ：s r ( e ) 母( f ) ，为盯分别在母( e ) 和耳( e ) 上所诱导 1 6 出的映射，即 s r ( e ) ! 斗s ) 壬上上垂 最( e ) ! 与只( e ) 则互= 叮1 互听所以，西为下的不变映射 映射毋：岛( j 铲) 呻s 4 ( r 2 ) ；f h f ，其中 h v = 壶i 蕃攀i f s 4 ( r 2 ) ，( 。，v ) r 2 ，则h e 为( cl ( r 2 ，r 2 ) ) 的相伴映射，知日p 为f 的海 赛，在以上基础上有： 引理2 1 1 1 6 1 设f & ( 帮) ，形式为： f 0 ，y ) = a o x 4 + 4 a l 茁3 y + 6 a 2 。2 y 2 + 4 a 3 x y 3 + a 4 y 4 其中o o ，a l ，a 2 ，3 ，a 4 为实常数，则| 盯e ，使在蜀( 冗2 ) 上诱导出的等价关系把 s 4 ( r 2 ) 分成十种不同的等价类，这些等价类种元素的标准形式分别为： j f 1 ( 。，y ) = z 4 + 6 # x 2 1 ，2 + y 4 ，p 0 ，h i 0 i i 而( 。，y ) = a y 2 ( 6 2 2 一y 2 ) ，口= 4 - 1 ，d f = 0 ，叨， 0 ，2 i 1 嘶一印， 0 i i i f 3 ，y ) = 茁4 + 6 # x 2 y 2 一y 4 ，d s 0 j vf 4 ( 。，可) = 6 z 2 y 2 ，d f = 0 ，q j ， 0 ，2 i 1 h f 一3 j ，= 0 ，月j 0 v f 5 ( z ，y ) = 4 c c 3 y ，d ，= 0 ，j l = 0 ，i l = 0 ，毋0 v ，r ( z ，y ) = a y 2 ( 6 2 2 + 2 ) ，a = 4 - 1 ，d s = 0 ，j ， 一 ，肛 ，d f 0 ， c d l 0 ，h s 0 0 r 1 2 群一i ，2 0 ，2 i l 毋一3 j ，= 0 ，h f 0 x f 1 0 ( o ，可) = 0 2 2( 明) 系统的拓扑分类 引理2 2 1 每个实系数多项式都可以表示为线性和二次实因子的乘积 引理2 2 2 实非退化线性变换不改变二元三次多项式及二元四次多项式对应三 次方程和四次方程根的属性 证明由引理2 2 1 不失一般性，以f ( x ，y ) = ( y - r l x ) ( y r 2 x ) ( p x 2 + q x y + r y 2 ) 为例，这里r l ，r 2 为互异实数，且q 2 一卸r 一j ，p i 1 i x 风( z ，y ) = o ( z 2 + y 2 ) 2 ， a = 土1 x ，日o ( z ，y ) = 0 由前面叙述及引理可得 定理2 2 1 对任一( 硪) 系统x = ( p s ，q 4 ) 总存在盯，和一个时间变换 把( 曰) 系统变为以下十种情形之一 rj 士= a o x 3 + a l x 2 y + a 2 x y 2 + a 3 y 3 = p s ，y ) l 香= 6 p 2 2 4 6 ( 1 + p 4 ) z 2 y 2 + 6 p 2 y 2 = q 4 1 ，y ) ，rj 士= 尸3 ( z ，y ) l1 7 = a 白一互) 2 ( 一4 $ ) 国+ 2 x ) 一q 4 2 ( x ，) ， 肛 1 ，口o ，0 1 ，0 2 ，a 3 r 口= 士1 j 亩= p 3 ( 刚) ，【o 2 肚( 。4 一y 4 ) 。q 4 3 ( z ，) ， 肛o j vj 圣= p 3 ( 刚) 【雪。a ( + z ) 2 ( g z ) 2 2 q 4 4 ( z ，) ， 。2 士1 矿j 圣= b ( 刚) w 士= p 3 ( 刚) i1 7 2 o ( g z ) 2 6 x 2 + ( f z ) 2 】2q 4 6 ( x ，) 一 v n j 扣尸3 ( 刚) 【? 2 。( 可一口) 4 2 q 4 7 ( 训) ， 。2 士1 肌，j 圣= p 3 ( 钏) 【雪( z 4 + 6 p 茁2 9 2 + 4 ) 2 q 4 8 ( 。，可) ， 圣= 恳( 删) ，【口2 。( 矿+ y 2 ) 2 - q 4 9 ( 删) ， 。2 士1 x j = p 3 ( 刚) 【1 7 2 0 证明：略 o t = 士1 a 4 - 1 ，“ 一 ，卢 注：要研究( 曰) 系统的全局结构，只需研究以上十个拓扑等价类就可以了 在下面的讨论中，假设右端多项式无公因式，且为了方便讨论取0 1 = 1 在类型i i i 中取肛= 1 ，对于类型x 不再讨论