（基础数学专业论文）中学数学竞赛中的构造性思想方法研究.pdf

河南大学硕士学位论文 摘要 数学奥林匹克竞赛在我国方兴未艾，许多相关人员对竞赛的诸多方面进 行了深入的研究好的思想、好的方法不断涌现构造性思想方法在数学竞 赛中从命题到解题都有着极其广泛的应用，然而，根据了解，真正系统深入研 究的人则少之又少对它进行一番深入的研究是很有价值的鉴于这种现状， 本文就对构造性思想方法进行一番研究研究主要是通过对近3 0 年来已发 表文献的分析、对从事竞赛事业人员的调查访谈以及自己的亲身体验等方面 进行的 全文共分五章第一章对研究背景进行了分析，以及数学构造法在国内外 研究的历史及现状，说明了研究的目的和意义、内容和方法在第二章对国际 数学奥林匹克竞赛历史进行了一些简单的介绍，以及在我国的发展情况在 第三章分析了构造思想与构造法的关系，找到了构造法解题的理论依据：一 是建构主义理论，二是波利亚的解题思想研究了构造法的意义、构造法的 特征、构造的功能、构造法与数学美的辩证关系、以及构造思想与方法的培 养等基本弄清了这些内容在第四章利用实例分别在初等数论、代数、几何、 组合数学中的应用加以实证在第五章对构造法解题在教学、培训、学习巾的 培养、应用和注意事项提出了一些建议，以及需要进一步研究的方向 关键词：数学竞赛，构造，构造思想，构造方法，创造 i 河南大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nc h i n a 王m oi sr i s i n g 。m a n ys t a k eh o l d e r si nm a n ya s p e c t so ft h ec o n - t e s tc o n d u c t e di n d e p t hr e s e a r c h g o o dt h i n k i n ga n dm e t h o d sa r ee m e r g i n g c o n s t r u c t i v et h i n k i n gh a sa v e r yw i d er a n g eo fa p p l i c a t i o n si np r o b l e m - s o l v i n g f r o mt h ep r o p o s i t i o nt op r o b l e m s o l v i n g 。h o w e v e r ，t h er e a li n - d e p t hs t u d y o ft h es y s t e mi sf e w t h et h o r o u g hs t u d yi sv a l u a b l e i nv i e wo ft h i ss i t u a t i o n ，i nt h i sp a p e r ，c o n d u c t e das t u d yo fc o n s t r u c t i v ew a yo ft h i n k i n g 。 t h es t u d ym a i n l yt h r o u g ht h ep a s t3 0y e a r so fp u b l i s h e dl i t e r a t u r e ，t ot h e r e l a t e dp e r s o n n e la n do w l f i r s t h a n de x p e r i e n c e 。 t h ef u l lt e x ti sd i v i d e di n t of i v ec h a p t e r s c h a p t e rlt h es t u d ya n a l y z e d t h eb a c k g r o u n d ，t h eh i s t o r ya n ds t a t u sq u oa th o m ea n da b r o a d ，d e s c r i b e d t h ep u r p o s ea n ds i g n i f i c a n c e ，c o n t e n ta n dm e t h o d s 。c h a p t e ri ii n t r o d u c e d t h eh i s t o r ya n dc u r r e n ts i t u a t i o no ft h ei m o c h a p t e ri i i a n a l y z e st h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h i n k i n ga n dm e t h o d ，f o u n dac o n s t r u c t i o nm e t h o df o r s o l v i n gt h et h e o r e t i c a lb a s i s ：f i r s t ，c o n s t r u c t i v i s tt h e o r y , s e c o n di sp o l y a s p r