（基础数学专业论文）亚纯函数与其导数的分担值问题.pdf

一 原创性声明 f t l l lii i i i i fi r i iii 1 1 i y 17 9 3 3 3 2 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名： 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) ：裨一名：斟 期：p 尘! 兰： 目录 中文摘要i 英文摘要i i 第一章预备知识1 1 1n e v a n l i n n a 值分布理论概要1 1 2 亚纯函数唯一性理论中的基本概念和定理4 1 3p - a d i c 亚纯函数值分布论基础知识5 第二章亚纯函数与其一阶导数的分担值问题9 2 1 引言与主要结果9 2 2 主要引理1 2 2 3 定理证明1 3 第三章亚纯函数与其七阶导数的分担值问题1 8 3 1 引言与主要结果1 8 3 2 主要引理1 8 3 3 定理证明2 0 第四章p - a d i c 域t z 的一些结果2 7 4 1 引言与主要结果2 7 4 2 主要引理2 8 4 3 定理证明2 9 参考文献3 l 致谢3 4 - - 一 c o n t e n t c h i n e s ea b s t r a c t i e n g l i s ha b s t r a c t i i c h a p t e r1p r e l i m i n a r i e s 1 1 1 b a s i c so fn e v a n l i n n at h e o r y 1 1 2 c l a s s i c a lr e s u l t so nu n i q u e n e s so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s 4 1 3 b a s i c so fn e v a n l i n n at h e o r yi np - a d i cf i e l d 5 c h a p t e r2v a l u es h a r i n go fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n sa n dt h e i rf i r s td e r i v a t i v e s 9 2 1 i n t r o d u c t i o na n dm a i nr e s u l t s 9 2 2 s o m el e m m a s 1 2 2 3 p r o o f so ft h e o r e m s 1 3 c h a p t e r3v a l u es h a r i n go fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n sa n dt h e i r 七一t hd e r i v a t i v e s1 8 3 1 i n t r o d u c t i o na n dm a i nr e s u l t s 1 8 3 2 s o m el e m m a s 1 8 3 3 p r o o f so ft h e o r e m s 2 0 c h a p t e r4s o m er e s u l t si np - a d i cf i e l d 4 1 i n t r o d u c t i o na n dm a i nr e s u l t s 4 2 s o m el e m m a s 4 3 p r o o f so ft h e o r e m s r e f e r e n c e s a c k n o w l e d g e 亚纯函数与其导函数分担值问题 亓金锋 ( 山东大学数学与系统科学学院，山东，济南2 5 0 1 0 0 ) ( 指导教师：扈培础教授) 中文摘要 上世纪2 0 年代，芬兰数学家r n e v a n l i n n a 建立了该世纪最为重要的数 学理论之一，即复平面c 上的亚纯函数值分布理论，通常因纪念他而被称为 n e v a n l i n n a 理论( 十余年后l a h l f o r s 建立了几何形式) 。该理论主要有两部分 组成，即n e v a n l i n n a 第。4 及第二基本定理，前者由p o s s i o n - j e n s e n 公式得到， 而后者显著地推广了p i c a r d 小定理。该理论不断自我完善和发展，同时广泛的 运用到其他的复分析领域，如亚纯函数唯性理论，正规族理论，复动力系统及 复微分方程理论等。与此同时，鉴于n e v a n l i n n a 理论的美妙结果，很多杰出数 学家创立并且不断完善发展了定义在特殊复流形以及p - a d i c 域上的亚纯映照的 值分布理论。 本文主要包括作者在导师扈培础教授的指导下得到的关于亚纯函数与其导 函数分担值问题以及p - a d i c 域卜的一些结果。论义的结构安排如下： 第一章简要地介绍了复数域c 以及p a d i c 域k 卜的值分布论基础知识。 