（应用数学专业论文）两类斜微商问题.pdf

d i s s e r t a t i o no fm a s t e r2 0l0 c o l l e g ec o d e ：1 0 2 6 9 r e g i s t e rn u m b e r ：5 10 7 0 6 010 6 7 e a s tc h i n an o r m a l u n i v e r s i t y t w o o b l i q u e d e r i v a t i v ep r o b l e m s d e p a r t m e n t ： m a t h e m a t i c s s p e c i a l t y ：a p p l i e dm a m e m a t i c s 一 一 一一 d i r e c t i o n ：p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a d v i s o r ：p r o f x i n g b i n p a n n a m e ：l ig o n g l i n m a y ，2 0 1 0 s h a n g h a i 华东师范大学学位论文原创性声明 l y i l l1 1 l 1 7 1 1 4 i i i l 3 1 1 3 i11i1 1 i i | f 郑重声明：本人呈交的学位论文两类斜微商问题，是在华东师范大学攻读硕 士博士( 请勾选) 学位期间，在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。除文 中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本 文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名： 日期：勘lo 年 月乙le t 华东师范大学学位论文著作权使用声明 7 两类斜微商问题系本人在华东师范大学攻读学位期间在导师指导下完成的影 士博士( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成果归华东师范大学所有。本人同意华东师 范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管部门和相关机构如国家图书馆、 中信所和“知网 送交学位论文的印刷版和电子版；允许学位论文进入华东师范大学图 书馆及数据库被查阅、借阅；同意学校将学位论文加入全国博士、硕士学位论文共建单 位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式 合理复制学位论文。 本学位论文属于( 请勾选) () 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部 或“涉密 学位论文宰， 于年月日解密，解密后适用上述授权。 ( ) 2 不保密，适用上述授权。 导师签名本人签名 籼f 。年岁月纠日 “涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定过的学位 论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文“涉密”审批表方为有效) ，未经上 述部门审定的学位论文均为公开学位论文。此卢明栏不填写的，默认为公开学位论文，均适用 上述授权) 。 李恭林硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 羊丹平教授华东师范大学主席 郑宇教授华东师范大学 刘永明教授华东师范大学 目录 摘要i 第一章引言1 1 1 问题1 1 2 定义与记号1 1 3 主要结论3 第二章余法向斜微商问题的估计5 2 1问题与结果5 2 2 预备定理7 2 3 内估计1 3 2 4 全局估计1 9 第三章余维1 退化的p o i n c a r 舌问题的正则性估计3 0 3 1问题与结果3 0 3 2 向量场的延拓3 2 3 3 构造辅助函数3 3 3 4 定理1 3 2 的证明3 8 第四章弱解的舶引理4 0 4 1问题与结果4 0 4 2 弱解的t - l o p f 引理的证明4 2 参考文献4 5 致谢4 7 摘要 中文摘要 本文主要内容如下：第一部分为余法向斜微商问题的估计。