（基础数学专业论文）可三角分解李超代数的赋值模.pdf

摘要 近来，赋德模的方法对研究仿射李代数及相关问题【1 2 】都有积极 的作用。在网中，王宪栋教授讨论了可三角分解李代数其l o o p 代数 的赋篷模；特剐值得一提的楚，在一定程发上确定了有限多个赋值模 矮张量积的不哥约性。 本文的主要想法是把 3 】推广到李超代数中。为此，首先介绍了 可三角分解李超代数，其v e r m a 模和最高权模的概念( 第3 节) 。这 种推j “并不是一帆风碳的，最大的障碍在于：可解( 幂零) 李超代数 赡有限维不可终表示未毖是维麴。讨论过程中，作为嚣个重要夔】： 具，对幂零李代数其模的权空问分解( 第1 节) ，以及可解( 幂零) 李 超代数的有限维不可约表示( 第2 3 节) 也作了详细的介绍。( 第4 节) 在定义了相应的l o o p 超代数的赋值模之后，证明，本文的两个 主要结论：定理4 。l 翱定理4 。2 。定理4 t 将有限多个斌德摸其张量积 的不可约性归结为一幂零李超代数的限雾个不町约模其张量积的不 可约性：定理4 2 利用不可约指标给出r 。幂零李超代数的限多个不 可约模其张量积仍不可约的判别准则。 关键词：权；不可约指标；赋值模；v e r m a 模 a b s t r a c t r e c e n t l yt h em e t h o do fe v a l u a t i o n n o d u l e sp l a y sa na c t i v er o l ei nt h es t u d yo f a f f i n el i e a l g e b r a s a n dr e l a t e d t o p i c s 1 2 】i n 3 1 p r o f e s s o rw a n gx i a n d o n g d i s c u s s e dt h ee v a l u a t i o nm o d u l e so fl o o pa l g e b r a so fi ，i ea l g e b r a sw i t ha t r i a n g u l a r d e c o m p o s i t i o n ；p a r t i c u l a r l y , i r r e d u c i b i l i t yo f t h et e n s o rp r o d u c to ff i n i t e l ym m l ys u c h m o d u l e sw a s p a r t i a l l yd e t e r m i n e d f h em a i ni d e ao f t h i sp a p e ri st op e r s u a d ef 3 1 li n t ol i es u p e r a l g e b r ac a s e f o rt h i s p u r p o s e ，t h ec o n c e p t so fl i es u p e r a l g e b r a sw i t hat r i a n g u l a rd e c o m p o s i t i o n ，t h e i r v e r m am o d u l e sa n dh i g h e s tw e i g h tm o d u l e sa r ei n t r o d u c e di ns e c t i o n3 t h ep r o c e s s o fp e r s u a d i n gi si nn ow a ys m o o t h ，a n dt h em a j o ro b s t a c l el i e si nt h ef a c tt h a t i r r e d u c i b l ef i n i t ed i m e n s i o n a lr e p r e s e n t a t i o n so fs o l v a b l ef n i l p o t e n t ll i es u p e r a l g e b r a s a r en o t n e c e s s a r i l y 1 一d i m e n s i o n a l a st w o i m p o r t a n tt o o l s ，t h ew e i g h ts p a c e d e c o m p o s i t i o no f m o d u l e so fan i l p o t e n tl i ea l g e b r a ( s e c t i o n11a n di r r e d u c i b l ef i n i t e d i m e n s i o n a lr e p r e s e n t a t i o n so fs o l v a b l e ( t h u sn i l p o t e n t ) l i es u p e r a l g e b r a s ( s e c t i o n 2 3 、a r e p r e s e n t e d i n d e t a i l f i n a l l y , a f t e rd e f i n i n g a ne v a l u a t i o nm o d u l eo ft h e c o r r e s p o n d i n gl o o ps u p e r a l g e b r a ( s e c t i o n4 ) ，t w om a j o r r e s u l t so ft h e p a p e r t h e o r e m4 1 a n dt h e o r e m4 2a r ep r o v e d ：t h e o r e m4 1r e d u c e st h ei r r e d u c i b i l i t yo f t h et e n s o rp r o d u c to ff i n i t e l ym a n ye v a l u a t i o nm o d u l e st ot h ei r r e d u c i b i l i t yo ft h e t e n s o rp r o d u c to ff i n i