o b l e m - s o l v i n gt h i n k i n g s t u d yt h es i g n i f i c a n c e ，f e a t u r e s ，f u n c t i o no ft h e c o n s t r u c t i o nm e t h o d ，t h ed i a l e c t i c a lr e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ec o n s t r u c t i o n m e t h o da n dt h em a t h e m a t i c a lb e a u t y ，t h et r a i n i n go ft h ec o n s t r u c t i v et h i n k - i n ga n dm e t h o d s 。u n d e r s t a n d i n go f t h e s ee l e m e n t s c h a p t e ri vi nt h eu s eo f e x a m p l e so fe l e m e n t a r yn u m b e rt h e o r y , a l g e b r a ，g e o m e t r y , c o m b i n a t o r i c sa p p l i c a t i o nt oe m p i r i c a l c h a p t e rvt h et r a i n i n go ft h ec o n s t r u c t i o nm e t h o d f o rs o l v i n gp r o b l e m si nt e a c h i n g ，t r a i n i n g ，l e a r n i n gt h ec u l t u r e ，a p p l i c a t i o n a n da t t e n t i o nt oan u m b e ro fr e c o m m e n d a t i o n s ，a n dt h ed i r e c t i o nf o rf u r t h e r r e s e a r e b 。 k e y w o r d s ：m a t h e m a t i c sc o m p e t i t i o n c o n s t r u c t i v ec o n s t r u c t i v e t h i n k i n gc o n s t r u c t i o nm e t h o d i i 关于学位论文独立完成毒蜀内客创新的声明 7 明确的说明并袁示了诩意每毒魏 窘礞锈 学住+ 中茹毒? 孝饭豢作者x ，茹：乞幺l 鸯本受风 庭雩蘑麓囊弘鬻瑟翁 篱。熹壬学位论文著作权使用授权书0 寥 豫渺。黟：乏搋。兹荔j 蕊j ；狲f 7、爹 学住获得者( 学位论文作者) 釜名： 受l ：丝兰i 叁 2 0b 学位论文指导教师签名： 2 0o 第一章绪论 1 1 研究背景 青少年数学国际城市邀请赛行政委员会主席、台北市九章数学教育基金 会董事长孙文先认为：“论基础，中国选手全世界最好，但我们是在题海战术 中反复操练出来的，比较匠气，缺乏创造力” “对数学教育，目前世界各国都在进行探索，总的趋势是向中间地带靠 拢：中国在努力培养创造力，西方一些国家则在努力加强基础华东师大教 授、中国数学奥委会副主席熊斌说 吴文俊院士指出：“历史上，中国古代数学基本上是构造性的，在西方，非 构造性的观点从上世纪末才逐渐盛行实际研究中，一时难以给出构造性的 处理，因而首先研究存在性、可能性等问题，但最终应是构造性的吴院士 还指出：“由于计算机技术的发展，构造性数学在不远的将来将出现大的发 展甚至成为数学的主流 关于构造的定义以及与创造的主要区别有下边几点： 构造 1 、 m a k e ：制造 2 、b u i l d ：建造 3 、组合：制成 4 、结成：组织( 用于抽象事物) 5 、整体的各个部分以及结合的方式 本文取构造为：各个组成部分的安排、组织和相互关系 创：开始( 做) ：( 初次) 做： 创造的基本定义 创造是指将两个以上概念或事物按一定方式联系起来，以达到某种目的 行为 创造的本质在于甄选，甄选出真正有建设性的联系( 事物或概念之间的 联系) 。 对数学竞赛越加了解，就越能体会到构造思想方法在数学竞赛中占有举 足轻重的地位笔者根据对中国期刊全文数据库、中国硕博士学位论文全文 1 河南大学硕士学位论文 数据库、相关期刊的电子检索与手工检索，从1 9 7 9 年以来，3 0 年来，已有相 当多的研究成果，但未见有硕士论文或博士论文专门对数学竞赛中的构造性 思想方法有比较系统的研究。从已有的研究来看，大多研究成果主要集中在 具体的题目上的构造法，只是些解题术，而一般性的解题方法则较少数学 竞赛中的构造充满了出神入化的技巧，简洁优美的解法实际上是一种高度思 维策略，高智力水甲的具体化，对它的方法与技巧进行方法论的提炼，其价值 将是历史性的、世界性的然而作为种被广泛应用的方法与技巧却常常困 扰着学生和教师。