在【4 】中 对满足( 6 , r ) r e i f e n b e r gf l a t n e s s 条件的区域给出了这个问题的弱解的估 计。【4 】在证明中用到了一个包含关系，见本文之( 2 1 6 ) 。【4 】中认为这个包 含关系是显然成立的，因而没有给出证明。本文作者发现( 2 1 6 ) 可能不成 立。由于这个估计的结论非常重要，本文把区域条件修改成 p ) 平坦条 件( 见定义2 2 1 ) ，仿照【4 】中的方法对定理给出证明。第二部分为余维一1 退化 的p o i n c a r 每问题的正则性估计。这个结果已经在【ll 】文中给出，但本文作者 对【1 1 】中的证明有两处存疑。本文通过构造一个辅助函数，将问题简化，并 利用【7 】中的结果证明出一个稍弱的结论。 关键词：余法向微商问题，p o i n c a r k 问题，正则性估计，估计。 a b s t r a c t t h i sp a p e rm a i n l yi n c l u d e st w op a r t s t h ef i r s tp a r ti st h e e s t i m a t ef o r t h ec o n o r m a ld e r i v a t i v ep r o b l e m t h i sl pe s t i m a t eh a sb e e ng i v e ni n 【4 】u n d e rt h e c o n d i t i o nt h a td o m a i ni s r ) r e i f e n b e r gf i a t t h ep r o o fg i v e ni n 【4 】n e e d sa l l i n c l u s i o nr e l a t i o nw h i c hi ss t a t e da s ( 2 1 6 ) i nt h ep r e s e n tp a p e r t h i si n c l u s i o n r e l a t i o ni sn o tp r o v e ni n 【4 】t h ea u t h o ro ft h ep r e s e n tp a p e rb e l i e v e st h a tt h i s i n c l u s i o nr e l a t i o ni sn o ta l w a y st r u e b e c a u s eo ft h ei m p o r t a n c eo ft h el pe s t i m a t e ， w eg i v ea p r o o fu n d e ras t r o n g e rc o n d i t i o nc a l l e d ( 正尺) f l a t n e s s ( s e ed e f i n i t i o n 2 2 1 ) o nt h ed o m a i n s ，u s i n gt h em e t h o di n 【4 】t h es e c o n dp a r ti st h er e g u l a r i t ye s t i m a t e o ft h ep o i n c a r 舌p r o b l e mw i t hc o d i m e n s i o n 一1d e g e n e r a c y , w h i c hh a sb e e nd i s c u s s e d i n 【1l 】b u tt h e r ea r et w op o i n t si nt h ep r o o fi n 【11 】t h a ta r en o tv e r yc l e a rt ot h e a u t h o ro ft h ep r e s e n tt h e s i s s o ，i nt h i sp a p e r , w ec o n s t r u c tap r o o f o u rp r o o f c o n s i s t so fc o n s t r u c t i n ga na u x i l i a r yf u n c t i o nt or e d u c et h ep r o b l e mi nt h ef