第二章讨论亚纯函数与其一阶导数分担值问题，主要推广了文章j t l i 与h x y i1 1 6 】中的定理2 ，将定理中的常数推广到一类特殊亚纯函数得到定 理2 1 ，接着利用j w a n gf 2 6 1 最近证明的一个定理作为引理，将定理2 1 中的 条件“( z ) 与，( z ) 分担r lc m ”改为单向c m 分担得到定理2 2 ，并在此基础 上做了更进一步的推广与补充，得到定理2 3 与定理2 4 。 第i 章讨论亚纯函数与其l i ：阶导数分担值问题，主要推广了文章c w u 与 j t l if 2 8 】中的定理1 ，将定理中的常数推广到多项式得到定理3 1 。 第四章我们主要讨论比费马型函数方程更广泛的一类函数方程垒，啦厅= l ，在p - a d i c 域，c 上给出了这类方程存在诬纯解的必要条件即定理4 1 ，所得相 关结果改进了n t o d a 【2 3 】，k w y u 和c c y a n g1 3 3 1 的结果。 山东人学硕士学位论文 关键词：亚纯函数，整函数，导数，分担值，p - a d i c 域。 山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t v a l u ed i s t r i b u t i o nt h e o r yo f m e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ，w a sd u et or n e v a n l i n n a i n1 9 2 0 s ，a n di ng e o m e t r i cf o r mb yl a h l f o r sa b o u tad e c a d el a t e r ，i so n eo ft h e m o s ti m p o r t a n ta c h i e v e m e n t si nt h ep r e c e d i n gc e n t u r yt ou n d e r s t a n dt h ep r o p - e r t i e so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s t h et h e o r yi sc o m p o s e do ft w om a i nt h e o r e m s ， w h i c ha r ec a l l e dn e v a n l i n n a sf i r s ta n ds e c o n dt h e o r e m st h a th a db e e ns i g n i f i c a n t b r e a k t h r o u g h si nt h ed e v e l o p m e n to ft h ec l a s s i cf u n c t i o nt h e o r y , s i n c et h en e v a n - l i n n a ss e c o n dt h e o r e mg e n e r a l i z e sa n de x t e n d sp i c a r d sf i r s tt h e o r e mg r e a t l y , a n d h e n c ei td e n o t e dt h eb e g i n n i n go ft h et h e o r yo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s s i n c e t h e n ，n e a n l i n n at h e o r yh a sb e e nw e l ld e v e l o p e di ni t s e l fa n dw i d e l ya p p l i e dt o t h er e s e a r c h e so ft h eu n i q u e n e s so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ，n o r m a lf a m i l i e s ，c o m - p l e xd y n a m i c sa n dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n se t c m e a n w h i l e ，i nv i e wo ft h eb e a u t y o fn e v a n l i i n at h e o r y , m a n yo u t s t a n d i n gm a t h e m a t i c i a n sf o u n d e da n dd e v e l o p e d t h ev a l u ed i s t r i b u t i o nt h e o r yo fm e r o m o r p h i cm a p p i n g so v e rc e r t a i nm a n i f o l d s a n dp - a d i cf i e l d t h ep r e s e n tt h e s i si n v o l v e ss o m er e s u l t so ft h ea u t h o rt h a ti n v e s t i g a t et h e p r o b l e mo fv a l u es h a r i n go fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n sa n dt h e i rd e r i v a t i v e sa n d s o m ep r o b l e mi np - a d i cf i e l d ，u n d e rt h eg u i d a n c eo fs u p e r v i s o rp r o f e s s o rp e i c h u h u t h cd i s s e r t a t i o ni ss t r u c t u r e da sf o l l o w s i nc h a p t e r1 ，w ed e s c r i b et h eb a s i cn e v a n l i n n at h e o r yi nc o m p l e xn u m b e r f i e l da n dp - a d i cf i e l d i nc h a p t e r2 ，w ec o n s i d e rt h ep r o b l e mo fv a l u es h a r i n go fm e r o m o r p h i c f u n c t i o n sa n dt h e i rf i r s td e r i v a t i v e s ，m a i n l yi m p r o v et h et h e o r e m2i nj t l i a n dh x y i 1 6 ，w eg e tt h e o r e m2 1b yr e p l a c i n gt h ev a l u e sa ，bi nt h e o r e m2 b yt w om e r o m o r p h i cf u n c t i o n s n e x t ，w ea p p l yat h e o r e mg i v e nb yj w a n g 2 6 l r e c e n t l y , r e p l a c e “f ( z ) = r l 与f 7 ( z ) = r i ”i nt h e o r e m2 1b y “f ( z ) = r 1 _ ，7z ) = r 1 ”a n dt h e ng e tt h e o r e m2 2 f u r t h e r m o r e ，a sak i n do fg e n e r a l i z a t i o n a n dc o m p l e m e n t ，w eg e tt h e o r e m2 3a n d2 4 i nc h a p t e r3 ，w ec o n s i d e rt h ep r o b l e mo fv a l u es h a r i n go fm e r o m o r p h i c f u n c t i o n sa n dt h e i rb t hd e r i v a t i v e s m a i n l yi m p r o v et h et h e o r e m1i i lc w ua n d j t l i 2 8 1 ，w eg e tt h e o r e m3 1b yr e p l a c i n gt h ev a l u e sa ，b ，di nt h e o r e m1b y t h r e ep o l y n o m i a l s m - - 一 山东大学硕士学位论文 i nc h a p t e r4 w ec o n s i d e ram o r ew i d ec e r t a i nt y p eo f f u n c t i o ne q u a t i o n ： ：i n t r = 1 ，a n di np - a d i cf i e l dw eg i v ean e c e s s a r yc o n d i t i o no ft h ee x i s t e n c eo fm e r o m o r p h i c s o l u t i o n si e t h e o r e m4 1 w h i c hg e n e r a l i z e ss o m er e s u l t so fn t o d a 2 3 1 ，k w y u a n dc c y a n g 3 3 k e yw o r d sm e r o m o r p h i cf u n c t i o n ，e n t i r ef u n c t i o n ，d e r i v a t i v e ，v a l u es h a r - i n g ，p - a d i cf i e l d 第一章预备知识 1 1 n e v a n l i n n a 值分布理论概要 在本文中，如没有特别说明，所提到的皿纯函数均是指开平面中c = z ： h ) 的弧纯函数，用雹= 2 ：h o c u o 。 表示扩充复平面。对于z 0 ， 定义z 的正对数为：l o g + z = m a x l o g x ，o ) 定义1 1 1 设为亚纯函数，( z ) ( o o ) ，对0 r o o ，规定 钉亿( r ，) = j z 2 ”l 。g + l ，( r e 拍) l d o ， ( r = 0 7 盟萼幽d 州。