体现在有关构造泫的学术磷究上，“解题研究没有上升为 理论，大多是用现成的例子说明现成的观点，或用现成的观点说明现成的例 子整个硪究工作依然陷在低层次的、没有薪突破的溪区之中这也是这个 方法研究的现状的结果。”1 虽然我在数学竞赛中没有做出过人突出的成绩，现在的研究工作也不一 定会很出色，尽管怎样，凡事都要有个开端。“千里之行，始于足下 。认真地 去从事一项有兴趣的事总是有意义的，我也许不能练到较高的境界，但是，我 曾真正投入地从事数学竞赛研究这件事在将来是一件可以弓| 以必豪的事，因 此，结合国内外的数学竞赛试题，在理论分析的基础上，运用教育心理学知识 对数学竞赛解题中的构造思想方法进行研究和探讨，以使数学竞赛活动能真 正体现出以科学教育原则为指导，以考察学生的能力、培养学生的数学索质 为目的，促进数学竞赛的健康发展本文对构造法相关知识的粗浅探讨，只求 对构造法的理论研究的丰富起到抛砖萼| 玉之效。 1 。2国内外有关数学构造法研究的历史及现状 1 2 1 国内有关数学构造法研究的历史 中匡古代数学长期处于憷赛领先地位，其中构造性与机械化数学是中国 古代发展最好的传统科学之一而且经过长期发展所形成的风格及其思想方 法对当今数学前沿的研究日益发挥着重大的作用对中国古代数学有独到见 地的当代数学大师煲文俊曾说“我国传统数学在从问题出发、以解决问题为 宗旨的发展过程中建立了以构造性与机械化为其特色的算法体系，这与两方 数学以欧凡里得凡俺原本为代表的所谓公理化演绎体系正好遥遥相对。 1 罗增儒数学解题学引论 m 】西安：陕两师范大学出版社，2 0 0 1 2 河南大学硕士学位论文 秦汉之际的九章算术开创了中国传统数学构造性算法模式，无论数学概 念的定义还是数学方法的表述往往用构造性的算法给出从未用过推理，而 仅仅是列出某些规则来：“如此做，做这个”例如大衍求一术也被称为中国 剩余定理问题是： 求下列方程组z 三r i ( r o o da ) ( 1 i n ) 的解这里a t 叫做第i 个 模数，n 叫做第i 个余这是解一元一次同余方程组的问题 更相减损术求两数最大公约数即等数，如求2 4 与1 5 的等数，其逐步减 损如下表所示：( 2 4 ，1 5 ) _ ( 9 ，1 5 ) 一( 9 ，6 ) _ ( 3 ，6 ) _ ( 3 ，3 ) 每次所 得两数与前两数有相同的等数，而两数之值逐步减少，因而到有限步后必然 获得相同的两数，也即所求的等数刘徽用割圆术为圆周率的研究工作奠定 了理论基础和科学的算法，为解决球体积公式的问题而构造了“牟合方盖” 的几何模型为祖咂获得正确结果开辟了道路增乘开方法与正负开方术求 方程数值解法等等，无一不具备构造性的特征，目前通行的方程求数值解法 是n e w t o n 迭代法，这种方法在初值的选取，收敛与精度，系数稍有偏差时的 影响，都存在着复杂甚至颇为严重的问题与我国古法相比，古法之直截了当 且可排除各种病态的优越性是颇为显著的这也是中国古算在算法上长期居 于领先地位且在今日仍然具有魅力的一个重要原因 1 2 2 国外对构造法研究的历史 国外将构造法明确提出，并致力研究这个方法，是与数学基础的直觉派 有关的，直觉派出于对数学“可信性”的考虑，提出了诸如“存在必须是被构 造”等思想其对构造法的研究，大致可分为以下三个阶段 1 直觉数学阶段 直觉派的先驱者是1 9 世纪末德国的克隆尼克，他明确提出并强调了能 行性，主张没有能行性就不得承认它的存在性他认为“定义应当包括由有 限步骤所定义对象的计算方法，而存在性的证明对于要确立其存在的那个量， 应当许可计算到任意的精确度他曾计划要把数学算术化，并在数学领域中 清除一切非构造性的成分及其根源第二个强有力的倡导者是彭加勒，他主 张自然数是最基本的直观，无需再作进一步的分析就可以认为是可信的，“与 克隆尼克一样，他坚持所有的定义和证明都必须是构造性的”近代构造法 的系统创立者是布劳威，他完整而彻底地从哲学和数学两方面贯彻和发展了 3 河南大学硕士学位论文 “存在必须被构造 的观点。这学派中的主要人物还有海丁和魏尔。 他们在数学工作中的基本立场是：第一，认为数学的出发点不是集合论， 两是自然数论。这就是海丁所说的：“数学开始于自然数及自然数相等概念形 成之后 所以他们不允许一般集合论概念进入数学，而将全部数学都归结为 自然数算术和一种利用“展形”建造起来的构造性连续统概念的假定。第二， 否认传统逻辑的普遍有效性褥重建意觉派逻辑第三，批判传统数学缺乏构 造性，创立具有构造性的“直觉数学”这就开始了构造法的第一阶段直 觉数学时期。 2 算法数学阶段 “发现集合论悖论以后，有些数学家认定了解决这些悖论引起的阍题的 唯一彻底的方法，就是把所有的一般集合论概念都从数学中排除掉，只限于 研究那些可以能行地定义或构造的对象”这就是布劳威创立直觉数学的想 法。