o r mt h a t h a sb e e nt r e a t e di n 【7 】，a n du s i n gt h er e s u l ti n 【7 1 k e y w o r d s ：t h ec o n o r m a ld e r i v a t i v ep r o b l e m ，t h ep o i n c a r 毒p r o b l e m ，r e g u l a r i t y , a p r i o r ie s t i m a t e ，_ pe s t i m a t e n 1 引言 1 1问题 以及 似-divv(a“+v，u)，=yd：iv。f。innfalq， cll - ， l u = f i nq 翥= g o no f f ， u = ho n6 ( 1 1 2 ) 方程( 1 1 1 ) 称为“余法向斜微商问题”( c o n o r m a ld e r i v a t i v ep r o b l e m ) 。方 程( 1 1 2 ) 称为“p o i n c a r 垂l h 题”，它由p o i n c a r 舌在研究潮汐理论时首先提 出，后来发现它在流体力学、随机过程理论中也发挥着重要作用。 1 2 定义与记号 本文主要讨论下述形式的微分算子： l u = ( 动d i j u + 6 ( x ) d i u + c ( x ) u ， 其中，a ( 曲= ( a i j ( x ) ) 。称为系数矩阵。 本文中重复上下标表示求和，积分号中的如均省略。 定义1 2 1 称算子l 是一致椭圆的，或称矩阵a ( 功是一致椭圆的， 在常数a ，人 0 使 a i f l 2 口盯( 工) 刍白人i f l 2 ， y x q ，v 手珉， 1 d 亭 动 2 挣 2 0 是 0 定义1 2 。2 ( 【4 d e f l l ) 称矩阵函数a 满是嫡，一v a n i s h i n g 条件指 s u ps u p o l i ； ( 4 ) f = t 5 1 , 尸，尸) ； ( 5 ) a = ( 口“) 棚；i a i = 矽1 2 ； ( 6 ) e 。= ( 0 ，0 ，1 ) ； ( 7 ) 全文用b ，( 力表示以工为中心，r 为半径的球；b ，表示以原点为中心，r 为半径的球；醚表示上半空间； ( 8 ) b = b rn 而= 0 j ，以( 曰；) = o b rnr ：，g = q nb r ， 瓦q ，= a qn b r ，a 。q ，= a q ，a u d - r ； ( 9 ) y ( 劝为a q 在工处的单位外法向量，改功是定义在a q 上的单位向量； ( 1 0 ) ，( 力= f ( 曲+ 7 ( 力y ( 曲，其中，y ( 曲= ，( 曲y ( 功； ( 1 1 ) a q + = 工a q ：7 ( 力 0 l ，a q _ = x a q ：7 ( d 0 ， 8 = i x 0 t 2 ：y ( 曲= 0 ： ( 1 2 ) 全文我们用c 表示仅依赖于n ，p ，a ，a ，p ，q 的常数。 2 1 3 主要结论 本文的主要内容如下。 本文的第一部分是学习文献【4 】的读书笔记。该文对满足 尺) r e i f e n b e r gf l a t n e s s 条件的区域给出了余法向斜微商问题( 1 1 1 ) 的弱解的估 计。【4 】在证明中用到了一个包含关系，见本文之( 2 1 6 ) 。【4 】中认为这个包含 关系是显然成立的，因而没有给出证明。本文作者发现( 2 1 6 ) 可能不成立。 由于这个估计的结论非常重要，本文在引入( 反p ) 平坦条件( 见定义2 2 1 ) ， 对满足该条件的区域仿照 4 】中的方法对下述定理给出了证明。结论如下： 定理1 31 设1 p 0 ，若a 一致椭圆且 满足嫡，一v a n i s h i n g 条件q 为满足嫡。平坦条件的有界凸区域，则对任 何，l p ( n ，舯) ，( 1 1 1 ) 在相差一个常数意义下有唯一解甜w 1 - p ( q ) ，且有 如下估计： m d x c = | ，i p d x ( 1 3 1 ) 其中常数c 仅依赖于n ，p ，a ，a ，p ，q 。 理： 本文的第二部分是学习文献【7 】和【l l 】的读书笔记。