舭g n 矾= o 坠掣出+ - ( 吖) l o g n t ( r ，f ) = 仇( ，_ ，f ) + n ( r ，) ， 其中的n ( t ，f ) 表示f ( z ) 在 z | t 上的极点个数，且重级极点按重数计 算，n ( o ，f ) 表示f ( z ) 在原点处极点的重数。瓦( ：f ) 表示重级极点只计一次时 在h 上的极点个数( 当f ( o ) 。时，n ( o ，f ) = n ( o ：f ) = 0 ：当f ( o ) = 时，n ( o ，f ) = 1 ) 。 我们称m ( r ，) 为f ( z ) 的均值函数，并分别记n ( r ，f ) 和丙( ，厂，) 为f ( z ) 极点的计数函数和精简计数蛹数。r ( r ，) 记为f ( z ) 的n e v a n l i n a 特征函数，简 称f ( z ) 的特征函数。 定理1 1 1 ( n e v a n l i n n a 第一基本定理) 设f ( z ) 于h p ( o 。) 内亚 纯。若a 为任一有穷复数，而且f ( z ) n 。则对于0 r p ，有 t ( r 击) = t ，) + l o 出i 州n ，r ) ( 1 1 1 ) 其中c a 为7 笔在原点的l a u r e n t 展丌式( 按升幂排列) 中的第一个非零系数，而 且有 i e ( 口，7 ) l l o g + i a i + l 0 9 2 我们通常将( 1 1 1 ) 简写为 丁( r ，万1 ) = r ( r ，) + d ( 1 ) 山东人学硕士学位论文 定义1 1 2 设，( z ) ( o o ) 为亚纯函数，则 盯(，)=lim，一s。up警，p(f)li，ra。inflog+矿t(r,f)g r o o i o7 r 1 。 l u g 7 分别称为f ( z ) 的级与下级，且，( 孑) 的超级定义为 0 2 ( f ) = l i m ，s 。u p l o g + l o 面g + t _ ( r 一, f ) 定理1 1 2 ( b o r e l i j i) 设t ( r ) 为r o r o o 上连续非减的函数，且 t ( r o ) 1 ，则至多除去r 的一个集合e 0 后恒有 t ( r + 丽1 ) 2 t ( r ) ， 且岛的线性测度不超过2 。 定理1 1 3 ( 对数导数引理) 设f ( z ) 为非常数亚纯函数，且f ( o ) 0 ，0 0 ， 则对于0 r r o 。，有 ，1 仇( r ，睾) 4 l 。g + t ( r ，) + 3 l o g + 击+ 4 l o g + r + 2 弓+ 4 - o s + 崦+ 高+ - 。 注：当，( 0 ) = 0 或者f ( o ) = o o 时，适当改变七式右端最后两个常数项及其余 各项系数后结论仍成立。 定理1 1 4 ( n e c a n l i n n a 第- j 二基本定理) 设f ( z ) 为非常数亚纯函 数，吼( i = l ，2 ，g ) 为记中q ( q 3 ) 个判别复数，则 ( q - 2 沙( ，。) 善( 7 ，忐) - l ( r ) + s ( r 力， ( 1 1 2 ) 其中 l = 2 ( r ，) 一( r ，7 ) + ( r ，歹1 ) 即嘶，争喜m ( r ，忐) + 0 ( 1 ) ( 1 鹕) 关于n e v a n l i n n a 第二基本定理中的余项s ( r ，) ，根据定理1 1 2 和定理 11 3 我们有如下估计。 2 山东人学硕士学位论文 定理1 1 5 设f ( z ) 为非常数亚纯函数，s ( r f ) 由定理1 1 4 中的( 1 1 3 ) 确 定，则当f ( z ) 的级为有穷时 s ( r ，f ) = o ( 1 0 9 r ) ( r 。) ； 当f ( z ) 的级为无穷时， s ( r f ) = o ( 1 0 9 ( r t ( , ，) ) ) ( r _ o o ，rge ) ， 其中e 是一个线性测度为有穷的集合。 根据定理1 1 5 ，我们知道无论f ( z ) 的级是否有穷，由( 1 1 3 ) 确定的s ( r ，f ) 满足s ( r ，f ) = o ( t ( r ，) ) ( ，- _ o o ，rge ) ) ，其中e 是一线性测度为有穷的集 合，所以对于非常数亚纯函数，一般我们就用s ( 7 f ) 表示满足上述性质的量， 但e 每次出现不一定完全相同。由此和对定理1 1 4 中项l ( ，) 的估计，我们有 n e v a n l i n n a 第二基本定理的常用形式。 定理1 1 6 设f ( z ) 为非常数亚纯函数，a i ( i = 1 ，2 ，g ) 为e 中q ( q 3 ) 个判别复数，则 q 1， ( q - 2 妒( r ，) ；_ ( r 忐) _ o ( l 抄文r n ( 1 1 4 ) 其中u o ( r ，专) 表示是，的零点但不是，一a i ( i = 1 ，2 ，q ) 的零点的计数函 数。 定义1 1 3 设f ( z ) 为非常数亚纯函数，a ( z ) 为亚纯函数( 当a ( z ) 三时， 在该定义中约定t ( r ，n ( z ) ) 三o ) ，若丁( ，n ( z ) ) = s ( r ，) ，则称a ( z ) 为( z ) 的 小函数。 n e v a n l i n n a 曾提出能否将第二基本定理( 定理1 1 4 ) 中的常数( i “= l ，2 ，q ) 换为f ( z ) 的小函数( 1 i ( z ) 0 = l ，2 ，q ) 。