为此，他抛弃了许多通常的数学术语，引进了各种超数学原理，从而使得 直觉数学难以为人读懂同时直觉数学绝对排斥非构造性数学和传统逻辑的 锩误做法，无法解释后者在一定范围内的应用上豹有效性在这一点上，遭到 了绝大多数数学家的反对所以“对数学家来说，布劳威理论一直是稀奇的古 董因而产生了另外几种构造性倾向，不象直觉数学那么走极端，它们的方 案是把可容许数学对象的范围限制到某个多少是任意选定的类，丽不象_ 袁觉 数学那样去向传统的证明规则挑战其中以马尔科夫及其合作者创立的“算 法数学”，尤为引人注署算法数学是一种把数学的一切概念都归结为一个 基本概念算法的构造性方法它以递归函数理论为基础，因此，它的概 念有非常严格的定义，每个硒数都用它的哥德尔数的办法来处理，每个实数 是一个特定的递癌函数等等。它所鬻的方法是标准构造性的，所采纳的逻辑 是直觉派逻辑可见，马尔科夫的理论是一种不仅限制对象的类，而且限制可 容诲证明方法的类的“严格有穷主义”的理论。沙宁继续了马尔科夫的工作， 研究了各种古典理论在马尔科夫算法数学中的模拟物他甚至能够展述分析 中象希尔伯特空间和勒贝格积分的构造性理论。由于马尔科夫的工作，使构 造性方法进入了“算法数学”阶段但是，因为这种构造法依赖于递归函数理 论的术语，所以使这种算法数学外行人读起来十分困难，加之马尔科夫的后 继者们似乎对于复杂理论及其在计算枧科学土的应用毙对于算法数学实践 本身更有洪趣，使之算法数学由于缺乏合适的框架来进行数学实践，而处于 4 河南大学硕士学位论文 一种冬眠的状态 3 现代构造数学阶段 1 9 6 7 年，比肖泊的书出版以后，宣告了构造法进入“现代构造数学 阶 段比肖泊通过重建现代分析的一个重要部分，重新激发了构造泫的活力他 研究的领域广及测度论、对偶理论、泛函微积尤其是他所创立的新的构造 性的测度理论，轻易地消除了对于在实直线上构造可数可加测度的可能性 的种种忧虑，并目还证明了构造的连续统在一种强的意义下是小可数的虽 然比肖泊的工作植根于布劳威的工作，但是他能从直觉数学的自我禁锢的概 念中解脱出来，他避免使用直觉派的超数学原理，摆脱了算法数学对递归函 数理论方法的不必要的依赖，超脱了对于形式体系的任何束缚，从而保 留了进一步创新的余地同时比肖泊采用数学上大家熟悉的习惯术语和符号， 所以为一般数学家容易看懂 1 3 研究目的和意义 1 3 1 研究目的 目前国内外所能搜到的杂志资料来看，虽然有不少关于中学数学竞赛命 题与解题方面的文章，也有构造思维方法的论述，但大多只是一些经验性总 结，较少涉及到构造思维方法的内部机制研究，深度不够许多竞赛专家和教 练编写有各种竞赛辅导资料，但这种资料也多为习题集而非学术论文，针对 构造法解题深入、全面研究就更少了针对这种情况，对中学数学竞赛中构 造思想方法进行研究希望能为中学竞赛辅导老师和学生提供一个试题研究 的借鉴和教学的理论依据，使构造性思维方法对发展学生的创新思维能力有 一定的帮助 1 3 2 研究意义 从理论意义上讲，要提高学生的解题思维能力，发展学生的创新能力不 应该停留于简单的模仿与大量的练习和魔鬼般的集训学习数学彳、= 在于囤积 了多少知识，而在于通过知识的学习获得了多少解决问题的能力解决问题 的价值不只是获得具体问题的解，更重要的是学生存解题的过程中获得思维 的发展，让学生从题海中解脱出来，认清构造的本质，让学生达到由量到质的 5 河南大学硕士学位论文 飞跃 从现实意义上讲，中国的数学教育历史悠久，数学教育也取得了重大成 就，对学生的数学基本知识、基本技熊的教学比较扎实。然而，面对2 王世纪 实施素质教育的要求，还停留在“双基”上显然是不行的我们要培养学生的 创造能力 陶冶情操。“屠高临下，有时就是一种观点，一种看法，没有高观点，一样 过日子，会做题，但就数学修养，对人的陶冶来说，那就有天壤之别了张奠 富 1 4 1 研究方法 1 。文献分析法 2 调查访谈法 3 。实证分析法 1 4 研究方法和内容 1 4 2 研究内容 背景、历史及现状、构造法解题的理论依据、构造法与数学美的关系、 构造法的功能、特征、构造思想方法的培养等。 6 第二章数学竞赛概述 2 1 国际数学竞赛 一、i m o 的发展阶段 国际数学奥林匹克竞赛的发展，大体经历了三个阶段 第一阶段：从1 8 9 4 年至1 9 5 9 年第一届i m o ，是国际数学竞赛的国内准 备阶段 第一届i m o 于1 9 5 9 年7 月在罗马尼亚古都布拉索举行，她是在罗马尼 亚的罗曼教授的积极活动下诞生的 第二阶段：从1 9 5 9 年第一届i m o 到1 9 7 9 年第2 1 届i m o 是从地区性 崛起到全球性发展的阶段 i m o 每年举行一次，由参赛国轮流举办，但第1 届到第5 届，参赛国仅 限于东欧几个国家，实际上只有地区性没有国际性，到2 0 世纪6 0 年代以后 才逐步扩大，发展成真正全球性的中学数学竞赛 虽然参赛队不断增加，竞赛规模不断扩大，但在1 9 8 0 年以前并没有一个 统一的国际机构负责组织协调工作，导致1 9 8 0 年i m o 没能举行，原冈是原 定主办国( 外蒙) 经济困难，而又没有一个统一协调组织让可能的主办国和参 赛国知道这一情况1 9 8 0 年国际数学教育委员会决定成立i m o 分委员会负 责安排每年的活动的组织者，因而白1 9 8 1 年起i m o 的传统一直没有中断， 并且逐步规范化 第三阶段：从1 9 8 1 年的第2 2 届开始，是i m o 的成熟阶段这时i m o 的运转已经制度化、规范化，选手的水甲也大大提高 二、国际数学奥林匹克的运转常规 1 、目的主要有两条： ( 1 ) 激励和培养数学人才； ( 2 ) 促进各国数学教育的交流与发展 2 、时间每年举办一届，时间定于7 月 3 、主办由参赛国轮流主办，经费由东道国提供 4 、对象参赛选手为中学生，每队6 人 7 河南大学硕士学位论文 5 、试题试题由各参赛国提供，然后由东道国精选后提交给主试委员会 表决，产生6 道试题，东道国不提供试题试题确定之后，写成英、法、德、俄 文工作语言，由领队译成本隰文字。 