我们将证明下述定 譬兰 勉， 3 且有如t 估计： l u l l 脚( b ) c ( 1 l f l l w , p ( 两+ i i g l l 俨。，( 研+ i i h l l 肛, , ( a e ) ) ( 1 3 3 ) 其中常数c 仅依赖于n ，p ，a ，a ，r 。 4 2 余法向斜微商问题的驴估计 2 1 问题和结果 本节讨论问题( 1 1 1 ) 的解的如下形式的先验估计： v u l l p c i i f l l p ( 2 1 1 ) 自从【6 】中建立了经典的c z 估计，人们对于建立上述散度型方程的解的 梯度估计作了大量的研究。若方程系数一致连续，【6 】中已给出了上述估 计。如若方程系数不连续，则上述估计不一定正确。在【9 】中给出了如下反 例：考虑方程 - d i v ( a v u ) = 0 ，( 2 1 2 ) 其中 肚硒南【铲+ ，4 x y ；4 x y ， 4 y 2 】 易验证下述函数 u ( x ，) ，) = l ( + y 2 ) i 为上述方程的解，且当p 4 时，v u 岳l p ( b 1 ) 。 本章的主要结论是： 定理2 1 1 设1 一6 l ， v x q ，v r ( 0 ，l 】( 2 1 6 ) 本文作者认为( 2 1 6 ) 可能不成立。 例1 取单位圆盘d ： ( ( 工，y ) ：妒+ ( y 1 ) 2 讵一芝i l 瑶dnb 1 ( 弱) 因此( 2 1 6 ) 对6 = 讵一乏1 不成立，进而( 2 1 6 ) x 寸5 0 ，m l 均为常 数，1 0 使得以下不等式成立： t ( 价。( f ) c l l f l h ( i i ) p l ，则m f l e 且存在常数c = c ( n ，p ) 0 使得以下不等式成立： i i m f l l p c l l f l l p 注 上述结果的证明可参考文献【1 5 ，p 1 7 3 ，t h e o r e m8 1 8 引理2 2 3 ( v i t a l i 覆盖定理j 设e 为可测集且 ec u 玩， 9 其中，b 。苎b r ，b 0 o s u p , , r 口 0 ，使 得对任意戈施，r ( 0 ，纠， s u pd i s t f y ，丁( 工) ) 6 r 挥研( 曲n m 其中t ( x 、) 为q 在x 处的切平面，d i s t 表示距离。 注( 五p ) 平坦条件要强于( 反p ) 一r e i f e n b e r gf l a t n e s s 条件。 下述定理2 2 1 是【4 ，t h e o r e m4 】的一个修改的形式。如本章第一节所 述，【4 】在假设区域满足( 抗尺) - r e i f e n b e r gf l a t n e s s 条件下证明t ( 2 1 4 ) ，但用到 包含关系( 2 1 6 ) 。本文作者认为( 2 1 6 ) 可能不成立。因此我们在区域满足 力平坦条件时，证明了与( 2 1 4 ) 类似的估计( 2 2 3 ) ，它在本文关于弱解的 估计的证明中起了重要作用。 定理2 21ecfcq 为可测集，q 为满足( 正力平坦条件的区域。 设l e i s i 毋i ，若工q ，厂( 0 , p ) 满足l en 研( 划s 盼( 列就可以推出 研( 曲nq cf ，则： 吲啬) ”帆 亿2 固 证明第一步：令 贝0 由【1 5 ，p 1 4 1 】可知： 9 ( r ) = 丽i e n b r ( x ) 1 姆目( r ) = 1 几乎所有工e ， 令 e = 工e l 姆= 1 ) 固定x e 7 ，显然9 ( 厂) 为【o , p 】上的连续函数。 = 掣舄地 故3 r ( 0 ，p ) 使得口( r ) = 8 。取 易验证 且对任何，( ，纠都有 r x = s u p ，( 0 ，p ) ：口( r ) = s 1 旧n 刀l ( 工) l _ s i 圆l ( 劝i ， enb ，( j ) i 6 1 b ，1 令 冬= 酬h ，等 ， 显然 f c 型蹦力，溜砍p ， 由v i t a l i 霜盖定理，存在一族两两不交的球 眠( 而) 巴圭 鼠昌， 满足 e 7cu 5 昂，i e o5 b f i 1 5 毋i = 5 ”s 吼i f 第二步下面在区域满足( 正p ) 平坦条件时证明如下断言： s u ps 础u p 坐i b r ( x ) 盟oq l ( 禹厂 ( 2 2 4 ) o 脚础i 两j 心。