t e l ym a n yi r r e d u c i b l em o d u l e so fan i l p o t e n tl i es u p e r a l g e b r a ； l h e o r e m4 2g i v e s ( b yi r r i n d i c e s ) ac r i t e r i o nf o rt h et e n s o rp r o d u c to f s u c hm o d u l e st o b ei r r e d u c i b l e k e yw o r d s ：w e i g h t ；i r r i n d e x ；e v a l u a t i o n m o d u l e ；v e r m am o d u l e e v a l u a t i o nm o d u l e so pl i es u p e r a l g e b r a s w i t hat r i a n g u l a rd e c o m p o s i t i o n ，】u a n j u a nz h a n g t d e p a r t m e i l to fm a t h e m a t i e s q i n g d a ou n i v e r s i t y , q i n g d a o2 6 6 0 7 1 prc h i n a e m a i l ：4 9 4 3 7 5 0 5 0 s i n ec o i i i a b s t r a c th it h i sp a p e rt h ec o n c e p t so fl i es u p e r a l g e b r a sw i t ha t r i a n g l a xd e cm p o s i t i o nt h e i rv e r m am o d n l e , qa n dh i g h o s tw e i g h tm o d u l e sa r e “l b j o d u c e da s i m p e lt a , n tt o o l s ，t h ew e i g h ts p a c ed e c o m p o s i t i o no fm o d u l e so fan i l p o t e n tl i ea l g e b r aa n di r r e d u c i b l ef i n i t ed i m e n s l o n a lr e p l e g e n t a t i o n so fs o l v a b l e ( t h u sn i l p o l e n l ll i e s u p e r a l g e b l a sa l - e p r e s e n t e di nd e t 毹1f i n a l l y , h f t e rd e f i n i r t ga be v a l u a t i o nm o d a l e o ft h e 。o f r e s p o i l d i u gl o o ps u p e r a l g e b r a ，w 2g i v e ( b yi r r j n d i c c s ) ac r i b , o r i o nm f b o t c n s ( np r o d u c to fs u c hm o d u l e st ob e1 r r e d u e i b l e 0i n t r o d u c t i o na n dp r e p a r a t o r yw o r ka n dc o n v e n t i o n s 。 t h ec o i l s t r l l e t i o l lo il i es u p e r a 塘e b r a so d l i ea l g e b r a sg r o w so n tu ff e r t i l ep h y s i c s b a i e k g r o u n da n di m p l i e ss i g n i f i c m * tt h e o r e t i c a lm e a n i n g 。t h r o u g hy e a r so fe i l s r t , s o fl n a n yd i l i g e n ta r t ( 1i n t e l l i g e n tm a t h e m a t i c i a n s ( v gk a ci sas t a i ) ，t i l e o r i e so f e m s m f i e a t i o n s t r u c t u r ea n dr e p r e s e n t a t i o n so fl i es v p e r a l g e b r a sl l a v eb e e ng r e a t l y e l i d i c h e d a s1 e v ea l lk n o w 、l i es n p e r a l g e b r a sa r ec l o s e l yd e p e n d e a to i ll i ea i g e b r i l s a n dal a r g en u m b e ro f t h e o r i e si nl i es u p e r a l g e b r a sc e l lf i n dt h e i rc o u n t e r p a r t si l l l i ea l g , b r a , s + b u tt r i v i a ! - o d & p a r tl i ea l g e b r a sa r ea n tt r u el i es u p e r a l g e b r s s o i l , s i t o f ，s t r a n g et h a tt h e r ea r em a a q ym a j o rd i e b r e n e e sb e t w e e nt h e mf f o re x a m p l e l i es l l p c i a l g e t a sm i g h tn o ta l l o wl e v id e c o m p o s i t i o n ；k i l l i n gf o r m 8o fs i m p l el i e s n p e r a l g e b r sm a yn 。