庄圻泰教授就整函数情况给 出涉及小函数的第二基本定理，解决了该问题。下面是n e v a n l i n n a 自己就三个 小函数情况和就亚纯函数情况分别得到的结果。 定理1 1 7 ( 三密度不等式) 设f ( z ) 为非常数亚纯函数，吼( z ) ( i = 1 ，2 ，q ) ( 其中有一个可恒等于。) 为f ( z ) 的三个判别的小函数，则 q 1 t ( r ) 喜_ ( n 舌丽) + 联r ，门 ( 1 1 5 ) 定理1 1 8 ( s t e i n m e t z 定理) 设f ( z ) 为非常数亚纯函数，o ( z ) = 1 ，2 ，口) 为，( z ) 的g ( 3 ) 个判别的小函数，e 为任意给定的正数，则 ( q - 2 - e ) t ( 吖) i - - 眦f 南) + 跏 ，) ， ( 1 1 6 ) 3 山东大学硕士学位论文 其中最= o t ( r ，) ( ，_ _ o o ，r 譬e ( ) cr + ，e ( f ，) 与及，有 关，m e s e ( f ，s ) 0 ，我们便可以唯一地定义，的极 大项为 州) ：= 嬲 下面我们定义关于，的近似函数如下： m ( p ，f ) ：= l o g + p ( p ，f ) = m a x 0 ，l o g # ( p ，) 按照惯例，定义，的特征函数如下： t ( p ，f ) ：= m ( p ，f ) + u ( p ，) ， 其中n ( p ，) = n ( p ，去) 表示关于，的极点的价函数。 根据p - a d i cj e n s e n 公式，p - a d i c 第一基本定理指出，对于一个n - tk 的 有穷值a 以及p p o 0 ，我们有下述估计 t ( 硝) = 吣，击) + 眦，万1 ) + 。( 1 ) ( 1 3 3 ) 此外，对于两个互异的h 属于k u 。o ) 的值a 和b ，我们有下述，c 上所独 有的等式 t ( 硝) = m a x n ( 店击) ，眦，击) + d ( 1 ) ( 1 3 4 ) 7 山东人学硕士学位论文 蚬征，p a d i c 对教导数引理表明，对于一个正整数七( 1 ) ，我们有 p ( p ，了f ( k ) js 万1 而上述估计必将进一步意味着 r e ( p , 等l o g + 丢：d ( 1 ) ( 1 3 5 ) 依此町知，p - a d i c 第二基本定理指出，对于q ( 2 ) 个两两互异的且属于k 的有 穷值a l ，啦，n q 以及p p o 0 ，我们有下述估计 ( q _ l 沙。 ，) ( p n + 著( b 忐) - ) - 嘞+ d ( 1 ) 翊p ) + 善职岛去) - l o g p + o ( 1 ) ( 1 3 6 ) 此处。( p ，) 被称为关于，的分枝项并且其定义如下： 鼢m ( p ，) = 2 ( p ，) 一( p ，) + ( n 歹1 ) 最后。p - a d i cv - a l i r o n 定理，有时也被称之为推广后的p - a d i cj e n s e n 公式， 其内容为：对于两个关于，的且阶分别为p 和q 的互素多项式a f = ：o 地广 和b s = 坠o u ，我们有如下关系式 丁( p ，参) ：m a x ( p ，q 丁( 岛，) + d ( p 丁( p ：+ 壹丁( n 训， ( 1 3 7 ) 其中系数i 【l o ，p l ，脚以及，口l ，均为定义在k 上的p - a d i c 亚纯函数。 8 第二章亚纯函数与其一阶导数的分担值问题 2 1 引言与主要结果 令，9 与a 是复平面c 上的亚纯函数。如果当f ( z ) 一a = 0 时，有 g ( z ) 一口= 0 ，我们写f ( z ) = a 冷g ( z ) = a 。如果当f ( z ) = 8 兮9 ( z ) = 8 且 9 ( z ) = a 兮，( z ) = a 时。我们写作f ( z ) = a 兮g ( z ) = a 并称，与g 分担口 i m ( 不计重级) 。如果，一n 与g 一1 2 具有相同的零点及相同的重级，我们写作 i ( z ) = a 与9 ( z ) = a ，并称，与9 分担口c m ( 计算重级) 。 r u b e l 与y a n gf 2 1 】率先进行了整函数及其导函数分担值问题的研究。在 1 9 7 7 年，他们证明了如下定理： 定理a 令o ，b 是两判别复数并且i ( z ) 为非常数整函数，如果 f ( z ) = a 鲁厂7 ( 名) = n 且f ( z ) = b 与，7 ( z ) = b ，则f 三，。 自此，分担值问题，特别是，与，分担值问题为广大学者、专家所研究， 并相继出现了大量深刻的结果( 见【2 】【1 1 等) 。 1 9 7 9 年，m u s e 与s t e i n m e t z 【1 9 】证明了如下结果，这是对定理a 的一个改 进。 定理b 令a ，b 是两判别复数并且f ( z ) 为非常数整函数，如果f ( z ) = a ，7 ( z ) = a 且1 ( - - ) = b 兮，( z ) = b ，则，三厂。 