6 、考试考试分两天进行，每天连续进行4 个半小时，考3 道题，同一 国家的6 名选手分配到6 个考场，独立答题，不得使用参考书和计算器答 卷由本国领队评判，然后与组织者指定的协调员协商，如有分歧，再请主试委 员会仲裁从第2 0 届开始，每道题7 分，总计满分为4 2 分。 7 、奖励i m o 不确定冠军，磊是希望鼓励更多的有数学才麓的青年戒长， 因此i m o 的获奖人数是比较多的，约占全体选手的一半竞赛设等奖( 金 牌) 、二等奖( 银牌) 、三等奖( 铜牌) ，比例大致为l ：2 ：3 。对于那些特别漂亮的 解法和非平凡推广，i m o 设特别奖，专门奖励其一道题做得有独到之处的选 手，而不管他的总分多少。第2 9 届i m o 首次设立了荣誉奖，奖给那些虽然 未获一、二、三等奖，但至少有一道题得满分的选手 8 、主试委员会主试委员会由各国的正领队及主办国指定的主席组成 这个主席通常都是该国的数学权威，并有相当的组织才能与外交经验主试 委员会的职责有6 条：( 1 ) 选定试题；( 2 ) 确定评分标准；( 3 ) 用工作语言英、法、 德、俄文准确表达试题，并翻译、核准译成各参加国文字的试题；( 4 ) 比赛期 间，确定如何回答学生用书面提出酶关于试题的疑洒；( 5 ) 解决个别领队。弓协 调员之间在评分上的不同意见；( 6 ) 决定奖牌的个数与分数线 2 2 中国数学竞赛 2 2 1 地区性到全国性 我国的数学竞赛活动开始于1 9 5 6 年，在华罗庚、苏步青、江泽涵等老一 辈数学家提倡和指导下，北京和上海成功举办了第一次数学竞赛活动。此卮 由于种种原因，数学竞赛活动一再中断，直到1 9 7 8 年以后才得以持续开展 从1 9 8 0 年以后，我国的中学生数学竞赛的规模和层次已曰趋成熟全国范围 的高中数学竞赛正式定名为“全国各省、市、自治区高中数学联合竞赛”。 “全国高中数学联赛”采用“轮流做东”的形式，各省、市、自治区数学 竞赛组织机构其体承办，每年圭0 胃份举行，分为一试和二试。 8 河南大学硕士学位论文 2 2 2 国内到国际 在全国联赛持续顺利开展的基础上，我们国家开始着眼于国际数学奥林 匹克竞赛1 9 8 5 年由中国数学会与南开大学、北京大学、复旦大学、中国科 技大学的数学系协商，决定联合举办全国中学生数学冬令营( 中国数学奥林 匹克c h i n e s em a t h e m a t i c a lo l y m p i a d ，简称c m o ) 从1 9 8 6 年开始，每年 1 月份都举办一届全国中学生数学冬令营c m o 完全模拟i m o 进行，先在 全国各省市自治区择优选拔1 0 0 多人，各地区至少一人然后是为期5 天的 冬令营，第一天为开幕式，第二、三天考试，第四天学术报告或参观游览，第 五天闭幕式，宣布考试成绩和颁奖c m o 考试每天3 道题，限四个半小时 完成，每题2 1 分，满分为1 2 6 分，题目难度接近i m o ，分数最高的前2 0 至 3 0 名选手将组成参加当年国际数学奥林匹克的中国国家队集训，最后，选拔 出参赛选手 数学竞赛主要有四个方面的内容：代数、几何、初等数论、组合数学 2 2 3 政策的激励 2 0 0 1 年教育部文件规定高中阶段在“全国高中数学联赛”省级赛区 中获得一等奖的应届高中毕业生具有保送生资格，可以免试进入大学； 2 0 0 2 年进一步调整政策，规定上述应届高中毕业生除具有保送生资格 外，还可以在高考成绩的基础上适当增加分数投档，增加的分值不超过2 0 分： 2 0 0 5 年教育部再次明确了这项政策 在我国还有一些影响较大的全国性或区域性的数学竞赛，有“希望杯 全国数学邀请赛、中国女子数学奥林匹克、中国西部数学奥林匹克、中国北 方数学奥林匹克、中国东南地区数学奥林匹克等 9 第三章中学数学竞赛中的构造性思维方法 3 1 构造思想与构造法 数学思想是指现实世界的空间形式、数量关系及其模式结构反映在人的 意识中，经过思维活动而产生的结果而数学方法是在有关数学活动中积累 起来的数学研究和数学问题解决得以完成的途径和手段。数学思想与数学方 法既有区别又有联系，区别表现在数学方法是数学思想的表现形式和得以实 现的手段，而数学思想是数学方法的灵魂，它指导着知识和方法的运片j 同 时，数学恶想与数学方法又互为表里，在数学活动中的表现形态不具备明确 的界限，故通常将这两个概念统称为数学思想方法显丽易见，构造思想是一 种数学思想，而构造法是一种数学方法，于是它们之间就存在如上所述的相 互关系。简而言之，构造思想是用构造的策略解决问题，反映了构造法的实 质，是指导构造法的灵魂。反之，构造法是采用构造的方法去执行这种策略的 具体手段。