l o n g e rb en o n d e g e n e r a t e ；i r r e d u c i b l er e p r e s e n t , a t j m _ l so fs n l v - a b l el i es u p e r a l g e b r a sa i 、er l ， n e c e s s a r i l yi - d i m e n s i o n a le r e w h i d ls e to b s t a c l e s f l o r at h ev e r ys 抽na a r e f l f lr e a d e r sc a l ld i s c o v e rs e i n em o r ei n t e r e s t i n gd i f i e r e n e e s a i o a gt h ep a p e r k e yw or d s “dp h r a s e sw e i g h t ；i r r i n d e x ；e v a l u a t i o nm o d u l e ；v e r m a , i n o d t l l e t y p e s e tb y , 4 , , , v d - t f x 2 j u a n j u a nz h a n g r e c e n t l yt h em e t h o do fe v a l u a t i o nr e p r e s e n t a t i o n sp l a y sa na c t i v er o l ei i lt l l e s t u d yo fr e p r e s e n t a t i o n so fa f f i n el i ea l g e b r a sa n dr e l a t e dt o p i e s 1 2 】i nf 3 1 ，p r ( ) 一 f e s s o , 、w a n gx i a n - d o n gd i s c u s s e dt h ee v a l u a t i o nm o d u l e so fl o o pa l g e b r a so fi 。i e a l g e h r a sw i t hat r i a n g u l a rd e c o m p o s i t i o n ；p a r t i c u l a r l y , i r r e d u c i b i l i t yo ft h et e n s o r i n o d u c to fs u c hm o d u l e sw a sp a r t i a l l yd e t e r m i n e d p h ei d e ao ft h i sp a p e ri sd i m r t 1 3 , i n s p i r e db y 阱i l - i s d e v o t e dt op e r s u a d i n g 3 i n t ol i es u p m a l g e b r a s ，h u tt h e p r o c e s si s i nn ow a ys m o o t h t h es o n r e eo fd i f f i c u l t i e si st h ef a i l u r eo ft h ef a n l o n s 1 。i et h e o r e i ni nl i es u p e r a l g e b r ac a s e i t ，s e e l n st od e v i a t ef r o d at h et o p i c b u t1 ( n t n l o tw a i tt op o i n to u l t h a i , t h ed e s c r i p t i o no fi r r e d u c i b l er e u l - e s e n t a t i o n so fs o l v a b l el i e , s l l i ) c r a l g e b r a sg i v e ni n 6 ( t h e o r e m7o up a g e8 0 ) c o n t a i n sa ne r r o r ，w h i c h i sr e f i n e di n 7 】1w i l lp o i n to u td i r e e l ，l yw h e r et h em i s t a k ec r e p ti n t o l h e o r e m7 a l l ( 1c i t eae o u n t e r e x a m p l e 1 ut h ep a p e r 、s t o r i e sg ol i k et h i s ：r e a s o n a b l ed e f i n i t i o n so fl i es u p e r a l g e b r a s w i t ha1 ，1 i a n g u l a rd e c o m p o s i t i o n ，t h e i rv e r l n am o d u l e sa n dh i g h e s tw e i g h tm o d u l e s a r ei n t r o d u c e di ns e c t i o n3 i nj 5 l ，i v a np e n k o va n dv e r as e r g a n o v ad e f i n e dl i e s u p e r a l g e b r a sw i t hat r i a n g u l a rd e c o m p o s i t i o nb yar e g u l a re l e m e n t ；s i a l r i n gf r o m a t li r r e d n c i h l em o d u l eo fan i l p o t