一 若d i s t ( x ，施) ，则 i 研( 力i i b r ( x ) nq 1 5 1 若d i s t ( x ，a q ) r ，由于q 满足( 蠡j d ) 平坦条件，当0 ，p 时，设 y a q ，使得d i s t ( x ，a q ) = d i s t ( x ，) ，) ，以y 为原点，一y ( ) ，) 为而正向建立直角 坐标系，则工= ( 0 ，x n ) ，0 x n 打) ) j 5 i 掣，( 生学) ， 任给z b 孚，( 丁1 + 6 ) ， 故 从而 i z - x l i z - 半i + i 下1 + 6 嘞刊 字r + l 下1 + 6 r - 翰i l 一61 + 6 _ 厂r + 下r 2 r 综上，断言( 2 2 4 ) 得证。 1 2 ( 2 2 5 )峨 广 加j ，l ，- 一- 趴 三卜 c， 一二， v l 一壕 一剑半端 也二 堕胴 私 j 睇 第三炭由第一步， l e i = 剐= l u ，e n5 b i 旧e f e a 5 b i i d s i 恻拶 南阻i 毋删 = ( 尚) ”s 驴删= ”1 0 圹n i u ，岛删 ( 兰卜i 其中，第三个不等号由断言( 2 2 4 ) 可得，最后一个不等号由题设可得。定 理2 2 1 得证。 口 注第一步中的改的选取是为了保证第三步中计算旧时第三个不等号成 立，这与【4 忡略有不同。 2 3 内估计 下述关于弱解的定义是常规的。 定义2 31 ”h 1 ( q ) 称为下述问题 - d i v 似v u ) = d i v f i nq ( 2 3 1 ) 的弱解指 上a v “v 妒= 一f 印仍v 妒瑞( q ) ( 2 3 2 ) 下述结果已在文献【4 ，p 2 5 2 ，l e m m a4 】中给出，由于证明较显然， 故【4 】并未给出证明。为了读者方便，本文给出了详细证明。 1 3 引理2 31f f 4 ，l e m m a4 1 ) 右u 力f 2 3 j 征毋上刀弱觯，则仔往鬲奴c 仪依 赖于n ，a ，a ，使得： 正纠v u l 2 c ( 稠卯+ 正脚1 2 i 砰) ，w g ( 鼢 ( 2 - 3 3 ) 证明由于m 为 - d i v ( a v u ) = d i v f i nb ， 的弱解，由定义可知：v 驴g ( 研) ，在( 2 3 2 ) 取妒= 2 “础( b ，) ，有： 正a v “v ( 2 “) = 一上印( 庐2 n 上2 a v “v m + 2 上a ( v 坝v “) = 一2 上( ( v “) _ 2 上( ( 妒v 蛾 上2 a v “v “= 一2 a ( v 州v 厶) 一2 正( ( v 驴h ) 一正( ( v 毗 上式右端记为：，l = 2 + 厶+ 厶我们有： i & l 2 。上眇训v “i 恻以丁厶i v 坪+ 昙上i v 砰) ， j b rj b t l j b r 吲i 1 2 + 上脚砰， 1 4 1 - a 0 ，存在6 = 6 ( s ，a ，抛 0 具有 磁性质：设a ，满足下述条件 a l f l 2 蠡白人f 胡2 ，v 手科，石b , - ， i b l r - - 河 1 ( i f l 2 + 陋一石毋1 2 ) 2 铲， 设n 是( 2 3 1 ) 在b r 上的弱解，且满足 南上晰虬 则t 述问题 存在弱解v ，使得 一d i v ( a b , v v ) = 0 伽b r ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) 孑 山 0 ，对任何k 0 ，存在a ， 满足 a o i f l 2 a k i j 芒j i ( j 人o i f l 2 ，v f r 一，x b r ， 1 8 1 , 两c ( i a l 2m 一 瓦k b r l 2 ) 啼2 是【4 ，( 3 6 ) 】在研上的弱解，且满足 - i b l r lc i v 划2 虬 对于【4 ，( 3 9 ) 】在研上的任意弱解v ，都有： j l u t v 1 2 磊( 2 3 6 ) 如【4 】证明中所说： 魄一砀，最l 存在子列记为瓜 芒l ，及“。日1 ( b ，) ，使 得 4 ，( 3 1 0 ) 】在研上成立。 