如上所述，我们遥常把构造思想与构造方法统称为构造思想方法。 3 2 构造的理论依据 3 2 1 建构主义理论 建构主义理论正是体现7 一种主体在认知结构上的构造思想，是构造思 想一种重要的理论依据荷兰数学教育家弗赖登塔尔明确指出：建构主义与 它们关于数学教学的理论是相通的数学建构主义学习的实质是：( 1 ) 主体通 过客体的思维构造，在心理上建构客体的意义所谓“思维构造 是指主体在 多方位地把新知识与多方面的各种因素建立联系的过程中获得新知识意义， 构造起薪知识与各方面因素阍的网络构架，从而最终获得新知识的意义“自 主活动”、“智力参与”和“个人体验是数学建构主义学习的主要特征例如 教师利用建构观建立数学知识网络，培养学生编织数学知识网络的能力，同 时渗透了构造思想教学如解析几何教学、不等式教学等等，如果能帮助学 生构建有序的知识网络就能减少学生记忆和应用混乱的情况( 2 ) “建构同 时楚建立和构造关于新知识认知结构的过程。“建立般是指从无到有的 兴建；“构造”则是对已有的材料、结构、框架加以调整、整合或者重组主体 1 0 河南大学硕士学位论文 对薪知识的学习，同时包括建立和构造两个方面，既要建立对新知识的理解， 对新知识与已有的知识适当建立联系，又要将知识与原有的认知结构楣互结 合，通过纳入、重组和改造，构成新的认知结构。捌如，数学的概念、定理、公 式、法则等虽然是一些语言和符号，但它们都代表了确定的意义，这些意义 是数学家根据客观事物属性的感知进行思维构造的结果。这些语言、符号冀 不过是这种思维结果的表达形式，也可以说是概念、定理、公式、法则的思 维存在形式。学生要获褥这些数学概念、定理、公式法则的意义，并不憝仅仅 记住这些思维结果豹袭达形式，而恩也需要经过自身为参照中心的思维构造 过程，即思维的蒋剑造过程。这样酶教学过程有助予澎成思维过程的晦驱力， 掌握知识牢靠，并培养了学生探索阅题筋能力。 3 。2 2 波搴| j 亚怒题思想 波剃亚数学解题思想所贯穿的红线就是构造思想波利亚十分重视辅助 潮题的作用，他说“构想一个辅助溯题是一项重要的思维活动 ，“学会( 或教 会) 怎样聪明地处理辅助同题是一硕重大的毵务 。这里所说的“辅助阎题， 实质上就是应用构造思想，构造新的数学模型焉成的“辖助问题”辅助问题 的作用是帮助孵决原闼题为了要解决问题a ，我们不是直接去解决掰绘豹 闯题a ，丽是构造一个与问题a 有关的辅助闯题b 即新的数学模型，这 里引出闻题b 并j # 为了它本身，而是希望通过它帮助解决问题a 如巢问题 8 院阀题a 更简单壹观，那么这种思考方法就能获褥成功。 3 。3 构造的意义 主要有下面一些意义： 1 普通高中数学课程标准( 实验 指出：“高中数学新谋程应力求通 过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历史， 发展他们的剖新意识雌英国诗人雪莱：“想像是创造力”。费尔瑟姆在壮 心集诗入与诗中写道“词藻是诗歌的僵死部分，想像才是它的活力所在。 爱因斯坦：“想豫比知识更重要”因为知识是有限的，丽想像力概括着世 界上的一切，接动着进步，并且是知识进行的源泉，两释数学教学中不断进行 1 中华人民共和圉教育部制订：普通l 篷巾数学漾程标准( 实验) ，2 0 0 3 王1 河南大学硕士学位论文 数学思想方法的渗透则是培养学生创新能力的重要措施，其中构造的方法是 一种富有创新的方法，在数学问题解决中有着极为重要的作用 2 构造体现了一种转化的策略成功的构造是思维主体心智活动的一种 探求过程，是综合思维能力的一种高度体现，也是对整个解题过程的一种洞 察力、预感力的一种反映教学中，我们可引导学生建立数学解题观念，使学 生真正体验转化方式在问题解决中的重要作用；培养学生联想、想象、化归、 类比、直觉和探究的意识：帮助学生逐步建立合理的解题思维方式，理解合 理的数学思维结构；培养学生兴趣，开发智力，拓展解题思路，形成合理的 数学思维结构 3 在问题解决过程中。当感觉登记的信息与长时记忆中的有关信息发生 匹配困难时，构造性思维对解题思路的正确选择具有明显的导向作用利用 构造法无疑是一种不蹈常规的解题方法 4 培养学生用构造法解题的意识能够克服思维定势带来的消极影响，使 学生产生思路跳跃，问题的解决思路出现创新的几率明显增多长此以往，能 培养学生的发散、创新思维能力 5 开发构造性数学的新领域，组合数学、计算机科学中所涉及的数学，都 是构造性数学的新领域，尤其是图论更是构造数学发展典型领域之一因为 图的定义本身就是构造性的，同时图的许多应用问题，如计算机网络，程序的 框图也都是构造性很强的问题对经典数学的概念、定理寻找构造性解释 3 4 构造法的特征 直觉性：是指在思考问题时，能迅速去粗取精，去伪存真，直接洞察问题 本质的思维品质 具体性：既能判定某种数学对象存在，也能在有限步骤内具体找到它 灵活性：用它解决数学问题简洁、巧妙，常常突破常规，另辟蹊径，具有 很强的灵活性 思维的多样性：用构造思想解题常要用到分析、综合、观察等多种数学 思维形式 发散性：是指对一个问题能从不同方向、不同角度进行思考的思维品质 1 2 河南大学硕士学位论文 f 3 5 