e n tl i es u p e r a l g e b r a ，t h e yd e f i n e dv e r m am o d u l e s a l l ( 1 h i g h e s t w e i g h tm o d u l e s t i l ef a c tt h a ti r r e d u e i b l er e p r e s c n t a t i o n so fs o l v a b l e l i es u p e r a l g e b r a sm i g h tn o tb e1 - d i m e n s i o n a li sf u l l ye x p o s e di nt h e s ed e f i n i t i o n s d u r i n gt h ed e d u c t i o no fp r o p o s i t i o n3 2 ，w e i g h ts p a c ed e c o m p o s i t i o n o fm o d u l e so f a t l i l p o t ，e n t l i ea l g e h r aa r i s e sa n dc o n s t i t u t e ss e c t i o n1o ft h ep a p e r a f t e rd e f i n i n g e v a l l l a t i o nm o d u l e s ，s e c t i o n4t r i e st oe s t a b l i s ht h el n a i l lr e s u l t st h e o r e m 4 1a n d i t l e o r e l t l4 2 a tt h i sj u n c t u r e ，s e c t i o n2o ni r r e d u c i b l er e p r e s e u l a t i o n so fn i l p o t e n t l i es u p e r a l g e b r a sl e n d sah a n d ，a tt h es a m e t i m em a k i n gi tp o s s i b l et oc o n s t r u c ta c o n c r e r en i l p o t e n tl i es u p e r a l g e b r af r e n a sl i es u p e r a l g e b r a ) a n dt w oc o n v i n c i n g e x a m p l e sf 4 1 a n d4 2 ) t oi l l u s t r a t et h es i t ，i l a t i o n 0 2 p r e p a r a t o r yw o r k 0 2 。1e v a l u a t i o nm o d u l e so fl i ea l g e b r a sw i t hat r i a n g u l a rd e c o m p o s i t i o n w b 龇f i ) l l o w sa r es o l n eb a s i cf a c t sa b o u tl i ea l g e b l a sw i t ha t r i a n g u l a rd e c o m p o s i t i o n ：t o rl l l o l ed e t a i l s ，s e e 【3 ) a n dmu ( 女) b e l o wd e n o t e st h eu n i v e r s a le n v e h ) p i n g a l g e b r ao ft h el i ea l g e b r a , ：ni st h es e to fa up o s i t i v ei n t e g e r s ；a n dzt h es e to f a l li n t e g e r s l e tlb eal i ea l g e b r ao v e rt h ef i e l d j j xs e t ，o fz l i n e a r l yi n d e p e n d e n t q _ = j a d ( n u f ( ) ) af r e ea d d i t i v e e a c h 搿h4 d e f i u et h es n b s p a e e f ，ha 【i a 1 ) e l i a ns u b a l g e b r a o f l ，a 一 a jj e l e m e n t so ft h ed u a lv e c t o rs p a c e 嚣4o fh s e m i g r o u p ，q 一= 一q + ，q = j z ，f o r 正口一 z lff h ，。j = f l ( h ) x ，v h 抒 a n d ( ：a l li tt h er o o ts p a c eo f 三w h e n e v e r 占口0a n d 卢0 i ft h el i ea l g e b r a c a nb ed e c o m p o s e da s l 一秣一镪珏国n 、 w h e r e e v a l u a t i o nm o d u l e so fl i es u p e r a l g 蟊b r a s3 a + = o 。q i o l n ，妒一紧。毪啦+ o 一+ i ti sc a l l e dal i ea l g e b r aw i t hat r i a n g u l a rd e c o m p o s i t i o n i fl “i sar o o ts p a c e t h e n 船弦c a l l e dar o o ta n dt h es e t 币o f 稳1 1r o o t s 诗c a l l e dar o o t s y s t e m ： 圣= n h 2 l 。，0 ，。