对于【4 】中的a 七，由于我们假设了一致椭圆条件，设a o a l 曼a 25 , i n a o 为a 女的特征值，则 i a k l 2 = t r ( a ：a i ) = 碍s ，1 人3 ， 故瓯a k b r ) 在p 有界。 对于【4 ，( 3 1 5 ) 1 在研上的弱解h t ，则v k = u o h k 是【4 ，( 3 1 6 ) 】在研上的弱 解，利用庞加莱不等式以及方程4 ，( 3 1 5 ) 1 及一致椭圆性条件，有： l l ( & , - a o ) v “。0 弘( 毋) c l i ( a t a 。) i i 。i i v “。i i 口( 研) _ c l i ( a t a 。) 。 1 6 其中a o 是椭圆常数。于是我们有： i i f 2 t v k l k 2 ( s ，) sl i 螽t u o l l a ( b ，) + i l j i z t l i l 2 ( 毋) si i 蠡t 一坳0 胪( 研) + a k - a o ) l l 。 令k o o ，则 氟一收p ( 研) 0 ， 这与假设( 2 3 6 ) 相矛盾。 下述推论是文献【4 ，p 2 5 4 ，c o r o l l a r yl 】的另一种形式。由于【4 ，p 2 5 4 ， c o r o l l a r y1 】是【4 ，p 2 5 3 ，l e m m a5 】的推论，而后者已改写为本文的引理2 3 2 ， 因此本文对该推论也重新作了叙述，证明与【4 ，p 2 5 4 ，c o r o l l a r y1 】类似。 推论2 3 1 r 心c o r o l l a r yj ，办给定s 0 ，a ，l 0 ，存在6 = 6 ( s ，人，a ) 0 ， 若a f 满足： a 吲2 煮白人i 胡2 ，v 手瞅，工b r ， 南上( 抨+ 陋一鲥2 ) 蚴2 ， ( 2 ，3 1 ) 在b r 上的弱解u 满足 i b l r - - q t i 2 虬 则存在t 述问题 - d i v ( a b r v v ) = 0 nb ， ( 2 3 7 ) 的弱解v 。使得 上。计i v ( 炉v ) 1 2 鳢 ( 2 3 8 ) 1 7 【4 ，l e m m a 6 ，l e m m a 7 ，t h e o r e m 5 在本文的条件下显然也成立。以下我们 取定n i ，8 ，61 t i l 4 ，l e m m a 7 。 【4 ，p 2 5 5 ，c o r o l l a r y2 】中对k = 1 时的证明比较简略。为了读者方便，我 们把k = l 时的证明细节写在下面。 【4 ，c o r o l l a r y 2 的证明用归纳法证明。 当k = 1 时，令： e 皇 x eb l ：a i ( i v “1 2 ) o ) 2 ) ， f 圭 x e b l ：a 4 ( i f l 2 ) ( 力 t ，2 k j xeb 1 ：a i ( i v “1 2 ) ( 工) 1 ) 显然 ecfc b i ，i e i 6 cq 5c 砖 【4 】在该引理证明的反证过程用到 硇l 在r 中有界a 本文对【4 ，p 2 5 3 ， l e m m a1 0 进行了重新叙述，并给出了其证明 引理2 4 1 似l e m m a1 0 1 ) 任给s 0 ，a a 0 ，存在6 = 6 慨无人) 0 具 有丁述性质：设q ，a ，厂及( 1 1 1 ) 在q 上的弱解“满足 岛n 而 研c 毡c 霹， l i 手1 2s 口巧蠢白a i ：1 2 ，v 手珉r ，工q ， 南0 卯+ 陋一如1 2 ) 5 铲， 南小印虬 则存在常阵x 满足 i 陋哂一a l l 。s ， 及方程 一d i v ( i t v v ) = 0 n 骘 的弱解v 使得 小叫2 虫 2 0 证明本文的证明思路与【4 ，l e m m al o 】相i 司，由于区域条件不一样，我们必 须构造不同的蹒。 若结论不成立，则存在勖，a o 如 o ，对任意k 0 ，存在a t ， ，必及 ( 1 1 1 ) 在q 女上的弱解u t 满足： 毋n 丢) c 啦磅， 山i 手1 2 口女u 矗白a o l f l 2 ，v f 础，x q ， i b l s - - e 、( i a l 2 懒一硇| 2 ) 西2 ， i b l ，- q i v 划2 0 ，人 五 0 ，存在6 = 6 ( e ，五，a ) 0 ， 若( 1 1 1 ) 在q 中的弱解u 及方程中的a ，f ，q 满足? 