构造法的功能 构造法的教学价值在于提高学生对数学模型的敏感性、促使学生完善数 学认知结构、培养学生的创造性思维能力、培养学生的数学审美能力，构造 不但是数学思维活动的重要支撑，同时也是数学思维的一个基本思维方式， 它在数学方法中有着广泛的渗透历史上许多重要的数学发现来源于发散思 维，而构造法这种独特解题技法，不仅是一种思维发散的具体表现，亦是提高 学生素质教育的有力措施由于构造法具有非常规性，所以构造内容也变化 不定，灵活性强，这给学生的创新思维提供了很大的培养矛d i j l l 练空间教师应 从关注学生的创新思维发展出发，着眼于学生创新意识的培养，鼓励学生主 动参与，自主探讨，让他们在观察、分析、思考、探索和运用中学习、领悟、积 累和发展构造法常是建立在学生已有的知识基础之上的，它生成于认知结 构的最顶端，不仅能使学生强烈地感受到数学的美妙以及构造法的神奇，而 且更能够使学生激发起探索的意识和创新的欲望，具体而言，其功能可统一 为以下两点：一是从思维角度而言，构造法可培养学生的发散思维能力和创 造性思维能力；二是从认知角度而言，学生通过构造法解题，能够培养自主探 究、自我建构的认知能力，并且在直觉感知的基础上，逐步完善本身的数学 认知结构 t 3 6 构造法与数学美的辩证关系 数学中有美，美中有数学研究构造法与数学美，可以培养开拓型、创造 型的人才，也能激发学生学习数学的兴趣数学问题处处体现严谨、简洁、对 称、统一、奇异等数学之美，这些美的特征常为主体进行构造的动力与源泉 因此在教学中教师应充分认识研究构造法与数学美的必要性，揭示并不断挖 掘、创造数学中美的素材，并传给学生，使他们不断提高对数学美的感受力、 审美力、创造力，以激发学生对数学的兴趣，进而提高学生的直觉思维能力 及用构造法解决问题的能力 3 6 1 通过构造享受、体验、体现、注释数学美 数学中很多题都是通过巧妙的构造而得到证明和求解，像没有最大的质 数，勾股定理的证明等等在美的熏陶下得到感情的共鸣和思维的启迪学到 1 3 河南大学硕士学位论文 一些灵活多变的思维方法，培养科学浆探索精神，构造法并不神秘是可以掌 握的数学思维方法，思考越深刻，构造就越容易成功，方法也就越简单简单 美是数学美的最基本特征，而解题中的巧妙构造，往_ 往有纯繁为简之效。数学 除了简单美、和谐美、对称美、奇异美这四种常见的数学美的表现形式以外， 中学教材内容体现毖的数学概念之美、证明之美、体系之美、无限之美、平 衡之美等，可探讨的方面当然也很多。构造法会体现更多的数学之美，我们可 以去欣赏、挖掘 3 6 2 数学美是构造法的源泉、向导 在解决数学问题时那些美的组合能激起构造灵感，因此数学美是构造法 解题的一个源泉。凭借美感( 审美) 直觉，领悟面对问题中显露出的美，并以此 为向导进行适当构造，会使问题解决的思维过程具有探测、跳跃之感，从而进 一步丰富了学生的认知重组的体验培养学生的剖新能力是新课程理念下数 学教学改革的一项熏要目标而构造、法是解决数学问题的一种重要方法，更 是培养学生创新思维的有效途径。 3 7 构造思想与方法的培养 3 7 1 光明思维 光明思维，是指学习主体善于使自己始终沉浸在乐观向上、积极进取的 良好心理氛围，使大脑处于活跃开放，正向求索的信念状态，从而充分调动和 开发自己的创新潜能并导向成功的思维方式这种正向的、积极的、充满活 力的思维方式能极大地调动和激发大脑神经细胞的思维活力，使学习主体的 创新潜能得到深度开发光明思维犹如一座“思维核电站”一样，为构造思维 方法提供不竭的动力。 光明思维的动力机制主要表现在两个方面：一是把开放性、超越性学习 看做是一件非常快乐的工作，表现为乐于求知、不耻下问，并表现出乐此不 疲的热情；二是善于从探索性学习中寻找和发现创新的乐趣。 3 7 2 自学 自学，即独立学习，是相对于学校正规系统的教学而言的自学有三大要 1 4 河南大学硕士学位论文 义：独立学习、自主求知、主动创新2 0 0 5 年i m o 金牌选手黄志毅说：“在准 备全国数学冬令营的两个月里，我做完了1 至4 4 届的i m o 预选题，并做了 我们学校所编的题集上的题目2 0 0 7 年第4 8 届i m 0 金牌选手深圳中学王 炬在初中一年级就自学完了初中阶段全部的数学课程2 0 0 6 年获得化学奥赛 金牌的曾毅现在北大学习，和他的师兄一样，他也是大一就开始进入实验研 究，目前正承担教育部的一个科研项目他说，参加奥赛最大的收获是学会了 自由思考，自主发展自学彳 受老师固有的先入为主的方法的影响伟大的自 然哲学家、数学家、物理学家笛卡尔没上过大学，但却靠自学创立了解析几何 3 7 3 建立高效的知识结构 良好的知识结构，对于构造性思维方法的形成是相当有帮助的知识结 构中，体现知识创新潜能的指标主要有：知识总量、知识质量、知识序度、知 识活力、知识势能指数知识总量能够为构造提供必彳、= 可少的“养分 和素 材高质量的知识容易形成新颖的解法知识的序度、活力决定构造性思想 方法形成的效率知识势能指数体现把握问题本质的程度知识的相关性，是 知识结构发挥创新功能的前提，如果人才主体不能从一种知识与另一种知识 之间发现其相关性和内在联系，并灵活运用它们的相互关系，那么他的知识 