0 t h e p o s i t i v er e s p e c t i v e l yn e g a t i v ep a r to f t h er o o ts y s t m ni sd e f i n e db y 垂+ = 垂nq + ，垂一= 圣nq w eh a v et h er o o ts p a c ed e c o m p o s i t i o n l = o 日封一三日 l e tlb eal i e a l g e b r aw i t h at r i a n g u l a r d e c o m p o s i t i o n ，曲：l _ o t ( v 1b e a r e p r e s e u t a t i o no f 三a n d ( u 工) t h ec o r r e s p o n d i n gm o d u l e t h em o d u l e ( 1 , l ) i s c a l l e dah i g h e s tw e i g h tm o d n l e ，w i t hh i g h e s t w e i g h l a h + i f t h e s p a c ev c o n t a i n s an o n z e r ov e c t o r ，d e n o t e db yt h ，s u c ht h a t ： + ” = 0 h v x = , x ( h ) v x ，v h h ， v = u ( 们“ = u ( n 一) u t h er e e l ，o ru i s ( ：a i l e dah i g h e s tw e i g h tv e c t o r ，t h ec o r r e s p o n d i n gh i g h e s tw e i g h t p a i ri s ( a ，” ) l e t ，l = n oho 4 _ b eal i ea l g e b r aw i t hat r i a n g u l a rd e c o m p o s i t i o n l e t a h + ah i g h e s tw e i g h tm o d u l e 汀( a ) f o rlw i t hh i g h e s tw e i g h tp a i r ( a ，t 7 + ) i s c a l l e dav e r m am o d u l ei fg i v e na n yh i g h e s tw e i g h tm o d u l emw i t hh i g h e s tw e i g h t p a i r ( a 可) ( t h es a m eh i g h e s tw e i g h ta ) ，t h e r ee x i s t sa q - m o d u l eh o l r i o “l o r p h i s l n 咖：m ( a ) - - + ms u c ht h a t j + e - + u av e r m am o d u l ei su n i v e r s a li nt h es e o s et h a ta n yh i g h e s tw e i g h tm o d u l ew i t h t h es a i l l eh i g h e s tw e i g h ti sah o m o m o r p h i ci m a g eo fi t i ti sc l e a rt h a tt h eh o n l o m o r p h i s n l 西i nt h ea b o v ed e f i n i t i o n i s u n i q u ea i l 【ls u r j e c t i v e ：f b l li f + 一 v t h e n f o rat u ( n 一) ，札 + h _ o nt h eo t h e rh a n d ， f = u ( n 一) n a l s o ( a ) i si t s e l f u n k l u eu pt oi s o m o r p h i s m t h ee x i s t e n c eo fm ( a 1c a nb es h o w nb yt h em e t h o do fi n d u c i n gn l o d u l e s ：l e tb b et h es u b a l g e b r aho o fl l e tf v + b eao n e d i m e n s i o n a lv e c t o rs p a c ea t l d m a k ei ti n t oab m o d u l eb yd e f i n i n g 帆 + = 0 ， h v + = a ( ) ”+ ，v h h n o r ( f v + i s al e f t 【，( 6 ) 一m o d u l e h e n c ew em a yf o r mt h ei n d u c e dm o d u l eo b t a i n e d f r o n tf v + b y m ( a ) ：= g ( l ) o u ( b ) f v + 40 u a n ，j u a nz h a n g i tc a nb ec h e c k e dd i r e c u yt h a tt h i si se x a c t l yt h ev e r m am o d u l e p r o p o s i t i o n0 2 1 ，l e tl = n 露o n + b eal i ea i g e b * nw i t ha 打i a n g u l a r d e c o m p o s i t i o na n dl e tx h 8 i fmt 轴i st h e v e r w mm o d u l eo h i g h e s t 埘e i g h ta t h e n 向? e v e r yp , v p e * s u b m o d u t eno f m ( a ) h a s aw e i g h ts p a c ed e c o m p o s i t i o nr e l a t i v e i 。日。