岛n 而 6 ) cq 5cb ；， 五i f l 2 口嗨白a i f l 2 ，v 手r ，工q ， 土i b s i 小j 2 + 陋 1 2 ) 鳢 南上附虬 则存在常阵天满足 i i a o , 一a l l 。8 及方程 一d i v ( a v u ) = 0i n 霹 的弱解v ，使得 小( ) 1 2 站 其中v 6 ( x ) = v ( x + 6 e n ) 。 证明本文的证明思路与【4 ，c o r o l l a r y 3 相同，由于区域条件不一样，我们 必须构造不同的缟。 由引理2 4 1 ，任给r l 0 ，人 a 0 ，存在6 0 及相应的“，a ，五六 ， 使得 小叫2 姊 且有： 厶a v “v 妒= 一上，v 仍v 妒日1 ( q 5 ) ，驴= 。n a c 啦， 2 3 + j 厂磁r 4 概w 2 叻+ 厶抓v 训v w )磁 苎1 2 + 1 3 + 1 4 + l s + 1 6 计 w ) v ( 2 w ) 1 1 ，1 2 ，1 3 ，4 ，i s ，6 酮佰计哭1 以【4 ，c o r o l l a r y 3 】。 厶l 厂2 i v w l 2 ， 他 1 2 1 c o = 矿m 1 2 + 三f 晰吮 啦下j 他 ( 1 + ) f a , 2 1 f 1 2 + 丁厶卵v 胛+ 上唧舻， i h l - 6 c1 2 7c 研 为了读者方便，我们把该引理、推论及其证明写在下面。 引理2 4 2 似l e m m ah i ) 存在正数2 具有如下性质：对任给s 0 ， 存在万 0 ，若u 为方程( 1 1 1 ) 的弱解，系数矩阵a 一致椭圆且满足 ( 五6 ) 一v a n i s h i n g 条件，q 满足 召7n x n 研cq 7c9 7 ， u ，f 满足 b in xeq ：m ( i v “1 2 ) ( 功s1 ) n 工q ：m ( i f l 2 ) ( 曲铲) o ， ( 2 4 6 ) 则 盼q ：m ( i v “1 2 ) ( 力啊) nb l i 0 ，r ( o ，号) ，存在6 0 ，若“为方程( 1 1 1 ) 的弱解，系数矩阵a 一致椭圆且满足 6 ) 一v a n i s h i n g 条件，q 满足 岛，n x n 5 r cf 2 7 ，c 磷， h ，f 满足 b rn xe：m ( i v “1 2 ) ( 曲s1 ) n 扛q ：m ( i f l 2 ) ( 曲s 萨) o ， 则 i xe q ：m ( i v “1 2 ) 燧 n 耳i 0 ， ( o ，苦) ，存在万 0 ，若“为方程( 1 1 1 ) 的弱解，系数矩阵a 一致椭圆且满足 ( 坑6 3 ) 一v a n i s h i n g 条件，q ；j * 足 u 满足 则 b 6 3 ，n 6 r c ，c 砖r ， b q ：m ( i v “1 2 ) ( 曲燧) n 研l s 防i ， q ，c xc l ：m ( i v m l 2 ) ( 工) 1 u 仁q ：m ( i f l 2 ) ( x ) 铲 证明令尹= 9 r ，利用推论2 4 2 反证即可。 口 推论2 4 4 f mc o r o l l a r y6 1 ) 著“为方程( 1 1 1 ) 的弱解，q 是满足 p ) 平坦 条件的凸区域。系数矩降a 一致椭圆且满足嫡，一v a n i s h i n g 条件，u 满足 k q ：m ( i v “1 2 ) ( 加硎 铲吒伍曲 i q ：m ( i v u l 2 ) ( 功 证明类似于【4 ，c o r o l l a r y 2 ，用数学归纳法证明。只需对k = 1 时的证明 中，用推论2 4 3 代替【4 ，l e m m a 7 、用定理2 2 1 代替【4 ，l e m m a 3 艮l j 可。 口 证明定理1 3 1 解的存在性证明见【4 ，t h e o r e m 6 。下证： v u 酽( 鳓 2 7 。硝 xx 严 “ v 九um 当p 2 时，与【4 ，t 1 1 e o r e m 5 的证明类似，用推论2 4 4 代替【4 ，c o r o l l a r y 6 】即可。 