结构必然是低效的因此，要使知识系统化、有序化，就要养成经常整理知识， 使零碎的知识不断系统化、有序化的治学品格 3 7 4 重视右脑开发 从生理学和心理学的研究结果来看，人体的大脑分左右两个半球，通常， 两半球分工不同但又互相配合左半球主要具有言语的、分析的、抽象的、算 术的功能等；右半球主要有非言语的、综合的、直观具体的、识别几何图形的 功能等前者是收敛性的、因果的思维，后者是发散性的、非因果的思维构 造性思想主要运用的是形象思维和直觉思维，统称“发散思维”恰恰是右脑 承担的部分右脑是灵感、直觉、想象、顿悟等新思想、新方法闪现的发源 地因此，要重视右脑开发主要从下边几方面着手： 1 、灵感 我国著名科学家钱学森教授说：“我认为就是现在也不能以为思维就是 1 5 河南大学硕士学位论文 有逻辑思维和形象总维这两类，还有一类可称为灵感”1 灵感是客观存在的， 人不能按主观需要和希望产生灵感，也不能按专业分配划分灵感的产生尽 管至今入类还没有完全掌握它的发生发展的觏律，但是只要我们重视灵感， 把握灵感出现的条件，就能提高我们构造成功的概率 灵感是智力劳动的产物，具有触发性、飞跃性、瞬时性、激发斗志等特 性许多灵感是由原型启发而产生的，这就是灵感的触发性灵感的发生是人 们事先难以预料的，往往是由意想4 到的偶然因素诱发的，这些偶然因素或 刺激物既可能是人翻事先未曾碰到过的，也可能是旱已熟知的弱常现象。灵 感思维往往打破了人们的常规思维，把人的认识提升到一个新的高度具有 跳跃性。灵感具有稍纵即逝的特点，如果不能及时抓住随机产生的灵感，它可 能永不再来产生灵感时往往使人具有情绪性，当灵感降临时，人的心情是紧 张的、兴奋的，甚至可能陷入迷狂的境地知道了这些特性，我们就要把握灵 感出现的良机，摆脱习惯思维的束缚，随时带有纸和笔等记录工具，记下它、 抓住它 2 、直觉 入的直觉思维与逻辑思维不同，逻辑思维是按部就班一步一步进行的、 而直觉思维不是经过严格的逻辑证明，而是突然进行合理的猜测、合理的猜 想，丽这幂孛猜测和猜想经过实践证明是正确的有人误认为直觉思维是超经 验的、超知识的、超能力的，这实际上是一种误解人的直觉思维能力不是凭 空而来的，两是思维主体运用深厚的知识底蕴和丰富的创新实践经验直接溺 察事物本质规律的飞跃性认识在已有的知识经验的基础上，在思维的深层 某种机制使其加工、使其连接、使其构造获得成功。一般来说，在某一个领 域，经验丰富、判断能力又很强的入，常常出现直觉思维，对菜一个问题反复 思索的人容易产生直觉思维 直觉思维具有直接性、快速性、跳跃性、个体性、坚信感( 有别于冲动性 行为) 、或然性、本能性等特征：要培养直觉思维，首先要有丰富的知识和经 验，入的知识经验越丰富，对事物的把握往往越靠得住直觉思维是猜测，但 不是瞎猜对某个知识、经验越丰富，往往就越能比较准确地猜中 3 、想像 想象是入在脑子中凭借记忆所提供的材料进行加工，从而产生新的形象 1 钱学森：系统科学、思维科学与人体科学，自然杂志，1 9 8 1 年第l 期 1 6 河南大学硕士学位论文 的心理过程。它是人类特有的对客观世界的一种反映形式。它能突破时间和 空闷的寨缚，达到“患接千载”“神通万量”的境界 根攥葱象的创造性程度昀不丽，可分为孬造想象和翎造想象。再造想象 是指主体在经验记忆的基础上，在头脑中再现客观事物的表象；仓l l 造想象则 不傻再现现成事物，蔼。爱创造出全新的形象。 4 、顿悟 心理学家们用“格式塔理论 ，揭示了顿悟是崽维中的l 强的格式塔( 即 | 翳的逻辑) 被打破和掰的格式塔( 掰的逻辑) 被创建的过程同时，格式塔理 论还用实验明确指出，入的顿悟功能是普遍的、先天性的，即无师囱通蟪。任 何顿悟必须商鹱确的思考阀题沟大前提，同时顿悟必然对此问题经过长期、 认真、甚至艰苦的思考才可能出现。 顿悟思维是指愚维主体对所探究的问题一筹莫震、无计可施时，受到某 种启发或经烈入指点而突然悟凄事物的本质的醒悟或认识顿悟具有突发性、 诱发性、极度快乐或豁然开朗之特性等等。 对发散思维从以下凡方西进行培养：( 1 ) 对餍一条件，联想多种结论；( 2 ) 改变思维角度，进行变式训练；( 3 ) 加强一题多解、一题多变、题多愿；( 4 ) 提供开放性润题、以激发兴趣，培养学生灵活运用知识创造性解决问题既能 力。 3 。7 。5 激励机制 构造性思维方法是一项富有挑战性的事业，是非常规思维的知识剑新过 程。与重复性、传承性、模仿性学习耜跣，构造性思维方法的学习无疑需要持 久的动力支持宏伟目标具有导向作用、聚焦作用善于用宏伟隧标激励岛 己就是一种内在激励机制，这种内在的留我激励能产生巨大的进取动力。另 外，爨林匹壳设置特别奖，鼓励那些特别漂亮的解法，专门奖励其一道题做 得有独到之处的选手，两不管他的总分多少。客观上对选手起到了激励作用， 毕竟，获奥林匹克奖是一项嚣常荣耀的事 3 。7 6 其它方法 1 、为学生创设有剥于探索的情景集体讨论形式，可以围绕一个阀题的 探究活动，展开学生之阆不同认识的交流，裔利于知识的重耨缌合与选择，产 1 7 河南大学硕士学位论文 生新的想法教师作为讨论的组织者和引领者，要鼓励大胆猜想，发表见解， 促进各种优良品质的发展；独立探究形式，教师制定出