a n dt h ew e i g h t sl i e 讯) 、一( q + o ) j jm ( a 1h a s8 u n i q u em a x i m a lp r o p e rs u b m o d u l e ( a ) ； r rjv ( a ) ：= a 7 ( a ) ( a ) i si r r e d u c i b l e ，a n du p t o i s o m o r p h i s m ，v ( a ) i st h e u n i q u ei r r e d u c i b l eh i g h e s tw e i g h tm o d u l e ) l 。w i t hh i g h e s tw e i g h t x s o & ，ra n y 五h 8 ，t h e r ee x i s t sa l li r r e d u c i b l eh i g h e s tw e i g h tm o d u l et 7 ( 7 、) o f 互 w i t hh i g h e s tw e i g h ta ：e v e r yw e i g h ta 7o ft h em o d u l ev ( a ) h a s t h ef o r m a = a 一i f f , ，托。盘t ( 扎。nu o ，“ie ) ； 矿f 舶i s 一d i a g o n a l i z a b l e ： y ( a ) = o 玖， x v h e l e 玖，= vj t j = a 7 ( ，。) ”，v h h ) ； f o re v q i yp o s i t i v er o o t 卢也+ ，o n eh a s 即h ，c h ，+ f la n d 。口氓，ch 。口，h e r e z 一l 日z 口l p l e tlb eal i ea l g e b r ao v o , i t h ef i e l d ， f i t ，t 一1 = 警一，。a i r 2ja i f m ，礼n u o ” b et h el m u e n tp o l y i m m i a la l g e b r a s e t z = f ：二l f i ( t ) x ik ( t ) f i t ，t - 1 ，。；，) 兰f i t ，t 一1 o f d e f i n eap r o d u c ti nla s f f ( t ) x g ( t ) y = ，0 ) g ( ) 【z ，可 ，v f ( t ) ，g ( t ) ef t t 一1 ；。，y l t h e n t ) e c o m e sal i ea l g e b r ao v e rfa n dw ec a l li tt h el o o pa l g e b r ao fl 1 , e t 三= f f c ) t 一1 f l b et h el o o pa l g e b r ao ft h el i ea l g e b r a 三w i t hat r i a n g u l a r d e ( ：o m p o s i t i o n f ma n yi r i e d u c i b l eh i g h e s tw e i g h t m o d u l ev ( a ) o f l ，a l l yn o l l z e l 0 e l e m e n tao f ，1 ，d e f i n et h ee v a l u a t i o no flb yt h er o l e ： ( t 。圆3 7 ) u = a 。z u ，i z ，zel ， t 7 ( a ) t h i sd e f i n e sa l la c t i o no ft h el i ea l g e b r al0 1 1v ( a ) ，w ec a l l t h i sa l le v a l u a t i o n r e p r e s e n t a t i o no f t h el i ea l g e b r a 云，a n dt h em o d u l ei sd e n o t e db y ( a ) ，i ti sc l e a r t h a t 。k ( 入) i sa r ti r r e d u c i b l el m o d u l e t h e o r e m0 2 1 l e ta l ，a 2 n rb ed i s t i n c tn o t lz e f oe l e m e n t so ft h eb a s ef i e l df ， k ，( a ) b et h ec o r r e s p o n d i n ge v a l u a t i o nm o d u l e s t h e nt h et e n s o r p r o d u c t i ( a 1 ) 圪，( a 2 ) o k ，( a r ) i sa ni r r e d u c i b l el m o d u l e n e x tw ec o l l e c ts o n i ce l e m e n t a r yf a c t so fl i es u p e r a l g e b r a l e tfb ez o rz 2 ( s e e 0 , 3c o n v c r t t i o n s ) ，kb ea na r b i t r a r yf i e l d o fc h a r a c t e r i s t i cz e r o s e e 8 f o ry l o r e ( 1 e t a i l s e v a l u a t i o nm o d u l e so fl i es u p e r a l g e b r a s 5 0 2 - 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g r a d e dv e c t o rs p a c e al i n e a l m a p p i n g i ss a i di , ub eh o m o g e n e o u so f d e g r e e ， f ，i f f ( v 0 ) ch ，n + ，v o p t h e m a p p i n g