2 0 0 6 年，“与y i 【1 6 1 证明了如下相关结果： 定理c 令a ，b 足两判别复数( n 0 ) 并且f ( z ) 为非常数整酌数，如果 i ( z ) = b ，7 ( z ) = b 且，( ：) = 口令，7 ( z ) = a ，则下述情形必有一种成立： ( i ) f 三，； ( i i ) f ：c e 击z + 口， 其中c 是一个非零常数。 2 0 0 9 年，l i i ，x u 与c h e n 【1 8 】与将上述结果由常数推，至多项式得定理 d ： 定理d 令q 。( 0 ) 与q 2 是两个判别的多项式并且f ( z ) 为超越整函 数。如果，( z ) = q l 与，( z ) = q 。且，( z ) = q 2 兮，( z ) = q 2 ，则下述情形必 有一种成立： ( i ) ，三，7 ； ( i i ) ，= q 2 + a e k 且( a 一1 ) q l = a q 2 一q ：， 其中a 与a l 为两个非零常数。 9 山东人学硕士学位论文 本章中，的级被定义为： 盯( 门= l i r a s u p 可l o gt ( r , f ) = l i m s u p l o gl矿ogm ( r , y ) ， 其中m ( r ，f ) = m a x i ：| = ，l f ( z ) l 。本章下文中出现的符号r ，( z ) a n dr 2 ( z ) 均表 示以下含义：二者为亚纯函数且r l ( z ) = 尸l ( z ) e q ( “，r 2z ) = p 2 ( z ) e q ( “，其中 q ( z ) 是多项式，p l ( z ) ，岛( z ) 是有理函数。最近c h e n ，l i i 与y i 【1 8 】与将定理 c 中的常数推广到了级小于，的一类特殊的亚纯函数。本章首先运用类似的方 法及w a n g 【2 6 】中的一个重要定理，将定理c 中的常数推广到了一类亚纯小函 数，得到了定理2 1 ； 定理2 1 令r l ，r 2 ( 0 ) 为两个判别的亚纯函数，l ( z ) 为超越整函 数，其中r l 为( z ) 的小函数。如果f ( z ) = r 1 与厂( 名) = r i 且f ( z ) = 如辛 ，( z ) = r 2 ，则下述情形必有一种成立： ( i ) f 兰厂； ( i i ) ，= r 2 + c e 舱a n d ( a 一1 ) r 1 = a r 2 一咫， 其中c 与a 为两个非零常数。 注1 现举例说明定理2 1 中的情形( i i ) 是不能被去掉的。 例1 令，= a e 主+ 名，r l = 2 2 及r 2 = z ，则 尝：昙删，r 2 ， 一= 一 f z 7 z ，z，：# ，一r 12 一。7 但上述函数是满足定理2 1 条件的。 下面，我们引入一个定义：设是n 一个有穷复数，如果z n ( n = 1 ，2 ，) 是f n 的v ( n ) 重零点，而且2 。m = 1 ，2 ，) 也是g n 的至少v ( n ) 重零 点，则我们称( z ) = a o ( z ) = o 。然后我们利用证明定理2 1 类似的方 法，借助于卜述定义，将定理2 1 中的条件“f ( z ) = r 1 与f l ( z ) = r l ”减弱 为“f ( z ) = r l 一，7 ( z ) = r l ”，得下述结果： 定理2 2 令r l ，忌( o ) 为两个判别的亚纯函数，l ( z ) 为超越整函数， 其中r l 为f ( z ) 的小函数。如果f ( z ) = r l _ 厂7z ) = r l ，( z ) = 岛兮，7 ( z ) = 兄，而且 l i m s u p 鲣垫型等盟坠型 q 1 ) ， 其中每个零点记p q 次；同样道理我们可以定义l ( n0 ，f 一q ) 。在定理2 1 中，如果把r l 换为，的任意一个亚纯小函数q 而且，与f i m 分担o l ，其结 果似乎不成立。在这个方向上，我们得到了定理2 4 ，做为定理2 1 的推广与补 充。 定理2 4 令o t ，r 2 ( 0 ) 为两个判别的亚纯函数，q 是的，任意 亚纯小函数，( z ) ( 0 ) 是非常数整函数。如果f ( z ) = r l 与，7z ) = r l ， f ( z ) = r 2 兮，z ) = r 2 且 s ：一z ( 1 i m s u p 型等掣, l i m s u p 型掣 1 ( 1 2 ) 则，7 一n = 危( z ) ( ，一o t ) 其中h ( z ) 是一个级不超过s 的亚纯函数。 对于定理c ，我们进一步考察了亚纯踊数的情形，运用l i - y if 1 6 】证明定理 1 与定理2 的类似方法，结合h h k h a l a d i 【1 】中的定理l ，我们得剑了下述 结果： 定理2 5 设n ，b 是两判别复数( n 0 ) ，f 为非常数亚纯函数且 n ( r ，专) = s ( r ，) 。如果，( z ) = b = 尸( 2 ) = b 且，( z ) = n 辛，( z ) = n ，则下述 情形必有一种成立： ( i ) f 三f 7 ； ( i i ) f = 仇南2 + n ， 其中c 是一个非零常数。 定理2 6 设a ，b 是两判别复数 o ) ，f 为非常数亚纯函数且 g ( r ：专) = s ( r ，) 。如果，( z ) = n ，7 ( z ) = n 且厂( z ) = b 兮f ( z ) = b ，则有 f 兰f l 。 1 1 山东大学