当1 2 时的讨论可知： 而 i nq ， ( 2 4 8 ) o n a q f i v w l l l 9 c a ) c i i g l l l a c a ) 上v 吣一j ! ：胁g + 厶岍y 一上胁叻+ l 炒y = 上v 州嘶卜l 盼v w h + l 岍y 一：v w 似协) 一上“似v w - g ) y = 上w d i v 小l w ( a v 咖y 一正胁，一正w 咖y = 上v w ，一正w m 岍y = 、v w 1 v w l l ，4 ，n 、，p ，n 、 5c g i i 印( n ) i l 上，( q ) 冈此 i v 圳p ( n ) = s u pfv u g5c l l f l l d * t m 1 l g i i q = lj n 当p = 2 时，取u 为检验函数，由定义可知： a 加陲j ! ：肌v j ! ：印“s 眦附+ 砑1 加) 由此推出： 加陲去加 综上，结论得证。 2 9 口 3 余维1 退化的p o i n c a r o 问题的正则性估计 3 1 问题和结果 本节讨论p o i n c a r 舌问题( 1 1 2 ) 。这一问题在【l l 】已经进行了讨论【1 1 】主 要采用泛函分析的方法，将方程的可解性转化为某一算子的可逆性( 见【1l ， p 1 3 1 ) ，即 l u = ( ，+ 莎+ 9 0 f 本文作者在阅读【l l 】时遇到一些困难： ( 1 ) 文献1 1l l e e 想通过证明丙为紧算子，+ 莎可逆来证明，+ 莎+ 灭 为f r e d h o l m 算子。为了证明，+ 莎可逆，【ll ，p 1 3 3 】证明了 l i 莎c 6 ； 并认为只要6 取得充分小，可使得 i l 莎0 1 本文作者认为这样的6 未必取得到。因为上式中的c 依赖区域的有限覆盖， 而区域的有限覆盖次数依赖于区域的光滑性。若6 光滑性很差，则品光滑 性也很差。当6 _ 0 时，区域趋于无界，此时我们得不到c 关于6 一致控 制。 ( 2 ) 文献【1 1 】中在证明 1 1 ，p 1 3 5 ，t h e o r e m3 3 i l 立n ，i = 失l l v = 蠹 w 1 ，p ( 9 。【1 1 】认为对( 1 1 2 ) 沿着z 方向做差商后，并利用差商与梯度的范 数的关系( 【8 ，p 1 6 9 ，l e m m a 7 2 4 】) 可以很容易得出1 ，w 2 ，p ( ) ，其中36 。 本文作者认为这值得商榷。沿着f 方向做差商，得到如下方程： l ( a h u ) ( x ) = a h f ( x ) 一a h a i j d q u ( x + h z ( 功) 一a h b d f “( z + h z ( 力) + n 玎( x ) d i k u ( x + h z ( x ) ) 弓( 力+ a i j ( x ) d k u ( x + h z ( 石) ) 吃( 力 i n b 其中 h ( 曲：坐坐甚型，： 工q ：d i s t ( x , 讹) 埘 而在边界上我们不能做差商，因为x + h f ( 曲不一定还在边界上。所以我们 得不到a “u 满足的边界条件。因而从该方程中我们只能作适当的内估计， 并不能得出l i a 6 h 0 妒护的一致估计，从而无法应用【8 ，p 1 6 9 ，l e m m a 7 2 4 1 得到 l ，w 2 p ( ) 。如果我们考虑 ，的方程，l ，的边值在a q f l y 上给出了，并未在 整个挖给出，因此v 的酽，p 的估计也是很复杂的问题。 本文应用该文中一个构造辅助函数的技巧，将问题( 1 1 2 ) 简化为齐次边 界条件，利用【7 】中已有的结果，得出一个稍弱的结论。 为了讨论方便，本文研究最简单的情形： = ，q = b y ，z ) ：，+ _ ) 1 2 + z 2 1 ) ，f = ( o ，0 ，1 ) ， a q = o ，y ，z ) ：p + 严+ z 2 = 1 ) a q = b y ，z ) ：，+ ) 1 2 + z 2 = l ，z 乏o ) ， 6 = s = k y ，z ) ：，+ ) ，2 = l ，z = 0 = ( c o s o ，s i n o ，o ) ：0 【o ，2 丌) 1 本章的主要结果如下： 定理3 1 1 设l p 0 。 x a b - 虏 蜃( j p = ( 的( 士g ( j 0 ) ，x a b 其中p c 。( a